Exercice 1 4613

On tire successivement $n \in ℕ^{*}$ boules dans une urne contenant $b$ boules blanches et $r$ boules rouges et l’on pose $X$ le nombre de boules blanches obtenues.

(a)

Déterminer la loi de $X$ lorsque le tirage a lieu avec remise.
(b)

Déterminer la loi de $X$ lorsque le tirage a lieu sans remise et que $n \leq b + r$ .

Exercice 2 4625

On considère deux dés discernables à $6$ faces non nécessairement équilibrés, non nécessairement identiques. On note $X_{1}$ et $X_{2}$ les variables aléatoires indépendantes déterminant les valeurs de ces deux dés.

(a)

Montrer que le polynôme réel $P = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{10}$ ne peut pas se factoriser dans $ℝ [X]$ comme un produit de deux polynômes réels de degré $5$ .
(b)

Montrer qu’il est impossible que $X_{1} + X_{2}$ suive une loi uniforme sur $⟦ 2; 12 ⟧$ .

Exercice 3 4956 Correction

Une urne contient $n \in ℕ^{*}$ boules numérotées de $1$ à $n$ . On tire avec remise des boules dans cette urne jusqu’à ce qu’une boule ait été tirée deux fois. On note $T$ la variable aléatoire à valeurs dans $⟦ 2; n + 1 ⟧$ précisant le nombre de tirages alors effectués.

(a)

Proposer un espace probabilisé $(Ω, P)$ modélisant cette expérience.
(b)

Calculer $P (T = 2)$ .
(c)

Soit $k \in ⟦ 1; n + 1 ⟧$ . Exprimer $P (T > k ∣ T > k - 1)$ .
(d)

Donner un expression de $P (T = k)$ pour tout $k \in ⟦ 2; n + 1 ⟧$

Solution

(a)

Quitte à poursuivre les tirages dans l’urne, on peut supposer que l’on tire exactement $n + 1$ boules dans celle-ci et l’on s’intéresse alors au rang d’apparition d’un premier tirage identique à l’un des précédents. Les tirages étant équiprobables, on considère $Ω = {⟦ 1; n ⟧}^{n + 1}$ muni de la probabilité uniforme.
(b)

Pour $k \in ⟦ 1; n + 1 ⟧$ , introduisons $X_{k}$ la variable aléatoire déterminant le numéro de la boule obtenue lors du $k$ -ième tirage: celles-ci sont indépendantes car le tirage est supposé avoir lieu avec remise. L’événement $T = 2$ se confond avec $X_{1} = X_{2}$ qui est lui-même la réunion des $(X_{1} = i, X_{2} = i)$ pour $i$ allant de $1$ à $n$ . Ces derniers événements étant deux à deux incompatibles

$P (T = 2) = \sum_{i = 1}^{n} P (X_{1} = i, X_{2} = i) = \sum_{i = 1}^{n} P (X_{1} = i) P (X_{2} = i) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{n} .$
(c)

L’événement $(T > k - 1)$ est de probabilité non nulle et correspond à l’obtention de valeurs deux à deux distinctes de $X_{1}, \dots, X_{k - 1}$ . Par conséquent,

$P (T > k ∣ T > k - 1) = P (X_{k} \neq X_{1}, \dots, X_{k - 1} ∣ T > k - 1) = \frac{n - (k - 1)}{n} .$
(d)

Pour $k \in ⟦ 1; n + 1 ⟧$ , on a par définition d’une probabilité conditionnelle,

$P (T > k ∣ T > k - 1) = \frac{P (T > k, T > k - 1)}{P (T > k - 1)} = \frac{P (T > k)}{P (T > k - 1)}$

et donc

$P (T > k)$ $= \frac{n - (k - 1)}{n} P (T > k - 1) = \dots$

$= \underset{\begin{matrix} k - 1 facteurs \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{n - (k - 1)}{n} \cdot \frac{n - (k - 2)}{n} \dots \frac{n - 1}{n}}} = \frac{n!}{(n - k)! n^{k}} .$

Pour $k \in ⟦ 2; n ⟧$ , on obtient

$P (T = k)$ $= P (T > k - 1) - P (T > k)$

$= \frac{n!}{(n - k + 1)! n^{k - 1}} - \frac{n!}{(n - k)! n^{k}} = \frac{(k - 1) n!}{(n - k + 1)! n^{k}} .$

Exercice 4 5218

(Fonction caractéristique)

On appelle fonction caractéristique d’une variable aléatoire $X$ prenant un nombre fini de valeurs dans $ℤ$ , l’application $φ_{X} : ℝ \to ℂ$ définie par¹¹ 1 On admet que la notion d’espérance et les résultats associés se généralisent aux variables aléatoires à valeurs complexes.

φ_{X} (t) = E (e^{i t X}) .

(a)

Vérifier que $φ_{X}$ est $2 π$ -périodique et de classe $𝒞^{\infty}$ . Calculer $φ_{X} (0)$ et $φ_{X}^{'} (0)$ .
(b)

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $ℤ$ . Établir

$φ_{X + Y} = φ_{X} φ_{Y} .$
(c)

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $ℤ$ . Établir

$φ_{X} = φ_{Y} ⟹ X et Y suivent la même loi.$
(d)

Application : Retrouver par ces résultats que la somme de $n \geq 1$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p \in [0; 1]$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .

[<] Calcul de loi[>] Indépendance de variables aléatoires

Exercice 5 3975 Correction

On suppose que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n \in ℕ^{*}$ et $p \in [0; 1]$ .

Déterminer la loi suivie par la variable $Y = n - X$ .

Solution

Puisque $X (Ω) \subset ⟦ 0; n ⟧$ , on a aussi $Y (Ω) \subset ⟦ 0; n ⟧$ . Pour $k \in ⟦ 0; n ⟧$ ,

P (Y = k) = P (X = n - k) = (\binom{n}{n - k}) p^{n - k} {(1 - p)}^{k} = (\binom{n}{k}) {(1 - p)}^{k} {(1 - (1 - p))}^{n - k} .

La variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $q = 1 - p$ .

Exercice 6 5555 Correction

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires indépendantes uniformes sur ${- 1,1}$ et $S = X_{1} + \dots + X_{n}$ .

(a)

Déterminer la loi de $Y_{i} = (X_{i} + 1) / 2$ .
(b)

En déduire la loi de $S$ .

Solution

(a)

La variable aléatoire $Y_{i}$ prend ses valeurs dans ${0,1}$ et

$P (Y_{i} = 1) = P (X_{i} = 1) = \frac{1}{2} .$

La variable $Y_{i}$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $1 / 2$ .
(b)

Les variables $X_{1}, \dots, X_{n}$ étant indépendantes, il en est de même des variables $Y_{1}, \dots, Y_{n}$ . On sait alors que la variable $T = Y_{1} + \dots + Y_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $1 / 2$ . Puisque $S = 2 T - n$ , on peut déduire la loi de $T$ de celle de $S$ .

La variable $S$ prend ses valeurs dans ${2 k - n | k \in ⟦ 0; n ⟧}$ et

$P (S = 2 k - n) = P (T = k) = (\binom{n}{k}) \frac{1}{2^{k}} \cdot \frac{1}{2^{n - k}} = \frac{1}{2^{n}} (\binom{n}{k}) .$

Exercice 7 4624

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires indépendantes suivant toutes une même loi de Bernoulli de paramètre $p \in [0; 1]$ . On forme $U$ la colonne de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ dont les éléments sont les valeurs respectives des variables $X_{1}, \dots, X_{n}$ .

Donner la probabilité que $M = U U^{⊤}$ soit une matrice de projection.

Exercice 8 3836

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $⟦ 0; n ⟧$ . On suppose qu’il existe un réel $a$ tel que

P (X = k) = \frac{a}{k! (n - k)!} pour tout k \in ⟦ 0; n ⟧ .

Calculer l’espérance et la variance de $X$ .

Exercice 9 3369

Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale paramètres $n \in ℕ^{*}$ et $p \in] 0; 1 [$ .

Pour quelle valeur de l’entier $k \in ⟦ 0; n ⟧$ , la probabilité $P (X = k)$ est-elle maximale?

Exercice 10 5849 Correction

On effectue $n$ tirages successifs avec remise dans une contenant des boules blanches, rouges et vertes en proportion $p$ , $q$ et $r$ (avec $p + q + r = 1$ ).

On note $X$ et $Y$ les nombres de boules blanches et rouges obtenues.

(a)

Déterminer les lois des variables $X$ , $Y$ et $(X, Y)$ .
(b)

Les variables $X$ et $Y$ sont elles indépendantes?

Solution

(a)

Si l’on considère que tirer une boule blanche est un succès, la variable $X$ compte le nombre de succès lors de la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ . La variable $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ . De même, $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $q$ .

La variable $(X, Y)$ prend ses valeurs dans ${(k, ℓ) \in ℕ^{2} | k + ℓ \leq n}$ .

Soit $(k, ℓ)$ un couple de cet ensemble. Calculons $P (X = k, Y = ℓ)$ .

Par la formule des probabilités composées,

$P (X = k, Y = ℓ) = P (X = k) P (Y = ℓ ∣ X = k) .$

Pour la probabilité conditionnelle $P_{(X = k)}$ , la variable $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n - k$ et $q / (q + r)$ (car il s’agit de tirages dans une urne contenant uniquement des boules rouges et vertes). On a donc

$P (X = k, Y = ℓ)$ $= (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{ℓ}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} \frac{q^{ℓ}}{{(q + r)}^{ℓ}} {(\frac{r}{(q + r)})}^{n - k - ℓ}$

$= \frac{n!}{k! ℓ! (n - k - ℓ)!} p^{k} q^{ℓ} r^{n - k - ℓ} .$
(b)

Les variables $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes car $P (X = n, Y = n) = 0$ alors que $P (X = n) P (Y = n) > 0$ .

Exercice 11 3846 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire binomiale de paramètres $n$ et $p$ avec $p \in] 0; 1 [$ . On note

b (k, n, p) = P (X = k) .

(a)

Pour quelle valeur $m$ de $k$ , le coefficient $b (k, n, p)$ est-il maximal?
(b)

Étudier la monotonie de la fonction $f : x \mapsto x^{m} {(1 - x)}^{n - m}$ sur $[0; 1]$ .
(c)

Vérifier que si $m \in [n p; (n + 1) p]$ alors

$b (m, n, \frac{m}{n + 1}) \leq b (m, n, p) \leq b (m, n, \frac{m}{n}) .$
(d)

Proposer en encadrement analogue pour $m \in [(n + 1) p - 1; n p]$ .
(e)

On donne la formule de Stirling

$n! \sim \sqrt{2 π n} n^{n} e^{- n} .$

Donner un équivalent simple de $b (m, n, p)$ .

Solution

Rappelons

b (k, n, p) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} .

