Soient $A,B\in {𝒫}^{*}$.

$(⟸)$ Si $A=B$ alors $A\cap B=A\cup B$ et donc $d(A,B)=1-1=0$.

$(⟹)$ Si $d(A,B)=0$ alors $\mathrm{Card}(A\cap B)=\mathrm{Card}(A\cup B)$. Or $A\cap B\subset A\cup B$. Par inclusion et égalité des cardinaux, il vient $A\cap B=A\cup B$. On en déduit $A=B$ assez immédiatement.

Soient $A,B,C\in {𝒫}^{*}$.

Cas: $C\subset A\cup B$.

On a $A\cup C\subset A\cup B$ donc $\mathrm{Card}(A\cup C)\le \mathrm{Card}(A\cup B)$ et alors

	$d(A,C)$	$=1-{\displaystyle \frac{\mathrm{Card}(A\cap C)}{\mathrm{Card}(A\cup C)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{Card}(A\cup C)-\mathrm{Card}(A\cap C)}{\mathrm{Card}(A\cup C)}}$
		$\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{Card}(A\cup C)-\mathrm{Card}(A\cap C)}{\mathrm{Card}(A\cup B)}}\text{.}$

De même,

$$d(C,B)\ge \frac{\mathrm{Card}(B\cup C)-\mathrm{Card}(B\cap C)}{\mathrm{Card}(A\cup B)}$$

et donc

$$d(A,C)+d(C,B)\ge \frac{\mathrm{Card}(A\cup C)+\mathrm{Card}(B\cup C)-\mathrm{Card}(A\cap C)-\mathrm{Card}(B\cap C)}{\mathrm{Card}(A\cup B)}\text{.}$$

Pour obtenir l’inégalité voulue, il suffit alors de vérifier

	$\mathrm{Card}(A\cup C)+\mathrm{Card}(B\cup C)$	$-\mathrm{Card}(A\cap C)-\mathrm{Card}(B\cap C)$		($*$)
		$\ge \mathrm{Card}(A\cup B)-\mathrm{Card}(A\cap B)\text{.}$

Pour cela on introduit

	$a$	$=\mathrm{Card}\left(A\setminus (B\cup C)\right),$	$b$	$=\mathrm{Card}\left(B\setminus (A\cup C)\right),$	$c$	$=\mathrm{Card}(A\cap B\cap C)$
	$\alpha$	$=\mathrm{Card}(C\setminus A),$	$\beta$	$=\mathrm{Card}(C\setminus B),$	$\gamma$	$=\mathrm{Card}\left(C\setminus (A\cap B)\right)$

On a

	$\mathrm{Card}(A\cup C)$	$=a+\alpha +\beta +\gamma +c$	$\mathrm{Card}(A\cap C)$	$=\beta +c$
	$\mathrm{Card}(B\cup C)$	$=b+\alpha +\beta +\gamma +c$	$\mathrm{Card}(B\cap C)$	$=\alpha +c$
	$\mathrm{Card}(A\cup B)$	$=a+\alpha +\beta +\gamma +c+b$	$\mathrm{Card}(A\cap B)$	$=\gamma +c$

et l’inégalité ($*$ ‣ (b)) se relit

	$(a+\alpha +\beta +\gamma +c)+(b+\alpha +\beta +\gamma +c)$	$-(\beta +c)-(\alpha +c)$
		$\ge (a+\alpha +\beta +\gamma +c+b)-(\gamma +c)\text{.}$

Après simplification, cela revient à $2\gamma \ge 0$ ce qui est vraie.

Ainsi, l’inégalité $d(A,B)\le d(A,C)+d(C,B)$ est établie lorsque $C\subset A\cup B$.

Cas général:

Posons $D=(A\cup B)\cap C$ de sorte que $D\subset A\cup B$. On sait alors

$$d(A,B)\le d(A,D)+d(D,B)\text{.}$$

Or $A\cap D=A\cap C$ et $A\cup D\subset A\cup C$ donc

$$d(A,D)=1-\frac{\mathrm{Card}(A\cap D)}{\mathrm{Card}(A\cup D)}=1-\frac{\mathrm{Card}(A\cap C)}{\mathrm{Card}(A\cup D)}\le 1-\frac{\mathrm{Card}(A\cap C)}{\mathrm{Card}(A\cup C)}=d(A,C)\text{.}$$

De la même façon, $d(D,B)\le d(C,B)$ et l’on obtient donc $d(A,B)\le d(A,C)+d(C,B)$.