[>] Rang d'une application linéaire
Déterminer une base du noyau et de l’image des applications linéaires suivantes:
définie par
définie par
définie par ( est ici vu comme un -espace vectoriel).
Solution
. forme une base de .
Par le théorème du rang .
Soit et vecteurs non colinéaires de .
est une famille libre formée de vecteurs de , c’est donc une base de .
avec et .
est une famille libre, elle forme donc une base de , par suite .
Par le théorème du rang: .
et .
forme une famille libre formée de vecteurs de , c’est donc une base de .
.
Soit , on observe que , donc forme une base de et .
Par le théorème du rang: .
, donc forme une base de car .
Soit un -espace vectoriel de dimension finie, un sous-espace vectoriel de et . Montrer
Solution
Si : ok
Sinon, soit une base de . .
Donc est un sous-espace vectoriel de de dimension inférieure à . Or donc et par suite . Par inclusion et égalité des dimensions: .
Soient et deux espaces vectoriels et injective.
Soit un sous-espace vectoriel de dimension finie de . Montrer
Soit une famille de vecteurs de . Montrer
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie .
On suppose qu’il existe11 1 On dit que l’endomorphisme est nilpotent. un entier tel que et l’on considère le plus petit entier vérifiant cette propriété.
Soit . Montrer la liberté de .
En déduire que est l’endomorphisme nul.
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel . On suppose qu’il existe tel que . Montrer que pour tout .
Application : Soit un endomorphisme d’un espace de dimension finie vérifiant et . Montrer qu’il n’existe pas d’endomorphisme tel que .
Solution
Par récurrence sur .
Pour , c’est immédiat.
Supposons la propriété établie au rang . On sait . Inversement, soit . On a et donc . Or et donc . Par hypothèse de récurrence, on poursuit . Par double inclusion, .
La récurrence est établie.
Commençons par établir .
S’il existe tel que , ce qui précède assure . Cela contredit l’hypothèse et . Sachant , il vient alors pour tout . Ainsi,
et donc
En particulier, .
Par l’absurde, supposons qu’il existe tel que .
L’endomorphisme ne peut pas être bijectif et . On en déduit
Par la résolution de la prémière question, il vient
En particulier, . Cela est absurde car avec .
Soient et deux endomorphismes d’un espace de dimension finie vérifiant
Montrer que et commutent.
Soit un plan vectoriel.
Montrer que endomorphisme non nul est nilpotent si, et seulement si, .
En déduire qu’un tel endomorphisme ne peut s’écrire sous la forme avec et nilpotents.
Solution
Si alors et donc est nilpotent.
Si est nilpotent alors et donc ou . Or donc il reste .
donc ou .
Si alors et classiquement (cf. noyaux itérés) pour tout ce qui contredit la nilpotence de .
Il reste donc et donc puis l’égalité par argument de dimension.
Si avec et nilpotents et nécessairement non nuls alors et . Or ces espaces sont de dimension 1 donc et . Mais donc puis d’où . C’est absurde.
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et un sous-espace vectoriel de stable par composition et contenant l’endomorphisme .
Montrer que est un sous-groupe de
Solution
Posons
On a immédiatement , et .
Montrer que est stable par passage à l’inverse.
Soit . Considérons l’application définie par
L’application est évidemment linéaire et puisque est inversible, cette application est injective. Or est un -espace vectoriel de dimension finie (car sous-espace vectoriel de , lui-même de dimension finie) donc est un automorphisme de . Par suite, l’application est surjective et puisque , il existe tel que
On en déduit et donc .
[<] Généralités[>] Formule du rang
Soient où est un espace vectoriel sur de dimension finie. Montrer
Solution
Facilement donc
Puisque ,
Aussi donc
Soient et deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie .
Montrer
Trouver et dans tels que
Trouver deux endomorphismes et de tels que
Solution
Pour tout , on a
donc
Puisque
on obtient
De plus, on peut écrire
donc
puis
Aussi
et donc
Les endomorphismes conviennent.
