[>] Lemme de décomposition des noyaux
Soient un endomorphisme d’un -espace vectoriel et un polynôme de .
Montrer que, si est valeur propre de , est valeur propre de .
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension .
On suppose qu’il existe un vecteur tel que la famille soit libre. Montrer que les polynômes en sont les seuls endomorphismes qui commutent avec .
Soient diagonalisable et non constant.
Montrer qu’il existe tel que .
Solution
Notons les valeurs propres de et leurs multiplicités respectives. Puisque la matrice est diagonalisable, il existe telle que
Pour , l’équation d’inconnue possède au moins une solution . En effet, le polynôme complexe est non constant et le théorème de d’Alembert-Gauss assure qu’il possède au moins une racine complexe. Considérons alors
On vérifie
Soient . On suppose qu’il existe un polynôme vérifiant
Montrer que est inversible et que et commutent.
Soient et dans . On suppose que est nilpotente et qu’il existe tel que
Montrer qu’il existe tel que
Solution
On sait qu’il existe tel que .
En introduisant les coefficients de , la relation donne
On en déduit
En inversant ces équations, on obtient
et enfin
Cela qui détermine un polynôme vérifiant et .
Soient et telle que .
Montrer que est inversible et exprimer son inverse.
On pose
Montrer que est un sous-groupe commutatif de .
Solution
Posons . On a
donc
On en déduit que est inversible et
Soit tel que . On a
Donc
puis
On peut alors reprendre le raisonnement de la question précédente et affirmer que la matrice est inversible et que son inverse est de la forme
On en déduit que est inclus dans et que l’inverse d’un élément de est encore dans .
Il est immédiat de vérifier que est non vide et stable par produit. On en déduit que est un sous-groupe de . Enfin, on vérifie que est commutatif car les polynômes en une matrice commutent entre eux.
Dans , on considère la matrice
Exprimer simplement pour .
Solution
Par la formule de Taylor en ,
donc
Il est facile de calculer les puissances de et l’on conclut
Soient et trois endomorphismes d’un espace vectoriel réel vérifiant
Exprimer en fonction de , , et pour tout .
Pour , on pose
On pose , et .
Écrire une fonction C(L) d’argument et qui renvoie la matrice . Pour , écrire une fonction qui génère aléatoirement une matrice à coefficients dans et qui renvoie son inverse lorsqu’elle est inversible. Que conjecturer sur son inverse?
Pour et , calculer avec Python la matrice . Conjecture?
Quel est le polynôme caractéristique de ? Montrer que la matrice est diagonalisable dans et préciser ses valeurs propres et sous-espaces propres.
Justifier que est diagonalisable quel que soit le multiplet . Quelles sont ses valeurs propres?
À quelle condition la matrice est-elle inversible?
Justifier que lorsque c’est le cas, son inverse est de la forme avec .
Solution
On remplit le tableau matriciel de coefficients généraux avec :
def C(L): n = len(L) C = np.zeros((n, n)) for i in range(n): for j in range(n): C[i, j] = L[(j-i) % n] return C A = C(list(rd.random(3))) print(alg.inv(A))
L’inverse de la matrice semble être de la forme .
A = C([1, 2, 3]) J = C([0, 1, 0]) print(A - np.eye(3) + 2*J + 3*np.dot(J, J))
La matrice semble correspondre à .
En développant le déterminant selon la première ligne, on obtient .
Les racines de sont les racines -ièmes de l’unité, ce sont les pour , il y en a exactement : la matrice est diagonalisable.
Pour , on obtient après résolution
Pour , on remarque . Par combinaison linéaire, . Puisque la matrice est diagonalisable, l’est aussi par la même matrice de passage. La diagonalisation de en détermine les valeurs propres qui sont les pour .
La matrice est inversible si, et seulement si, n’en est pas valeur propre. Cela a lieu si, et seulement si, les racines -ièmes de l’unité ne sont pas racines de . Supposons que ce soit le cas.
Soit un polynôme de vérifiant
Un tel polynôme est possible par interpolation de Lagrange. Considérons ensuite
On a
Par diagonalisation de et parce que les valeurs du polynôme sont égales à sur les valeurs propres de , on a . On en déduit que est de la forme proposée.
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie . On suppose que les espaces et sont supplémentaires.
Que dire de la matrice de dans une base adaptée à l’écriture ?
Établir que la projection sur parallèlement à est un polynôme en .
Peut-on affirmer la même propriété pour la projection sur parallèlement à ?
Solution
Les espaces et sont stables par . La matrice de dans une base adaptée à la décomposition est donc diagonale par blocs de la forme
avec et .
Au surplus, est inversible car .
Puisque est inversible, n’est pas valeur propre de et n’est donc pas racine de son polynôme caractéristique .
Considérons le polynôme défini de sorte que et en vertu du théorème de Cayley Hamilton. On observe
On reconnaît la matrice de la projection sur parallèlement à et donc est cette projection, c’est un polynôme en .
La projection sur parallèlement à est , il s’agit d’un polynôme en .
[<] Polynômes en un endomorphisme ou une matrice[>] Polynômes annulateurs
Soit un endomorphisme d’un espace réel vérifiant .
Justifier que les espaces et sont supplémentaires.
Soient un espace vectoriel sur et un élément non nul de . Soit tel que . Les espaces et sont-ils supplémentaires?
Solution
est annulateur de . Par le théorème de décomposition des noyaux,
car et sont premiers entre eux. Or étant non nul, on montre
tandis que l’inclusion réciproque provient de ce que
Les espaces et sont donc supplémentaires.
Soit un -espace vectoriel de dimension finie et tel que
Décrire les sous-espaces stables de .
Même question avec un -espace vectoriel.
Solution
Cas: . annule un polynôme scindé simple, l’endomorphisme est donc diagonalisable. Tout sous-espace vectoriel possédant une base de vecteurs propres est stable et inversement.
Cas: . Par le lemme de décomposition des noyaux, on a
Si est un sous-espace vectoriel stable alors posons
et
Montrons .
Tout peut s’écrire avec et .
Puisque et , on a puis .
Ainsi , et l’on a donc .
Il est alors immédiat que l’on peut alors conclure .
Puisque , pour non nul est libre et est stable par . Cela permet d’établir que est la somme directe de sous-espaces vectoriels de la forme avec , . Quant à , il n’y a pas de condition à souligner puisque tout sous-espace vectoriel de est stable par .
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel vérifiant . Montrer
Solution
Le polynôme est annulateur de . Or avec et premiers entre eux. Par le lemme de décomposition des noyaux,
Or donne . Aussi, si , . Par double inclusion, ce qui permet de conclure.
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension quelconque. On suppose qu’il existe un polynôme annulateur de vérifiant
Montrer que l’image et le noyau de sont supplémentaires dans .
Solution
On peut écrire avec tel que . Quitte à considérer au lieu de avec bien choisi, on peut supposer . Cela permet d’écrire avec .
Les polynômes et sont premiers entre eux. Par le lemme de décomposition des noyaux,
Montrons par double inclusion l’égalité ce qui permettra de conclure.
D’une part, et donc .
D’autre part, pour , on a donc puis . Ainsi, et l’on a l’égalité.
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel . On suppose qu’il existe deux polynômes premiers entre eux vérifiant .
On suppose l’espace de dimension finie. Montrer
On ne suppose plus l’espace de dimension finie. Le résultat précédent est-il encore vrai?
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension quelconque. On suppose qu’il existe deux polynômes premiers entre eux vérifiant . Montrer
Solution
Les polynômes et étant premiers entre eux, on peut introduire des polynômes vérifiant
En évaluant en , on obtient la relation
Soit . Puique , on a et donc . La relation donne alors
Ainsi, les espaces et sont en somme directe. Soit . Par la relation , on peut écrire
On a évidement et aussi car
On peut alors conclure l’égalité
Soient un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie et annulateur de .
On suppose que l’on peut écrire avec et premiers entre eux.
Établir
Solution
Par le lemme de décomposition des noyaux,
et puisque est annulateur
De plus, et donc .
Par la formule du rang,
et par la supplémentarité qui précède,
donc
On peut alors conclure.
Notons que le résultat est aussi vrai en dimension quelconque: on l’obtient grâce à une relation de Bézout.
[<] Lemme de décomposition des noyaux[>] Polynômes annulateurs et valeurs propres
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension .
Montrer que la famille est liée et en déduire qu’il existe un polynôme non nul qui annule .
Solution
Si alors donc la famille est liée car formée de éléments. Une relation linéaire sur les éléments de cette famille donne immédiatement un polynôme annulateur non nul.
Soit une matrice triangulaire par blocs de la forme
On suppose connus deux polynômes et annulateurs de et respectivement.
Former en fonction de et un polynôme annulateur de .
Solution
On a
donc
Ainsi, le polynôme est annulateur de .
Soient un -espace vectoriel de dimension quelconque, et ayant comme racine simple et tel que .
Montrer
En déduire
Solution
On sait déjà . On a avec . Pour , on a et donc puis car . On en déduit
puis l’égalité.
L’inclusion est entendue.
Inversement, soit . On peut écrire pour un certain . Or et l’on peut écrire sous la forme
donc
puis . Ainsi,
Pour , il existe , et donc .
Pour , et l’on peut écrire pour un certain . On a alors avec et où l’on vérifie .
Soit un -espace vectoriel de dimension quelconque. Soit un endomorphisme de admettant un polynôme annulateur non nul. Pour , l’endomorphisme admet-il un polynôme annulateur non nul?
Solution
Puisque possède un polynôme annulateur non nul,
Or et donc
Par conséquent, l’endomorphisme possède un polynôme annulateur non nul.
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et tel que les espaces
Montrer que est une symétrie vectorielle.
Solution
L’endomorphisme s’annule sur et sur donc sur
Ainsi, .
Si alors
donc et .
Par suite,
et donc .
Ainsi, est une symétrie vectorielle.
Soient un élément d’une -algèbre et un polynôme de . On appelle valeur du polynôme en l’élément
Montrer que l’application détermine un morphisme d’algèbres.
On dit qu’un polynôme est annulateur de lorsque .
Que dire de l’ensemble des polynômes annulateurs de l’élément ?
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie non nulle. En introduisant11 1 On propose ici une démarche alternative à celle vue dans le sujet 5157. un polynôme annulateur, montrer qu’il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable par .
[<] Polynômes annulateurs[>] Théorème de Cayley Hamilton
Montrer que si est un polynôme annulateur d’un endomorphisme alors pour toute valeur propre de .
Montrer que si vérifie
alors est bijectif.
Solution
Soit un vecteur propre associé à la valeur propre . On a avec . Par composition puis . Or et donc .
Le polynôme est annulateur de et 0 n’en est pas racine donc . Cela suffit pour conclure si l’espace est de dimension finie. Sinon, on exploite
pour conclure.
Pour , on note .
Soit l’endomorphisme de déterminer par . Calculer puis déterminer les valeurs propres de .
Solution
On vérifie . Le polynôme est donc annulateur de et les valeurs propres de ne peuvent être que et . En prenant successivement pour une fonction paire et une fonction impaire non nulle, on montre que et sont effectivement valeurs propres de .
Soit l’endomorphisme défini par .