(a)

Pour $k \in ⟦ 1; n ⟧$ , on a

$\frac{b (k, n, p)}{b (k - 1, n, p)} = \frac{n + 1 - k}{k} \frac{p}{1 - p}$

donc

$\frac{b (k, n, p)}{b (k - 1, n, p)} \geq 1 \Leftrightarrow k \leq (n + 1) p .$

La suite finie ${(b (k, n, p))}_{0 \leq k \leq n}$ est donc croissante jusqu’au plus grand entier $m$ inférieur à $(n + 1) p$ puis devient décroissante ensuite. On peut donc affirmer

$m = ⌊ (n + 1) p ⌋ .$
(b)

La fonction $f$ est dérivable avec

$f^{'} (x) = (m - n x) x^{m - 1} {(1 - x)}^{n - m - 1} .$

La fonction $f$ est donc croissante sur $[0; m / n]$ et décroissante sur $[m / n; 1]$ .
(c)

Si $m \in [n p; (n + 1) p]$ alors $m / (n + 1) \leq p \leq m / n$ et puisque $f$ est croissante sur $[0; m / n]$

$f (m / (n + 1)) \leq f (p) \leq f (m / n)$

ce qui conduit à l’encadrement demandé.
(d)

Si $m \in [(n + 1) p - 1; n p]$ alors $m / n \leq p \leq (m + 1) / (n + 1)$ et par décroissance de $f$ sur $[m / n; 1]$ , on obtient

$b (m, n, \frac{m + 1}{n + 1}) \leq b (m, n, p) \leq b (m, n, \frac{m}{n}) .$
(e)

Quand $n \to + \infty$ , on a $m = ⌊ (n + 1) p ⌋ \sim n p \to + \infty$ et $n - m \sim n (1 - p) \to + \infty$ ce qui permet d’écrire simultanément

$n! \sim \sqrt{2 π n} n^{n} e^{- n}, m! \sim \sqrt{2 π m} m^{m} e^{- m} et$

$(n - m)! \sim \sqrt{2 π (n - m)} {(n - m)}^{n - m} e^{n - m} .$

On en déduit après calcul

$b (m, n, \frac{m}{n}) \sim \sqrt{\frac{n}{2 π m (n - m)}} \sim \frac{1}{\sqrt{2 π n p (1 - p)}} .$

On obtient les mêmes équivalents pour

$b (m, n, \frac{m}{n + 1}) et b (m, n, \frac{m + 1}{n + 1})$

et l’on peut donc conclure par encadrement

$b (m, n, p) \sim \frac{1}{\sqrt{2 π n p (1 - p)}} .$

Exercice 12 4125 Correction

Un étudiant résout un QCM constitué de $n$ questions offrant chacune quatre réponses possibles. Pour chaque question, et indépendamment les unes des autres, il a la probabilité $p$ de savoir résoudre celle-ci. Dans ce cas il produit la bonne réponse. Si en revanche, il ne sait pas résoudre la question, il choisit arbitrairement l’une des quatre réponses possibles. On note $X$ la variable aléatoire déterminant le nombre de questions qu’il savait résoudre et $Y$ le nombre de questions qu’il a correctement résolues parmi celles où il a répondu « au hasard ».

(a)

Reconnaître la loi de $Z = X + Y$ .
(b)

Calculer espérance et variance de $Z$ .

Solution

Compte tenu de l’expérience modélisée, on peut affirmer que la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} .

De plus, pour $k \in ⟦ 0; n ⟧$ , si l’événement $(X = k)$ est réalisé, il y a $n - k$ questions pour lesquelles l’étudiant répond au hasard avec une probabilité $1 / 4$ de réussir:

P (Y = j ∣ X = k) = (\binom{n - k}{j}) {(\frac{1}{4})}^{j} {(\frac{3}{4})}^{n - k - j} avec j \in ⟦ 0; n - k ⟧ .

(a)

La variable $Z$ prend ses valeurs dans $⟦ 0; n ⟧$ .
Pour $k \in ⟦ 0; n ⟧$ , l’événement $(Z = k)$ peut être décomposé en la réunion disjointe des événements

$(X = j, Y = k - j) avec j \in {0,1, \dots, k} .$

Ainsi,

$P (Z = k) = \sum_{j = 0}^{k} P (X = j, Y = k - j) .$

Par probabilité composées

$P (X = j, Y = k - j) = P (Y = k - j ∣ X = j) P (X = j) .$

Ainsi,

$P (Z = k) = \sum_{j = 0}^{k} (\binom{n - j}{k - j}) {(\frac{1}{4})}^{k - j} {(\frac{3}{4})}^{n - k} (\binom{n}{j}) p^{j} {(1 - p)}^{n - j} .$

Or

$(\binom{n - j}{k - j}) (\binom{n}{j}) = \frac{n!}{(k - j)! (n - k)! j!} = (\binom{k}{j}) (\binom{n}{k}) .$

On en déduit

$P (Z = k) = (\binom{n}{k}) {(1 - p)}^{n - k} {(\frac{3}{4})}^{n - k} \sum_{j = 0}^{k} (\binom{k}{j}) {(\frac{1}{4} (1 - p))}^{k - j} p^{j} .$

Par la formule du binôme

$P (Z = k) = (\binom{n}{k}) {(1 - p)}^{n - k} {(\frac{3}{4})}^{n - k} {(\frac{1}{4} (1 - p) + p)}^{k} .$

On simplifie

$P (Z = k) = (\binom{n}{k}) q^{k} {(1 - q)}^{n - k} avec q = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} p .$
(b)

On a alors

$E (Z) = \frac{(3 p + 1) n}{4} et V (Z) = \frac{3 n (3 p + 1) (1 - p)}{16} .$

Exercice 13 4615

Le standardiste d’un centre d’appel téléphonique d’un service après-vente a la probabilité $p \in] 0; 1 [$ d’apporter une solution à l’appel d’un client. Lorsqu’il n’y parvient pas, il transmet l’appel à un spécialiste qui a la probabilité $q \in] 0; 1 [$ de résoudre le problème posé. Si ce dernier n’y parvient pas, un réparateur est envoyé au domicile du client.

On suppose que le centre d’appel a été contacté $n$ fois. Déterminer la loi de la variable aléatoire $N$ donnant le nombre d’interventions du réparateur.

Exercice 14 4118 Correction

Un archer tire sur $n$ cibles. À chaque tir, il a la probabilité $p$ de toucher la cible et les tirs sont supposés indépendants. Il tire une première fois sur chaque cible et l’on note $X$ le nombre de cibles atteintes lors de ce premier jet. L’archer tire ensuite une seconde fois sur les cibles restantes et l’on note $Y$ le nombre de cibles touchés lors de cette tentative. Déterminer la loi de la variable $Z = X + Y$ .

Solution

La modélisation entraîne que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ :

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} avec k \in ⟦ 0; n ⟧ .

La variable aléatoire $Y$ n’est quant à elle bien connue que lorsque le nombre $n - X$ de cibles restant l’est, elle suit alors une loi de Bernoulli

P (Y = ℓ ∣ X = k) = (\binom{n - k}{ℓ}) p^{ℓ} {(1 - p)}^{n - k - ℓ} avec ℓ \leq n - k .

Par probabilités totales

P (Z = m) = \sum_{k = 0}^{m} P (X = k, Y = m - k) .

Par probabilités composées

P (Z = m) = \sum_{k = 0}^{m} P (X = k) P (Y = m - k ∣ X = k) .

Ceci donne

P (Z = m) = \sum_{k = 0}^{m} (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{m - k}) p^{m} {(1 - p)}^{2 n - k - m} .

(\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{m - k}) = \frac{n!}{k! (m - k)! (n - m)!} = (\binom{n}{m}) (\binom{m}{k})

et donc

P (Z = m) = (\binom{n}{m}) p^{m} {(1 - p)}^{2 n - m} \times \sum_{k = 0}^{m} (\binom{m}{k}) {(\frac{1}{1 - p})}^{k} .

Par la formule du binôme

P (Z = m) = (\binom{n}{m}) p^{m} {(1 - p)}^{2 n - m} \frac{{(2 - p)}^{m}}{{(1 - p)}^{m}} = (\binom{n}{m}) q^{m} {(1 - q)}^{n - m}

avec $q = p (2 - p)$ .
La variable $Z$ suit une loi binomiale.

Exercice 15 4191 Correction

Soient $p, q \in] 0; 1 [$ .

(a)

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Bernoulli de paramètres $p$ et $q$ . Identifier la loi suivie par la variable $Z = \max (X, Y)$ .

Deux archers tirent indépendamment sur $n$ cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité $p$ de toucher, le second la probabilité $q$ .

(b)

Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées au moins une fois?
(c)

Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées deux fois?

Solution

(a)

$Z (Ω) \subset {0,1}$ et $P (Z = 0) = P (X = 0, Y = 0)$ . Par indépendance

$P (Z = 0) = P (X = 0) P (Y = 0) = (1 - p) (1 - q) .$

On en déduit que $Z$ suit une loi de Bernoulli de paramètre

$r = 1 - (1 - p) (1 - q) = p + q - p q .$
(b)

Numérotons les cibles de $1$ à $n$ et définissons les variables aléatoires $X_{i}$ et $Y_{i}$ déterminant si la cible $i$ est touchée par l’un ou l’autre des deux archers. Ces variables sont indépendantes, $X_{i}$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ et $Y_{i}$ de paramètre $q$ . La variable $Z_{i} = \max (X_{i}, Y_{i})$ détermine si une cible a été touchée au moins une fois. Le nombre de cibles touchées au moins une fois est donc

$N = \sum_{i = 1}^{n} Z_{i} .$

Les variables $Z_{i}$ étant indépendantes, la variable $N$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $r = p + q - p q$ .
(c)

On pose $T_{i} = X_{i} Y_{i}$ : $T_{i}$ est une variable de Bernoulli qui indique si la cible $i$ est touchée deux fois. Par indépendance, $T_{i}$ suit une loi de paramètre $p q$ et le nombre $M$ de cibles touchées deux fois suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p q$ .

Exercice 16 4614

Deux archers tirent indépendamment sur $n$ cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité $p$ de toucher et le second la probabilité $q$ .

Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées au moins une fois?

Exercice 17 4626

(Théorème de Weierstrass)

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ .

Pour $n \in ℕ^{*}$ et $x \in [0; 1]$ , on introduit une variable aléatoire $X_{n} = S_{n} / n$ où $S_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $x$ .

(a)

Vérifier que $B_{n} (f) : x \mapsto E (f (X_{n}))$ est une fonction polynomiale sur $[0; 1]$ .
(b)

Justifier l’existence de deux réels $M, M^{'} \in ℝ_{+}$ vérifiant

$\forall x \in [0; 1], | f (x) | \leq M et \forall (x, y) \in {[0; 1]}^{2}, | f (y) - f (x) | \leq M^{'} | y - x | .$
(c)

Soient $x \in [0; 1]$ , $α > 0$ et l’événement $A_{n} = (| X_{n} - x | \leq α)$ . Montrer

$E (| f (X_{n}) - f (x) | 1_{A_{n}}) \leq M^{'} α et E (| f (X_{n}) - f (x) | 1_{\bar{A_{n}}}) \leq \frac{M}{2 n α^{2}} .$
(d)

En déduire

$sup_{x \in [0; 1]} | B_{n} (f) (x) - f (x) | \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

[<] Loi binomiale[>] Loi conjointe

Exercice 18 3974 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires finies sur un espace $Ω$ . On suppose

\forall (x, y) \in X (Ω) \times Y (Ω), P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y) .

Montrer que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Solution

Soient $A \subset {x_{1}, \dots, x_{n}}$ et $B \subset {y_{1}, \dots y_{m}}$ . On a

(X = A) \cap (Y = B) = (⋃_{x \in A} X = x) \cap (⋃_{y \in B} Y = y) .

En développant

(X = A) \cap (Y = B) = ⋃_{(x, y) \in A \times B} (X = x) \cap (Y = y) .

Cette réunion étant disjointe

P (X = A, Y = B) = \sum_{(x, y) \in A \times B} P (X = x) P (Y = y)

et donc

P (X = A, Y = B) = \sum_{x \in A} P (X = x) \sum_{y \in B} P (Y = y) .

Finalement,

P (X = A, Y = B) = P (X = A) P (Y = B) .

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont donc bien indépendantes.

Exercice 19 4618

Deux joueurs lancent chacun $n$ fois une pièce équilibrée. On note $X$ le nombre de côtés faces obtenus par le premier joueur et $Y$ celui du second.

(a)

Calculer $P (X = Y)$ .
(b)

En déduire $P (X \leq Y)$ .

Exercice 20 3825 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires prenant pour valeurs $a_{1}, \dots, a_{n}$ avec

P (X = a_{i}) = P (Y = a_{i}) = p_{i} .

On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.
Montrer que

P (X \neq Y) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} (1 - p_{i}) .

Solution

L’événement ${X = Y}$ se décompose en les événements incompatibles ${X = a_{i} \cap Y = a_{i}}$ .
Par hypothèse d’indépendance

P ({X = a_{i} \cap Y = a_{i}}) = P ({X = a_{i}}) P ({Y = a_{i}}) = p_{i}^{2}

donc

P ({X = Y}) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{2}

puis par complémentation

P ({X \neq Y}) = 1 - \sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{2} .

Enfin, on conclut sachant

1 = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} .

Exercice 21 3973 Correction

Montrer que deux évènements sont indépendants si, et seulement si, leurs fonctions indicatrices définissent des variables aléatoires indépendantes.

Solution

Soient $A, B$ deux évènements de l’espace probabilisé $(Ω, P)$ .
Supposons les fonctions indicatrices $1_{A}$ et $1_{B}$ indépendantes. On a

P (1_{A} = {1,1}_{B} = 1) = P (1_{A} = 1) P (1_{B} = 1)

ce qui se relit

P (A \cap B) = P (A) P (B) .

Inversement, supposons les évènements $A$ et $B$ indépendants. On sait qu’alors

P (A \cap B) = P (A) P (B), P (\bar{A} \cap B) = P (\bar{A}) P (B), .

P (A \cap \bar{B}) = P (A) P (\bar{B}) et P (\bar{A} \cap \bar{B}) = P (\bar{A}) P (\bar{B}) .

Ceci se relit

	$P (1_{A} = {1,1}_{B} = 1)$	$= P (1_{A} = 1) P (1_{B} = 1),$
	$P (1_{A} = {0,1}_{B} = 1)$	$= P (1_{A} = 0) P (1_{B} = 1),$
	$P (1_{A} = {1,1}_{B} = 0)$	$= P (1_{A} = 1) P (1_{B} = 0) et$
	$P (1_{A} = {0,1}_{B} = 0)$	$= P (1_{A} = 0) P (1_{B} = 0) .$

On en déduit que les variables aléatoires $1_{A}$ et $1_{B}$ sont indépendantes.

Exercice 22 3818 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes.
Les variables aléatoires $X + Y$ et $X - Y$ sont-elles indépendantes?

Solution

La réponse est négative en général.
Supposons que $X$ et $Y$ suivent des lois de Bernoulli de paramètre $1 / 2$ .
On a

P (X + Y = 2) = P (X = 1) P (Y = 1) = 1 / 4

P (X - Y = 0) = P (X = 0) P (Y = 0) + P (X = 1) P (Y = 1) = 1 / 2 .

Or l’événement $X + Y = 2$ est inclus dans l’événement $X - Y = 0$ donc

P (X + Y = 2 \cap X - Y = 0) = P (X + Y = 2)

et l’on constate

P (X + Y = 2 \cap X - Y = 0) \neq P (X + Y = 2) P (X - Y = 0) .

Exercice 23 3981 Correction

Soient $X$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini $(Ω, P)$ et $f$ une application définie sur $X (Ω)$ .

À quelle condition les variables aléatoires $X$ et $f (X)$ sont-elles indépendantes?

Solution

Supposons les variables aléatoires $X$ et $f (X)$ indépendantes.

Soit $ω \in Ω$ vérifiant $P ({ω}) > 0$ . Posons $x = X (ω)$ et $y = f (x)$ .

On a

P (f (X) = y ∣ X = x) = \frac{P (f (X) = y \cap X = x)}{P (X = x)} .

Or ${X = x} \subset {f (X) = y}$ , donc

P (f (X) = y ∣ X = x) = 1 .

Cependant, les variables $X$ et $f (X)$ étant supposées indépendantes

P (f (X) = y ∣ X = x) = P (f (X) = y) .

Ainsi, $f (X) = y$ presque sûrement.

La réciproque est immédiate et donc $X$ et $f (X)$ sont indépendantes si, et seulement si, $f (X)$ est presque sûrement constante.

[<] Indépendance de variables aléatoires[>] Espérance

Exercice 24 4580

On lance deux dés équilibrés et l’on note $Y$ et $Z$ la plus petite et la plus grande des valeurs obtenues.

(a)

Par un tableau, déterminer la loi conjointe de $Y$ et $Z$ .
(b)

En déduire les lois de $Y$ et $Z$ .
(c)

Déterminer les lois de $Z$ sachant $Y$ .

Exercice 25 5216 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs respectivement dans $⟦ 1; n ⟧$ et $⟦ 1; m ⟧$ (avec $n, m \in ℕ^{*}$ ). On suppose que pour tout $(i, j) \in ⟦ 1; n ⟧ \times ⟦ 1; m ⟧$ ,

P (X = i, Y = j) = \frac{1}{n m} .

(a)

Montrer que les lois marginales de $(X, Y)$ sont uniformes et indépendantes.
(b)

Inversement, on suppose que $X$ et $Y$ sont des variables indépendantes suivant des lois uniformes. La loi conjointe de $X$ et $Y$ est-elle uniforme?

Solution

(a)

Pour $i \in ⟦ 1; n ⟧$ ,

$P (X = i) = \sum_{j = 1}^{m} P (X = i, Y = j) = \sum_{j = 1}^{m} \frac{1}{m n} = \frac{1}{n} .$

La variable $X$ suit une loi uniforme sur $⟦ 1; n ⟧$ . Par un calcul analogue, on vérifie que $Y$ suit une loi uniforme sur $⟦ 1; m ⟧$ . De plus, pour tout $(i, j) \in ⟦ 1; n ⟧ \times ⟦ 1; m ⟧$ ,

$P (X = i, Y = j) = \frac{1}{n m} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m} = P (X = i) P (Y = j) .$

Les variables aléatoires sont indépendantes.
(b)

Supposons que $X$ suit une loi uniforme sur un ensemble (fini) $E$ et $Y$ sur un ensemble (fini) $F$ . Supposons au surplus les variables $X$ et $Y$ indépendantes.

Posons $n = Card (E)$ et $m = Card (F)$ . Pour tout $(x, y) \in E \times F$ ,

$P ((X, Y) = (x, y)) = P (X = x) P (Y = y) = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m} = \frac{1}{n m} = \frac{1}{Card (E \times F)} .$

Ainsi, $(X, Y)$ suit une loi uniforme sur $E \times F$ .

Exercice 26 4619

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $⟦ 1; n ⟧$ telle que chaque élément de $⟦ 1; n ⟧$ soit une valeur prise par $X$ avec une probabilité non nulle. Aussi, soit $Y$ une variable aléatoire telle que, pour tout $k \in ⟦ 1; n ⟧$ , la loi de $Y$ sachant $(X = k)$ est uniforme sur $⟦ 1; k ⟧$

(a)

Exprimer la loi de $Y$ en fonction de celle de $X$ .
(b)

En déduire l’espérance de $Y$ en fonction de celle de $X$ .
(c)

Retrouver ce résultat en considérant la variable $Z = X + 1 - Y$ .

Exercice 27 3817

Deux variables aléatoires¹¹ 1 À défaut de précision, les variables aléatoires introduites sont toujours supposées définies sur un même espace probabilisé fini $(Ω, P)$ . indépendantes $X$ et $Y$ suivent des lois binomiales de tailles $n$ et $m$ et de même probabilité de réussite $p \in] 0; 1 [$ .

(a)

Identifier la loi suivie par la variable aléatoire $S = X + Y$ .
(b)

Soit $s \in ⟦ 0; n + m ⟧$ . Calculer la loi de $X$ pour la probabilité conditionnelle $P_{(S = s)}$ .

[<] Loi conjointe[>] Calcul d'espérances et de variances

Exercice 28 4616

Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $⟦ 0; n ⟧$ . Établir

E (X) = \sum_{k = 1}^{n} P (X \geq k) .

Exercice 29 3835 Correction

Soit $N \in ℕ^{*}$

(a)

Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans ${1,2, \dots, N}$ . Établir

$E (X) = \sum_{n = 0}^{N - 1} P (X > n) .$
(b)

Application : Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur ${1,2, \dots, N}$ . Calculer l’espérance de la variable $Z = \min (X, Y)$ .

Solution

(a)

Notons $p_{n} = P (X = n)$ . On a par définition

$E (X) = \sum_{n = 1}^{N} n p_{n} = \sum_{n = 1}^{N} n p_{n} .$

Or ${X = n} = {X > n - 1} ∖ {X > n}$ donc

$p_{n} = P (X > n - 1) - P (X > n)$

donc

$E (X) = \sum_{n = 1}^{N} n P (X > n - 1) - \sum_{n = 1}^{N} n P (X > n) .$

Par décalage d’indice dans la première somme

$E (X) = \sum_{n = 0}^{N - 1} (n + 1) P (X > n) - \sum_{n = 1}^{N} n P (X > n) .$

En supprimant le dernier terme assurément nul de la deuxième somme et en y ajoutant un terme nul correspondant à l’indice 0

$E (X) = \sum_{n = 0}^{N - 1} (n + 1) P (X > n) - \sum_{n = 0}^{N - 1} n P (X > n) .$

Enfin, en combinant ces sommes

$E (X) = \sum_{n = 0}^{N - 1} P (X > n) .$
(b)

On applique la formule précédente en remarquant

$(\min (X, Y) > n) = (X > n) \cap (Y > n) .$

Par indépendance des variables $X$ et $Y$ ,

$P (\min (X, Y) > n) = P (X > n) P (Y > n) = {(\frac{N - n}{N})}^{2} .$

Par renversement d’indice,

$E (Z) = \sum_{n = 1}^{N} P (Z > n) = \sum_{n = 1}^{N} {(\frac{N - n}{N})}^{2} = \sum_{k = 1}^{N} \frac{k^{2}}{N^{2}} = \frac{(N + 1) (2 N + 1)}{6 N} .$

Exercice 30 3833 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini. Établir

E {(X)}^{2} \leq E (X^{2}) .

Solution

Par la formule de Huygens,

V (X) = E ((X - E {(X)}^{2})) = E (X^{2}) - E {(X)}^{2} \geq 0 .

Exercice 31 3992

Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires réelles. On suppose que $E (X_{1}^{k}) = E (X_{2}^{k})$ pour tout $k \in ℕ$ .

Montrer que les variables $X_{1}$ et $X_{2}$ suivent les mêmes lois.

Exercice 32 4617

Deux variables aléatoires réelles indépendantes $X$ et $Y$ prennent leurs valeurs dans un ensemble $E$ et suivent une même loi.

(a)

Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles croissantes définies sur $E$ . En étudiant l’espérance de $Z = (f (Y) - f (X)) (g (Y) - g (X))$ , établir

$E (f (X) g (X)) \geq E (f (X)) E (g (X)) .$
(b)

Application : On suppose que $X$ prend ses valeurs dans $E \subset ℝ_{+}^{*}$ . Montrer

$E (X) E (\frac{1}{X}) \geq 1 .$

Exercice 33 3847 Correction

(Fonction caractéristique)

Dans cet exercice, les variables aléatoires sont toutes supposées prendre un nombre fini de valeurs dans $ℤ$ .

