[>] Continuité

 
Exercice 1  1735  

Étudier les limites en (0,0) des fonctions suivantes:

  • (a)

    f(x,y)=x2y2x2+y2

  • (b)

    f(x,y)=x2-y2x2+y2

  • (c)

    f(x,y)=xyx-y.

 
Exercice 2  1736  Correction  

Étudier les limites en (0,0) des fonctions suivantes:

  • (a)

    f(x,y)=x3y

  • (b)

    f(x,y)=x+2yx2-y2

  • (c)

    f(x,y)=x2+y2|x|+|y|

Solution

  • (a)

    On a

    f(0,1/n)n+0 avec (0,1/n)n+(0,0)

    Aussi,

    f(1/n,1/n3)n+1 avec (1/n,1/n3)n+(0,0)

    Ces deux limites étant distinctes, la fonction f ne peut admettre de limite en (0,0).

  • (b)

    On a

    f(0,-1/n)=2nn++ avec (0,-1/n)n+(0,0)

    Aussi

    f(0,1/n)=-2nn+- avec (0,1/n)n+(0,0)

    Ces deux limites étant distinctes, la fonction f ne peut admettre de limite en (0,0).

  • (c)

    On remarque

    0f(x,y)x2+2|x||y|+y2|x|+|y|=|x|+|y|(x,y)(0,0)0

    Par encadement, on conclut que f est de limite nulle.

 
Exercice 3  478  Correction  

Étudier les limites en (0,0) des fonctions suivantes:

  • (a)

    f(x,y)=x3+y3x2+y2

  • (b)

    f(x,y)=xyx4+y4

  • (c)

    f(x,y)=x2yx4+y2

  • (d)

    f(x,y)=xyx-y

Solution

  • (a)

    On écrit x=rcos(θ) et y=rsin(θ) avec r=x2+y20 et alors

    f(x,y)=r(cos3(θ)+sin3(θ))(x,y)(0,0)0.
  • (b)

    f(1/n,0)0 et f(1/n,1/n3)1. La fonction f n’a pas de limite en (0,0).

  • (c)

    f(1/n,0)=00 et f(1/n,1/n2)=1/21/2. La fonction f n’a pas de limite en (0,0).

  • (d)

    f(1/n,0)=00 et f(1/n+1/n2,1/n)=1/n2+1/n31/n21. La fonction f n’a pas de limite en (0,0).

 
Exercice 4  68  Correction  

Étudier les limites en (0,0) des fonctions suivantes:

  • (a)

    f(x,y)=sin(xy)x2+y2

  • (b)

    f(x,y)=1-cos(xy)xy2

  • (c)

    f(x,y)=xy=eyln(x)

  • (d)

    f(x,y)=sh(x)sh(y)x+y

Solution

  • (a)

    |f(x,y)||xy|x2+y2=r|sin(θ)cos(θ)|(x,y)(0,0)0

  • (b)

    f(x,y)=x1-cos(xy)x2y2 or limt01-cos(t)t2=12 donc f(x,y)(x,y)(0,0)0.

  • (c)

    f(1/n,0)1 et f(1/n,1/ln(n))1/e. Pas de limite en (0,0).

  • (d)

    Quand x0, f(x,-x+x3)-1x. La fonction f n’a pas de limite en (0,0).

 
Exercice 5  1737  Correction  

Soient f: une fonction de classe 𝒞1 et F:2{(0,0)} définie par

F(x,y)=f(x2+y2)-f(0)x2+y2.

Étudier la limite de F en (0,0).

Solution

Par le théorème des accroissements finis, il existe cx,y]0;x2+y2[ tel que

F(x,y)=f(cx,y).

Par encadrement,

cx,y(x,y)(0,0)0

puis, par composition,

F(x,y)(x,y)(0,0)f(0).
 
Exercice 6  480  Correction  

Soit f:+×+* définie par f(x,y)=xy pour x>0 et f(0,y)=0.

  • (a)

    Montrer que f est une fonction continue.

  • (b)

    Est-il possible de la prolonger en une fonction continue sur +×+?

Solution

  • (a)

    f(x,y)=exp(yln(x)) est continue sur +*×+* par opérations sur les fonctions continues.
    Il reste à étudier la continuité aux points (0,b) avec b>0.
    Quand (x,y)(0,b) avec (x,y)+*×+* on a yln(x)- et donc f(x,y)=xy0.
    D’autre part, quand (0,y)(0,b), on a f(x,y)=00.
    Ainsi f est continue en (0,b).

  • (b)

    Si l’on peut prolonger f par continuité à +×+ alors
    d’une part f(0,0)=limy0f(0,y)=0 et d’autre part f(0,0)=limx0f(x,x)=1. C’est absurde.

 [>] Continuité



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax