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Exercice 1  4690  

Justifier la continuité sur 2 de la fonction f:(x,y)ln(1+x2+y4)e-xy.

 
Exercice 2  5059  

On note 𝒮2() l’espace des matrices symétriques de taille 2. Montrer la continuité de l’application φ qui à M𝒮2() associe le couple (λ1,λ2)2 formé des deux valeurs propres de M avec λ1λ2.

 
Exercice 3  4694  

Montrer la continuité de l’application déterminant An(𝕂)det(A).

 
Exercice 4  4696  

Montrer la continuité de l’application qui à une matrice M de GLn(𝕂) associe son inverse.

 
Exercice 5  4693  

Soit f définie de 2 vers par

f(x,y)=xyx2+y2 si (x,y)(0,0)etf(0,0)=0.
  • (a)

    Montrer que f est continue en la variable x pour chaque y de et inversement.

  • (b)

    Montrer que f n’est pas continue en (0,0).

 
Exercice 6  481   

Soit A une partie non vide d’un espace normé E. Pour xE, on pose

d(x,A)=inf{x-a|aA}.

Montrer que l’application xd(x,A) est définie et continue sur E.

 
Exercice 7  1738   Correction  

Soit f:2 définie par

f(x,y)={12x2+y2-1 si x2+y2>1-12x2 sinon.

Montrer que f est continue.

Solution

Notons

D={(x,y)2|x2+y2>1} et E={(x,y)2|x2+y21}

f est continue en chaque point de D et E.
Soit (x0,y0) tel que x02+y02=1 (à la jonction de D et E).
Quand (x,y)(x0,y0) avec (x,y)D, on a

f(x,y)12x02+y02-1=-12x02=f(x0,y0).

Quand (x,y)(x0,y0) avec (x,y)E, on a

f(x,y)-12x02=f(x0,y0).

Finalement, lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0) et donc f est continue en.

 
Exercice 8  1739    

Soient f: une fonction de classe 𝒞1 et F:2 la fonction définie par

F(x,y)={f(y)-f(x)y-x si yxf(x) si y=x.

Montrer que la fonction F est continue sur 2.

 
Exercice 9  1112   Correction  

Soient E1 et E2 deux parties fermés d’un espace vectoriel normé E telles que

E=E1E2.

Montrer qu’une application f:EF est continue si, et seulement si, ses restrictions f1 et f2 au départ de E1 et de E2 le sont.

Solution

L’implication directe est immédiate. Inversement, supposons f1 et f2 continue.
Soit aE.
Si aE1E2 alors la continuité de f1 et de f2 donne

f(x)xa,xE1f(a)

et

f(x)xa,xE2f(a)

donc

f(x)xa,xEf(a).

Si aE1E2 alors il existe α>0 tel que B(a,α)EE2 et donc B(a,α)E1. Puisque f coïncide avec la fonction continue f1 sur un voisinage de a, on peut conclure que f est continue en a.
Le raisonnement est semblable si aE2E1 et tous les cas ont été traités car E=E1E2.

 
Exercice 10  1741  Correction  

Soient A une partie convexe non vide de 2 et f:A une fonction continue.

Soient a et b deux points de A et y un réel tels que f(a)yf(b).

Montrer qu’il existe xA tel que f(x)=y.

Solution

Soit φ:[0;1]2 définie par φ(t)=a+t.(b-a).

Par composition, fφ est continue sur le segment [0;1]. Comme (fφ)(0)=f(a) et (fφ)(1)=f(b), par le théorème des valeurs intermédiaire, il existe t[0;1] tel que (fφ)(t)=y. Pour x=φ(t)A, on a y=f(x).

 
Exercice 11  482   Correction  

Soient g:2 continue et 𝒞 un cercle de centre O et de rayon R>0.

  • (a)

    Montrer qu’il existe deux points A et B de 𝒞 diamétralement opposés tels que g(A)=g(B).

  • (b)

    Montrer qu’il existe deux points C et D de 𝒞, se déduisant l’un de l’autre par un quart de tour tels que g(C)=g(D).

Solution

  • (a)

    Soit f:tg(Rcos(t),Rsin(t)). f est continue et 2π périodique.
    Soit h:tf(t+π)-f(t). h est continue et h(0)+h(π)=f(2π)-f(0)=0 donc h s’annule.

  • (b)

    Soit h:tf(t+π/2)-f(t). h est continue et h(0)+h(π/2)+h(π)+h(3π/2)=0 donc h s’annule.

 
Exercice 12  5246   

Soit n un entier au moins égal à 2.

  • (a)

    Pour An(), montrer que le segment d’extrémités In et A ne contient qu’un nombre fini de matrices non inversibles.

  • (b)

    Montrer que toute matrice non inversible de n() peut s’exprimer comme limite d’une suite de matrices inversibles.

  • (c)

    Soient A,Bn() et λ. Établir11 1 En d’autres termes, les polynômes caractéristiques de AB et BA sont égaux. On pourra consulter aussi le sujet 4352.

    det(λIn-AB)=det(λIn-BA).

    On pourra commencer par étudier le cas où la matrice A est inversible.

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Édité le 08-11-2019

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