[<] Système différentiel d'ordre 1 [>] Équations scalaires d'ordre n

 
Exercice 1  4650  

Résoudre sur le système différentiel

(Σ):{x=4x-2yy=3x-y.
 
Exercice 2  389  Correction  

Résoudre le système différentiel suivant

{x=4x-2yy=x+y.

Solution

C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène d’équation matricielle X=AX avec

A=(4-211)etX(t)=(x(t)y(t))

Après calculs, Sp(A)={2,3} avec

E2(A)=Vect{(11)}etE3(A)=Vect{(21)}.

On écrit alors A=PDP-1 avec

P=(1211)etD=(2003).

Pour Y=P-1X,

X=AXY=DY

et

Y=DYY=(λe2tμe3t) avec (λ,μ)2.

Finalement,

X=AXX(t)=λ(e2te2t)+μ(2e3te3t) avec (λ,μ)2.
 
Exercice 3  4651   

Résoudre sur le système différentiel

(Σ):{x=4x-2y+ety=3x-y+2et.
 
Exercice 4  3490   Correction  

Résoudre le système différentiel suivant

{x1=-x1+3x2+etx2=-2x1+4x2.

Solution

C’est un système différentiel de taille 2 linéaire à coefficients constant d’équation matricielle X=AX+B(t) avec

X=(x1x2),A=(-13-24) et B(t)=(et0).

Résolvons l’équation homogène associée X=AX.

On a χA=(X-1)(X-2), Sp(A)={1,2},

E1(A)=Vect{(32)}etE2(A)=Vect{(11)}

On a A=PDP-1 avec

P=(3121)etD=(1002)

et donc

X=AX X=PDP-1X
P-1X=DP-1X.

Posons Y=P-1X. On a Y=P-1X et donc

X=AXY=DY.

Posons Y=(y1y2).

Y=DY {y1=y1y2=2y2
{y1(t)=λ1ety2(t)=λ2e2t avec (λ1,λ2)2

Sachant

X=PY=(3121)(y1y2)

on obtient

X=AXX(t)=(3λ1et+λ2e2t2λ1et+λ2e2t)=λ1(3et2et)+λ2(e2te2t)

X1(t)=(3et2et) et X2(t)=(e2te2t) définissent un système fondamental de solutions.

Recherchon une solution particulière de la forme X(t)=λ1(t)X1(t)+λ2(t)X2(t) avec λ1,λ2 fonctions dérivables.

X=AX+B(t)λ1(t)X1(t)+λ2(t)X2(t)=B(t)

donc

X=AX+B(t) {3λ1(t)et+λ2(t)e2t=et2λ1(t)et+λ2(t)e2t=0
{λ1(t)=1λ2(t)=-2e-t

λ1(t)=t et λ2(t)=2e-t conviennent puis

X(t)=((3t+2)et(2t+2)et)

est solution particulière.

Finalement, la solution générale s’exprime

X(t)=λ1(3et2et)+λ2(e2te2t)+((3t+2)et(2t+2)et) avec (λ1,λ2)2

c’est-à-dire

{x1(t)=3λ1et+λ2e2t+(3t+2)etx2(t)=2λ1et+λ2e2t+(2t+2)et avec (λ1,λ2)2.
 
Exercice 5  390   Correction  

Résoudre le système différentiel suivant

{x=x+8y+ety=2x+y+e-3t.

Solution

C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 d’équation matricielle X=AX+B(t) avec

A=(1821),B(t)=(ete-3t)etX(t)=(x(t)y(t))

Après calculs, Sp(A)={5,-3} avec

E5(A)=Vect{(21)}etE-3(A)=Vect{(-21)}.

On écrit alors A=PDP-1 avec

P=(2-211),P-1=14(12-12)etD=(500-3).

Pour Y=P-1X, X est solution si, et seulement si, Y est solution de Y=DY+C(t) avec

C(t)=P-1B(t)=14(et+2e-3t-et+2e-3t).

Après résolution, on obtient

Y=DY+C(t)Y(t)=(λe5t-116et-116e-3tμe-3t-116et+12te-3t)

puis

X=AX+B(t)X(t)=λ(2e5te5t)+μ(-2e-3te-3t)+(-te-3t-18e-3t-18et+12te-3t-116e-3t).

On peut aussi procéder par variation des constantes après résolution séparée de l’équation homogène.

 
Exercice 6  4656  

Déterminer les solutions sur du système différentiel

(Σ):{x′′=3x+yy′′=2x+2y.
 
Exercice 7  391    MINES (MP)Correction  

Résoudre le système différentiel suivant

{x=y+zy=xz=x+y+z.

