La fonction si et 0 si est-elle continue par morceaux sur ?
Solution
Cette fonction n’a pas de limite en 0, elle n’est donc pas continue par morceaux.
Soit une fonction en escalier.
Montrer qu’il existe une subdivision du segment adaptée à telle que toute autre subdivision adaptée à soit plus fine que .
Solution
Soit l’ensemble des tel qu’il existe une subdivision adaptée à .
est une partie non vide de , elle possède donc un plus petit élément .
Il existe une subdivision adaptée à .
Montrons que toute subdivision adaptée à est plus fine que .
Par l’absurde: supposons qu’il existe tel que .
On peut alors affirmer qu’il existe tel que .
Comme et sont adaptées à on peut affirmer que est constante sur et puis que est constante sur .
Par suite, la subdivision est adaptée à or cela contredit la définition de .
Soient , et
Représenter
Solution
On remarque
Si ou alors .
Si alors
Si alors
Si alors
La fonction est représentée par une fonction continue affine par morceaux.
Soient deux réels.
On note l’espace des fonctions continues par morceaux de vers , le sous-espace vectoriel formé des fonctions en escalier et le sous-espace vectoriel formé des fonctions continues et d’intégrale nulle sur .
Établir
Solution
Soit . La fonction est en escalier mais c’est aussi une fonction continue, c’est donc une fonction constante. Au surplus, est d’intégrale nulle, c’est donc la fonction identiquement nulle.
Soit . Il existe une subdivision de telle que
Pour , posons et considérons la fonction définie par
La fonction est une fonction en escalier et la subdivision est adaptée à avec, pour
Considérons ensuite définie par . La fonction est continue sur chaque intervalle et, pour ,
Enfin, considérons la fonction définie par
où désigne la limite épointée de en .
Par construction, est continue sur chaque intervalle de subdivision mais aussi en chaque point de subdivision . La fonction est donc continue sur . Posons ensuite
et considérons et , on obtient
avec continue et d’intégrale sur et en escalier.
La composition de deux fonctions continues par morceaux est-elle assurément continue par morceaux?
Solution
Considérons les fonctions et données par
La fonction est continue par morceaux sur , la fonction est continue donc continue par morceaux sur . La fonction composée est correctement définie sur mais n’est pas continue par morceaux sur car non bornée.
[<] Fonctions continues par morceaux[>] Égalités
Les fonctions suivantes sont-elles uniformément continues?
sur
sur
sur .
Soit une fonction uniformément continue. Montrer qu’il existe des réels positifs et tels que pour tout .
Soit uniformément continue. Montrer que est bornée.
Solution
Pour , il existe tel que
Par suite, pour tout , on a puis .
De plus, la fonction est continue donc bornée sur le segment par un certain .
On a alors bornée sur par .
Soit continue et possédant une limite finie en l’infini.
Montrer que est uniformément continue.
Soit dérivable.
Si est bornée sur , montrer que est uniformément continue sur .
Si quand , montrer que n’est pas uniformément continue sur .
Solution
Si est bornée sur , l’inégalité des accroissements finis assure que est lipschitzienne donc uniformément continue.
Supposons que soit uniformément continue. Pour , il existe un réel vérifiant . En particulier, pour tout , . Or par le théorème des accroissements finis, il existe vérifiant et donc . Cette propriété est incompatible avec .
Soit une fonction uniformément continue vérifiant
Montrer que converge vers 0 en .
Solution
Soit . Puisque est uniformément continue, il existe vérifiant
Considérons alors la suite . Puisque celle-ci converge vers 0, il existe vérifiant
Posons . Pour , il existe vérifiant
et donc
On peut alors conclure que converge vers 0 en .
[<] Continuité uniforme[>] Inégalités
Soit continue. Montrer
Solution
ok
Si alors donne . Or la fonction est continue et positive donc elle est nulle.
Le cas est semblable.
Soient avec et une fonction continue.
