[<] Équation vectorielle d'ordre 1 [>] Système différentiel d'ordre 1 à coefficients constants

 
Exercice 1  387  Correction  

Résoudre le système différentiel suivant

{x1=(t+3)x1+2x2x2=-4x1+(t-3)x2.

Solution

C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène défini sur d’équation matricielle X=A(t)X avec

A(t)=(t+32-4t-3)etX(t)=(x1(t)x2(t)).

On a χA(t)=X2-2tX+(t2-1) et Sp(A)={t+1,t-1}. On détermine

Et+1(A)=Vect{(1-1)}etEt-1(A)=Vect{(1-2)}.

Pour

P=(11-1-2)

(matrice indépendante de t), on écrit A(t)=PD(t)P-1 avec

D(t)=(t+100t-1).

En posant Y=P-1X,

X=A(t)XY=D(t)Y.

En écrivant Y(t)=(y1(t)y2(t)),

Y=D(t)Y {y1=(t+1)y1y2=(t-1)y2
{y1=λe(t2+2t)/2y2=μe(t2-2t)/2 avec (λ,μ)2.

Sachant

X=PY=(11-1-2)(y1y2)

on conclut

X=A(t)XX(t)=λ(e(t2+2t)/2-e(t2+2t)/2)+μ(e(t2-2t)/2-2e(t2-2t)/2) avec (λ,μ)2.
 
Exercice 2  386  Correction  

Résoudre le système différentiel suivant

{x1=(2-t)x1+(t-1)x2x2=2(1-t)x1+(2t-1)x2.

Solution

C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène défini sur d’équation matricielle X=A(t)X avec

A(t)=(2-tt-12(1-t)2t-1)etX(t)=(x1(t)x2(t))

χA(t)=X2-(t+1)X+t.
Sp(A(t))={1,t}.
Si t1,

E1(A(t))=Vect{(11)}etEt(A(t))=Vect{(12)}.

Pour P=(1112) indépendant de t, A(t)=PD(t)P-1 avec D(t)=(100t) et cette relation est aussi vraie pour t=1.
En posant Y=P-1X,

X=A(t)XY=D(t)Y.

En écrivant

Y(t)=(y1(t)y2(t))

on a

Y=D(t)Y {y1=y1y2=ty2
{y1(t)=λety2(t)=μet2/2 avec (λ,μ)2.

Puisque

X=PY=(1112)(y1y2)

on obtient

X=A(t)XX(t)=λ(etet)+μ(et2/22et2/2) avec (λ,μ)2.
 
Exercice 3  388   Correction  

Résoudre le système différentiel

{x1=(1+t)x1+tx2-etx2=-tx1+(1-t)x2+et.

Solution

C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 défini sur d’équation matricielle X=A(t)X+B(t) avec

A(t)=(1+tt-t1-t)etB(t)=(-etet).

Commençons par résoudre l’équation homogène X=A(t)X. On a χA(t)=(X-1)2 et

E1(A(t))=Vect{(1-1)}.

Pour

P=(10-11)

(matrice indépendante de t), on écrit A(t)=PT(t)P-1 avec

T(t)=(1t01).

En posant Y=P-1X,

X=A(t)XY=T(t)Y.

En écrivant Y=(y1y2),

Y=T(t)Y {y1=y1+ty2y2=y2
{y1=μet+λ2t2ety2=λet avec (λ,μ)2.

Puisque

X=PY=(10-11)(y1y2)

on obtient

X=A(t)XX(t)=λ((t2/2)et(1-t2/2)et)X1(t)+μ(et-et)X2(t) avec (λ,μ)2.

La famille (X1,X2) forme un système fondamental de solutions de l’équation homogène.

Cherchons une solution particulière de la forme X(t)=λ(t)X1(t)+μ(t)X2(t) avec λ et μ fonctions dérivables.

X=A(t)X+B(t)λ(t)((t2/2)et(1-t2/2)et)+μ(t)(et-et)=(-etet)

λ(t)=0 et μ(t)=-t conviennent et X(t)=(-tettet) est solution particulière.

Finalement, on exprime la solution générale

X(t)=λ((t2/2)et(1-t2/2)et)+μ(et-et)+(-tettet) avec (λ,μ)2.
 
Exercice 4  385   Correction  

Résoudre le système différentiel réel suivant

{x=cos(t)x+sin(t)yy=-sin(t)x+cos(t)y.

Solution

Soit (x,y) solution sur .
On pose z=x+iy, on a z(t)=e-itz(t) donc z(t)=Ceie-it=Ceicos(t)+sin(t) avec C.
En écrivant C=A+iB avec A,B on peut conclure

x(t)=esin(t)(Acos(cos(t))-Bsin(cos(t))

et

y(t)=esin(t)(Bcos(cos(t))+Asin(cos(t)).

Vérification: il suffit de remonter les calculs.

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Édité le 08-11-2019

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