[<] Degré [>] Décomposition en éléments simples

 
Exercice 1  2009  Correction  

Soient p et q deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.
Déterminer les racines et les pôles de

F=Xp-1Xq-1

en précisant les multiplicités respectives.

Solution

Déterminons les racines communes à Xp-1 et Xq-1. Soit ω un telle racines.
On a ωp=ωq=1. Puisque p et q sont premiers entre eux, il existe u,v tels que pu+qv=1.
On a alors ω=ωpu+qv=(ωp)u(ωq)v=1. Inversement, 1 est racine commune.
De plus, notons que toutes les racines de Xp-1 et Xq-1 sont simples.
Les racines de F sont les racines p ème de l’unité autres que 1. Elles sont simples.
Les pôles de F sont les racines q ème de l’unité autres que 1. Ils sont simples.
1 n’est ni pôle, ni racine.

 
Exercice 2  2010   Correction  

Soit F𝕂(X).

  • (a)

    Soit a un zéro d’ordre α1 de F. Montrer que a est zéro d’ordre α-1 de F.

  • (b)

    Comparer les pôles de F et de F, ainsi que leur ordre de multiplicité.

Solution

Notons P/Q le représentant irréductible de F.

  • (a)

    Soit a zéro de multiplicité α1. On a P=(X-a)αP^ avec P^(a)0 et Q(a)0.

    F=(X-a)α-1(αP^Q+(X-a)P^Q-(X-a)P^Q)Q2

    a n’est pas racine de αP^Q+(X-a)P^Q-(X-a)P^Q, donc a est racine de multiplicité α-1 de F.

  • (b)

    Soit a pôle de F de multiplicité α. On a P(a)0 et Q=(X-a)αQ^ avec Q^(a)0.

    F=(X-a)PQ^-αPQ^-(X-a)PQ^(X-a)α+1Q^2

    a n’est pas racine de (X-a)PQ^-αPQ^-(X-a)PQ^, donc a est pôle de multiplicité α+1 de F.

 
Exercice 3  2011   Correction  

Montrer qu’il n’existe pas de F(X) telle que

F=1X.

Solution

Par l’absurde supposons qu’une telle fraction F existe et considérons P/Q son représentant irréductible:

PQ-PQQ2=1X.

Méthode: On étudie la multiplicité11 1 Par ce raisonnement, on voit que les multiplicités des pôles d’une fraction dérivée sont au moins égales à 2. de 0 en tant que pôle de F.

On a X(PQ-PQ)=Q2 et donc 0 est racine du polynôme Q d’une certaine multiplicité α1. 0 est alors racine de Q de multiplicité α-1 mais n’est pas racine de P car P et Q sont premiers entre eux. On en déduit que 0 est racine de multiplicité exactement α-1 de PQ-PQ. Or 0 est aussi racine de Q2 de multiplicité 2α>α-1 et donc 0 est pôle de F de multiplicité 2α-(α-1)=α+1>1. C’est absurde.

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Édité le 08-11-2019

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