Montrer que est un automorphisme.
Déterminer valeurs propres de .
Solution
On vérifier donc est un automorphisme et .
Puisque annule , les valeurs propres de ne peuvent être que et . Par exemple, le polynôme est vecteur propre associé à la valeur propre et est vecteur propre associé à la valeur propre . Les valeurs propres de sont exactement et .
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension quelconque. On suppose que possède un polynôme annulateur non nul et l’on introduit un polynôme annulateur non nul de de degré minimal.
Montrer que les valeurs propres de sont exactement les racines de .
Solution
Les valeurs propres de sont racines des polynômes annulateurs de donc du polynôme .
Soit une racine de . On peut écrire
car ne peut être annulateur de .
Pour , il existe tel que et l’on a donc avec .
Ainsi, est valeur propre de (et est un vecteur propre associé).
[<] Polynômes annulateurs et valeurs propres[>] Polynôme minimal
Déterminer un polynôme annulateur de
En déduire une expression de en fonction de et lorsque est inversible.
Solution
annule matrice .
On en déduit
Déterminer le polynôme minimal de chacune des matrices réelles suivantes:
Exploiter ces polynômes minimaux pour exprimer , et pour .
Soit
Montrer que est annulateur de .
Solution
annule en vertu du théorème de Cayley Hamilton.
Soit un endomorphisme bijectif d’un espace de dimension finie . Montrer que son inverse est un polynôme en .
Soit un endomorphisme inversible d’un -espace vectoriel de dimension finie.
Montrer qu’il existe un polynôme vérifiant
Soit l’endomorphisme de qui envoie le polynôme sur .
Montrer que est un automorphisme et déterminer ses éléments propres.
Existe-t-il tel que
Solution
Par le théorème de Cayley Hamilton, on a
avec polynôme de coefficient constant .
En écrivant
le polynôme
est solution.
Considérons l’endomorphisme de qui envoie le polynôme sur .
On vérifie aisément ce qui permet d’affirmer que est inversible d’inverse .
Soit un polynôme de degré exactement .
Si alors par identification des coefficients de degré , on obtient
puis on en déduit
La réciproque étant immédiate, on peut affirmer
Si par l’absurde il existe tel que
alors le polynôme non nul
est annulateur de . Les valeurs propres de sont alors racines de celui-ci ce qui donne une infinité de racines.
C’est absurde.
(Endomorphisme unipotent)
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension . On suppose que possède pour seule valeur propre.
Justifier que l’endomorphisme est nilpotent.
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension . On suppose que possède une unique valeur propre .
À quelle condition l’endomorphisme est-il diagonalisable?
Calculer le polynôme caractéristique de .
Justifier que l’endomorphisme est nilpotent.
Solution
Si est diagonalisable alors est représenté par dans une certaine base et donc est une homothétie vectorielle. La réciproque est immédiate.
Calculé dans une base de triangulation, .
est annulateur de dans .
Soit une suite réelle vérifiant, pour tout ,
Pour , on pose la colonne de coefficients .
Déterminer une matrice telle que .
Exprimer en fonction de et .
Soit la matrice
est-elle diagonalisable dans ?
est-elle diagonalisable dans ?
Soit un réel non nul. La matrice est-elle inversible?
Montrer qu’il existe trois réels tels que
Solution
Par Sarrus,
Si alors et la matrice n’est pas diagonalisable sur car son polynôme caractéristique n’est pas scindé.
Si alors est la matrice nulle.
Si alors la matrice diagonalisable dans car possède trois valeurs propres distinctes à savoir et .
Si alors est la matrice nulle.
Puisque 0 est la seule valeur propre réelle de et puisque est inversible si, et seulement si, n’est pas valeur propre de , on peut conclure que est inversible pour tout .
Puisque le polynôme caractéristique est annulateur de , on a
donc
Il suffit de développer et de réorganiser pour obtenir une expression du type
et conclure
Soit une matrice inversible.
Montrer que est triangulaire supérieure si, et seulement si, l’est pour tout .
Donner un contre-exemple dans le cas où l’on ne suppose plus la matrice inversible.
Solution
L’implication directe est immédiate: elle découle de la stabilité par produit de l’espace des matrices triangulaires supérieures. Inversement, supposons triangulaire supérieure pour tout . Introduisons le polynôme caractéristique de
Puisque celui-ci est annulateur de , on peut écrire
En multipliant la relation par et en réorganisant
et la matrice est donc triangulaire supérieure.
Pour
nous obtenons un contre-exemple où pour tout .
Montrer qu’il existe tel que:
Solution
Considérons . est un endomorphisme de qui est annulé par son polynôme caractéristique de la forme
Cela fournit directement la propriété voulue.
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension .
On suppose qu’il existe et tels que soit une famille génératrice de .
Montrer que la famille est une base de .
Démontrer que les endomorphismes commutant avec sont les polynômes en .
Solution
Le polynôme caractéristique de est un polynôme de degré annulant . Ainsi, . Par récurrence, on montre alors que pour tout , .
Par suite, puis donne . La famille est alors génératrice et formée de vecteurs de , c’est donc une base de .
Les polynômes en commute avec .
Inversement, supposons que commute avec . Puisque , on peut écrire
Puisque et commutent, on a encore
de sorte que les endomorphismes et coïncident sur une base de et c’est donc égaux. Au final, est un polynôme en .
Soient , et des matrices de de déterminants non nuls et premiers entre eux.
Montrer qu’il existe et dans telles que
On pourra écrire .
Solution
Puisque les entiers et sont premiers entre eux, on peut écrire par l’égalité de Bézout
On écrit et de même (ces écritures sont possibles car le déterminant est au signe près le coefficient constant d’un polynôme caractéristique).
Posons alors
Puisque et sont à coefficients entiers, on a .
Puisque et sont annulateurs, on a
On observe alors
Remarquons que prendre
était sans doute plus simple…
Soient trois matrices de telles que avec .
Montrer que pour tout , on a .
Montrer que et ont au moins une valeur propre en commun.
Inversement, soient deux matrices ayant une valeur propre en commun. Déterminer une matrice non nulle telle que .
On pourra rechercher de la forme pour colonnes bien choisies.
Solution
Méthode: On vérifie l’identité pour avec avant de généraliser à tout polynôme.
Montrons par récurrence pour tout .
Lorsque , la relation se relit simplement .
Supposons la propriété vraie au rang . Au rang suivant,
La récurrence est établie.
Considérons ensuite un polynôme de . En introduisant ses coefficients, on peut écrire
et alors
Méthode: On considère le polynôme qui est annulateur de .
Pour , la relation entraîne . La matrice ne peut alors pas être inversible car, sinon, ce que le sujet exclut. On en déduit la nullité du déterminant de .
Or l’étude est menée dans le cadre des nombres complexes et le polynôme caractéristique de peut se factoriser
avec les valeurs propres de comptées avec multiplicité.
L’égalité donne alors
Par conséquent, il existe tel que . Le scalaire est alors valeur propre de : les matrices et ont une valeur propre commune11 1 Cette étude sera généralisée dans le sujet 4986..
Méthode: Une matrice et sa transposée ont les mêmes valeurs propres.
Soit une valeur propre commune à et . Il existe une colonne non nulle telle que .
Puisque les valeurs propres de sont aussi celles de , il existe une colonne non nulle telle que soit encore .
Considérons alors .
La matrice est élément de et son coefficient d’indice est . Les colonnes et étant non nulles, il existe au moins un indice tel que : la matrice n’est pas nulle.
Au surplus,
On a donc déterminé non nulle telle que .
Soit vérifiant
Soit un polynôme de degré au plus . Calculer .
En déduire que la matrice n’est pas inversible.
On suppose que la matrice possède une valeur propre non nulle . En introduisant un polynôme qui s’annule sur toutes les valeurs propres de sauf , aboutir à une absurdité.
Conclure que est nilpotente.
Solution
Soit que l’on écrit
Par combinaison linéaire,
Considérons . Par le théorème de Cayley-Hamilton, donc . Par ce qui précède, il vient . Or
La matrice n’est donc pas inversible.
Soit un polynôme s’annulant sur toutes les valeurs propres de sauf où prend la valeur . Un tel polynôme existe, il suffit de considérer
Pour ce polynôme, on a car est une valeur propre de puisque la matrice n’est pas inversible.
Parallèlement, est la somme des valeurs propres de comptées avec multiplicité. Par trigonalisation de la matrice , on obtient une trigonalisation de qui conduit à
C’est absurde car .
Seule est valeur propre de donc est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte. Par conséquent, la matrice est nilpotente.
Soient et deux matrices de et l’endomorphisme de déterminé par
Soient une valeur propre de et une valeur propre de . Montrer que est valeur propre de .
Soit . À quelle condition la matrice n’est-elle pas inversible?
Soit une valeur propre de . Montrer qu’il existe valeur propre de et valeur propre de telles que .
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension finie vérifiant
Montrer que diagonalisable.
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension . On note les valeurs propres sans répétitions de et leurs multiplicités respectives. On suppose que les sous-espaces propres de sont tous de dimension .
Soit . Montrer que pour tout , le noyau de est de dimension .
Soit un sous-espace vectoriel de stable par . Montrer qu’il existe un polynôme unitaire de tel que .
Combien l’endomorphisme possède-t-il de sous-espaces vectoriels stables?
(Décomposition de Dunford)
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie non nulle dont le polynôme caractéristique est scindé. On souhaite établir l’existence et l’unicité d’un couple d’endomorphismes de avec diagonalisable et nilpotent vérifiant
On note les valeurs propres sans répétitions de et leurs multiplicités respectives.
Justifier
Établir que les projecteurs11 1 L’endomorphisme est la projection sur parallèlement à la somme directe des autres noyaux. associés à cette écriture sont des polynômes en .
On pose et .
Vérifier que le couple est solution du problème posé.
Montrer que c’est le seul couple possible.
[<] Théorème de Cayley Hamilton[>] Calcul de polynôme minimal
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie.
Si est un sous-espace vectoriel stable par , montrer que le polynôme minimal de divise le polynôme minimal de .
Solution
annule ce qui signifie
A fortiori,
Ainsi, annule et donc le divise.
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et .
On suppose qu’il existe deux sous-espaces vectoriels supplémentaires et stables par .
Établir que (en notant le polynôme minimal d’un endomorphisme ).
Solution
annule donc aussi l’endomorphisme induit . Ainsi, . De même, donc .
Inversement, si alors pour tout , et pour tout , . Soit . On écrit avec et et l’on a
Ainsi, annule puis .
Par double divisibilité, .
Soit une matrice telle que et la famille soit libre. Calculer .
Solution
Le polynôme est annulateur de et l’hypothèse de liberté assure qu’il n’existe pas de polynôme annulateur non nul de degré strictement inférieur à . On en déduit que est exactement le polynôme minimal de . Celui-ci étant de degré , c’est aussi le polynôme caractéristique de et ses racines sont exactement les valeurs propres de comptées avec multiplicité. Celles-ci sont les racines de l’unité, elles sont simples et leur somme est nulle. On en déduit .
Existe-t-il dans une matrice de polynôme minimal ?
