[>] Partie compacte

 
Exercice 1  5563  Correction  

Déterminer les valeurs d’adhérence de la suite (un)n définie par

un=(-1)n+1n+1pour tout n.

Solution

On remarque

u2k=1+12k+1k+1etu2k+1=-1+12k+2k+-1.

Les réels 1 et -1 sont donc des valeurs d’adhérence de la suite.

Inversement, soit (uφ(k))k une suite extraite de (un)n et sa limite. La suite (uφ(k))k comporte au moins une infinité de termes d’indices pairs de la suite (un)n ou une infinité de termes d’indices impairs. Dans le premier cas, on peut extraire de (uφ(k))k une suite de limite 1 et donc =1. Dans le second cas, on parvient à =-1. La suite (un)nN ne possède donc pas d’autres valeurs d’adhérence que 1 et -1.

 
Exercice 2  1163  Correction  

Soit (un) une suite réelle bornée telle que

un+12u2nn+0.
  • (a)

    Montrer que si a est une valeur d’adhérence de (un) alors -2a l’est aussi.

  • (b)

    En déduire que (un) converge.

Solution

  • (a)

    Posons

    εn=un+12u2nn+0.

    Si uφ(n)a alors

    u2φ(n)=2εφ(n)-2uφ(n)n+-2a.

    Ainsi,

    aAdh(u)-2aAdh(u).
  • (b)

    Si (un) possède une valeur d’adhérence a autre que 0 alors, pour tout k, (-2)ka est aussi valeur d’adhérence. Or cela est impossible car (un) est bornée. Puisque (un) est bornée et que 0 est sa seule valeur d’adhérence possible,

    unn+0.
 
Exercice 3  3466   

On munit l’espace E=[X] des normes données par les relations

P=supt[0;1]|P(t)|etP1=01|P(t)|dt

et l’on considère la suite des monômes (Xn)n.

  • (a)

    Vérifier que la suite (Xn)n est bornée pour la norme et qu’elle converge vers le polynôme nul pour la norme 1.

  • (b)

    La suite (Xn)n possède-t-elle une valeur d’adhérence pour ?

 
Exercice 4  1170   

Soit u=(un)n une suite d’éléments d’un espace normé E. On note Adh(u) l’ensemble des valeurs d’adhérence de u.

  • (a)

    Établir

    Adh(u)=n{up|pn}¯.
  • (b)

    En déduire que Adh(u) est une partie fermée de E.

 
Exercice 5  3216    

Soit u=(un) une suite réelle vérifiant

un+1-unn+0.

Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de u est un intervalle.

 
Exercice 6  1162   Correction  

Soit K une partie compacte d’un espace vectoriel normé E.
Montrer que si une suite (un) d’éléments de K n’a qu’une seule valeur d’adhérence alors cette suite converge vers celle-ci.

Solution

Soit (un) une suite d’éléments de K qui n’ait qu’une seule valeur d’adhérence . Par l’absurde supposons que (un) ne converge par vers . On peut écrire

ε>0,N,nN,|un-|>ε.

Par conséquent, il existe une infinité de termes de cette suite tels que |un-|>ε. À partir de ces termes on peut construire une suite extraite de (un) qui étant une suite d’éléments du compact K possèdera une valeur d’adhérence qui ne peut être que compte tenu de l’hypothèse.
C’est absurde, car tous ces termes vérifient |un-|>ε.

 
Exercice 7  3263    

Soient f: une fonction continue et u=(un) une suite déterminée par

u0etun+1=f(un)pour tout n.

On suppose que la suite u possède une unique valeur d’adhérence a. Montrer que la suite u converge vers celle-ci.

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Édité le 29-08-2023

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