[>] Calculs d'exponentielles de matrices
Soit une matrice réelle carrée d’ordre antisymétrique.
Établir que la matrice est orthogonale.
Solution
Il s’agit d’établir
Par les propriétés calculatoires de l’opération de transposition,
L’application de transposition est linéaire au départ d’un espace de dimension finie, c’est donc une application continue. Par passage à la limite quand tend vers l’infini dans la relation précédente, on obtient
Par suite,
Or les matrices et commutent et donc
Soit . Déterminer les valeurs propres de .
Solution
La matrice est trigonalisable et l’on peut écrire avec et . On a alors avec triangulaire supérieure de coefficients diagonaux les exponentielles des coefficients diagonaux de . On en déduit
Soit . Établir .
Soit . Montrer que est un polynôme en .
Sur , on note l’endomorphisme de dérivation et l’endomorphisme de translation définis par
Établir
Solution
Par la formule de Taylor adaptée aux polynômes,
En déduit l’égalité polynomiale
car les deux polynômes sont égaux pour une infinité de valeurs .
Il vient alors
Soit une matrice nilpotente.
Comparer les espaces et .
Solution
Puisque la matrice est nilpotente, on peut introduire tel que .
Par définition de l’exponentielle d’une matrice,
Montrons l’égalité des deux espaces étudiés par double inclusion.
Soit . On a
et donc
On a ainsi une première inclusion
Inversement, considérons . L’égalité donne
Par l’absurde, supposons et introduisons le plus grand entier tel que . On a donc
En multipliant à gauche la relation précédente par , on obtient
Cela est absurde car contredit l’introduction de . On en déduit et donc .
On a ainsi acquis l’inclusion réciproque
Par double inclusion,
Soit un endomorphisme nilpotent d’un -espace vectoriel de dimension finie. Établir
Solution
Posons tel que . On peut simplifier
Si alors
et donc
Inversement, supposons . On a
Par l’absurde, supposons et introduisons le plus grand entier tel que . En composant la relation précédente avec , on obtient
Cela est absurde car contredit la définition de . On en déduit et donc .
Ainsi,
Puisque
on a de façon immédiate
En vertu de l’égalité des noyaux et de la formule du rang, on peut affirmer
et donc conclure
Dans ce sujet, on étudie les fonctions dérivables vérifiant:
Soit . Vérifier que est solution.
Soit une fonction solution vérifiant . Calculer .
On suppose toujours que est solution et . Montrer que
En déduire qu’il existe telle que pour tout réel.
On ne suppose plus que est inversible. Déterminer les fonctions solutions du problème posé.
Solution
La fonction est bien définie et dérivable de vers et, pour tout ,
car les matrices et commutent.
Pour , il vient . Sachant que est inversible, on en déduit .
Soit . Pour réel non nul,
En passant à la limite quand tend vers , on conclut
La fonction est solution de l’équation différentielle avec et d’inconnue à valeurs dans . La fonction est aussi solution de cette équation différentielle et les deux fonctions et prennent la valeur en . Par unicité de la solution à un problème de Cauchy, on conclut .
Posons . Par la même étude qu’au-dessus, on établit et est solution de l’équation avec . On en déduit . Au surplus, on vérifie que est aussi solution de l’équation en passant à la limite quand tend vers l’égalité
On en déduit que et donc .
Inversement, si vérifient et , on constate que la fonction est solution du problème posé puisque
On se donne continue et telle que
On suppose dans cette question de classe . Montrer que
En déduire qu’il existe telle que pour tout réel.
Soit intégrable et d’intégrale égale à . On suppose qu’il existe tel que pour tout . On pose, pour réel,
Montrer que est de classe puis qu’il existe telle que pour tout réel .
Déterminer .
Solution
Commençons par remarquer que car
Pour et , on a
En passant à la limite quand tend vers , on obtient
Cette égalité s’apparente à une équation différentielle linéaire vectorielle à coefficient constant où l’inconnue correspond à la fonction et l’endomorphisme est la multiplication par la matrice . La résolution de cette équation donne
En rappelant , on obtient l’expression voulue de .
