Exercice 1 3961

(Calcul par anagramme)

Soient $p$ , $q$ et $n$ des entiers naturels.

(a)

Un mot est constitué de $p$ fois le caractère A et $q$ fois le caractère B. Combien peut-on constituer d’anagrammes de ce mot?
(b)

On suppose $p \geq 1$ . En considérant les symboles \og $1$ \fg et \og $+$ \fg, combien existe-t-il de familles $(x_{1}, \dots, x_{p}) \in ℕ^{p}$ vérifiant $x_{1} + \dots + x_{p} = n$ ?
(c)

Même question avec $(x_{1}, \dots, x_{p}) \in {(ℕ^{*})}^{p}$ .

Exercice 2 3960 Correction

(a)

Combien existe-t-il de suites strictement croissante de $p$ entiers choisis dans ${1, \dots, n}$ ?
(b)

Application : Combien existe-t-il de suite $(x_{1}, \dots, x_{p})$ avec

$x_{1} + \dots + x_{p} \leq n et x_{1}, \dots, x_{p} \in ℕ^{*} .$
(c)

Même question avec

$x_{1} + \dots + x_{p} = n et x_{1}, \dots, x_{p} \in ℕ^{*} .$

Solution

(a)

Une suite strictement croissante de $p$ entiers dans ${1, \dots, n}$ est entièrement déterminée par le choix de ses éléments qu’il suffit alors d’ordonner. Il y en a donc

$(\binom{n}{p}) .$
(b)

À chaque suite $(x_{1}, \dots, x_{p})$ vérifiant $x_{1} + \dots + x_{p} \leq n$ et $x_{1}, \dots, x_{p} \in ℕ^{*}$ on peut associer une suite strictement croissante $(y_{1}, \dots, y_{p})$ d’éléments de ${1, \dots, n}$ en posant

$y_{k} = x_{1} + \dots + x_{k} .$

Inversement, à une suite $(y_{1}, \dots, y_{p})$ comme au dessus correspond une unique suite $(x_{1}, \dots, x_{p})$ comme voulue avec

$x_{1} = y_{1}, x_{k} = y_{k} - y_{k - 1} pour k \geq 2 .$

Il y a donc autant de suites $(x_{1}, \dots, x_{p})$ vérifiant $x_{1} + \dots + x_{p} \leq n$ et $x_{1}, \dots, x_{p} \in ℕ^{*}$ que de suite strictement croissantes de $p$ éléments dans ${1, \dots, n}$ , soit

$(\binom{n}{p}) .$
(c)

La condition $x_{1} + \dots + x_{p} = n$ est remplie quand $x_{1} + \dots + x_{p} \leq n$ mais pas $x_{1} + \dots + x_{p} \leq n - 1$ . Le nombre de suite cherché est donc

$(\binom{n}{p}) - (\binom{n - 1}{p}) = (\binom{n - 1}{p - 1}) .$

Exercice 3 3930

(Calcul par les familles croissantes)

Soient $n \in ℕ$ et $p \in ℕ^{*}$ .

Il existe ¹¹ 1 Voir le sujet 4437 où l’on a simplement opéré un glissement sur l’ensemble des valeurs en considérant $⟦ 0; n ⟧$ au lieu de $⟦ 1; n + 1 ⟧$ . $(\binom{n + p}{p})$ familles croissantes de longueur $p$ constituées d’éléments de $⟦ 0; n ⟧$ .

(a)

Combien existe-t-il de familles $(x_{1}, \dots, x_{p}) \in ℕ^{p}$ vérifiant $x_{1} + \dots + x_{p} \leq n$ ?
(b)

Même question avec la condition $x_{1} + \dots + x_{p} = n$ .

Exercice 4 1535

(Calcul par récurrence)

Soient $n \in ℕ$ et $p \in ℕ^{*}$ . On note $C_{n}^{p}$ le nombre de familles $(x_{1}, \dots, x_{p}) \in ℕ^{p}$ vérifiant la condition $x_{1} + \dots + x_{p} = n$ .

(a)

Établir

$C_{n}^{p + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_{k}^{p} .$
(b)

En déduire

$C_{n}^{p} = (\binom{n + p - 1}{n}) .$

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Édité le 12-05-2025

Composition d'un entier