[<] Problème de Cauchy

 
Exercice 1  378  Correction  

Déterminer les fonctions f: continues vérifiant

x,f(x)=0xtf(t)dt+1.

Solution

Si f est solution alors f est de classe 𝒞1 et l’on a

f(x)=xf(x)etf(0)=1.

Après résolution de l’équation différentielle sous-jacente, on obtient

f(x)=ex2/2.

Inversement, f(x)=ex2/2 définit une solution du problème posé.

 
Exercice 2  5313    ENSTIM (MP)Correction  

Soit f: une fonction continue vérifiant

f(x)=1+0xf(t)cos(x-t)dtpour tout x.
  • (a)

    Montrer que f est deux fois dérivable.

  • (b)

    Déterminer f.

Solution

  • (a)

    En développant le cosinus, on écrit

    0xf(t)cos(x-t)dt=cos(x)0xf(t)cos(t)dt+sin(x)0xf(t)sin(t)dt.

    Par opérations sur les fonctions dérivables, on peut affirmer que f est dérivable avec

    f(x)=f(x)-sin(x)0xf(t)cos(t)dt+cos(x)0xf(t)sin(t)dt.

    La fonction f est donc une deuxième fois dérivable et, après simplification,

    f′′(x) =f(x)-cos(x)0xf(t)cos(t)dt-sin(x)0xf(t)sin(t)dt
    =f(x)-(f(x)-1).
  • (b)

    En particulier, la fonction f est solution de l’équation différentielle y′′-y+y=1 dont la solution générale est

    y(x)=1+(λcos(32x)+μsin(32x))ex/2 avec (λ,μ)2

Ajoutons f(0)=f(0)=1 et l’on détermine λ et μ pour conclure

f(x)=1+23sin(32x)ex/2pour tout x.
 
Exercice 3  2419     CCP (MP)Correction  

Soit f: continue vérifiant l’équation

f(x)+0x(x-t)f(t)dt=1-xpour tout x.
  • (a)

    Montrer que f est de classe 𝒞1.

  • (b)

    Trouver toutes les fonctions f solution de l’équation étudiée.

Solution

  • (a)

    On peut écrire

    f(x)=1-x-x0xf(t)dt+0xtf(t)dt.

    Par opération sur les fonctions de classe 𝒞1, f est de classe 𝒞1 sur .

  • (b)

    Soit f solution. f est de classe 𝒞1 et

    f(x)=-1-0xf(t)dt.

    On en déduit que f est de classe 𝒞2 et

    f′′(x)+f(x)=0.

    Ainsi la fonction f est de la forme

    f(x)=λcos(x)+μsin(x).

    De plus, on observe f(0)=1 et f(0)=-1 ce qui détermine λ et μ:

    λ=1etμ=-1.

    Il ne reste plus qu’à vérifier que la fonction xcos(x)-sin(x) est solution, soit en remontant les calculs (ce qui est possible) soit en refaisant ceux-ci.

 
Exercice 4  1548   

Déterminer les fonctions f:[0;1] dérivables telles que

f(x)-f(x)=f(0)+f(1)pour tout x[0;1].
 
Exercice 5  1546   Correction  

Déterminer les fonctions f:[0;1] dérivables telles que

x[0;1],f(x)+f(x)+01f(t)dt=0.

Solution

Supposons f solution.
f est solution d’une équation différentielle de la forme y+y+λ=0 et donc

f(x)=Ce-x-λ.

De plus, une fonction de cette forme est solution de l’équation étudiée si, et seulement si,

01f(t)dt=C(e-1)e-λ

et donc une telle fonction est solution si, et seulement si,

C(e-1)e-λ=λ

d’où

λ=C(e-1)2e.

Finalement, les solutions sont les fonctions données pas

x[0;1],f(x)=Ce-x-C(e-1)2e.
 
Exercice 6  4821  

Déterminer les fonctions réelles f dérivables sur telles que

f(x)=f(-x)pour tout x.
 
Exercice 7  1552   Correction  

Trouver toutes les applications f: dérivables telles que

x,f(x)+f(-x)=ex.

Solution

Analyse: Supposons f est solution. On a

f(x)=ex-f(-x).

La fonction f est dérivable et

f′′(x)=ex+f(-x)=ex+e-x-f(x).

La fonction f est donc de l’équation différentielle y′′+y=2ch(x)
Après résolution

f(x)=ch(x)+C1cos(x)+C2sin(x).

Synthèse: Une telle fonction est solution du problème si, et seulement si,

sh(x)-C1sin(x)+C2cos(x)+ch(x)+C1cos(x)-C2sin(x)=ex.