Posons définie sur . Pour tout , la fonction est continue par morceaux et intégrable sur car nulle en dehors . Cela assure la définition de la fonction .
La fonction admet une dérivée partielle
Celle-ci est continue en et continue par morceaux en .
Soit . Pour tout ,
Par domination sur tout segment, on peut affirmer que est de classe .
Pour tous et réels,
On obtient donc avec .
Montrons qu’il est possible de se ramener à la situation où la matrice est inversible auquel cas on établit que est de classe et l’on conclut par la première question que pour .
Soient et définie par
La fonction réunit les conditions de la fonction précédente et
Pour tout ,
et
Par convergence dominée,
Par continuité du déterminant, tend vers et l’on peut affirmer que, pour assez grand, est inversible et enfin conclure.
(Décomposition polaire)
Soit telle que pour toute matrice .
Soit antisymétrique. Montrer .
En considérant les matrices orthogonales pour réel et matrice antisymétrique, établir que est une matrice symétrique.
Montrer que les valeurs propres de sont positives.
Application : Montrer que pour toute matrice , il existe symétrique à valeurs propres positives et telles que .
Soit . Établir que
Solution
On a
Posons définie par
On remarque que
avec
(quitte à introduire une norme sous-multiplicative sur ). On a donc
avec qui est le terme général d’une série convergente. Il en découle que la série de fonctions converge normalement sur . Puisque
on obtient par le théorème de la double limite
Soient et dans . Montrer que
Solution
On a
donc
Ainsi,
Puisque et commutent, on peut développer par la formule du binôme de Newton
Posons définie par
On remarque que
Montrons la convergence normale de la série des .
Puisque
la norme de est bornée par un certain .
On observe alors
en choisissant une norme multiplicative sur .
La série de fonctions converge normalement sur , cela permet de permuter limite et somme infinie.
Or, pour fixé,
donc
[<] Exponentielles[>] Équation vectorielle d'ordre 1
Soit . Calculer l’exponentielle de la matrice
Soit avec ou telle que . Déterminer .
Solution
Par convergence absolue, on peut écrire
ce qui donne
Soit
Étudier la diagonalisabilité de , déterminer les polynômes minimal et caractéristique de .
Calculer .
Solution
donc . Puisque , n’est pas diagonalisable. et .
Par nilpotence,
Calculer pour
Solution
Le polynôme caractéristique de est . Par le théorème de Cayley-Hamilton, et donc avec . Puisque les matrices et commutent,
avec et
On conclut
Soit
Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de .
Calculer .
Solution
et .
En calculant on obtient
Soit telle que
Exprimer en fonction de , et .
Calculer
Solution
Puisque de taille 3 avec 3 valeurs propres distinctes, la matrice est diagonalisable et son polynôme minimal est
La division euclidienne de par s’écrit
Le polynôme peut s’écrire
et l’évaluation de la relation division euclidienne en , 1 et donne
puis
et enfin
En évaluant la relation de division euclidienne en , on obtient
En vertu de ce qui précède
avec
et donc
De même, on obtient
On pose
Sans diagonaliser la matrice , déterminer son polynôme caractéristique, son polynôme minimal et calculer pour .
Évaluer .
Solution
, . On a donc
avec
On en déduit
Soient et
Calculer le polynôme minimal de .
Calculer .
Solution
,
La matrice est diagonalisable, on écrit avec
On en déduit .
Par division euclidienne, avec
donc
puis
On note
et le sous-ensemble de formé des matrices de coefficients diagonaux strictement positifs.
Soit . Déterminer les puissances de . Calculer .
L’application est-elle injective? surjective?
Solution
Cas: .
Cas: .
et
Avec des notations immédiates, si alors par identification des coefficients diagonaux, on obtient et .
Dans le cas , l’identification du coefficient d’indice donne
d’où .
