Exercice 1 3786 CCINP (MP)Correction

On munit $E = ℳ_{p} (ℂ)$ de la norme

∥ M ∥ = \max_{1 \leq i, j \leq p} | m_{i, j} | .

(a)

Soient $X$ fixé dans $ℂ^{p}$ et $P$ fixé dans ${GL}_{p} (ℂ)$ . Montrer la continuité des applications $ϕ, ψ : E \to E$ définies par

$ϕ (M) = M X et ψ (M) = P^{- 1} M P .$
(b)

Montrer la continuité de l’application $f : E \times E \to E$ définie par

$f (M, N) = M N .$

Solution

(a)

Les applications $ϕ$ et $ψ$ sont linéaires au départ d’un espace de dimension finie donc continues.
(b)

L’application $f$ est bilinéaire au départ d’un produit d’espaces de dimensions finies donc continue.

Exercice 2 3913 Correction

Soit $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ muni de ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ .

Montrons que l’application $u : f \mapsto u (f)$ où

\forall x \in [0; 1], u (f) (x) = f (0) + x (f (1) - f (0))

est un endomorphisme continu de $E$ .

Solution

L’application $u$ est clairement un endomorphisme de $E$ . Pour tout $x \in [0; 1]$ ,

u (f) (x) = (1 - x) f (0) + x f (1)

donc

| u (f) (x) | \leq (1 - x) | f (0) | + x | f (1) | \leq (1 - x) {∥ f ∥}_{\infty} + x {∥ f ∥}_{\infty} = {∥ f ∥}_{\infty} .

Ainsi, ${∥ u (f) ∥}_{\infty} \leq {∥ f ∥}_{\infty}$ . L’endomorphisme $u$ est continu.

Exercice 3 3907 Correction

On note $E = ℓ^{\infty} (ℝ)$ l’espace vectoriel normé des suites réelles bornées muni de la norme ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ . Pour $u = (u_{n}) \in ℓ^{\infty} (ℝ)$ , on pose $T (u)$ et $Δ (u)$ les suites définies par

{(T (u))}_{n} = u_{n + 1} et {(Δ (u))}_{n} = u_{n + 1} - u_{n} .

Montrer que les applications $T$ et $Δ$ sont des endomorphismes continus de $E$ .

Solution

Vérifions que $T$ est un endomorphisme de $E$ .

Pour $u = (u_{n}) \in ℓ^{\infty} (ℝ)$ , il existe $M \in ℝ_{+}$ tel que $| u_{n} | \leq M$ pour tout $n \in ℕ$ . On a alors

\forall n \in ℕ, | {(T (u))}_{n} | = | u_{n + 1} | \leq M .

La suite $T (u)$ est donc élément de $ℓ^{\infty} (ℝ)$ . L’application $T$ est correctement définie de $E$ vers $E$ .

Soient $λ, μ \in ℝ$ et $u, v \in E$ . Pour tout $n \in ℕ$ n

	${(T (λ u + μ v))}_{n}$	$= {(λ u + μ v)}_{n + 1} = λ u_{n + 1} + μ v_{n + 1}$
		$= λ {(T (u))}_{n} + μ {(T (v))}_{n} = {(λ T (u) + μ T (v))}_{n} .$

Ainsi, $T (λ u + μ v) = λ T (u) + μ T (v)$ . L’application $T$ définit bien un endomorphisme de $E$ .

On vérifie de même que $Δ$ est un endomorphisme de $E$ ou bien on emploie $Δ = T - {Id}_{E}$ pour parvenir à la même conclusion par opérations sur les endomorphismes.

Pour montrer qu’une application linéaire $f \in ℒ (E, E^{'})$ est continue, il suffit de déterminer $k \in ℝ$ vérifiant $∥ f (x) ∥ \leq k ∥ x ∥$ pour tout $x \in E$ .

Soit $u = (u_{n}) \in ℓ^{\infty} (ℝ)$ . Pour tout entier naturel $n$ ,

| {(T (u))}_{n} | = | u_{n + 1} | \leq sup_{n \in ℕ} | u_{n} | = {∥ u ∥}_{\infty} .