À quelle condition portant sur a-t-on l’égalité suivante?
Même question pour une fonction à valeurs complexes.
Soit continue telle que
Montrer que admet un point fixe.
Solution
La fonction est définie, continue sur et
donc s’annule.
Soit une fonction continue telle que
Montrer qu’il existe tel que .
(Égalité de la moyenne11 1 Ce résultat se comprend aussi comme une « version intégrale » du théorème des accroissements finis.)
Soit une fonction continue. Montrer qu’il existe tel que
(Formule de la moyenne11 1 Ce résultat généralise celui du sujet 1969.)
Soient des fonctions continues avec .
Montrer qu’il existe tel que
Soit une fonction réelle de classe positive et décroissante sur .
Soit une fonction continue sur . On définit par la relation
Montrer qu’il existe tel que
Montrer que
En déduire qu’il existe tel que
Solution
La fonction est continue donc l’image d’un segment est un segment.
Il suffit de procéder à une intégration par parties.
Puisque la fonction est positive, on a
et donc
puis
Ainsi, que soit nul ou non, il existe tel que
Soient des fonctions continues.
Montrer qu’il existe tel que
(Seconde formule de la moyenne)
Soient deux fonctions continues avec décroissante et positive.
Pour , on pose
Montrer que
On introduit la primitive de s’annulant en .
Montrer que
En déduire qu’il existe vérifiant
Soient continues avec monotone.
Montrer qu’il existe tel que
Solution
En exploitant la relation de Chasles, on peut écrire
Soit . Puisque est continue sur le segment , elle y est uniformément continue et donc il existe tel que
Pour assez grand, on a et alors pour tout on a donc . On en déduit
Par suite,
En exprimant l’intégrale à l’aide de la primitive
En séparant la somme en deux, puis en procédant à un décalage d’indice sur la première
puis en recombinant les deux sommes
Or et puisque la fonction est décroissante et positive
Enfin par télescopage
De façon symétrique, on a aussi
En passant à la limite ce qui précède, on obtient
Si , le problème est immédiatement résolu, sinon, ce qui précède affirme que
est valeur intermédiaire à deux valeurs prises par et le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure.
Quitte à considérer , ce qui ne change rien au problème posé, on peut supposer que la fonction est croissante. En appliquant le résultat précédent à la fonction décroissante et positive, on peut affirmer qu’il existe tel que
et il suffit de réorganiser les membres de cette identité pour former celle voulue.
Soit continue par morceaux. Montrer que la fonction
est lipschitzienne.
Solution
Posons .
Puisque la fonction sinus est lipschitzienne
donc
Ainsi est lipschitzienne.
Soient une fonction continue par morceaux et .
Montrer que
Solution
Supposons
On a alors
Le cas
est semblable et l’on peut conclure.
Soit de classe . Montrer
Solution
Pour tout , on peut écrire
et donc
Or, le segment d’extrémités et étant inclus dans , il vient
et donc
En intégrant cette relation pour parcourant le segment ,
ce qui donne
Soient continue telle que
le minimum de et son maximum sur .
Établir
Solution
La fonction est positive donc
En développant et par linéarité, on obtient
On en déduit l’inégalité demandée.
Soient continues et croissantes.
Montrer
Soient deux fonctions continues et positives.
On suppose pour tout , montrer
(Inégalité de Poincaré)
Soit une fonction de classe vérifiant .
Montrer
On suppose . Montrer
Soit telle que .
Montrer que et préciser le cas d’égalité.
On pourra rechercher une fonction pour laquelle .
Solution
Sous réserve d’existence, recherchons une fonction comme suggérée. En réorganisant les membres, il s’agit de déterminer vérifiant
(1) |
Par intégration par parties,
La condition (1) se relit
Considérons alors une fonction vérifiant soit encore
En intégrant,
puis
Afin d’introduire une fonction convenablement définie entre et , considérons
La fonction peut être prolongée par continuité en car
De façon analogue, peut être prolongée par continuité en .
