[>] Nature de séries à termes positifs abstraites
Déterminer la nature11 1 Étudier la nature d’une série consiste à savoir si celle-ci est convergente ou non. Ce problème peut être résolu conjointement au calcul de la somme de la série ou préalablement, par exemple, par un argument de comparaison. des séries dont les termes généraux sont les suivants:
.
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants:
Solution
On a
Par équivalence de séries à termes positifs, la série diverge.
On sait quand tend vers et donc
Par équivalence de séries à termes positifs, la série converge (la série de terme général est géométrique de raison ).
Après réduction au même dénominateur et multiplication par la quantité conjuguée,
Par équivalence de séries à termes positifs, la série converge.
Par développement limité,
On a donc
Par équivalence de séries à termes positifs (au moins à partir d’un certain rang), la série diverge.
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants:
Solution
donc et la série est absolument convergente.
donc par comparaison de séries à termes positifs, la série est divergente.
donc la série est absolument convergente
Déterminer la nature de la série de terme général
Solution
On a
donc pour assez grand
et par comparaison de série à termes positifs on peut affirmer que diverge.
Vérifier que pour tout ,
Retrouver par cette comparaison la nature de la série de terme général .
Déterminer la nature de la série de terme général
Nature de la série de terme général
Solution
On a
et
donc
Par équivalence de séries à termes positifs, la série étudiée converge.
Étudier la nature de la série
Solution
Pour ,
puis
donc
Par conséquent,
Par équivalence de séries à termes positifs, la série étudiée diverge.
On énumère en ordre croissant les nombres premiers par une suite :
Soit . Vérifier
En déduire la nature de la série .
[<] Nature de séries à termes positifs concrètes[>] Nature de séries dépendant d'un paramètre
Soient une suite de réels positifs et la suite déterminée par
Montrer
Solution
Supposons la convergence de la série .
Pour tout
Puisque est une série à termes positifs dont les sommes partielles sont majorées, celle-ci converge.
Supposons la convergence de la série . Pour tout
Puisque est une série à termes positifs dont les sommes partielles sont majorées, celle-ci converge. En substance, on observe aussi
Soient et deux séries à termes strictement positifs convergentes. Montrer que les suivantes sont aussi convergentes
Solution
On exploite les comparaisons
(obtenue par ). Aussi,
Par comparaison de série à termes positifs, on peut alors conclure.
Soit une série à termes positifs convergente.
Étudier la convergence de .
Que dire de la réciproque?
On suppose décroissante. Montrer la réciproque.
Solution
Puisque on a
Or et convergent. Par comparaison de séries à termes positifs, converge.
La réciproque est fausse. Prendre
Si la suite est décroissante
et donc converge.
Soit une série convergente à termes strictement positifs.
À quelle condition existe-t-il une suite de réels strictement positifs telle que
Soit une série à termes positifs convergente.
Peut-on préciser la nature de la série de terme général
Solution
La série de terme général est convergente.
En effet, puisque converge, et donc il existe un rang tel que
En posant , on peut écrire pour tout
Par comparaison de série à termes positifs, on obtient la convergence voulue.
(Règle de Cauchy)
Soit une série à termes positifs. On suppose que
Montrer que, si , alors la série diverge.
Montrer que, si , alors la série converge.
Observer que, dans le cas , on ne peut rien conclure.
Soit une fonction de classe strictement positive telle que
On suppose . Montrer la divergence de la série .
On suppose . Montrer la convergence de la série .
Soient une suite de réels positifs et la suite déterminée par
Montrer que les séries et sont de même nature.
Soit une suite de réels strictement positifs.
Pour tout , on pose
Montrer que et sont de même nature.
Même question avec
On pourra étudier dans le cadre de la divergence.
Solution
Si converge alors tend vers et donc . La série est alors convergente par équivalence de série à termes positifs.
Si converge alors tend vers et l’on en déduit par opérations que
On conclut comme ci-dessus.
Si converge et est de somme alors
On peut alors conclure que converge.
Si diverge alors
Cas: tend vers . On a
Par équivalence de séries à termes positifs, diverge.
Cas: ne tend pas vers . La série diverge grossièrement.
Soient et dans telles que
Montrer que si la série de terme général converge alors la série de terme général diverge.
