[<] Étude de fonctions [>] Inégalité arithmético-géométrique

 
Exercice 1  4684  

Montrer par un argument de convexité:

  • (a)

    x>-1,ln(1+x)x

  • (b)

    x[0;π/2],2πxsin(x)x.

 
Exercice 2  1398  Correction  

Observer les inégalités suivantes par un argument de convexité:

  • (a)

    x[0;π/2],2πxsin(x)x

  • (b)

    n,x0,xn+1-(n+1)x+n0

Solution

  • (a)

    La fonction xsin(x) est concave sur [0;π/2], la droite d’équation y=x est sa tangente en 0 et la droite d’équation y=2x/π
    supporte la corde joignant les points d’abscisses 0 et π/2.
    Le graphe d’une fonction concave est en dessous de ses tangentes et au dessus de ses cordes et cela fournit l’inégalité.

  • (b)

    La fonction xxn+1 est convexe sur + et sa tangente en 1 a pour équation

    y=(n+1)x-n.

    Le graphe d’une fonction convexe est au dessus de chacune de ses tangentes et cela fournit l’inégalité.

 
Exercice 3  1399  Correction  

Montrer que f:]1;+[ définie par f(x)=ln(ln(x)) est concave.
En déduire

(x,y)]1;+[2,ln(x+y2)ln(x)ln(y).

Solution

f est définie et de classe 𝒞 sur ]1;+[.

f(x)=1xln(x)etf′′(x)=-ln(x)+1(xln(x))20

f est concave.

Puisque f est concave,

f(x+y2)f(x)+f(y)2.

c’est-à-dire

ln(ln(x+y2))ln(ln(x))+ln(ln(y))2=ln(ln(x)ln(y)).

La fonction exp étant croissante,

ln(x+y2)ln(x)ln(y).
 
Exercice 4  1400  Correction  

Montrer

x1,,xn>0,n1x1++1xnx1++xnn.

Solution

La fonction f:x1x est convexe sur +* donc

f(x1++xnn)f(x1)++f(xn)n

d’où

nx1++xn1x1++1xnn

puis l’inégalité voulue.

 
Exercice 5  3172  

Soit a,b+ et t[0;1]. Montrer

atb1-tta+(1-t)b.
 
Exercice 6  1401  Correction  

Soient p,q>0 tels que

1p+1q=1.

Montrer que pour tout a,b>0 on a

app+bqqab.

Solution

La fonction xln(x) est concave. En appliquant l’inégalité de concavité entre ap et bq on obtient

ln(1pap+1qbq)1pln(ap)+1qln(bq)

puis l’inégalité voulue.

 
Exercice 7  1404   Correction  

(Inégalité de Hölder)

Soient p,q>0 tels que

1p+1q=1.
  • (a)

    En exploitant la concavité de xln(x), établir que pour tout a,b+, on a

    apbqap+bq.
  • (b)

    Soient a1,a2,b1,b2+, déduire de ce qui précède:

    a1b1a1p+a2ppb1q+b2qq1pa1pa1p+a2p+1qb1qb1q+b2q.
  • (c)

    Conclure que

    a1b1+a2b2a1p+a2ppb1q+b2qq.
  • (d)

    Plus généralement, établir que pour tout n et tous a1,,an,b1,,bn,

    i=1naibii=1naippi=1nbiqq.

Solution

  • (a)

    Par la concavité de xln(x), on a pour tout a,b>0 et tout λ[0;1] l’inégalité:

    λln(a)+(1-λ)ln(b)ln(λa+(1-λ)b).

    Appliquée à λ=1/p, elle donne

    ln(apbq)ln(ap+bq)

    puis l’inégalité voulue. Enfin celle-ci reste vraie si a=0 ou b=0.

  • (b)

    Il suffit d’appliquer l’inégalité précédente à

    a=a1pa1p+a2p et b=b1qb1q+b2q.
  • (c)

    De même, on a aussi

    a2b2a1p+a2ppb1q+b2qq1pa2pa1p+a2p+1qb2qb1q+b2q

    donc en sommant les inégalités obtenues puis en simplifiant on obtient celle voulue.

  • (d)

    En reprenant l’inégalité du a) avec

    a=ajpi=1naip et b=bjqi=1nbiq

    puis en sommant les inégalités obtenues, on obtient celle voulue.

