Exercice 1 4650

Résoudre sur $ℝ$ le système différentiel

(Σ) : {\begin{matrix} x^{'} & = 4 x - 2 y \\ y^{'} & = 3 x - y . \end{matrix}

Exercice 2 389 Correction

Résoudre le système différentiel suivant

{\begin{matrix} x^{'} & = 4 x - 2 y \\ y^{'} & = x + y . \end{matrix}

Solution

C’est un système différentiel linéaire d’ordre $1$ homogène d’équation matricielle $X^{'} = A X$ avec

A = (\begin{matrix} 4 & - 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}) et X (t) = (\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}) .

Après calculs, $Sp (A) = {2,3}$ avec

E_{2} (A) = Vect {(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})} et E_{3} (A) = Vect {(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})} .

On écrit alors $A = P D P^{- 1}$ avec

P = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}) et D = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) .

Pour $Y = P^{- 1} X$ ,

X^{'} = A X \Leftrightarrow Y^{'} = D Y

Y^{'} = D Y \Leftrightarrow Y = (\begin{matrix} λ e^{2 t} \\ μ e^{3 t} \end{matrix}) avec (λ, μ) \in ℝ^{2} .

Finalement,

X^{'} = A X \Leftrightarrow X (t) = λ (\begin{matrix} e^{2 t} \\ e^{2 t} \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 2 e^{3 t} \\ e^{3 t} \end{matrix}) avec (λ, μ) \in ℝ^{2} .

Exercice 3 2125 SAINT CYR (MP)Correction

Soit

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) .

(a)

Donner des matrices $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $A = P D P^{- 1}$ .
(b)

On considère le système différentiel

${\begin{matrix} f^{'} (t) & = g (t) + h (t) \\ g^{'} (t) & = f (t) \\ h^{'} (t) & = f (t) + g (t) + h (t) . \end{matrix}$

Exprimer ce système sous forme matricielle d’inconnue une colonne $X (t)$ .
(c)

En posant $Y (t) = P^{- 1} X (t)$ déterminer les expressions de $f (t)$ , $g (t)$ et $h (t)$ solutions du système précédent.

Solution

(a)

Après calculs,

$χ_{A} (X) = X (X + 1) (X - 2)$

et

$E_{0} (A) = Vect {(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})} E_{- 1} (A) = Vect {(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})} E_{2} (A) = Vect {(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})} .$

On peut donc écrire $A = P D P^{- 1}$ avec

$P = (\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 3 \end{matrix}) \in {GL}_{3} (ℝ) et D = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) .$
(b)

Posons $X (t) = {(\begin{matrix} f (t) & g (t) & h (t) \end{matrix})}^{⊤}$ . Le système étudié équivaut à l’équation matricielle $X^{'} (t) = A X (t)$ .
(c)

Pour $f, g, h : ℝ \to ℝ$ fonctions dérivables, la fonction $t \mapsto X (t)$ est dérivable et aussi l’est la fonction $t \mapsto Y (t)$ avec $Y^{'} (t) = P^{- 1} X^{'} (t)$ .

Les fonctions $f, g, h$ sont solutions du système différentiel si, et seulement si, $Y^{'} (t) = D Y (t)$ . La solution générale de cette équation matricielle s’exprime

$Y (t) = (\begin{matrix} λ \\ μ e^{- t} \\ ν e^{2 t} \end{matrix}) avec (λ, μ, ν) \in ℝ^{3} .$

Par la relation $X (t) = P Y (t)$ , on obtient l’expression des fonctions $f$ , $g$ et $h$

${\begin{matrix} f (t) & = μ e^{- t} + ν e^{2 t} \\ g (t) & = λ \\ h (t) & = λ + μ e^{- t} + ν e^{2 t} \end{matrix} avec (λ, μ, ν) \in ℝ^{3} .$

Exercice 4 4651

Résoudre sur $ℝ$ le système différentiel

(Σ) : {\begin{matrix} x^{'} & = 4 x - 2 y + e^{t} \\ y^{'} & = 3 x - y + 2 e^{t} . \end{matrix}

Exercice 5 3490 Correction

Déterminer les fonctions à valeurs réelles solutions du système différentiel suivant

{\begin{matrix} x_{1}^{'} & = - x_{1} + 3 x_{2} + e^{t} \\ x_{2}^{'} & = - 2 x_{1} + 4 x_{2} . \end{matrix}

Solution

C’est un système différentiel de taille $2$ linéaire à coefficients constant d’équation matricielle $X^{'} = A X + B (t)$ avec

X = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}), A = (\begin{matrix} - 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) et B (t) = (\begin{matrix} e^{t} \\ 0 \end{matrix}) .

