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Exercice 1  1320  Correction  

Soit A2n() une matrice vérifiant

A2+I2n=O2n.

Exprimer la solution générale de l’équation matricielle

X(t)=AX(t).

Solution

L’équation étudiée est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficient constant. Sa solution générale peut être exprimée par une exponentielle

X(t)=exp(tA)X(0)

avec

exp(tA)=k=0+tkk!Ak.

Or A2=-I2n donc, en séparant les termes d’indices pairs de ceux d’indices impairs de cette série absolument convergente

exp(tA)=p=0+(-1)p(2p)!t2pI2n+p=0+(-1)p(2p+1)!nnt2p+1A=cos(t)I2n+sin(t)A.

Ainsi la solution générale de l’équation étudiée est

X(t)=cos(t)X(0)+sin(t)AX(0).
 
Exercice 2  4664  

Soit An() une matrice annulant un polynôme réel de degré 2:

A2+pA+qIn=On avec (p,q)2.

Justifier que chaque solution de l’équation X=AX prend ses valeurs dans un plan vectoriel.

 
Exercice 3  2900    MINES (MP)

On munit l’espace des colonnes n,1() de sa structure euclidienne canonique.

Soit An(). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:

  • (i)

    la matrice A est antisymétrique;

  • (ii)

    chaque solution X du système différentiel X=AX est de norme constante.

 
Exercice 4  5227  

Soit An(). On étudie le système différentiel (Σ):X=AX d’inconnue X colonne à valeurs réelles.

  • (a)

    Soient Vn,1() une colonne vecteur propre de la matrice A et λ la valeur propre associée. Montrer que la fonction tX(t)=eλtV est solution sur du système (Σ).

  • (b)

    On suppose que la matrice A est diagonalisable et l’on introduit (V1,,Vn) une base de n,1() formée de colonnes vecteurs propres de A et l’on note λ1,,λn les valeurs propres associées. Montrer que la solution générale sur de (Σ) s’exprime

    X(t)=α1eλ1tV1++αneλntVn avec (α1,,αn)n.
 
Exercice 5  4102  Correction  

Soient A une matrice non inversible de n() et tX(t) une solution du système différentiel X=AX. Montrer que les valeurs prises par la fonction tX(t) sont incluses dans un hyperplan affine.

Solution

Puisque la matrice A n’est pas inversible, son rang est strictement inférieur à n et il existe donc un hyperplan H contenant l’image de A. Soit a1x1++anxn=0 une équation de cet hyperplan. Puisque les vecteurX(t) sont des valeurs prises par A, celles-ci appartiennent à l’hyperplan précédent et donc

a1x1(t)++anxn(t)=0.

On en déduit

(a1x1(t)++anxn(t))=0

et donc

a1x1(t)++anxn(t)=Cte.
 
Exercice 6  3670   Correction  

Soit An() une matrice dont aucune valeur propre n’est élément de 2iπ.

  • (a)

    Montrer que la matrice eA-In est inversible.

Soit B:n,1() une fonction continue et 1-périodique.

  • (b)

    Montrer que l’équation

    (E):X=AX+B(t)

    d’inconnue X:n,1() possède une unique solution 1-périodique.

Solution

  • (a)

    La matrice complexe A est assurément trigonalisable et l’on peut donc écrire A=PTP-1 avec

    PGLn()etT=(λ1*(0)λn) où λkSp(A).

    On a alors

    P-1(eA-In)P=eT-In=(eλ1-1*(0)eλn-1)

    avec

    1kn,eλk-10 car λk2iπ.

    On peut donc conclure eA-InGLn().

  • (b)

    La solution générale de l’équation (E) est de la forme

    X(t)=etAX0+X~(t)

    avec X~ solution particulière et X0n,1() colonne quelconque.
    Analyse: Soit X une solution 1-périodique. On a X(1)=X(0) et donc après résolution

    X0=(eA-In)-1(X~(0)-X~(1))

    ce qui détermine entièrement la solution X.

    Synthèse: Considérons la fonction définie comme au terme de l’analyse ci-dessus. Elle est solution de l’équation (E) et vérifie X(1)=X(0).
    Considérons alors la fonction donnée par Y(t)=X(t+1).
    On vérifie que Y est encore solution de (E) (car la fonction B est périodique) et puisque Y(0)=X(1)=X(0), les fonctions X et Y sont égales car solutions d’un même problème de Cauchy.
    Finalement, la fonction X est périodique.

 
Exercice 7  5105   

Soient An() une matrice de trace strictement positive et tX(t)n,1() une solution sur [0;+[ du système différentiel X=AX.

On suppose que la fonction X est bornée, montrer qu’il existe une ligne L1,n() non nulle11 1 La condition LX(t)=0 peut s’interpréter comme une orthogonalité pour le produit scalaire canonique sur n,1(): la solution X prend ses valeurs dans l’espace orthogonal au vecteur Lt. telle que LX(t)=0 pour tout t[0;+[.

 
Exercice 8  384   Correction  

Soient a,b(E) vérifiant ab=ba.

En considérant pour x0E, l’application t(exp(ta)exp(tb))x0, établir

exp(a+b)=exp(a)exp(b).

Solution

φ:texp(ta)exp(tb)x0 est dérivable et vérifie φ(t)=(a+b)φ(t). En effet,

(exp(ta)exp(tb))=aexp(ta)exp(tb)+exp(ta)bexp(tb)

or bexp(ta)=exp(ta)b car a et b commutent donc

(exp(ta)exp(tb))=(a+b)exp(ta)exp(tb).

