[<] Étude de fonctions [>] Inégalité arithmético-géométrique
Par un argument de convexité, établir
.
Observer les inégalités suivantes par un argument de convexité:
Solution
La fonction est concave sur , la droite d’équation est sa tangente en 0 et la droite d’équation
supporte la corde joignant les points d’abscisses 0 et .
Le graphe d’une fonction concave est en dessous de ses tangentes et au dessus de ses cordes et cela fournit l’inégalité.
La fonction est convexe sur et sa tangente en a pour équation
Le graphe d’une fonction convexe est au dessus de chacune de ses tangentes et cela fournit l’inégalité.
Montrer que définie par est concave.
En déduire
Solution
est définie et de classe sur avec
est concave.
Puisque est concave,
c’est-à-dire
La fonction étant croissante,
Montrer
Solution
La fonction est convexe sur donc
d’où
puis l’inégalité voulue.
Soient et . Montrer
Soient tels que
Montrer que pour tous on a
Solution
La fonction est concave. En appliquant l’inégalité de concavité entre et on obtient
puis l’inégalité voulue.
Étudier la convexité de la fonction définie sur .
Soient et .
Établir
Solution
La fonction est de classe sur avec
La fonction est convexe sur .
Par la convexité de , on peut écrire pour tous et
soit encore
Par croissance de la fonction exponentielle,
Posons alors et pour écrire
Puisque la fonction exponentielle prend toute valeur strictement positive, l’inégalité qui précède vaut pour tous . Si l’un de ou de est nul, l’inégalité est immédiate11 1 Même dans le cas et pour lequel .. Finalement, l’inégalité souhaitée vaut pour tous .
(Inégalité de Hölder)
Soient tels que
En exploitant la concavité de , établir que pour tout , on a
Soient , déduire de ce qui précède:
Conclure que
Plus généralement, établir que pour tout et tous ,
Solution
Par la concavité de , on a pour tout et tout l’inégalité:
Appliquée à , elle donne
puis l’inégalité voulue. Enfin celle-ci reste vraie si ou .
Il suffit d’appliquer l’inégalité précédente à
De même, on a aussi
donc en sommant les inégalités obtenues puis en simplifiant on obtient celle voulue.
En reprenant l’inégalité du a) avec
puis en sommant les inégalités obtenues, on obtient celle voulue.
Soient des réels positifs. Établir
En déduire, pour tous réels positifs
(Entropie et inégalité de Gibbs)
On dit que est une distribution de probabilité de longueur lorsque les sont des réels strictement positifs de somme égale à . On introduit alors l’entropie de cette distribution définie par
Soit une distribution d’entropie de longueur . Vérifier
Soit une autre distribution d’entropie de longueur . Établir l’inégalité de Gibbs
(Inégalité de Jensen intégrale)
Soient une fonction convexe continue11 1 Lorsqu’une fonction convexe est définie sur un intervalle ouvert, elle est assurément continue (voir le sujet 4687). et une fonction continue à valeurs dans .
Montrer
(Inégalité d’entropie)
Soit convexe et dérivable sur intervalle non singulier.
Établir que pour tout on a l’inégalité
Soit continue. Établir
Soit continue, strictement positive et d’intégrale égale à 1. Montrer
Soient continues, strictement positives et d’intégrales sur égales à 1. En justifiant et en exploitant l’inégalité pour , montrer
Solution
étant convexe, la courbe est au dessus de chacune de ses tangentes.
Posons et considérons :
En intégrant sur , on obtient
car
est convexe sur car croît avex . L’inégalité précédente donne alors
puisque annule .
étant convexe et de tangente d’équation en 1, on a
Par suite,
Soit une fonction convexe dérivable. Montrer11 1 Ce résultat permet d’estimer la qualité de l’approximation de la valeur d’une intégrale d’une fonction convexe par l’aire d’un trapèze.
Soit continue, concave et vérifiant . Établir
Solution
Par un argument géométrique (trapèze sous la courbe) la concavité donne
On en déduit donc
Or
La relation (1) donne alors
Enfin
donne
Les relations (2) et (3) permettent alors de conclure.
[<] Étude de fonctions [>] Inégalité arithmético-géométrique
Édité le 23-02-2024
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