[<] Partition d'un entier

 
Exercice 1  4434  

Soient n et p. Proposer des preuves combinatoires11 1 Une preuve combinatoire est une justification réalisée par dénombrement. Par exemple, en calculant de deux façons différentes le cardinal d’un même ensemble. des formules:

  • (a)

    k=0n(nk)=2n

  • (b)

    (nn-p)=(np)

  • (c)

    (np)+(np+1)=(n+1p+1).

 
Exercice 2  1533   Correction  

(Formule de Chu-Vandermonde)

Soient p,q et n0;p+q. Proposer une démonstration par dénombrement de l’égalité

(p+qn)=k=0n(pk)(qn-k).

Solution

Soit E un ensemble à p+q éléments séparé en deux parties disjointes E et E′′ de cardinaux p et q.
Il y a exactement (p+qn) parties à n éléments dans E.
Or pour former une partie à n élément de E, on peut pour chaque k0;n commencer par choisir k éléments dans E avant d’en choisir n-k dans E′′. Il y a (pk)(qn-k) possibilités pour chaque k0;n puis au total k=0n(pk)(qn-k) possibilités d’où l’identité.

 
Exercice 3  4435   

Soient E un ensemble à n éléments et p un entier avec 1pn. En dénombrant les couples (A,x) constitués d’une partie A de E à p éléments et d’un élément x de A, établir l’identité

(np)=np(n-1p-1).

[<] Partition d'un entier



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax