[<] Valeurs d'adhérences d'une suite [>] Compacité et continuité

 
Exercice 1  4631  

Soit E un espace normé de dimension finie. Montrer que la sphère unité

S={xE|x=1}

est une partie compacte.

 
Exercice 2  1159  

Montrer que On()={An()|AtA=In} est une partie compacte de n().

 
Exercice 3  3472   

Soient K une partie compacte d’un espace normé E de dimension finie et r>0. Montrer la compacité de la partie

Kr=xKBf(x,r).
 
Exercice 4  1160  Correction  

Montrer que toute partie fermée d’une partie compacte est elle-même compacte.

Solution

Soit F une partie fermée d’un compact K. Si (xn) est une suite d’éléments de F, alors c’est aussi une suite d’éléments de K et l’on peut donc en extraire une suite (xφ(n)) convergeant dans K. Cette suite extraite est aussi une suite convergente d’éléments du fermé F, sa limite appartient donc à F. Au final, il existe une suite extraire de (xn) convergeant dans F.

 
Exercice 5  1171   Correction  

Soient E et F deux espaces normés, A une partie fermée de E et B une partie compacte de F.
Soit f:AB une application vérifiant:

  • f-1({y}) est compact pour tout yB;

  • l’image de tout fermé de A est un fermé de B.

Montrer que A est compact.

Solution

Soit (un) une suite d’éléments de A. On va établir que cette suite possède une valeur d’adhérence dans A.
On pose Fn={up|pn}¯. La suite (Fn) est une suite décroissante de fermés non vides. Posons Gn=f(Fn). La suite (Gn) est une suite décroissante de fermés non vides. On peut considérer ynGn. La suite (yn) possède une valeur d’adhérence y car B est compact. Pour tout pn, on a ypGpGn donc yGn. Par suite, il existe tnFn tel que y=f(tn). La suite (tn) est une suite du compact f-1{y}, elle possède donc une valeur d’adhérence t. Pour tout pn, tpFpFn donc tFn.
Ainsi, t est une valeur d’adhérence de (un).

 
Exercice 6  3271    

(Théorème de Riesz)

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace normé E.

  • (a)

    Montrer que, pour tout aE, il existe xF vérifiant

    d(a,F)=a-x.
  • (b)

    On suppose FE. Montrer qu’il existe aE vérifiant

    d(a,F)=1eta=1.

On suppose le 𝕂-espace vectoriel E de dimension infinie.

  • (c)

    Montrer qu’il existe une suite (an) d’éléments de E vérifiant

    n,an=1etd(an+1,Vect(a0,,an))=1.
  • (d)

    Conclure que la boule unité de E n’est pas compacte.

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Édité le 08-11-2019

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