Par convergence absolue, on peut écrire

ce qui donne

• (a)

  $A^2={\mathrm{O}}_3$ donc $\mathrm{Sp}(A)=\{0\}$. Puisque $A\ne {\mathrm{O}}_3$, $A$ n’est pas diagonalisable. ${\pi }_A=X^2$ et ${\chi }_A=X^3$.

• (b)

  Par nilpotence,

  $$\exp (A)={\mathrm{I}}_3+A\text{.}$$

On observe

On en déduit

Le polynôme caractéristique de $A$ est ${(X-1)}^3$. Par le théorème de Cayley-Hamilton, ${(A-{\mathrm{I}}_3)}^3={\mathrm{O}}_3$ et donc $A={\mathrm{I}}_3+N$ avec $N^3={\mathrm{O}}_3$. Puisque les matrices ${\mathrm{I}}_3$ et $N$ commutent,

avec $\exp ({\mathrm{I}}_3)={\mathrm{eI}}_3$ et

On conclut

• (a)

  ${\chi }_A=X(X^2+1)$ et ${\pi }_A=X(X^2+1)$.

• (b)

  En calculant $A^2,A^3,\mathrm{\dots }$ on obtient

  $$\exp (A)=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \cos (1)\hfill & \hfill -\sin (1)\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \sin (1)\hfill & \hfill \cos (1)\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

• (a)

  Puisque de taille 3 avec 3 valeurs propres distinctes, la matrice $A$ est diagonalisable et son polynôme minimal est

  $${\mathrm{\Pi }}_A=(X+2)(X-1)(X-3)\text{.}$$

  La division euclidienne de $X^n$ par ${\mathrm{\Pi }}_A$ s’écrit

  $$X^n={\mathrm{\Pi }}_{A}Q+R\text{ avec }\mathrm{deg}(R)<3\text{.}$$

  Le polynôme $R$ peut s’écrire

  $$R(X)=a(X-1)(X-3)+b(X-3)+c$$

  et l’évaluation de la relation division euclidienne en $-2$, 1 et $3$ donne

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill 15a-5b+c& ={(-2)}^n\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill 2b+c& =1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill c& =3^n\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  puis

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill a& =\frac{3^{n+1}-{(-2)}^{n+1}-5}{30}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill b& =\frac{3^n-1}{2}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill c& =3^n\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  et enfin

  $$R(X)=\frac{3^{n+1}-{(-2)}^{n+1}-5}{30}{X}^2+\frac{3^{n+1}+{(-2)}^{n+3}+5}{30}X+-\frac{3^n-{(-2)}^n-5}{5}\text{.}$$

  En évaluant la relation de division euclidienne en $A$, on obtient

  $$A^n=R(A)=\frac{3^{n+1}-{(-2)}^{n+1}-5}{30}{A}^2+\frac{3^{n+1}+{(-2)}^{n+3}+5}{30}A+\frac{-3^n+{(-2)}^n+5}{5}{\mathrm{I}}_3\text{.}$$

• (b)

  En vertu de ce qui précède

  $$\mathrm{ch}(A)=\alpha A^2+\beta A+\gamma {\mathrm{I}}_3$$

  avec

  $$\alpha =\frac{1}{30}\left(3\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{3^{2n}}{(2n)!}+2\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}}{(2n)!}-5\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n)!}\right)$$

  et donc

  $$\alpha =\frac{3\mathrm{ch}(3)+2\mathrm{ch}(2)-5\mathrm{ch}(1)}{30}\text{.}$$

  De même, on obtient

  $$\beta =\frac{3\mathrm{ch}(3)-8\mathrm{ch}(2)+5\mathrm{ch}(1)}{30}\text{ et }\gamma =\frac{5\mathrm{ch}(1)+\mathrm{ch}(2)-\mathrm{ch}(3)}{5}\text{.}$$

• (a)

  ${\chi }_A=X^3-2X$, ${\pi }_A={\chi }_A$. On a donc

  $$A^3=2A,A^{2k+1}=2^{k}A\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{A}^{2k+2}=2^k{A}^2\text{ pour }k>0$$

  avec

  $$A^2=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

• (b)

  On en déduit

  	$\exp (A)$	$={\mathrm{I}}_3+{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \frac{2^k}{(2k+1)!}}A+{\displaystyle \sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \frac{2^{k-1}}{(2k)!}}{A}^2$
  		$={\mathrm{I}}_3+{\displaystyle \frac{\mathrm{sh}(\sqrt{2})}{\sqrt{2}}}A+{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\mathrm{ch}(\sqrt{2})-1\right)A^2\text{.}$

