[<] Décomposition en éléments simples

 
Exercice 1  2015  Correction  

Soit la fraction

F=1X(X+1).
  • (a)

    Réaliser la décomposition en éléments simples de F.

  • (b)

    En déduire une simplification pour n1 de k=1n1k(k+1).

  • (c)

    Procéder de même pour calculer: k=1n1k(k+1)(k+2).

Solution

  • (a)

    On obtient

    F=X+1-XX(X+1)=1X-1X+1.
  • (b)

    Par télescopage

    k=1n1k(k+1)=k=1n1k-1k+1=1-1n+1=nn+1.
  • (c)

    On a

    1X(X+1)(X+2)=1/2X-1X+1+1/2X+2

    donc

    k=1n1k(k+1)(k+2)=14-12n+2+12n+4.
 
Exercice 2  2016  Correction  

Exprimer la dérivée d’ordre n de

1X(X2+1).

Solution

Par décomposition en éléments simples

1X(X2+1)=1X-1/2X-i-1/2(X+i)

et on sait

(1X-a)(n)=(-1)nn!(X-a)n+1

donc

(1X(X2+1))(n)=(-1)nn!(1Xn+1-1/2(X-i)n+1-1/2(X+i)n+1).
 
Exercice 3  2017   Correction  

Soit

F=1X2+1(X).
  • (a)

    En réalisant la décomposition en éléments simples de F, exprimer F(n).

  • (b)

    Montrer qu’il existe Pnn[X] tel que

    F(n)=Pn(X2+1)n+1.
  • (c)

    Déterminer les zéros de Pn.

Solution

  • (a)

    La décomposition en éléments simples est

    F=12i(1X-i-1X+i)

    donc

    F(n)=(-1)nn!2i(1(X-i)n+1-1(X+i)n+1).
  • (b)

    F(n)=Pn(X2+1)n+1 avec

    Pn=(-1)nn!2i((X+i)n+1-(X-i)n+1)n[X].

    Mais Pn¯=Pn donc Pnn[X].

  • (c)

    Pour x:

    Pn(x)=0 (x+i)n+1=(x-i)n+1
    k{1,,n},x=cot(kπn+1).

    Cela fournit n racines réelles et il n’en peut y en avoir d’autres complexes.

 
Exercice 4  2018   Correction  

Soit

F=1(X-1)3(X+1)3.
  • (a)

    Quelle relation existe entre la partie polaire de F en 1 et celle en -1.

  • (b)

    Former la décomposition en éléments simples de la fraction F.

  • (c)

    En déduire un couple (U,V)[X]2 tel que:

    (X+1)3U+(X-1)3V=1.

Solution

  • (a)

    On remarque que F(-X)=F(X).
    Si P(X)(X-1)3 est la partie polaire de F en 1, alors -P(-X)(X+1)3 est sa partie polaire en -1.

  • (b)

    On obtient

    1(X-1)3(X+1)3=1/8(X-1)3-3/16(X-1)2+3/16X-1-1/8(X+1)3-3/16(X+1)2-3/16X+1.
  • (c)

    En réduisant au même dénominateur

    U=116(2-3(X-1)+3(X-1)2) et V=-116(2+3(X+1)+3(X+1)2).
 
Exercice 5  4568   
  • (a)

    Soit a𝕂 un pôle simple d’une fraction rationnelle F de 𝕂(X) exprimée sous forme irréductible P/Q. Montrer que la fraction F peut s’écrire

    αX-a+G avec α=P(a)Q(a) et G𝕂(X) dont a n’est pas pôle.
  • (b)

    Application: Soit n*. On pose ωk=e2ikπ/n pour tout k0;n-1. Réduire au même dénominateur la fraction complexe

    F=1X-ω0++1X-ωn-1.
 
Exercice 6  2020   Correction  

Soient n tel que n2 et p{0,1,,n-1}. On pose pour k{0,1,,n-1}, ωk=exp(2ikπn).
Mettre sous forme irréductible la fraction

k=0n-1ωkpX-ωk.

Solution

On a

k=0n-1ωkpX-ωk=PXn-1 avec deg(P)<n.

De plus, par décomposition en éléments simples

P(ωk)(Xn-1)(ωk)=ωkp.

Par suite, on a

P(ωk)=nωkn-1ωkp=nωkp-1.

Ces n relations permettent de reconnaître P puisque l’on sait deg(P)<n. On obtient

P=nXp-1 si p1 ou P=nXn-1 si p=0.
 
Exercice 7  4573   

Soit P un polynôme réel unitaire scindé à racines simples x1,,xn.

Calculer, pour tout p0;n-1,

k=1nxkpP(xk).
 
Exercice 8  2022  Correction  

Soit P[X] un polynôme scindé à racines simples x1,,xn.

  • (a)

    Former la décomposition en éléments simples de la fraction 1/P.

  • (b)

    On suppose P(0)0. Observer

    k=1n1xkP(xk)=-1P(0).

Solution

  • (a)

    On a

    1P=1λ(X-x1)(X-xn)=i=1nλiX-xi

    avec

    λi=1P(xi).
  • (b)

    En évaluant en 0

    i=1n1xiP(xi)=-1P(0).
 