Avec existence des intégrales et en adaptant les calculs qui précèdent, on observe
car sur . On en déduit
et donc
De plus, il y a égalité si, et seulement si, est la fonction identiquement nulle sur . La résolution sur de cette équation différentielle linéaire d’ordre donne sur puis sur avec .
(Inégalité de Steffensen)
Soient une fonction continue décroissante et une fonction continue prenant ses valeurs dans . Montrer
Que devient cette inégalité lorsque est croissante?
(Inégalité de Young)
Soit une fonction de classe vérifiant et pour tout de .
Montrer que pour tout réel de ,
En déduire que pour tous réels et de ,
[<] Inégalités[>] Utilisation de primitives
Soient deux réels et une fonction continue.
On suppose
Justifier que la fonction s’annule au moins une fois sur .
On suppose
Montrer que la fonction s’annule au moins deux fois sur .
Généraliser ce qui précède.
Solution
Soit une primitive de la fonction continue . On a et l’on peut appliquer le théorème de Rolle pour affirmer que s’annule sur .
Par l’absurde, supposons que la fonction ne s’annule qu’une seule fois sur . Notons le point où s’annule. La fonction ne peut pas être de signe constant car d’intégrale nulle sans être identiquement nulle. La fonction change donc de signe en et nécessairement . Considérons alors . On observe
La fonction est continue, d’intégrale nulle et de signe constant, c’est donc la fonction identiquement nulle. C’est absurde car par hypothèse ne s’annule qu’une fois.
Supposons
et montrons que s’annule au moins fois.
Par combinaison linéaire, on observe
Par l’absurde, si s’annule au plus fois, on introduit avec les points de en lequel s’annule en changeant de signe puis on considère la fonction produit
La fonction est continue, de signe constant et d’intégrale nulle car c’est le produit par d’une fonction polynomiale de degré au plus . On en déduit que est identiquement nulle ce qui est absurde.
Soit continue.
Montrer que si
alors il existe tel que s’annule en .
Montrer que si
alors s’annule au moins deux fois sur .
On pourra considérer .
Solution
et est continue donc il existe tel que c’est-à-dire (car ).
Par l’absurde, supposons uqe ne s’annule qu’une seule fois en un certain . Le tableau de signe de est de l’une des quatre formes suivantes
Les deux premiers cas sont à exclure car alors
serai l’intégrale nulle d’une fonction non identiquement nulle et pourtant continue et de signe constant.
Les deux autres cas sont à exclure car
est l’intégrale nulle d’une fonction non indentiquement nulle et pourtante continue et de signe constant.
C’est absurde.
Soient des fonctions continues.
Montrer qu’il existe tel que
Solution
Méthode: Une fonction continue et d’intégrale nulle sur un segment s’annule à l’intérieur11 1 Ce résultat découle de l’application du théorème de Rolle à une primitive de cette fonction continue. de celui-ci.
On introduit la fonction définie par
La fonction est continue et
On en déduit que s’annule en un certain .
Soient une fonction continue et vérifiant
Montrer que la fonction s’annule au moins fois dans l’intervalle .
Soit une fonction continue. On suppose
pour toute fonction continue et s’annulant en et .
Montrer que est la fonction nulle.
Résoudre l’équation
d’inconnue .
Solution
L’équation étudiée équivaut à
Or
et donc l’équation étudiée peut se réécrire
où est l’application continue définie par
Si ou si , il est immédiat d’affirmer que l’application est de signe constant.
Si , l’étude est plus délicate et nous allons montrer par étude de fonctions que
soit encore
Soit définie sur
La fonction est dérivable et
Si alors .
Si alors .
Dans tous les cas et donc est croissante.
Puisque , la fonction est négative et l’on obtient l’inégalité proposée.