En passant à la borne supérieure,

{∥ T (u) ∥}_{\infty} = sup_{n \in ℕ} | {(T (u))}_{n} | \leq 1 \times {∥ u ∥}_{\infty} .

L’application linéaire $T$ est donc continue.

On obtient de même que l’application linéaire $Δ$ est continue en observant

| Δ {(u)}_{n} | = | u_{n + 1} - u_{n} | \leq | u_{n + 1} | + | u_{n} | \leq 2 {∥ u ∥}_{\infty} .

On peut aussi justifier que l’endomorphisme $Δ$ est continu par différence de fonctions continues sachant $Δ = T - {Id}_{E}$ avec $T$ et ${Id}_{E}$ endomorphismes continus.

Exercice 4 3908 Correction

Soit $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ muni de ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ définie par

{∥ f ∥}_{\infty} = sup_{[0; 1]} | f | .

Étudier la continuité de la forme linéaire $φ : f \mapsto f (1) - f (0)$ .

Solution

Pour tout $f \in E$ ,

| φ (f) | \leq | f (1) | + | f (0) | \leq 2 {∥ f ∥}_{\infty}

donc $φ$ est continue.

Exercice 5 3911 Correction

Soit $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ muni de ${∥ \cdot ∥}_{1}$ définie par

{∥ f ∥}_{1} = \int_{0}^{1} | f (t) | d t .

Étudier la continuité de la forme linéaire

φ : f \mapsto \int_{0}^{1} t f (t) d t .

Solution

Pour tout $f \in E$ ,

| φ (f) | = \int_{0}^{1} | t f (t) | d t \leq {∥ f ∥}_{1}

donc $φ$ est continue.

Exercice 6 3909 Correction

Soient $E = 𝒞^{0} ([0; 1], ℝ)$ et $F = 𝒞^{1} ([0; 1], ℝ)$ . On définit $N_{1} et N_{2}$ par

N_{1} (f) = {∥ f ∥}_{\infty} et N_{2} (f) = {∥ f ∥}_{\infty} + {∥ f^{'} ∥}_{\infty} .

On définit $T : E \to F$ en posant, pour tout $f : [0; 1] \to ℝ$ , $T (f) : [0; 1] \to ℝ$ est donnée par

T (f) (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t .

Montrer que $T$ est une application linéaire continue.

Solution

L’application $T$ est bien définie et est clairement linéaire. Pour tout $x \in [0; 1]$ , $| T (f) (x) | \leq x N_{1} (f)$ donc

N_{2} (T (f)) = {∥ T (f) ∥}_{\infty} + {∥ f ∥}_{\infty} \leq 2 N_{1} (f) .

Ainsi, $T$ est continue.

Exercice 7 3910 Correction

On munit l’espace $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ de la norme ${∥ \cdot ∥}_{2}$ . Pour $f$ et $φ$ éléments de $E$ , on pose

T_{φ} (f) = \int_{0}^{1} f (t) φ (t) d t .

Montrer que $T_{φ}$ est une forme linéaire continue.

Solution

$T_{φ} : E \to ℝ$ est bien définie et est clairement linéaire. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

| T_{φ} (f) | \leq {∥ φ ∥}_{2} {∥ f ∥}_{2}

donc $T_{φ}$ est continue.

Exercice 8 4695

Sur l’espace $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ des fonctions continues de $[0; 1]$ vers $ℝ$ , on considère les normes

{∥ f ∥}_{1} = \int_{0}^{1} | f (t) | d t et {∥ f ∥}_{\infty} = sup_{t \in [0; 1]} | f (t) | .

On considère aussi l’endomorphisme $u$ de $E$ qui envoie $f$ sur la fonction $u (f)$ déterminée par

u (f) (t) = f (t) - f (0) .

(a)

Montrer que l’endomorphisme $u$ est continu pour la norme ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ .
(b)

Montrer que l’endomorphisme $u$ n’est pas continu pour la norme ${∥ \cdot ∥}_{1}$ .
(c)

Les normes ${∥ \cdot ∥}_{1}$ et ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ sont-elles équivalentes?

Exercice 9 496 Correction

Soient $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ et $u$ l’endomorphisme de $E$ qui envoie $f \in E$ sur la fonction

u (f) : x \mapsto f (x) - f (0) .

(a)

Montrer que pour $E$ muni de ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ l’endomorphisme $u$ est continu.
(b)

Montrer que pour $E$ muni de ${∥ \cdot ∥}_{1}$ l’endomorphisme $u$ n’est pas continu.

Solution

(a)

On a

${∥ u (f) ∥}_{\infty} \leq {∥ f ∥}_{\infty} + | f (0) | \leq 2 {∥ f ∥}_{\infty}$

donc l’endomorphisme $u$ est continu pour la norme ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ .
(b)

Pour $f : x \mapsto (n + 1) {(1 - x)}^{n}$ , ${∥ f ∥}_{1} = 1$ et

${∥ u (f) ∥}_{1} = \int_{0}^{1} (n + 1) - (n + 1) {(1 - x)}^{n} d x = n \to + \infty .$

L’endomorphisme $u$ n’est donc pas continu pour la norme ${∥ \cdot ∥}_{1}$ .

Exercice 10 3912 Correction

Sur $ℝ [X]$ , on définit $N_{1}$ et $N_{2}$ par

N_{1} (P) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} | P^{(k)} (0) | et N_{2} (P) = sup_{t \in [- 1,1]} | P (t) | .

(a)

Montrer que $N_{1}$ et $N_{2}$ sont deux normes sur $ℝ [X]$ .
(b)

Montrer que la dérivation est continue pour $N_{1}$ .
(c)

Montrer que la dérivation n’est pas continue pour $N_{2}$ .
(d)

$N_{1}$ et $N_{2}$ sont-elles équivalentes?

Solution

(a)

L’application $N_{1} : ℝ [X] \to ℝ_{+}$ est bien définie car la somme se limite à un nombre fini de termes non nuls.
Si $N_{1} (P) = 0$ alors

$\forall k \in ℤ, P^{(k)} (0) = 0$

or

$P = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{P^{(k)} (0)}{k!} X^{k}$

donc $P = 0$ .
Soient $P, Q \in ℝ [X]$ .

$N_{1} (P + Q) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} | P^{(k)} (0) + Q^{(k)} (0) | \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} | P^{(k)} (0) | + | Q^{(k)} (0) |$

donc

$N_{1} (P + Q) \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} | P^{(k)} (0) | + \sum_{k = 0}^{+ \infty} | Q^{(k)} (0) | = N_{1} (P) + N_{1} (Q) .$

Soient $P \in ℝ [X]$ et $λ \in ℝ$

$N_{1} (λ P) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} | λ P^{(k)} (0) | = | λ | \sum_{k = 0}^{+ \infty} | P^{(k)} (0) | = | λ | N_{1} (P) .$

Finalement, $N_{1}$ est une norme.

L’application $N_{2} : ℝ [X] \to ℝ_{+}$ est bien définie car une fonction continue sur un segment y est bornée.
Si $N_{2} (P) = 0$ alors

$\forall t \in [- 1; 1], P (t) = 0 .$

Par infinité de racines $P = 0$ .
Soient $P, Q \in ℝ [X]$ .

$N_{2} (P + Q) = sup_{t \in [- 1; 1]} | P (t) + Q (t) | \leq sup_{t \in [- 1; 1]} | P (t) | + | Q (t) |$

donc

$N_{2} (P + Q) \leq sup_{t \in [- 1; 1]} | P (t) | + sup_{t \in [- 1; 1]} | Q (t) | = N_{2} (P) + N_{2} (Q) .$

Soient $P \in ℝ [X]$ et $λ \in ℝ$ .

$N_{2} (λ P) = sup_{t \in [- 1; 1]} | λ P (t) | = sup_{t \in [- 1; 1]} | λ | | P (t) | = | λ | sup_{t \in [- 1; 1]} | P (t) | = | λ | N_{2} (P) .$

Finalement, $N_{2}$ est aussi norme.
(b)

Notons $D : ℝ [X] \to ℝ [X]$ l’opération de dérivation.