Solution
Cas: est impair. Le polynôme caractéristique d’une matrice de étant de degré impair, il possède une racine qui sera valeur propre de la matrice et aussi racine de son polynôme minimal. Celui-ci ne peut alors être le polynôme .
Cas: est pair. Considérons
n’est pas une homothétie donc le degré de son polynôme minimal est supérieur à . De plus, et annule donc . Au final, est polynôme minimal de .
Le polynôme peut-il être le polynôme minimal d’une matrice de ?
Solution
Une matrice réelle de taille impaire possède au moins une valeur propre réelle. Celle-ci est alors racine de son polynôme minimal. Cependant, le polynôme ne possède pas de racines réelles comme en témoigne la factorisation
Le polynôme ne peut donc pas être le polynôme minimal d’une matrice de .
Soit une matrice inversible.
Comparer les polynômes minimaux de et .
Solution
Notons et les polynômes minimaux des matrices et .
Les racines de sont les valeurs propres de . Puisque est inversible, n’est pas valeur propre de et donc . En notant , le polynôme minimal de s’écrit
et donc
En multipliant par ,
On en déduit que
est annulateur de et donc divise . Par conséquent, . Par un raisonnement symétrique, et donc .
Le polynôme divise et ces deux polynômes sont de mêmes degrés, ils sont donc associés. Puisque est unitaire, on conclut
Autrement dit,
Soient un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie et .
Montrer que est inversible si, et seulement si, et le polynôme minimal sont premiers entre eux.
Solution
Si et sont premiers entre eux alors, par l’égalité de Bézout, il existe tels que donc . L’endomorphisme est alors inversible et .
Si et ne sont pas premiers entre eux alors on peut écrire avec le pgcd de et . On a donc alors que puisque . L’endomorphisme ne peut alors être inversible car
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle de polynôme minimal .
Soit . Justifier l’existence d’un unique polynôme unitaire vérifiant, pour tout ,
Soient et deux vecteurs de . On suppose que et sont premiers entre eux. Déterminer .
Soient une valeur propre de et sa multiplicité dans le polynôme minimal . Montrer l’existence d’un vecteur tel que .
Conclure qu’il existe un vecteur de tel que .
Soient et
Quels sont les tels que ?
Solution
On remarque
On en déduit
La matrice est donc diagonalisable semblable à . Par suite,
Les polynômes annulateurs de sont exactement les multiples de .
Montrer qu’une matrice de polynôme minimal est semblable à une matrice diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme
Solution
Considérons . On a .
Soit l’endomorphisme de dont la matrice est dans la base canonique.
On a donc .
Soit une base de complétée en base de .
Pour tout , considérons tel que .
Supposons .
On appliquant à cette relation, on obtient donc .
La relation initiale devient qui entraîne .
Finalement, la famille est libre et puisque formée de vecteurs de , c’est une base de .
La matrice de dans la base a alors ses coefficients tous nuls sauf coefficients sur la sur-diagonale.
La matrice est donc semblable à la matrice précédente et est semblable à une matrice de la forme voulue.
Soit une matrice non nulle élément de . Pour , on pose
Determiner les valeurs de pour lesquelles la famille est libre.
Solution
Soit un un polynôme annulateur non nul de ,
Pour toute matrice de ,
et donc
La famille est alors liée.
Inversement, supposons la famille liée et introduisons une relation linéaire
Considérons le polynôme
On constate
En particulier, cela vaut pour les matrices élémentaires et l’on en déduit que les coefficients de la matrice sont tous nuls.
En résumé, la famille est libre si, et seulement si, est strictement inférieur au degré du polynôme minimal de .
On note et l’on pose, pour toute et tout ,
L’opérateur est-il un automorphisme de ?
Existe-t-il un sous-espace vectoriel de de dimension finie stable par ?
Solution
L’application est évidemment linéaire et est à valeurs dans .
Soit . Montrons que l’équation admet une solution unique.
Unicité: Si alors est solution sur de l’équation différentielle linéaire vérifiant . Par le théorème de Cauchy, cela détermine de façon unique et donc aussi.
Existence: La dérivée de la fonction solution vérifiant est solution.
Soit un sous-espace vectoriel de dimension finie stable par . Notons l’endomorphisme de défini par
Puisque est stable par , est aussi stable par . L’endomorphisme induit par sur le sous-espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme minimal . On a alors, pour tout , l’égalité
donc
De plus, on a les conditions initiales ce qui donne puis . Ainsi, .
Finalement, l’espace nul est le seul espace de dimension finie stable par .
Soient un espace vectoriel réel de dimension finie, et deux endomorphismes de vérifiant
Calculer
Soit un polynôme. Montrer que si alors .
En déduire que est un endomorphisme nilpotent.
Solution
Par récurrence,
Par linéarité,
Par suite, si , alors .
Soit le polynôme minimal de l’endomorphisme .
annule donc aussi. Par minimalité de , . Pour des raisons de degré et de coefficients dominants, avec . On en déduit et donc est nilpotent.
Soit un -espace vectoriel de dimension et un endomorphisme de . On dit que l’endomorphisme est cyclique s’il existe tel que soit base de .
On suppose diagonalisable. À quelle condition l’endomorphisme est-il cyclique?
On revient au cas général.
On suppose l’endomorphisme cyclique. Déterminer le polynôme minimal de .
On suppose le polynôme minimal de de degré . Montrer que l’endomorphisme est cyclique.
Solution
Notons une base de diagonalisation de . On écrit avec .
Pour . On écrit et l’on a . La famille est une base si, et seulement si, son déterminant est non nul.
Si l’endomorphisme est cyclique, il existe tel que le déterminant ci-dessus soit non nul ce qui entraîne que les sont deux à deux distincts.
Inversement, si les sont deux à deux distincts, on peut déterminer un convenable en prenant par exemple de sorte que soit non nul.
Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique. S’il est de degré strictement inférieur à , l’identité affirme que la famille est liée pour tout de et l’endomorphisme n’est pas cyclique.
Montrons la propriété suivante:
« Si le polynôme minimal d’un endomorphisme est de degré , il existe un vecteur de l’espace tel que la famille est libre »
Pour fixé, il est clair que constitue un idéal de . Il existe donc un polynôme qui le génère. Il est entendu que divise et notre objectif et d’établir qu’il existe vérifiant .
Commençons par le cas où avec irréductible et . Pour tout , divisant , il est de la forme avec . Si pour tout de , on a annulateur de ce qui contredit l’hypothèse de départ. Ainsi, il existe tel que .
Passons au cas général avec polynômes irréductibles deux à deux distincts. Par le lemme des noyaux
L’espace est stable par , on peut introduire l’endomorphisme induit et son polynôme minimal . Clairement, divise et le produit des est divisible par de sorte que .
Par l’étude particulière d’au-dessus, il existe dans tel que (pour l’endomorphisme ). Considérons alors égal à la somme de .
Si alors
Par somme directe puis divise . Enfin, les étant deux à deux premiers entre eux, on peut conclure que divise et finalement .
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie .
Montrer que la multiplicité de en tant que racine du polynôme minimal est le plus petit entier naturel vérifiant
Montrer que le polynôme minimal et le polynôme caractéristique d’une matrice réelle ont exactement les mêmes facteurs irréductibles.
Soient un -espace vectoriel de dimension et un endomorphisme de .
On note le polynôme caractéristique de .
Soient et deux sous-espaces vectoriels de stables par et tels que . On note et les polynômes caractéristiques des endomorphismes induits par sur et .
Montrer .
On considère la décomposition en facteurs irréductibles
Montrer que pour tout , .
Montrer le polynôme minimal de est égal à si, et seulement si, pour tout , .
Solution
Dans une base adaptée à l’écriture , la matrice de est diagonale par blocs avec des blocs diagonaux figurant les endomorphismes induits par sur et . En calculant les polynômes caractéristiques par cette représentation matricielle, la relation est immédiate.
Commençons par un résultat préliminaire: Si est un polynôme irréductible unitaire et si annule alors le polynôme caractéristique de s’écrit .
Raisonnons matriciellement. Soit . On suppose que annule . Le polynôme minimal de divise , il est donc de la forme avec . Les valeurs propres complexes de sont exactement les racines de donc les racines de . Les valeurs propres complexes de sont aussi les racines de . Enfin, le polynôme est réel et donc, que le polynôme soit de la forme ou de la forme avec des racines conjuguées, on peut écrire .
Revenons au sujet. Le polynôme caractéristique de étant annulateur et les polynômes étant deux à deux premiers entre eux, on peut appliquer le lemme de décomposition des noyaux pour écrire
On peut introduire les endomorphismes induits par sur les espaces .
En notant le polynôme caractéristique de , la question précédente donne
Sachant , l’étude liminaire permet d’écrire . On a donc simultanémement
Par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles, on a . On peut alors conclure
Supposons . Le polynôme s’écrit
Par le lemme de décomposition des noyaux
Il est alors impossible que pour tout car alors
Inversement, supposons .
Commençons par établir que si est un polynôme irreductible unitaire
Considérons l’endomorphisme induit par sur . On a et le polynôme caractéristique de est donc de la forme avec . On en déduit .
Puisque , on a pout tout
(sinon, on pourrait définir un polynôme annulateur « plus petit » que ).
Par l’étude classique des noyaux itérés, on sait, pour endomorphisme,
En considérant, , on obtient la succession
où chacune des dimensions est multiple de . On peut conclure
Étant donné un espace vectoriel de dimension finie, un endomorphisme de et un scalaire, on dit que est séparable si le noyau et l’image de sont supplémentaires.
Montrer que tout scalaire non séparable de en est une valeur propre.
Montrer qu’un endomorphisme scindé est diagonalisable si, et seulement si, toutes ses valeurs propres sont séparables.
Caractériser la séparabilité d’une valeur propre à l’aide du polynôme minimal de .
Soit, avec ces notations, l’endomorphisme de qui à associe .
Comparer l’ensembles ses scalaires séparables relativement à avec celui des scalaires séparables relativement à .
Solution
Si alors car est inversible.
On en déduit que est séparable.
Par contraposée, si n’est pas séparable alors est valeur propre de .
Si est un endomorphisme diagonalisable alors pour tout scalaire , .
Par suite, et l’on en déduit que est séparable.
Inversement, soit un endomorphisme scindé dont toutes les valeurs propres sont séparables.
Puisque le polynôme caractéristique de est scindé, on peut écrire
et par le lemme de décomposition des noyaux
Or, pour toute valeur propre , entraîne puis par le principe des noyaux itérés . Par suite,
et donc est diagonalisable
Soit une valeur propre de . Le polynôme minimal de peut s’écrire
donne
Si est une valeur propre séparable alors et donc
puis le polynôme annule . Par minimalité de , on conclut .
Inversement, si est une racine simple du polynôme minimal, alors
Puisque les polynômes et sont premiers entre eux, on peut écrire
et en évaluant
avec (car est annulateur) et .
Ainsi, est une valeur propre séparable.
Finalement, les scalaires non séparables sont les racines multiples de .
, ,… pour tout polynôme .
Par suite, les endomorphismes et ont les mêmes polynômes annulateurs et donc le même polynôme minimal. Puisque les scalaires non séparables sont les racines multiples du polynôme minimal, les endomorphismes et ont les mêmes valeurs séparables.
