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Exercice 1  1527  

Soient A, B et C trois parties d’un ensemble fini E. Exprimer Card(ABC) en fonction des cardinaux de A, B, C, AB, BC, CA et ABC.

 
Exercice 2  1526   

Soit f:EF une application au départ d’un ensemble fini non vide E et à valeurs dans un ensemble F. Montrer

f est injectiveCard(f(E))=Card(E).
 
Exercice 3  1528   Correction  

Soient A et B deux parties de E et F.
Étant donnée une application f:EF, est-il vrai que:

  • (a)

    Si A est une partie finie de E alors f(A) est une partie finie de F.

  • (b)

    Si f(A) est une partie finie de F alors A est une partie finie de E.

  • (c)

    Si B est une partie finie de F alors f-1(B) est une partie finie de E.

  • (d)

    Si f-1(B) est une partie finie de E alors B est une partie finie de F?

Solution

  • (a)

    oui, car si A={x1,,xn} alors f(A)={f(x1),,f(xn)} est fini.

  • (b)

    non, il suffit de considérer une fonction constante définie sur un ensemble infini.

  • (c)

    non, il suffit de considérer une fonction constante définie sur un ensemble infini.

  • (d)

    non, il suffit de considérer une partie B formée par une infinité de valeurs non prises par f.

 
Exercice 4  2362     CENTRALE (MP)

Soit E un ensemble fini de cardinal n. Calculer:

  • (a)

    XECard(X)

  • (b)

    X,YECard(XY)

  • (c)

    X,YECard(XY).

 
Exercice 5  4441   

Soit E un ensemble à n éléments avec n2. Combien existe-t-il de paires {X,Y} constituées de parties de E non vides et disjointes?

 
Exercice 6  3044      X (MP)

Montrer qu’un ensemble E est infini si, et seulement si, pour toute application f:EE, il existe une partie A non vide et distincte de E telle que f(A)A.

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Édité le 08-11-2019

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