Exercice 1 1549

Résoudre sur $ℝ$ les équations différentielles suivantes:

(a)

$y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$
(b)

$y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0$
(c)

$y^{''} - 2 y^{'} + 5 y = 0$
(d)

$y^{''} + y = 0$ .

Exercice 2 4814

Déterminer les fonctions complexes solutions sur $ℝ$ de l’équation différentielle

(E) : y^{''} - (1 + 3 i) y^{'} - 4 y = 0 .

Exercice 3 4815

Soit $ω$ un réel strictement positif.

Exprimer simplement la solution générale de l’équation $y^{''} - ω^{2} y = 0$ à l’aide des fonctions hyperboliques $ch$ et $sh$ .

Exercice 4 4816

Résoudre sur $ℝ$ l’équation différentielle

(E) : y^{''} + y^{'} + y = 1 + 2 e^{- 2 x} .

Exercice 5 1450

Résoudre sur $ℝ$ les équations différentielles suivantes:

(a)

$y^{''} + 2 y^{'} + y = e^{2 x}$
(b)

$y^{''} + y^{'} - 2 y = e^{x}$ .

Exercice 6 1435

Déterminer les solutions réelles sur $ℝ$ des équations différentielles suivantes:

(a)

$y^{''} + 2 y^{'} + 2 y = \sin (x)$
(b)

$y^{''} + y = 2 \cos^{2} (x)$ .

Exercice 7 3849 Correction

Déterminer les solutions réelles de l’équation

(E) : y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = \sin (2 x) .

Solution

$(E)$ est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants d’équation caractéristique

r^{2} - 3 r + 2 = 0

de racines $1$ et $2$
Solution générale homogène:

y (x) = λ e^{x} + μ e^{2 x} avec λ, μ parcourant ℝ .

Cherchons une solution particulière à l’équation

z^{''} - 3 z^{'} + 2 z = e^{2 i x}

de la forme $z (x) = λ e^{2 i x}$ . On est amené à résoudre

(- 2 - 6 i) λ e^{2 i x} = e^{2 i x} .

On obtient

z (x) = \frac{3 i - 1}{20} e^{2 i x}

et l’on peut donc proposer la solution particulière

y (x) = \frac{3}{20} \cos (2 x) - \frac{1}{20} \sin (2 x) .

La solution générale de $(E)$ est alors

y (x) = λ e^{x} + μ e^{2 x} + \frac{3}{20} \cos (2 x) - \frac{1}{20} \sin (2 x) avec λ, μ parcourant ℝ .

Exercice 8 1460

Résoudre sur $ℝ$ l’équation différentielle

(E) : y^{''} + 2 y^{'} + y = 2 ch (x) .

Exercice 9 4817

(Oscillateur linéaire forcé)

Soient $ω$ , $ω_{0}$ , $A$ et $y_{0}$ des réels strictement positifs.

Exprimer la solution générale de l’équation différentielle

y^{''} + ω^{2} y = A \cos (ω_{0} x) .

Exercice 10 1550 Correction

Soient $ω$ et $ω_{0}$ deux réels strictement positifs et distincts.
Trouver les solutions de l’équation différentielle

y^{''} + ω^{2} y = \cos (ω_{0} x)

vérifiant les conditions initiales $y (0) = 1$ et $y^{'} (0) = 0$ .

Solution

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.
L’équation homogène associée a pour équation caractéristique $r^{2} + ω^{2} = 0$ de racines $\pm i ω$ .
La solution générale homogène est donc $y (x) = λ \cos (ω x) + μ \sin (ω x)$
En introduisant l’équation complexe

z^{''} + ω^{2} z = e^{i ω_{0} x}

et en considérant la partie réelle d’une solution particulière de celle-ci, on peut exprimer la solution générale

y (x) = \frac{\cos (ω_{0} x)}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} + λ \cos (ω x) + μ \sin (ω x) .

Les conditions initiales déterminent $λ$ et $μ$

y (x) = \frac{\cos (ω_{0} x) - \cos (ω x)}{ω^{2} - ω_{0}^{2}} + \cos (ω x) .

Exercice 11 4818

On veut déterminer les fonctions $y$ deux fois dérivables sur $ℝ$ vérifiant¹¹ 1 Il s’agit ici de résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre qui n’est pas à coefficients constants. L’introduction d’une équation caractéristique n’est pas contextuelle. Des éléments de résolution de ces équations seront présentés en seconde année.:

y^{''} (x) + 2 x y^{'} (x) + x^{2} y (x) = 0 pour tout x \in ℝ .

(a)

Soient $y$ une fonction deux fois dérivable sur $ℝ$ et $z$ la fonction définie sur $ℝ$ par

$z (x) = y (x) e^{x^{2} / 2} .$

Montrer que $y$ est solution du problème posé si, et seulement si, $z$ est solution d’une équation différentielle simple que l’on précisera.
(b)

Déterminer les fonctions $y$ solutions du problème posé.

Exercice 12 1551

Déterminer les couples $(a, b) \in ℝ^{2}$ tels que les solutions de l’équation différentielle $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ soient toutes bornées sur $ℝ_{+}$ .

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Édité le 29-08-2023

Résolution d'équations d'ordre 2