$\forall P \in ℝ [X], N_{1} (D (P)) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} | D {(P)}^{(k)} (0) | = \sum_{k = 0}^{+ \infty} | P^{(k + 1)} (0) | \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} | P^{k} (0) | = N_{1} (P)$

donc l’endomorphisme $D$ est continu pour la norme $N_{1}$ .
(c)

Soit $P_{n} = X^{n}$ . On a $D (P_{n}) = n X^{n - 1}$ donc $N_{2} (P_{n}) = 1$ et $N_{2} (D (P_{n})) = n \to + \infty$ .
Par suite, l’endomorphisme $D$ n’est pas continu pour $N_{2}$ .
(d)

Par ce qui précède, les normes ne sont pas équivalentes. Néanmoins $P = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{P^{(k)} (0)}{k!} X^{k}$ donc

$| P (t) | \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{| P^{(k)} (0) |}{k!} \leq N_{1} (P)$

donc

$N_{2} (P) \leq N_{1} (P) .$

C’est là la seule (et la meilleure) comparaison possible.

Exercice 11 3914 Correction

Pour $a = (a_{n}) \in ℓ^{\infty} (ℕ, ℝ)$ et $u = (u_{n}) \in ℓ^{1} (ℕ, ℝ)$ , on pose

⟨ a, u ⟩ = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} u_{n} .

(a)

Justifier l’existence de $⟨ a, u ⟩$ .
(b)

Montrer que l’application $φ_{u} : a \mapsto ⟨ a, u ⟩$ est continue.
(c)

Même question avec $ψ_{a} : u \mapsto ⟨ a, u ⟩$ .

Solution

(a)

On a $| a_{n} u_{n} | ⩽ {∥ a ∥}_{\infty} | u_{n} |$ et $\sum | u_{n} |$ converge donc, par comparaison de séries à termes positifs, $\sum a_{n} u_{n}$ est absolument convergente et donc convergente.
(b)

Soit $u \in ℓ^{1} (ℕ, ℝ)$ . On vérifie aisément que l’application $φ_{u}$ est linéaire, il s’agit donc d’une forme linéaire sur l’espace normé $ℓ^{\infty} (ℕ, ℝ)$ .

Pour $a \in ℓ^{\infty} (ℕ, ℝ)$ ,

$| ⟨ a, u ⟩ | ⩽ \sum_{n = 0}^{+ \infty} | a_{n} u_{n} | ⩽ \sum_{n = 0}^{+ \infty} {∥ a ∥}_{\infty} | u_{n} | = {∥ u ∥}_{1} {∥ a ∥}_{\infty} .$

Par lipschitzianité en $0$ , on obtient que que l’application linéaire $φ_{u}$ est continue.
(c)

Soit $a \in ℓ^{\infty} (ℕ, ℝ)$ . Comme au-dessus, l’application $ψ_{a}$ est une forme linéaire sur $ℓ^{1} (ℕ, ℝ)$ et l’inégalité $| ⟨ a, u ⟩ | ⩽ {∥ a ∥}_{\infty} {∥ u ∥}_{1}$ pour tout $u \in ℓ^{1} (ℕ, ℝ)$ donne la continuité de celle-ci.

Exercice 12 4697

Déterminer deux normes sur l’espace $E = ℝ [X]$ , l’une pour laquelle l’endomorphisme de dérivation est continu, l’autre pour laquelle il ne l’est pas.

Exercice 13 485 Correction

Soient $E$ et $E^{'}$ deux espaces vectoriels normés et $f \in ℒ (E, E^{'})$ .

On suppose que, pour toute suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ de vecteurs de $E$ de limite nulle, la suite image ${(f (u_{n}))}_{n \in ℕ}$ est bornée.

Montrer que l’application $f$ est continue.

Solution

Raisonnons par contraposition. Supposons que $f$ n’est pas continue. L’application linéaire $f$ n’est donc pas lipschitzienne en $0_{E}$ et, par suite, pour tout $n \in ℕ$ , il existe $x_{n} \in E$ tel que

∥ f (x_{n}) ∥ > n ∥ x_{n} ∥

Considérons alors

y_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{x_{n}}{∥ x_{n} ∥}

On remarque

y_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 car ∥ y_{n} ∥ = \frac{1}{\sqrt{n}}

∥ f (y_{n}) ∥ = \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{∥ f (x_{n}) ∥}{∥ x_{n} ∥} \geq \sqrt{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty

Il existe donc une suite de vecteurs de $E$ de limite de $E$ dont l’image par $f$ n’est pas bornée.

