Exercice 1 5059

On note $𝒮_{2} (ℝ)$ l’espace des matrices symétriques de taille $2$ . Montrer la continuité de l’application $φ$ qui à $M \in 𝒮_{2} (ℝ)$ associe le couple $(λ_{1}, λ_{2}) \in ℝ^{2}$ formé des deux valeurs propres de $M$ avec $λ_{1} \leq λ_{2}$ .

Exercice 2 4694

Montrer la continuité de l’application déterminant $A \in ℳ_{n} (𝕂) \mapsto \det (A)$ .

Exercice 3 5872 Correction

Établir que l’application $M \mapsto rg (M)$ n’est pas continue sur $ℳ_{n} (𝕂)$ ( $n \geq 1$ ).

Solution

On remarque

\frac{1}{p} I_{n} \to_{p \to + \infty}^{} O_{n}

avec

rg (\frac{1}{p} I_{n}) = n et rg (O_{n}) = 0 .

L’application $M \mapsto rg (M)$ n’est pas continue.

On peut aussi observer que $M \mapsto rg (M)$ prend ses valeurs dans $ℕ$ sur le connexe par arcs $ℳ_{n} (𝕂)$ : si cette application était continue, elle devrait être constante.

Exercice 4 4696

Montrer la continuité de l’application qui à une matrice $M$ de ${GL}_{n} (𝕂)$ associe son inverse.

Exercice 5 481

Soit $A$ une partie non vide d’un espace normé $E$ . Pour $x \in E$ , on pose

d (x, A) = inf {∥ x - a ∥ | a \in A} .

Montrer que l’application $x \mapsto d (x, A)$ est définie et continue sur $E$ .

Exercice 6 1112 Correction

Soient $E_{1}$ et $E_{2}$ deux parties fermés d’un espace vectoriel normé $E$ telles que

E = E_{1} \cup E_{2} .

Montrer qu’une application $f : E \to F$ est continue si, et seulement si, ses restrictions $f_{1}$ et $f_{2}$ au départ de $E_{1}$ et de $E_{2}$ le sont.

Solution

L’implication directe est immédiate. Inversement, supposons $f_{1}$ et $f_{2}$ continue.
Soit $a \in E$ .
Si $a \in E_{1} \cap E_{2}$ alors la continuité de $f_{1}$ et de $f_{2}$ donne

f (x) \to_{x \to a, x \in E_{1}}^{} f (a)

f (x) \to_{x \to a, x \in E_{2}}^{} f (a)

donc

f (x) \to_{x \to a, x \in E}^{} f (a) .

Si $a \in E_{1} ∖ E_{2}$ alors il existe $α > 0$ tel que $B (a, α) \subset ∁_{E} E_{2}$ et donc $B (a, α) \subset E_{1}$ . Puisque $f$ coïncide avec la fonction continue $f_{1}$ sur un voisinage de $a$ , on peut conclure que $f$ est continue en $a$ .
Le raisonnement est semblable si $a \in E_{2} ∖ E_{1}$ et tous les cas ont été traités car $E = E_{1} \cup E_{2}$ .

Exercice 7 482 Correction

Soient $g : ℝ^{2} \to ℝ$ une fonction continue et $𝒞$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R > 0$ .

(a)

Montrer qu’il existe deux points $A$ et $B$ de $𝒞$ diamétralement opposés tels que $g (A) = g (B)$ .
(b)

Montrer qu’il existe deux points $C$ et $D$ de $𝒞$ , se déduisant l’un de l’autre par un quart de tour tels que $g (C) = g (D)$ .

Solution

(a)

Considérons $f : t \mapsto g (R \cos (t), R \sin (t))$ définie sur $ℝ$ . La fonction $f$ est continue et $2 π$ périodique.

Considérons $h : t \to f (t + π) - f (t)$ définie sur $ℝ$ . La fonction $h$ est continue et $h (0) + h (π) = f (2 π) - f (0) = 0$ . La fonction $h$ prens donc des valeurs de signes opposés, par continuité $h$ s’annule. Cette annulation produit deux points diamétralement opposés dont les valeurs par $g$ sont identiques
(b)

Considérons $j : t \mapsto f (t + π / 2) - f (t)$ . La fonction $j$ est continue et $j (0) + j (π / 2) + j (π) + j (3 π / 2) = 0$ . Nécessairement la fonction $j$ s’annule et l’on conclut comme au-dessus.

Exercice 8 5246

Soit $n$ un entier au moins égal à $2$ .

(a)

Pour $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ , montrer que le segment d’extrémités $I_{n}$ et $A$ ne contient qu’un nombre fini de matrices non inversibles.
(b)

Montrer que toute matrice non inversible de $ℳ_{n} (ℝ)$ peut s’exprimer comme limite d’une suite de matrices inversibles.
(c)

Soient $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ et $λ \in ℝ$ . Établir¹¹ 1 En d’autres termes, les polynômes caractéristiques de $A B$ et $B A$ sont égaux. On pourra consulter aussi le sujet 4352.

$\det (λ I_{n} - A B) = \det (λ I_{n} - B A) .$

On pourra commencer par étudier le cas où la matrice $A$ est inversible.

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Édité le 14-10-2023

Continuité