Les endomorphismes conviennent.
Soient , deux -espaces vectoriels de dimensions finies et .
Montrer
Solution
Supposons .
On sait et cela entraîne
On en déduit
ce qui entraîne .
On sait et cela entraîne
Par la formule du rang, on en tire
Cela entraîne .
Supposons et
Soit . On a et donc . Ainsi, et l’on a donc l’égalité11 1 Un raisonnement analogue est possible en montrant .
On en déduit
En appliquant la formule du rang, on conclut
Soient et deux endomorphismes de . Montrer
Solution
On a donc .
On remarque
Puisque la dimension d’une image est toujours inférieure à la dimension de l’espace de départ .
Soient et deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie.
Montrer
Montrer
Soient et deux -espaces vectoriels de dimension finies et telles que
Montrer que les applications linéaires , , et ont le même rang.
Solution
Le rang d’une application linéaire composée est inférieur aux rangs des applications linéaires qui la compose.
D’une part,
D’autre part,
et
Ces comparaisons permettent de conclure.
[<] Rang d'une application linéaire[>] Applications linéaires définies sur une base
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) ;
(ii) ;
(iii) ;
(iv) .
Soit un endomorphisme d’un espace de dimension finie. Montrer
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et tels que bijectif et . Montrer que
Solution
donne donc . Par suite, .
bijectif donne . Or d’où .
Soient un -espace vectoriel de dimension et un endomorphisme de vérifiant .
Établir
Solution
Puisque , on a et donc
Or par la formule du rang
donc
Soient et deux sous-espaces de dimensions finies d’un espace vectoriel .
Retrouver la formule de Grassmann en appliquant le théorème du rang à la fonction
Soient une application linéaire d’un espace de dimension finie vers un espace et un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans . On introduit l’application restreinte
Montrer que est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Soit un endomorphisme d’un espace de dimension finie vérifiant .
Établir et .
Montrer que les espaces et sont supplémentaires dans .
Soient et deux endomorphismes d’un espace de dimension finie vérifiant
Montrer que ces sommes sont directes.
On dit qu’une suite d’applications linéaires
est exacte si on a pour tout . Montrer que si tous les sont de dimension finie, on a la formule dite d’Euler-Poincaré:
Solution
La formule du rang du rang donne
donc, sachant , on obtient
car et .
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension . Montrer
(Images et noyaux itérés d’un endomorphisme)
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel . On pose
Pour tout , on introduit les images et noyaux de :
Montrer que les suites et sont respectivement décroissante et croissante au sens de l’inclusion11 1 Autrement dit, et pour tout ..
On suppose dans ce qui suit que l’espace est de dimension finie.
Justifier l’existence d’un rang tel que .
Vérifier que les deux suites et sont alors constantes à partir du rang .
Établir .
Soient un endomorphisme et un sous-espace vectoriel d’un -espace vectoriel de dimension finie. Montrer
Solution
Considérons restriction de au départ de et à l’arrivée dans .
et . L’application du théorème du rang permet alors de conclure.
Soient deux endomorphismes d’un espace vectoriel réel de dimension finie .
Montrer
Solution
Commençons par montrer la deuxième inégalité. Par l’inclusion , on obtient . Aussi, de qui donne car le rang d’une application linéaire est inférieure à la dimension de l’espace de départ.
Montrons maintenant la première inégalité. Comme déjà écrit et donc par la formule du rang
Or et donc
Soit un -espace vectoriel de dimension finie , et deux endomorphismes de .
En appliquant le théorème du rang à la restriction de à l’image de , montrer que
Pour , trouver tous les endomorphismes de tels que .
Solution
donc .
En appliquant la formule du rang à et à on obtient
On en déduit
Or donc et l’on peut conclure.
Un endomorphisme vérifie si, et seulement si, ce qui entraîne, en dimension , .
Si l’endomorphisme n’est pas nul, en choisissant tel que et en complétant le vecteur , en une base de , on obtient que la matrice de dans la base est
Inversement, un endomorphisme représenté par une telle matrice vérifie .
