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Exercice 1  1734   Correction  

Soient A une partie non vide de 2 et x un point de 2. On note

d(x,A)=infaAx-a.

Montrer que l’application d:2 est lipschitzienne.

Solution

Pour tout aA,

d(x,A)x-ax-y+y-a

donc

d(x,A)-x-yd(y,A)

puis

d(x,A)-d(y,A)x-y.

Par symétrie,

|d(x,A)-d(y,A)|x-y.

Ainsi xd(x,A) est lipschitzienne.

 
Exercice 2  475   Correction  

Soit E l’espace formé des fonctions réelles définies sur [a;b], lipschitziennes et s’annulant en a.
Montrer que l’application N:E qui à fE associe le réel

N(f)=inf{k+|(x,y)[a;b]2,|f(x)-f(y)|k|x-y|}

définit une norme sur E.

Solution

L’ensemble

A={k+|x,y[a;b],|f(x)-f(y)|k|x-y|}

est une partie de , non vide (car f est lipschitzienne) et minorée par 0.
Par suite, N(f)=infA existe.
Montrons que cet inf est en fait un min.
Pour x,y[a;b] distincts, on a pour tout kA,

|f(x)-f(y)||x-y|k.

En passant à la borne inférieure, on obtient

|f(x)-f(y)||x-y|N(f)

puis

|f(x)-f(y)|N(f)|x-y|.

Cette identité est aussi valable quand x=y et donc N(f)A. Par conséquent, l’application N:E+ est bien définie. Supposons N(f)=0. Pour tout x[a;b],

|f(x)|=|f(x)-f(a)|0.|x-a|

et donc f=0.
Pour λ=0, on a évidemment N(λf)=|λ|N(f).
Pour λ0 et x,y[a;b], l’inégalité

|f(x)-f(y)|N(f)|x-y|

entraîne

|λf(x)-λf(y)||λ|N(f)|x-y|.

On en déduit N(λf)|λ|N(f).
Aussi, l’inégalité

|λf(x)-λf(y)|N(λf)|x-y|

entraîne

|f(x)-f(y)|N(λf)|λ||x-y|.

On en déduit N(f)N(λf)/|λ| et finalement N(λf)=|λ|N(f).
Enfin, pour x,y[a;b],

|(f+g)(x)-(f+g)(y)| |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|
(N(f)+N(g))|x-y|

donc N(f+g)N(f)+N(g).

 
Exercice 3  3052   Correction  

Soient A une partie bornée non vide d’un espace vectoriel normé (E,N) et le sous-espace vectoriel des applications lipschitziennes de A dans E.

  • (a)

    Montrer que les éléments sont des fonctions bornées.

  • (b)

    Pour f, soit

    Kf={k+|(x,y)A2,N(f(x)-f(y))kN(x-y)}.

    Justifier l’existence de c(f)=infKf puis montrer c(f)Kf.

  • (c)

    Soient aA et Na:+ définie par

    Na(f)=c(f)+N(f(a)).

    Montrer que Na est une norme sur .

  • (d)

    Soient a,bA. Montrer que les normes Na et Nb sont équivalentes.

Solution

  • (a)

    Soient x0A et M tels que pour tout xA, xM.
    Pour f, en notant k le rapport de lipschitzianité de f,

    f(x)f(x0)+f(x)-f(x0)f(x0)+kx-x0f(x0)+2kM.
  • (b)

    L’ensemble Kf est une partie de , non vide (car f est lipschitzienne) et minorée par 0.
    On en déduit que c(f)=infKf existe dans +.
    Pour x,yA distincts, on a pour tout kKf

    N(f(x)-f(y))N(x-y)k.

    En passant à la borne inférieure, on en déduit

    N(f(x)-f(y))N(x-y)c(f)

    et donc N(f(x)-f(y))c(f)N(x-y) et cette relation est aussi valable quand x=y.
    Ainsi, c(f)Kf

  • (c)

    L’application Na est bien définie de vers +.

    Si Na(f)=0 alors c(f)=0 et N(f(a))=0. Par suite, f est constante et f(a)=0 donc f est la fonction nulle.

    Pour λ et f,

    Na(λf)=c(λf)+|λ|N(f(a))

    Montrons c(λf)=|λ|c(f).

    Cas: λ=0. La propriété est immédiate.

    Cas: λ0. Pour tous x,yA,

    N(f(x)-f(y))c(f)N(x-y)

    donne

    N(λf(x)-λf(y))|λ|c(f)N(x-y).

    On en déduit c(λf)|λ|c(f).

    De façon symétrique, on obtient c(f)c(λf)/|λ| et l’on peut conclure c(λf)=|λ|c(f). On en déduit Na(λf)=|λ|Na(f).

    Soient f,g.

    Na(f+g)N(f(a))+N(g(a))+c(f+g).

    Montrons c(f+g)c(f)+c(g). Pour tous x,yA,

    N((f+g)(x)-(f+g)(y))N(f(x)-f(y))+N(g(x)-g(y))(c(f)+c(g))N(x-y).

    On en déduit c(f+g)c(f)+c(g) et leon peut conclure Na(f+g)Na(f)+Na(g).

    Finalement, Na est une norme sur .

  • (d)

    Pour f,

    N(f(a))N(f(b))+N(f(a)-f(b))N(f(b))+a-bc(f).

    On en déduit

    Na(1+a-b)Nb

    et de façon symétrique,

    Na(1+b-a)Na.
 
Exercice 4  476   Correction  

Soient E un espace vectoriel normé et T:EE définie par

T(u)={u si u1uu sinon.

Montrer que T est au moins 2-lipschitzienne.

Solution

Pour u,vB(0,1), on a

T(u)-T(v)=u-v2u-v.

Pour u,vB(0,1), on a

T(u)-T(v)=uu-vv=vu-uvuv

or

vu-uv=v(u-v)+(v-u)v

donc

T(u)-T(v)u-vu+|v-u|u2u-v

car |v-u|v-u et u1.
Pour uB(0,1) et vB(0,1),

T(u)-T(v)=u-vv=vu-vv=|v-1|u+u-vv2u-v

car |v-1|=v-1v-uv-u et v1

 
Exercice 5  477     CENTRALE (MP)Correction  

Soit E un espace vectoriel réel normé. On pose

f(x)=1max(1,x)x.

Montrer que f est 2-lipschitzienne.
Montrer que si la norme sur E est hilbertienne alors f est 1-lipschitzienne.

Solution

Si x,y1 alors f(y)-f(x)=y-x.
Si x1 et y>1 alors

f(y)-f(x)=yy-x=yy-y+y-xy-1+y-x2y-x.

Si x,y>1 alors

f(y)-f(x)=yy-xx=y-xy+x(1y-1x)y-xy+|x-y|y2y-x.

Au final f est 2-lipschitzienne.
Supposons maintenant que la norme soit hilbertienne.
Si x,y1 alors

f(y)-f(x)=y-x.

Si x1 et y>1 alors

f(y)-f(x)2-y-x2=1-y2-2y-1y(xy).

Or |(xy)|xyy donc

f(y)-f(x)2-y-x21-y2+2(y-1)=-(1-y)20.

Si x,y>1 alors

f(y)-f(x)2-y-x2=2-y2-x2-2xy-1xy(xy).

Or |(xy)|xy donc

f(y)-f(x)2-y-x2=2-y2-x2+2(xy-1)=-(x-y)20.

Au final f est 1-lipschitzienne.

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Édité le 08-11-2019

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