On appelle fonction caractéristique d’une variable aléatoire $X$ l’application $φ_{X} : ℝ \to ℂ$ définie par

φ_{X} (u) = E (e^{i u X}) .

(a)

Vérifier que $φ_{X}$ est $2 π$ -périodique et de classe $𝒞^{\infty}$ .

Calculer $φ_{X} (0)$ . Comment interpréter $φ_{X}^{'} (0)$ et $φ_{X}^{''} (0)$ ?
(b)

Calculer la fonction caractéristique d’une variable $X$ suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$ .

Même question avec une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .
(c)

Soient $X$ une variable aléatoire réelle et $x_{0}$ un entier. Vérifier

$P (X = x_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} φ_{X} (u) e^{- i u x_{0}} d u .$

En déduire

$φ_{X} = φ_{Y} ⟹ X et Y suivent la même loi.$
(d)

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes. Vérifier

$φ_{X + Y} = φ_{X} φ_{Y} .$
(e)

Exploiter ce résultat pour retrouver la fonction caractéristique d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

Solution

(a)

Notons $x_{1}, \dots, x_{n}$ les valeurs (entières) prises par $X$ . On a

$φ_{X} (u) = \sum_{k = 1}^{n} e^{i u x_{k}} P (X = x_{k}) .$

La fonction $φ_{X}$ est alors combinaison linéaire de fonctions $2 π$ -périodiques (car $x_{k} \in ℤ$ ) et de classe $𝒞^{\infty}$ .

$φ_{X} (0) = E (1) = 1, φ_{X}^{'} (0) = \sum_{k = 1}^{n} i x_{k} P (X = x_{k}) = i E (X) et φ_{X}^{''} (0) = - E (X^{2}) .$
(b)

Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$

$φ_{X} (u) = (1 - p) + p e^{i u} .$

Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$

$φ_{X} (u) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} e^{i k u} = {(1 - p + p e^{i u})}^{n} .$
(c)

Avec les notations qui précèdent

$\int_{0}^{2 π} φ_{X} (u) e^{- i u x_{0}} d u = \sum_{k = 0}^{n} P (X = x_{k}) \int_{0}^{2 π} e^{i u (x_{k} - x_{0})} d u .$

Puisque $x_{k} - x_{0}$ est un entier

$\int_{0}^{2 π} e^{i u (x_{k} - x_{0})} d u = {\begin{matrix} 0 & si x_{k} \neq x_{0} \\ 2 π & si x_{k} = x_{0} \end{matrix}$

et donc

$\int_{0}^{2 π} φ_{X} (u) e^{- i u x_{0}} d u = 2 π P (X = x_{0}) .$

Si $φ_{X} = φ_{Y}$ alors

$\forall x_{0} \in ℤ, P (X = x_{0}) = P (Y = x_{0})$

et donc $X$ et $Y$ suivent la même loi.
(d)

Notons que $X + Y$ prend ses valeurs dans $ℤ$ comme $X$ et $Y$ .

$φ_{X + Y} (u) = E (e^{i u (X + Y)}) = E (e^{i u X} e^{i u Y}) = E (e^{i u X}) E (e^{i u Y}) = φ_{X} (u) φ_{Y} (u)$

car les variables $X$ et $Y$ sont supposées indépendantes.
(e)

Une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ peut se comprendre comme la somme de $n$ loi de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ .
Avec cet exercice, on perçoit la trace dans une situation particulière de résultats beaucoup plus généraux. Il est assez fréquent d’étudier une variable aléatoire par la fonction caractéristique associée.

[<] Espérance[>] Covariance

Exercice 34 4612

Soient $a \leq b$ deux entiers. Calculer l’espérance et la variance d’une variable $X$ suivant une loi uniforme sur $⟦ a; b ⟧$ .

Exercice 35 3838 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire binomiale de taille $n$ et de paramètre $p \in] 0; 1 [$ .
Calculer l’espérance de la variable

Y = \frac{1}{X + 1} .

Solution

Puisque

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k}

l’espérance de $Y$ est donnée par

E (Y) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} .

(\binom{n + 1}{k + 1}) = \frac{n + 1}{k + 1} (\binom{n}{k})

donc

E (Y) = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n + 1}{k + 1}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k}

puis par glissement d’indice

E (Y) = \frac{1}{p (n + 1)} \sum_{k = 1}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{(n + 1) - k}

et enfin, par la formule du binôme de Newton, avec un terme manquant

E (Y) = \frac{1 - {(1 - p)}^{n + 1}}{p (n + 1)} .

Exercice 36 3980 Correction

Soient $p \in] 0; 1 [$ et ${(X_{k})}_{k \in ℕ^{*}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes vérifiant

P (X_{k} = 1) = p et P (X_{k} = - 1) = 1 - p .

(a)

Calculer l’espérance de $X_{k}$ .
(b)

On pose

$Y_{n} = \prod_{k = 1}^{n} X_{k} .$

En calculant de deux façons l’espérance de $Y_{n}$ , déterminer $p_{n} = P (Y_{n} = 1)$ .
(c)

Quelle est la limite de $p_{n}$ quand $n \to + \infty$ .

Solution

(a)

$E (X_{k}) = 1 \times p + (- 1) \times (1 - p) = 2 p - 1$ .
(b)

Par l’indépendance des variables

$E (Y_{n}) = \prod_{k = 1}^{n} E (X_{k}) = {(2 p - 1)}^{n} .$

Aussi $Y_{n} \in {1, - 1}$ et

$E (Y_{n}) = 1 \times p_{n} + (- 1) \times (1 - p_{n}) = 2 p_{n} - 1 .$

On en déduit

$p_{n} = \frac{1 + {(2 p - 1)}^{n}}{2} .$
(c)

Puisque $| p | < 1$ , $p_{n} \to 1 / 2$ .

Exercice 37 3839

Une population de $N$ individus est infectée par un virus dans une faible proportion $p$ . Des analyses sanguines permettent de détecter la présence du virus dans n’importe quel échantillon. Afin de réduire le nombre d’analyses, on se propose de déterminer les individus malades en réunissant ceux-ci par groupes de $n$ et, pour simplifier l’étude, on suppose que $n$ divise $N$ . On rassemble une partie des échantillons sanguins des individus de chaque groupe et l’on teste l’échantillon obtenu. Si le résultat du groupe est positif, on analyse chacun des échantillons des individus du groupe.

(a)

Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de groupes positifs.
(b)

On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre d’analyses effectuées. Calculer l’espérance de $Y$ en fonction de $n, N$ et $p$ .
(c)

Que vaut cette espérance pour les valeurs $N = 1 000$ , $n = 10$ et $p = 0,01$ ?

Exercice 38 5474 MINES (PC)Correction

On dispose de $m$ chaussettes que l’on range aléatoirement dans une commode comportant $n$ tiroirs numérotés de $1$ à $n$ .

(a)

Pour $k \in ⟦ 1; n ⟧$ , déterminer la loi de la variable $X_{k}$ donnant le nombre de chaussettes rangées dans le tiroir $k$ .
(b)

Donner l’espérance de la variable $Y$ déterminant le nombre de tiroirs vides.

Solution

(a)

Pour $k \in ⟦ 1; n ⟧$ , ranger une chaussette dans le tiroir $k$ peut s’interprèter comme un succès qui a lieu avec la probabilité $p = 1 / n$ . L’énoncé laisse entendre l’indépendance des rangements des chaussettes et chaque $X_{k}$ suit donc une loi binomiale de paramètres $m$ et $p = 1 / n$ .
(b)

On peut écrire

$Y = \sum_{i = 1}^{n} 1_{(X_{i} = 0)} .$

Par linéarité de l’espérance,

$E (Y) = \sum_{i = 1}^{n} E (1_{(X_{i} = 0)}) = \sum_{i = 1}^{n} P (X_{i} = 0) = n {(1 - \frac{1}{n})}^{m} .$

Exercice 39 5217

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi uniforme sur $⟦ 1; n ⟧$ .

(a)

Déterminer l’espérance de $Z = \min (X, Y)$ .
(b)

En déduire les espérances de $\max (X, Y)$ et de $| Y - X |$ .

Exercice 40 3987 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $⟦ 1; n ⟧$ .

(a)

Exprimer $E (X)$ en fonction de $P (X \geq k)$ .
(b)

On suppose les variables $X$ et $Y$ uniformes.
Déterminer l’espérance de $\min (X, Y)$ puis de $\max (X, Y)$ .
Déterminer aussi l’espérance de $| X - Y |$ .

Solution

(a)

En écrivant

$P (X = k) = P (X \geq k) - P (X \geq k + 1)$

on obtient

$E (X) = \sum_{k = 1}^{n} k P (X = k) = \sum_{k = 1}^{n} P (X \geq k) .$
(b)

Par la propriété au-dessus

$E (\min (X, Y)) = \sum_{k = 1}^{n} P (X \geq k et Y \geq k) = \sum_{k = 1}^{n} P (X \geq k) P (Y \geq k) .$

Puisque

$P (X \geq k) = P (Y \geq k) = \frac{n + 1 - k}{n}$

on obtient

$E (\min (X, Y)) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} {(n + 1 - k)}^{2} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{6 n} .$

Aussi

$\min (X, Y) + \max (X, Y) = X + Y$

donc

$E (\max (X, Y)) = n + 1 - \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{6 n} = \frac{(n + 1) (4 n - 1)}{6 n} .$

Encore

$\min (X, Y) = \frac{1}{2} ((X + Y) - | X - Y |)$

donc

$E (| X - Y |) = n + 1 - \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{3 n} = \frac{n^{2} - 1}{3 n} .$

Exercice 41 5682 ENSTIM (MP)Correction

Soient $m, n \in ℕ^{*}$ avec $m \leq n$ .

On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ indépendantes suivant chacune une loi uniforme sur $⟦ 1; n ⟧$

On pose

Z (ω) = {\begin{matrix} X (ω) & si Y (ω) \leq m \\ Y (ω) & sinon. \end{matrix}

(a)

Déterminer la loi de $Z$ .
(b)

Calculer les espérances des variables $X$ , $Y$ et $Z$ .
(c)

Trouver la valeur de $m$ maximisant l’espérance de $Z$ .