Soient et deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On introduit l’application linéaire restreinte
Vérifier et et en déduire
Solution
Soit . On a donc . Ainsi, .
Soit . Il existe tel que . Il existe aussi tel que et donc . Ainsi, .
Les inclusions précédentes donnent
En sommant ces deux comparaisons,
En appliquant la formule du rang à l’application linéaire qui est au départ de l’espace
Enfin, en appliquant la formule du rang aux endomorphismes et , il vient
Il suffit ensuite de simplifier et de réorganiser les termes de cette comparaison pour obtenir celle voulue.
Soient et deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie.
Montrer
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie.
Montrer
Solution
Soient . Considérons le sous-espace vectoriel
et introduisons l’application linéaire restreinte définie par
On vérifie aisément
La formule du rang appliquée à donne
ce qui donne
Soient , , , des -espaces vectoriels de dimensions finies et , , des applications linéaires. Montrer
Solution
Pour applications linéaires composables
Ainsi,
et
Puisque
on a
ce qui fournit l’inégalité demandée.
Soient et deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un espace et un endomorphisme de .
On suppose que est de dimension finie. Montrer que est un automorphisme de si, et seulement si, les espaces et sont supplémentaires.
Le résultat précédent est-il encore valable en dimension infinie?
Solution
Supposons que soit un automorphisme de . On sait déjà que et sont des sous-espaces vectoriels car l’image directe d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace.
Soit . Il existe et tels que . Or l’application est injective et donc . Ce vecteur est alors commun à et et c’est donc le vecteur nul. On en déduit . Ainsi, les espaces et sont en somme directe.
Soit . Par surjectivité de l’application , il existe tel que . Or on peut écrire avec et . On a alors avec et . On en déduit .
Finalement, les espaces et sont supplémentaires.
Supposons les espaces et supplémentaires. Pour tout , on peut écrire avec et . Il existe alors et tels que et de sorte que . L’endomorphisme est alors surjectif. Or l’espace est de dimension finie. L’endomorphisme est donc bijectif, c’est un automorphisme.
L’implication directe a précédemment été établie sans employer l’hypothèse de dimension, ce résultat reste valable en dimension quelconque.
L’implication indirecte n’est en revanche pas vraie en dimension infinie. Par exemple, considérons et . Considérons aussi le sous-espace vectoriel de constitué des polynômes pairs et celui des polynômes impairs. Les espaces et sont supplémentaires. Puisque et , les espaces et sont aussi supplémentaires. Cependant n’est pas injectif, ce n’est pas un automorphisme de .
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel tel que soit de dimension finie.
Soit un sous-espace vectoriel de dimension finie de . Établir que est de dimension finie.
Montrer que est de dimension finie pour tout .
Solution
Considérons l’application linéaire restreinte
Cette application vérifie et la formule du rang donne
On raisonne par récurrence sur .
Pour , est de dimension finie.
Supposons la propriété vraie au rang . On a
Par hypothèse de récurrence, est de dimension finie. Le résultat de la question précédente donne alors de dimension finie.
La récurrence est établie.
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie .
Montrer qu’il existe un endomorphisme de tel que et si, et seulement si, les espaces et sont supplémentaires.
[<] Formule du rang[>] Espaces d'applications linéaires
Justifier qu’il existe une unique application linéaire de dans telle que:
Exprimer et déterminer noyau et image de .
Solution
Posons , et .
Il est immédiat d’observer que est une base de . Une application linéaire étant entièrement caractérisée par l’image des vecteurs d’une base, l’application linéaire existe et est unique.
On écrit
et, par linéarité,
Après résolution, avec .
Par la formule du rang, et donc .
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension . On suppose qu’il existe un vecteur pour lequel la famille est une base de et l’on introduit
Observer que
Justifier que est un sous-espace vectoriel de et donner sa dimension.
Soient et deux sous-espaces vectoriels d’un espace de dimension finie . Énoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur et pour qu’il existe un endomorphisme de tel que et .