Dans le cas , la même identification donne
et à nouveau .
Ainsi, l’application est injective.
Considérons maintenant
Si alors pour et , on obtient vérifiant .
Si alors pour , et , on obtient vérifiant .
Ainsi, l’application est surjective.
Soient et .
On suppose . Calculer .
On suppose . Calculer .
Solution
Sachant , on vérifie par récurrence pour tout . On a alors
avec
et donc
Le polynôme est annulateur de . Pour , réalisons la division euclidienne de par . Celle-ci s’écrit
En évaluant cette relation en et en , on forme le système
Après résolution, on obtient
On en déduit
En évaluant cette relation en , il vient
On en déduit
[<] Calculs d'exponentielles de matrices[>] Système différentiel d'ordre 1
Soient un -espace vectoriel de dimension et une application continue de vers . On étudie l’équation différentielle
d’inconnue .
Soit est une base de l’espace . Montrer que les fonctions solutions du problème de Cauchy
forment une base de l’espace des solutions de .
Solution
On sait que l’ensemble des solutions de l’équation linéaire est un sous-espace vectoriel de dimension de l’espace . Il suffit donc d’établir que la famille est libre pour affirmer que c’est une base de l’espace .
Soit . Supposons . Cela signifie
Cela vaut en particulier pour et l’on obtient
Par liberté de la famille , il vient . La famille est donc libre, c’est une base de .
Notons qu’un argument plus immédiat serait de rappeler que l’application d’évaluation
est un isomorphisme: il transforme donc une base en une base.
Soit une matrice vérifiant
Exprimer la solution générale de l’équation matricielle
Solution
L’équation étudiée est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficient constant. Sa solution générale peut être exprimée par une exponentielle
avec
Or et l’on peut11 1 La série exponentielle convergence absolument et les séries des termes d’indices pairs et impairs sont assurément convergentes. calculer la somme précédente en séparant les termes d’indices pairs de ceux d’indices impairs. Pour réaliser cette séparation, on raisonne par les sommes partielles22 2 On pourrait aussi parler de sommation par paquets mais le cadre théorique associé n’est pas au programme.. Pour ,
En passant à la limite quand tend vers l’infini, on obtient avec convergence des séries engagées
Ainsi, la solution générale de l’équation étudiée est
Soit un espace vectoriel réel de dimension finie et un projecteur de .
Étant donné , exprimer la solution au problème de Cauchy
Solution
La solution au problème de Cauchy posé s’exprime
avec
Or pour et pour donc
La solution cherchée s’exprime donc
Soit un espace vectoriel réel de dimension finie et une symétrie de .
Déterminer les solutions bornées sur à l’équation différentielle .
Solution
La solution générale de l’équation s’écrit
Or, pour ,
On a donc
Si alors n’est pas bornée au voisinage de .
Si alors n’est pas bornée au voisinage de .
Pour que soit bornée, il faut et donc .
Inversement, dans ce cas, est la solution nulle et est donc évidemment bornée.
Soit une matrice annulant un polynôme réel de degré :
Justifier que chaque solution de l’équation prend ses valeurs dans un plan vectoriel.
On munit l’espace des colonnes de sa structure euclidienne canonique.
Soit . Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:
la matrice est antisymétrique;
chaque solution du système différentiel est de norme constante.
Soit . On étudie le système différentiel d’inconnue colonne à valeurs réelles.
Soient une colonne vecteur propre de la matrice et la valeur propre associée. Montrer que la fonction est solution sur du système .
On suppose que la matrice est diagonalisable et l’on introduit une base de formée de colonnes vecteurs propres de et l’on note les valeurs propres associées. Montrer que la solution générale sur de s’exprime
Soient une matrice non inversible de et une solution du système différentiel . Montrer que les valeurs prises par la fonction sont incluses dans un hyperplan affine.