Finalement, l’équation initialement étudiée équivaut à une équation de la forme
avec une fonction continue de signe constant. L’équation est donc vérifiée si, et seulement si, est la fonction nulle.
Pour , cette propriété n’est vérifiée que si .
Pour , si la fonction est la fonction nulle alors
puis en dérivant par rapport à la variable , on obtient
ce qui n’est possible que pour .
Inversement, et sont solutions de l’équation étudiée.
Finalement,
[<] Annulation[>] Intégrales fonctions des bornes
Soient une fonction continue et . Montrer que la fonction est -périodique si, et seulement si, la fonction suivante est constante
Soit une fonction continue.
Montrer qu’il existe une unique primitive de vérifiant
Soit continue vérifiant
Montrer qu’il existe vérifiant
Solution
Introduisons
Par intégration par parties
Cas: n’est pas de signe constant. Il existe alors tel que
Par intégration d’une fonction continue, non nulle et de signe constant sur un intervalle non singulier, on a
et le théorème des valeurs intermédiaires assure que s’annule.
Cas: est de signe constant.
Quitte à considérer , supposons positive.
Si est nulle, il en est de même de et la propriété est immédiate, sinon, on peut introduire tel que
On a alors
car est nul.
À nouveau, le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure.
[<] Utilisation de primitives[>] Limites d'intégrales
Soit une fonction continue.
Justifier que les fonctions suivantes sont de classe et exprimer leur dérivée:
Solution
On introduit primitive de sur .
est par opérations et .
est par opérations et .
est par opérations et .
Pour , on pose
Montrer que la fonction est définie et de classe sur .
Calculer et en déduire une expression simple de pour tout .
Soient et définie par
Prolonger par continuité en 0.
Montrer que la fonction ainsi obtenue est de classe sur .
Solution
On a
Pour , il existe vérifiant
Par suite, si , pour tout compris entre 0 et , puis par intégration, . Ainsi . On pose .
Par opération, est de classe sur .
Procédons à une intégration par parties,
On a alors
De façon semblable à ce qui précède, on obtient
Ainsi la fonction continue est de classe sur et
Soient de classe et définie par
Montrer que peut être prolongée par continuité en 0. On effectue ce prolongement.
Montrer que est dérivable sur et exprimer à l’aide d’une intégrale
Montrer que est dérivable en 0 et observer .
Solution
Soit une primitive de .
On prolonge par continuité en 0 en posant .
est dérivable par opérations et
Par intégration par parties
et l’on peut donc simplifier
Sachant
on peut écrire
En posant
on a alors
Or est continue en 0, donc puis
En vertu du théorème du prolongement , on peut affirmer que est dérivable en 0 et .
Soient une fonction continue et la fonction définie par
Montrer que est solution sur de l’équation différentielle .
Déterminer toutes les fonctions réelles solutions de sur .
Soit continue de dans telle que
Montrer que est de classe et déterminer .
Solution
Puisque continue, la fonction admet une primitive sur et
Pour fixé, on obtient
Puisque la fonction est de classe , on obtient que est de classe et
En dérivant cette relation en la variable , on obtient
et donc
Puisque pour tout , il existe vérifiant
on peut affirmer que la fonction est constante.
On en déduit que la fonction est affine.
Par le calcul, on vérifie que, parmi les fonctions affines, seule la fonction nulle vérifie la relation proposée.
Soit continue. On définit par
Montrer que est de classe et calculer .
En déduire
Pour , on pose
Montrer que est bien définie et que cette fonction se prolonge par continuité en 0 et en 1.
En déduire la valeur de
Solution
Soit , et est définie et continue sur donc existe.
Pour ,
donc
Quand , .
On a aussi
donc
or
Quand , .
Finalement, peut être prolongée par continuité en 0 et en 1.
Soit une primitive de sur .
On a ce qui permet de dériver et d’obtenir
L’intégrale est définie car on vérifie aisément que la fonction intégrée peut être prolongée par continuité en 0 et en 1 et l’on a
Soit l’application définie par
Montrer que est convexe sur et .