On a $χ_{A} = (X - 1) (X - 2)$ , $Sp (A) = {1,2}$ ,

E_{1} (A) = Vect {(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})} et E_{2} (A) = Vect {(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})} .

On a $A = P D P^{- 1}$ avec

P = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}) et D = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})

et donc

	$X^{'} = A X + B (t)$	$\Leftrightarrow X^{'} = P D P^{- 1} X + B (t)$
		$\Leftrightarrow P^{- 1} X^{'} = D P^{- 1} X + P^{- 1} B (t) .$

avec

P^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{matrix})

Posons $Y = P^{- 1} X$ . On a $Y^{'} = P^{- 1} X^{'}$ et donc

X^{'} = A X \Leftrightarrow Y^{'} = D Y + P^{- 1} B (t) .

Posons $Y = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})$ .

	$Y^{'} = D Y + P^{- 1} B (t)$	$\Leftrightarrow {\begin{matrix} y_{1}^{'} & = y_{1} + e^{t} \\ y_{2}^{'} & = 2 y_{2} - 2 e^{t} \end{matrix}$
		$\Leftrightarrow {\begin{matrix} y_{1} (t) & = λ_{1} e^{t} + t e^{t} \\ y_{2} (t) & = λ_{2} e^{2 t} + 2 e^{t} \end{matrix} avec (λ_{1}, λ_{2}) \in ℝ^{2} .$

Sachant

X = P Y = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})

on obtient l’expression de la solution générale

X (t) = λ_{1} (\begin{matrix} 3 e^{t} \\ 2 e^{t} \end{matrix}) + λ_{2} (\begin{matrix} e^{2 t} \\ e^{2 t} \end{matrix}) + (\begin{matrix} (3 t + 2) e^{t} \\ (2 t + 2) e^{t} \end{matrix}) avec (λ_{1}, λ_{2}) \in ℝ^{2}

c’est-à-dire

{\begin{matrix} x_{1} (t) & = 3 λ_{1} e^{t} + λ_{2} e^{2 t} + (3 t + 2) e^{t} \\ x_{2} (t) & = 2 λ_{1} e^{t} + λ_{2} e^{2 t} + (2 t + 2) e^{t} \end{matrix} avec (λ_{1}, λ_{2}) \in ℝ^{2} .

Exercice 6 390 Correction

Résoudre le système différentiel suivant

{\begin{matrix} x^{'} & = x + 8 y + e^{t} \\ y^{'} & = 2 x + y + e^{- 3 t} . \end{matrix}

Solution

C’est un système différentiel linéaire d’ordre $1$ d’équation matricielle $X^{'} = A X + B (t)$ avec

A = (\begin{matrix} 1 & 8 \\ 2 & 1 \end{matrix}), B (t) = (\begin{matrix} e^{t} \\ e^{- 3 t} \end{matrix}) et X (t) = (\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}) .

Après calculs, $Sp (A) = {5, - 3}$ avec

E_{5} (A) = Vect {(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})} et E_{- 3} (A) = Vect {(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})} .

On écrit alors $A = P D P^{- 1}$ avec

P = (\begin{matrix} 2 & - 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}), P^{- 1} = \frac{1}{4} (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) et D = (\begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & - 3 \end{matrix}) .

Pour $Y = P^{- 1} X$ , $X$ est solution si, et seulement si, $Y$ est solution de $Y^{'} = D Y + C (t)$ avec

C (t) = P^{- 1} B (t) = \frac{1}{4} (\begin{matrix} e^{t} + 2 e^{- 3 t} \\ - e^{t} + 2 e^{- 3 t} \end{matrix}) .