Solution
Puisque la matrice n’est pas inversible, son rang est strictement inférieur à et il existe donc un hyperplan contenant l’image de . Soit une équation de cet hyperplan. Puisque les vecteurs sont des valeurs prises par , celles-ci appartiennent à l’hyperplan précédent et donc
On en déduit
et donc
Soient un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie et un vecteur de .
Montrer que la solution au problème de Cauchy
prend ses valeurs dans le sous-espace affine .
Solution
La solution étudiée s’exprime
Pour tout ,
En passant à la limite quand tend vers l’infini,
car est une partie fermée puisqu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel de dimension finie.
Ainsi, .
Soit .
Expliquer pourquoi l’on peut affirmer que la matrice est trigonalisable.
À quelle condition la matrice est-elle inversible?
On suppose cette condition remplie et l’on introduit une fonction continue et -périodique.
Montrer que l’équation
d’inconnue possède une unique solution -périodique.
Solution
La matrice complexe sont assurément trigonalisable car leur polynôme caractéristique est scindé. On peut donc écrire avec
avec les valeurs propres de comptées avec multiplicité.
On a alors
Cette matrice est inversible si, et seulement si, pour . Cela est vérifiée si, et seulement si, pour .
La solution générale de l’équation est de la forme
avec solution particulière et colonne quelconque.
Analyse: Soit une solution 1-périodique. On a et donc après résolution
ce qui détermine entièrement la solution .
Synthèse: Considérons la fonction définie comme au terme de l’analyse ci-dessus. Elle est solution de l’équation et vérifie .
Considérons alors la fonction donnée par .
On vérifie que est encore solution de (car la fonction est périodique) et puisque , les fonctions et sont égales car solutions d’un même problème de Cauchy.
Finalement, la fonction est périodique.
Soient une matrice de trace strictement positive et une solution sur du système différentiel .
On suppose que la fonction est bornée, montrer qu’il existe une ligne non nulle11 1 La condition peut s’interpréter comme une orthogonalité pour le produit scalaire canonique sur : la solution prend ses valeurs dans l’espace orthogonal au vecteur . telle que pour tout .
Soit une fonction continue de vers -périodique avec .
Montrer que l’équation différentielle d’inconnue possède une solution non identiquement nulle pour laquelle il existe tel que
Solution
L’ensemble des solutions de l’équation est un sous-espace vectoriel de dimension finie (égale à ) de l’espace des fonctions de classe de vers . Pour , on considère l’application définie par pour tout réel. On vérifie que est encore solution de l’équation car
L’application apparaît alors comme un endomorphisme du -espace vectoriel de dimension finie non nulle . Cet endomorphisme admet au moins une valeur propre et, pour vecteur propre associé, on dispose d’une solution non identiquement nulle de l’équation vérifiant pour tout .
Soient vérifiant .
En considérant pour , l’application , établir
Solution
est dérivable et vérifie . En effet,
or car et commutent donc
De plus, donc . Puisque cela vaut pour tout ,
et, pour , on obtient la relation demandée.
Soit nilpotente d’indice . Montrer que est une famille libre.
Exprimer
Soit ayant pour unique valeur propre . Montrer que est nilpotente.
Montrer que les solutions du système différentiel sont toutes bornées sur si, et seulement si, est imaginaire pur et .
Soit de polynôme caractéristique
les étant deux à deux distincts. Soit l’endomorphisme de canoniquement associé à . Montrer que
En déduire l’existence d’une base de dans laquelle la matrice de est diagonale par blocs.
Avec les notations de la question précédente. Montrer que les solutions de sont bornées si, et seulement si, les sont imaginaires purs et que est diagonalisable.
Montrer qu’une matrice antisymétrique réelle est diagonalisable.
Solution
Supposons
En multipliant par , on obtient car . Or donc .
On montre de même successivement que ,…, .
On conclut que la famille est libre.
Puisque et commutent, on a
Le polynôme caractéristique de est scindé dans et possède une unique racine , on a donc
En vertu du théorème de Cayley Hamilton
La matrice s’avère donc nilpotente.
