[<] Système différentiel d'ordre 1 à coefficients constants
(Équation différentielle linéaire d’ordre à coefficients constants)
Soient . On dit qu’une fonction est solution de l’équation différentielle symbolisée par
si est dérivable à l’ordre et vérifie
À quelle condition sur , la fonction est-elle solution de ?
Justifier que l’ensemble des solutions de l’équation différentielle forme un sous-espace vectoriel de l’espace constitué des fonctions indéfiniment dérivables de vers .
On suppose que est solution de et l’on introduit
Déterminer telle que soit solution du système différentiel .
En déduire que l’espace est de dimension .
Application : On suppose que l’équation possède racines distinctes. Exprimer la solution générale de .
Soient des fonctions continues.
Montrer qu’il existe tel que pour toute solution de l’équation différentielle
on vérifie
Solution
L’ensemble des solutions de un sous-espace vectoriel de dimension finie (égale à ) de l’espace des fonctions de classe de vers .
L’application définit une norme sur l’espace . L’application définit une forme linéaire sur . Par continuité des applications linéaires au départ d’un espace de dimension finie, il existe tel que ce qui se relit
On étudie l’équation différentielle définie sur
avec des fonctions continues de dans .
Soit un réel. Montrer qu’il existe tel que toutes les solutions non nulles de l’équation s’annulent au plus fois dans l’intervalle .
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Édité le 29-08-2023
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