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Exercice 1  1393  Correction  

Soit f: une fonction convexe strictement croissante.
Montrer que f tend vers + en +.

Solution

Par la convexité de f, pour tout x>1, on a

f(x)-f(0)xf(1)-f(0)

donc

f(x)(f(1)-f(0))x+f(0)x++.
 
Exercice 2  1394  

Soit f: une fonction convexe et majorée. Montrer que f est constante.

 
Exercice 3  3155  Correction  

Soit f:+ dérivable, concave et vérifiant f(0)0. Montrer que f est sous-additive c’est-à-dire

x,y+,f(x+y)f(x)+f(y).

Solution

Soit x+. Posons φ:+ définie par

φ(y)=f(x+y)-f(x)-f(y).

La fonction φ est dérivable et

φ(y)=f(x+y)-f(y).

Puisque f est concave, sa dérivée f est décroissante et donc

f(x+y)f(y).

On en déduit que φ est décroissante et puisque φ(0)0, la fonction φ est négative ce qui fournit l’inégalité demandé

 
Exercice 4  5326  Correction  

Soit f une fonction définie de vers .

  • (a)

    On suppose que la fonction f est convexe. Montrer que pour tout réel y, l’ensemble {x|f(x)y} est un intervalle.

  • (b)

    Que dire de la réciproque?

Solution

  • (a)

    Soit y un réel. Étudions I={x|f(x)y}.

    Méthode: On montre qu’une partie I de est un intervalle en vérifiant11 1 Voir le .

    (a,b)I2,a<b[a;b]I.

    Soient a et b deux éléments de I tels que a<b. Pour tout c[a;b], il existe λ[0;1] tel que c=(1-λ)a+λb. La convexité de f donne alors

    f(c)=f((1-λ)a+λb)(1-λ)f(a)+λf(b)(1-λ)y+λy=y

    (la dernière inégalité étant valable car les facteurs λ et 1-λ sont positifs). Ainsi, c est élément de I et l’on peut affirmer [a;b]I. On conclut alors que I est un intervalle.

  • (b)

    La réciproque est fausse: une fonction monotone vérifie la propriété étudiée mais n’est pas nécessairement convexe.

 
Exercice 5  3357   

Soit f:I une fonction convexe. Montrer que si f admet un minimum local en aI alors f admet un minimum global en a.

 
Exercice 6  1396   Correction  

Soit f: une fonction convexe. Montrer que f est continue.

Solution

Étudions la continuité en x0. Soit a,b tels que a<x0<b.
Quand xx0+:
x0<x<b donc τ(x0,x)τ(x0,b) puis

f(x)f(x0)+(x-x0)τ(x0,b)

et a<x0<x donc τ(a,x0)τ(x0,x) puis

f(x0)+(x-x0)τ(a,x0)f(x).

Par le théorème des gendarmes

f(x)f(x0).

Même étude pour xx0- puis la conclusion.

 
Exercice 7  1397   Correction  

Soit f: une fonction convexe.

  • (a)

    On suppose f+0. Montrer que f est positive.

  • (b)

    On suppose que f présente une droite asymptote en +. Cela signifie qu’il existe une droite d’équation y=px+q vérifiant

    f(x)-(px+q)x+0.

    Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

Solution

  • (a)

    Soient a<b. Pour tout x>b, on a τ(a,x)τ(a,b). À la limite quand x+, 0τ(a,b).
    Par suite, f est décroissante et puisque f+0, on peut conclure f0.

  • (b)

    Posons y=px+q l’équation de l’asymptote engagée et considérons g:xf(x)-(px+q).
    La fonction g est convexe et g tend vers 0 en +. Par suite, g est positive et f est au dessus de son asymptote.

 
Exercice 8  4687   

Soit f:I une fonction convexe définie sur un intervalle I ouvert.

Montrer que f est dérivable à droite et à gauche en tout point x de I avec11 1 Ce résultat (qui n’est pas explicitement au programme) est souvent utilisé pour résoudre d’autres exercices comme par exemple le sujet 3049.

fg(x)fd(x).

En déduire que la fonction f est continue.

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Édité le 08-11-2019

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