Exercice 14 5432 MINES (MP)Correction

Soient $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel normé et $f : E \to E$ une fonction bornée sur la boule unité fermée et vérifiant

\forall (x, y) \in E^{2}, f (x + y) = f (x) + f (y) .

Montrer que $f$ est un endomorphisme continu.

Solution

On veut établir

\forall x \in E, \forall λ \in ℝ, f (λ . x) = λ . f (x) .

Avec $x = y = 0_{E}$ , on établit $f (0_{E}) = 0_{E}$ .

Avec $y = - x$ , on constate $f (- x) = - f (x)$

On peut alors montrer

\forall x \in E, \forall n \in ℤ, f (n . x) = n . f (x)

en commençant par résoudre le cas $n \in ℕ$ par récurrence.

Soit $λ \in ℚ$ . On écrit $λ = p / q$ avec $p \in ℤ$ et $q \in ℕ^{*}$ . Pour $x \in E$ ,

f (λ . x) = f (\frac{p}{q} . x) = p . f (\frac{1}{q} . x) et f (x) = f (\frac{q}{q} . x) = q . f (\frac{1}{q} . x) .

On en déduit

f (λ . x) = \frac{p}{q} . f (x) = λ . f (x) .

Il s’agit maintenant d’étendre cette relation à $λ$ réel. Pour cela, on commence par établir que $f$ est continue en $0_{E}$ .

Puisque $f$ est bornée sur la boule unité fermée, il existe $M \in ℝ_{+}$ tel que

\forall x \in E, ∥ x ∥ \leq 1 ⟹ ∥ f (x) ∥ \leq M .

Soit $ε > 0$ . Pour $n \in ℕ^{*}$ assez grand, on a $M / n \leq ε$ et alors, pour tout $x \in E$ ,

	$∥ x ∥ \leq \frac{1}{n}$	$⟹ ∥ n . x ∥ \leq 1$
		$⟹ ∥ f (n . x) ∥ \leq M$
		$⟹ n ∥ f (x) ∥ \leq M$
		$⟹ ∥ f (x) ∥ \leq \frac{M}{n}$
		$⟹ ∥ f (x) ∥ \leq ε .$

Ainsi, l’application $f$ est continue en $0_{E}$ puis en tout $x_{0} \in E$ car

f (x) - f (x_{0}) = f (x - x_{0}) \to_{x \to x_{0}}^{} f (0_{E}) = 0_{E} .

Il reste à conclure quant à la linéarité. Considérons $x \in E$ et $λ \in ℝ$ . Il existe une suite $(λ_{n}) \in ℚ^{ℕ}$ de limite $λ$ et alors, par continuité en $λ . x$

f (λ_{n} . x) \to_{n \to + \infty}^{} f (λ . x) .

f (λ_{n} . x) \underset{λ_{n} \in ℚ}{=} λ_{n} . f (x) \to_{n \to + \infty}^{} λ . f (x) .

Par unicité de la limite, on conclut

f (λ . x) = λ . f (x) .

Exercice 15 486 Correction

Montrer que $N_{1}$ et $N_{2}$ normes sur $E$ sont équivalentes si, et seulement si, ${Id}_{E}$ est bicontinue¹¹ 1 Cela signifie que l’application est continue ainsi que sa bijection réciproque. de $(E, N_{1})$ vers $(E, N_{2})$ .

Solution

La continuité de l’application linéaire ${Id}_{E}$ de $(E, N_{1})$ vers $(E, N_{2})$ équivaut à l’existence d’un réel $α \geq 0$ vérifiant $N_{2} (x) \leq α N_{1} (x)$ pour tout $x \in E$ . La propriété annoncée est alors immédiate.

Exercice 16 2832 MINES (MP)Correction

Soient $d$ un entier naturel et $(f_{n})$ une suite de fonctions polynomiales de $ℝ$ dans $ℝ$ de degré au plus $d$ . On suppose qu’il existe des réels deux à deux distincts $α_{0}, \dots, α_{d}$ tels que chacune des suites $(f_{n} (α_{0})), \dots, (f_{n} (α_{d}))$ converge.

