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Exercice 1  2004  Correction  

Montrer qu’il n’existe pas de fraction rationnelle F telle que F2=X.

Solution

Si F est solution alors deg(F2)=2deg(F)=1 avec deg(F). C’est impossible.

 
Exercice 2  2005   Correction  

Déterminer un supplémentaire de 𝕂[X] dans 𝕂(X).

Solution

Soit V={F𝕂(X)|deg(F)<0}. V𝕂(X), 0V et pour tous λ,μ𝕂, tous F,GV,

deg(λF+μG)max(deg(F),deg(G))<0

donc λF+μGV. Ainsi, V est un sous-espace vectoriel de 𝕂(X).

Clairement, V𝕂[X]={0}.

De plus, pour tout F𝕂(X), F=P+G avec P=Ent(F)𝕂[X] et GV.

 
Exercice 3  2006   Correction  

Soit F𝕂(X). Montrer

deg(F)<deg(F)-1deg(F)=0.

Solution

Supposons deg(F)<deg(F)-1. On écrit F=AB et F=AB-ABB2.

Si A ou B sont constants: c’est assez rapide.

Sinon,

deg(F)<deg(F)-1deg(AB-AB)<deg(AB)=deg(AB)

donc coeff(AB)=coeff(AB) d’où deg(A)=deg(B) puis deg(F)=0.

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Édité le 08-11-2019

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