[>] Résolution d'équations d'ordre 2

 
Exercice 1  4804  

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):y-sin(x)y=0.
 
Exercice 2  1541  Correction  

Résoudre sur les équations différentielles suivantes:

  • (a)

    y+2y=x2

  • (b)

    y+y=2sin(x)

  • (c)

    y-y=(x+1)ex

  • (d)

    y+y=x-ex+cos(x)

Solution

  • (a)

    y(x)=12x2-12x+14+Ce-2x.

  • (b)

    y(x)=-cos(x)+sin(x)+Ce-x.

  • (c)

    y(x)=(x2/2+x)ex+Cex.

  • (d)

    y(x)=x-1-12ex+12cos(x)+12sin(x)+Ce-x.

 
Exercice 3  4805  

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):y+2xy=x.
 
Exercice 4  4806  

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):y+2x1+x2y=1.
 
Exercice 5  1281  Correction  

Résoudre sur ]-1;1[ l’équation différentielle suivante

1-x2y+y=1.

Solution

On obtient la solution générale

y(x)=1+Cearccos(x)

ou encore, et c’est équivalent

y(x)=1+Ce-arcsin(x).
 
Exercice 6  4807  

Résoudre sur ]-1;1[ l’équation différentielle

(E):(1-x2)y-xy=1-x2.
 
Exercice 7  1543  Correction  

Soit α. Résoudre sur I=+* ou -* l’équation différentielle

xy-αy=0.

Solution

Sur I,

xy-αy=0y=αxy.

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène.

αxdx=αln(|x|)

donc la solution générale de l’équation étudiée est

y(x)=C|x|α.
 
Exercice 8  1542  Correction  

Résoudre sur les équations différentielles suivantes:

  • (a)

    (x2+1)y+2xy+1=0

  • (b)

    (x2+1)y-xy=(x2+1)3/2

  • (c)

    (x2+1)2y+2x(x2+1)y=1

Solution

  • (a)

    y(x)=C-x1+x2

  • (b)

    y(x)=1+x2(C+x)

  • (c)

    y(x)=C+arctan(x)1+x2

 
Exercice 9  1280  Correction  

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles spécifiés:

  • (a)

    (1+ex)y+exy=(1+ex) sur

  • (b)

    (ex-1)y+exy=1 sur +* et -*,

  • (c)

    x(1+ln2(x))y+2ln(x)y=1 sur +*

Solution

  • (a)

    y(x)=C+x+ex1+ex

  • (b)

    y(x)=C+xex-1

  • (c)

    y(x)=C+ln(x)(1+ln2(x))

 
Exercice 10  1379  Correction  

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles spécifiés:

  • (a)

    (2+cos(x))y+sin(x)y=(2+cos(x))sin(x) sur

  • (b)

    (1+cos2(x))y-sin(2x)y=cos(x) sur

  • (c)

    ysin(x)-ycos(x)+1=0 sur ]0;π[,

  • (d)

    (sin(x))3y=2(cos(x))y sur ]0;π[.

Solution

  • (a)

    y(x)=(2+cos(x))(C-ln(2+cos(x)))

  • (b)

    y(x)=C+sin(x)1+cos2(x)

  • (c)

    y(x)=Csin(x)+cos(x)

  • (d)

    y(x)=Ce-1/sin2(x)

 
Exercice 11  1434  Correction  

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles spécifiés:

  • (a)

    ch(x)y-sh(x)y=sh3(x) sur

  • (b)

    y-sh(x)1+ch(x)y=sh(x) sur

  • (c)

    sh(x)y-ch(x)y=1 sur +* et -*,

Solution

  • (a)

    y(x)=ch2(x)+1+Cch(x)

  • (b)

    y(x)=(ln(1+ch(x))+C)(1+ch(x))

  • (c)

    y(x)=Csh(x)-ch(x)

 
Exercice 12  4808   

Résoudre sur les intervalles précisés les équations différentielles suivantes:

  • (a)

    y+tan(x)y=sin(2x) sur ]-π/2;π/2[.

  • (b)

    (x2+1)2y+2x(x2+1)y=1 sur .

  • (c)

    (1+ex)y-exy=ex sur .

  • (d)

    x(1+ln2(x))y+2y=0 sur +*.

  • (e)

    ch(x)y-sh(x)y=1 sur .

 
Exercice 13  1544   

Former une équation différentielle linéaire du premier ordre dont les fonctions solutions sont les fonctions fλ: données par

fλ(x)=x+λ1+x2 avec λ.
 
Exercice 14  4809    

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):y+y=max(x,0).

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Édité le 08-11-2019

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