Exercice 1 4804

Résoudre sur $ℝ$ l’équation différentielle

(E) : y^{'} - \sin (x) y = 0 .

Exercice 2 1541 Correction

Résoudre sur $ℝ$ les équations différentielles suivantes:

(a)

$y^{'} + 2 y = x^{2}$
(b)

$y^{'} + y = 2 \sin (x)$
(c)

$y^{'} - y = (x + 1) e^{x}$
(d)

$y^{'} + y = x - e^{x} + \cos (x)$

Solution

(a)

$y (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} + C e^{- 2 x}$ .
(b)

$y (x) = - \cos (x) + \sin (x) + C e^{- x}$ .
(c)

$y (x) = (x^{2} / 2 + x) e^{x} + C e^{x}$ .
(d)

$y (x) = x - 1 - \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + C e^{- x}$ .

Exercice 3 4805

Résoudre sur $ℝ$ l’équation différentielle

(E) : y^{'} + 2 x y = x .

Exercice 4 4806

Résoudre sur $ℝ$ l’équation différentielle

(E) : y^{'} + \frac{2 x}{1 + x^{2}} y = 1 .

Exercice 5 1281 Correction

Résoudre sur $] - 1; 1 [$ l’équation différentielle suivante

\sqrt{1 - x^{2}} y^{'} + y = 1 .

Solution

On obtient la solution générale

y (x) = 1 + C e^{\arccos (x)}

ou encore, et c’est équivalent

y (x) = 1 + C^{'} e^{- \arcsin (x)} .

Exercice 6 4807

Résoudre sur $] - 1; 1 [$ l’équation différentielle

(E) : (1 - x^{2}) y^{'} - x y = \sqrt{1 - x^{2}} .

Exercice 7 1543 Correction

Soit $α \in ℝ$ . Résoudre sur $I = ℝ_{+}^{*}$ ou $ℝ_{-}^{*}$ l’équation différentielle

x y^{'} - α y = 0 .

Solution

Sur $I$ ,

x y^{'} - α y = 0 \Leftrightarrow y^{'} = \frac{α}{x} y .

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène.

\int \frac{α}{x} d x = α \ln (| x |)

donc la solution générale de l’équation étudiée est

y (x) = C {| x |}^{α} .

Exercice 8 1542 Correction

Résoudre sur $ℝ$ les équations différentielles suivantes:

(a)

$(x^{2} + 1) y^{'} + 2 x y + 1 = 0$
(b)

$(x^{2} + 1) y^{'} - x y = {(x^{2} + 1)}^{3 / 2}$
(c)

${(x^{2} + 1)}^{2} y^{'} + 2 x (x^{2} + 1) y = 1$

Solution

(a)

$y (x) = \frac{C - x}{1 + x^{2}}$
(b)

$y (x) = \sqrt{1 + x^{2}} (C + x)$
(c)

$y (x) = \frac{C + \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

Exercice 9 1280 Correction

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles spécifiés:

(a)

$(1 + e^{x}) y^{'} + e^{x} y = (1 + e^{x})$ sur $ℝ$
(b)

$(e^{x} - 1) y^{'} + e^{x} y = 1$ sur $ℝ_{+}^{*}$ et $ℝ_{-}^{*}$ ,
(c)

$x (1 + \ln^{2} (x)) y^{'} + 2 \ln (x) y = 1$ sur $ℝ_{+}^{*}$

Solution

(a)

$y (x) = \frac{C + x + e^{x}}{1 + e^{x}}$
(b)

$y (x) = \frac{C + x}{e^{x} - 1}$
(c)

$y (x) = \frac{C + \ln (x)}{(1 + \ln^{2} (x))}$

Exercice 10 1379 Correction

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles spécifiés:

(a)

$(2 + \cos (x)) y^{'} + \sin (x) y = (2 + \cos (x)) \sin (x)$ sur $ℝ$
(b)

$(1 + \cos^{2} (x)) y^{'} - \sin (2 x) y = \cos (x)$ sur $ℝ$
(c)

$y^{'} \sin (x) - y \cos (x) + 1 = 0$ sur $] 0; π [$ ,
(d)

${(\sin (x))}^{3} y^{'} = 2 (\cos (x)) y$ sur $] 0; π [$ .

Solution

(a)

$y (x) = (2 + \cos (x)) (C - \ln (2 + \cos (x)))$
(b)

$y (x) = \frac{C + \sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$
(c)

$y (x) = C \sin (x) + \cos (x)$
(d)

$y (x) = C e^{- 1 / \sin^{2} (x)}$

Exercice 11 1434 Correction

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles spécifiés:

(a)

$ch (x) y^{'} - sh (x) y = {sh}^{3} (x)$ sur $ℝ$
(b)

$y^{'} - \frac{sh (x)}{1 + ch (x)} y = sh (x)$ sur $ℝ$
(c)

$sh (x) y^{'} - ch (x) y = 1$ sur $ℝ_{+}^{*}$ et $ℝ_{-}^{*}$ ,

Solution

(a)

$y (x) = {ch}^{2} (x) + 1 + C ch (x)$
(b)

$y (x) = (\ln (1 + ch (x)) + C) (1 + ch (x))$
(c)

$y (x) = C sh (x) - ch (x)$

Exercice 12 4808

Résoudre sur les intervalles précisés les équations différentielles suivantes:

(a)

$y^{'} + \tan (x) y = \sin (2 x)$ sur $] - π / 2; π / 2 [$ .
(b)

${(x^{2} + 1)}^{2} y^{'} + 2 x (x^{2} + 1) y = 1$ sur $ℝ$ .
(c)

$(1 + e^{x}) y^{'} - e^{x} y = e^{x}$ sur $ℝ$ .
(d)

$x (1 + \ln^{2} (x)) y^{'} + 2 y = 0$ sur $ℝ_{+}^{*}$ .
(e)

$ch (x) y^{'} - sh (x) y = 1$ sur $ℝ$ .

Exercice 13 1544

Former une équation différentielle linéaire du premier ordre dont les fonctions solutions sont les fonctions $f_{λ} : ℝ \to ℝ$ données par

f_{λ} (x) = \frac{x + λ}{1 + x^{2}} avec λ \in ℝ .

Exercice 14 4809

Résoudre sur $ℝ$ l’équation différentielle

(E) : y^{'} + y = \max (x,0) .

Résolution d'équations d'ordre 1