Montrer que la limite est polynomiale de degré au plus $d$ , la convergence étant de plus uniforme sur tout segment.

Solution

Considérons $φ : ℝ_{d} [X] \to ℝ^{d + 1}$ définie par

φ (P) = (P (α_{0}), \dots, P (α_{d})) .

L’application $φ$ est un isomorphisme de $ℝ$ -espaces vectoriels de dimensions finies, c’est aussi une application linéaire continue car les espaces engagés sont de dimensions finies et il en est de même de $φ^{- 1}$ .

En notant $β_{i}$ la limite de $(f_{n} (α_{i}))$ , on a

φ (f_{n}) \to_{n \to + \infty}^{} (β_{0}, \dots, β_{d}) .

En notant $P$ l’élément de $ℝ_{d} [X]$ déterminé par $φ (P) = (β_{0}, \dots, β_{d}))$ , on peut écrire

φ (f_{n}) \to_{n \to + \infty}^{} φ (P) .

Par continuité de l’application $φ^{- 1}$ ,

f_{n} \to_{n \to + \infty}^{} P .

En choisissant sur $ℝ_{d} [X]$ , la norme ${∥ \cdot ∥}_{\infty, [a; b]}$ , on peut affirmer que $(f_{n})$ converge uniformément vers $P$ sur le segment $[a; b]$ .

En particulier, $(f_{n})$ converge simplement vers $P$ et en substance $P = f$ .

Exercice 17 6040 CENTRALE (MP)Correction

Soit $E$ un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension finie $n \geq 1$ .

(a)

Rappeler la définition de ce qu’est un hyperplan de $E$ .

Soit $φ$ une forme linéaire non nulle sur $E$ . Montrer que $dim Ker (φ) = n - 1$ .

Soient $φ_{1}, \dots, φ_{p}$ et $ψ$ des formes linéaires sur $E$ . On suppose que la famille $(φ_{1}, \dots, φ_{p})$ est libre et l’on se propose d’établir que les assertions suivantes sont équivalentes:

(i) $ψ \in Vect (φ_{1}, \dots, φ_{p})$ ;

(ii) $⋂_{k = 1}^{p} Ker (φ_{k}) \subset Ker (ψ)$ ;

(iii) $\exists C \in ℝ_{+}, \forall x \in E, | ψ (x) | \leq C \max_{1 \leq k \leq p} | φ_{k} (x) |$ .

(b)

Montrer les implications évidentes.
(c)

En considérant $θ : x \in E \mapsto (φ_{1} (x), \dots, φ_{p} (x))$ et en établissant que $θ$ est surjective, montrer $(ii) ⟹ (i)$ .
(d)

En considérant un supplémentaire de $⋂_{k = 1}^{p} Ker (φ_{k})$ , montrer $(ii) ⟹ (iii)$

Solution

(a)

Un hyperplan est le noyau d’une forme linéaire non nulle.

Pour $φ \in E^{*}$ , on a $Im (φ) \subset 𝕂$ donc $rg (φ) \leq 1$ . Si de plus $φ \neq 0$ alors $rg (φ) = 1$ . Par la formule du rang, $dim Ker (φ) = n - 1$ .
(b)

(i) $⟹$ (ii) Supposons $ψ$ combinaison linéaire des formes linéaires $φ_{1}, \dots, φ_{p}$ . Si $x$ appartient à l’intersection des $Ker (φ_{k})$ alors $φ_{k} (x) = 0$ pour $k = 1, \dots, n$ et donc $ψ (x) = 0$ .

(iii) $⟹$ (ii) Supposons (iii) Si $x$ appartient à l’intersection des $Ker (φ_{k})$ alors $φ_{k} (x) = 0$ pour $k = 1, \dots, n$ et donc

$| ψ (x) | \leq C \max_{1 \leq k \leq p} | φ_{k} (x) | = 0$

ce qui entraîne $ψ (x) = 0$ .
(c)

Supposons $K = ⋂_{k = 1}^{p} Ker (φ_{k}) \subset Ker (ψ)$ .

