Exercice 1 5521 Correction

Donner un exemple de fonction convexe définie sur $ℝ$ , non minorée et qui ne soit pas une fonction affine.

Solution

La fonction $x \mapsto - x + e^{- x}$ convient: elle est convexe en tant que somme de deux fonctions convexes et elle n’est pas minorée car de limite $- \infty$ en $+ \infty$ .

Exercice 2 4188 Correction

Trouver deux fonctions convexes définies sur $ℝ$ dont la différence est périodique sans être constante.

Solution

Les fonctions $f$ et $g$ définies par $f (x) = x^{2} + \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ conviennent.

Exercice 3 1391 Correction

Soient $f$ et $g : ℝ \to ℝ$ deux applications telles que $f$ soit convexe et $g$ soit à la fois convexe et croissante. Montrer que $g \circ f$ est convexe.

Solution

Soient $a, b \in ℝ$ et $λ \in [0; 1]$ ,
Puisque $f$ est convexe

f (λ a + (1 - λ) b) \leq λ f (a) + (1 - λ) f (b) .

Puisque $g$ est croissante

(g \circ f) (λ a + (1 - λ) b) \leq g (λ f (a) + (1 - λ) f (b)) .

Puisque $g$ est convexe

(g \circ f) (λ a + (1 - λ) b) \leq λ (g \circ f) (a) + (1 - λ) (g \circ f) (b) .

Finalement, $g \circ f$ est convexe.

Exercice 4 1392 Correction

Soit $f : I \to ℝ$ une application continue strictement décroissante et convexe.
Étudier la convexité de la fonction $f^{- 1} : f (I) \to I$ .

Solution

$f$ réalise une bijection continue de $I$ vers $f (I)$ . $f^{- 1}$ a même monotonie que $f$ .
Soient $y, z \in f (I)$ et $λ \in [0; 1]$ , posons $a = f^{- 1} (y)$ et $b = f^{- 1} (z)$ .

f (λ a + (1 - λ) b) \leq λ f (a) + (1 - λ) f (b)

donne, sachant $f^{- 1}$ décroissante:

λ a + (1 - λ) b \geq f^{- 1} (λ f (a) + (1 - λ) f (b))

c’est-à-dire

λ f^{- 1} (y) + (1 - λ) f^{- 1} (z) \geq f^{- 1} (λ y + (1 - λ) z) .

Ainsi $f^{- 1}$ est convexe.

Exercice 5 4686

Soit $f$ une fonction réelle définie sur $] 0; + \infty [$ . Montrer que la fonction $x \mapsto x f (x)$ est convexe si, et seulement si, la fonction $x \mapsto f (1 / x)$ l’est aussi.

Exercice 6 3049 X (MP)

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue.

(a)

On suppose

$f (\frac{x + y}{2}) \leq \frac{f (x) + f (y)}{2} pour tous x, y \in ℝ .$

Montrer que la fonction $f$ est convexe.
(b)

On suppose qu’il existe un réel $M$ tel que

$| f (x + y) + f (x - y) - 2 f (x) | \leq M y^{2} pour tous x, y \in ℝ .$

En considérant les fonctions $x \mapsto f (x) \pm M x^{2} / 2$ , montrer que $f$ est dérivable¹¹ 1 On pourra exploiter librement le résultat du sujet 4687..

Exercice 7 4692

Soient $f, g : [0; 1] \to ℝ$ deux fonctions convexes et dérivables. On suppose

\forall x \in [0; 1], \max (f (x), g (x)) \geq 0 .

Montrer qu’il existe $λ \in [0; 1]$ tel que la fonction $h = (1 - λ) f + λ g$ soit positive.

Exercice 8 4172 CENTRALE (MP)Correction

Soient $I$ un intervalle de $ℝ$ et $f : I \to ℝ$ . On pose:

I^{*} = {λ \in ℝ | sup_{x \in I} (λ x - f (x)) < + \infty}

et, pour $λ \in I^{*}$ ,

f^{*} (λ) = sup_{x \in I} (λ x - f (x)) .

(a)

Montrer que $I^{*}$ est un intervalle et que $f^{*}$ y est convexe.
(b)

On suppose que $f$ est de classe $𝒞^{1}$ et que $f^{'}$ est strictement croissante. Montrer

$\forall x \in I, f^{*} (f^{'} (x)) = x f^{'} (x) - f (x) .$

Solution

(a)

Soient $λ$ et $μ$ deux éléments de $I^{*}$ et $θ \in [0; 1]$ . Étudions $ξ = (1 - θ) λ + θ μ$ . Pour tout $x \in I$ ,

$λ x - f (x) \leq f^{*} (λ) et μ x - f (x) \leq f^{*} (μ) .$

En multipliant ces deux équations respectivement par les réels positifs $1 - θ$ et $θ$ puis en sommant, on obtient

$ξ x - f (x) \leq (1 - θ) f^{*} (λ) + θ f^{*} (μ) .$

Ainsi, $ξ \in I^{*}$ et $f (ξ) \leq (1 - θ) f^{*} (λ) + θ f^{*} (μ)$ . On en déduit que $I^{*}$ est un intervalle et $f^{*}$ est convexe.
(b)

La fonction $f$ est convexe et son graphe est donc au-dessus de chacune de ses tangentes. Pour $a \in I$ , on a donc

$\forall x \in I, f (x) \geq f (a) + f^{'} (a) (x - a)$

soit

$\forall x \in I, f^{'} (a) x - f (x) \leq a f^{'} (a) - f (a) .$ (1)

On en déduit que $f^{'} (a)$ est élément de $I^{*}$ et

$f^{*} (f^{'} (a)) = sup_{x \in I} (f^{'} (a) x - f (x)) \leq a f^{'} (a) - f (a) .$

De plus, l’inégalité (1) est une égalité pour $x = a$ et donc

$f^{*} (f^{'} (a)) = \max_{x \in I} (f^{'} (a) x - f (x)) = a f^{'} (a) - f (a) .$

[>] Propriétés des fonctions convexes

Édité le 29-08-2023

Étude de convexité