Exercice 9  2023   Correction  

Soit P[X] un polynôme scindé à racines simples: x1,,xn.

  • (a)

    Former la décomposition en éléments simples de P′′/P.

  • (b)

    En déduire que

    k=1nP′′(xk)P(xk)=0.

Solution

  • (a)

    On a

    P′′P=P′′λ(X-x1)(X-xn)=i=1nλiX-xi

    avec λi=P′′(xi)P(xi).

  • (b)

    Puisque deg(XP′′P)<0 on a

    i=1nλi=0.
 
Exercice 10  4572   

Soit P un polynôme réel scindé sur . Montrer que

P(x)2-P(x)P′′(x)0pour tout x.
 
Exercice 11  3335   Correction  

Soit P(x)=a0+a1x+a2x2++anxn un polynôme réel dont toutes les racines sont réelles.

  • (a)

    Montrer

    x,(P2-PP′′)(x)0.
  • (b)

    En déduire

    k{1,,n-1},ak-1ak+1ak2.

Solution

  • (a)

    En notant x1,,xn les racines réelles de P, on a

    P(x)P(x)=k=1n1x-xk.

    En dérivant, on obtient

    P(x)P′′(x)-P(x)2P(x)2=-k=1n1(x-xk)2

    ce qui permet de conclure.

  • (b)

    Notons x1<<xp les racines réelles de P de multiplicités α1,,αp*. Puisque P ne possède pas de racines complexes, on a

    α1++αp=deg(P).

    Par application du théorème de Rolle, P possède une racine dans chacun des intervalles ]x1;x2[,,]xp-1;xp[ et de plus x1,,xp sont racines de P de multiplicités α1-1,,αp-1 (en acceptant de dire qu’une racine de multiplicité 0, n’est pas racine). Puisque

    p-1+(α1-1)++(αp-1)=deg(P)-1=deg(P)

    le polynôme P ne possède pas de racines complexes. Il en est de même de P′′,P(3),…
    En appliquant le résultat du a) à P(k-1) en x=0, on obtient

    (k!ak)2-((k-1)!ak-1)((k+1)!ak+1)0

    puis l’inégalité voulue que le produit ak+1ak-1 soit positif ou non.

 
Exercice 12  2024    Correction  

Soient a1,,an deux à deux distincts et α1,,αn deux à deux distincts tels que

i,j{1,2,,n},ai+αj0.

Résoudre le système

{x1a1+α1+x2a2+α1++xnan+α1=1x1a1+α2+x2a2+α2++xnan+α2=1x1a1+αn+x2a2+αn++xnan+αn=1.

Solution

Considérons la fraction rationnelle

F(X)=1-i=1nxiai+X.

La satisfaction du système équivaut aux équations

F(α1)==F(αn)=0.

En réduisant F au même dénominateur

F=PQ avec P unitaire, deg(P)=n et Q=i=1n(X+ai).

Les équations F(α1)==F(αn)=0 signifient alors

P=(X-α1)(X-αn).

La décomposition en éléments simples F donne alors

xi=(-1)nk=1n(αk+ai)k=1,kin(ak-ai).
 
Exercice 13  5036    Correction  

Soit P un polynôme de degré n vérifiant

01xkP(x)dx=0pour tout k1;n.

Montrer

01(P(x))2dx=(n+1)2(01P(x)dx)2.

Solution

Introduisons les coefficients de P afin d’écrire

P=a0+a1X++anXn avec a0,a1,,an.

D’une part, on peut écrire

01(P(x))2dx=01(a0+a1x++anxn)P(x)dx.

En développant par linéarité puis en simplifiant les termes nuls, on obtient

01(P(x))2dx=a001P(x)dx.

D’autre part, pour tout k1;n,

01xkP(x)dx=01a0xk+a1xk+1++anxn+kdx

et l’hypothèse donne alors les équations

a0k+1+a1k+1++ann+k+1=0pour tout k1;n. (1)

Méthode: On réduit au même dénominateur la fraction exprimant le premier membre et l’on étudie le polynôme exprimant le numérateur.

Introduisons la fraction

F=a0X+1+a1X+2++anX+n+1.

Par réduction au même dénominateur,

F=Q(X+1)(X+2)(X+n+1) avec Qn[X].

Les équations (1) assurent que Q s’annule en 1,2,,n et, puisqu’il s’agit d’un polynôme de degré inférieur à n, on peut l’écrire

Q=λ(X-1)(X-2)(X-n) avec λ.

On exprime ensuite l’intégrale de P à l’aide de la fraction F

01P(x)dx =a0+a12++ann+1=F(0)
=λ(-1)(-2)(-n)1×2××(n+1)=(-1)nλn+1.

Pour conclure, il reste à relier a0 et λ.

Méthode: a0 est le coefficient de 1X+1 dans la décomposition en éléments simples de F.

On a

a0=Q(X+2)(X+n+1)|X=-1=λ(-2)(-3)(-n-1)1×2××n=(-1)nλ(n+1)

et, finalement,

01(P(x))2dx=(-1)n(n+1)λ01P(x)dx=(n+1)2(01P(x)dx)2.

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Édité le 08-11-2019

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