Soit un -espace vectoriel de dimension .
Montrer qu’il existe un endomorphisme tel que si, et seulement si, est pair.
Solution
Si un tel endomorphisme existe alors
donc est pair.
Inversement, si est pair, avec
Si , l’endomorphisme nul convient.
Si , soit une base de et défini par:
Pour cet endomorphisme, il est clair que et .
Par suite, et par le théorème du rang .
Par inclusion et égalité des dimensions
Soit tel que . Quels sont les rangs possibles pour ?
Solution
Puisque , on a .
Si alors est un isomorphisme, donc aussi et . Contradiction.
Si alors . Considérons . Par le théorème du rang . Or donc et par suite . Or donc . Contradiction.
et sont possibles en considérant:
Soient une famille de vecteurs d’un -espace vectoriel de dimension et l’application définie par
À quelle condition sur la famille , l’application est-elle un isomorphisme d’espaces vectoriels?
Soit un endomorphisme d’un espace de dimension .
Montrer que n’est pas inversible si, et seulement si, il existe un endomorphisme de vérifiant et .
Soit un endomorphisme non bijectif d’un espace de dimension finie. Montrer qu’il existe un isomorphisme de tel que soit nilpotent11 1 Autrement dit, il existe tel que l’itéré est nul..
[<] Applications linéaires définies sur une base[>] Formes linéaires en dimension finie
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que l’ensemble des endomorphismes de tels que est un sous-espace vectoriel de de dimension .
Solution
Posons . Soit . On a clairement . Par conséquent, d’où la dimension.
Soient et deux -espaces vectoriels de dimensions finies.
Soit un sous-espace vectoriel de
Soit l’ensemble des applications linéaires de dans s’annulant sur .
Montrer que est un espace vectoriel.
Trouver la dimension de .
Solution
Si s’annulent sur , il en est de même de …
Soit un supplémentaire de dans . L’application
qui à associe sa restriction au départ de est un isomorphisme car une application linéaire est entièrement déterminée par ses restrictions linéaires sur deux espaces supplémentaires.
On en déduit
Soit un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie.
Déterminer la dimension de l’espace .
Déterminer la dimension de l’espace .
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et un sous-espace vectoriel de de dimension . On note
Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels de et calculer leurs dimensions.
Soient un endomorphisme de et définie par . Montrer que est un endomorphisme de . Déterminer .
Soit . Établir que . Réciproque? Déterminer .
Solution
et sont des parties de contenant l’endomorphisme nul.
avec égalité si et donc est un sous-espace vectoriel de .
Aussi et donc est un sous-espace vectoriel de .
s’identifie avec donc
En introduisant un supplémentaire de dans , est isomorphe à et donc
est linéaire en vertu de la linéarité du produit de composition.
donc puis
Si alors il existe tel que et donc .
Inversement, si alors en introduisant une base de , pour tout , il existe tel que . Considérons alors l’endomorphisme déterminé par . On vérifie car ces deux applications prennent mêmes valeurs sur une base. donc
Soient et des -espaces vectoriels de dimensions finies et .
Exprimer la dimension de en fonction du rang de et des dimensions de et .
Solution
Notons
Soit un supplémentaire de dans . Un élément de est entièrement déterminée par:
sa restriction de à valeurs dans ;
sa restriction de à valeurs dans .
Par suite, est isomorphe à . Il en découle
[<] Espaces d'applications linéaires[>] Applications linéaires opérant sur les matrices
Soient un -espace vectoriel de dimension et une forme linéaire non nulle sur .
Montrer que pour tout , et sont supplémentaires dans .
Solution
est un hyperplan de et une droite car puisque .
est un sous-espace vectoriel de contenant , donc de dimension ou .
Si alors par inclusion et égalité des dimensions
Or et . Ce cas est donc exclu.
Il reste c’est-à-dire
Comme de plus
on peut affirmer que la somme est directe et donc et sont supplémentaires dans .