Les solutions du système différentiel sont les fonctions
Si est nulle et , il est clair que toutes les solutions sont bornées.
Inversement, supposons les solutions toutes bornées. En choisissant , la solution
est bornée sur et nécessairement .
Notons l’indice de nilpotence de et choisissons . La solution
devant être bornée avec , la fonction
est elle aussi bornée. Or et donc cette solution ne peut pas être bornée si .
On en déduit puis .
Les polynômes sont deux à deux premiers entre eux. Par le théorème de Cayley Hamilton et le lemme de décomposition des noyaux, on obtient
Une base adaptée à cette décomposition fournit une représentation matricielle de diagonale par blocs. Plus précisément, les blocs diagonaux sont de la forme
La matrice est semblable à et l’on peut donc écrire
Les solutions de l’équation correspondent aux solutions de l’équation via .
Les solutions de seront bornées si, et seulement si, celles de le sont. En raisonnant par blocs et en exploitant le résultat du b), on peut affirmer que les solutions de sont bornées sur si, et seulement si, les sont imaginaires purs et les tous nuls (ce qui revient à dire que est diagonalisable).
Supposons antisymétrique réelle. Puisque et commutent
Soit une solution de l’équation . On a
Les solutions sont toutes bornées et donc est diagonalisable à valeurs propres imaginaires pures.
Soient une matrice dont tous les coefficients non diagonaux sont positifs et une colonne dont tous les coefficients sont aussi positifs.
Montrer que la solution sur du problème de Cauchy
est une colonne dont tous les coefficients sont positifs.
(Critère de Routh-Hurwitz)
Soit . On dit que le système différentiel est asymptotiquement stable lorsque toutes ses solutions sont de limites nulles11 1 Autrement dit, lorsque désigne une colonne solution sur de , on vérifie que tend vers quand croît vers . en .
Montrer que le système est asymptotiquement stable si, et seulement si, et .
[<] Équation vectorielle d'ordre 1[>] Système différentiel d'ordre 1 à coefficients constants
Résoudre le système différentiel suivant
Solution
C’est un système différentiel linéaire d’ordre homogène défini sur d’équation matricielle avec
On a et . On détermine
Pour
(matrice indépendante de ), on écrit avec
En posant ,
En écrivant ,
Sachant
on conclut
Résoudre le système différentiel suivant
Solution
C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène défini sur d’équation matricielle avec
.
.
Si ,
Pour indépendant de , avec et cette relation est aussi vraie pour .
En posant ,
En écrivant
on a
Puisque
on obtient
Résoudre le système différentiel
Solution
C’est un système différentiel linéaire d’ordre défini sur d’équation matricielle avec
On remarque et
Pour
(matrice indépendante de ), on écrit avec
En posant ,
avec
En écrivant ,
Puisque
on obtient la solution générale
Résoudre le système différentiel réel suivant
Solution
Soit solution sur .
On pose , on a donc avec .
En écrivant avec on peut conclure
et
Vérification: il suffit de remonter les calculs.
[<] Système différentiel d'ordre 1[>] Équations scalaires d'ordre n
Résoudre sur le système différentiel
Résoudre le système différentiel suivant
Solution
C’est un système différentiel linéaire d’ordre homogène d’équation matricielle avec
Après calculs, avec
On écrit alors avec
Pour ,
et
Finalement,
Soit
Donner des matrices inversible et diagonale telles que .
On considère le système différentiel
Exprimer ce système sous forme matricielle d’inconnue une colonne .
En posant déterminer les expressions de , et solutions du système précédent.
Solution
Après calculs,
et
On peut donc écrire avec
Posons . Le système étudié équivaut à l’équation matricielle .
Pour fonctions dérivables, la fonction est dérivable et aussi l’est la fonction avec .