De plus, φ(0)=x0 donc φ(t)=exp(t(a+b))x0. Puisque cela vaut pour tout x0,

exp(t(a+b))=exp(ta)exp(tb)

et, pour t=1, on obtient la relation demandée.

 
Exercice 9  3921      CENTRALE (MP)Correction  
  • (a)

    Soit Nn() nilpotente d’indice p. Montrer que (In,N,N2,,Np-1) est une famille libre.
    Exprimer

    et(λIn+N).
  • (b)

    Soit An() ayant pour unique valeur propre λ. Montrer que N=A-λIn est nilpotente.
    Montrer que les solutions du système différentiel X=AX sont toutes bornées sur si, et seulement si, λ est imaginaire pur et A=λIn.

  • (c)

    Soit An() de polynôme caractéristique

    (X-λ1)n1(X-λm)nm

    les λk étant deux à deux distincts. Soit f l’endomorphisme de n canoniquement associé à A. Montrer que

    n=k=1mKer(f-λkIdn)nk.

    En déduire l’existence d’une base de n dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs.

  • (d)

    Avec les notations de la question précédente. Montrer que les solutions de X=AX sont bornées si, et seulement si, les λk sont imaginaires purs et que A est diagonalisable.

  • (e)

    Montrer qu’une matrice antisymétrique réelle est diagonalisable.

Solution

  • (a)

    Supposons

    λ0In+λ1N++λp-1Np-1=On.

    En multipliant par Np-1, on obtient λ0Np-1=On car Np=On. Or Np-1On donc λ0=0.
    On montre de même successivement que λ1=0,…, λp-1=0.
    On conclut que la famille (In,N,N2,,Np-1) est libre.
    Puisque λIn et N commutent, on a

    et(λIn+N)=etλInetN=eλt(In+t1!N+t22!N2++tp-1(p-1)!Np-1).
  • (b)

    Le polynôme caractéristique de A est scindé dans [X] et possède une unique racine λ, on a donc

    χA(X)=(X-λ)n.

    En vertu du théorème de Cayley Hamilton

    Nn=(A-λIn)n=On.

    La matrice N s’avère donc nilpotente.
    Les solutions du système différentiel X=AX sont les fonctions

    tX(t)=etAX(0)=eλt.etNX(0).

    Si N est nulle et λi, il est clair que toutes les solutions sont bornées.
    Inversement, supposons les solutions toutes bornées. En choisissant X(0)Ker(N){On}, la solution

    tetAX(0)=eλtX(0)

    est bornée sur et nécessairement λi.
    Notons p l’indice de nilpotence de N et choisissons X(0)Ker(Np-1). La solution

    teλt.etNX(0)

    devant être bornée avec |eλt|=1, la fonction

    tX(0)+tNX(0)++tp-1(p-1)Np-1X(0)

    est elle aussi bornée. Or Np-1X(0)0 et donc cette solution ne peut pas être bornée si p-1>0.
    On en déduit p=1 puis N=On.

  • (c)

    Les polynômes (X-λk)nk sont deux à deux premiers entre eux. Par le théorème de Cayley Hamilton et le lemme de décomposition des noyaux, on obtient

    n=k=1mKer(f-λkIdn)nk.

    Une base adaptée à cette décomposition fournit une représentation matricielle Δ de f diagonale par blocs. Plus précisément, les blocs diagonaux sont de la forme

    λkIdnk+Nk avec Nknk=Onk.
  • (d)

    La matrice A est semblable à Δ et l’on peut donc écrire

    A=PΔP-1 avec P inversible.

    Les solutions de l’équation X=AX correspondent aux solutions de l’équation Y=ΔY via Y=P-1X.
    Les solutions de X=AX seront bornées si, et seulement si, celles de Y=ΔY le sont. En raisonnant par blocs et en exploitant le résultat du b), on peut affirmer que les solutions de X=AX sont bornées sur si, et seulement si, les λk sont imaginaires purs et les Nk tous nuls (ce qui revient à dire que A est diagonalisable).

  • (e)

    Supposons A antisymétrique réelle. Puisque A et At commutent

    (etA)¯tetA=etAt+tA=eOn=In.

    Soit X:tetA.X(0) une solution de l’équation X=AX. On a

    X(t)2=X(t)¯tX(t)=X(0)¯t(etA)¯tetAX(0)=X(0)2.

    Les solutions sont toutes bornées et donc A est diagonalisable à valeurs propres imaginaires pures.

 
Exercice 10  4665    

Soient An() une matrice dont tous les coefficients non diagonaux sont positifs et X0n,1() une colonne dont tous les coefficients sont aussi positifs.

Montrer que la solution sur [0;+[ du problème de Cauchy

{X=AXX(0)=X0

est une colonne dont tous les coefficients sont positifs.

 
Exercice 11  5095    

(Critère de Routh-Hurwitz)

Soit A2(). On dit que le système différentiel (Σ):X=AX est asymptotiquement stable lorsque toutes ses solutions sont de limite nulle11 1 Autrement dit, lorsque X désigne une colonne solution sur de (Σ), on vérifie que X(t) tend vers (00)t quand t croît vers +. en +.

Montrer que le système (Σ) est asymptotiquement stable si, et seulement si, tr(A)<0 et det(A)>0.

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Édité le 08-11-2019

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