Exercice 1 1393 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction convexe strictement croissante.
Montrer que $f$ tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ .

Solution

Par la convexité de $f$ , pour tout $x > 1$ , on a

\frac{f (x) - f (0)}{x} \geq f (1) - f (0)

donc

f (x) \geq (f (1) - f (0)) x + f (0) \to_{x \to + \infty}^{} + \infty .

Exercice 2 1394

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction convexe et majorée. Montrer que $f$ est constante.

Exercice 3 3155 Correction

Soit $f : ℝ_{+} \to ℝ$ dérivable, concave et vérifiant $f (0) \geq 0$ . Montrer que $f$ est sous-additive c’est-à-dire

\forall x, y \in ℝ_{+}, f (x + y) \leq f (x) + f (y) .

Solution

Soit $x \in ℝ_{+}$ . Posons $φ : ℝ_{+} \to ℝ$ définie par

φ (y) = f (x + y) - f (x) - f (y) .

La fonction $φ$ est dérivable et

φ^{'} (y) = f^{'} (x + y) - f^{'} (y) .

Puisque $f$ est concave, sa dérivée $f^{'}$ est décroissante et donc

f^{'} (x + y) \leq f^{'} (y) .

On en déduit que $φ$ est décroissante et puisque $φ (0) \leq 0$ , la fonction $φ$ est négative ce qui fournit l’inégalité demandé

Exercice 4 5326 Correction

Soit $f$ une fonction définie de $ℝ$ vers $ℝ$ .

(a)

On suppose que la fonction $f$ est convexe. Montrer que pour tout réel $y$ , l’ensemble ${x \in ℝ | f (x) \leq y}$ est un intervalle.
(b)

Que dire de la réciproque?

Solution

(a)

Soit $y$ un réel. Étudions $I = {x \in ℝ | f (x) \leq y}$ .

Méthode: On montre qu’une partie $I$ de $ℝ$ est un intervalle en vérifiant

$\forall (a, b) \in I^{2}, a < b ⟹ [a; b] \subset I .$

Soient $a$ et $b$ deux éléments de $I$ tels que $a < b$ . Pour tout $c \in [a; b]$ , il existe $λ \in [0; 1]$ tel que $c = (1 - λ) a + λ b$ . La convexité de $f$ donne alors

$f (c) = f ((1 - λ) a + λ b) \leq (1 - λ) f (a) + λ f (b) \leq (1 - λ) y + λ y = y$

(la dernière inégalité étant valable car les facteurs $λ$ et $1 - λ$ sont positifs). Ainsi, $c$ est élément de $I$ et l’on peut affirmer $[a; b] \subset I$ . On conclut alors que $I$ est un intervalle.
(b)

La réciproque est fausse: une fonction monotone vérifie la propriété étudiée mais n’est pas nécessairement convexe.

Exercice 5 3357

Soit $f : I \to ℝ$ une fonction convexe. Montrer que si $f$ admet un minimum local en $a \in I$ alors $f$ admet un minimum global en $a$ .

Exercice 6 1396 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction convexe. Montrer que $f$ est continue.

Solution

Étudions la continuité en $x_{0} \in ℝ$ . Soit $a, b \in ℝ$ tels que $a < x_{0} < b$ .
Quand $x \to x_{0}^{+}$ :
$x_{0} < x < b$ donc $τ (x_{0}, x) \leq τ (x_{0}, b)$ puis

f (x) \leq f (x_{0}) + (x - x_{0}) τ (x_{0}, b)

et $a < x_{0} < x$ donc $τ (a, x_{0}) \leq τ (x_{0}, x)$ puis

f (x_{0}) + (x - x_{0}) τ (a, x_{0}) \leq f (x) .

Par le théorème des gendarmes

f (x) \to f (x_{0}) .

Même étude pour $x \to x_{0}^{-}$ puis la conclusion.

Exercice 7 1397 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction convexe.

(a)

On suppose $f \to_{+ \infty}^{} 0$ . Montrer que $f$ est positive.
(b)

On suppose que $f$ présente une droite asymptote en $+ \infty$ . Cela signifie qu’il existe une droite d’équation $y = p x + q$ vérifiant

$f (x) - (p x + q) \to_{x \to + \infty}^{} 0 .$

Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

Solution

(a)

Soient $a < b$ . Pour tout $x > b$ , on a $τ (a, x) \geq τ (a, b)$ . À la limite quand $x \to + \infty$ , $0 \geq τ (a, b)$ .
Par suite, $f$ est décroissante et puisque $f \to_{+ \infty}^{} 0$ , on peut conclure $f \geq 0$ .
(b)

Posons $y = p x + q$ l’équation de l’asymptote engagée et considérons $g : x \mapsto f (x) - (p x + q)$ .
La fonction $g$ est convexe et $g$ tend vers 0 en $+ \infty$ . Par suite, $g$ est positive et $f$ est au dessus de son asymptote.

Exercice 8 4687

Soit $f : I \to ℝ$ une fonction convexe définie sur un intervalle $I$ ouvert.

Montrer que $f$ est dérivable à droite et à gauche en tout point $x$ de $I$ avec¹¹ 1 Ce résultat (qui n’est pas explicitement au programme) est souvent utilisé pour résoudre d’autres exercices comme par exemple le sujet 3049.

f_{g}^{'} (x) \leq f_{d}^{'} (x) .

En déduire que la fonction $f$ est continue.

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Édité le 29-08-2023

Propriétés des fonctions convexes