[<] Valeurs d'adhérences d'une suite [>] Compacité et continuité

 
Exercice 1  4631  

Soit E un espace normé de dimension finie. Montrer que la sphère unité

S={xE|x=1}

est une partie compacte.

 
Exercice 2  1159  

Montrer que On()={An()|AA=In} est une partie compacte de n().

 
Exercice 3  5457  Correction  

On munit l’espace E=𝒞([0;2π],) de la norme 2 définie par

f2=12π02π(f(t))2dt

et l’on considère les fonctions ck:tcos(kt).

  • (a)

    Soient m,n* distincts. Calculer cm-cn2.

  • (b)

    En déduire que la boule unité fermée de E n’est pas compacte.

Solution

  • (a)

    En développant,

    cm-cn22=12π02π((cos(mt))2-2cos(mt)cos(nt)+(cos(nt))2)dt.

    Or

    12π02π(cos(mt))2dt=12π02π(cos(nt))2dt=12

    et

    02π2cos(mt)cos(nt)dt=02π(cos((m+n)t)+cos((m-n)t))dt=0

    donc

    cm-cn2=1.
  • (b)

    Pour tout n*, cn=1/2 et la suite (cn)n1 est donc constituée d’éléments de la boule unité fermée. Par la propriété qui précède, cette suite ne possède pas de valeurs d’adhérence: la boule unité fermée n’est pas compacte.

 
Exercice 4  3472   

Soient K une partie compacte d’un espace normé E de dimension finie et r>0. Montrer la compacité de la partie

Kr=xKBf(x,r).
 
Exercice 5  1160  Correction  

Montrer que toute partie fermée d’une partie compacte est elle-même compacte.

Solution

Soit F une partie fermée d’un compact K. Si (xn) est une suite d’éléments de F, alors c’est aussi une suite d’éléments de K et l’on peut donc en extraire une suite (xφ(n)) convergeant dans K. Cette suite extraite est aussi une suite convergente d’éléments du fermé F, sa limite appartient donc à F. Au final, il existe une suite extraire de (xn) convergeant dans F.

 
Exercice 6  1171   Correction  

Soient E et F deux espaces normés, A une partie fermée de E et B une partie compacte de F.
Soit f:AB une application vérifiant:

  • f-1({y}) est compact pour tout yB;

  • l’image de tout fermé de A est un fermé de B.

Montrer que A est compact.

Solution

Soit (un) une suite d’éléments de A. On va établir que cette suite possède une valeur d’adhérence dans A.
On pose Fn={up|pn}¯. La suite (Fn) est une suite décroissante de fermés non vides. Posons Gn=f(Fn). La suite (Gn) est une suite décroissante de fermés non vides. On peut considérer ynGn. La suite (yn) possède une valeur d’adhérence y car B est compact. Pour tout pn, on a ypGpGn donc yGn. Par suite, il existe tnFn tel que y=f(tn). La suite (tn) est une suite du compact f-1{y}, elle possède donc une valeur d’adhérence t. Pour tout pn, tpFpFn donc tFn.
Ainsi, t est une valeur d’adhérence de (un).

 
Exercice 7  2777     MINES (MP)Correction  

Soient K une partie compacte d’intérieur non vide d’un espace normé (E,) de dimension finie. On étudie l’ensemble

K={u(E),u(K)K}.
  • (a)

    Montrer que K est une partie compacte de (E).

  • (b)

    Vérifier que |det(u)|1 pour tout uK.

Solution

  • (a)

    K est une partie de l’espace de dimension finie (E), il suffit donc d’observer que K est une partie fermée et bornée.

    Pour xE, l’application

    Ex:{(E)Euu(x)

    est continue car linéaire au départ d’un espace de dimension finie.

    L’ensemble Ex1(K) est donc une partie fermée en tant qu’image réciproque d’un fermé par une application continue. Par conséquent,

    K=xKEx1(K)

    est une partie fermée11 1 On aurait aussi pu montrer que K contient les limites de ses suites convergentes. en tant qu’intersection de parties fermées.

    Pour exprimer que K est une partie bornée, on munit (E) de la norme |||||| subordonnée à la norme sur E.

    Comme l’intérieur de K est supposé non vide, il existe x0K et α>0 vérifiant B(x0,α)¯K. De plus, la partie K étant bornée, il existe aussi M+ vérifiant KB(0,M)¯. Pour uK et xB(0,1)¯, u(x0+αx)u(K)K donc

    u(x0)+αu(x)M

    puis

    u(x)=1αu(x0)+αu(x)u(x0)1α(M+u(x0)).

    On en déduit

    |||u|||1α(M+u(x0))2Mα.

    Finalement, la partie K est bornée et donc compacte.

  • (b)

    L’application vdet(v) est continue sur (E). En particulier, elle est continue donc bornée sur le compact K. Il existe M+ tel que

    vK,|det(v)|M.

    Soit uK. On vérifie par récurrence upK pour tout p et donc

    p,|det(up)|=|det(u)|pM.

    On en déduit |det(u)|1.

 
Exercice 8  5687   Correction  

Pour P[X], on pose

N1(P)=k=0+|ak|

avec (ak) la suite des coefficients définissant P.

On vérifie sans peine que N1(P) est une norme sur [X].

  • (a)

    Justifier que la suite (Xn)n est bornée pour la norme N1.

  • (b)

    Établir que la suite (Xn)n ne possède pas de valeurs d’adhérence.

  • (c)

    En déduire un exemple de partie fermée et bornée et pour autant non compacte.

Solution

  • (a)

    Immédiatement, N1(Xn)=1 pour tout n.

  • (b)

    Pour n,m distincts, on remarque N1(Xm-Xn)=2.

    Par l’absurde, s’il existe φ: strictement croissante telle la suite extraite (Xφ(k)) converge vers un polynôme P alors il existe un rang N tel que

    kN,N1(Xφ(k)-P)<1/2

    On a alors

    k,N,N1(Xφ(k)-Xφ())N1(Xφ(k)-P)+N1(P-Xφ())<1

    Cela contredit la remarque initiale.

  • (c)

    La boule unité fermée de l’espace [X] normé par N1 est bornée et fermée. Elle n’est pas pour autant compacte puisque la suite (Xk)k est formée d’éléments de cette partie et ne possède pas de valeurs d’adhérence.

 
Exercice 9  3271    

(Théorème de Riesz)

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace normé E.

  • (a)

    Montrer que pour tout aE, il existe xF vérifiant

    d(a,F)=a-x.
  • (b)

    On suppose FE. Montrer qu’il existe aE vérifiant

    d(a,F)=1eta=1.

On suppose le 𝕂-espace vectoriel E de dimension infinie.

  • (c)

    Montrer qu’il existe une suite (an) d’éléments de E vérifiant

    n,an=1etd(an+1,Vect(a0,,an))=1.
  • (d)

    Conclure que la boule unité de E n’est pas compacte.

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Édité le 14-10-2023

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