Après résolution, on obtient

Y^{'} = D Y + C (t) \Leftrightarrow Y (t) = (\begin{matrix} λ e^{5 t} - \frac{1}{16} e^{t} - \frac{1}{16} e^{- 3 t} \\ μ e^{- 3 t} - \frac{1}{16} e^{t} + \frac{1}{2} t e^{- 3 t} \end{matrix})

puis

X^{'} = A X + B (t) \Leftrightarrow X (t) = λ (\begin{matrix} 2 e^{5 t} \\ e^{5 t} \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} - 2 e^{- 3 t} \\ e^{- 3 t} \end{matrix}) + (\begin{matrix} - t e^{- 3 t} - \frac{1}{8} e^{- 3 t} \\ - \frac{1}{8} e^{t} + \frac{1}{2} t e^{- 3 t} - \frac{1}{16} e^{- 3 t} \end{matrix}) .

Exercice 7 4656

Déterminer les solutions sur $ℝ$ du système différentiel

(Σ) : {\begin{matrix} x^{''} & = 3 x & + y \\ y^{''} & = 2 x & + 2 y . \end{matrix}

Exercice 8 391 MINES (MP)Correction

Résoudre le système différentiel suivant

{\begin{matrix} x^{'} & = y + z \\ y^{'} & = x \\ z^{'} & = x + y + z . \end{matrix}

Solution

C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène d’équation matricielle $X^{'} = A X$ avec

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) et X (t) = (\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \\ z (t) \end{matrix})

$Sp (A) = {- 1,2,0}$ ,

E_{- 1} (A) = Vect {(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}, E_{2} (A) = Vect {(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})} et E_{0} (A) = Vect {(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})} .

On a $A = P D P^{- 1}$ avec

P = (\begin{matrix} - 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & - 1 \end{matrix}) et D = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

En posant $Y = P^{- 1} X$ , on obtient

X^{'} = A X \Leftrightarrow Y^{'} = D Y

Y^{'} = D Y \Leftrightarrow Y (t) = (\begin{matrix} λ e^{- t} \\ μ e^{2 t} \\ ν \end{matrix}) avec (λ, μ, ν) \in ℝ^{3}

donc

X^{'} = A X \Leftrightarrow X (t) = λ (\begin{matrix} - e^{- t} \\ e^{- t} \\ 0 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 2 e^{2 t} \\ e^{2 t} \\ 3 e^{2 t} \end{matrix}) + ν (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) avec (λ, μ, ν) \in ℝ^{3} .

Exercice 9 392 Correction

Résoudre le système différentiel suivant

{\begin{matrix} x^{'} & = 2 x - y + 2 z \\ y^{'} & = 10 x - 5 y + 7 z \\ z^{'} & = 4 x - 2 y + 2 z . \end{matrix}

Solution

C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène d’équation matricielle $X^{'} = A X$ avec

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 & 2 \\ 10 & - 5 & 7 \\ 4 & - 2 & 2 \end{matrix}) et X (t) = (\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \\ z (t) \end{matrix}) .

Par calculs, $χ_{A} = X^{2} (X + 1)$ . Après triangularisation, on a $A = P T P^{- 1}$ pour

P = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix}) et T = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Pour $Y = P^{- 1} X$ , $X^{'} = A X \Leftrightarrow Y^{'} = T Y$ .

Y^{'} = T Y \Leftrightarrow Y = (\begin{matrix} λ e^{- t} \\ μ t + ν \\ μ \end{matrix}) avec (λ, μ, ν) \in ℝ^{3} .

La solution générale du système est donc

X (t) = λ (\begin{matrix} - e^{- t} \\ e^{- t} \\ 2 e^{- t} \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} t \\ 2 t + 1 \\ 1 \end{matrix}) + ν (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) avec (λ, μ, ν) \in ℝ^{3} .