Solution
Supposons la série convergente. On a donc et l’on en déduit
puis
Par comparaison de séries à termes positifs, il y a divergence de la série .
Or, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
On en déduit la divergence de la série .
Soit une série à termes strictement positifs convergente.
Établir la convergence de la série .
Solution
Pour , on observe
On a donc
Par comparaison de séries à termes positifs, on peut conclure à la convergence de .
Soit une suite réelle strictement positive, décroissante, de limite nulle.
On suppose que la suite de terme général
est bornée.
Montrer que la série de terme général converge.
Solution
Posons . On a
La suite est croissante et majorée donc convergente. Posons sa limite.
On a
donc
ce qui donne
On en déduit et donc puis .
Finalement, la série converge.
Soit une suite de réels positifs. On considère la suite définie par
Montrer que les séries et ont même nature et qu’en cas de convergence
Solution
Par permutation de sommes,
donc
et donc
Supposons que la série converge. Puisque est une série à termes positifs et que ses sommes partielles sont majorées car
la série converge.
Supposons que la série converge. On a
donc, par croissance des sommes partielles d’une série à termes positifs, la suite admet une limite .
Si cette limite est non nulle, la série diverge ce qui est contraire à l’hypothèse initiale. On en déduit
et donc
Ainsi, converge et
Soient une suite réelle et la suite de ses moyennes de Cesàro:
Montrer que
On suppose désormais que la série de terme général converge.
Montrer que la série de terme général converge et vérifier
Justifier que la série de terme général converge et établir
[<] Nature de séries à termes positifs abstraites[>] Convergence absolue
Déterminer en fonction du paramètre la nature des séries de termes généraux:
Solution
Cas: . Il y a divergence grossière puisque la suite est de limite (pour ) ou (pour ).
Cas: . Par croissance comparée,
On a donc
La série est absolument convergente (et donc convergente).
Cas: . On remarque
Sachant la divergence de , on peut affirmer la divergence de la série par argument de comparaison de séries à termes positifs.
Cas: . Considérons (ce qui est possible). Par croissance comparée,
On a donc
La série est absolument convergente (et donc convergente).
Cas: . On remarque
Sachant la divergence de , on peut affirmer la divergence de la série par argument de comparaison de séries à termes positifs.
Cas: . Par croissance comparée,
On a donc
La série est absolument convergente (et donc convergente).
Soit un réel. Étudier la nature des séries de terme général
Solution
Si il y a divergence grossière dans les trois cas.
Si alors , et . Les séries et convergent et diverge.
Si alors , et . Les séries et convergent tandis que diverge.
Soient .
Déterminer la nature de la série
Calculer la somme lorsqu’il y a convergence.
Solution
On a
Il y a convergence si, et seulement si, et ce qui correspond à et .
Pour ,
puis
Soient . Déterminer la nature de la série
et calculer sa somme lorsqu’il y a convergence.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels pour qu’il y ait convergence de la suite de terme général
Solution
Posons le terme général de la suite étudiée.
Or
donc est une condition nécessaire pour la convergence de et donc a fortiori pour la convergence de . Inversement, si cette condition est satisfaite alors
et donc converge.
De plus, et donc les trois suites , et convergent vers une même limite, on peut donc conclure que converge.
Soient et une suite de réels strictement positifs vérifiant
La série de terme général converge-t-elle?
Solution
On a
Si alors ne tend pas vers zéro et est grossièrement divergente.
Si alors et est convergente.
Soient et telle que . Étudier la convergence de la série de terme général
Solution
Pour , on peut affirmer donc
Par continuité de en 0, on peut affirmer,
et donc
Ainsi,
Par équivalence de séries à termes positifs, converge si, et seulement si, .
Soit .
Déterminer la limite de la suite de terme général
Quelle est la nature de la série de terme général ?
Solution
et
Si alors .
Si alors
donc puis .
Si alors et donc .
Si il y a divergence grossière de la série.
Si alors
et donc
Ainsi et à partir d’un certain rang .
La série de terme général s’avère divergente
On fixe . Pour , on pose
Étudier la suite de terme général .
En déduire que la suite converge et préciser sa limite.
Établir l’existence de tel que la série de terme général:
converge.
Établir l’existence de tel que .
Étudier la convergence de la série de terme général .
