Exercice 1 6024 Correction

On souhaite déterminer les fonctions $y : ℝ \to ℝ$ solutions del’équation différentielle

(E) : y^{'''} = y^{''} - y^{'} + y .

(a)

Justifier que l’ensemble $𝒮$ des solutions de l’équation différentielle $(E)$ forme un sous-espace vectoriel de l’espace constitué des fonctions indéfiniment dérivables de $ℝ$ vers $ℝ$ .

Pour $y : ℝ \to ℝ$ indéfiniment dérivable, on pose

Y (t) = {(\begin{matrix} y (t) & y^{'} (t) & y^{''} (t) \end{matrix})}^{⊤} \in ℳ_{3, 1} (ℝ) pour tout t \in ℝ .

(b)

Déterminer une matrice $A \in ℳ_{3} (ℝ)$ pour laquelle $y$ est solution de $(E)$ si, et seulement si, $Y^{'} = A Y$ .
(c)

En déduire l’espace $𝒮$ des solutions de $(E)$ .

Solution

(a)

Soit $y : ℝ \to ℝ$ une solution de $(E)$ .

Par récurrence sur $n \in ℕ$ , montrons que $y$ est de classe $𝒞^{n + 3}$ .

Pour $n = 0$ , la fonction $y$ est trois fois dérivable et $y^{'''} = y^{''} - y^{'} + y$ est continue donc $y$ est de classe $𝒞^{3}$ .

Supposons la propriété vraie au rang $n \in ℕ$ .

La fonction $y$ est trois fois dérivable avec $y^{'''} = y^{''} - y^{'} + y$ de classe $𝒞^{n + 1}$ donc $y$ est de classe $𝒞^{n + 4}$ .

La récurrence est établie.

L’ensemble des solutions de $(E)$ est donc inclus dans l’espace $𝒞^{\infty} (ℝ, ℝ)$ .

On vérifie sans peine que l’ensemble des solutions est non vide et stable par combinaison linéaire: c’est un sous-espace vectoriel de $𝒞^{\infty} (ℝ, ℝ)$ .
(b)

La matrice

$A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix})$

convient.
(c)

Après calculs, $χ_{A} = X^{3} - X^{2} + X - 1 = (X - 1) (X^{2} + 1)$ La matrice $A$ est diagonalisable dans $ℳ_{3} (ℂ)$ : $A = P D P^{- 1}$ avec

$P = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & - i \\ 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}) et D = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & - i \end{matrix}) .$

Après résolution de l’équation $Z^{'} = A Z$ d’inconnue $Z : ℝ \to ℳ_{3, 1} (ℂ)$ , on obtient la solution générale

$Z (t) = λ e^{t} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + μ e^{i t} (\begin{matrix} 1 \\ i \\ - 1 \end{matrix}) + ν e^{- i t} (\begin{matrix} 1 \\ - i \\ - 1 \end{matrix}) avec λ, μ, ν \in ℂ .$

Parmi ces solutions, les solutions réelles sont obtenues pour $Z = \bar{Z}$ ce qui donne $λ \in ℝ$ et $ν = \bar{μ}$ . En écrivant $μ = α + i β$ avec $α, β \in ℝ$ , on obtient la solution générale à valeurs réelles de l’équation $Y^{'} = A Y$

$Y (t) = λ e^{t} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + 2 α (\begin{matrix} \cos (t) \\ - \sin (t) \\ - \cos (t) \end{matrix}) + 2 β ν (\begin{matrix} - 2 \sin (t) \\ - 2 \cos (t) \\ 2 \sin (t) \end{matrix}) avec λ, α, β \in ℝ .$

On peut alors exprimer la solution générale de $(E)$ :

$y (t) = λ e^{t} + 2 α \cos (t) - 2 β \sin (t) avec λ, α, β \in ℝ .$

Plus simplement compte tenu de la généralité des paramètres, on peut exprimer

$y (t) = λ e^{t} + α \cos (t) + β \sin (t) avec λ, α, β \in ℝ .$

Exercice 2 5094

(Équation différentielle linéaire d’ordre $n$ à coefficients constants)

Soient $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1} \in ℂ$ . On dit qu’une fonction $y : ℝ \to ℂ$ est solution de l’équation différentielle $(E)$ symbolisée par

y^{(n)} = a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y

si $y$ est dérivable à l’ordre $n$ et vérifie

y^{(n)} (t) = a_{n - 1} y^{(n - 1)} (t) + \dots + a_{1} y^{'} (t) + a_{0} y (t) pour tout t \in ℝ .

(a)

À quelle condition sur $α \in ℂ$ , la fonction $t \mapsto e^{α t}$ est-elle solution de $(E)$ ?
(b)

Justifier que l’ensemble $𝒮$ des solutions de l’équation différentielle $(E)$ forme un sous-espace vectoriel de l’espace $E$ constitué des fonctions indéfiniment dérivables de $ℝ$ vers $ℂ$ .
(c)

On suppose que $y : ℝ \to ℂ$ est solution de $(E)$ et l’on introduit

$X (t) = (\begin{matrix} y (t) \\ y^{'} (t) \\ ⋮ \\ y^{(n - 1)} (t) \end{matrix}) \in ℳ_{n,1} (ℂ) pour tout t \in ℝ .$

Déterminer $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ telle que $X$ soit solution du système différentiel $X^{'} = A X$ .
(d)

En déduire que l’espace $𝒮$ est de dimension $n$ .
(e)

Application : On suppose que l’équation $r^{n} - (a_{n - 1} r^{n - 1} + \dots + a_{1} r + a_{0}) = 0$ possède $n$ racines distinctes. Exprimer la solution générale de $(E)$ .

Exercice 3 5773 Correction

Soient $a_{0}, \dots, a_{n - 1} : [0; 1] \to ℝ$ des fonctions continues.

Montrer qu’il existe $k \in ℝ_{+}$ tel que pour toute solution $y$ de l’équation différentielle

(E) : y^{(n)} + a_{n - 1} (t) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (t) y^{'} + a_{0} y = 0

on vérifie

| y (0) | \leq k \int_{0}^{1} | y (t) | d t .

Solution

L’ensemble $𝒮$ des solutions de $(E)$ un sous-espace vectoriel de dimension finie (égale à $n$ ) de l’espace des fonctions de classe $𝒞^{n}$ de $[0; 1]$ vers $ℝ$ .

L’application $∥ \cdot ∥ : y \mapsto \int_{0}^{1} | y (t) | d t$ définit une norme sur l’espace $𝒮$ . L’application $φ : y \mapsto y (0)$ définit une forme linéaire sur $𝒮$ . Par continuité des applications linéaires au départ d’un espace de dimension finie, il existe $k \in ℝ_{+}$ tel que $| φ (\cdot) | \leq k ∥ \cdot ∥$ ce qui se relit

| y (0) | \leq k \int_{0}^{1} | y (t) | d t pour tout y \in 𝒮 .

Exercice 4 4668

On étudie l’équation différentielle définie sur $ℝ$

(E) : y^{(n)} + a_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = 0

avec $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}$ des fonctions continues de $ℝ$ dans $ℝ$ .

Soit $x_{0}$ un réel. Montrer qu’il existe $α > 0$ tel que toutes les solutions non nulles de l’équation $(E)$ s’annulent au plus $n - 1$ fois dans l’intervalle $[x_{0} - α; x_{0} + α]$ .

[<] Système différentiel d'ordre 1 à coefficients constants

Édité le 04-06-2025

Équations scalaires d'ordre n