Soit un -espace vectoriel de dimension finie . Montrer
Solution
Soient tels que .
Le vecteur est non nul, il peut donc être complété pour former une base de . La forme linéaire correspondant à la première application composante dans cette base est alors solution du problème posé.
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et , deux formes linéaires non nulles sur . Montrer
Solution
Si alors le résultat est immédiat.
Sinon, pour des raisons de dimension, et .
La somme d’un vecteur de qui ne soit pas dans et d’un vecteur de qui ne soit pas dans est solution.
Soit une famille de vecteurs d’un -espace vectoriel de dimension . On suppose que
Montrer que est une base de .
Solution
Par contraposée: si n’est pas une base de alors .
Soit un hyperplan tel que et une forme linéaire non nulle de noyau .
On a mais .
Soient des formes linéaires sur un -espace vectoriel de dimension .
On suppose qu’il existe non nul tel que
Montrer que la famille est liée.
Solution
Soit une forme linéaire ne s’annulant pas sur . Celle-ci n’est pas combinaison linéaire des .
Cette famille n’est donc pas génératrice et par suite elle est liée car formée de éléments de .
Soient des formes linéaires sur un espace de dimension . Montrer que la famille constitue une base du dual de si, et seulement si,
Soit un endomorphisme de tel que .
Montrer qu’il existe et tels que pour tout on a .
Solution
Si la propriété est immédiate.
Sinon donne et en vertu du théorème du rang, .
Soit un vecteur directeur de la droite . Pour tout , il existe un unique tel que . Posons ce qui définit .
Les identités
et
avec donnent la linéarité
L’application est donc une forme linéaire sur .
Soient deux à deux distincts. Montrer qu’il existe unique vérifiant
Solution
Posons la forme linéaire définie par
Supposons
Pour tout polynôme , on a
Considérons le polynôme d’interpolation de Lagrange
défini de sorte que
En prenant , on obtient .
La famille est libre et puisque formée de éléments de , c’est une base de .
Puisque
est une forme linéaire sur , on peut affirmer qu’il existe unique vérifiant
Soient des réels non nuls deux à deux distincts.
On note l’application de dans définie par
Montrer que est une base de .
Solution
Il est clair que les application sont éléments de espace de dimension . Pour conclure, il suffit d’observer la liberté de la famille .
Supposons .
En appliquant cette égalité aux polynômes on obtient les équations formant le système linéaire:
Par un déterminant de Vandermonde, ce système est de Cramer ce qui entraîne
La famille est alors libre et constituée du bon nombre de vecteurs pour former une base de .
Soient et des espaces vectoriels sur , de dimensions finies ou non. Montrer que et sont isomorphes.
Solution
Pour et , posons l’application définie sur par . Il est facile d’observer . Considérons définie par .
L’application est linéaire.
Si alors pour tout , .
Pour , on peut affirmer et pour , on affirme . Ainsi et donc est injective.
Soit . Posons , . On vérifie aisément , et car .
Soient des vecteurs d’un espace vectoriel de dimension . Montrer
Solution
Méthode: Lorsque la famille est une base, on inclut les vecteurs dans le noyau d’une forme linéaire non nulle.
Cas: La famille est liée. L’espace engendré par cette famille est alors de dimension inférieure ou égale à . Or
et donc
Cas: La famille est libre. Cette famille forme une base de l’espace car celui-ci est de dimension . On peut alors introduire une forme linéaire sur en posant les images dans des vecteurs de base . Considérons la forme linéaire prenant la valeur sur chaque vecteur . Pour tous compris entre et , on constate
Les vecteurs appartiennent donc tous au noyau de et, par conséquent,
La forme linéaire étant non nulle, son noyau est de dimension et l’on retrouve
Soit une famille de formes linéaires indépendantes d’un -espace vectoriel de dimension .
Justifier .
Déterminer la dimension de
[<] Formes linéaires en dimension finie[>] Applications linéaires opérant sur les polynômes
Soient et
Déterminer noyau et image de l’endomorphisme .