Solution

(a)

On a $Z (Ω) \subset ⟦ 1; n ⟧$ et, pour $k \in ⟦ 1; n ⟧$ ,

$P (Z = k)$ $= P (Z = k, Y \leq m) + P (Z = k, Y > m)$

$= P (X = k, Y \leq m) + P (Y = k, Y > m)$

$= P (X = k, Y \leq m) + P (Y = k, Y > m)$

$= P (X = k) P (Y \leq m) + P (Y = k, Y > m) .$

Si $k \leq m$ , l’événement $(Y = k, Y > m)$ est impossible et

$P (Z = k) = P (X = k) P (Y \leq m) = \frac{1}{n} \cdot \frac{m}{n} = \frac{m}{n^{2}} .$

Si $k > m$ , l’événement $(Y = k, Y > m)$ se résume à $(Y = k)$ et donc

$P (Z = k) = P (X = k) P (Y \leq m) + P (Y = k) = \frac{1}{n} \cdot \frac{m}{n} + \frac{1}{n} = \frac{m}{n^{2}} + \frac{1}{n} .$
(b)

Les espérances de $X$ et $Y$ sont connues

$E (X) = E (Y) = \frac{n + 1}{2} .$

L’espérance de $Z$ s’obtient par calcul

$E (Z)$ $= \sum_{k = 1}^{n} k P (Z = k) = \sum_{k = 1}^{m} \frac{k m}{n^{2}} + \sum_{k = m + 1}^{n} (\frac{k m}{n^{2}} + \frac{k}{n})$

$= \sum_{k = 1}^{n} \frac{k m}{n^{2}} + \sum_{k = m + 1}^{n} \frac{k}{n}$

$= \frac{m (n + 1)}{2 n} + \frac{(m + n + 1) (n - m)}{2 n}$

$= \frac{n^{2} - m^{2} + m n + n}{2 n} .$
(c)

Le trinôme $- x^{2} + n x + n^{2} + n$ est maximal pour $x = n / 2$ . Sachant que $m$ est un entier, l’espérance de $Z$ est maximale pour $m = n / 2$ ou $m = (n - 1) / 2$ selon que $n$ est pair ou impair.

Exercice 42 3837

Une urne contient $b \geq 1$ boules blanches et $r \geq 1$ boules rouges. On tire simultanément $n$ boules dans cette urne et l’on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues.

Déterminer l’espérance et la variance de la variable $X$ .

Exercice 43 3984

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires réelles indépendantes suivant une même loi d’espérance $μ$ et de variance $σ^{2}$ .

(a)

Calculer l’espérance de la variable

$M_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} .$

On dit que $M_{n}$ est un estimateur de l’espérance $μ$ .
(b)

Calculer la variance de $M_{n}$ .
(c)

Pour quelle valeur du réel $λ$ , la variable aléatoire

$V_{n} = λ \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - M_{n})}^{2}$

peut-elle être considérée comme un estimateur de la variance $σ^{2}$ ?

Exercice 44 5064

M. Atchoum dispose d’un paquet de $N$ mouchoirs en papier dans chacune des poches droite et gauche de son pantalon. Chaque fois qu’il éternue, il choisit une poche au hasard pour prendre un mouchoir. Il répète cela jusqu’à ce qu’il vide l’un des paquets. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de mouchoirs restant alors dans l’autre paquet.

(a)

Exprimer la loi de $X$ .
(b)

Montrer que pour tout $k \in ⟦ 1; N ⟧$ ,

$(2 N - k - 1) P (X = k + 1) = 2 (N - k) P (X = k) .$
(c)

Calculer l’espérance de $X$ .

Exercice 45 4621

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}, X_{n + 1}$ des variables aléatoires indépendantes suivant chacune des lois de Bernoulli de même paramètre $p \in [0; 1]$ . Pour tout $k \in ⟦ 1; n ⟧$ , on pose $Y_{k} = X_{k} X_{k + 1}$ . Calculer la variance de $S_{n} = Y_{1} + \dots + Y_{n}$ .

Exercice 46 5776 X (PC)Correction

On considère $n$ couples formant un ensemble de $2 n$ personnes. On suppose que $r \in {1, \dots, 2 n - 1}$ personnes disparaissent. Déterminer le nombre moyen de couples restant constitués.

Solution

On modélise l’expérience en faisant disparaître chaque personne les unes après les autres et l’on note $X_{k}$ la variable aléatoire donnant le nombre de couples restant lorsque les $k$ premiers individus ont disparu. On a immédiatement $X_{0} = n$ , $X_{1} = n - 1$ et $X_{2 n - 1} = X_{2 n} = 0$ . Soit $k \in ⟦ 0; 2 n - 1 ⟧$ . Selon que l’individu est déjà célibataire ou non, la disparition d’un individu peut conserver le nombre de couples ou le réduire d’une unité. On a donc $X_{k} - X_{k + 1} = 0$ ou $1$ : la variable $X_{k} - X_{k + 1}$ suit une loi de Bernoulli. Lorsque la valeur $x$ de $X_{k}$ est connues, on sait qu’il y a $2 x$ individus en couple pour un total de $2 n - k$ individus. Le choix de l’individu disparaissant étant uniforme, on obtient

P (X_{k} - X_{k + 1} = 1 ∣ X_{k} = x) = \frac{2 x}{2 n - k} .

Par la formule des probabilités totales,

P (X_{k} - X_{k + 1} = 1) = \sum_{x \in X_{k} (Ω)} \frac{2 x}{2 n - k} P (X_{k} = x) = \frac{2 E (X_{k})}{2 n - k} .

Puisque la variable $X_{k} - X_{k + 1}$ est une variable de Bernoulli,

E (X_{k} - X_{k + 1}) = P (X_{k} - X_{k + 1} = 1) = \frac{2 E (X_{k})}{2 n - k} .

Par conséquent

E (X_{k + 1}) = (1 - \frac{2}{2 n - k}) E (X_{k}) = \frac{2 (n - 1) - k}{2 n - k} E (X_{k}) .

Sachant $E (X_{0}) = n$ , la résolution de la relation de récurrence donne

E (X_{k}) = n \frac{(2 n - k) (2 n - k - 1)}{2 n (2 n - 1)} .

En particulier, on obtient

E (X_{r}) = \frac{(2 n - r) (2 n - r - 1)}{2 (2 n - 1)} .

Exercice 47 5066 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ une matrice dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes et suivent une loi uniforme sur ${- 1,1}$ .

Calculer $E (\det (A))$ et $V (\det (A))$ .

On admettra que lorsque deux variables aléatoires s’expriment à l’aide de deux sous-familles disjointes d’une famille de variables aléatoires indépendantes, celles-ci sont indépendantes.

Solution

Pour $(i, j) \in {⟦ 1; n ⟧}^{2}$ , notons $a_{i, j}$ la variable aléatoire associée au coefficient d’indice $(i, j)$ de la matrice $A$ . Par hypothèse, $a_{i, j}$ est d’espérance nulle tandis que $a_{i, j}^{2}$ est la variable constante égale à $1$ .

Méthode: On développe le déterminant de $A$ selon une rangée.

En développant le déterminant de $A$ selon la première colonne, on écrit

\det (A) = \sum_{i = 1}^{n} {(- 1)}^{i + 1} a_{i,1} Δ_{i,1}

avec $Δ_{i,1}$ le déterminant de la matrice de taille $n - 1$ obtenue par suppression de la première colonne et de la ligne d’indice $i$ de $A$ . Par linéarité de l’espérance,

E (\det (A)) = \sum_{i = 1}^{n} {(- 1)}^{i + 1} E (a_{i,1} Δ_{i,1}) .

(1)

Cependant, pour $i \in ⟦ 1; n ⟧$ , le déterminant $Δ_{i,1}$ se calcule à partir de coefficients de la matrice $A$ qui ne figurent pas sur la première colonne de $A$ . Par le résultat admis, les deux variables aléatoires $a_{i,1}$ et $Δ_{i,1}$ sont indépendantes. On en déduit

E (a_{i,1} Δ_{i,1}) = \underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{E (a_{i,1})}} E (Δ_{i,1}) = 0 puis E (\det (A)) = 0 .

On calcule ensuite la variance de $\det (A)$ à l’aide de la formule de Huygens

V (\det (A)) = E ({(\det (A))}^{2}) - {(\underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{E (\det (A))}})}^{2} = E ({(\det (A))}^{2}) .

Méthode: On élève au carré et l’on développe la formule (1).

Par développement,

{(\det (A))}^{2} = {(\sum_{i = 1}^{n} {(- 1)}^{i + 1} a_{i,1} Δ_{i,1})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} {(- 1)}^{i + j} a_{i,1} a_{j,1} Δ_{i,1} Δ_{j,1} .

Pour $i$ et $j$ distincts, les variables aléatoires $a_{i,1}$ et $a_{j,1} Δ_{i,1} Δ_{j,1}$ sont indépendantes et donc

E (a_{i,1} a_{j,1} Δ_{i,1} Δ_{j,1}) = \underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{E (a_{i,1})}} E (a_{j,1} Δ_{i,1} Δ_{j,1}) = 0 .

En simplifiant ces termes et en employant l’indépendance de $a_{i,1}^{2}$ et $Δ_{i,1}^{2}$ , on obtient

E ({(\det (A))}^{2}) = \sum_{i = 1}^{n} E (a_{i,1}^{2} Δ_{i,1}^{2}) = \sum_{i = 1}^{n} \underset{\begin{matrix} = 1 \end{matrix}}{\underset{⏟}{E (a_{i,1}^{2})}} E (Δ_{i,1}^{2}) = \sum_{i = 1}^{n} E (Δ_{i,1}^{2}) .

(2)

L’espérance du déterminant du carrée d’une matrice dont les coefficients suivent indépendamment la même loi uniforme sur ${- 1,1}$ n’est fonction que de la taille de cette matrice. En notant $d_{n}$ cette espérance pour les matrices de tailles $n$ , la relation (2) donne

d_{n} = n d_{n - 1}

car les espérances de $Δ_{i,1}^{2}$ sont toutes égales à $d_{n - 1}$ . De plus, on a $d_{1} = 1$ car, en taille 1, le déterminant du carré est constant égal à $1$ . On en déduit par récurrence $d_{n} = n!$ puis

V (\det (A)) = n! pour tout n \geq 1 .

Exercice 48 4957

Sur un espace probabilisé fini $(Ω, P)$ , on considère $N$ une variable aléatoire à valeurs dans $⟦ 1; n ⟧$ (avec $n \in ℕ^{*}$ ) et $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires réelles suivant chacune la loi d’une même variable $X$ . On suppose toutes ces variables indépendantes et l’on définit une variable $Y$ sur $Ω$ en posant¹¹ 1 Par exemple, $Y$ peut être le nombre de côtés piles obtenus lors d’une expérience où on lance un dé puis une pièce un nombre de fois égal à la valeur $N$ du dé.

Y (ω) = \sum_{i = 1}^{N (ω)} X_{i} (ω) pour tout ω \in Ω .

Exprimer l’espérance puis la variance de la variable $Y$ en fonction des espérances et variances de $X$ et $N$ .

Exercice 49 5084

Une urne contient six jetons indiscernables au toucher et numérotés de $1$ à $6$ . On lance un dé équilibré et l’on pioche dans l’urne (sans remise) un nombre de jetons égal à la valeur du dé. On admet l’existence d’un espace probabilisé $(Ω, 𝒜, P)$ qui permet d’étudier cette expérience.

Déterminer l’espérance et la variance de la variable $S$ donnant la valeur totale des jetons piochés.

Exercice 50 3840

Dans une urne contenant $n \in ℕ^{*}$ boules blanches et $n$ boules rouges, on prélève successivement et sans remise des boules jusqu’à l’obtention de toutes les boules blanches. On note $X$ le nombre total de boules alors sorties de l’urne.

(a)

Proposer un espace probabilisé $(Ω, P)$ permettant d’étudier cette expérience.
(b)

Déterminer la loi de $X$ .
(c)

Calculer son espérance et sa variance.

Exercice 51 3986

Un groupe de $n \geq 2$ individus échange des cadeaux. Chaque individu apporte un cadeau qu’il dispose dans une urne. Chacun leur tour, les individus retirent de l’urne un cadeau avec le risque de piocher leur propre cadeau. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d’individus ayant pioché les cadeaux qu’ils ont apportés.

(a)

Proposer un espace probabilisé $(Ω, P)$ permettant d’étudier l’expérience.
(b)

Calculer l’espérance de $X$ .