Solution
avec donc
puis .
Pour ,
donc il y a convergence de
Puisque
la suite de terme général converge puis
avec .
Par comparaison de séries à termes positifs, converge si, et seulement si, c’est-à-dire .
Soit une suite réelle non nulle et périodique.
Étudier pour la nature de la série .
Solution
Notons une période de :
Cas: . La suite ne tend pas vers et la série étudiée diverge grossièrement.
Cas: . On vérifie
et la série converge (absolument).
Cas: . Pour , introduisons la somme partielle
En regroupant les termes sommés, pour
On a
et donc
Sous-cas: . On a
Par équivalence de séries à termes de signe constant, la série
diverge et donc diverge aussi.
Sous-cas: . On a
Par comparaison, la série
converge absolument. On en déduit que la suite extraite admet une limite finie. Puisque les termes sommés sont de limite nulle, les suites extraites pour admettent la même limite et la série converge.
(Séries de Bertrand11 1 Cette étude généralise celle des séries de Riemann (qui correspond au cas ).)
Dans ce sujet, on souhaite déterminer selon les valeurs de la nature de la série avec
On suppose . Déterminer la limite de quand tend vers l’infini. Quelle est la nature de la série ?
On suppose et l’on introduit . Déterminer la limite de quand tend vers l’infini. Quelle est la nature de la série ?
On suppose et et l’on introduit
Déterminer un équivalent de quand croît vers l’infini. En déduire la nature de la série de terme général en fonction de .
On suppose pour finir . Déterminer la nature de en introduisant
[<] Nature de séries dépendant d'un paramètre[>] Calcul de sommes
Déterminer les natures des séries numériques suivantes:
.
Soit une série numérique absolument convergente.
Montrer que les séries et convergent et
Solution
Pour , on obtient par adjonction de termes positifs
Les sommes partielles de la série à termes positifs sont majorées, cette série est donc convergente. Ainsi, la série converge absolument et donc converge. On établit de même la convergence de .
Aussi, en séparant11 1 Cette séparation est réalisée par commutativité de l’opération d’addition. On pourrait imaginer pouvoir réaliser cette séparation directement sur les sommes infinies mais cela nécessite une « infinité » de commutations et le problème est moins trivial qu’il n’y paraît. Hors du cadre de l’absolue convergence, il est possible de changer la valeur d’une somme en réorganisant ses termes! les termes d’indices pairs de ceux d’indices impairs, il vient pour
En passant à la limite quand tend vers l’infini,
Montrer que la somme d’une série semi-convergente et d’une série absolument convergente n’est que semi-convergente.
Solution
Soient une série semi-convergente et une série absolument convergente. La série est convergente et si celle-ci était absolument convergente alors le serait aussi car . La série n’est donc que semi-convergente.
[<] Convergence absolue[>] Critère spécial des séries alternées
Déterminer la nature et la somme de la série
Justifier la convergence et calculer la somme de
Solution
Par décomposition en éléments simples,
Pour ,
En simplifiant les termes communs,
Par passage à la limite,
avec convergence.
Donner la nature et l’éventuelle somme de la série
Solution
donc la série converge.
Par décomposition en éléments simples,
Pour ,
On simplifie les portions communes des sommes,
À la limite quand tend vers l’infini,
On donne . Calculer
après en avoir justifié l’existence.
Solution
On a
donc la série converge.
Par décomposition en éléments simples
donc
Calculer
Solution
Le calcul peut être mené dans et à ce titre la somme étudiée a un sens.
Pour ,
En reconnaissant une somme exponentielle,
Établir
Étudier la convergence et donner la valeur de
Solution
Pour tout ,
Or converge car il s’agit d’une série géométrique de raison avec . Par comparaison de séries à termes positifs, la série étudiée converge.
Pour , en séparant les termes selon la parité de l’indice,
On conclut
Soit . Vérifier l’identité
En déduire la convergence et la somme11 1 On trouvera un autre calcul de cette somme dans le sujet 5071. de la série harmonique alternée
Existence et valeur de
, ()
, ().
Pour ce dernier calcul, on pourra employer la formule .
Justifier la convergence et calculer la somme de
Solution
Par décomposition en éléments simples
Pour ,
En introduisant les termes d’indices pairs,
et donc
À l’aide d’une comparaison série-intégrale11 1 Ou l’emploi de somme de Riemann, ou introduction de la constante d’Euler.