Les fonctions sont solutions du système différentiel si, et seulement si, . La solution générale de cette équation matricielle s’exprime
Par la relation , on obtient l’expression des fonctions , et
Résoudre sur le système différentiel
Déterminer les fonctions à valeurs réelles solutions du système différentiel suivant
Solution
C’est un système différentiel de taille linéaire à coefficients constant d’équation matricielle avec
On a , ,
On a avec
et donc
avec
Posons . On a et donc
Posons .
Sachant
on obtient l’expression de la solution générale
c’est-à-dire
Résoudre le système différentiel suivant
Solution
C’est un système différentiel linéaire d’ordre d’équation matricielle avec
Après calculs, avec
On écrit alors avec
Pour , est solution si, et seulement si, est solution de avec
Après résolution, on obtient
puis
Déterminer les solutions sur du système différentiel
Résoudre le système différentiel suivant
Solution
C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène d’équation matricielle avec
,
On a avec
En posant , on obtient
or
donc
Résoudre le système différentiel suivant
Solution
C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène d’équation matricielle avec
Par calculs, . Après triangularisation, on a pour
Pour , .
La solution générale du système est donc
Déterminer les solutions réelles du système différentiel linéaire
Solution
, .
La résolution complexe est alors facile puisque la matrice est diagonalisable.
La résolution réelle est en revanche plus délicate à obtenir, détaillons-la!
est vecteur propre de , complétons-le avec deux vecteurs d’un plan stable.
Les plans stables s’obtiennent en étudiant les éléments propres de . et
Ainsi, le plan d’équation est stable par .
Prenons et . On vérifie .
Ainsi, pour
on a
Pour et , on a .
Ceci nous conduit à la résolution suivante
Et l’on peut conclure via .
Une démarche alternative consiste à extraire trois solutions réelles indépendantes de la résolution complexe.
On étudie le système différentiel
Ce système possède-t-il des solutions?
Sans résoudre le système, montrer que pour tout réel , le point de coordonnées se situe à l’intersection d’un plan et d’une sphère.
On note la matrice exprimant le système différentiel précédent.
Calculer et exprimer sous forme matricielle la solution générale du système différentiel.
Solution
est un système différentiel linéaire homogène de taille , l’ensemble de ses solutions est un espace vectoriel de dimension 3.
Posons . On constate et donc le point évolue sur un plan d’équation . Posons . On constate et donc le point évolue sur une sphère d’équation .
Le système s’écrit avec
On vérifie et l’on en déduit et puis
Ainsi,
et la solution générale du système est
Déterminer les fonctions réelles solutions du système différentiel
À quelle condition sur les solutions du système sont-elles bornées sur ?
[<] Système différentiel d'ordre 1 à coefficients constants
(Équation différentielle linéaire d’ordre à coefficients constants)
Soient . On dit qu’une fonction est solution de l’équation différentielle symbolisée par
si est dérivable à l’ordre et vérifie
À quelle condition sur , la fonction est-elle solution de ?
Justifier que l’ensemble des solutions de l’équation différentielle forme un sous-espace vectoriel de l’espace constitué des fonctions indéfiniment dérivables de vers .
On suppose que est solution de et l’on introduit
Déterminer telle que soit solution du système différentiel .
En déduire que l’espace est de dimension .
Application : On suppose que l’équation possède racines distinctes. Exprimer la solution générale de .
Soient des fonctions continues.
Montrer qu’il existe tel que pour toute solution de l’équation différentielle
on vérifie
Solution
L’ensemble des solutions de un sous-espace vectoriel de dimension finie (égale à ) de l’espace des fonctions de classe de vers .
L’application définit une norme sur l’espace . L’application définit une forme linéaire sur . Par continuité des applications linéaires au départ d’un espace de dimension finie, il existe tel que ce qui se relit
On étudie l’équation différentielle définie sur
avec des fonctions continues de dans .
Soit un réel. Montrer qu’il existe tel que toutes les solutions non nulles de l’équation s’annulent au plus fois dans l’intervalle .
Édité le 29-08-2023
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