Soient une norme sur et la norme sur qui lui est subordonnée.
Soit . On suppose que est valeur propre de et .
Montrer que est racine simple du polynôme minimal de .
Solution
Cas: est la seule valeur propre de . La matrice est alors semblable à une matrice triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux tous égaux à 1. Cela permet d’écrire avec inversible et
Notons l’élément d’indice de cette matrice.
Par une récurrence facile, on vérifie
Or , donc puis
et enfin
Or
On en déduit .
Par ce principe, on peut annuler successivement chaque coefficient de la sur-diagonale de puis chaque coefficient de la sur-diagonale suivante etc.
Au final; puis et le polynôme minimal de est .
Cas général: Le polynôme minimal de s’écrit avec .
Par le lemme de décomposition des noyaux, avec et .
Notons la matrice de l’endomorphisme induit par sur le sous-espace vectoriel stable . On vérifie que est la seule valeur propre de et que . L’étude qui précède assure alors que et donc le polynôme annule sur . De plus, le polynôme annule sur donc le polynôme annule sur . Puisque n’est pas racine de , n’est que racine simple du polynôme minimal .
[<] Polynôme minimal[>] Diagonalisabilité des endomorphismes scindés simples
Soit
Déterminer le polynôme minimal de .
Solution
mais n’est pas diagonalisable, donc .
Soient et
Déterminer le polynôme minimal de .
Solution
On remarque
et donc
ce qui donne
Le polynôme est annulateur de .
Cas: . On remarque , le polynôme minimal de est .
Cas: . On remarque , le polynôme minimal de est donc .
Soient , et la matrice dont les éléments diagonaux valent et les autres valent .
La matrice est-elle diagonalisable?
Quelles sont les valeurs propres de ? Quel est le polynôme minimal de ?
Sous quelles conditions sur et , la matrice est-elle inversible? Lorsque c’est le cas trouver l’inverse de .
Solution
La matrice est symétrique réelle donc diagonalisable.
est inversible si, et seulement si, c’est-à-dire et .
avec
Il suffit alors de résoudre le système
pour expliciter .
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension .
On suppose que est diagonalisable. À quelle condition existe-t-il un vecteur tel que la famille formée des vecteurs , ,…, forme une base de ?
On ne suppose plus diagonalisable mais on suppose l’existence d’une base de du type précédent. Déterminer le commutant de . Quel est le polynôme minimal de ?
Solution
Notons les composantes de dans une base de diagonalisation de . La matrice de la famille dans la base est
avec les valeurs propres de comptées avec multiplicité. Cette matrice est de rang , si, et seulement si,
Par déterminant de Vandermonde, on peut assurer l’existence de tel que voulu si, et seulement, si les valeurs propres de sont deux à deux distincts et non nulles. N’importe quel aux composantes toutes non nulles est alors convenable.
Les polynômes en commutent avec .
Supposons que soit un endomorphisme de commutant avec .
On peut écrire
avec
On a alors
Plus généralement, en exploitant , on obtient .
Les endomorphismes et coïncident sur les éléments d’une base, ils sont donc égaux. Finalement, le commutant de est exactement formé des polynômes en .
Si le polynôme minimal de est de degré alors la famille est liée et alors pour tout , la famille l’est aussi. Cela contredit l’hypothèse de départ. On peut donc affirmer que et puisque , on a avec polynôme caractéristique de .
Soit un réel. Pour , on pose
Montrer que est un endomorphisme de , trouver ses éléments propres et son polynôme minimal.
Pour quels , est-il un automorphisme? Trouver son inverse dans ces cas.
Solution
Il est clair que est linéaire.
Si alors .
est valeur propre de et le sous-espace propre associé est l’hyperplan des matrices de trace nulle.
Si alors implique . Or donc est valeur propre de et le sous-espace propre associé est la droite .
L’endomorphisme est donc diagonalisable et par suite
En dimension finie, est un automorphisme si, et seulement si, c’est-à-dire .
Puisque
on a
et donc
[<] Calcul de polynôme minimal[>] Diagonalisabilité des matrices scindées simples
Soient une matrice de projection et l’endomorphisme de défini par
Montrer que l’endomorphisme est diagonalisable
Solution
car .
.
Par suite, .
Ainsi, annule le polynôme .
Puisque ce polynôme est scindé simple, l’endomorphisme est diagonalisable.
Soient un réel et l’endomorphisme de (avec ) défini par
Déterminer un polynôme annulateur de degré de .
Calculer le déterminant de .
Soient trois endomorphismes d’un -espace vectoriel de dimension finie. On suppose qu’il existe distincts tels que
Montrer que est diagonalisable.
Justifier que et sont des projections vectorielles dont on précisera les noyaux et images en fonction des espaces et .
Exprimer pour tout en fonction de et .
Solution
En développant, on vérifie .
L’endomorphisme annule un polynôme scindé simple, il est donc diagonalisable.
De plus, .
On a .
On a et .
La relation donne et par un calcul symétrique, on obtient aussi .
On en déduit et donc est une projection vectorielle.
De plus, et .
Par récurrence .
Soient et trois endomorphismes d’un -espace vectoriel de dimension finie vérifiant
Montrer que est diagonalisable.
Solution
Par élimination de , on a
et
Par élimination de , on obtient
Ainsi, est annulateur de .
Cas: et . est diagonalisable car annule un polynôme scindé simple.
Cas: . est diagonalisable car est l’endomorphisme nul.
Cas: et . On a donc est diagonalisable car annule le polynôme scindé simple .
Cas: et . Semblable.
Cas: . On a et donc à nouveau .
Dans tous les cas, l’endomorphisme est diagonalisable.
Soit une matrice de . On étudie l’endomorphisme11 1 Il ne faut pas confondre avec l’endomorphisme qui à une colonne associe . de défini par pour toute matrice de .
Étudier l’équivalence entre les inversibilités de et de .
Étudier l’équivalence entre les diagonalisabilités de et de .
Soient et . Pour fixées non nulles, on définit par
Déterminer un polynôme annulateur de degré 2 de et en déduire une condition nécessaire et suffisante sur pour que soit diagonalisable. Quels sont alors les éléments propres de ?
Déterminer où
[Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]
Solution
On a
donc
est annulateur de . Les racines de ce polynôme sont et .
Si alors est diagonalisable car annulé par un polynôme scindé simple.
Pour appartenant à l’hyperplan défini par la condition , on a .
Pour , on a .
Ce qui précède détermine alors les sous-espaces propres de .
Si alors 1 est la seule valeur propre possible de et donc est diagonalisable si, et seulement si, ce qui donne la conditio
Cette propriété a lieu si, et seulement si, ou .
Si ou alors et donc
Si alors est diagonalisable avec des sous-espaces propres de dimensions et . On en déduit
Il reste à étudier le cas complémentaire
Considérons une base de l’hyperplan de donnée par l’équation dont le premier éléments serait . Complétons celle-ci en une base de . La matrice de dans cette base est de la forme
En étudiant la commutation avec une telle matrice, on obtient
Soient , et l’application définie sur par
où désigne la forme linéaire trace.
Justifier que est un endomorphisme de .
Étudier la diagonalisabilité de l’endomorphisme .
Préciser la dimension des sous-espaces propres de .
Solution
L’application est correctement définie de vers lui-même.
Pour et , on vérifie
en employant la linéarité de la trace.
Méthode: On commence par déterminer un polynôme annulateur de .
Soit . On observe
Ainsi,
Le polynôme est annulateur de .
On peut factoriser
Cas: . L’endomorphisme est diagonalisable car annule le polynôme qui est simplement scindé.
Cas: . Les valeurs propres de figurent parmi les racines du polynôme . Seule peut être valeur propre de et par conséquent est diagonalisable si, et seulement si, . Cela correspond uniquement au cas où .
Le cas est immédiat car alors l’endomorphisme est l’endomorphisme nul. Supposons désormais ce cas exclu.
Par le polynôme annulateur , on sait
Soit . On remarque
Le réel est donc valeur propre de et l’espace propre associé contient au moins : il est de dimension au moins égale à .
Soit telle que . On observe
On en déduit que est valeur propre de et que le sous-espace propre associé contient l’hyperplan des matrices de trace nulle: il est de dimension au moins égale à .
On a donc exactement
Il reste à discuter selon que ces deux valeurs sont distinctes ou non.
Cas: . L’endomorphisme n’est pas diagonalisable et la dimension du sous-espace propre associé à l’unique valeur propre est exactement .
Cas: . L’endomorphisme est diagonalisable et donc la dimension des sous-espaces propres des valeurs propres et sont respectivement et .
Soient une forme linéaire non nulle sur un espace réel de dimension finie , un vecteur de et l’endomorphisme de déterminé par
Calculer .
Former une condition nécessaire et suffisante portant sur et pour que soit diagonalisable.
Soit un espace vectoriel réel de dimension finie et tel que avec et .
Étudier la diagonalisabilité de l’endomorphisme de et préciser ses éléments propres.
Solution
Notons l’endomorphisme de étudié.
On observe que . Par annulation d’un polynôme scindé simple, on peut affirmer que est diagonalisable de seules valeurs propres possibles , et .
En introduisant une base adaptée à la projection , la matrice de cet endomorphisme est
avec .
En notant
la matrice de dans cette base, on obtient
Les valeurs propres de sont donc exactement , et et les sous-espaces propres associés viennent d’être décrits.
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie . On étudie l’application de vers définie par
Vérifier que est un endomorphisme de .
Établir que .
Soient une valeur propre de , le sous-espace propre associé et un projecteur sur .
Montrer que est vecteur propre de et en déduire que .
Soient et les sous-espaces propres respectivement associés à et pour une même valeur propre . On admet .
Établir
Montrer que et ont le même polynôme minimal. L’implication réciproque de la question précédente est-elle vraie?
Solution
Avec des notations entendues,
L’application est donc linéaire, c’est un endomorphisme.
Soient une valeur propre de et un vecteur propre associé:
Puisque l’endomorphisme n’est pas nul, il existe tel que soit non nul et l’égalité donne . Ainsi, est valeur propre de .
Puisque n’est pas réduit au vecteur nul, l’endomorphisme est non nul. Au surplus, pour tout , on a et donc . On en déduit . Ainsi, est un vecteur propre de .
Par double inclusion, et ont les mêmes valeurs propres.
Supposons que soit diagonalisable. On sait
L’égalité admise entraîne alors
On conclut que est diagonalisable.
On vérifie par récurrence
Par combinaison linéaire, on en déduit que pour tout polynôme réel ,
Si annule , il annule évidemment et la réciproque est vraie, il suffit de prendre . Les endomorphismes et ont donc les mêmes polynômes annulateurs et a fortiori le même polynôme minimal.
Un endomorphisme étant diagonalisable si, et seulement si, son polynôme minimal est scindé à racines simples: on peut assurer que la diagonalisabilité de équivaut à celle de .
Soient un -espace vectoriel de dimension finie, et définie par .
Montrer que est diagonalisable si, et seulement si, l’est.
Montrer que et ont les mêmes valeurs propres.
Soit une valeur propre de . Établir .
