[<] Barycentre et parties convexes [>] Propriétés des fonctions convexes

 
Exercice 1  4188  Correction  

Trouver deux fonctions convexes définies sur dont la différence est périodique sans être constante.

Solution

Les fonctions f et g définies par f(x)=x2+cos(x) et g(x)=x2 conviennent.

 
Exercice 2  1391  Correction  

Soient f et g: deux applications telles que f soit convexe et g soit à la fois convexe et croissante. Montrer que gf est convexe.

Solution

Soient a,b et λ[0;1],
Puisque f est convexe

f(λa+(1-λ)b)λf(a)+(1-λ)f(b).

Puisque g est croissante

(gf)(λa+(1-λ)b)g(λf(a)+(1-λ)f(b)).

Puisque g est convexe

(gf)(λa+(1-λ)b)λ(gf)(a)+(1-λ)(gf)(b).

Finalement, gf est convexe.

 
Exercice 3  1392  Correction  

Soit f:I une application continue strictement décroissante et convexe.
Étudier la convexité de la fonction f-1:f(I)I.

Solution

f réalise une bijection continue de I vers f(I). f-1 a même monotonie que f.
Soient y,zf(I) et λ[0;1], posons a=f-1(y) et b=f-1(z).

f(λa+(1-λ)b)λf(a)+(1-λ)f(b)

donne, sachant f-1 décroissante:

λa+(1-λ)bf-1(λf(a)+(1-λ)f(b)).

c’est-à-dire

λf-1(y)+(1-λ)f-1(z)f-1(λy+(1-λ)z).

Ainsi f-1 est convexe.

 
Exercice 4  4686   

Soit f une fonction réelle définie sur ]0;+[. Montrer que la fonction xxf(x) est convexe si, et seulement si, la fonction xf(1/x) l’est aussi.

 
Exercice 5  3049      X (MP)

Soit f: une fonction continue.

  • (a)

    On suppose, pour tous réels x et y dans

    f(x+y2)f(x)+f(y)2.

    Montrer que la fonction f est convexe.

  • (b)

    On suppose qu’il existe un réel M tel que

    (x,y)2,|f(x+y)+f(x-y)-2f(x)|My2.

    En considérant les fonctions xf(x)±Mx2/2, montrer que f est dérivable11 1 On pourra exploiter librement le résultat du sujet 4687..

 
Exercice 6  4692    

Soient f,g:[0;1] deux fonctions convexes et dérivables. On suppose

x[0;1],max(f(x),g(x))0.

Montrer qu’il existe λ[0;1] tel que la fonction h=(1-λ)f+λg soit positive.

 
Exercice 7  4172      CENTRALE (MP)Correction  

Soient I un intervalle de et f:I. On pose:

I*={λ|supxI(λx-f(x))<+}

et, pour λI*,

f*(λ)=supxI(λx-f(x)).
  • (a)

    Montrer que I* est un intervalle et que f* y est convexe.

  • (b)

    On suppose que f est de classe 𝒞1 et que f est strictement croissante. Montrer

    xI,f*(f(x))=xf(x)-f(x).

Solution

  • (a)

    Soient λ et μ deux éléments de I* et θ[0;1]. Étudions ξ=(1-θ)λ+θμ. Pour tout xI,

    λx-f(x)f*(λ)etμx-f(x)f*(μ).

    En multipliant ces deux équations respectivement par les réels positifs 1-θ et θ puis en sommant, on obtient

    ξx-f(x)(1-θ)f*(λ)+θf*(μ).

    Ainsi, ξI* et f(ξ)(1-θ)f*(λ)+θf*(μ). On en déduit que I* est un intervalle et f* est convexe.

  • (b)

    La fonction f est convexe et son graphe est donc au-dessus de chacune de ses tangentes. Pour aI, on a donc

    xI,f(x)f(a)+f(a)(x-a)

    soit

    xI,f(a)x-f(x)af(a)-f(a). (1)

    On en déduit que f(a) est élément de I* et

    f*(f(a))=supxI(f(a)x-f(x))af(a)-f(a).

    De plus, l’inégalité (1) est une égalité pour x=a et donc

    f*(f(a))=maxxI(f(a)x-f(x))=af(a)-f(a).

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Édité le 08-11-2019

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