[<] Continuité [>] Continuité et linéarité
Soit une partie non vide d’un espace normé . Pour , on pose
ce qui définit la distance de à .
Justifier l’existence de la borne inférieure définissant .
Soient . Établir .
En déduire que l’application est lipschitzienne sur .
Solution
La partie est incluse dans , non vide et minorée par , sa borne inférieure existe.
Pour tout arbitraire, l’inégalité triangulaire donne
En réorganisant les membres, il vient
Une borne inférieure est le plus grand des minorants. Ici, la quantité est un minorant de l’ensemble des pour parcourant et donc
En réorganisant les membres,
Par symétrie, on obtient aussi
et donc
Finalement, la fonction est lipschitzienne (et donc continue).
Soit l’espace formé des fonctions réelles définies sur , lipschitziennes et s’annulant en .
Montrer que l’application qui à associe le réel
définit une norme sur .
Solution
L’ensemble
est une partie de , non vide (car est lipschitzienne) et minorée par 0.
Par suite, existe.
Montrons que cet inf est en fait un min.
Pour distincts, on a pour tout ,
En passant à la borne inférieure, on obtient
puis
Cette identité est aussi valable quand et donc . Par conséquent, l’application est bien définie. Supposons . Pour tout ,
et donc .
Pour , on a évidemment .
Pour et , l’inégalité
entraîne
On en déduit .
Aussi, l’inégalité
entraîne
On en déduit et finalement .
Enfin, pour ,
donc .
Soient une partie bornée non vide d’un espace vectoriel normé et le sous-espace vectoriel des applications lipschitziennes de dans .
Montrer que les éléments sont des fonctions bornées.
Pour , soit
Justifier l’existence de puis montrer .
Soient et définie par
Montrer que est une norme sur .
Soient . Montrer que les normes et sont équivalentes.
Solution
Soient et tels que pour tout , .
Pour , en notant le rapport de lipschitzianité de ,
L’ensemble est une partie de , non vide (car est lipschitzienne) et minorée par 0.
On en déduit que existe dans .
Pour distincts, on a pour tout
En passant à la borne inférieure, on en déduit
et donc et cette relation est aussi valable quand .
Ainsi,
L’application est bien définie de vers .
Si alors et . Par suite, est constante et donc est la fonction nulle.
Pour et ,
Montrons .
Cas: . La propriété est immédiate.
Cas: . Pour tous ,
donne
On en déduit .
De façon symétrique, on obtient et l’on peut conclure . On en déduit .
Soient .
Montrons . Pour tous ,
On en déduit et leon peut conclure .
Finalement, est une norme sur .
Pour ,
On en déduit
et de façon symétrique,
Soient un espace vectoriel normé et définie par
Montrer que est au moins 2-lipschitzienne.
Solution
Pour , on a
Pour , on a
or
donc
car et .
Pour et ,
car et
Soit un espace vectoriel réel normé. On pose
Montrer que est 2-lipschitzienne.
Montrer que si la norme sur est hilbertienne alors est 1-lipschitzienne.
Solution
Si alors .
Si et alors
Si alors
Au final est 2-lipschitzienne.
Supposons maintenant que la norme soit hilbertienne.
Si alors
Si et alors
Or donc
Si alors
Or donc
Au final est 1-lipschitzienne.
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Édité le 14-10-2023
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