Solution
Soit un polynôme. donc . La diagonalisabilité étant équivalente à l’existence d’un polynôme scindé à racines simples, on peut conclure.
et ont le même polynôme minimal donc les mêmes valeurs propres.
Tout est élément de donc . Mais par diagonalisabilité et donc on a les égalités pour tout .
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et deux sous-espaces vectoriels supplémentaires non triviaux. On note la projection sur parallèlement à et la symétrie par rapport à et parallèlement à . Enfin on pose pour endomorphisme de
ce qui définit un endomorphisme sur .
Montrer que annule un polynôme « simple ». L’endomorphisme est-il diagonalisable?
Déterminer les éléments propres de .
On pourra considérer les matrices de et dans une base adaptée à la décomposition .
Solution
On a
L’endomorphisme annule le polynôme .
Ce polynôme étant scindé simple, l’endomorphisme est diagonalisable.
Les valeurs propres possibles de sont .
En raisonnant dans une base adaptée à la décomposition , les matrices de et sont de la forme
avec et . La matrice de sera dans une même décomposition par blocs de la forme
et par calcul la matrice de sera
Il est alors facile de résoudre les équations pour .
On obtient
et
[<] Diagonalisabilité des endomorphismes scindés simples[>] Diagonalisabilité de matrices par blocs
Soient
et canoniquement associé à .
En procédant à un calcul par bloc, déterminer tel que .
En déduire que est diagonalisable dans .
Déterminer un vecteur tel que et forme une base de .
Quelle est la matrice de dans cette base?
Solution
Pour
on vérifie et . On en déduit .
Puisque annule le polynôme scindé simple sur , la matrice est diagonalisable dans .
Posons , on a , , et . On vérifie aisément que la famille correspondante est une base de en observant,par exemple, qu’elle est génératrice.
Puisque , matrice de dans cette nouvelle base est
Montrer qu’une matrice de permutation est diagonalisable.
Solution
Soient une matrice de permutation et la permutation associée. Il existe tel que et donc . La matrice annule alors qui est scindé à racines simples donc est diagonalisable.
Soit telle que et est une famille libre.
Justifier que est diagonalisable.
Montrer que la trace de est nulle.
Que vaut le déterminant de ?
Solution
Le polynôme est annulateur de donc le polynôme minimal le divise. Or la famille est libre et le polynôme minimal est donc de degré au moins égal à . On en déduit . Ce polynôme est scindé sur à racines simples, la matrice est diagonalisable.
Le polynôme est de degré et le polynôme caractéristique de aussi car la matrice est de taille . On en déduit . Or on sait
On en déduit .
Par la formule ci-dessus, .
Soit la matrice réelle donnée par
Déterminer un polynôme annulateur non trivial de la matrice .
On étudie l’équation d’inconnue .
Justifier que les solutions de cette équation sont diagonalisables et déterminer les valeurs propres possibles de celles-ci.
Déterminer les matrices solutions en s’aidant d’un polynôme annulateur.
Soit vérifiant .
Montrer que est diagonalisable.
Soit vérifiant .
Montrer que la matrice est diagonalisable.
Solution
On a
On en déduit que le polynôme suivant est annulateur de :
Or ce polynôme se factorise
avec
Puisque la matrice annule un polynôme réel simplement scindé, elle est diagonalisable dans .
Soit telle que
Montrer
Montrer que la matrice est diagonalisable.
Solution
Si n’est pas inversible, il existe une colonne non nulle telle que et alors l’identité de l’énoncé donne donc .
Inversement, si alors il existe une colonne non nulle telle que et alors l’identité de l’énoncé donne et donc n’est pas inversible. Or donc n’est pas inversible non plus.
La relation donnée entraîne
Or
donc
et donc la matrice est annulé par le polynôme
C’est un polynôme scindé à racines simples donc la matrice est diagonalisable.
Soient et
Calculer , la matrice est-elle diagonalisable?
Montrer que est inversible et exprimer .
Solution
On obtient avec .
Puisque , annule un polynôme scindé simple et est donc diagonalisable.
n’est pas valeur propre de car n’est pas racine du polynôme annulateur et donc est inversible. En recherchant de la forme , on obtient
Soient non nuls.
À quelle condition la matrice est-elle diagonalisable?
Solution
Posons . On a . Or est un scalaire donc .
Cas: . La matrice annule le polynôme scindé simple et donc est diagonalisable.
Cas: . La matrice annule le polynôme et donc est la seule valeur propre possible. Si est diagonalisable alors est semblable à la matrice nulle et donc . Cela est exclu car on suppose les colonnes et non nulles.
Au final, est diagonalisable si, et seulement si, .
Notons que et que est une matrice de rang . On peut montrer qu’une matrice de rang est diagonalisable si, et seulement si, sa trace est non nulle.
Soit vérifiant (avec ).
Montrer que est diagonalisable.
Solution
Le polynôme est annulateur de . Ce polynôme est assurément scindé sur . Vérifions que toutes ses racines sont simples.
Les racines multiples de sont les racines communes à et . On ne peut pas déterminer les racines de mais celles de sont les racines -ième de l’unité. Si est une racine -ième de l’unité alors
Puisque est de module , l’équation ne peut avoir une solution de module que pour . Dans ce cas, cette solution est mais celle-ci n’est pas racine -ième de l’unité. Au final, les racines de ne sont pas racines de . Le polynôme annulateur est donc scindé à racines simples et, par conséquent, la matrice est diagonalisable.
Soit . La matrice est-elle diagonalisable?
Solution
En posant , on vérifie avec .
Cas: . La matrice annule un polynôme scindé simple, elle est donc diagonalisable.
Cas: . On a et donc est diagonalisable si, et seulement si, ce qui revient à .
Notons que la matrice est symétrique mais pas nécessairement réelle, le théorème spectral ne s’applique pas. Notons aussi que la matrice est de rang et qu’il est classique d’établir que les matrices de rang sont diagonalisables si, et seulement si, de trace non nulle.
Soient , et telles que
Montrer que est inversible et exprimer .
On pourra calculer .
Montrer que et sont des projecteurs.
La matrice est-elle diagonalisable? Préciser ses valeurs propres.
Solution
Par le biais des relations proposées,
On en déduit
puis
et enfin
Par le théorème d’inversibilité des matrices, on peut affirmer que est inversible et
On observe
Or
donc puis car .
Puisque , est un projecteur.
Il en est de même pour .
annule le polynôme scindé simple
La matrice est donc diagonalisable et .
Il se peut que cette inclusion soit stricte, c’est le cas si avec et .
En tout cas, le spectre n’est pas vide car est diagonalisable.
Soit tel que
Les matrices et sont-elles diagonalisables?
Solution
On remarque
La matrice annule donc le polynôme
On vérifie aisément que ce polynôme est scindé à racines simples et l’on peut donc affirmer que est diagonalisable. Or
donc et sont diagonalisables.
Soient vérifiant
On suppose en outre que commute avec les matrices et .
On suppose que et diagonalisable. Montrer que la matrice est nulle.
On suppose que la matrice est diagonalisable. Montrer à nouveau que la matrice est nulle.
Solution
Par récurrence, on obtient
On en déduit
Si la matrice est diagonalisable, elle annule un polynôme scindé à racine simple et donc
Puisque les racines de sont simples, les valeurs propres de ne sont pas racines de et une diagonalisation de permet d’affirmer
Puisque la matrice est inversible, l’identité donne .
Supposons diagonalisable.
Notons les endomorphismes de canoniquement associés aux matrices . Soit une valeur propre de . Le sous-espace propre est stable par les endomorphismes et car la matrice commute avec et . Notons et les endomorphismes induits associés. On a
En considérant la trace, on obtient
On en déduit que seule est valeur propre de et donc la matrice diagonalisable est nulle.
Soit . Montrer
Solution
Posons .
C’est immédiat, une matrice diagonalisant diagonalise aussi .
Supposons diagonalisable. Le polynôme minimal de s’écrit
L’égalité se relit alors
En multipliant par avec , on obtient
Cela détermine un polynôme annulateur de qui est
Celui-ci est scindé car les facteurs le sont tous puisque . Celui-ci est à racines simples car les facteurs n’ont pas de racines en commun. En effet, par différence d’équations,
On en déduit que la matrice est diagonalisable.
On appelle classe de similitude d’une matrice l’ensemble des matrices semblables à .
On suppose que est diagonalisable.
Montrer que est semblable à si, et seulement si,
En déduire que la classe de similitude d’une matrice diagonalisable est une partie fermée.
Inversement, on suppose que la classe de similitude d’une matrice est une partie fermée.
Montrer que cette classe de similitude contient au moins une matrice triangulaire supérieure .
Pour . On introduit la matrice diagonale . Calculer .
Établir que est diagonalisable.
Solution
Si est semblable à alors et ont le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal. On a donc et aussi .
Inversement, si alors est diagonalisable. En effet, est simplement scindé puisqu’on suppose est diagonalisable. Si de plus alors et ont les mêmes valeurs propres comptées avec multiplicité. Les matrices et sont donc diagonalisables semblables à une même matrice diagonale, elles sont semblables entre elles.
L’application de vers est continue. En effet, les coefficients de sont des polynômes en les coefficients de . On en déduit que l’ensemble est une partie fermée en tant qu’image réciproque d’une partie fermée par une application continue. Aussi, l’application de vers lui-même est continue par opérations sur les fonctions continues. On en déduit que l’ensemble est fermée. Par intersection, la classe de similitude de qui peut se décrire comme est fermée.
La matrice est assurément trigonalisable (son polynôme caractéristique est nécessairement scindé sur ). Il existe donc au moins une matrice triangulaire supérieure dans sa classe de similitude.
En notant le coefficient général de , le coefficient général de est .
Pour ,
Pour ,
Pour ,
On a donc . Or les matrices sont semblables à donc à . La suite apparaît comme une suite convergente d’éléments du fermé qu’est la classe de similitude de , sa limite est donc aussi élément de cette classe de similitude. Ainsi, il existe une matrice diagonale dans la classe de similitude de : la matrice est diagonalisable.
[<] Diagonalisabilité des matrices scindées simples[>] Étude d'endomorphismes vérifiant une identité polynomiale
Soient et définie par blocs
Calculer .
Selon que ou , dire si la matrice est diagonalisable.
Préciser les valeurs propres complexes de et les dimensions des sous-espaces propres associés.
Solution
.
On observe que est annulateur de .
Cas: . La matrice est diagonalisable car annule le polynôme
qui est scindé à racines simples. Cas: . La matrice n’est pas diagonalisable car sans valeurs propres. En effet, une valeur propre (réelle) de doit être annulée par le polynôme .
Puisque les valeurs propres de figurent parmi les racines de , elles ne peuvent que et . Puisqu’une matrice admet au moins une valeur propre complexe, au moins l’un de ou de est valeur propre. Aussi, puisque la matrice est réelle, est valeur propre de si, et seulement si, l’est aussi. Enfin les dimensions de sous-espaces propres associés étant égales, on conclut
Soit . À quelle condition la matrice de suivante est-elle diagonalisable?
Soit
avec .
Montrer que
Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour que soit diagonalisable.
Solution
Par récurrence, on vérifie
On obtient ensuite la relation proposée par combinaison linéaire en écrivant le polynôme à l’aide de ses coefficients?