Exercice 52 5091 Correction

Soient $a, b \in ℤ$ et $n \in ℕ$ . On appelle chemin de longueur $n$ allant de $a$ à $b$ toute suite d’entiers $γ = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n})$ commençant par $a_{0} = a$ , terminant par $a_{n} = b$ et vérifiant $| a_{i} - a_{i - 1} | = 1$ pour tout $i \in ⟦ 1; n ⟧$ . On dit alors que ce chemin passe par les $a_{i}$ et celui-ci peut être figuré par une ligne brisée s’articulant autour des points de coordonnées $(i, a_{i})$ pour $i = 0,1, \dots, n$ .

(a)

À quelle condition existe-t-il au moins un chemin de longueur $n$ allant de $a$ à $b$ ? On suppose cette condition remplie, exprimer alors le nombre de ces chemins.
(b)

Soient $a$ et $b \in ℕ^{*}$ . Justifier qu’il y a autant de chemins de longueur $n$ allant de $a$ à $b$ qui passe par $0$ que de chemins de longueur $n$ allant de $- a$ à $b$ .

Soit ${(X_{n})}_{n \in ℕ^{*}}$ une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées selon la loi d’une variable $X$ prenant ses valeurs dans ${- 1,1}$ avec $P (X = 1) = p$ (avec $p \in] 0; 1 [$ ). Pour tout $n \in ℕ^{*}$ , on pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ .

(c)

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $b \in ℤ$ . Exprimer $P (S_{n} = b)$ et vérifier

$P (S_{1} S_{2} \dots S_{n} \neq 0, S_{n} = b) = \frac{| b |}{n} P (S_{n} = b) .$
(d)

En déduire

$P (S_{1} S_{2} \dots S_{n} \neq 0) = \frac{1}{n} E (| S_{n} |) .$

Solution

(a)

Un chemin de longueur $n$ est formé par le choix des valeurs $a_{i} - a_{i - 1}$ égales à $1$ ou $- 1$ . S’il y a $k$ valeurs égales à $1$ , il y en a $n - k$ égales à $- 1$ et alors

$a_{n} - a_{0} = \sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - a_{i - 1}) = k \cdot 1 + (n - k) \cdot (- 1) = 2 k - n avec k \in ⟦ 0; n ⟧ .$

Ainsi, il existe un chemin de longueur allant de $a$ à $b$ si, et seulement si, il existe $k \in ⟦ 0; n ⟧$ tel que $b - a = 2 k - n$ , c’est-à-dire si, et seulement si, $n + b - a$ est un entier pair compris entre $0$ et $2 n$ . De plus, lorsque cette condition est remplie, un tel chemin est entièrement déterminé par le choix des $k = \frac{1}{2} (n + b - a)$ indices $i$ de $⟦ 1; n ⟧$ pour lesquels $a_{i} - a_{i - 1} = 1$ . Le nombre de chemins de longueur $n$ allant de $a$ à $b$ est alors

$(\binom{n}{\frac{n + b - a}{2}}) pour \frac{n + b - a}{2} \in ⟦ 0; n ⟧$
(b)

Méthode: On fait se correspondre de façon bijective les chemins allant de $a$ à $b$ et passant par $0$ avec ceux allant de $- a$ à $b$ : c’est le principe de réflexion.

Considérons un chemin $γ = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n})$ allant de $a$ à $b$ passant par $0$ . Il existe au moins un indice $j$ dans $⟦ 1; n - 1 ⟧$ tel que $a_{j} = 0$ . Parmi ceux-ci, considérons le plus petit de sorte que $a_{j} = 0$ et $a_{i} > 0$ pour tout indice $i < j$ . On transforme alors le chemin $γ$ en $γ^{'} = (- a_{0}, - a_{1}, \dots, - a_{j - 1},0, a_{j + 1}, \dots, a_{n})$ ce qui détermine un chemin de longueur $n$ allant de $- a$ à $b$ . Réciproquement, un chemin de longueur $n$ allant de $- a$ à $b$ passe nécessairement par $0$ et si l’on introduit l’indice $j$ du premier passage par $0$ , on transforme ce chemin de façon inverse à la démarche précédente en un chemin de longueur $n$ allant de $a$ à $b$ et passant par $0$ .

Par ces transformations bijectives réciproques l’une de l’autre, on obtient qu’il y a exactement autant de chemins de longueur $n$ allant de $a$ à $b$ et passant par $0$ que de chemins de longueur $n$ allant de $- a$ à $b$ .
(c)

Méthode: La suite $(0, S_{1}, \dots, S_{n})$ détermine un chemin de longueur $n$ allant de $0$ à $b$ .

Si $\frac{1}{2} (n + b)$ n’est pas élément de $⟦ 0; n ⟧$ , il n’existe pas de chemins de longueur $n$ allant de $0$ à $b$ : $P (S_{n} = b) = 0$ .

Sinon, pour réaliser un chemin de longueur $n$ allant de $0$ à $b$ , les variables $X_{1}, \dots, X_{n}$ doivent prendre $\frac{1}{2} (n + b)$ fois la valeur $1$ et $\frac{1}{2} (n - b)$ fois la valeur $- 1$ . Par indépendance de ces variables, la probabilité d’un tel chemin est $p^{\frac{n + b}{2}} {(1 - p)}^{\frac{n - b}{2}}$ ce qui ne dépend pas du choix de ce chemin et donc¹¹ 1 On peut aussi obtenir cette formule en introduisant les variables de Bernoulli $Y_{n} = \frac{1}{2} (1 + X_{n})$ et en constatant que $\frac{1}{2} (n + S_{n}) = Y_{1} + \dots + Y_{n}$ suit alors une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .

$P (S_{n} = b) = (\binom{n}{\frac{n + b}{2}}) p^{\frac{1}{2} (n + b)} {(1 - p)}^{\frac{1}{2} (n - b)} .$

Étudions ensuite la probabilité de l’événement $(S_{1} S_{2} \dots S_{n} \neq 0) \cap (S_{n} = b)$ ce qui correspond à la réalisation d’un chemin de longueur $n$ commençant en $0$ , terminant en $b$ et qui ne repasse pas $0$ . Encore une fois, si $\frac{1}{2} (n + b)$ n’est pas élément de $⟦ 0; n ⟧$ , cette probabilité est nulle et la formule voulue est vérifiée. Supposons désormais $\frac{1}{2} (n + b) \in ⟦ 0; n ⟧$ et poursuivons en discutant selon le signe de $b$ .

Cas: $b > 0$ . Un chemin convenable commence nécessairement avec $X_{1} = 1$ puis définit un chemin de longueur $n - 1$ allant de $1$ à $b$ et ne passant pas par $0$ . Si $b = n$ , aucun chemin de longueur $n - 1$ allant de $1$ à $b = n$ ne peut passer par $0$ et la formule proposée est vérifiée. Sinon, $b$ est strictement inférieur à $n$ et le nombre de ces chemins se déduit du nombre de chemins allant de $- 1$ à $b$ . On obtient

$\underset{\begin{matrix} \begin{matrix} nombre de chemins \\ de longueur n - 1 \\ de 1 à b \end{matrix} \end{matrix}}{\underset{⏟}{(\binom{n - 1}{\frac{n + b}{2} - 1})}} - \underset{\begin{matrix} \begin{matrix} nombre de chemins \\ de longueur n - 1 \\ de - 1 à b \end{matrix} \end{matrix}}{\underset{⏟}{(\binom{n - 1}{\frac{n + b}{2}})}}$

ce qui donne par les écritures factorielles des coefficients binomiaux

$\frac{(n - 1)!}{(\frac{n + b}{2} - 1)! (\frac{n - b}{2})!} - \frac{(n - 1)!}{(\frac{n + b}{2})! (\frac{n - b}{2} - 1)!} = \frac{(n - 1)! (\frac{n + b}{2} - \frac{n - b}{2})}{(\frac{n + b}{2})! (\frac{n - b}{2})!} = \frac{b}{n} (\binom{n}{\frac{n + b}{2}}) .$

De plus, comme au-dessus, chacun de ces chemins a la même probabilité $p^{\frac{n + b}{2}} {(1 - p)}^{\frac{n - b}{2}}$ et donc

$P (S_{1} S_{2} \dots S_{n} \neq 0, S_{n} = b) = \frac{b}{n} (\binom{n}{\frac{n + b}{2}}) p^{\frac{n + b}{2}} {(1 - p)}^{\frac{n - b}{2}} = \frac{b}{n} P (S_{n} = b) .$

Cas: $b < 0$ . On peut reproduire le raisonnement précédent ou introduire les variables $Y_{n} = - X_{n}$ ce qui a pour effet d’échanger $S_{n}$ en $- S_{n}$ , $b$ en $- b$ et $p$ en $1 - p$ . On vérifie alors l’exactitude de la formule proposée.

Cas: $b = 0$ . L’événement de $(S_{1} S_{2} \dots S_{n} \neq 0) \cap (S_{n} = 0)$ est impossible ce qui valide encore la formule.
(d)

En notant $B_{n}$ l’ensemble des valeurs prises par $S_{n}$ , les événements $(S_{n} = b)$ pour $b$ parcourant $B_{n}$ constituent un système complet et donc

$P (S_{1} S_{2} \dots S_{n} \neq 0) = \sum_{b \in B_{n}} P (S_{1} S_{2} \dots S_{n} \neq 0, S_{n} = b) = \sum_{b \in B} \frac{| b |}{n} P (S_{n} = b) .$

Par la formule de transfert, on conclut

$P (S_{1} S_{2} \dots S_{n} \neq 0) = \frac{1}{n} E (| S_{n} |) .$

[<] Calcul d'espérances et de variances[>] Calcul de covariances

Exercice 53 3993 Correction

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé $(Ω, P)$ .
Montrer

| Cov (X, Y) | \leq \sqrt{V (X) V (Y)} .

Solution

Pour $λ \in ℝ$ , introduisons $Z = λ X + Y$ . On a $V (Z) \geq 0$ avec

V (Z) = λ^{2} V (X) + 2 λ Cov (X, Y) + V (Y) .

Si $V (X) = 0$ , on a nécessairement $Cov (X, Y) = 0$ pour que $V (Z)$ soit positif pour tout $λ \in ℝ$ .
Si $V (X) \neq 0$ , on a nécessairement $Δ = 4 Cov {(X, Y)}^{2} - 4 V (X) V (Y) \leq 0$ pour que $V (Z)$ soit positif pour tout $λ \in ℝ$ .
Dans les deux cas, on obtient

| Cov (X, Y) | \leq \sqrt{V (X) V (Y)} .

Exercice 54 3994

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles avec $V (X) > 0$ . Déterminer $(a, b) \in ℝ^{2}$ minimisant la quantité

E ({(Y - (a X + b))}^{2}) .

[<] Covariance[>] Inégalité de Markov

Exercice 55 4111 Correction

À un péage autoroutier $n$ voitures franchissent au hasard et indépendamment l’une des trois barrières de péage mises à leur disposition. On note $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ les variables aléatoires dénombrant les voitures ayant franchi ces barrières.

(a)

Déterminer la loi de $X_{1}$ .
(b)

Calculer les variances de $X_{1}$ , $X_{2}$ et de $X_{1} + X_{2}$ .
(c)

En déduire la covariance de $X_{1}$ et $X_{2}$ .

