[<] Fonctions harmoniques

 
Exercice 1  1774  Correction  

Soit F un champ scalaire de classe 𝒞1 de l’espace. Exprimer F(M) en fonction

Fρ(M),Fφ(M),Fz(M)

et des vecteurs du repère cylindrique associé au point M.

Solution

Introduisons les représentations cartésiennes et cylindriques de F.

F(M)=f~(ρ,φ,z)=f(ρcos(φ),ρsin(φ),z).

On en tire

f~ρ(ρ,φ,z)=cos(φ)fx(ρcos(φ),ρsin(φ),z)+sin(φ)fy(ρcos(φ),ρsin(φ),z)

que l’on réécrit

Fρ(M)=cos(φ)Fx(M)+sin(φ)Fy(M).

De même:

Fφ(M)=-ρsin(φ)Fx(M)+ρcos(φ)Fy(M).

Sachant uρ=cos(φ).i+sin(φ).j et uφ=-sin(φ).i+cos(φ).j, on obtient

Fρ(M)uρ+1ρFφ(M)uφ+Fz(M)k=Fx(M)i+Fy(M)j+Fz(M)k.

Ainsi,

F=Fρuρ+1ρFφuφ+Fzk.
 
Exercice 2  1773   Correction  

On appelle laplacien d’un champ scalaire F de classe 𝒞2 le champ scalaire défini par

ΔF=Div(F).
  • (a)

    Montrer

    ΔF=2Fx2+2Fy2.
  • (b)

    Exprimer Fr(M) et Fθ(M) en fonction de Fx(M) et Fy(M)

  • (c)

    Exprimer ΔF en fonction de 2Fr2, Fr et 2Fθ2.

Solution

  • (a)

    Puisque

    F=Fxi+Fyj

    on a

    ΔF=div(F)=2Fx2+2Fy2.
  • (b)

    Introduisons f et f~ les représentations cartésiennes et polaires de F.
    On a

    F(M)=f~(r,θ)=f(rcos(θ),rsin(θ))

    donc

    f~r(r,θ)=cos(θ)fx(rcos(θ),rsin(θ))+sin(θ)fy(rcos(θ),rsin(θ))

    ce que l’on réécrit

    Fr(M)=cos(θ)Fx(M)+sin(θ)Fy(M).

    De même

    Fθ(M)=-rsin(θ)Fx(M)+rcos(θ)Fy(M).
  • (c)

    Aussi

    2Fr2(M)=cos2(θ)2Fx2(M)+sin2(θ)2Fy2(M)+2cos(θ)sin(θ)2Fxy(M)

    et

    2Fθ2(M) =r2sin2(θ)2Fx2(M)+r2cos2(θ)2Fy2(M)-2r2cos(θ)sin(θ)2Fxy(M)
    -rcos(θ)Fx(M)-rsin(θ)Fy(M).

    On observe alors

    r22Fr2(M)+rFr(M)+2Fθ(M)=r2(2Fx2(M)+2Fy2(M))

    et donc

    ΔF=2Fr2+1rFr+1r22Fθ2.
 
Exercice 3  1775  Correction  

Soit F le champ de vecteurs du plan défini par F(M)=OMOM.

  • (a)

    Calculer DivF(M)

  • (b)

    Le champ de vecteurs F dérive-t-il d’un potentiel?

Solution

F(M)=xx2+y2i+yx2+y2j.

  • (a)

    ÷F(M)=(1x2+y2-x2x2+y23)+(1x2+y2-y2x2+y23)=1OM.

  • (b)

    F dérive du potentiel V(M)=x2+y2=OM.

 
Exercice 4  1776  Correction  

Soit F le champ de vecteurs de l’espace défini par F(M)=OMOM3.

  • (a)

    Ce champ de vecteur dérive-t-il d’un potentiel?

  • (b)

    Calculer DivF(M) et RotF(M).

Solution

F(M)=xx2+y2+z23i+yx2+y2+z23j+zx2+y2+z23k

  • (a)

    F dérive du potentiel V(M)=-1x2+y2+z2=-1OM.

  • (b)

    DivF(M)=(1OM3-3x2OM5)+(1OM3-3y2OM5)+((1OM3-3z2OM5))=-2OM3.
    RotF=o car F dérive d’un potentiel.

 
Exercice 5  1777   Correction  

Soit ω un vecteur de l’espace et F le champ de vecteurs de l’espace défini par

F(M)=ωOM.
  • (a)

    Calculer DivF(M) et RotF(M).

  • (b)

    Le champ de vecteur F dérive-t-il d’un potentiel?

Solution

ω=ωxi+ωyj+ωzk.

F(M)=(ωyz-ωzy)i+(ωzx-ωxz)j+(ωxy-ωyx)k.
  • (a)

    DivF(M)=0. RotF(M)=2ωxi+2ωyj+2ωzk=2ω.

  • (b)

    Lorsque ω0, le champ F ne dérive pas d’un potentiel.
    Lorsque ω=0, le champ F est nul et donc d’un dérive de n’importe quel potentiel constant.

 
Exercice 6  3799     CCP (MP)Correction  

On pose

γ1(t)=a(1-t)i+btj avec 0t1.
γ2(t)=acos(s)i+bsin(s)j avec 0sπ/2

et le champ de vecteurs

V=yi+2xj.
  • (a)

    Représenter les courbes paramétrées par γ1 et γ2.

  • (b)

    Le champ de vecteurs V dérive-t-il d’un potentiel U(x,y)?

  • (c)

    Calculer la circulation de V selon γ1 et γ2. Conclure.

Solution

  • (a)

    γ2 paramètre le quart d’une ellipse partant du sommet A(a,0) jusqu’au sommet B(0,b).
    γ1 paramètre le segment [A;B] de A vers B.

  • (b)

    Le champ de vecteurs V dérive du potentiel U si, et seulement si,

    Ux(x,y)=y et Uy(x,y)=2x.

    Un tel potentiel est alors de classe 𝒞2 et l’égalité de Schwarz

    2Uxy=2Uyx

    n’étant pas vérifiée, on peut conclure à l’inexistence de U.

  • (c)

    La circulation de V le long de γ1 est

    01-abt+2ab(1-t)dt=ab2

    et celle le long de γ2 est

    0π/2-absin2(s)+2abcos2(s)ds=abπ4.

    Par la différence des deux valeurs obtenues, on retrouve que V ne dérive pas d’un potentiel.

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Édité le 08-11-2019

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