Si est diagonalisable alors annule un polynôme scindé simple et les calculs précédents montrent que annule aussi ce polynôme. Par suite, est diagonalisable. De plus, annule aussi le polynôme de sorte que si est valeur propre de alors est racine commune de et de . Or n’a que des racines simples donc et n’ont pas de racines communes d’où . Résumons, est diagonalisable et : cela donne .
Ainsi, est diagonalisable si, et seulement si, .
Soient vérifiant et la matrice de donnée par
Montrer que pour tout polynôme de ,
Énoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur et pour que soit diagonalisable.
Soit . On étudie la matrice par blocs
Vérifier que pour tout polynôme
En déduire une condition nécessaire et suffisante sur pour que soit diagonalisable.
Solution
Par récurrence, on vérifie facilement
Pour , on écrit avec et et l’on constate
Sachant , cette identité correspond à la formule voulue.
Supposons que la matrice soit diagonalisable. Il existe un polynôme simplement scindé sur annulant . Par ce qui précède, on a alors et . En particulier, la matrice est diagonalisable.
Inversement, supposons que la matrice soit diagonalisable. On peut écrire avec et .
Considérons ensuite la matrice
On vérifie que est inversible d’inverse
Par produit par blocs,
La matrice est donc semblable à une matrice diagonale, elle est diagonalisable.
Soient et la matrice par blocs
Montrer que est diagonalisable si, et seulement si, l’est.
Solution
Par récurrence, on vérifie
de sorte que, pour tout ,
Si est diagonalisable, il existe polynôme simplement scindé annulant . Ce polynôme annule aussi la matrice et donc est diagonalisable. On en déduit que est diagonalisable.
Inversement, si est diagonalisable, on peut écrire avec diagonale et inversible. Considérons alors
La matrice est inversible avec
et l’on remarque
La matrice est donc diagonalisable.
Soient et la matrice par blocs
Exprimer le polynôme minimal de en fonction du polynôme minimal de .
À quelle condition la matrice est-elle diagonalisable?
Solution
On calcule les premières puissances de ,
Plus généralement, pour ,
Pour s’écrivant
on a
avec
Pour que annule , il faut et il suffit que et annulent , c’est-à-dire qu’ils soient tous deux multiples du polynôme minimal . Sachant , les polynômes annulateurs de sont ceux multiples de . Le polynôme minimal de est donc .
La matrice est diagonalisable si, et seulement si, est simplement scindé.
Si possède une racine multiple, aussi.
Si est racine de , est racine au moins double de .
Pour que soit simplement scindé, il faut que soit simplement scindé et que n’en soit pas racine, c’est-à-dire que ne soit pas valeur propre de . Ainsi, pour que soit diagonalisable, il faut que soit diagonalisable et inversible.
Inversement, si est diagonalisable et inversible, est simplement scindé et n’en est pas racine. En notant les racines de ,
avec une des deux racines carrées de . Les racines de sont les et celles-ci sont deux à deux distinctes. Le polynôme est donc simplement scindé et on en déduit que diagonalisable.
En résumé, est diagonalisable si, et seulement si, est diagonalisable et inversible.
Soit . Étudier la diagonalisabilité de
Solution
Pour
on obtient
Pour
on obtient
Par similitude, la matrice est diagonalisable si, et seulement si, l’est. Étudions alors la diagonalisabilité de
Par récurrence, on vérifie
On obtient donc
Si est diagonalisable, il existe un polynôme simplement scindé pour lequel ce qui donne
Le polynôme étant simplement scindé et en étant racine. Le polynôme est lui aussi simplement scindé et n’en est pas racine. On en déduit que est diagonalisable et n’est pas valeur de . En d’autres termes, est diagonalisable et n’est pas valeur propre de .
Inversement, supposons que soit diagonalisable et que n’en soit pas valeur propre. La matrice est alors diagonalisable et n’est pas valeur propre de . On peut introduire polynôme annulateur de , simplement scindé et dont n’est pas valeur propre. Le polynôme est alors simplement scindé et annule . La matrice est donc diagonalisable.
Pour conclure, est diagonalisable si, et seulement si, l’est et .
[<] Diagonalisabilité de matrices par blocs[>] Étude de matrices vérifiant une identité polynomiale
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension .
On suppose que et sont valeurs propres de et que .
Montrer que est diagonalisable.
Soient un -espace vectoriel de dimension et tel que soit un projecteur.
Quelles sont les valeurs propres possibles pour ?
Montrer que est diagonalisable si, et seulement si, .
Solution
Puisque , une valeur propre doit vérifier donc .
Si est diagonalisable alors sa matrice dans une base de vecteurs propres sera diagonale avec des ou 1 sur la diagonale. Comme alors on a .
Si alors est annulé par un polynôme scindé à racines simples donc est diagonalisable.
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et un endomorphisme de vérifiant . Montrer que la trace de est un entier pair.
Solution
est diagonalisable car annule le polynôme
scindé simple. Les valeurs propres de figurent parmi et donc la trace de qui est la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité est paire.
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie tel qu’il existe deux réels non nuls distincts et vérifiant
Soient
Calculer , , et .
Montrer que .
Trouver les éléments propres de . L’endomorphisme est-il diagonalisable?
Solution
, car , , aussi via .
, et donne par le lemme de décomposition des noyaux, .
est diagonalisable car annule un polynôme simplement scindé.
, , à moins que ou .
Soit , . On suppose , et . On note
Calculer la dimension .
Quels sont les tels que ?
Solution
Puisque , par annulation d’un polynôme scindé simple, on peut affirmer que est diagonalisable de valeurs propres possibles . Par les égalités et on peut affirmer qu’il existe une base de dans laquelle la matrice de est de la forme
Les matrices commutant avec étant celle de la forme
avec , on peut affirmer
donc et par suite si, et seulement si, .
Soit un endomorphisme non nul de vérifiant .
Justifier que est la seule valeur propre possible de .
En déduire que l’endomorphisme n’est pas diagonalisable.
L’endomorphisme est-il surjectif?
Montrer que .
Justifier que, pour tout , la famille est une base de . Calculer la trace de .
Solution
Le polynôme est annulateur de et sa seule racine réelle est . Celle-ci est donc la seule valeur possible pour .
Si l’endomorphisme est diagonalisable, il est figuré par la matrice nulle et c’est donc l’endomorphisme nul: le sujet exclut cette possibilité.
Puisque est de dimension impaire, l’endomorphisme admet au moins une valeur propre. Celle-ci étant nulle, l’endomorphisme n’est pas injectif. En vertu du théorème d’isomorphisme, ne peut pas être non plus surjectif.
Soit . On peut écrire et l’on a alors
Les espaces et sont donc en somme directe et par conséquent supplémentaires car la formule du rang donne .
Soit . Les vecteurs et appartiennent à .
Soit . Supposons
(1) |
En appliquant aux deux membres
(2) |
La combinaison , donne
Puisque , on obtient et donc .
La famille est donc libre et constitue une base de qui est de dimension inférieure à car n’est pas surjectif.
Enfin, en complétant cette famille d’un vecteur non nul de , on forme une base de dans laquelle la matrice de est
On conclut .
[<] Étude d'endomorphismes vérifiant une identité polynomiale[>] Diagonalisabilité et endomorphismes induits
Soit vérifiant et .
Déterminer les valeurs propres réelles de .
Déterminer les valeurs propres complexes de .
Soit vérifiant . La matrice est-elle inversible?
Solution
Le polynôme est annulateur de . Ce polynôme n’admet qu’une seule racine réelle qui est . Celle-ci est la seule valeur propre possible de . Or est une matrice réelle de taille impaire, elle admet donc nécessairement au moins une valeur propre réelle. Ainsi, est valeur propre de et la matrice n’est donc pas inversible.
Soit telle que .
Montrer que est pair et calculer et .
Solution
Le polynôme est annulateur de : les valeurs propres complexes de en sont racines et donc égales à ou . Aussi, la matrice admet au moins une valeur propre complexe et, puisqu’il s’agit d’une matrice réelle, les valeurs propres complexes de sont deux à deux conjuguées et deux valeurs propres conjuguées ont même multiplicité. On en déduit que admet et pour valeurs propres de multiplicité commune . On a alors et, puisque est trigonalisable,
Soit telle que
Montrer que .
Solution
annule un polynôme scindé à racines simples(, et ) donc est diagonalisable dans .
Les valeurs propres possibles de sont , et . Puisque , la multiplicité de égale celle de .
Par suite, .
Soit vérifiant
Montrer que la trace de est un nombre entier.
Solution
La matrice annule le polynôme . Dans ,
Ce polynôme est scindé à racines simples, la matrice est donc diagonalisable sur semblable à une matrice . Cependant, les multiplicités et des valeurs propres conjuguées et sont égales car la matrice est réelle. On a donc
car .
Soit vérifiant et .
Montrer que et .
Solution
Le polynôme est annulateur de . Celui-ci est simplement scindé sur et la matrice est donc diagonalisable. Les valeurs propres de figurent parmi les racines de et donc .
Si alors est diagonalisable semblable à donc égale à . Cela est exclu. De même, il n’est pas possible que et donc .
Notons et les multiplicités respectives des valeurs propres et . On a
On en déduit
et, puisque ,
ce qui entraîne .
Soit vérifiant
Montrer que la matrice est de rang pair.
Solution
Le polynôme
annule la matrice . Ce polynôme étant scindé à racines simples dans , la matrice est diagonalisable dans . De plus,
Puisque la matrice est réelle, les valeurs propres et ont même multiplicité . La diagonalisation complexe de comporte alors nombres et nombres sur la diagonale, les éventuels autres coefficients diagonaux étant nuls. La matrice est alors de même rang que cette matrice diagonale, c’est-à-dire .
Soit vérifiant .
Montrer que est diagonalisable si, et seulement si, .
Solution
Si alors la matrice annule le polynôme qui est simplement scindé sur . La matrice est donc diagonalisable dans .
Si est diagonalisable, son polynôme minimal est simplement scindé sur . Or ce polynôme minimal divise car ce dernier est annulateur de . Le polynôme minimal divise donc le polynôme . Ce dernier est alors nécessairement annulateur de ce qui entraîne .
Soit avec .
Montrer que, pour avec , on a l’égalité
si, et seulement si, il existe réels positifs tels que
Déterminer toutes les matrices de telles que et
Solution
L’implication
est immédiate.
Par récurrence sur .
Cas: .
Soient tels que
En posant , on a alors (car )
En écrivant avec et en élevant au carré l’identité précédente, on obtient
et cette identité est vérifiée si, et seulement si, et ce qui permet d’écrire avec .
Supposons la propriété établie au rang .
Soient avec tels que
Par l’inégalité triangulaire
et puisque les termes extrémaux sont égaux on a
donc par hypothèse de récurrence on peut écrire pour tout
On en déduit
et puisque
l’étude du cas permet d’écrire
Récurrence établie.