Solution

(a)

Chacune des $n$ voitures a la probabilité $p = 1 / 3$ de choisir le premier péage. Dès lors, la variable aléatoire $X_{1}$ peut se comprendre comme étant le nombre de succès dans une série de $n$ épreuves indépendantes ayant chacune la probabilité $p$ de réussir. La variable $X_{1}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 1 / 3$ .
(b)

$V (X_{1}) = n p (1 - p) = 2 n / 9$ et $V (X_{2}) = 2 n / 9$ car $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ suivent les mêmes lois.
Puisque $X_{1} + X_{2} = n - X_{3}$ , $V (X_{1} + X_{2}) = V (n - X_{3}) = V (X_{3}) = 2 n / 9$ .
(c)

Sachant

$V (X_{1} + X_{2}) = V (X_{1}) + 2 Cov (X_{1}, X_{2}) + V (X_{2})$

on obtient

$Cov (X_{1}, X_{2}) = - n / 9 .$

Exercice 56 4620

Soient $U$ et $V$ deux variables de Bernoulli indépendantes de paramètres $p$ et $q \in] 0; 1 [$ . On pose $X = U + V$ et $Y = U - V$ .

(a)

Calculer la covariance de $X$ et $Y$ .
(b)

Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?

Exercice 57 5556 Correction

Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires réelles suivant une loi uniforme sur l’ensemble ${(1,0), (- 1,0), (0,1), (0, - 1)}$ .

(a)

Préciser les lois des variables $X$ et $Y$ .
(b)

Calculer la covariance des variables $X$ et $Y$ . Celles-ci sont-elles indépendantes?
(c)

Vérifier que les variables $U = X + Y$ et $V = X - Y$ sont indépendantes.

Solution

(a)

Les variables $X$ et $Y$ prennent chacune leurs valeurs dans ${- 1,0,1}$ et l’on peut visualiser leur loi conjointe par le tableau ci-dessous

$Y = - 1$ $Y = 0$ $Y = 1$

$X = - 1$ $0$ $1 / 4$ $0$

$X = 0$ $1 / 4$ $0$ $1 / 4$

$X = 1$ $0$ $1 / 4$ $0$

Les lois de $X$ et $Y$ s’obtiennent en sommant selon les rangées. La loi de $X$ est donnée par

$P (X = - 1) = P (X = 1) = \frac{1}{4} et P (X = 0) = \frac{1}{2}$

et la loi de $Y$ est identique.
(b)

Les variables $X$ et $Y$ sont centrées: $E (X) = E (Y) = 0$ . Le produit $X Y$ étant nul, la formule de Huygens donne

$Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 0 .$

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes puisque, par exemple,

$P ((X, Y) = (0,0)) = 0 \neq \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = P (X = 0) P (Y = 0) .$
(c)

Les lois des variables $U = X + Y$ et $V = X - Y$ se déduisent de la loi conjointe de $X$ et $Y$ . On obtient que $U$ et $V$ suivent une loi uniforme sur ${- 1,1}$ .

Pour $ε, ε^{'} \in {- 1,1}$ ,

$P (U = ε, V = ε^{'}) = P (X = \frac{ε + ε}{2}, Y = \frac{ε - ε^{'}}{2}) = \frac{1}{4} = P (U = ε) P (V = ε^{'}) .$

Les variables $U$ et $V$ sont indépendantes.

Exercice 58 5850 Correction

Une urne contient des boules portant des numéros allant de $1$ à $k$ . On note $p_{i}$ la proportion de boules portant le numéro $i$ dans l’urne.

Avec remise, on tire $n$ boules dans cette urne. Pour $i = 1, \dots, n$ , on note $X_{i}$ le nombre de boules portant le numéro $i$ obtenues.

(a)

Préciser la loi de $X_{i}$ , son espérance et sa variance.
(b)

Pour $i \neq j \in ⟦ 1; k ⟧$ , préciser la loi de $X_{i} + X_{j}$ , son espérance et sa variance.
(c)

En déduire $Cov (X_{i}, X_{j})$ .
(d)

Par le calcul, établir $V (X_{1} + \dots + X_{k}) = 0$ . Expliquer.

Solution

(a)

Si l’on considère qu’obtenir une boule portant le numéro $i$ est un succès, $X_{i}$ compte le nombre de succès lors de la répétition indépendante de $n$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p_{i}$ . Par conséquent, $X_{i}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p_{i}$ . On sait $E (X_{i}) = n p_{i}$ et $V (X_{i}) = n p_{i} (1 - p_{i})$ .
(b)

En considérant qu’obtenir une boule de numéro $i$ ou $j$ est un succès, $X_{i} + X_{j}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p_{i} + p_{j}$ . On sait $E (X_{i} + X_{j}) = n (p_{i} + p_{j})$ et $V (X_{i} + X_{j}) = n (p_{i} + p_{j}) (1 - p_{i} - p_{j})$ .
(c)

On a l’identité

$V (X_{i} + X_{j}) = V (X_{i}) + 2 Cov (X_{i}, X_{j}) + V (X_{j}) .$

On en déduit

$Cov (X_{i}, X_{j}) = \frac{n}{2} ((p_{i} + p_{j}) (1 - p_{i} - p_{j}) - p_{i} (1 - p_{i}) - p_{j} (1 - p_{j})) = - n p_{i} p_{j} .$

(d)

On a l’identité

	$V (X_{1} + \dots + X_{n})$	$= \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i}) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} Cov (X_{i}, X_{j})$
		$= \sum_{i = 1}^{n} n p_{i} (1 - p_{i}) - 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} n p_{i} p_{j}$
		$= n \sum_{i = 1}^{n} p_{i} - n (\sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{2} + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} p_{i} p_{j})$
		$= n \sum_{i = 1}^{n} p_{i} - n {(\sum_{i = 1}^{n} p_{i})}^{2} = n - n = 0 .$

Cela signifie que la variable $X_{1} + \dots + X_{n}$ est presque sûrement constante. Cela s’explique aisément puisque $X_{1} + \dots + X_{n}$ donne le nombre total de boules tirées à savoir $n$ .

Exercice 59 4181 CENTRALE (MP)Correction

Soit $(U, V)$ un couple de variables aléatoires indépendantes suivant la loi binomiale $ℬ (2,1 / 2)$ .

(a)

Montrer que la somme de $n$ variables aléatoires réelles indépendantes qui suivent la loi de Bernoulli de paramètre $p \in] 0; 1 [$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
(b)

On pose $S = {(U - 1)}^{2} + {(V - 1)}^{2}$ . Déterminer la loi de $S$ .
(c)

On pose $T = (U - 1) (V - 1) + 1$ . Calculer $E (S (T - 1))$ . Déterminer la loi de $T$ . Calculer la covariance de $(S, T)$ . Les variables $S$ et $T$ sont-elles indépendantes?

Solution

(a)

Cf. cours.
(b)

${(U - 1)}^{2}$ prend les valeurs $0$ et $1$ avec

$P ({(U - 1)}^{2} = 1) = P (U = 1) = \frac{1}{2} .$

Les variables ${(U - 1)}^{2}$ et ${(V - 1)}^{2}$ suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre $1 / 2$ . Par indépendance de $U$ et $V$ , on a aussi celle de ${(U - 1)}^{2}$ et ${(V - 1)}^{2}$ et donc $S$ suit une loi $ℬ (2,1 / 2)$ .
(c)

Par indépendance, l’espérance d’un produit est le produit des espérances

$E (S (T - 1)) = E ({(U - 1)}^{3}) E (V - 1) + E (U - 1) E ({(V - 1)}^{3}) = 0 .$

La variable $T$ prend les valeurs $0$ , $1$ et $2$ .

$P (T = 0) = P (U = 0, V = 2) + P (U = 2, V = 0) = \frac{1}{8}$

et

$P (T = 2) = P (U = 0, V = 0) + P (U = 2, V = 2) = \frac{1}{8} .$

On en tire $P (T = 1) = 3 / 4$ .

Par la formule de Huygens,

$Cov (S, T)$ $= E (S T) - E (S) E (T)$

$= E (S (T - 1)) + E (S) - E (S) E (T)$

$= 0 + 1 - 1 = 0 .$

La covariance nulle ne suffit pas à affirmer l’indépendance de $S$ et $T$ . Étudions l’événement $(S = 0, T = 0)$ .

L’événement $(S = 0)$ correspond à $(U = 1, V = 1)$ alors que $(T = 0)$ correspond à $(U = 0, V = 2) \cup (U = 2, V = 0)$ . Ceux-ci sont incompatibles et donc

$P (S = 0, T = 0) = 0 \neq P (S = 0) P (T = 0) .$

Les variables $S$ et $T$ ne sont pas indépendantes.

Exercice 60 5310 CCINP (MP)Correction

L’univers $Ω$ est l’ensemble des permutations de $⟦ 1; n ⟧$ (avec $n \in ℕ^{*}$ ) muni de la probabilité uniforme.

Pour $k \in ⟦ 1; n ⟧$ . on définit une variable aléatoire réelle $X_{k}$ en posant

\forall σ \in Ω, X_{k} (σ) = {\begin{matrix} 1 & si σ (k) = k \\ 0 & sinon. \end{matrix}

(a)

Identifier la loi de la variable $X_{k}$ .
(b)

Calculer son espérance et sa variance.
(c)

Calculer $Cov (X_{i}, X_{j})$ (pour $i, j \in ⟦ 1; n ⟧$ distincts).

Pour $σ \in Ω$ , on pose

N (σ) = Card {k \in ⟦ 1; n ⟧ | σ (k) = k} .

(d)

Exprimer $N$ en fonction des $X_{k}$ .
(e)

En déduire $E (N)$ et $V (N)$ .

Solution

(a)

La variable $X_{k}$ prend ses valeurs dans ${0,1}$ , elle suit une loi de Bernoulli. Il y a $n!$ permutations de $⟦ 1; n ⟧$ et exactement $(n - 1)!$ permutations fixant $k$ . On en déduit

$P (X_{k} = 1) = \frac{(n - 1)!}{n!} = \frac{1}{n} .$
(b)

$E (X_{k}) = \frac{1}{n}$ et $V (X_{k}) = \frac{(n - 1)}{n^{2}}$ .
(c)

Soient $i \neq j$ dans $⟦ 1; n ⟧$ . La variable $X_{i} X_{j}$ prend ses valeurs dans ${0,1}$ , elle suit aussi une loi de Bernoulli. Il y a $(n - 2)!$ permutations de $⟦ 1; n ⟧$ qui fixent $i$ et $j$ et donc

$E (X_{i} X_{j}) = P (X_{i} X_{j} = 1) = \frac{(n - 2)!}{n!} = \frac{1}{n (n - 1)} .$

On en déduit

$Cov (X_{i}, X_{j}) = E (X_{i} X_{j}) - E (X_{i}) E (X_{j}) = \frac{1}{n (n - 1)} - \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{(n - 1) n^{2}} .$
(d)

$N$ est la somme des $X_{k}$ .
(e)

Par linéarité de l’espérance,

$E (N) = \sum_{k = 1}^{n} E (X_{k}) = 1 .$

Par bilinéarité de la covariance,

$V (N) = Cov (N, N) = \sum_{i, j = 1}^{n} Cov (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i}) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} Cov (X_{i}, X_{j}) = 1 .$

Exercice 61 5351 Correction

On tire deux parties $A$ et $B$ de $⟦ 1; n ⟧$ indépendamment et selon une loi uniforme.

(a)

Identifier la loi de la variable aléatoire $X = Card (A)$ .
(b)

Déterminer l’espérance et la variance de la variable aléatoire $Y = Card (A \cap B)$ .
(c)

Même question avec $Z = Card (A \cup B)$ .
(d)

Calculer la covariance de $Y$ et $Z$ .

