[<] Résolution d'équations d'ordre 2 [>] Problèmes liés à la résolution d'une équation différentielle

 
Exercice 1  4810  

Déterminer la solution sur au problème de Cauchy

y-(x+1)(y+1)=0ety(0)=1.
 
Exercice 2  4811   

Soient g: une fonction continue et a.

À l’aide d’une intégrale, exprimer la solution du problème de Cauchy

y+ay=g(x)ety(0)=0.
 
Exercice 3  4813   

Soient a* et φ: une fonction continue et périodique de période T>0. On étudie l’équation différentielle

(E):y+ay=φ(t).
  • (a)

    Montrer que, si y est une solution sur de l’équation, la fonction ty(t+T) l’est aussi.

  • (b)

    En déduire qu’une solution y est T-périodique si, et seulement si, y(0)=y(T).

  • (c)

    Montrer que l’équation (E) admet une unique solution T-périodique.

 
Exercice 4  4819   

Soient a un réel et f: une fonction paire.

Montrer que pour chaque y0, il existe une unique fonction paire solution de l’équation différentielle y′′+ay=f(x) et vérifiant y(0)=y0.

 
Exercice 5  4812    

Soient a1,a2 et b1,b2 des fonctions continues de I vers . On considère les équations différentielles:

(E1):y+a1(x)y=b1(x)et(E2):y+a2(x)y=b2(x).
  • (a)

    À quelle(s) condition(s) ces équations différentielles déterminent-elles les mêmes fonctions solutions?

  • (b)

    À quelle(s) condition(s) ces équations différentielles possèdent-elles au moins deux fonctions solutions en commun?

 
Exercice 6  4820    

Soit f: une fonction dérivable.

  • (a)

    On suppose que la fonction f est paire. Étudier la parité de la fonction g définie sur par g(x)=f(x)-xf(x).

  • (b)

    Étudier la réciproque.

  • (c)

    Mêmes questions avec la fonction h définie sur par h(x)=xf(x)-2f(x).

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Édité le 08-11-2019

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