Par encadrement,
Avec convergence, on a donc
Calculer pour
Solution
L’absolue convergence de la série est assurée par l’équivalent
On a
Par télescopage,
On obtient donc
Justifier la convergence et calculer la somme de la série
Justifier la convergence et calculer la somme de
Pour , on pose
Montrer que existe puis exprimer en fonction de .
En déduire que .
Solution
existe car, par croissance comparée,
Par glissement d’indice
donc
Par un récurrence aisée pour tout .
Soient et la suite définie par
Montrer
Pour , on introduit le polynôme réel
et les nombres
Soit . En calculant de deux façons la partie imaginaire de
établir
En déduire que les sont exactement les racines du polynôme .
Établir les identités
Montrer l’encadrement
et déterminer la valeur de la somme
[<] Calcul de sommes[>] Emploi du critère spécial des séries alternées
Déterminer la nature des séries suivantes:
.
Étudier la convergence de la série avec
Solution
La série étudiée est alternée. La suite est décroissante car est la moyenne des valeurs tandis que est la moyenne de . Enfin,
Par le critère spécial des séries alternées, on peut affirmer la convergence de la série .
Donner la nature de la série
Par développement limité.
En étudiant la série
En observant que le critère des séries alternées s’applique.
Solution
Par développement limité,
La série étudiée converge en tant que somme d’une série convergeant par le critère spécial et d’une autre convergeant absolument par comparaison.
Pour ,
On peut reprendre les arguments précédents, la méthode n’est pas franchement différente de la résolution ci-dessus…
La série est alternée et son terme général tend vers . Il reste à vérifier qu’il décroît en valeur absolue. Pour , on remarque
car on sait pour tout . On en déduit
et l’on peut conclure que le critère spécial s’applique.
Déterminer la nature de
Solution
On sait
On en déduit
On a donc, pour tout
La suite est décroissante car la suite l’est et prend ses valeurs dans où la fonction sinus est croissante. Aussi, la suite est de limite nulle. Par le critère spécial des séries alternées, la série converge. Le rang initial n’affectant pas la nature de la série, la série converge aussi.
Déterminer la nature de la série
Solution
Par développement limité,
Le terme de la série étudiée est la somme d’un terme d’une série qui converge par le critère spécial et d’un autre d’une série absolument convergente. La série étudiée converge.
Déterminer en fonction de la nature de
[<] Critère spécial des séries alternées[>] Quotient de deux termes successifs
Sachant
Établir
Solution
La série converge en vérifiant le critère spécial des séries alternées, sa somme est comprise entre ses sommes partielles consécutives. Or
On en déduit
Montrer que
est un réel négatif.
Solution
À partir du rang , on peut applique le critère spécial des séries alternées. Le reste étant majorée par la valeur absolue du premier terme
avec donc .
Justifier l’existence, pour de
Montrer que
Déterminer un équivalent de .
Donner la nature des séries de termes généraux et .
Solution
est le reste de rang de la série qui converge en vertu du critère spécial.
Par glissement d’indice dans la deuxième somme
Puisque
on a
Or, par le critère spécial,
donc
puis
On a
D’une part, converge par le critère spécial. D’autre part, converge absolument par comparaison à une série de Riemann. La série est donc convergente.
On a
La série est donc divergente par équivalence de séries à termes positifs.
On pose
Énoncer le théorème des séries spéciales alternées, en faire la preuve.
Prouver que les suites et convergent.
Étudier la nature de .
Solution
Si est une suite alternée dont la valeur absolue décroît vers 0 alors la série converge.
Ce résultat s’obtient en constatant l’adjacence des suites extraites de rangs pairs et impairs de la suite des sommes partielles.
La suite converge en vertu du critère spécial énoncé ci-dessus. En fait, il est « connu » que tend vers et donc tend vers 0.
On peut écrire
avec
On a
car par, application du critère spécial à la série , on peut majorer le reste par la valeur absolue du premier terme qui l’exprime. On en déduit
On sait
et donc
avec
Ainsi,
La série converge car c’est la somme d’une série vérifiant le critère spécial et d’une autre absolument convergente.