Montrer que, pour tout ,
En déduire que . De même, établir: .
On prolonge par continuité en , en posant .
Montrer que ainsi prolongée est de classe sur .
Établir la convexité de sur .
Solution
Soit une primitive de la fonction sur (resp. sur ).
Pour tout (resp. ), on a . On en déduit que est de classe sur (resp. sur ) et
On a alors
Soit sur .
est de classe et . Puisque , la fonction est positive puis sur (resp. ).
Pour ,
D’où
Comme , on obtient
puis .
Pour ,
D’où
On obtient puis .
est continue sur , de classe sur et et
Par le théorème de prolongement , on a de classe et .
De même, en exploitant
on obtient que est de classe et .
Comme est positive sur , on peut conclure que est convexe sur .
Soit
Calculer les limites de en et , la limite en de et montrer que tend vers quand tend vers 1.
Montrer que est de classe sur mais qu’elle ne l’est pas sur .
Étudier les variations de et tracer sa courbe représentative.
Solution
La fonction est définie sur car pour chaque dans ce domaine, la fonction est définie et continue sur le segment d’extrémités et car 1 n’y appartient pas. Pour , on a pour tout , puis par encadrement d’intégrales
et donc .
L’encadrement est identique pour ce qui permet d’affirmer et .
On peut aussi écrire
et par encadrement du du numérateur par et , on obtient encadré par et avec
d’où .
On introduit primitive de et l’on démontre que est de classe sur avec . Cette dérivée étant de classe , on conclut que est sur . On prolonge par continuité en 1 en posant et puisque , la fonction est de classe sur avec . Par développement en série entière est au voisinage de donc est au voisinage de 1 et par passage à l’inverse est au voisinage de .
Finalement, est sur .
Le calcul de permet de justifier que n’a pas de limite finie en 0 et donc ne peut être prolongée en une fonction de classe au voisinage de .
est croissante, convexe, branche parabolique verticale en , tangente horizontale en l’origine.
On introduit sur la fonction
Prolonger par continuité en 0.
Montrer que est de classe sur .
Solution
Quand , on a par croissance de la fonction exponentielle
donc
Par théorème d’encadrement
De même, quand , . On prolonge par continuité en 0 en posant
Soit une primitive de sur . est de classe et donc est aussi de classe et
Il en est de même sur et puisque , on peut affirmer que la fonction continue est de classe sur et .
On introduit la fonction définie sur par la relation
Montrer que la fonction est bien définie et étudier sa parité.
Justifier qu’il est possible de prolonger par continuité en .
On note encore la fonction ainsi prolongée.
Montrer que est dérivable sur .
Étudier la limite de en .
Soit
Étudier la parité de . On étudie désormais sur .
Prolonger par continuité en 0.
Montrer que est de classe sur .
Branches infinies, allure.
Solution
Par le changement de variable , on obtient que est paire.
Pour tout , on a
En intégrant, on obtient
et l’on en déduit
La fonction est continue sur donc y admet une primitive et puisque , on obtient que est de classe sur et
De plus,
donc, par le théorème du prolongement , est de classe sur .
Puisque , présente une branche parabolique verticale.
Soit la fonction définie par:
Soit définie par:
Montrer que est bien définie et étudier la parité de .
Justifier que est dérivable et calculer .
Dresser le tableau de variation de .
Solution
est continue sur donc existe.
Ainsi est impaire.
est continue donc possède une primitive . Comme est dérivable et
pour et .
Pour tout , on a donc . Ainsi est croissante sur .
Puisque
on a quand .
On complète le tableau de variation par parité.
Étude et graphe de la fonction
On précisera le comportement de la fonction quand et quand .
Solution
Posons
On a
ce qui assure que est définie et de classe sur .
Le changement de variable assure que est impaire.