Préciser ces espaces quand est à coefficients diagonaux distincts.
Solution
et donc
Posons et .
Pour , et pour , .
Ainsi,
Or
donc
et
puis
Si est à coefficients diagonaux distincts alors
Par suite, est l’espace des matrices de diagonale nulle tandis que est l’espace des matrices diagonales.
[<] Applications linéaires opérant sur les matrices[>] Isomorphisme induit
Soient et l’application définie11 1 L’écriture fait référence à la composition de deux polynômes et non à un produit: on remplace par dans l’expression du polynôme . L’écriture fait directement référence à . par
Montrer que définit une application linéaire.
Déterminer le noyau de et établir que l’application est surjective.
Soient des réels distincts et définie par
Montrer que est bijective.
Solution
est clairement linéaire et si alors a plus de racines (comptés avec multiplicité) que son degré donc . Ainsi est injective et puisque , est un isomorphisme.
(Interpolation de Lagrange)
Soient et des réels deux à deux distincts.
Montrer que l’application définie par
est linéaire et préciser son noyau.
Établir que la restriction de au départ de réalise un isomorphisme.
Soit .
Exprimer l’unique polynôme de vérifiant .
Exprimer en fonction de tous les polynômes vérifiant .
Soient , distincts.
Établir que l’application définie par
est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
En déduire qu’il existe une famille de polynômes telle que
Solution
L’application est clairement linéaire et opère entre deux espaces vectoriels de même dimension finie. Il suffit d’établir que est injective pour établir que est un isomorphisme. Soit . On a
Les réels et sont donc racines de multiplicité au moins de . Or donc .
Considérons la base canonique de dont on note les vecteurs . Pour tout , on peut écrire
Par l’isomorphisme ,
En introduisant pour , on obtient l’écriture
Notons que la famille est alors une base de en tant qu’image réciproque d’une base par un isomorphisme.
Soient , et l’endomorphisme de déterminé par .
Justifier que l’endomorphisme est nilpotent.
Déterminer des réels non triviaux vérifiant:
Solution
On remarque que si alors .
On en déduit , ,…puis .
Introduisons l’endomorphisme .
On a et par la formule du binôme de Newton( et commutent),
Ainsi pour
on a
Soit l’application définie par
Montrer que est un endomorphisme et que pour tout polynôme non constant .
Déterminer et .
Soit et . Montrer
En déduire que, si , alors
Solution
est clairement linéaire.
Soit non nul et . On peut écrire avec .
or et donc .
Si est constant alors et sinon donc .
Soit . La restriction de au départ et à l’arrivée dans est bien définie, de noyau de dimension 1 et en vertu du théorème du rang surjective. Il s’ensuit que est surjective.
Notons défini par .
donc
avec donc
Si alors donc
Soit définie par .
Justifier que est bien définie et que c’est une application linéaire.
Déterminer le noyau de .
En déduire que est surjective.
Solution
Si alors .
Si alors et ont même degré() et même coefficient dominant donc puis .
Finalement, pour tout , et l’application est donc bien définie.
Pour et tout :
et donc .
Soit .
Ainsi,
Par suite, .
Par le théorème du rang donc est surjective.
Montrer, pour tout , qu’il existe un unique tel que et .
Solution
Considérons l’application définie par . L’application est bien définie, linéaire et de noyau . Par le théorème du rang, elle est surjective et les solutions de l’équation se déduisent les unes des autres par l’ajout d’un élément de , c’est-à-dire d’une constante. Ainsi, il existe une unique solution vérifiant .
Montrer que définie par est bijective.
On en déduit qu’il existe un unique tel que
Montrer que pour tout , il existe unique tel que
Justifier que l’on peut exprimer en fonction de .
En calculant de deux façons déterminer une relation donnant en fonction de .
Solution
est linaire. Si alors donc . Par suite, est bijective.
est une famille de polynômes de degrés étagés, c’est donc une base de . Puisque , on peut écrire
D’une part
et d’autre part
On identifie et
puis
Pour et , on note l’ensemble des suites vérifiant
Montrer que si , est unique; on le notera .