Soit l’ensemble des suites réelles telles que
Montrer que est un espace vectoriel de dimension 2.
Soient et deux éléments de déterminés par
Montrer que les deux suites et divergent vers .
Calculer
On pose lorsque l’entier est supérieur ou égal à 1. Démontrer l’existence de
Démontrer l’existence d’un unique réel tel que
Solution
Il est immédiat de vérifier que est un sous-espace vectoriel de l’espace des suites réelles. L’application
définie par étant un isomorphisme (car un élément de est déterminé de façon unique par la donnée de ses deux premiers termes), on peut affirmer que l’espace est de dimension 2.
Il est immédiat de vérifier que les suites et sont formés d’entiers naturels, qu’elles sont croissantes à partir du rang 1 et qu’elles sont à termes strictement positifs à partir du rang 2.
Ainsi,
et donc
Ainsi, les deux suites et tendent vers en croissant (seulement à partir du rang pour la première)
On a
Après simplification, on obtient
et donc
On a
Puisque la suite de terme général croît vers , on peut appliquer le critère spécial des séries alternées et affirmer que la série numérique converge. Par conséquent, la suite converge.
On a
Par le critère spécial des séries alternées, on peut borner ce reste par la valeur absolue de son premier terme
On peut ainsi écrire
On a alors
Sachant , on peut affirmer
[<] Emploi du critère spécial des séries alternées[>] Quotient terme sur somme
Soient
Montrer que pour assez grand,
En déduire que diverge.
On pourra utiliser .
Solution
et
On en déduit que pour assez grand,
La suite de terme général est positive et croissante à partir d’un certain rang. Il existe donc et tels que pour tout , . Or diverge et donc aussi.
Soient et deux suites réelles, . On suppose:
Montrer que converge.
Donner la nature de la série de terme général
Solution
Le rapport tend vers 1 donc la suite est de signe constant à partir d’un certain rang; quitte à passer à l’opposé on peut supposer pour assez grand.
Posons
On a
est le terme général d’une série absolument convergente. Par conséquent, la suite converge et donc aussi.
Posons . On a
En reprenant l’étude qui précède on peut affirmer que donc diverge.
Ce résultat peut être confirmé par la formule de Stirling.
(Règle de Raabe-Duhamel)
Soient et deux suites de réels strictement positifs.
On suppose qu’à partir d’un certain rang
Montrer que .
On suppose que
Montrer, à l’aide d’une comparaison avec une série de Riemann, que la série converge.
On suppose cette fois-ci que
Montrer que la série diverge.
Solution
Via télescopage, on obtient pour tout
donc .
Soit et .
À partir d’un certain rang
donc or converge absolument donc aussi.
Pour assez grand
donc
Puisque la série est divergente, un argument de comparaison de séries à termes positifs permet de conclure que est aussi divergente.
[<] Quotient de deux termes successifs[>] Comportement asymptotique du terme d'une série convergente
Soit une suite réelle strictement positive et convergeant vers 0. On pose
Montrer que les séries et ont même nature.
Solution
Puisque la suite est croissante
et donc . On en tire
La série converge si, et seulement si, la suite converge et donc si, et seulement si, la série télescopique converge. Par équivalence de série à termes positifs, cela équivaut à affirmer la convergence de la série .
Soit une suite de réels strictement positifs.
On pose, pour ,
Déterminer la nature de .
Solution
Si converge alors en notant sa somme (strictement positive), et donc converge.
Supposons désormais que diverge et montrons qu’il en est de même de .
Par la décroissante de , on a
En sommant ces inégalités
Or
car donc par comparaison diverge.
Puisque
Si alors diverge.
Si alors et à nouveau diverge.
Finalement, les séries et sont de même nature.
Soit une suite de réels strictement positifs de limite nulle et telle que diverge. Pour , on pose
Étudier la limite de et en déduire la nature de la série .
Solution
Pour ,
Puisque est une série à termes positifs divergente, la suite des sommes partielles tend vers et donc tend vers .
Les différents facteurs étant strictement positifs, on peut composer par la fonction et cela donne
La série est donc divergente. Or
et donc
Par équivalence de séries à termes de signe constant, diverge.
Soit une suite réelle strictement positive et strictement croissante.
Déterminer la nature de la série de terme général
Soit une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général converge.