Par dérivation de primitive
En réduisant au même dénominateur et en multipliant par la quantité conjuguée, est du signe de
est donc croissante que puis décroissante sur
En 0, le graphe de la fonction passe par l’origine avec une tangente d’équation .
Quand ,
et donc tend vers 0 en .
Pour tout , on pose
Montrer que la fonction est bien définie, continue sur et de classe sur .
Exprimer sa dérivée
Étudier la dérivabilité de en . Préciser la tangente au graphe de en .
Étudier la limite de en .
Justifier que réalise une bijection de sur un intervalle à préciser.
Justifier que est dérivable sur et solution de l’équation différentielle
Étudier la dérivabilité de en .
Solution
est définie et continue sur et
donc existe.
est primitive de la fonction continue sur donc est et .
Comme est , est finalement et sur
est continue en 1 et . n’est pas dérivable en . Il y a une tangente verticale en .
donc
donc .
est continue et strictement croissante sur donc réalise une bijection de sur .
réalise une bijection de classe de sur avec donc est sur .
donc est solution de l’équation différentielle considérée.
est continue en et . En vertu de la relation
on obtient
est donc dérivable en et .
Soient une fonction continue et la fonction définie par
Montrer que la fonction est dérivable et solution sur de l’équation différentielle
Déterminer, si elle existe, la limite de en .
On suppose que tend vers une limite finie en .
Étudier la limite de en .
[<] Intégrales fonctions des bornes[>] Sommes de Riemann
Déterminer les limites suivantes sans pour autant calculer les intégrales correspondantes:
Solution
Quand ,
donc .
Quand ,
donc
puis
Par intégration par parties
Or quand ,
donc
Déterminer les limites suivantes sans pour autant calculer les intégrales correspondantes:
Solution
Quand , par croissance de la fonction exponentielle
donc
puis par encadrement
Quand , par décroissance de la fonction
donc
puis par encadrement
Quand , pour assez grand, la fonction est croissante sur donc
puis
et par encadrement
Étudier les limites suivantes:
.
Soit continue. Déterminer
Solution
On a
Par la continuité de en 0, Pour tout , il existe vérifiant
et donc
On peut donc conclure que
On peut aussi très efficacement obtenir le résultat en introduisant une primitive de et en exploitant
Soit continue. Montrer
Soit . Déterminer la limite de la suite
Solution
On peut écrire
Par le changement de variable
Par convergence dominée par , on obtient
Soient une application de classe et . On pose
Déterminer la limite de quand tend vers 0.
Solution
On a
Pour , il existe vérifiant
Par suite, si , pour tout compris entre 0 et , puis par intégration
Ainsi,
Pour , on pose
Montrer que la suite est à termes strictement positifs.
Montrer que la suite est strictement décroissante.
Déterminer la limite de la suite .
Soient et deux réels strictement positifs. Pour une fonction continue dérivable en , étudier
(Lemme de Lebesgue)
Soit une fonction de classe .
Montrer
Soit une fonction de classe .
Étudier la limite quand tend vers l’infini de
[<] Limites d'intégrales[>] Formules de Taylor
Déterminer les limites des suites définies par le terme général suivant:
Solution
Étudier les limites quand croît vers l’infini de:
.
Déterminer
Pour , déterminer
En déduire
Solution
Par somme de Riemann
Par somme de Riemann
Sachant pour
on obtient
et donc
Déterminer un équivalent quand de
Solution
On peut écrire
avec
Par les sommes de Riemann, on a
On en déduit
En faisant apparaître une somme de Riemann, déterminer un équivalent simple de
Solution
On peut écrire
et
avec définie et continue sur .
Par somme de Riemann
donc
Soit un réel strictement positif. En faisant apparaître une somme de Riemann, déterminer un équivalent simple quand tend vers de
Déterminer la limite de la suite de terme général
Solution
On a
La fonction étant continue sur , on obtient
On en déduit
Calculer les limites de
lorsque tend vers .
