Les pôles de cette fraction rationnelles sont simples et sont les racines $n$-ième de l’unité ${\omega }_0,\mathrm{\dots },{\omega }_{n-1}$. Sachant que la fraction rationnelle est de degré strictement négatif, sa partie entière est nulle et sa décomposition en éléments simples cherchée s’écrit

$$\frac{X^{n-1}}{X^n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{{\alpha }_k}{X-{\omega }_k}\text{.}$$

La partie polaire

$$\frac{\lambda }{X-a}$$

d’un pôle simple $a$ d’une fraction rationnelle $P/Q$ s’obtient par la relation

$$\lambda =\frac{P(a)}{Q^{\prime }(a)}\text{.}$$

En effet, si $Q(X)=(X-a)R(X)$ on a $Q^{\prime }(a)=R(a)$
Ici

$${\alpha }_k=\left(\frac{X^{n-1}}{{(X^n-1)}^{\prime }}\right)({\omega }_k)=\frac{1}{n}$$

et donc

$$\frac{X^{n-1}}{X^n-1}=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{X-{\omega }_k}\text{.}$$

La fraction est exprimée sous forme irréductible et sa partie entière est nulle. En introduisant les racines $n$-ième de l’unité ${\omega }_k={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}k\pi /n}$ avec $k\in ⟦0;n-1⟧$, le dénominateur peut être factorisé dans $ℂ[X]$:

$$X^n-1=\prod _{k=0}^{n-1}(X-{\omega }_k)\text{.}$$

La décomposition en éléments simples de la fraction s’écrit alors

$$\frac{X^p}{X^n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{a_k}{X-{\omega }_k}\text{ avec }{a}_k\in ℂ\text{.}$$

On calcule $a_k$ en multipliant par $X-{\omega }_k$ puis en évaluant en ${\omega }_k$:

$$a_k={\frac{X^p}{{\displaystyle \prod _{j\ne k}}(X-{\omega }_j)}|}_{X={\omega }_k}=\frac{{\omega }_k^p}{{\displaystyle \prod _{j\ne k}}({\omega }_k-{\omega }_j)}\text{.}$$

Méthode: Le dénominateur du quotient précédent correspond à ${\left(X^n-1\right)}^{\prime }({\omega }_k)$.

En effet, par dérivation d’un produit en la somme des produits obtenus où l’on dérive un seul facteur:

$${\left(X^n-1\right)}^{\prime }={\left(\prod _{k=0}^{n-1}(X-{\omega }_k)\right)}^{\prime }=\sum _{k=0}^{n-1}\prod _{\begin{array}{c}0\le j\le n-1\\ j\ne k\end{array}}(X-{\omega }_j)\text{.}$$

En évaluant en ${\omega }_k$, tous les produits s’annulent sauf celui d’indice $k$:

$${{\left(X^n-1\right)}^{\prime }|}_{X={\omega }_k}=\prod _{\begin{array}{c}0\le j\le n-1\\ j\ne k\end{array}}({\omega }_k-{\omega }_j)\text{.}$$

On peut alors proposer une expression simple des coefficients de la décomposition

$$a_k=\frac{{\omega }_k^p}{n{\omega }_k^{n-1}}=\frac{{\omega }_k^{p+1}}{n}\text{.}$$

On remarque

$$F_{n+1}=\frac{(X+1)-X}{X^{n+1}(X+1)}=\frac{1}{X^{n+1}}-\frac{1}{X^n(X+1)}=\frac{1}{X^{n+1}}-F_n\text{.}$$

Puisque

$$F_0=\frac{1}{X+1}$$

on obtient successivement

	$F_1$	$={\displaystyle \frac{1}{X}}-{\displaystyle \frac{1}{X+1}},$
	$F_2$	$={\displaystyle \frac{1}{X^2}}-{\displaystyle \frac{1}{X}}+{\displaystyle \frac{1}{X+1}},$
	$F_3$	$={\displaystyle \frac{1}{X^3}}-{\displaystyle \frac{1}{X^2}}+{\displaystyle \frac{1}{X}}-{\displaystyle \frac{1}{X+1}},\text{etc}$

ce qui s’apparente à des décompositions en éléments simples.

Par récurrence sur $n\in \mathbb{N}$, on établit

$$F_n=\sum _{k=1}^n\frac{{(-1)}^{n-k}}{X^k}+\frac{{(-1)}^n}{X+1}$$

ce qui produit la décomposition en éléments simples de $F_n$.