On note le reste d’ordre
Étudier la nature des séries de termes généraux et .
Solution
et la décroissance de ,
On a
donc la série à termes positifs diverge car puisque .
Par comparaison de séries à termes positifs, diverge.
Si alors diverge.
Si alors et donc diverge encore.
Dans tous les cas, diverge.
Soit une suite de réels strictement positifs telle que la série converge.
Pour , on introduit
Établir
En déduire la nature de la série
Solution
La suite est de limite nulle. Puisque les termes sont strictement positifs, la suite est aussi strictement décroissante. La fonction est décroissante sur et donc
ce qui se relit
Cela donne l’inégalité11 1 Une démarche alternative consiste à appliquer l’inégalité des accroissements finis à entre et . voulue.
La série télescopique a la nature de la suite , c’est donc une série convergente. Par comparaison de séries à termes positifs, la série converge.
Soient une suite de réels strictement positifs et .
On suppose que la série converge, donner la nature de .
On suppose que la série diverge, montrer
En déduire la nature de .
On suppose toujours la divergence de la série . Quelle est la nature de ?
Solution
Puisque la série converge, on peut introduire sa somme
Les termes sommés étant strictement positifs, on a et donne alors
On en déduit
La série converge, donc converge aussi et, par équivalence de séries à termes positifs, on peut conclure à la convergence de la série .
Comme les termes sont positifs, on a et donc
La série à termes positifs étant supposée divergente, la suite tend vers et donc est de limite nulle. La nature de la série télescopique étant celle de la suite , on peut affirmer la convergence de la série
puis celle de par comparaison de séries à termes positifs.
On peut écrire
Cas: ne tend pas vers . La série étudiée diverge grossièrement.
Cas: tend vers . On emploie l’équivalent
pour affirmer
et donc
La suite diverge. Par le lien suite-série, la série diverge aussi. Par équivalence de séries à termes positifs, la série diverge.
Soit une série divergente de réels strictement positifs. On pose
Soit . Étudier la nature de la série .
Même question avec .
Soit une suite strictement croissante de réels strictement positifs de limite . Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants:
avec .
[<] Quotient terme sur somme[>] Comparaison séries intégrales
Soit une suite réelle décroissante. On suppose que la série converge et l’on note sa somme partielle de rang .
Déterminer la limite de quand croît vers l’infini.
En déduire la limite de la suite puis celle de .
Soient une suite décroissante de réels positifs et un réel positif.
On suppose la convergence de la série
Montrer
Solution
Posons
Par la décroissance de la suite , on a
Puisque la suite converge, et l’on en déduit .
Puisque
on a aussi et l’on peut donc conclure .
[<] Comportement asymptotique du terme d'une série convergente[>] Nature de séries dépendant d'un paramètre via comparaison intégrale
Déterminer la nature de la série
Solution
On a
La fonction est décroissante sur . On en déduit
On peut aussi remarquer
Par équivalence de séries à termes positifs, les séries
sont de même nature. Par le lien suite-série, la deuxième série à la nature de la suite de terme général , à savoir divergente.
En exploitant une comparaison avec des intégrales, établir:
Solution
Par croissance de la fonction racine carrée,
donc
et l’on conclut aisément.
On a
et, par croissance de la fonction ,
donc
puis on peut conclure.
Par décroissance de la fonction sur ,
donc
puis on conclut via
Pour , on pose
Déterminer la limite de quand tend vers .
Solution
Soit . Puisque est décroissante,
On calcule les intégrales et l’on passe à la limite quand tend vers pour obtenir
Par suite,
Soit . Déterminer la nature de la série .
Solution
Notons que les termes sommés sont positifs.
La fonction est décroissante donc
puis
or est définie donc
En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer
Solution
Notons que donc existe.
La fonction est décroissante sur donc par comparaison série-intégrale
puis sachant
on obtient
Quand ,
Par le théorème des gendarmes,
Soient . Pour , on pose
Trouver en fonction de .
Solution
On a
Posons fonction croissante.
À l’aide d’une comparaison série-intégrale
donc
puis
[<] Comparaison séries intégrales[>] Études asymptotiques
Nature de la série de terme général
où est réel.
Solution
Par comparaison série intégral,
donc
Par référence aux séries de Bertrand, converge si, et seulement si, .