Montrer que est un -espace vectoriel.
Montrer que , qui à associe , est linéaire et donner une base de son noyau.
Que représente son image?
Donner une base de (on pourra utiliser pour ).
Application : Déterminer la suite définie par
Solution
Si et si deux polynômes conviennent pour exprimer en fonction de alors
Puisque le polynôme possède une infinité de racines, c’est le polynôme nul et donc .
, (avec ).
Soient et .
Pour tout , on obtient aisément
et donc avec .
est un sous-espace vectoriel de donc c’est un -espace vectoriel.
Ci-dessus, on a obtenu ce qui correspond à la linéarité de l’application .
si, et seulement si, ce qui signifie que est une suite géométrique de raison .
On en déduit que la suite est un vecteur directeur de la droite vectorielle qu’est le noyau de .
L’image de est car l’application est surjective puisque pour tout polynôme , on peut définir une suite élément de par la relation
La famille est une famille de polynômes de degrés étagés de , elle forme donc une base de . Pour , il est facile de déterminer une suite vérifiant car
Ainsi la suite
convient.
Considérons alors la famille formée des suites
Supposons
En appliquant , on obtient
donc puis la relation initiale donne car .
La famille est donc libre.
De plus, en vertu de la formule du rang
donc la famille est une base de .
En reprenant les notations qui précèdent, on peut écrire
On a
Puisque et , on obtient et .
Par suite,
Puisque , on obtient .
Finalement,
[<] Applications linéaires opérant sur les polynômes
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:
et il existe tel que .
Solution
(ii)(i) Supposons et avec .
D’une part, l’égalité entraîne . D’autre part, pour ,
Par double inclusion, .
(i)(ii) Supposons . On a immédiatement car les vecteurs de l’image de annulent .
Soit un sous-espace supplémentaire de dans . Par le théorème du rang, induit par restriction un isomorphisme de vers :
Considérons alors l’endomorphisme de défini par les restrictions linéaires
Pour tout ,
Pour tout ,
Par égalité sur deux sous-espaces vectoriels supplémentaires,
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. Montrer que pour tout sous-espace vectoriel de ,
Solution
Soit un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans . Par le théorème du rang, on sait que induit un isomorphisme de vers .
Pour ,
On écrit avec et et l’on poursuit
On a donc
On en déduit
avec, puisque est un isomorphisme,
et
(Factorisation par une application linéaire)
On considère , et des -espaces vectoriels de dimensions finies.
Soient , .
Montrer
Solution
Supposons qu’il soit possible d’écrire avec . Pour tout , il existe tel que avec . Par conséquent, .
Supposons . Soit un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans . Par le théorème du rang, on sait que définit par restriction un isomorphisme de vers . Introduisons celui-ci
Posons . L’application est bien définie car est à valeurs dans et est définie sur . De plus, est linéaire par composition et
Puisque prend ses valeurs dans ,
puis
(Factorisation par une application linéaire)
On considère , et des -espaces vectoriels de dimensions finies.
Soient , .
Montrer
Application : Soient et des formes linéaires sur . Établir
Solution
Supposons qu’il soit possible d’écrire avec . Pour tout ,
Ainsi, .
Supposons . Soit un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans . Par le théorème du rang, on sait que définit par restriction un isomorphisme de vers . Introduisons celui-ci
Considérons aussi un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans . Enfin, introduisons l’application linéaire déterminée par ses restrictions linéaires
Vérifions .
Pour tout , on a car par hypothèse est élément de .
Pour tout , on a
Les applications linéaires et co$̈\mathrm{i}$ncident sur deux sous-espaces vectoriels supplémentaires, elles sont égales sur .
Considérons donnée par
L’application est linéaire.
Considérons aussi et rappelons que les formes linéaires sur correspondent aux applications de la forme
Le résultat de la question précédente se relit
Soient et deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie.
Résoudre l’équation d’inconnue .
Édité le 14-10-2023
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