Solution

(a)

$X (Ω) = ⟦ 0; n ⟧$ . Pour $k \in ⟦ 0; n ⟧$ , il y a exactement $(\binom{n}{k})$ parties possèdant exactement $k$ éléments. Puisqu’il existe un total de $2^{n}$ parties dans $⟦ 1; n ⟧$ , on obtient

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) \frac{1}{2^{n}} .$

On observe que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 1 / 2$ : $X$ se comprend comme le nombre de succès dans la répétition indépendante de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes et $A$ est l’ensemble des indices où il y a eu succès.
(b)

Si l’on répète deux successions de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès $1 / 2$ et que l’on forme $A$ et $B$ les ensembles constitués des rangs où l’on a obtenu un succès lors de la première et de la deuxième série, on observe que les variables aléatoires $A$ et $B$ sont indépendantes et suivent une loi uniforme¹¹ 1 Chaque tirage correspondant à une partie de $⟦ 0; n ⟧$ a la même probabilité $1 / 2^{n}$ : ces variables respectent le contexte d’étude. La variable $A \cap B$ détermine alors les rangs communs de succès aux deux séries d’épreuves. Or si deux variables suivent des lois de Bernoulli indépendantes de paramètre $1 / 2$ , leur produit suit une loi de Bernoulli de paramètre $1 / 4$ . On en déduit que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 1 / 4$ . Il vient alors

$E (Y) = \frac{n}{4} et V (Y) = \frac{3 n}{16} .$
(c)

L’interprétation est semblable: $Z$ est le nombre de rangs où il y a un succès lors de l’une ou l’autre des deux séries. On obtient que $Z$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 3 / 4$ . Ainsi,

$E (Z) = \frac{3 n}{4} et V (Y) = \frac{3 n}{16} .$
(d)

On sait

$Card (A \cup B) + Card (A \cap B) = Card (A) + Card (B) .$

Par indépendance,

$V (Card (A) + Card (B)) = V (Card (A)) + V (Card (B)) = 2 V (X) = \frac{n}{2} .$

Par développement,

$V (Card (A \cup B) + Card (A \cap B)) = V (Y) + 2 Cov (Y, Z) + V (Z) .$

On en déduit

$Cov (Y, Z) = \frac{n}{16} .$

[<] Calcul de covariances[>] Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 62 4622

Soient $X$ une variable aléatoire réelle et $g : ℝ_{+} \to ℝ_{+}$ une fonction croissante. Montrer que pour tout réel $a$ positif,

g (a) P (| X | \geq a) \leq E (g (| X |)) .

Exercice 63 3834 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de taille $n$ et de paramètre $p$ .
Montrer que pour tout $λ > 0$ et tout $ε > 0$

P (X - n p > n ε) \leq E (\exp (λ (X - n p - n ε))) .

Solution

Par stricte croissance de l’exponentielle, l’événement $X - n p > n ε$ équivaut à l’événement

\exp (λ (X - n p - n ε)) \geq 1 .

L’inégalité de Markov appliquée à la variable $Y = \exp (λ (X - n p - n ε))$ permet alors de conclure

P (\exp ((λ (X - n p - n ε) \geq 1) \leq \frac{E (\exp (λ (X - n p - n ε)))}{1} .

Exercice 64 3816 Correction

Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètre $p$ et de taille $n$ .

Établir pour $ε > 0$ ,

P (| \frac{X}{n} - p | \geq ε) \leq \frac{\sqrt{p (1 - p)}}{ε \sqrt{n}} .

Solution

Rappelons

E (X) = n p et V (X) = n p (1 - p) .

Considérons la variable aléatoire

Y = X - n p = X - E (X) .

Par l’inégalité de Markov,

P (| Y | \geq n ε) \leq \frac{E (| Y |)}{n ε}

donc

P (| \frac{X}{n} - p | \geq ε) \leq \frac{E (| Y |)}{n ε} .

Or $E (| Y |) \leq \sqrt{E (Y^{2})}$ (cf. Cauchy-Schwarz) avec $E (Y^{2}) = V (X) = n p (1 - p)$ donc

P (| \frac{X}{n} - p | \geq ε) \leq \frac{\sqrt{p (1 - p)}}{ε \sqrt{n}} .

Exercice 65 4043 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire de moyenne $μ$ et de variance $σ^{2}$ .
En introduisant la variable aléatoire

Y = {(α (X - μ) + σ)}^{2} .

Montrer que pour tout $α > 0$

P (X \geq μ + α σ) \leq \frac{1}{1 + α^{2}} .

Solution

On a

E (Y) = α^{2} E ({(X - μ)}^{2}) + 2 α E (X - μ) + σ^{2} = (α^{2} + 1) σ^{2} .

L’inégalité de Markov appliquée à la variable positive $Y$ donne

P (Y \geq a) \leq \frac{E (Y)}{a} .

Pour $a = σ^{2} {(α^{2} + 1)}^{2}$ ,

P (Y \geq a) \leq \frac{1}{1 + α^{2}} .

(X \geq μ + α σ) = (α (X - μ) + σ \geq (α^{2} + 1) σ)

et donc

(X \geq μ + α σ) \subset (Y \geq a)

puis

P (X \geq μ + α σ) \leq \frac{1}{1 + α^{2}} .

Exercice 66 4623

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur ${- 1,1}$ . On pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ .

(a)

Montrer que $ch (λ) \leq e^{λ^{2} / 2}$ pour tout réel $λ$ .
(b)

Établir que pour tout $α > 0$ ,

$P (\frac{S_{n}}{n} > α) \leq e^{- n α^{2} / 2} .$

[<] Inégalité de Markov

Exercice 67 3982

Une population présente une propriété dans une proportion inconnue $p \in] 0; 1 [$ que l’on souhaite estimer. On choisit un échantillon de $n$ personnes et l’on pose $X_{i} = 1$ si le $i$ -ème individu présente la propriété étudiée, 0 sinon. On considère que les variables aléatoires $X_{i}$ ainsi définies sont indépendantes et suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre $p$ . Enfin, on pose $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ .

(a)

Soit $ε > 0$ . Établir

$P (| \frac{S_{n}}{n} - p | > ε) \leq \frac{1}{4 n ε^{2}} .$
(b)

Pour $ε = 0,05$ , quelle valeur de $n$ peut-on choisir pour que $S_{n} / n$ constitue une valeur approchée de $p$ à $ε$ près avec une probabilité supérieure à 95 %?

Exercice 68 5557 Correction

On souhaite estimer l’équilibre d’une pièce.

On note $p$ la probabilité (inconnue) que la pièce tombe côté face lors d’un lancer.

On lance $n$ fois la pièce et l’on pose $F_{n}$ égal à la fréquence de lancers ayant donné face.

(a)

Calculer $E (F_{n})$ . Vérifier $V (F_{n}) \leq \frac{1}{4 n}$ .
(b)

En employant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, à partir de combien de lancers peut-on supposer que $F_{n}$ est une approximation de $p$ à $ε = 10^{- 2}$ près avec une probabilité supérieure à 95 % ?

Solution

(a)

La variable $S_{n} = n F_{n}$ compte le nombre de lancers ayant donnés face. La variable $S_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ . Son espérance vaut $n p$ et sa variance vaut $n p (1 - p)$ . On a donc

$E (F_{n}) = \frac{1}{n} E (S_{n}) = p et V (F_{n}) = \frac{1}{n^{2}} V (S_{n}) = \frac{p (1 - p)}{n}$

Par l’inégalité classique $x (1 - x) \leq 1 / 4$ , on obtient $V (F_{n}) \leq 1 / 4 n$ .
(b)

Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev,

$P (| F_{n} - p | \geq ε) = P (| F_{n} - E (F_{n}) | \geq ε) \leq \frac{V (F_{n})}{ε^{2}} = \frac{1}{4 n ε^{2}} .$

Il suffit que

$\frac{1}{4 n ε^{2}} \leq \ltx@orig@numprint 0.05$

pour assurer que $F_{n}$ est une approximation de $p$ à $ε$ près avec une probabilité supérieure à $95$ %.

Numériquement, cela ndonne $n \geq \ltx@orig@numprint 50000$ .

Exercice 69 4042 Correction

Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance $μ$ et de variance $σ^{2}$ . Montrer

P (μ - α σ < X < μ + α σ) \geq 1 - \frac{1}{α^{2}} .

Solution

Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev,

P (| X - μ | \geq α σ) < \frac{σ^{2}}{(α σ^{2})} = \frac{1}{α^{2}} .

On conclut par considération d’évènement complémentaire.

Exercice 70 4035

Soit ${(X_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite de variables aléatoires telle que, pour tout $n \in ℕ$ , $X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p \in] 0; 1 [$ . Soit $k \in ℕ$ . Établir

P (X_{n} \leq k) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Édité le 23-02-2024

	$P (T > k)$	$= \frac{n - (k - 1)}{n} P (T > k - 1) = \dots$
		$= \underset{\begin{matrix} k - 1 facteurs \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{n - (k - 1)}{n} \cdot \frac{n - (k - 2)}{n} \dots \frac{n - 1}{n}}} = \frac{n!}{(n - k)! n^{k}} .$

	$P (T = k)$	$= P (T > k - 1) - P (T > k)$
		$= \frac{n!}{(n - k + 1)! n^{k - 1}} - \frac{n!}{(n - k)! n^{k}} = \frac{(k - 1) n!}{(n - k + 1)! n^{k}} .$

	$P (X = k, Y = ℓ)$	$= (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{ℓ}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k} \frac{q^{ℓ}}{{(q + r)}^{ℓ}} {(\frac{r}{(q + r)})}^{n - k - ℓ}$
		$= \frac{n!}{k! ℓ! (n - k - ℓ)!} p^{k} q^{ℓ} r^{n - k - ℓ} .$

	$n! \sim \sqrt{2 π n} n^{n} e^{- n}, m! \sim \sqrt{2 π m} m^{m} e^{- m} et$
	$(n - m)! \sim \sqrt{2 π (n - m)} {(n - m)}^{n - m} e^{n - m} .$

	$P (Z = k)$	$= P (Z = k, Y \leq m) + P (Z = k, Y > m)$
		$= P (X = k, Y \leq m) + P (Y = k, Y > m)$
		$= P (X = k, Y \leq m) + P (Y = k, Y > m)$
		$= P (X = k) P (Y \leq m) + P (Y = k, Y > m) .$

	$E (Z)$	$= \sum_{k = 1}^{n} k P (Z = k) = \sum_{k = 1}^{m} \frac{k m}{n^{2}} + \sum_{k = m + 1}^{n} (\frac{k m}{n^{2}} + \frac{k}{n})$
		$= \sum_{k = 1}^{n} \frac{k m}{n^{2}} + \sum_{k = m + 1}^{n} \frac{k}{n}$
		$= \frac{m (n + 1)}{2 n} + \frac{(m + n + 1) (n - m)}{2 n}$
		$= \frac{n^{2} - m^{2} + m n + n}{2 n} .$

	$Y = - 1$	$Y = 0$	$Y = 1$
$X = - 1$	$0$	$1 / 4$	$0$
$X = 0$	$1 / 4$	$0$	$1 / 4$
$X = 1$	$0$	$1 / 4$	$0$

	$Cov (S, T)$	$= E (S T) - E (S) E (T)$
		$= E (S (T - 1)) + E (S) - E (S) E (T)$
		$= 0 + 1 - 1 = 0 .$