Soit . On pose, pour
Nature de la série de terme général ?
Solution
Par comparaison série-intégrale,
Cas: .
est terme général d’une série absolument convergente.
Cas: .
n’est pas le terme général d’une série convergente.
Cas: .
n’est pas le terme général d’une série convergente.
Cas: .
et donc est grossièrement divergente.
Étudier en fonction de la nature de
Solution
Si alors donc pour assez grand . Par comparaison de séries à termes positifs, la série diverge
Si alors considérons . On a donc la série est absolument convergente.
Si alors exploitons la décroissance de la fonction sur .
Pour ,
donc
Par suite, la série étudiée diverge.
Étudier en fonction de la nature de
Solution
On pose
Cas: . À partir d’un certain rang et la série diverge.
Cas: . La fonction est décroissante sur .
donc
puis
et l’on peut conclure qu’il y a convergence si, et seulement si, .
On note le nombre de chiffres dans l’écriture décimale de l’entier . Pour quelles valeurs de y a-t-il convergence de la série
Solution
Introduisons la somme partielle
On remarque que pour on a
En regroupant pertinemment les termes sommés,
Puisque la fonction est décroissante, on a la comparaison
Après calculs, on obtient
Cas: . La série converge si, et seulement si, .
Puisque la série est à termes positifs, sa convergence équivaut à la convergence d’une suite extraite de sommes partielles et donc converge si, et seulement si, .
Cas: .
Pour , il y a absolue convergence de la série en vertu de l’étude qui précède.
Pour , on peut écrire avec et l’on a alors
avec qui ne tend pas vers zéro.
Il y a alors divergence d’une suite extraite de sommes partielles et donc divergence de la série .
[<] Nature de séries dépendant d'un paramètre via comparaison intégrale[>] Série dont le terme est défini par récurrence
Soit un réel positif. Déterminer un équivalent quand tend vers l’infini de
Déterminer un équivalent quand tend vers l’infini de
Soit . Déterminer un équivalent de
Solution
Selon que ou , on encadre en exploitant la monotonie de .
Sachant que
on obtient
Soit un réel strictement supérieur à . Déterminer un équivalent quand tend vers l’infini de
Montrer la convergence de
puis la majoration du reste
Solution
La convergence de s’obtient entre autre par le critère d’Alembert puisque
On peut alors majorer le reste de la série en prenant appui sur une somme géométrique
Notons que raisonner par récurrence ne marche pas.
Déterminer un équivalent quand croît vers l’infini de
Pour , on pose
Étudier la nature de la série selon la valeur du réel .
Solution
Puisque est décroissante,
donc
d’où l’on obtient
puis
La série converge si, et seulement si, .
Déterminer la nature de la série de terme général
Soit une suite complexe telle que pour tout , . Peut-on affirmer que la suite converge?
Solution
Non. En effet, considérons
Pour tout , on a
On en déduit
alors que
[<] Études asymptotiques[>] Application à l'étude de suites
Soit la suite définie par et pour tout ,
Montrer que et déterminer la nature de la série de terme général .
Solution
La fonction est négative sur et ne s’annule qu’en . Par conséquent, la suite est décroissante, or elle est clairement minorée par donc elle converge. Sa limite annulant la précédente fonction ne peut être que . Puisque
on a
Par suite,
et la série à termes positifs converge .
Soit la suite définie par et pour tout ,
Montrer que converge vers un réel .
Quelle est la nature de la série de terme général ?
Solution
Par étude de point fixe de la relation de récurrence, la valeur
est la seule limite possible de la suite qui est clairement à termes positifs.
donc
On en déduit que la série étudiée converge.
Soient et la suite déterminée par
pour tout .
Montrer que pour tout .
Étudier la monotonie de .
Montrer que .
Exploiter pour montrer que converge.
Exploiter pour montrer que diverge.
Solution
Par récurrence, on vérifie pour tout en employant
Par étude de fonction, on vérifie pour tout . On en déduit pour tout .
La suite est décroissante et minorée par , elle admet donc une limite . En passant la relation de récurrence a la limite, il vient . Seul est solution de cette équation.
Par le lien suite-série, a la nature de la suite c’est-à-dire convergente. Or
Par équivalence de suites de signe constant, on peut affirmer la convergence de .
