Exercice 1 4810

Déterminer la solution sur $ℝ$ au problème de Cauchy

y^{'} - (x + 1) (y + 1) = 0 et y (0) = 1 .

Exercice 2 4811

Soient $g : ℝ \to ℝ$ une fonction continue et $a \in ℝ$ .

À l’aide d’une intégrale, exprimer la solution du problème de Cauchy

y^{'} + a y = g (x) et y (0) = 0 .

Exercice 3 4813

Soient $a \in ℝ^{*}$ et $φ : ℝ \to ℝ$ une fonction continue et périodique de période $T > 0$ . On étudie l’équation différentielle

(E) : y^{'} + a y = φ (t) .

(a)

Montrer que, si $y$ est une solution sur $ℝ$ de l’équation $(E)$ , la fonction $t \mapsto y (t + T)$ l’est aussi.
(b)

En déduire qu’une solution $y$ est $T$ -périodique si, et seulement si, $y (0) = y (T)$ .
(c)

Montrer que l’équation $(E)$ admet une unique solution $T$ -périodique.

Exercice 4 4819

Soient $a$ un réel et $f : ℝ \to ℝ$ une fonction paire.

Montrer que pour chaque $y_{0} \in ℝ$ , il existe une unique fonction paire solution de l’équation différentielle $y^{''} + a y = f (x)$ et vérifiant $y (0) = y_{0}$ .

Exercice 5 4812

Soient $a_{1}, a_{2}$ et $b_{1}, b_{2}$ des fonctions continues de $I$ vers $ℝ$ . On considère les équations différentielles:

(E_{1}) : y^{'} + a_{1} (x) y = b_{1} (x) et (E_{2}) : y^{'} + a_{2} (x) y = b_{2} (x) .

(a)

À quelle(s) condition(s) ces équations différentielles déterminent-elles les mêmes fonctions solutions?
(b)

À quelle(s) condition(s) ces équations différentielles possèdent-elles au moins deux fonctions solutions en commun?

Exercice 6 4820

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable.

(a)

On suppose que la fonction $f$ est paire. Étudier la parité de la fonction $g$ définie sur $ℝ$ par $g (x) = f^{'} (x) - x f (x)$ .
(b)

Étudier la réciproque.
(c)

Mêmes questions avec la fonction $h$ définie sur $ℝ$ par $h (x) = x f^{'} (x) - 2 f (x)$ .

Exercice 7 6149 Correction

Soit $f : [a; b] \to ℂ$ de classe $𝒞^{1}$ et ne s’annulant pas. Établir

\exp (\int_{a}^{b} \frac{f^{'} (t)}{f (t)} d t) = \frac{f (b)}{f (a)}

Solution

La relation est immédiate si la fonction $f$ est à valeurs réelles puisqu’alors

\int_{a}^{b} \frac{f^{'} (t)}{f (t)} d t = {[\ln | f (t) |]}_{a}^{b} = \ln (\frac{f (b)}{f (a)})

Ce calcul est cependant impossible pour une fonction à valeurs complexes.

Considérons $φ : [a; b] \to ℂ$ définie par

φ (x) = λ \exp (\int_{a}^{x} \frac{f^{'} (t)}{f (t)} d t)

avec $λ \in ℂ$ que nous définirons plus loin.

À l’aide du théorème fondamental du calcul intégral, on obtient que $φ$ est de classe $𝒞^{1}$ avec

φ^{'} (x) = λ \frac{f^{'} (x)}{f (x)} \exp (\int_{a}^{x} \frac{f^{'} (t)}{f (t)} d t) = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} φ (x)

La fonction $φ$ est donc solution de l’équation différentielle linéaire homogène d’ordre $1$

y^{'} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} y

La fonction $f$ est aussi solution de cette équation. De plus, $φ (a) = λ$ et, en choisissant $λ = f (a)$ , on obtient $φ (a) = f (a)$ de sorte que $φ$ et $f$ sont solutions d’un même problème de Cauchy. Les fonctions $φ$ et $f$ sont alors égales. En particulier, $φ (b) = f (b)$ ce qui conduit à

\exp (\int_{a}^{b} \frac{f^{'} (t)}{f (t)} d t) = \frac{f (b)}{f (a)}

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Édité le 06-05-2026

Problème de Cauchy