• (a)

  ${\chi }_A=(X-2){(X+1)}^2$,

  $$E_2(A)=\mathrm{Vect}\left\{\left(\begin{array}{c}\hfill a^2\hfill \\ \hfill a\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)\right\}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}{E}_{-1}(A)=\mathrm{Vect}\{\left(\begin{array}{c}\hfill -a^2\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\hfill -a\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)\}\text{.}$$

  La matrice $A$ est diagonalisable, on écrit $P^{-1}AP=D$ avec

  $$P=\left(\begin{array}{ccc}\hfill a^2\hfill & \hfill -a^2\hfill & \hfill -a\hfill \\ \hfill a\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}D=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 2\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  On en déduit ${\mu }_A=(X-2)(X+1)$.

• (b)

  Par division euclidienne, $X^n=(X+1)(X-2)Q(X)+\alpha X+\beta$ avec

  $$\alpha =\frac{2^n-{(-1)}^n}{3}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\beta =\frac{2{(-1)}^n+2^n}{3}$$

  donc

  $$A^n=\frac{2^n-{(-1)}^n}{3}A+\frac{2{(-1)}^n+2^n}{3}{\mathrm{I}}_3$$

  puis

  $${\mathrm{e}}^A=\frac{{\mathrm{e}}^2-{\mathrm{e}}^{-1}}{3}A+\frac{2{\mathrm{e}}^{-1}+{\mathrm{e}}^2}{3}{\mathrm{I}}_3\text{.}$$

• (a)

  Cas: $a=c$.

  $$M=\left(\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill a\hfill \end{array}\right),M^n=\left(\begin{array}{cc}\hfill a^n\hfill & \hfill nb{a}^{n-1}\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill a\hfill \end{array}\right)\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\exp (M)=\left(\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{e}}^a\hfill & \hfill b{\mathrm{e}}^a\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill {\mathrm{e}}^a\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  Cas: $a\ne c$.

  $$M^n=\left(\begin{array}{cc}\hfill a^n\hfill & \hfill {\alpha }_n\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill c^n\hfill \end{array}\right)\text{ avec }{\alpha }_n=b\left(a^{n-1}{c}^0+a^{n-2}c+\mathrm{\cdots }+a^0{c}^{n-1}\right)=b\frac{a^n-c^n}{a-c}$$

  et

  $$\exp (M)=\left(\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{e}}^a\hfill & \hfill x\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill {\mathrm{e}}^c\hfill \end{array}\right)\text{ avec }x=\frac{b({\mathrm{e}}^a-{\mathrm{e}}^c)}{a-c}\text{.}$$

• (b)

  Avec des notations immédiates, si $\exp (M)=\exp (M^{\prime })$ alors par identification des coefficients diagonaux, on obtient $a=a^{\prime }$ et $c=c^{\prime }$.
  Dans le cas $a=c$, l’identification du coefficient d’indice $(\mathrm{1,2})$ donne

  $$b{\mathrm{e}}^a=b^{\prime }{\mathrm{e}}^{a^{\prime }}$$

  d’où $b=b^{\prime }$.
  Dans le cas $a\ne c$, la même identification donne

  $$\frac{b({\mathrm{e}}^a-{\mathrm{e}}^c)}{a-c}=\frac{b^{\prime }({\mathrm{e}}^{a^{\prime }}-{\mathrm{e}}^{c^{\prime }})}{a^{\prime }-c^{\prime }}$$

  et à nouveau $b=b^{\prime }$.
  Ainsi, l’application $\exp :T\to T^{+}$ est injective.
  Considérons maintenant

  $$N=\left(\begin{array}{cc}\hfill \alpha \hfill & \hfill \beta \hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \gamma \hfill \end{array}\right)\in T^{+}\text{.}$$

  Si $\alpha =\gamma$ alors pour $a=\ln (\alpha )$ et $b=\beta /\alpha$, on obtient $M\in T$ vérifiant $\exp (M)=N$.
  Si $\alpha \ne \gamma$ alors pour $a=\ln (\alpha )$, $c=\ln (\gamma )$ et $b=\beta (a-c)/(\alpha -\gamma )$, on obtient $M\in T$ vérifiant $\exp (M)=N$.
  Ainsi, l’application $\exp :T\to T^{+}$ est surjective.