Par le lien suite-série, la série est une série télescopique divergente. Or
Par équivalence de suites de signe constant, on conclut.
Soit la suite récurrente définie par
Étudier la convergence de la suite .
Étudier la convergence et donner la somme de la série .
Étudier la convergence de la série .
Quelle est la nature de la série de terme général ?
Soient dans , et dans . On considère la suite déterminée par
Montrer l’existence d’un réel tel que
Déterminer la nature de la série de terme général et calculer sa somme lorsqu’elle converge.
Soient une suite positive et la suite définie par
Montrer que la suite converge si, et seulement si, la série de terme général converge.
[<] Série dont le terme est défini par récurrence
Montrer l’existence d’un réel tel que
Montrer que
a une limite non nulle.
On s’interdit l’emploi de la formule de Stirling.
Solution
Après calculs,
La série télescopique associée étant convergente, la suite converge et l’on peut conclure.
Pour tout , on pose
Dans ce sujet, on s’interdit l’emploi de la formule de Stirling.
Déterminer un équivalent de
En déduire que tend vers .
En s’inspirant de ce qui précède, établir que . On ne cherchera pas expliciter la valeur de .
Solution
On a
La série est une série à termes négatifs divergente, ses sommes partielles décroissent vers . Par télescopage, cela donne
Par composition avec la fonction exponentielle,
Posons . Pour ,
La série converge absolument. Par le lien suite-série, la suite converge aussi. En posant sa limite, on obtient
Pour , on pose
Déterminer un équivalent quand tend vers de
et en déduire la limite de
Déterminer la limite de la suite .
Montrer que
En déduire la nature de la série de terme général .
Solution
On a
Par équivalence de séries à termes de signe constant, la série diverge. Or il s’agit d’une série à termes négatifs et donc
Par télescopage, ce qui précède donne
On en déduit
Par composition avec la fonction exponentielle,
Posons . Pour
Par équivalence de séries à termes positifs, la série diverge. Or il s’agit d’une série à termes positifs et donc
Par télescopage, on obtient
Par composition avec la fonction exponentielle,
À partir d’un certain rang, on a et donc . Par comparaison de séries à termes positifs, la série diverge.
Pour tout , on pose
Déterminer un équivalent de . En déduire que tend vers .
Déterminer la limite de et en déduire la nature de la série .
On pose . En observant et en sommant l’égalité
calculer en fonction de et .
En déduire la valeur de
Solution
Pour ,
On a donc
La série tend vers . Par le lien suite-série, tend vers et donc est de limite nulle.
Cette fois-ci,
La série tend vers donc tend vers puis aussi. À partir d’un certain rang donc diverge.
Pour ,
En sommant pour et en simplifiant, on obtient .
Puisque tend vers , on conclut
Soient et une suite strictement positive telle que pour tout ,
Montrer que . On pourra étudier la suite de terme général .
Soient et . En étudiant , montrer qu’il existe tel que
On suppose . En écrivant
donner la valeur de la somme
Solution
On a
Par équivalence de séries à termes de signe constant, la série de terme général diverge. Or il s’agit d’une série à termes négatifs et donc
Par télescopage, cela produit
On en déduit que tens vers . Par composition avec la fonction exponentielle, on conclut que est de limite nulle.
Par développement limité,
Pour , la série des converge absolument. Par suite, converge vers un réel et alors
On a
Par télescopage,
Pour , on considère définie par
Pour quel(s) y a-t-il convergence de la série de terme général
En déduire qu’il existe pour lequel .
Solution
Notons que les termes de la suite sont tous non nuls car .
donc . converge si, et seulement si, .
donc puis avec .
Soit une suite de réels strictement positifs telle que
Pour quel(s) y a-t-il convergence de la série de terme général
En déduire qu’il existe pour lequel
Solution
donc
converge si, et seulement si, .
donc puis avec .
Étudier la limite quand de
Solution
On peut écrire
avec .
On peut alors présumer
Il ne reste plus qu’à l’établir…
Puisque pour tout , on a
et donc on a déjà
De plus, pour , on a pour tout
Pour , il existe tel que
et pour ce fixé, il existe tel que pour ,
On a alors pour tout
On peut donc conclure
Édité le 12-05-2025
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