Considérons l’application linéaire

$θ : {\begin{matrix} E & \to & 𝕂^{p} \\ x & \mapsto & (φ_{1} (x), \dots, φ_{p} (x)) . \end{matrix}$

Le noyau de $θ$ correspond à $K$ .

Soient $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ et $c = (c_{1}, \dots, c_{p})$ la base canonique de $𝕂^{p}$ . La matrice de l’application linéaire $θ$ relative aux bases $e$ et $c$ est

$A = (\begin{matrix} φ_{1} (e_{1}) & \dots & φ_{1} (e_{n}) \\ ⋮ & ⋮ \\ φ_{p} (e_{1}) & \dots & φ_{p} (e_{n}) \end{matrix}) \in ℳ_{p, n} (𝕂) .$

La liberté de la famille $(φ_{1}, \dots, φ_{p})$ entraîne la liberté de la famille des lignes de la matrice $A$ . On en déduit $rg (θ) = rg (A) = p$ . L’application linéaire $θ$ est surjective.

Pour chaque $j = 1, \dots, p$ , il existe $x_{j} \in E$ tel que $θ (x_{j}) = c_{j}$ . La famille $(x_{1}, \dots, x_{p})$ ainsi introduite est une famille libre de vecteurs de $E$ qui engendre un espace supplémentaire de $K$ dans $E$ .

Considérons alors $ϕ = a_{1} φ_{1} + \dots + a_{p} φ_{p}$ avec $a_{j} = ψ (x_{j}) \in 𝕂$ .

La forme linéaire $ϕ$ co$̈\mathrm{i}$ncide avec $ψ$ sur l’espace $K$ ainsi que sur chaque vecteur $x_{j}$ pour $j = 1, \dots, p$ . Par co$̈\mathrm{i}$ncidence sur deux deux espaces supplémentaires, les applications linéaires $φ$ et $ψ$ sont égales sur $E$ et, par conséquent, $ψ \in Vect (φ_{1}, \dots, φ_{p})$ .
(d)

Supposons $K = ⋂_{k = 1}^{p} Ker (φ_{k}) \subset Ker (ψ)$ et considérons $V$ un sous-espace vectoriel supplémentaire de cette intersection.

On vérifie facilement que l’application $N : x \in V \mapsto \max_{1 \leq k \leq p} | φ_{k} (x) |$ définit une norme sur $V$ notamment parce que $K \cap V = {0}$ . Par continuité de la restriction de $ψ$ sur $V$ ,

$\exists C \in ℝ_{+}, \forall x \in V, | ψ (x) | \leq C \max_{1 \leq k \leq p} | φ_{k} (x) |$

Cette inégalité est encore vraie pour $x \in E = K + V$ car $ψ$ et $φ_{1}, \dots, φ_{p}$ sont nulles sur $K$ .

Exercice 18 5895 Correction

On considère l’espace $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ normé par ${∥ \cdot ∥}_{1}$ .

Soit $φ : [0; 1] \to [0; 1]$ une bijection continue et croissante.

On étudie l’endomorphisme $T_{φ}$ de $E$ donné par $T_{φ} (f) = f \circ φ$ .

(a)

On suppose que $φ^{- 1}$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $[0; 1]$ . Montrer que $T_{φ}$ est continue.
(b)

On suppose que $φ : x \mapsto x^{2}$ . Montrer que $T_{φ}$ n’est pas continu.
(c)

Montrer que $T_{φ}$ est continue si, et seulement si, $φ^{- 1}$ est lipschitzienne.

Solution

(a)

Pour $f \in E$ ,

${∥ T_{φ} (f) ∥}_{1} = \int_{0}^{1} | f \circ φ (t) | d t .$

On réalise le changement de variable $t = φ^{- 1} (s)$ pour lequel $d t = {(φ^{- 1})}^{'} (s) d s$ .

