Exercice 1 4631

Soit $E$ un espace normé de dimension finie. Montrer que la sphère unité

S = {x \in E | ∥ x ∥ = 1}

est une partie compacte.

Exercice 2 1159

Montrer que $O_{n} (ℝ) = {A \in ℳ_{n} (ℝ) | A^{⊤} A = I_{n}}$ est une partie compacte de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Exercice 3 5457 Correction

On munit l’espace $E = 𝒞 ([0; 2 π], ℝ)$ de la norme ${∥ \cdot ∥}_{2}$ définie par

{∥ f ∥}_{2} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {(f (t))}^{2} d t

et l’on considère les fonctions $c_{k} : t \mapsto \cos (k t)$ .

(a)

Soient $m, n \in ℕ^{*}$ distincts. Calculer ${∥ c_{m} - c_{n} ∥}_{2}$ .
(b)

En déduire que la boule unité fermée de $E$ n’est pas compacte.

Solution

(a)

En développant,

${∥ c_{m} - c_{n} ∥}_{2}^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} ({(\cos (m t))}^{2} - 2 \cos (m t) \cos (n t) + {(\cos (n t))}^{2}) d t .$

Or

$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {(\cos (m t))}^{2} d t = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {(\cos (n t))}^{2} d t = \frac{1}{2}$

et

$\int_{0}^{2 π} 2 \cos (m t) \cos (n t) d t = \int_{0}^{2 π} (\cos ((m + n) t) + \cos ((m - n) t)) d t = 0$

donc

${∥ c_{m} - c_{n} ∥}_{2} = 1 .$
(b)

Pour tout $n \in ℕ^{*}$ , $∥ c_{n} ∥ = 1 / \sqrt{2}$ et la suite ${(c_{n})}_{n \geq 1}$ est donc constituée d’éléments de la boule unité fermée. Par la propriété qui précède, cette suite ne possède pas de valeurs d’adhérence: la boule unité fermée n’est pas compacte.

Exercice 4 3472

Soient $K$ une partie compacte d’un espace normé $E$ de dimension finie et $r > 0$ . Montrer la compacité de la partie

K_{r} = ⋃_{x \in K} B_{f} (x, r) .

Exercice 5 1160 Correction

Montrer que toute partie fermée d’une partie compacte est elle-même compacte.

Solution

Soit $F$ une partie fermée d’un compact $K$ . Si $(x_{n})$ est une suite d’éléments de $F$ , alors c’est aussi une suite d’éléments de $K$ et l’on peut donc en extraire une suite $(x_{φ (n)})$ convergeant dans $K$ . Cette suite extraite est aussi une suite convergente d’éléments du fermé $F$ , sa limite appartient donc à $F$ . Au final, il existe une suite extraire de $(x_{n})$ convergeant dans $F$ .

Exercice 6 1171 Correction

Soient $E$ et $F$ deux espaces normés, $A$ une partie fermée de $E$ et $B$ une partie compacte de $F$ .
Soit $f : A \to B$ une application vérifiant:

—

$f^{- 1} ({y})$ est compact pour tout $y \in B$ ;
—

l’image de tout fermé de $A$ est un fermé de $B$ .

Montrer que $A$ est compact.

Solution

Soit $(u_{n})$ une suite d’éléments de $A$ . On va établir que cette suite possède une valeur d’adhérence dans $A$ .
On pose $F_{n} = \bar{{u_{p} | p \geq n}}$ . La suite $(F_{n})$ est une suite décroissante de fermés non vides. Posons $G_{n} = f (F_{n})$ . La suite $(G_{n})$ est une suite décroissante de fermés non vides. On peut considérer $y_{n} \in G_{n}$ . La suite $(y_{n})$ possède une valeur d’adhérence $y$ car $B$ est compact. Pour tout $p \geq n$ , on a $y_{p} \in G_{p} \subset G_{n}$ donc $y \in G_{n}$ . Par suite, il existe $t_{n} \in F_{n}$ tel que $y = f (t_{n})$ . La suite $(t_{n})$ est une suite du compact $f^{- 1} {y}$ , elle possède donc une valeur d’adhérence $t$ . Pour tout $p \geq n$ , $t_{p} \in F_{p} \subset F_{n}$ donc $t \in F_{n}$ .
Ainsi, $t$ est une valeur d’adhérence de $(u_{n})$ .

Exercice 7 2777 MINES (MP)Correction

Soient $K$ une partie compacte d’intérieur non vide d’un espace normé $(E, ∥ \cdot ∥)$ de dimension finie. On étudie l’ensemble

ℒ_{K} = {u \in ℒ (E), u (K) \subset K} .

(a)

Montrer que $ℒ_{K}$ est une partie compacte de $ℒ (E)$ .
(b)

Vérifier que $| \det (u) | \leq 1$ pour tout $u \in ℒ_{K}$ .

Solution

(a)

$ℒ_{K}$ est une partie de l’espace de dimension finie $ℒ (E)$ , il suffit donc d’observer que $ℒ_{K}$ est une partie fermée et bornée.