Si vérifie et alors cette matrice est diagonalisable (car annule le polynôme scindé à racines simples ) et ses valeurs propres vérifient
Or les valeurs propres vérifient aussi
et elles sont donc de module 1. Nous sommes donc dans la situation où
Puisque , on peut écrire pour tout avec . Or tous les sont de module 1 donc les sont égaux à 1 et par suite
Enfin puisque la somme des valeurs propres vaut , on peut conclure
et finalement car la matrice est semblable à .
La réciproque est immédiate.
Soit une matrice vérifiant
Montrer que est un multiple de et calculer et .
Déterminer toutes les matrices de vérifiant
Déterminer toutes les matrices de vérifiant
Soit une matrice carrée de taille à coefficients entiers. On suppose que pour une certaine valeur de . Montrer que .
On fixe et l’on note
Pour , on pose
Montrer que est fini.
Solution
Si alors est diagonalisable et ses valeurs propres sont des racines de l’unité. Ces valeurs propres sont aussi racines du polynôme caractéristique de . Or les coefficients de ce polynôme sont entiers et, par les expressions des coefficients d’un polynôme scindé en fonction de ses racines complexes (ici de module 1), on peut borner les coefficients du polynôme caractéristique de . Par suite, il n’y a qu’un nombre fini de polynômes caractéristiques possibles pour un élément . Ces polynômes ont eux-mêmes qu’un nombre fini de racines et il n’y a donc qu’un nombre fini de racines de l’unité possibles pour les valeurs propres de .
On peut alors affirmer qu’il existe tel que toutes les valeurs propres des matrices vérifient . On a alors aussi (car est diagonalisable) et donc . Ainsi .
[<] Étude de matrices vérifiant une identité polynomiale[>] Diagonalisabilités des polynômes en un endomorphisme
Soit un endomorphisme diagonalisable d’un -espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que la restriction de à tout sous-espace vectoriel stable est diagonalisable.
Solution
annule un polynôme scindé à racines simple et aussi.
Soit l’endomorphisme de dont la matrice est
dans la base canonique.
Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par .
Solution
, , et avec , , .
Si est un sous-espace vectoriel stable alors l’endomorphisme induit est diagonalisable et possède donc une base de vecteurs propres de . Ainsi, , avec , avec ou .
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel pour lequel il existe une base vérifiant
L’endomorphisme est-il diagonalisable?
Solution
Le sous-espace vectoriel est stable par et l’endomorphisme induit par sur a pour matrice dans
Or cette matrice n’est pas diagonalisable donc l’endomorphisme induit par sur n’est pas diagonalisable. Par conséquent, l’endomorphisme n’est pas diagonalisable.
Soit un endomorphisme diagonalisable d’un espace de dimension finie .
Montrer qu’un sous-espace vectoriel non nul de est stable par si, et seulement si, il possède une base formée de vecteurs propres de .
Soient un espace vectoriel de dimension finie, et dans tels que et . Les endomorphismes et sont-ils diagonalisables? codiagonalisables?
Solution
On a
L’endomorphisme est donc un projecteur. De même, est un projecteur. On en déduit que les endomorphismes et sont diagonalisables.
Si et sont codiagonalisables alors et commutent et donc
La réciproque est immédiate.
Soient et deux endomorphismes diagonalisables d’un -espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que et sont simultanément diagonalisables si, et seulement si, chaque sous-espace propre de l’un est stable par l’autre.
Solution
Si et sont simultanément diagonalisables alors on peut former une base de chaque sous-espace propre de à l’aide de vecteurs propres de . Par suite, les sous-espaces propres de sont stables par et inversement.
Supposons que les sous-espaces propres de soient stables par . L’endomorphisme étant diagonalisable, est la somme directe des sous-espaces propres de . Sur chaque sous-espace propre de , la restriction de définit un endomorphisme diagonalisable car annulé par un polynôme scindé à racines simples (puisque diagonalisable). Cela permet de construire une base de diagonalisation simultanée.
Soient et deux endomorphismes diagonalisables d’un espace vectoriel de dimension finie non nulle. Montrer que et commutent si, et seulement si, et sont simultanément11 1 Cela signifie l’existence d’une base de diagonalisation commune aux endomorphismes et . diagonalisables. Établir qu’alors et sont diagonalisables.
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie .
On suppose . Montrer que .
Soit tel que . Donner un endomorphisme tel que et .
Soit un endomorphisme de commutant avec .
Montrer que si admet valeurs propres distinctes alors et admettent une base commune de diagonalisation.
Montrer que si et sont diagonalisables alors et admettent une base commune de diagonalisation.
Solution
Si alors . Par la formule du rang, avec . Cela donne .
L’endomorphisme figuré dans une base de par la matrice
convient. En effet, la condition assure ce qui entraîne .
L’endomorphisme est assurément diagonalisable car il possède valeurs propres distinctes. De plus, les sous-espaces propres de sont des droites vectorielles. Or celles-ci sont stables par car et commutent. Les sous-espaces propres de sont donc engendrés par des vecteurs propres de . On en déduit qu’une base diagonalisant diagonalise aussi .
Les sous-espaces propres de sont stables par . On peut introduire les endomorphismes induits par sur chacun de ceux-ci. Ces endomorphismes induits sont assurément diagonalisables car l’est. On peut alors former, pour chaque sous-espaces propres de , une base constituée de vecteurs propres de . En accolant ces différentes bases, on forme une base de diagonalisant conjointement et .
[<] Diagonalisabilité et endomorphismes induits[>] Calcul de puissances d'une matrice
Soient et un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie.
On suppose que est diagonalisable, montrer que l’est aussi.
Que dire de la réciproque?
Solution
Une base de vecteur propre de est aussi une base de vecteur propre de .
La réciproque n’est pas vraie en toute généralité comme le montre le cas d’un polynôme constant.
En revanche, on peut montrer que la réciproque est vraie si .
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et un endomorphisme de .
Soit un polynôme complexe, on suppose que est diagonalisable et que la valeur prise par sur toute racine complexe de n’est pas valeur propre de l’endomorphisme .
Montrer que est diagonalisable.
Solution
Soient les valeurs propres deux à deux distinctes de .
Posons
est un polynôme annulateur de donc
Posons . Le polynôme est annulateur de et les racines d’un polynôme sont distinctes de celles d’un polynôme avec car .
De plus, si est racine multiple de alors et ce qui est exclu par hypothèse.
Par conséquent, le polynôme est scindé simple donc est diagonalisable.
Soient et deux matrices diagonalisables de .
Montrer que les matrices et commutent si, et seulement si, il existe une matrice diagonalisable de et deux polynômes et de tels que
Solution
C’est immédiat car des polynômes en une même matrice commutent entre eux.
Supposons que et commutent. On sait alors que les matrices et sont simultanément diagonalisables. Il existe donc telle que
avec et .
Considérons alors
La matrice est diagonalisable. Si l’on introduit un polynôme interpolateur de Lagrange tel que pour , on observe . De la même façon, on forme tel que .
Soient telles que .
Montrer que est diagonalisable si, et seulement si, l’est.
Solution
Si est diagonalisable, on peut écrire avec inversible et diagonale. On a alors avec diagonale et donc est diagonalisable.
Inversement, si est diagonalisable alors il existe un polynôme annulateur de scindé à racines simple de la forme
De plus, puisque est inversible, on peut supposer les tous non nuls.
Sachant , le polynôme
est annulateur de . Or ce dernier est scindé à racines simples car
les facteurs et (avec ) ont des racines deux à deux distinctes;
les racines de sont toutes simples (car ).
On en déduit que est diagonalisable.
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et .
Énoncer un critère de diagonalisabilité en terme de polynôme annulateur.
On suppose . Montrer que est diagonalisable si, et seulement si, l’est.
Généralisation: Soit . On suppose . Montrer que est diagonalisable si, et seulement si, l’est.
Solution
Deux énoncés possibles:
est diagonalisable si, et seulement si, annule un polynôme scindé à racines simples;
est diagonalisable si, et seulement si, le polynôme minimal de est scindé à racines simples.
Si est diagonalisable, il est clair que l’est aussi.
Inversement, si est diagonalisable alors son polynôme minimal est scindé à racines simples. Il s’écrit avec les valeurs propres de . Puisque , n’est pas valeur propre de et donc aucun des n’est nul.
Notons et les deux solutions (distinctes) complexes de l’équation .
Puisque
on a
Ainsi, annule un polynôme scindé à racines simples. Par suite, est diagonalisable.
Si est diagonalisable alors l’est aussi.
Inversement, si est diagonalisable alors son polynôme minimal est scindé à racines simples. Il s’écrit où les sont les valeurs propres de .
Le polynôme est alors annulateur de .
Les facteurs sont sans racines communes.
Le polynôme minimal de divise .
Si est racine au moins double de alors est racine au moins double de l’un des facteurs donc racine de .
Or est aussi valeur propre de donc est valeur propre de . Cependant, , et cela est donc impossible.
Par suite, les racines de sont simples et est diagonalisable.
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension finie .
On suppose que est diagonalisable. Montrer que est diagonalisable et que les noyaux de et sont égaux.
On étudie désormais la propriété réciproque.
Par un exemple, montrer que si est diagonalisable, n’est pas nécessairement diagonalisable.
On suppose diagonalisable et inversible. Montrer que est diagonalisable.
On suppose diagonalisable et . Montrer à nouveau que est diagonalisable.
[<] Diagonalisabilités des polynômes en un endomorphisme[>] Trigonalisabilité et polynôme annulateur
Calculer pour
Solution
est diagonalisable avec . On peut donc écrire
avec inversible et diagonale de coefficients diagonaux et . Le calcul exact de et n’est pas utile (mais, par la trace, on remarque de est valeur propre double et valeur propre simple).
Pour un polynôme vérifiant et , on a
Par interpolation affine, le polynôme
convient et donc
Soit
Montrer que est diagonalisable.
Déterminer le polynôme minimal de .
Calculer pour .
Solution
1ère méthode:
puis et donc .
Soit l’application linéaire canoniquement associée à .
Donc est l’hyperplan d’équation .
Puisque est au moins une droite vectorielle, la matrice est diagonalisable.
2ème méthode: Après calculs, on obverse que .
Par suite, annule le polynôme scindé simple et donc est diagonalisable.
3ème méthode: La matrice est symétrique réelle donc diagonalisable.
Le polynôme minimal de est car en vertu de la première méthode, la connaissance des valeurs propres de détermine son polynôme minimal sachant diagonalisable et, pour la deuxième méthode, ce polynôme est annulateur alors que les polynômes et ne le sont pas.
Par division euclidienne
En évaluant la relation en et en , on obtient
avec
Après résolution
d’où
Soit
Déterminer deux réels tel que .
Calculer pour .
Solution
et conviennent.
Les racines de sont et .
Réalisons la division euclidienne par .
avec ,
et
On obtient
et donc
Soit
Calculer pour tout .
Solution
Le polynôme caractéristique de est
Celui-ci est annulateur de .
On réalise la division euclidienne de par . Celle-ci s’écrit
On détermine et en évaluant en et :
ce qui donne
En évaluant la relation en la matrice , on obtient
[<] Calcul de puissances d'une matrice[>] Nilpotence
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie. Établir
Solution
Si est scindé alors l’endomorphisme est trigonalisable et donc est scindé sur . La réciproque est identique.