${∥ T_{φ} (f) ∥}_{1} = \int_{0}^{1} | f (s) | {(φ^{- 1})}^{'} (s) d s .$

En introduisant $M = {sup}_{[0; 1]} {(φ^{- 1})}^{'}$ (ce qui est possible car ${(φ^{- 1})}^{'}$ est continue sur $[0; 1]$ donc bornée),

${∥ T_{φ} (f) ∥}_{1} \leq \int_{0}^{1} | f (s) | M d s = M {∥ f ∥}_{1} .$

L’application linéaire $T_{φ}$ est lipschitzienne en $0$ donc continue.
(b)

Considérons $f_{n} : x \mapsto e^{- n x}$ pour $n \in ℕ$ .

On a

${∥ f_{n} ∥}_{1} = \int_{0}^{1} e^{- n x} d x \underset{t = n x}{=} \frac{1}{n} \int_{0}^{n} e^{- t} d t \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n} \underset{\begin{matrix} = 1 \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t}}$

et

${∥ T_{φ} (f_{n}) ∥}_{1} = \int_{0}^{1} e^{- n x^{2}} d x \underset{t \sqrt{n} x}{=} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{0}^{\sqrt{n}} e^{- t^{2}} d t \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{n}} \underset{\begin{matrix} = C > 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t}}$

donc

$\frac{{∥ T_{φ} (f_{n}) ∥}_{1}}{{∥ f_{n} ∥}_{1}} \underset{n \to + \infty}{\sim} C \sqrt{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .$

L’application linéaire $T_{φ}$ n’est donc pas continue.
(c)

Supposons $T_{φ}$ continue. Il existe $k \in ℝ_{+}$ tel que

$\forall f \in E, {∥ T_{φ} (f) ∥}_{1} \leq k {∥ f ∥}_{1} .$

On considère $f = 1_{[a; b]}$ pour $[a; b] \subset [0; 1]$ .

On peut aisément définir une suite de fonctions continues ${(f_{n})}_{n \in ℕ}$ convergeant simplement vers $f$ et vérifiant $0 \leq f_{n} \leq 1$ pour tout $n \in ℕ$ .

Par convergence dominée,

${∥ T_{φ} (f_{n}) ∥}_{1} = \int_{0}^{1} f_{n} \circ φ (t) d t \to_{n \to + \infty}^{} \int_{0}^{1} f \circ φ (t) d t$

et

${∥ f_{n} ∥}_{1} = \int_{0}^{1} f_{n} (t) d t \to_{n \to + \infty}^{} \int_{0}^{1} f (t) d t .$

L’inégalité ${∥ T_{φ} (f_{n}) ∥}_{1} \leq k {∥ f_{n} ∥}_{1}$ donne alors à la limite

$\int_{0}^{1} f \circ φ (t) d t \leq k \int_{0}^{1} f (t) d t = k (b - a)$

avec

$\int_{0}^{1} f \circ φ (t) d t = \int_{0}^{1} 1_{[a; b]} (φ (t)) d t = \int_{φ^{- 1} (a)}^{φ^{- 1} (b)} d t = φ^{- 1} (b) - φ^{- 1} (a) .$

Ainsi, $φ^{- 1} (b) - φ^{- 1} (a) \leq k (b - a)$ pour tous $a \leq b \in [0; 1]$ : la fonction $φ^{- 1}$ est lipschitzienne.

Inversement, supposons $φ^{- 1}$ lipschitzienne. Il existe $k \in ℝ_{+}$ vérifiant

$\forall x, y \in [0; 1], | φ^{- 1} (y) - φ^{- 1} (x) | \leq k | y - x |$

À rebours du calcul précédent, on obtient

$\int_{0}^{1} f \circ φ (t) \leq k \int_{0}^{1} f (t) d t .$

Pour toute fonction $f$ indicatrice d’un segment $[a; b]$ . Par combinaison linéaire, l’inégalité est aussi vraie pour $f$ fonction en escalier positive et, par convergence dominée, elle est encore vraie pour $f$ continue positive sur $[0; 1]$ . En l’appliquant à $| f |$ au lieu de $f$ , on acquiert ${∥ T_{φ} (f) ∥}_{1} \leq k {∥ f ∥}_{1}$ . L’endomorphisme $T_{φ}$ est continu.

[<] Lipchitzianité [>] Norme subordonnée

Édité le 09-01-2026

Continuité et linéarité