Ce qui donne C1+C2=0.

Finalement, les solutions du problème posé sont

f(x)=ch(x)+C(cos(x)-sin(x)).
 
Exercice 8  3197     CCP (MP)Correction  

Déterminer les fonctions réelles f dérivables sur telles que

x,f(x)=f(2-x).

Solution

Soit f une fonction solution (s’il en existe).
La dérivée de f apparaît dérivable et donc f est deux fois dérivable avec

f′′(x)=-f(2-x)=-f(x).

Ainsi, f est solution de l’équation différentielle y′′+y=0. C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constant de solution générale

y(x)=λcos(x)+μsin(x).

En injectant dans l’équation étudiée, une telle fonction est solution si, et seulement si,

{-λ=λsin(2)-μcos(2)μ=λcos(2)+μsin(2)

ce qui après résolution équivaut à l’équation

(1+sin(2))λ=(cos(2))μ.

En écrivant λ=(cos(2))α, on a μ=(1+sin(2))α et la solution générale de l’équation étudiée est de la forme

f(x)=α(sin(x)+cos(2-x)) avec α.
 
Exercice 9  1554    Correction  

Trouver toutes les applications f: deux fois dérivables telles que

x,f′′(x)+f(-x)=x.

Solution

Soit f une solution du problème posé.

Posons g(x)=f(x)+f(-x). La fonction g est une fonction paire, deux fois dérivable et solution de: y′′+y=0. Par suite, g(x)=Ccos(x)

Posons h(x)=f(x)-f(-x). La fonction h est une fonction impaire, deux fois dérivable et solution de: y′′-y=2x. Par suite, h(x)=Dsh(x)-2x.

On en déduit

f(x)=Ccos(x)+Dsh(x)-x avec (C,D)2.

Inversement, de telles fonctions sont bien solutions.

 
Exercice 10  1545   

Déterminer toutes les fonctions f: dérivables vérifiant

f(s+t)=f(s)f(t)pour tout (s,t)2.
 
Exercice 11  379   Correction  

Trouver toutes les applications f: dérivables en 0 telles que:

(x,y)2,f(x+y)=exf(y)+eyf(x).

Solution

Soit f une solution.
Pour x=y=0 on obtient f(0)=0.
De plus,

f(x+h)-f(x)h=exf(h)+ehf(x)-f(x)h=exf(h)-f(0)h+eh-1hf(x)

donc

f(x+h)-f(x)hh0exf(0)+f(x).

Par suite, f est dérivable en x et f(x)=f(0)ex+f(x).
La fonction f est alors solution d’une équation différentielle de la forme y=y+Cex vérifiant la condition initiale y(0)=0.
Après résolution, on obtient

f(x)=Cxex.

Inversement, de telles fonctions sont solutions.

 
Exercice 12  4822   

(Lemme de Grönwall)

Soient a:[0;+[ une fonction continue à valeurs positives, A sa primitive s’annulant en 0 et f:[0;+[ une fonction dérivable.

  • (a)

    On suppose que f(x)a(x)f(x) pour tout x0. Montrer que

    f(x)f(0)eA(x)pour tout x+.
  • (b)

    On suppose

    f(x)f(0)+0xa(t)f(t)dtpour tout x+.

    Montrer de nouveau que

    f(x)f(0)eA(x)pour tout x+.
 
Exercice 13  4823    

Soient a un réel strictement positif et f:[0;+[ une fonction de classe 𝒞1 telle que f+af tend vers 0 en +. Montrer11 1 Pour cette résolution, on prend appui sur la définition formelle de la limite présentée p. LABEL:deflimite. que f est de limite nulle en +.

 
Exercice 14  3105     X (PC)Correction  

Soit α un réel compris au sens large entre 0 et 1/e.

  • (a)

    Démontrer l’existence d’une fonction f𝒞1(,) vérifiant

    x,f(x)=αf(x+1).
  • (b)

    Si α=1/e, déterminer deux fonctions linéairement indépendantes vérifiant la relation précédente.

Solution

  • (a)

    Cherchons f de la forme

    f(x)=eβx.

    Après calculs, si α=βe-β alors f est solution.
    En étudiant les variations de la fonction ββe-β, on peut affirmer que pour tout α[0;1/e], il existe β+ tel que βe-β=α et donc il existe une fonction f vérifiant la relation précédente.

  • (b)

    Pour α=1/e, les fonctions xex et xxex sont solutions.
    Notons que pour α]0;1/e[ il existe aussi deux solutions linéairement indépendantes car l’équation βe-β=α admet deux solutions, une inférieure à 1 et l’autre supérieure à 1

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Édité le 08-11-2019

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