Pour $x \in E$ , l’application

$E_{x} : {\begin{matrix} ℒ (E) & \to & E \\ u & \mapsto & u (x) \end{matrix}$

est continue car linéaire au départ d’un espace de dimension finie.

L’ensemble $E_{x}^{- 1} (K)$ est donc une partie fermée en tant qu’image réciproque d’un fermé par une application continue. Par conséquent,

$ℒ_{K} = ⋂_{x \in K} E_{x}^{- 1} (K)$

est une partie fermée¹¹ 1 On aurait aussi pu montrer que $ℒ_{K}$ contient les limites de ses suites convergentes. en tant qu’intersection de parties fermées.

Pour exprimer que $ℒ_{K}$ est une partie bornée, on munit $ℒ (E)$ de la norme $| | | \cdot | | |$ subordonnée à la norme sur $E$ .

Comme l’intérieur de $K$ est supposé non vide, il existe $x_{0} \in K$ et $α > 0$ vérifiant $\bar{B (x_{0}, α)} \subset K$ . De plus, la partie $K$ étant bornée, il existe aussi $M \in ℝ_{+}$ vérifiant $K \subset \bar{B (0, M)}$ . Pour $u \in ℒ_{K}$ et $x \in \bar{B (0,1)}$ , $u (x_{0} + α x) \in u (K) \subset K$ donc

$∥ u (x_{0}) + α u (x) ∥ \leq M$

puis

$∥ u (x) ∥ = \frac{1}{α} ∥ u (x_{0}) + α u (x) - u (x_{0}) ∥ \leq \frac{1}{α} (M + ∥ u (x_{0}) ∥) .$

On en déduit

$| | | u | | | \leq \frac{1}{α} (M + ∥ u (x_{0}) ∥) \leq \frac{2 M}{α} .$

Finalement, la partie $ℒ_{K}$ est bornée et donc compacte.
(b)

L’application $v \mapsto \det (v)$ est continue sur $ℒ (E)$ . En particulier, elle est continue donc bornée sur le compact $ℒ_{K}$ . Il existe $M^{'} \in ℝ_{+}$ tel que

$\forall v \in ℒ_{K}, | \det (v) | \leq M^{'} .$

Soit $u \in ℒ_{K}$ . On vérifie par récurrence $u^{p} \in ℒ_{K}$ pour tout $p \in ℕ$ et donc

$\forall p \in ℕ, | \det (u^{p}) | = {| \det (u) |}^{p} \leq M^{'} .$

On en déduit $| \det (u) | \leq 1$ .

Exercice 8 5687 Correction

Pour $P \in ℝ [X]$ , on pose

N_{1} (P) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} | a_{k} |

avec $(a_{k})$ la suite des coefficients définissant $P$ .

On vérifie sans peine que $N_{1} (P)$ est une norme sur $ℝ [X]$ .

(a)

Justifier que la suite ${(X^{n})}_{n \in ℕ}$ est bornée pour la norme $N_{1}$ .
(b)

Établir que la suite ${(X^{n})}_{n \in ℕ}$ ne possède pas de valeurs d’adhérence.
(c)

En déduire un exemple de partie fermée et bornée et pour autant non compacte.

Solution

(a)

Immédiatement, $N_{1} (X^{n}) = 1$ pour tout $n \in ℕ$ .
(b)

Pour $n, m \in ℕ$ distincts, on remarque $N_{1} (X^{m} - X^{n}) = 2$ .

Par l’absurde, s’il existe $φ : ℕ \to ℕ$ strictement croissante telle la suite extraite $(X^{φ (k)})$ converge vers un polynôme $P$ alors il existe un rang $N \in ℕ$ tel que

$\forall k \geq N, N_{1} (X^{φ (k)} - P) < 1 / 2$

On a alors

$\forall k, ℓ \geq N, N_{1} (X^{φ (k)} - X^{φ (ℓ)}) \leq N_{1} (X^{φ (k)} - P) + N_{1} (P - X^{φ (ℓ)}) < 1$

Cela contredit la remarque initiale.
(c)

La boule unité fermée de l’espace $ℝ [X]$ normé par $N_{1}$ est bornée et fermée. Elle n’est pas pour autant compacte puisque la suite ${(X^{k})}_{k \in ℕ}$ est formée d’éléments de cette partie et ne possède pas de valeurs d’adhérence.

Exercice 9 3271

(Théorème de Riesz)

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace normé $E$ .

(a)

Montrer que pour tout $a \in E$ , il existe $x \in F$ vérifiant

$d (a, F) = ∥ a - x ∥ .$
(b)

On suppose $F \neq E$ . Montrer qu’il existe $a \in E$ vérifiant

$d (a, F) = 1 et ∥ a ∥ = 1 .$

On suppose le $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension infinie.

(c)

Montrer qu’il existe une suite $(a_{n})$ d’éléments de $E$ vérifiant

$\forall n \in ℕ, ∥ a_{n} ∥ = 1 et d (a_{n + 1}, Vect (a_{0}, \dots, a_{n})) = 1 .$
(d)

Conclure que la boule unité de $E$ n’est pas compacte.

[<] Valeurs d'adhérences d'une suite [>] Compacité et continuité

Édité le 14-10-2023

Partie compacte