Exercice 10 2902 MINES (MP)Correction

Déterminer les solutions réelles du système différentiel linéaire

{\begin{matrix} x^{'} & = x - z \\ y^{'} & = x + y + z \\ z^{'} & = - x - y + z . \end{matrix}

Solution

$A = (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{matrix})$ , $χ_{A} = - (X - 2) (X^{2} - X + 1)$ .
La résolution complexe est alors facile puisque la matrice $A$ est diagonalisable.

La résolution réelle est en revanche plus délicate à obtenir, détaillons-la!

$X_{1} = {(1,0, - 1)}^{⊤}$ est vecteur propre de $A$ , complétons-le avec deux vecteurs d’un plan stable.

Les plans stables s’obtiennent en étudiant les éléments propres de $A^{⊤}$ . $Sp (A^{⊤}) = Sp (A) = {2}$ et

E_{2} (A^{⊤}) = Vect {(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})} .

Ainsi, le plan d’équation $2 x + y - z = 0$ est stable par $A^{⊤}$ .

Prenons $X_{2} = {(0,1,1)}^{⊤}$ et $X_{3} = A X_{2} = {(- 1,2,0)}^{⊤}$ . On vérifie $A X_{3} = X_{3} - X_{2}$ .

Ainsi, pour

P = (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix})

on a

P^{- 1} A P = (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) = B .

Pour $X = {(x, y, z)}^{⊤}$ et $Y = {(y_{1}, y_{2}, y_{3})}^{⊤} = P^{- 1} X$ , on a $X^{'} = A X \Leftrightarrow Y^{'} = B Y$ .

Ceci nous conduit à la résolution suivante

	${\begin{matrix} y_{1}^{'} & = 2 y_{1} \\ y_{2}^{'} & = - y_{3} \\ y_{3}^{'} & = y_{2} + y_{3} \end{matrix}$	$\Leftrightarrow {\begin{matrix} y_{1}^{'} & = 2 y_{1} \\ y_{2}^{'} & = - y_{3} \\ y_{2}^{''} - y_{2}^{'} + y_{2} & = 0 \end{matrix}$
		$\Leftrightarrow {\begin{matrix} y_{1} (t) & = α e^{2 t} \\ y_{2} (t) & = e^{\frac{1}{2} t} (λ \cos (\frac{\sqrt{3}}{2} t) + μ \sin (\frac{\sqrt{3}}{2} t)) \\ y_{3} (t) & = - y_{2}^{'} (t) . \end{matrix}$

Et l’on peut conclure via $X = P Y$ .

Une démarche alternative consiste à extraire trois solutions réelles indépendantes de la résolution complexe.

Exercice 11 4101 Correction

On étudie le système différentiel

(Σ) : {\begin{matrix} x^{'} & = z - y \\ y^{'} & = x - z \\ z^{'} & = y - x . \end{matrix}

(a)

Que dire de l’ensemble des fonctions $t \in ℝ \to (x (t), y (t), z (t))$ solutions de ce système?
(b)

Sans résoudre le système, montrer que pour tout réel $t$ , le point $M (t)$ de coordonnées $(x (t), y (t), z (t))$ se situe à l’intersection d’un plan et d’une sphère centrée en l’origine.

On note $A$ la matrice exprimant le système différentiel précédent.

(c)

Calculer $A^{3}$ puis exprimer sous forme matricielle la solution générale du système différentiel.
(d)

Sans employer ce qui précède, proposer une résolution directe du système $(Σ)$ .

Solution

(a)

$(Σ)$ est un système différentiel linéaire homogène de taille $3$ , l’ensemble de ses solutions est un espace vectoriel de dimension $3$ .
(b)

Posons $m (t) = x (t) + y (t) + z (t)$ . On constate $m^{'} (t) = 0$ et donc le point $M (t)$ évolue dans un plan d’équation $x + y + z = a$ avec $a = m (0)$ .

