Soit un champ scalaire de classe de l’espace. Exprimer en fonction
et des vecteurs du repère cylindrique associé au point .
Solution
Introduisons les représentations cartésiennes et cylindriques de .
On en tire
que l’on réécrit
De même:
Sachant et , on obtient
Ainsi,
On appelle laplacien d’un champ scalaire de classe le champ scalaire défini par
Montrer
Exprimer et en fonction de et
Exprimer en fonction de , et .
Solution
Puisque
on a
Introduisons et les représentations cartésiennes et polaires de .
On a
donc
ce que l’on réécrit
De même
Aussi
et
On observe alors
et donc
Soit le champ de vecteurs du plan défini par .
Calculer
Le champ de vecteurs dérive-t-il d’un potentiel?
Solution
.
.
dérive du potentiel .
Soit le champ de vecteurs de l’espace défini par .
Ce champ de vecteur dérive-t-il d’un potentiel?
Calculer et .
Solution
dérive du potentiel .
.
car dérive d’un potentiel.
Soit un vecteur de l’espace et le champ de vecteurs de l’espace défini par
Calculer et .
Le champ de vecteur dérive-t-il d’un potentiel?
Solution
.
. .
Lorsque , le champ ne dérive pas d’un potentiel.
Lorsque , le champ est nul et donc d’un dérive de n’importe quel potentiel constant.
On pose
et le champ de vecteurs
Représenter les courbes paramétrées par et .
Le champ de vecteurs dérive-t-il d’un potentiel ?
Calculer la circulation de selon et . Conclure.
Solution
paramètre le quart d’une ellipse partant du sommet jusqu’au sommet .
paramètre le segment de vers .
Le champ de vecteurs dérive du potentiel si, et seulement si,
Un tel potentiel est alors de classe et l’égalité de Schwarz
n’étant pas vérifiée, on peut conclure à l’inexistence de .
La circulation de le long de est
et celle le long de est
Par la différence des deux valeurs obtenues, on retrouve que ne dérive pas d’un potentiel.
Édité le 29-10-2022
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