[>] Partie compacte

 
Exercice 1  1163  Correction  

Soit (un) une suite réelle bornée telle que

un+12u2nn+0.
  • (a)

    Montrer que si a est une valeur d’adhérence de (un) alors -2a l’est aussi.

  • (b)

    En déduire que (un) converge.

Solution

  • (a)

    Posons

    εn=un+12u2nn+0.

    Si uφ(n)a alors

    u2φ(n)=2εφ(n)-2uφ(n)n+-2a.

    Ainsi,

    aAdh(u)-2aAdh(u).
  • (b)

    Si (un) possède une valeur d’adhérence a autre que 0 alors, pour tout k, (-2)ka est aussi valeur d’adhérence. Or cela est impossible car (un) est bornée. Puisque (un) est bornée et que 0 est sa seule valeur d’adhérence possible,

    unn+0.
 
Exercice 2  3466   

On munit l’espace E=[X] des normes données par les relations

P=supt[0;1]|P(t)|etP1=01|P(t)|dt

et l’on considère la suite des monômes (Xn)n.

  • (a)

    Vérifier que la suite (Xn)n est bornée pour la norme et qu’elle converge vers 0 pour la norme 1.

  • (b)

    La suite (Xn)n possède-t-elle une valeur d’adhérence pour ?

 
Exercice 3  1170   

Soit u une suite d’éléments d’un espace normé E. On note Adh(u) l’ensemble des valeurs d’adhérence de u.

  • (a)

    Établir

    Adh(u)=n{up|pn}¯.
  • (b)

    En déduire que Adh(u) est une partie fermée de E.

 
Exercice 4  3216    

Soit u=(un) une suite réelle vérifiant

un+1-unn+0.

Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de u est un intervalle.

 
Exercice 5  1162   Correction  

Soit K une partie compacte d’un espace vectoriel normé E.
Montrer que si une suite (un) d’éléments de K n’a qu’une seule valeur d’adhérence alors cette suite converge vers celle-ci.

Solution

Soit (un) une suite d’éléments de K qui n’ait qu’une seule valeur d’adhérence . Par l’absurde supposons que (un) ne converge par vers . On peut écrire

ε>0,N,nN,|un-|>ε.

Par conséquent, il existe une infinité de termes de cette suite tels que |un-|>ε. À partir de ces termes on peut construire une suite extraite de (un) qui étant une suite d’éléments du compact K possèdera une valeur d’adhérence qui ne peut être que compte tenu de l’hypothèse.
C’est absurde, car tous ces termes vérifient |un-|>ε.

 
Exercice 6  3263    

Soient f: une fonction continue et u=(un) une suite déterminée par

u0etn,un+1=f(un).

On suppose que la suite u possède une unique valeur d’adhérence a. Montrer que la suite u converge vers celle-ci.

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Édité le 08-11-2019

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