Solution

C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène d’équation matricielle X=AX avec

A=(011100111)etX(t)=(x(t)y(t)z(t))

Sp(A)={-1,2,0},

E-1(A)=Vect{(-110)},E2(A)=Vect{(213)}etE0(A)=Vect{(01-1)}.

On a A=PDP-1 avec

P=(-12011103-1)etD=(-100020000).

En posant Y=P-1X, on obtient

X=AXY=DY

or

Y=DYY(t)=(λe-tμe2tν) avec (λ,μ,ν)3

donc

X=AXX(t)=λ(-e-te-t0)+μ(2e2te2t3e2t)+ν(01-1) avec (λ,μ,ν)3.
 
Exercice 8  392   Correction  

Résoudre le système différentiel suivant

{x=2x-y+2zy=10x-5y+7zz=4x-2y+2z.

Solution

C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène d’équation matricielle X=AX avec

A=(2-1210-574-22)etX(t)=(x(t)y(t)z(t))

Par calculs, χA=X2(X+1). Après triangularisation, on a A=PTP-1 pour

P=(-110121201)etT=(-100001000).

Pour Y=P-1X, X=AXY=TY.

Y=TYY=(λe-tμt+νμ) avec (λ,μ,ν)3.

La solution générale du système est donc

X(t)=λ(-e-te-t2e-t)+μ(t2t+11)+ν(120) avec (λ,μ,ν)3.
 
Exercice 9  2902     MINES (MP)Correction  

Déterminer les solutions réelles du système différentiel linéaire

{x=x-zy=x+y+zz=-x-y+z.

Solution

A=(10-1111-1-11), χA=-(X-2)(X2-X+1).
La résolution complexe est alors facile puisque la matrice A est diagonalisable.

La résolution réelle est en revanche plus délicate à obtenir, détaillons-la!

X1=(1,0,-1)t est vecteur propre de A, complétons-le avec deux vecteurs d’un plan stable.

Les plans stables s’obtiennent en étudiant les éléments propres de At. Sp(At)=Sp(A)={2} et

E2(At)=Vect{(21-1)}.

Ainsi, le plan d’équation 2x+y-z=0 est stable par At.

Prenons X2=(0,1,1)t et X3=AX2=(-1,2,0)t. On vérifie AX3=X3-X2.

Ainsi, pour

P=(10-1012-110)

on a

P-1AP=(20000-1011)=B.

Pour X=(x,y,z)t et Y=(y1,y2,y3)t=P-1X, on a X=AXY=BY.

Ceci nous conduit à la résolution suivante

{y1=2y1y2=-y3y3=y2+y3 {y1=2y1y2=-y3y2′′-y2+y2=0
{y1(t)=αe2ty2(t)=e12t(λcos(32t)+μsin(32t))y3(t)=-y2(t)

Et l’on peut conclure via X=PY.

Une démarche alternative consiste à extraire trois solutions réelles indépendantes de la résolution complexe.

 
Exercice 10  4101   Correction  

On étudie le système différentiel

(S):{x=z-yy=x-zz=y-x.
  • (a)

    Ce système possède-t-il des solutions?

  • (b)

    Sans résoudre le système, montrer que pour tout réel t, le point M(t) de coordonnées (x(t),y(t),z(t)) se situe à l’intersection d’un plan et d’une sphère.

On note A la matrice exprimant le système différentiel précédent.

  • (c)

    Calculer A3 et exprimer sous forme matricielle la solution générale du système différentiel.

Solution

  • (a)

    (S) est un système différentiel linéaire homogène de taille 3, l’ensemble de ses solutions est un espace vectoriel de dimension 3.

  • (b)

    Posons m(t)=x(t)+y(t)+z(t). On constate m(t)=0 et donc le point M évolue sur un plan d’équation x+y+z=a. Posons d(t)=x2(t)+y2(t)+z2(t). On constate d(t)=0 et donc le point M évolue sur une sphère d’équation x2+y2+z2=R2.

  • (c)

    Le système s’écrit X=AX avec

    A=(0-1110-1-110).

    On vérifie A3=-3A et l’on en déduit A2n+1=(-3)nA et A2n+2=(-3)A2 puis

    exp(tA)=In+n=0+(-3)nt2n+1(2n+1)!A+n=1+(-3)nt2n+2(2n+2)!A2.

    Ainsi,

    exp(tA)=In+13sin(3t)A+13(1-cos(3t))A2

    et la solution générale du système est

    X(t)=X0+13sin(3t)AX0+13(1-cos(3t))A2X0.
 
Exercice 11  5098   
  • (a)

    Déterminer les fonctions réelles solutions du système différentiel

    (Σ):{x=-zy=x+zz=-x-y.
  • (b)

    À quelle condition sur (x(0),y(0),z(0)) les solutions du système (Σ) sont-elles bornées sur [0;+[?

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Édité le 08-11-2019

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