Solution
Pour , on sait
et donc
On a alors
donc
Or
donc
Pour ,
donne aussi avec . Ainsi,
Or
donc
Si et , soit .
Soit le plus petit réel strictement positif en lequel atteint un maximum local. Calculer .
Solution
On a
donc
Par suite,
Or la fonction peut être prolongée en une fonction continue sur donc par somme de Riemann
Étudier la suite suivante
avec le reste de la division euclidienne de par .
On pourra étudier la suite définie par
Solution
La division euclidienne de par s’écrit
et donc
puis
ce qui fait penser à une somme de Riemann associée à la fonction définie et continue par morceaux sur . Bien qu’elle soit prolongeable par continuité en 0, ce prolongement n’est pas continue par morceaux sur (il n’existe pas de subdivision finie du segment qui soit adaptée) et l’on ne peut donc pas employer directement le théorème du cours relatif aux sommes de Riemann: cela va nous obliger à un petit découpage…
Soit . On peut écrire
D’une part
et d’autre part, par les sommes de Riemann
Par le changement de variable
puis
et l’on remarque que
En choisissant assez grand pour que et , on a
Puis pour assez grand
ce qui donne
Finalement, puis
Soit . Montrer l’égalité
Soit un réel différent de et de . Déduire du calcul qui précède la valeur de
Énoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégrale.
Solution
C’est du cours!
Établir que pour tout dans ,
Soient de classe et .
Déterminer
Solution
En vertu du théorème de Taylor-Young:
donc
puis
En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction , établir11 1 Dans le chapitre suivant, nous dirons que la série converge et que sa somme vaut .
En appliquant la formule de Taylor à la fonction exponentielle, montrer11 1 Dans le chapitre suivant, nous dirons que la série converge et que sa somme vaut .
Montrer que pour tout et tout
En déduire
Solution
En appliquant la formule de Taylor reste intégrale à la fonction entre 0 et on obtient
donc
Si alors
Si alors
On aurait aussi pu appliquer directement l’inégalité de Taylor-Lagrange à la restriction de sur .
Quand ,
donc
(Égalité de Taylor-Lagrange11 1 Ce résultat constitue une généralisation de l’égalité des accroissements finis.)
Soient une fonction de classe et .
Montrer que pour tout , il existe un réel compris entre et vérifiant
Soit une fonction continue.
Déterminer les fonctions deux fois dérivables telles que
Soient une application de classe et
Déterminer la limite de la suite .
Solution
Par l’inégalité de Taylor Lagrange avec :
Par suite,
or
donc
Soit une fonction de classe vérifiant .
Montrer que pour chaque , il existe vérifiant la relation
Montrer qu’au voisinage de 0 ce réel est unique.
Déterminer la limite de quand tend vers .
Montrer, pour tout , l’existence de tel que
Étudier la limite de quand tend vers par valeur supérieure.
Solution
Par l’égalité de Taylor-Lagrange (hors-programme),
Le réel convient alors.
À défaut de connaître l’égalité de Taylor-Lagrange, par l’égalité de Taylor avec reste-intégrale
Or pour , on a
avec inégalité stricte pour donc
Ainsi,
Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut écrire
Quand , donc
puis
or
donc puis
Soient et une fonction de classe telle que
Montrer que
On introduit définie par
Montrer que
En déduire que est de classe sur .
Soient de classe et définie par
Montrer que est de classe .
Soient de classe telles que
Montrer que est de classe .
Solution
Par la formule de Taylor Young:
entraîne alors .
En appliquant la formule de Taylor Young à , on obtient la conclusion.
donc .
donc
donc …
Par le théorème du prolongement , la fonction est de classe .
On introduit
On a donc est de classe puis
est de classe .
avec et qui se prolongent en 0 en des fonctions de classe .
Soit une fonction de classe (avec ) vérifiant
Montrer que pour tout entier compris entre et ,
Édité le 03-06-2024
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