[<] Racines et pôles [>] Applications de la décomposition en éléments simples

 
Exercice 1  4555  

Décomposer en éléments simples:

  • (a)

    X3X2-3X+2 dans [X]

  • (b)

    X3+X2+1X3+X2+X dans [X]

  • (c)

    X-1X3-3X-2 dans [X]

  • (d)

    1(X-1)2(X+1)2 dans [X]

  • (e)

    XX3-1 dans [X]

  • (f)

    1(X2+1)(X2+X+2) dans [X].

 
Exercice 2  2013  Correction  

Effectuer la décomposition en éléments simples dans (X) des fractions rationnelles suivantes:

  • (a)

    X2+2X+5X2-3X+2

  • (b)

    X2+1(X-1)(X-2)(X-3)

  • (c)

    1X(X-1)2

  • (d)

    2XX2+1

  • (e)

    1X2+X+1

  • (f)

    4(X2+1)2

  • (g)

    3X-1X2(X+1)2

  • (h)

    1X4+X2+1

  • (i)

    3(X3-1)2

Solution

  • (a)

    X2+2X+5X2-3X+2=1-8X-1+13X-2

  • (b)

    X2+1(X-1)(X-2)(X-3)=1X-1-5X-2+5X-3

  • (c)

    1X(X-1)2=1X+1(X-1)2-1X-1

  • (d)

    2XX2+1=1X-i+1X+i

  • (e)

    1X2+X+1=-i/3X-j+i/3X-j2

  • (f)

    4(X2+1)2=-1(X-i)2-iX-i-1(X+i)2+iX+i

  • (g)

    3X-1X2(X+1)2=-1X2+5X-4(X+1)2-5(X+1)

  • (h)

    1X4+X2+1=(1-j)/6X-j+(1-j2)/6X-j2-(1-j)/6X+j-(1-j2)/6X+j2.

  • (i)

    En exploitant l’astuce F(j2X)=F(jX)=F(X):
    3(X3-1)2=1/3(X-1)2-2/3(X-1)+j2/3(X-j)2-2j/3(X-j)+j/3(X-j2)2-2j2/3(X-j2).

 
Exercice 3  2014   

Soit n. Former la décomposition en éléments simples de

n!X(X-1)(X-n).
 
Exercice 4  2676     MINES (MP)Correction  

Décomposer en éléments simples dans (X) la fraction rationnelle

Xn-1Xn-1.

Solution

Les pôles de cette fraction rationnelles sont simples et sont les racines n-ième de l’unité ω0,,ωn-1. Sachant que la fraction rationnelle est de degré strictement négatif, sa partie entière est nulle et sa décomposition en éléments simples cherchée s’écrit

Xn-1Xn-1=k=0n-1αkX-ωk.

La partie polaire

λX-a

d’un pôle simple a d’une fraction rationnelle P/Q s’obtient par la relation

λ=P(a)Q(a).

En effet, si Q(X)=(X-a)R(X) on a Q(a)=R(a)
Ici

αk=(Xn-1(Xn-1))(ωk)=1n

et donc

Xn-1Xn-1=1nk=0n-11X-ωk.
 
Exercice 5  4204   Correction  

Soient p et n deux entiers avec 0p<n. Former la décomposition en éléments simples dans [X] de

XpXn-1.

Solution

La fraction est exprimée sous forme irréductible et sa partie entière est nulle. En introduisant les racines n-ième de l’unité ωk=e2ikπ/n avec k0;n-1, le dénominateur peut être factorisé dans [X]:

Xn-1=k=0n-1(X-ωk).

La décomposition en éléments simples de la fraction s’écrit alors

XpXn-1=k=0n-1akX-ωk avec ak.

On calcule ak en multipliant par X-ωk puis en évaluant en ωk:

ak=Xpjk(X-ωj)|X=ωk=ωkpjk(ωk-ωj).

Méthode: Le dénominateur du quotient précédent correspond à (Xn-1)(ωk).

En effet, par dérivation d’un produit en la somme des produits obtenus où l’on dérive un seul facteur:

(Xn-1)=(k=0n-1(X-ωk))=k=0n-10jn-1jk(X-ωj).

En évaluant en ωk, tous les produits s’annulent sauf celui d’indice k:

(Xn-1)|X=ωk=0jn-1jk(ωk-ωj).

On peut alors proposer une expression simple des coefficients de la décomposition

ak=ωkpnωkn-1=ωkp+1n.
 
Exercice 6  4556   

Soit P un polynôme complexe non constant.

Exprimer en fonction des racines de P et de leurs multiplicités respectives la décomposition en éléments simples de la fraction P/P.

 
Exercice 7  4570   Correction  

Soient λ1,,λn des complexes deux à deux distincts et P=(X-λ1)(X-λn). Exprimer en fonction de P et de ses dérivées les fractions

F=k=1n1X-λk,G=k=1n1(X-λk)2etH=1k,nk1(X-λk)(X-λ)

Solution

La dérivée d’un produit est la somme des produits obtenus en ne dérivant qu’un facteur:

P=k=1n(1jnjk(X-λj))

En divisant par P, on fait apparaître11 1 Cette formule est un cas particulier de celle vue dans le sujet 4556. F:

PP=(k=1n1X-λk)=F

Méthode: G et H se déduisent par dérivation et élévation au carré.

En dérivant F on fait apparaître -G:

G=-(PP)=P2-PP′′P2

En développant F2, on fait apparaître G et H:

F2=G+H donc H=F2-G=P′′P

Cette dernière formule aurait aussi pu être découverte par un calcul direct.

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Édité le 08-11-2019

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