Posons $d (t) = x^{2} (t) + y^{2} (t) + z^{2} (t)$ . On constate $d^{'} (t) = 0$ et donc le point $M (t)$ évolue dans une sphère d’équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ avec $R = d (0)$ .
(c)

Le système s’écrit $X^{'} = A X$ avec

$A = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix}) .$

On vérifie $A^{3} = - 3 A$ et l’on en déduit $A^{2 n + 1} = {(- 3)}^{n} A$ et $A^{2 n + 2} = (- 3) A^{2}$ puis

$\exp (t A) = I_{n} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 3)}^{n} t^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} A + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 3)}^{n} t^{2 n + 2}}{(2 n + 2)!} A^{2} .$

Ainsi,

$\exp (t A) = I_{n} + \frac{1}{\sqrt{3}} \sin (\sqrt{3} t) A + \frac{1}{3} (1 - \cos (\sqrt{3} t)) A^{2}$

et la solution générale du système est

$X (t) = X_{0} + \frac{1}{\sqrt{3}} \sin (\sqrt{3} t) A X_{0} + \frac{1}{3} (1 - \cos (\sqrt{3} t)) A^{2} X_{0} .$
(d)

Après calculs et en introduisant $j = - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = e^{2 i π / 3}$ ,

$A = P D P^{- 1} avec D = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & - i \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & i \sqrt{3} \end{matrix}) et P = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & j & j^{2} \\ 1 & j^{2} & j \end{matrix}) .$

Résolvons l’équation $Z^{'} = A Z$ d’inconnue $Z$ à valeurs complexes.

Pour $Y = P^{- 1} Z$ , le système différentiel $Z^{'} = A Z$ équivaut à $Y^{'} = D Y$ soit

${\begin{matrix} y_{1}^{'} & = 0 \\ y_{2}^{'} & = i \sqrt{3} y_{2} \\ y_{3}^{'} & = i \sqrt{3} y_{3} . \end{matrix}$

La solution générale de l’équation $Y^{'} = D Y$ s’exprime

${\begin{matrix} y_{1} (t) & = λ_{1} \\ y_{2} (t) & = λ_{2} e^{- i \sqrt{3} t} \\ y_{3} (t) & = λ_{3} e^{i \sqrt{3} t} \end{matrix} avec (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}) \in ℂ^{3} .$

La solution générale de l’équation $Z^{'} = A Z$ s’exprime

$Z (t) = λ_{1} \underset{\begin{matrix} Z_{1} (t) \end{matrix}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}} + λ_{2} \underset{\begin{matrix} Z_{2} (t) \end{matrix}}{\underset{⏟}{e^{- i \sqrt{3} t} (\begin{matrix} 1 \\ j \\ j^{2} \end{matrix})}} + λ_{3} \underset{\begin{matrix} Z_{3} (t) \end{matrix}}{\underset{⏟}{e^{i \sqrt{3} t} (\begin{matrix} 1 \\ j^{2} \\ j \end{matrix})}} avec (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}) \in ℂ^{3} .$

On remarque $Z_{3} (t) = \bar{Z_{2} (t)}$ . Les solutions réelles sont donc obtenues pour $λ_{1} \in ℝ$ et $λ_{3} = \bar{λ_{2}}$ . On écrivant $λ_{2} = α + i β$ avec $α, β \in ℝ$ on obtient

$X (t) = λ_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + 2 α (\begin{matrix} \cos (\sqrt{3} t) \\ \cos (\sqrt{3} t - 2 π / 3) \\ \cos (\sqrt{3} t + 2 π / 3) \end{matrix}) + 2 β (\begin{matrix} \sin (\sqrt{3} t) \\ \sin (\sqrt{3} t - 2 π / 3) \\ \sin (\sqrt{3} t + 2 π / 3) \end{matrix}) .$

Exercice 12 5098

(a)

Déterminer les fonctions réelles solutions du système différentiel

$(Σ) : {\begin{matrix} x^{'} & = - z \\ y^{'} & = x + z \\ z^{'} & = - x - y . \end{matrix}$
(b)

À quelle condition sur $(x (0), y (0), z (0))$ les solutions du système $(Σ)$ sont-elles bornées sur $[0; + \infty [$ ?

[<] Système différentiel d'ordre 1 [>] Équations scalaires d'ordre n

Édité le 22-03-2025

Système différentiel d'ordre 1 à coefficients constants