 
Exercice 8  1403   
  • (a)

    Soient x1,,xn des réels positifs. Établir

    1+(k=1nxk)1/n(k=1n(1+xk))1/n.
  • (b)

    En déduire, pour tous réels positifs a1,,an,b1,,bn

    (k=1nak)1/n+(k=1nbk)1/n(k=1n(ak+bk))1/n.
 
Exercice 9  4688   

(Entropie et inégalité de Gibbs)

On dit que p=(p1,,pn) est une distribution de probabilité de longueur n lorsque les pi sont des réels strictement positifs de somme égale à 1. On introduit alors l’entropie de cette distribution définie par

H(p)=-i=1npiln(pi).
  • (a)

    Soit p une distribution d’entropie de longueur n. Vérifier

    0H(p)ln(n).
  • (b)

    Soit q une autre distribution d’entropie de longueur n. Établir l’inégalité de Gibbs

    H(p)-i=1npiln(qi).
 
Exercice 10  2823     MINES (MP)

(Inégalité de Jensen intégrale)

Soit f:I une fonction convexe continue11 1 Lorsqu’une fonction convexe est définie sur un intervalle ouvert, elle est assurément continue (voir le sujet 4687). et g:[a;b] une fonction continue à valeurs dans I.

Montrer

f(1b-aabg(t)dt)1b-aabf(g(t))dt.
 
Exercice 11  2640   Correction  

(Inégalité d’entropie)

Soit φ:I convexe et dérivable sur I intervalle non singulier.

  • (a)

    Établir que pour tout a,xI on a l’inégalité

    φ(x)φ(a)+φ(a)(x-a).
  • (b)

    Soit f:[0;1]I continue. Établir

    φ(01f(t)dt)01φ(f(t))dt.
  • (c)

    Soit f:[0;1] continue, strictement positive et d’intégrale égale à 1. Montrer

    01f(t)ln(f(t))dt0.
  • (d)

    Soient f,g:[0;1] continues, strictement positives et d’intégrales sur [0;1] égales à 1. En justifiant et en exploitant l’inégalité xln(x)x-1 pour x>0, montrer

    01f(t)ln(f(t))dt01f(t)ln(g(t))dt.

Solution

  • (a)

    φ étant convexe, la courbe est au dessus de chacune de ses tangentes.

  • (b)

    Posons a=01f(u)duI et considérons x=f(t)I: φ(f(t))φ(a)+φ(a)(f(t)-a)
    En intégrant sur [0;1], on obtient

    01φ(f(t))dtφ(01f(u)du)

    car

    01φ(a)(f(t)-a)dt=φ(a)(01f(t)dt-01f(u)du)=0.
  • (c)

    φ:xxln(x) est convexe sur I=+* car φ(x)=1+ln(x) croît avex x. L’inégalité précédente donne alors

    001f(t)ln(f(t))dt

    puisque 01f(t)dt=1 annule φ.

  • (d)

    xxln(x) étant convexe et de tangente d’équation y=x-1 en 1, on a

    xln(x)x-1 pour tout x>0.

    Par suite,

    01f(t)ln(f(t))dt-01f(t)ln(g(t))dt =01f(t)g(t)ln(f(t)g(t))g(t)dt
    01(f(t)g(t)-1)g(t)dt=0.
 
Exercice 12  4689    

Soit f:[0;1] une fonction convexe dérivable. Montrer11 1 Ce résultat permet d’estimer la qualité de l’approximation de la valeur d’une intégrale d’une fonction convexe par l’aire d’un trapèze.

0f(0)+f(1)2-01f(t)dtf(1)-f(0)8.
 
Exercice 13  2942      X (MP)Correction  

Soit f:[0;1] continue, concave et vérifiant f(0)=1. Établir

01xf(x)dx23(01f(x)dx)2.

Solution

Par un argument géométrique (trapèze sous la courbe) la concavité donne

xf(0)+f(x)20xf(t)dt.

On en déduit xf(x)20xf(t)dt-x donc

01xf(x)dx2x=01(t=0xf(t)dt)dx-12 (1).

Or

x=01t=0xf(t)dtdx=t=01x=t1f(t)dxdt=t=01(1-t)f(t)dt=01f(t)dt-01tf(t)dt.

La relation (1) donne alors

301xf(x)dx201f(t)dt-12 (2).

Enfin

2(01f(t)dt-12)20

donne

2(01f(t)dt)2201f(t)dt-12 (3).

Les relations (2) et (3) permettent alors de conclure.

[<] Étude de fonctions [>] Inégalité arithmético-géométrique



Édité le 08-11-2019

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