[<] Système différentiel d'ordre 1 [>] Équations scalaires d'ordre n
Résoudre sur le système différentiel
Résoudre le système différentiel suivant
Solution
C’est un système différentiel linéaire d’ordre homogène d’équation matricielle avec
Après calculs, avec
On écrit alors avec
Pour ,
et
Finalement,
Soit
Donner des matrices inversible et diagonale telles que .
On considère le système différentiel
Exprimer ce système sous forme matricielle d’inconnue une colonne .
En posant déterminer les expressions de , et solutions du système précédent.
Solution
Après calculs,
et
On peut donc écrire avec
Posons . Le système étudié équivaut à l’équation matricielle .
Pour fonctions dérivables, la fonction est dérivable et aussi l’est la fonction avec .
Les fonctions sont solutions du système différentiel si, et seulement si, . La solution générale de cette équation matricielle s’exprime
Par la relation , on obtient l’expression des fonctions , et
Résoudre sur le système différentiel
Déterminer les fonctions à valeurs réelles solutions du système différentiel suivant
Solution
C’est un système différentiel de taille linéaire à coefficients constant d’équation matricielle avec
On a , ,
On a avec
et donc
avec
Posons . On a et donc
Posons .
Sachant
on obtient l’expression de la solution générale
c’est-à-dire
Résoudre le système différentiel suivant
Solution
C’est un système différentiel linéaire d’ordre d’équation matricielle avec
Après calculs, avec
On écrit alors avec
Pour , est solution si, et seulement si, est solution de avec
Après résolution, on obtient
puis
Déterminer les solutions sur du système différentiel
Résoudre le système différentiel suivant
Solution
C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène d’équation matricielle avec
,
On a avec
En posant , on obtient
or
donc
Résoudre le système différentiel suivant
Solution
C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène d’équation matricielle avec
Par calculs, . Après triangularisation, on a pour
Pour , .
La solution générale du système est donc
Déterminer les solutions réelles du système différentiel linéaire
Solution
, .
La résolution complexe est alors facile puisque la matrice est diagonalisable.
La résolution réelle est en revanche plus délicate à obtenir, détaillons-la!
est vecteur propre de , complétons-le avec deux vecteurs d’un plan stable.
Les plans stables s’obtiennent en étudiant les éléments propres de . et
Ainsi, le plan d’équation est stable par .
Prenons et . On vérifie .
Ainsi, pour
on a
Pour et , on a .
Ceci nous conduit à la résolution suivante
Et l’on peut conclure via .
Une démarche alternative consiste à extraire trois solutions réelles indépendantes de la résolution complexe.
On étudie le système différentiel
Ce système possède-t-il des solutions?
Sans résoudre le système, montrer que pour tout réel , le point de coordonnées se situe à l’intersection d’un plan et d’une sphère.
On note la matrice exprimant le système différentiel précédent.
Calculer et exprimer sous forme matricielle la solution générale du système différentiel.
Solution
est un système différentiel linéaire homogène de taille , l’ensemble de ses solutions est un espace vectoriel de dimension 3.
Posons . On constate et donc le point évolue sur un plan d’équation . Posons . On constate et donc le point évolue sur une sphère d’équation .
Le système s’écrit avec
On vérifie et l’on en déduit et puis
Ainsi,
et la solution générale du système est
Déterminer les fonctions réelles solutions du système différentiel
À quelle condition sur les solutions du système sont-elles bornées sur ?
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Édité le 29-08-2023
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