[<] Résolution d'équations d'ordre 1 [>] Problème de Cauchy

 
Exercice 1  1549  

Résoudre sur les équations différentielles suivantes:

  • (a)

    y′′-3y+2y=0

  • (b)

    y′′+4y+4y=0

  • (c)

    y′′-2y+5y=0

  • (d)

    y′′+y=0.

 
Exercice 2  4814  

Déterminer les fonctions complexes solutions sur de l’équation différentielle

(E):y′′-(1+3i)y-4y=0.
 
Exercice 3  4815  

Soit ω un réel strictement positif.

Exprimer simplement la solution générale de l’équation y′′-ω2y=0 à l’aide des fonctions hyperboliques ch et sh.

 
Exercice 4  4816  

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):y′′+y+y=1+2e-2x.
 
Exercice 5  1450  

Résoudre sur les équations différentielles suivantes:

  • (a)

    y′′+2y+y=e2x

  • (b)

    y′′+y-2y=ex.

 
Exercice 6  1435  

Déterminer les solutions réelles sur des équations différentielles suivantes:

  • (a)

    y′′+2y+2y=sin(x)

  • (b)

    y′′+y=2cos2(x).

 
Exercice 7  3849  Correction  

Déterminer les solutions réelles de l’équation

(E):y′′-3y+2y=sin(2x).

Solution

(E) est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants d’équation caractéristique

r2-3r+2=0

de racines 1 et 2
Solution générale homogène:

y(x)=λex+μe2x avec λ,μ parcourant .

Cherchons une solution particulière à l’équation

z′′-3z+2z=e2ix

de la forme z(x)=λe2ix. On est amené à résoudre

(-2-6i)λe2ix=e2ix.

On obtient

z(x)=3i-120e2ix

et l’on peut donc proposer la solution particulière

y(x)=320cos(2x)-120sin(2x).

La solution générale de (E) est alors

y(x)=λex+μe2x+320cos(2x)-120sin(2x) avec λ,μ parcourant .
 
Exercice 8  1460  

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):y′′+2y+y=2ch(x).
 
Exercice 9  4817   

(Oscillateur linéaire forcé)

Soient ω, ω0, A et y0 des réels strictement positifs.

Exprimer la solution générale de l’équation différentielle

y′′+ω2y=Acos(ω0x).
 
Exercice 10  1550   Correction  

Soient ω et ω0 deux réels strictement positifs et distincts.
Trouver les solutions de l’équation différentielle

y′′+ω2y=cos(ω0x)

vérifiant les conditions initiales y(0)=1 et y(0)=0.

Solution

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.
L’équation homogène associée a pour équation caractéristique r2+ω2=0 de racines ±iω.
La solution générale homogène est donc y(x)=λcos(ωx)+μsin(ωx)
En introduisant l’équation complexe

z′′+ω2z=eiω0x

et en considérant la partie réelle d’une solution particulière de celle-ci, on peut exprimer la solution générale

y(x)=cos(ω0x)ω2-ω02+λcos(ωx)+μsin(ωx).

Les conditions initiales déterminent λ et μ

y(x)=cos(ω0x)-cos(ωx)ω2-ω02+cos(ωx).
 
Exercice 11  4818   

On veut déterminer les fonctions y deux fois dérivables sur vérifiant11 1 Il s’agit ici de résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre qui n’est pas à coefficients constants. L’introduction d’une équation caractéristique n’est pas contextuelle. Des éléments de résolution de ces équations seront présentés en seconde année.:

y′′(x)+2xy(x)+x2y(x)=0pour tout x.
  • (a)

    Soient y une fonction deux fois dérivable sur et z la fonction définie sur par

    z(x)=y(x)ex2/2.

    Montrer que y est solution du problème posé si, et seulement si, z est solution d’une équation différentielle simple que l’on précisera.

  • (b)

    Déterminer les fonctions y solutions du problème posé.

 
Exercice 12  1551    

Déterminer les couples (a,b)2 tels que les solutions de l’équation différentielle y′′+ay+by=0 soient toutes bornées sur +.

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Édité le 08-11-2019

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