Si $F$ est paire alors $F(-X)=F(X)$ donc $P(-X)Q(X)=P(X)Q(-X)$. Le polynôme $Q(X)$ divise $P(X)Q(-X)$ et $P\wedge Q=1$ donc $Q(X)$ divide $Q(-X)$. De même, $Q(-X)$ divise $Q(X)$ Or $\text{coeff}(Q(X))=1$ et $\text{coeff}(Q(-X))={(-1)}^n$ avec $n=\mathrm{deg}(Q)$.

Si $n$ est pair alors $Q(-X)=Q(X)$ puis $P(-X)=P(X)$. Les deux polynômes sont pairs

Si $n$ est impair alors $Q(-X)=-Q(X)$ puis $P(-X)=-P(X)$. Les deux polynômes sont impairs mais alors non premiers entre eux ce qui est exclu.

• (a)

  Écrivons

  $$P=\sum _{k=0}^N{a}_k{X}^k\text{ avec }N\in \mathbb{N}\text{ et }{a}_0,\mathrm{\dots },a_N\in ℂ$$

  La relation $P(\omega X)=P(X)$ donne

  $$\sum _{k=0}^N{a}_k{\omega }^k{X}^k=\sum _{k=0}^N{a}_k{X}^k$$

  Par identification des coefficients d’un polynôme,

  $$\forall k0,\mathrm{\dots },N,a_k{\omega }^k=a_k\text{.}$$

  Par suite, $a_k=0$ pour tout $k\ne 0\left[n\right]$. En posant $b_{\mathrm{\ell }}=a_{n\mathrm{\ell }}$ et $Q={\sum }_{\mathrm{\ell }=0}^{\lfloor N/n\rfloor }{b}_{\mathrm{\ell }}{X}^{\mathrm{\ell }}$, on obtient

  $$P(X)=Q\left(X^n\right)\text{.}$$

• (b)

  La réduction au même dénominateur de la fraction

  $$F=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{X+{\omega }^k}{X-{\omega }^k}$$

  donne

  $$F=\frac{P}{X^n-1}\text{ avec }\mathrm{deg}(P)=n\text{.}$$

  On remarque

  $$F(\omega X)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{\omega X+{\omega }^k}{\omega X-{\omega }^k}=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{X+{\omega }^{k-1}}{X-{\omega }^{k-1}}=F(X)$$

  En effet ${\omega }^{-1}={\omega }^{n-1}$. On obtient donc

  $$\frac{P(\omega X)}{X^n-1}=\frac{P(X)}{X^n-1}$$

  ce qui entraîne $P(\omega X)=P(X)$.

  Par suite, $P$ est de la forme $P=a{X}^n+b$.

  En étudiant la partie entière de $F$, on obtient $a=n$.

  En étudiant la valeur de $F$ en $0$, on obtient $b=n$.

  Par suite,

  $$F=n\frac{X^n+1}{X^n-1}\text{.}$$