Déterminer les valeurs d’adhérence de la suite définie par
Solution
On remarque
Les réels et sont donc des valeurs d’adhérence de la suite.
Inversement, soit une suite extraite de et sa limite. La suite comporte au moins une infinité de termes d’indices pairs de la suite ou une infinité de termes d’indices impairs. Dans le premier cas, on peut extraire de une suite de limite et donc . Dans le second cas, on parvient à . La suite ne possède donc pas d’autres valeurs d’adhérence que et .
Soit une suite réelle bornée telle que
Montrer que si est une valeur d’adhérence de alors l’est aussi.
En déduire que converge.
Solution
Posons
Si alors
Ainsi,
Si possède une valeur d’adhérence autre que alors, pour tout , est aussi valeur d’adhérence. Or cela est impossible car est bornée. Puisque est bornée et que est sa seule valeur d’adhérence possible,
On munit l’espace des normes données par les relations
et l’on considère la suite des monômes .
Vérifier que la suite est bornée pour la norme et qu’elle converge vers le polynôme nul pour la norme .
La suite possède-t-elle une valeur d’adhérence pour ?
Soit une suite d’éléments d’un espace normé . On note l’ensemble des valeurs d’adhérence de .
Établir
En déduire que est une partie fermée de .
Soit une suite réelle vérifiant
Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de est un intervalle.
Soit une partie compacte d’un espace vectoriel normé .
Montrer que si une suite d’éléments de n’a qu’une seule valeur d’adhérence alors cette suite converge vers celle-ci.
Solution
Soit une suite d’éléments de qui n’ait qu’une seule valeur d’adhérence . Par l’absurde supposons que ne converge par vers . On peut écrire
Par conséquent, il existe une infinité de termes de cette suite tels que . À partir de ces termes on peut construire une suite extraite de qui étant une suite d’éléments du compact possèdera une valeur d’adhérence qui ne peut être que compte tenu de l’hypothèse.
C’est absurde, car tous ces termes vérifient .
Soient une fonction continue et une suite déterminée par
On suppose que la suite possède une unique valeur d’adhérence . Montrer que la suite converge vers celle-ci.
Édité le 29-08-2023
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