[<] Exponentielles [>] Équation vectorielle d'ordre 1

 
Exercice 1  4663  

Soit α. Calculer l’exponentielle de la matrice

A=(0-αα0).
 
Exercice 2  2709    MINES (MP)Correction  

Soit An(𝕂) avec 𝕂= ou telle que A4=In. Déterminer exp(A).

Solution

Par convergence absolue, on peut écrire

exp(A)=k=0+1(4k)!In+k=0+1(4k+1)!A+k=0+1(4k+2)!A2+k=0+1(4k+3)!A3

ce qui donne

exp(A)=cos(1)+ch(1)2In+sin(1)+sh(1)2A+ch(1)-cos(1)2A2+sh(1)-sin(1)2A3.
 
Exercice 3  2712    MINES (MP)Correction  

Soit

A=(1jj2jj21j21j).
  • (a)

    Étudier la diagonalisabilité de A, déterminer les polynômes minimal et caractéristique de A.

  • (b)

    Calculer exp(A).

Solution

  • (a)

    A2=O3 donc Sp(A)={0}. Puisque AO3, A n’est pas diagonalisable. πA=X2 et χA=X3.

  • (b)

    Par nilpotence,

    exp(A)=I3+A.
 
Exercice 4  2711     MINES (MP)Correction  

Soit

A=(0000010-10)3().
  • (a)

    Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de A.

  • (b)

    Calculer exp(A).

Solution

  • (a)

    χA=X(X2+1) et πA=X(X2+1).

  • (b)

    En calculant A2,A3, on obtient

    exp(A)=(1000cos(1)-sin(1)0sin(1)cos(1)).
 
Exercice 5  3215     CCP (MP)Correction  

Soit A3() telle que

Sp(A)={-2,1,3}.
  • (a)

    Exprimer An en fonction de A2, A et I3.

  • (b)

    Calculer

    ch(A)=n=0+A2n(2n)!.

Solution

  • (a)

    Puisque de taille 3 avec 3 valeurs propres distinctes, la matrice A est diagonalisable et son polynôme minimal est

    ΠA=(X+2)(X-1)(X-3).

    La division euclidienne de Xn par ΠA s’écrit

    Xn=ΠAQ+R avec deg(R)<3.

    Le polynôme R peut s’écrire

    R(X)=a(X-1)(X-3)+b(X-3)+c

    et l’évaluation de la relation division euclidienne en -2, 1 et 3 donne

    {15a-5b+c=(-2)n2b+c=1c=3n

    puis

    {a=3n+1-(-2)n+1-530b=3n-12c=3n

    et enfin

    R(X)=3n+1-(-2)n+1-530X2+3n+1+(-2)n+3+530X+-3n-(-2)n-55.

    En évaluant la relation de division euclidienne en A, on obtient

    An=R(A)=3n+1-(-2)n+1-530A2+3n+1+(-2)n+3+530A+-3n+(-2)n+55I3.
  • (b)

    En vertu de ce qui précède

    ch(A)=αA2+βA+γI3

    avec

    α=130(3n=0+32n(2n)!+2n=0+22n(2n)!-5n=0+1(2n)!)

    et donc

    α=3ch(3)+2ch(2)-5ch(1)30.

    De même, on obtient

    β=3ch(3)-8ch(2)+5ch(1)30 et γ=5ch(1)+ch(2)-ch(3)5.
 
Exercice 6  2710     MINES (MP)Correction  

On pose

A=(010101010).
  • (a)

    Sans diagonaliser la matrice A, déterminer son polynôme caractéristique, son polynôme minimal et calculer Ak pour k.

  • (b)

    Évaluer exp(A).

Solution

  • (a)

    χA=X3-2X, πA=χA. On a donc

    A3=2A,A2k+1=2kAetA2k+2=2kA2 pour k>0

    avec

    A2=(101020101).
  • (b)

    On en déduit

    exp(A) =I3+k=0+2k(2k+1)!A+k=1+2k-1(2k)!A2
    =I3+sh(2)2A+12(ch(2)-1)A2.
 
Exercice 7  2701     MINES (MP)Correction  

Soient a* et

A=(0aa21/a0a1/a21/a0).
  • (a)

    Calculer le polynôme minimal de A.

  • (b)

    La matrice A est-elle diagonalisable? Si oui, la diagonaliser.

  • (c)

    Calculer eA.

Solution

  • (a)

    χA=(X-2)(X+1)2,

    E2(A)=Vect{(a2a1)}etE-1(A)=Vect{(-a201),(-a10)}.

    La matrice A est diagonalisable, on écrit P-1AP=D avec

    P=(a2-a2-aa01110)etD=(2000-1000-1).

    On en déduit μA=(X-2)(X+1).

  • (b)

    Ci-dessus.

  • (c)

    Par division euclidienne, Xn=(X+1)(X-2)Q(X)+αX+β avec

    α=2n-(-1)n3etβ=2(-1)n+2n3

    donc

    An=2n-(-1)n3A+2(-1)n+2n3I3

    puis

    eA=e2-e-13A+2e-1+e23I3.
 
Exercice 8  3094     X (PSI)Correction  

On note

T={(ab0c)|a,b,c}

et T+ le sous-ensemble de T formé des matrices de coefficients diagonaux strictement positifs.

  • (a)

    Soit MT. Déterminer les puissances de M. Calculer exp(M).

  • (b)

    L’application exp:TT+ est-elle injective? surjective?

Solution

  • (a)

    Cas: a=c.

    M=(ab0a),Mn=(annban-10a)etexp(M)=(eabea0ea).

    Cas: ac.

    Mn=(anαn0cn) avec αn=b(an-1c0+an-2c++a0cn-1)=ban-cna-c

    et

    exp(M)=(eax0ec) avec x=b(ea-ec)a-c.
  • (b)

    Avec des notations immédiates, si exp(M)=exp(M) alors par identification des coefficients diagonaux, on obtient a=a et c=c.
    Dans le cas a=c, l’identification du coefficient d’indice (1,2) donne

    bea=bea

    d’où b=b.
    Dans le cas ac, la même identification donne

    b(ea-ec)a-c=b(ea-ec)a-c

    et à nouveau b=b.
    Ainsi, l’application exp:TT+ est injective.
    Considérons maintenant

    N=(αβ0γ)T+.

    Si α=γ alors pour a=ln(α) et b=β/α, on obtient MT vérifiant exp(M)=N.
    Si αγ alors pour a=ln(α), c=ln(γ) et b=β(a-c)/(α-γ), on obtient MT vérifiant exp(M)=N.
    Ainsi, l’application exp:TT+ est surjective.

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Édité le 08-11-2019

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