Soit vérifiant
Montrer l’existence d’une base de dans laquelle la matrice de est de la forme
Solution
Puisque le polynôme annule le lemme de décomposition des noyaux donne
Sachant , on a .
On ne peut avoir et puisque , on a
Si alors
et dans une base adaptée à cette supplémentarité, la matrice de est
Si alors considérons et .
On vérifie aisément que est une base de et en considérant un vecteur non nul, on obtient une base dans laquelle la matrice de est
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie. On suppose .
On introduit . Comparer et .
Établir qu’il existe une base de dans laquelle la matrice de est diagonale par blocs de blocs diagonaux égaux à
Solution
L’égalité donne ce qui entraîne .
Posons et . Par la formule du rang, .
Soit un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans . Celui-ci est de dimension . Notons une base de . Pour , posons . On vérifie que est une famille libre de vecteurs de . On la complète en une base . Puisque et sont supplémentaires dans , la famille est une base de . On entremêle les vecteurs pour former la base . Puisque pour et pour , la matrice de dans est diagonale par blocs constituée de blocs
poursuivis de blocs
La matrice de dans la base est alors de la forme voulue.
Trouver les matrices de vérifiant
Solution
Le polynôme
est annulateur de .
On en déduit et trigonalisable (car annule un polynôme scindé).
Par suite, est la somme des valeurs propres de comptées avec multiplicité et puisque , seule 0 est valeur propre de .
On en déduit que la matrice est inversible et puisque
on obtient
Trouver les de telles que
Solution
Si est solution alors est annulateur de et les valeurs propres de figurent parmi . Par la trace, on peut alors affirmer que 2 est valeur propre de multiplicité 4.
Par le lemme de décomposition des noyaux, et sont supplémentaires.
Par multiplicité des valeurs propres, leurs dimensions respectives sont et .
Ainsi est semblable à
avec vérifiant .
En raisonnant sur le rang, on montre que est semblable à
La réciproque est immédiate.
[<] Trigonalisabilité et polynôme annulateur[>] Sous-espaces caractéristiques
Montrer qu’un endomorphisme nilpotent d’un espace non réduit au vecteur nul admet une et une seule valeur propre qui est .
Montrer qu’une matrice carrée complexe est nilpotente si, et seulement si, est sa seule valeur propre11 1 On retrouve ici un résultat déjà évoqué dans le sujet 5158..
Soit nilpotente.
Calculer .
Même question avec .
Solution
Puisque est nilpotente, ne peut avoir que des valeurs propres nulles. Les valeurs propres étant les racines du polynôme caractéristique et ce dernier étant scindé sur , .
Pour , on a aussi et le polynôme caractéristique est calculé par la même formule dans les deux cas.
Soit un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que possède une seule valeur propre si, et seulement si, il existe tel que soit nilpotent.
Solution
Si possède une unique valeur propre alors celle-ci est la seule racine de son polynôme caractéristique qui est alors . Ce dernier annulant , on peut affirmer est nilpotent.
Si est nilpotent alors il existe tel que soit annulateur de . Les valeurs propres de étant racine de ce polynôme, elles ne peuvent qu’être égale à . De plus, est assurément valeur propre car un endomorphisme d’un -espace vectoriel de dimension finie possède au moins une valeur propre.
Soit .
Déterminer les polynômes de tels que la matrice soit nilpotente.
Soit un espace vectoriel complexe de dimension finie .
Montrer qu’il existe un polynôme réel vérifiant
Établir que divise alors le polynôme .
Soit un endomorphisme de nilpotent. Montrer qu’il existe un endomorphisme de vérifiant .
Soit maintenant un endomorphisme de ne possédant qu’une seule valeur propre non nulle11 1 Lorsque , l’équation étudiée peut ne pas avoir de solutions, voir le sujet 1956.. Montrer qu’il existe un endomorphisme de vérifiant .
Soient et . Montrer que, si les matrices et sont semblables, alors est une racine de l’unité ou est une matrice nilpotente.
Soient et des matrices complexes carrées d’ordre . On suppose les matrices nilpotentes pour tout entier tel que . Montrer que les matrices et sont nilpotentes.
Solution
Rappelons qu’une matrice carrée de taille qui est nilpotente vérifie (l’ordre de nilpotence est au plus égal à la taille de la matrice). On a
Considérons alors la matrice
Celle-ci est à coefficients polynomiaux de degrés inférieurs à . Puisque sont racines distinctes de ces coefficients, ceux-ci sont tous nuls. On en déduit
car les coefficients constants sont nuls, et
car les coefficients des termes sont aussi nuls.
Soient , et dans et deux à deux distincts dans . On suppose, pour , que est nilpotente.
Montrer que et sont nilpotentes.
Solution
Une matrice nilpotente vérifie . Considérons la matrice . Les coefficients de cette matrice sont des polynômes de degrés inférieurs à s’annulant chacun en les , ce sont donc des polynômes nuls. Ainsi, pour tout , . En particulier, les coefficients constants sont nuls et l’on obtient . Aussi, les coefficients de sont nuls et l’on a .
Soit .
On suppose . Montrer que est diagonalisable et que est nilpotente.
Plus généralement on suppose pour un certain entier .
Établir l’existence d’un entier tel que est diagonalisable et nilpotente.
Solution
On remarque
En particulier, et annule . Ce polynôme étant scindé à racines simples, la matrice est diagonalisable. De plus,
et la matrice est nilpotente.
On remarque
et donc ce qui assure comme au dessus que est diagonalisable et
Soient un -espace vectoriel de dimension et .
Montrer que l’endomorphisme est nilpotent si, et seulement si,
Montrer que l’endomorphisme est nilpotent si, et seulement si,
Solution
Supposons qu’il existe tel que .
Le polynôme est annulateur de donc . Or donc .
Inversement, si alors seule est racine de son polynôme caractéristique. Or est scindé dans , unitaire et degré donc puis en vertu du théorème de Cayley Hamilton. On en déduit que est nilpotente.
Supposons nilpotent.
Par l’étude ci-dessus, est trigonalisable stricte et donc
car les puissances de pourront aussi être représentées par des matrices triangulaires strictes.
Inversement, supposons
En notant les valeurs propres de comptées avec multiplicité, on obtient le système
La résolution de ce système est délicate.
En raisonnant par récurrence, nous allons établir que la seule solution est ce qui permettra de conclure que est nilpotente car alors et l’on sait que le polynôme caractéristique est annulateur de .
Pour , la propriété est immédiate.
Supposons la propriété vraie au rang .
Soit vérifiant
Considérons le polynôme
On introduit les coefficients de :
Comme , on a
Or
On en déduit et donc est racine de .
Il existe alors tel que . Par symétrie du problème, on peut supposer et le système initial fournit alors
Par application de l’hypothèse de récurrence, on obtient .
La récurrence est établie.
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et .
On note
Montrer que et sont des idéaux non nuls de .
On note et leurs générateurs unitaires respectifs.
Établir un lien entre et .
Montrer l’existence de tel que est diagonalisable
Solution
est l’idéal des polynômes annulateurs de , il est engendré par polynôme minimal de .
La somme de deux endomorphismes nilpotents commutant est encore nilpotent car la formule du binôme de Newton s’applique et il suffit de travailler avec un exposant assez grand. On obtient alors facilement que est un sous-groupe de . La stabilité par absorption étant immédiate, est un idéal de . Comme il contient , l’idéal n’est pas réduit à l’élément nul.
Puisque , et donc .
Aussi, en posant la dimension de , on sait que pour tout endomorphisme nilpotent de de , on a . Puisque est nilpotent, on en déduit que et donc .
Cette question est immédiate avec la décomposition de Dunford mais cette dernière est hors-programme…Procédons autrement!
Puisque et , les racines de sont exactement celles de , c’est-à-dire les valeurs propres de l’endomorphisme . On peut donc écrire
Or étant nilpotent, il est immédiat que l’endomorphisme l’est aussi. On en déduit que
et ce polynôme est donc scindé à racines simples.
Déterminons maintenons un polynôme tel que pour , on ait .
On en déduira que est diagonalisable avec .
L’identité est obtenue dès que divise le polynôme
Or et il suffit donc que pour chaque , le facteur divise le facteur pour pouvoir conclure. On a
La condition voulue est assurément vérifiée si .
Pour , la condition voulue est satisfaite si et si pour tout , la dérivée -ième du polynôme s’annule en . Cela fournit des équations déterminant pleinement car .
Sachant qu’il est possible de construire un polynôme prenant des valeurs données ainsi que ses dérivées en des éléments deux à deux distincts de , on peut déterminer un polynôme résolvant notre problème.
Quels sont les sous-espaces caractéristiques d’un endomorphisme diagonalisable?
Solution
Soit un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel .
Pour , notons et les sous-espaces propres et caractéristiques de l’endomorphisme associés à la valeur propre . On sait . Aussi, les espaces sont en somme directe et, par l’hypothèse de diagonalisabilité
On en déduit
puis
Par inclusion et égalité des dimensions, il vient
Soit une valeur propre d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.
On suppose qu’il existe tel que . Montrer que pour tout
On note la multiplicité de en tant que racine du polynôme minimal .
Pour , montrer
En déduire que le sous-espace caractéristique de associé à la valeur propre est
Solution
Soit . Pour ,
Ainsi, .
On écrit avec .
Par croissance des noyaux itérés, on sait
Montrons que la première inclusion est stricte alors que la seconde est un égalité.
Par l’absurde, supposons . Pour tout ,
donc ce qui entraîne
Le polynôme est alors annulateur de . C’est absurde car contredit la minimalité du polynôme .
Poursuivons en montrant .
Soit . Puisque , les polynômes et sont premiers entre eux. Il existe donc deux polynômes tels que et alors
En évaluant en puis en ,
Par double inclusion,
Enfin, par la propriété de la question précédente employée avec l’endomorphisme au lieu de , on peut conclure
Par définition, le sous-espace caractéristique est
avec la multiplicité de en tant que racine du polynôme caractéristique . Or on sait que divise et donc . Le résultat de la question précédente donne alors
Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension finie . On note les valeurs propres sans répétitions de et leurs multiplicités respectives. Montrer que pour tout ,
Soit une valeur propre de multiplicité d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.
Établir
Solution
Puisque est la multiplicité de en tant que racine du polynôme caractéristique, on peut écrire avec tel que . Les polynômes et sont premiers entre eux et, par application du théorème de Cayley-Hamilton et du lemme des noyaux,
avec et . Les espaces et sont stables par car ce sont des noyaux de polynômes en et que ces derniers commutent avec . En introduisant une base adaptée à la supplémentarité précédente, la matrice représentative de est de la forme
avec et les matrices représentatives des endomorphismes et induits par sur et . On a alors
L’endomorphisme vérifie . L’endomorphisme est donc nilpotent et l’on peut introduire une base de dans laquelle la matrice de cet endomorphisme est triangulaire supérieure stricte. La matrice de dans cette base est alors
On en déduit
L’endomorphisme induit par sur vérifie . Puisque n’est pas racine de annulateur de , n’est pas valeur p de et donc n’est pas racine de .
On a donc
Ainsi, est exactement la multiplicité de en tant que racine de . Autrement dit, .
Édité le 23-02-2024
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