[<] Système différentiel d'ordre 1 à coefficients constants

 
Exercice 1  5094   

(Équation différentielle linéaire d’ordre n à coefficients constants)

Soient a0,a1,,an-1. On dit qu’une fonction y: est solution de l’équation différentielle (E) symbolisée par

y(n)=an-1y(n-1)++a1y+a0y

si y est dérivable à l’ordre n et vérifie

y(n)(t)=an-1y(n-1)(t)++a1y(t)+a0y(t)pour tout t.
  • (a)

    À quelle condition sur α, la fonction teαt est-elle solution de (E)?

  • (b)

    Justifier que l’ensemble 𝒮 des solutions de l’équation différentielle (E) forme un sous-espace vectoriel de l’espace E constitué des fonctions indéfiniment dérivables de  vers .

  • (c)

    On suppose que y: est solution de (E) et l’on introduit

    X(t)=(y(t)y(t)y(n-1)(t))n,1()pour tout t.

    Déterminer An() telle que X soit solution du système différentiel X=AX.

  • (d)

    En déduire que l’espace 𝒮 est de dimension n.

  • (e)

    Application: On suppose que l’équation rn-(an-1rn-1++a1r+a0)=0 possède n racines distinctes. Exprimer la solution générale de (E).

 
Exercice 2  4668    

On étudie l’équation différentielle définie sur

(E):y(n)+an-1(x)y(n-1)++a1(x)y+a0(x)y=0

avec a0,a1,,an-1 des fonctions continues de dans .

Soit x0 un réel. Montrer qu’il existe α>0 tel que toutes les solutions non nulles de l’équation (E) s’annulent au plus n-1 fois dans l’intervalle [x0-α;x0+α].

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Édité le 08-11-2019

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