• (a)

  On a

  $$f(\mathrm{0,1}/n)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\text{ avec }(\mathrm{0,1}/n)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}(\mathrm{0,0})\text{.}$$

  Aussi,

  $$f(1/n\mathrm{,1}/n^3)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1\text{ avec }(1/n\mathrm{,1}/n^3)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}(\mathrm{0,0})\text{.}$$

  Ces deux limites étant distinctes, la fonction $f$ ne peut admettre de limite en $(\mathrm{0,0})$.

• (b)

  On a

  $$f(0,-1/n)=2n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }\text{ avec }(0,-1/n)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}(\mathrm{0,0})\text{.}$$

  Aussi

  $$f(\mathrm{0,1}/n)=-2n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}-\mathrm{\infty }\text{ avec }(\mathrm{0,1}/n)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}(\mathrm{0,0})\text{.}$$

  Ces deux limites étant distinctes, la fonction $f$ ne peut admettre de limite en $(\mathrm{0,0})$.

• (c)

  On remarque

  $$0\le f(x,y)\le \frac{x^2+2|x||y|+y^2}{|x|+|y|}=|x|+|y|\underset{(x,y)\to \left(\mathrm{0,0}\right)}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

  Par encadement, on conclut que $f$ est de limite nulle.

Dans chaque situation, $f$ est définie au voisinage de $(\mathrm{0,0})$ et l’on a confronté à la résolution d’une forme indéterminée du type «  $0/0$   ».

• (a)

  On écrit $x=r\cos (\theta )$ et $y=r\sin (\theta )$ avec

  $$r=\sqrt{x^2+y^2}\underset{(x,y)\to \left(\mathrm{0,0}\right)}{\overset{}{\to }}0$$

  et alors, par composition,

  $$f(x,y)=r\left({\cos }^3(\theta )+{\sin }^3(\theta )\right)\underset{(x,y)\to \left(\mathrm{0,0}\right)}{\overset{}{\to }}0\text{.}$$

• (b)

  On remarque

  $$f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\frac{n^2}{2}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}f(\frac{1}{n},-\frac{1}{n})=-\frac{n^2}{2}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}-\mathrm{\infty }\text{.}$$

  La fonction $f$ n’a donc pas de limite en $(\mathrm{0,0})$.

• (c)

  On remarque

  $$f\left(\frac{1}{n}\mathrm{,0}\right)=0\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}f(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2})=\frac{1}{2}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\frac{1}{2}\text{.}$$

  La fonction $f$ n’a donc pas de limite en $(\mathrm{0,0})$.

• (d)

  On remarque

  $$f\left(\frac{1}{n}\mathrm{,0}\right)=0\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}f(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2},\frac{1}{n})=\frac{1/n^2+1/n^3}{1/n^2}=\frac{n+1}{n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1\text{.}$$

  La fonction $f$ n’a donc pas de limite en $(\mathrm{0,0})$.

• (a)

  $\left|f(x,y)\right|\le \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}=r|\sin (\theta )\cos (\theta )|\underset{(x,y)\to \left(\mathrm{0,0}\right)}{\overset{}{\to }}0$

• (b)

  $f(x,y)=x\frac{1-\cos (xy)}{x^2{y}^2}$ or ${lim}_{t\to 0}\frac{1-\cos (t)}{t^2}=\frac{1}{2}$ donc $f(x,y)\underset{(x,y)\to \left(\mathrm{0,0}\right)}{\overset{}{\to }}0$.

• (c)

  $f(1/n\mathrm{,0})\to 1$ et $f\left(1/n\mathrm{,1}/\ln (n)\right)\to 1/\mathrm{e}$. Pas de limite en $(\mathrm{0,0})$.

• (d)

  Quand $x\to 0$, $f(x,-x+x^3)\sim -\frac{1}{x}$. La fonction $f$ n’a pas de limite en $(\mathrm{0,0})$.

Par le théorème des accroissements finis, il existe $c_{x,y}\in ]0;x^2+y^2[$ tel que

Par encadrement,

puis, par composition,

• (a)

  $f(x,y)=\exp \left(y\ln (x)\right)$ est continue sur ${ℝ}_{+}^{*}\times {ℝ}_{+}^{*}$ par opérations sur les fonctions continues.
  Il reste à étudier la continuité aux points $(0,b)$ avec $b>0$.
  Quand $(x,y)\to (0,b)$ avec $(x,y)\in {ℝ}_{+}^{*}\times {ℝ}_{+}^{*}$ on a $y\ln (x)\to -\mathrm{\infty }$ et donc $f(x,y)=x^y\to 0$.
  D’autre part, quand $(0,y)\to (0,b)$, on a $f(x,y)=0\to 0$.
  Ainsi $f$ est continue en $(0,b)$.

• (b)

  Si l’on peut prolonger $f$ par continuité à ${ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}$ alors
  d’une part $f(\mathrm{0,0})={lim}_{y\to 0}f(0,y)=0$ et d’autre part $f(\mathrm{0,0})={lim}_{x\to 0}f(x,x)=1$. C’est absurde.