[>] Loi binomiale

 
Exercice 1  4613  

On tire successivement n* boules dans une urne contenant b boules blanches et r boules rouges et l’on pose X le nombre de boules blanches obtenues.

  • (a)

    Déterminer la loi de X lorsque le tirage a lieu avec remise.

  • (b)

    Déterminer la loi de X lorsque le tirage a lieu sans remise et que nb+r.

 
Exercice 2  4625   

On considère deux dés discernables à 6 faces non nécessairement équilibrés, non nécessairement identiques. On note X1 et X2 les variables aléatoires indépendantes déterminant les valeurs de ces deux dés.

  • (a)

    Montrer que le polynôme réel P=1+X+X2++X10 ne peut pas se factoriser dans [X] comme un produit de deux polynômes réels de degré 5.

  • (b)

    Montrer qu’il est impossible que X1+X2 suive une loi uniforme sur 2;12.

 
Exercice 3  4956   Correction  

Une urne contient n* boules numérotées de 1 à n. On tire avec remise des boules dans cette urne jusqu’à ce qu’une boule ait été tirée deux fois. On note T la variable aléatoire à valeurs dans 2;n+1 précisant le nombre de tirages alors effectués.

  • (a)

    Proposer un espace probabilisé (Ω,P) modélisant cette expérience.

  • (b)

    Calculer P(T=2).

  • (c)

    Soit k1;n+1. Exprimer P(T>kT>k-1).

  • (d)

    Donner un expression de P(T=k) pour tout k2;n+1

Solution

  • (a)

    Quitte à poursuivre les tirages dans l’urne, on peut supposer que l’on tire exactement n+1 boules dans celle-ci et l’on s’intéresse alors au rang d’apparition d’un premier tirage identique à l’un des précédents. Les tirages étant équiprobables, on considère Ω=1;nn+1 muni de la probabilité uniforme.

  • (b)

    Pour k1;n+1, introduisons Xk la variable aléatoire déterminant le numéro de la boule obtenue lors du k-ième tirage: celles-ci sont mutuellement indépendantes car le tirage est supposé avoir lieu avec remise. L’événement T=2 se confond avec X1=X2 qui est lui-même la réunion des (X1=i,X2=i) pour i allant de 1 à n. Ces derniers événements étant deux à deux incompatibles

    P(T=2)=i=1nP(X1=i,X2=i)=i=1nP(X1=i)P(X2=i)=i=1n1n×1n=1n.
  • (c)

    L’événement (T>k-1) est de probabilité non nulle et correspond à l’obtention de valeurs deux à deux distinctes de X1,,Xk-1. Par conséquent,

    P(T>kT>k-1)=P(XkX1,,Xk-1T>k-1)=n-(k-1)n.
  • (d)

    Pour k1;n+1, on a par définition d’une probabilité conditionnelle,

    P(T>kT>k-1)=P(T>k,T>k-1)P(T>k-1)=P(T>k)P(T>k-1)

    et donc

    P(T>k) =n-(k-1)nP(T>k-1)=
    =n-(k-1)nn-(k-2)nn-1nk-1 facteurs=n!(n-k)!nk.

    Pour k2;n, on obtient

    P(T=k) =P(T>k-1)-P(T>k)
    =n!(n-k+1)!nk-1-n!(n-k)!nk=(k-1)n!(n-k+1)!nk.
 
Exercice 4  5218   

(Fonction caractéristique)

On appelle fonction caractéristique d’une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans , l’application φX: définie par11 1 On admet que la notion d’espérance et les résultats associés se généralisent aux variables aléatoires à valeurs complexes.

φX(t)=E(eitX).
  • (a)

    Vérifier que φX est 2π-périodique et de classe 𝒞. Calculer φX(0) et φX(0).

  • (b)

    Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans . Établir

    φX+Y=φXφY.
  • (c)

    Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans . Établir

    φX=φYX et Y suivent la même loi.
  • (d)

    Application: Retrouver par ces résultats que la somme de n1 variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre p[0;1] suit une loi binomiale de paramètres n et p.

[<] Calcul de loi[>] Indépendance de variables aléatoires

 
Exercice 5  3975  Correction  

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de taille n et de paramètre p.
Quelle est la loi suivie par la variable Y=n-X?

Solution

X(Ω)=Y(Ω)=0;n. Pour k0;n,

P(X=k)=(nk)pk(1-p)n-k

donc

P(Y=k)=P(X=n-k)=(nk)pn-k(1-p)k.

La variable aléatoire Y suit une loi binomiale de taille n et de paramètre q=1-p.

 
Exercice 6  3836  

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans 0;n. On suppose qu’il existe un réel a tel que

P(X=k)=ak!(n-k)!pour tout k0;n.

Calculer l’espérance et la variance de X.

 
Exercice 7  3369  

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale paramètres n* et p]0;1[.

Pour quelle valeur de l’entier k0;n, la probabilité P(X=k) est-elle maximale?

 
Exercice 8  3846   Correction  

Soit X une variable aléatoire binomiale de paramètres n et p avec p]0;1[. On note

b(k,n,p)=P(X=k).
  • (a)

    Pour quelle valeur m de k, le coefficient b(k,n,p) est-il maximal?

  • (b)

    Étudier la monotonie de la fonction f:xxm(1-x)n-m sur [0;1].

  • (c)

    Vérifier que si m[np;(n+1)p] alors

    b(m,n,mn+1)b(m,n,p)b(m,n,mn).
  • (d)

    Proposer en encadrement analogue pour m[(n+1)p-1;np].

  • (e)

    On donne la formule de Stirling

    n!2πnnne-n.

    Donner un équivalent simple de b(m,n,p).

Solution

Rappelons

b(k,n,p)=(nk)pk(1-p)n-k.
  • (a)

    Pour k1;n, on a

    b(k,n,p)b(k-1,n,p)=n+1-kkp1-p

    donc

    b(k,n,p)b(k-1,n,p)1k(n+1)p.

    La suite finie (b(k,n,p))0kn est donc croissante jusqu’au plus grand entier m inférieur à (n+1)p puis devient décroissante ensuite. On peut donc affirmer

    m=(n+1)p.
  • (b)

    La fonction f est dérivable avec

    f(x)=(m-nx)xm-1(1-x)n-m-1.

    La fonction f est donc croissante sur [0;m/n] et décroissante sur [m/n;1].

  • (c)

    Si m[np;(n+1)p] alors m/(n+1)pm/n et puisque f est croissante sur [0;m/n]

    f(m/(n+1))f(p)f(m/n)

    ce qui conduit à l’encadrement demandé.

  • (d)

    Si m[(n+1)p-1;np] alors m/np(m+1)/(n+1) et par décroissance de f sur [m/n;1], on obtient

    b(m,n,m+1n+1)b(m,n,p)b(m,n,mn).
  • (e)

    Quand n+, on a m=(n+1)pnp+ et n-mn(1-p)+ ce qui permet d’écrire simultanément

    n!2πnnne-n,m!2πmmme-m et
    (n-m)!2π(n-m)(n-m)n-men-m.

    On en déduit après calcul

    b(m,n,mn)n2πm(n-m)12πnp(1-p).

    On obtient les mêmes équivalents pour

    b(m,n,mn+1) et b(m,n,m+1n+1)

    et l’on peut donc conclure par encadrement

    b(m,n,p)12πnp(1-p).
 
Exercice 9  4125   Correction  

Un étudiant résout un QCM constitué de n questions offrant chacune quatre réponses possibles. Pour chaque question, et indépendamment les unes des autres, il a la probabilité p de savoir résoudre celle-ci. Dans ce cas il produit la bonne réponse. Si en revanche, il ne sait pas résoudre la question, il choisit arbitrairement l’une des quatre réponses possibles. On note X la variable aléatoire déterminant le nombre de questions qu’il savait résoudre et Y le nombre de questions qu’il a correctement résolues parmi celles où il a répondu «  au hasard  ».

  • (a)

    Reconnaître la loi de Z=X+Y.

  • (b)

    Calculer espérance et variance de Z.

Solution

Compte tenu de l’expérience modélisée, on peut affirmer que la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

P(X=k)=(nk)pk(1-p)n-k.

De plus, pour k0;n, si l’événement (X=k) est réalisé, il y a n-k questions pour lesquelles l’étudiant répond au hasard avec une probabilité 1/4 de réussir:

P(Y=jX=k)=(n-kj)(14)j(34)n-k-j avec j0;n-k.
  • (a)

    La variable Z prend ses valeurs dans 0;n.
    Pour k0;n, l’événement (Z=k) peut être décomposé en la réunion disjointe des événements

    (X=j,Y=k-j) avec j{0,1,,k}.

    Ainsi,

    P(Z=k)=j=0kP(X=j,Y=k-j).

    Par probabilité composées

    P(X=j,Y=k-j)=P(Y=k-jX=j)P(X=j).

    Ainsi,

    P(Z=k)=j=0k(n-jk-j)(14)k-j(34)n-k(nj)pj(1-p)n-j.

    Or

    (n-jk-j)(nj)=n!(k-j)!(n-k)!j!=(kj)(nk).

    On en déduit

    P(Z=k)=(nk)(1-p)n-k(34)n-kj=0k(kj)(14(1-p))k-jpj.

    Par la formule du binôme

    P(Z=k)=(nk)(1-p)n-k(34)n-k(14(1-p)+p)k.

    On simplifie

    P(Z=k)=(nk)qk(1-q)n-k avec q=14+34p.
  • (b)

    On a alors

    E(Z)=(3p+1)n4 et V(Z)=3n(3p+1)(1-p)16.
 
Exercice 10  4615   

Le standardiste d’un centre d’appel téléphonique d’un service après-vente a la probabilité p]0;1[ d’apporter une solution à l’appel d’un client. Lorsqu’il n’y parvient pas, il transmet l’appel à un spécialiste qui a la probabilité q]0;1[ de résoudre le problème posé. Si ce dernier n’y parvient pas, un réparateur est envoyé au domicile du client.

On suppose que le centre d’appel a été contacté n fois. Déterminer la loi de la variable aléatoire N donnant le nombre d’interventions du réparateur.

 
Exercice 11  4118   Correction  

Un archer tire sur n cibles. À chaque tir, il a la probabilité p de toucher la cible et les tirs sont supposés indépendants. Il tire une première fois sur chaque cible et l’on note X le nombre de cibles atteintes lors de ce premier jet. L’archer tire ensuite une seconde fois sur les cibles restantes et l’on note Y le nombre de cibles touchés lors de cette tentative. Déterminer la loi de la variable Z=X+Y.

Solution

La modélisation entraîne que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p:

P(X=k)=(nk)pk(1-p)n-k avec k0;n.

La variable aléatoire Y n’est quant à elle bien connue que lorsque le nombre n-X de cibles restant l’est, elle suit alors une loi de Bernoulli

P(Y=X=k)=(n-k)p(1-p)n-k- avec n-k.

Par probabilités totales

P(Z=m)=k=0mP(X=k,Y=m-k).

Par probabilités composées

P(Z=m)=k=0mP(X=k)P(Y=m-kX=k).

Ceci donne

P(Z=m)=k=0m(nk)(n-km-k)pm(1-p)2n-k-m.

Or

(nk)(n-km-k)=n!k!(m-k)!(n-m)!=(nm)(mk)

et donc

P(Z=m)=(nm)pm(1-p)2n-m×k=0m(mk)(11-p)k.

Par la formule du binôme

P(Z=m)=(nm)pm(1-p)2n-m(2-p)m(1-p)m=(nm)qm(1-q)n-m

avec q=p(2-p).
La variable Z suit une loi binomiale.

 
Exercice 12  4191   Correction  

Soient p,q]0;1[.

  • (a)

    Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Bernoulli de paramètres p et q. Identifier la loi suivie par la variable Z=max(X,Y).

Deux archers tirent indépendemment sur n cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité p de toucher, le second la probabilité q.

  • (b)

    Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées au moins une fois?

  • (c)

    Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées deux fois?

Solution

  • (a)

    Z(Ω){0,1} et P(Z=0)=P(X=0,Y=0). Par indépendance

    P(Z=0)=P(X=0)P(Y=0)=(1-p)(1-q).

    On en déduit que Z suit une loi de Bernoulli de paramètre

    r=1-(1-p)(1-q)=p+q-pq.
  • (b)

    Numérotons les cibles de 1 à n et définissons les variables aléatoires Xi et Yi déterminant si la cible i est touchée par l’un ou l’autre des deux archers. Ces variables sont indépendantes, Xi suit une loi de Bernoulli de paramètre p et Yi de paramètre q. La variable Zi=max(Xi,Yi) détermine si une cible a été touchée au moins une fois. Le nombre de cibles touchées au moins une fois est donc

    N=i=1nZi.

    Les variables Zi étant indépendantes, la variable N suit une loi binomiale de paramètres n et r=p+q-pq.

  • (c)

    On pose Ti=XiYi: Ti est une variable de Bernoulli qui indique si la cible i est touchée deux fois. Par indépendance, Ti suit une loi de paramètre pq et le nombre M de cibles touchées deux fois suit une loi binomiale de paramètres n et pq.

 
Exercice 13  4614   

Deux archers tirent indépendamment sur n cibles. À chaque tir, le premier archer a la probabilité p de toucher et le second la probabilité q.

Quelle est la loi suivie par le nombre de cibles touchées au moins une fois?

 
Exercice 14  4624  

Soient X1,,Xn des variables aléatoires indépendantes suivant toutes une même loi de Bernoulli de paramètre p[0;1]. On forme U la colonne de n,1() dont les éléments sont les valeurs respectives des variables X1,,Xn.

Donner la probabilité que M=UUt soit une matrice de projection.

 
Exercice 15  4626    

(Théorème de Weierstrass)

Soit f:[0;1] une fonction de classe 𝒞1.

Pour n* et x[0;1], on introduit une variable aléatoire Xn=Sn/nSn suit une loi binomiale de paramètres n et x.

  • (a)

    Vérifier que Bn(f):xE(f(Xn)) est une fonction polynomiale sur [0;1].

  • (b)

    Justifier l’existence de deux réels M,M+ vérifiant

    x[0;1],|f(x)|Met(x,y)[0;1]2,|f(y)-f(x)|M|y-x|.
  • (c)

    Soient x[0;1], α>0 et l’événement An=(|Xn-x|α). Montrer

    E(|f(Xn)-f(x)|1An)MαetE(|f(Xn)-f(x)|1An¯)M2nα2.
  • (d)

    En déduire

    supx[0;1]|Bn(f)(x)-f(x)|n+0.

[<] Loi binomiale[>] Loi conjointe

 
Exercice 16  3974  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires finies sur un espace Ω. On suppose

(x,y)X(Ω)×Y(Ω),P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y).

Montrer que les variables X et Y sont indépendantes.

Solution

Soient A{x1,,xn} et B{y1,ym}. On a

(X=A)(Y=B)=(xAX=x)(yBY=y).

En développant

(X=A)(Y=B)=(x,y)A×B(X=x)(Y=y).

Cette réunion étant disjointe

P(X=A,Y=B)=(x,y)A×BP(X=x)P(Y=y)

et donc

P(X=A,Y=B)=xAP(X=x)yBP(Y=y).

Finalement,

P(X=A,Y=B)=P(X=A)P(Y=B).

Les variables aléatoires X et Y sont donc bien indépendantes.

 
Exercice 17  4618  

Deux joueurs lancent chacun n fois une pièce équilibrée. On note X le nombre de côtés faces obtenus par le premier joueur et Y celui du second.

  • (a)

    Calculer P(X=Y).

  • (b)

    En déduire P(XY).

 
Exercice 18  3825  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires prenant pour valeurs a1,,an avec

P(X=ai)=P(Y=ai)=pi.

On suppose que les variables X et Y sont indépendantes.
Montrer que

P(XY)=i=1npi(1-pi).

Solution

L’événement {X=Y} se décompose en les événements incompatibles {X=aiY=ai}.
Par hypothèse d’indépendance

P({X=aiY=ai})=P({X=ai})P({Y=ai})=pi2

donc

P({X=Y})=i=1npi2

puis par complémentation

P({XY})=1-i=1npi2.

Enfin, on conclut sachant

1=i=1npi.
 
Exercice 19  3973  Correction  

Montrer que deux évènements sont indépendants si, et seulement si, leurs fonctions indicatrices définissent des variables aléatoires indépendantes.

Solution

Soient A,B deux évènements de l’espace probabilisé (Ω,P).
Supposons les fonctions indicatrices 1A et 1B indépendantes. On a

P(1A=1,1B=1)=P(1A=1)P(1B=1)

ce qui se relit

P(AB)=P(A)P(B).

Inversement, supposons les évènements A et B indépendants. On sait qu’alors

P(AB)=P(A)P(B),P(A¯B)=P(A¯)P(B),.
P(AB¯)=P(A)P(B¯) et P(A¯B¯)=P(A¯)P(B¯).

Ceci se relit

P(1A=1,1B=1) =P(1A=1)P(1B=1),
P(1A=0,1B=1) =P(1A=0)P(1B=1),
P(1A=1,1B=0) =P(1A=1)P(1B=0) et
P(1A=0,1B=0) =P(1A=0)P(1B=0).

On en déduit que les variables aléatoires 1A et 1B sont indépendantes.

 
Exercice 20  3818   Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes.
Les variables aléatoires X+Y et X-Y sont-elles indépendantes?

Solution

La réponse est négative en général.
Supposons que X et Y suivent des lois de Bernoulli de paramètre 1/2.
On a

P(X+Y=2)=P(X=1)P(Y=1)=1/4

et

P(X-Y=0)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)=1/2.

Or l’événement X+Y=2 est inclus dans l’événement X-Y=0 donc

P(X+Y=2X-Y=0)=P(X+Y=2)

et l’on constate

P(X+Y=2X-Y=0)P(X+Y=2)P(X-Y=0).
 
Exercice 21  3981   Correction  

Soient X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini (Ω,P) et f une application définie sur X(Ω).
À quelle condition les variables aléatoires X et f(X) sont-elles indépendantes?

Solution

Supposons les variables aléatoires X et f(X) indépendantes.
Soient ωΩ vérifiant P({ω})>0.
Posons x=X(ω) et y=f(x).
On a

P(f(X)=yX=x)=P(f(X)=yX=x)P(X=x).

Or {X=x}{f(X)=y}, donc

P(f(X)=yX=x)=1.

Cependant, les variables X et f(X) étant supposées indépendantes

P(f(X)=yX=x)=P(f(X)=y).

Ainsi, f(X)=y presque sûrement.
La réciproque est immédiate et donc X et f(X) sont indépendantes si, et seulement si, f(X) est presque sûrement constante.

[<] Indépendance de variables aléatoires[>] Espérance

 
Exercice 22  4580  

On lance deux dés équilibrés et l’on note Y et Z la plus petite et la plus grande des valeurs obtenues.

  • (a)

    Par un tableau, déterminer la loi conjointe de Y et Z.

  • (b)

    En déduire les lois de Y et Z.

  • (c)

    Déterminer les lois de Z sachant Y.

 
Exercice 23  5216  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs respectivement dans 1;n et 1;m (avec n,m*). On suppose que pour tout (i,j)1;n×1;m,

P(X=i,Y=j)=1nm.
  • (a)

    Montrer que les lois marginales de (X,Y) sont uniformes et indépendantes.

  • (b)

    Inversement, on suppose que X et Y sont des variables indépendantes suivant des lois uniformes. La loi conjointe de X et Y est-elle uniforme?

Solution

  • (a)

    Pour i1;n,

    P(X=i)=j=1mP(X=i,Y=j)=j=1m1mn=1n.

    La variable X suit une loi uniforme sur 1;n. Par un calcul analogue, on vérifie que Y suit une loi uniforme sur 1;m. De plus, pour tout (i,j)1;n×1;m,

    P(X=i,Y=j)=1nm=1n1m=P(X=i)P(Y=j).

    Les variables aléatoires sont indépendantes.

  • (b)

    Supposons que X suit une loi uniforme sur un ensemble (fini) E et Y sur un ensemble (fini) F. Supposons au surplus les variables X et Y indépendantes.

    Posons n=Card(E) et m=Card(F). Pour tout (x,y)E×F,

    P((X,Y)=(x,y))=P(X=x)P(Y=y)=1n1m=1nm=1Card(E×F).

    Ainsi, (X,Y) suit une loi uniforme sur E×F.

 
Exercice 24  4619   

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans 1;n telle que chaque élément de 1;n soit une valeur prise par X avec une probabilité non nulle. Aussi, soit Y une variable aléatoire telle que, pour tout k1;n, la loi de Y sachant (X=k) est uniforme sur 1;k

  • (a)

    Exprimer la loi de Y en fonction de celle de X.

  • (b)

    En déduire l’espérance de Y en fonction de celle de X.

  • (c)

    Retrouver ce résultat en considérant la variable Z=X+1-Y.

 
Exercice 25  3817   

Deux variables aléatoires11 1 À défaut de précision, les variables aléatoires introduites sont toujours supposées définies sur un même espace probabilisé fini (Ω,P). indépendantes X et Y suivent des lois binomiales de tailles n et m et de même probabilité de réussite p]0;1[.

  • (a)

    Identifier la loi suivie par la variable aléatoire S=X+Y.

  • (b)

    Soit s0;n+m. Identifier la loi de X sachant (S=s).

[<] Loi conjointe[>] Calcul d'espérances et de variances

 
Exercice 26  4616   

Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans 0;n. Établir

E(X)=k=1nP(Xk).
 
Exercice 27  3835   Correction  

Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans {0,1,,N}.
Établir

E(X)=n=0N-1P(X>n).

Solution

Notons pn=P(X=n). On a par définition

E(X)=n=0Nnpn=n=1Nnpn.

Or {X=n}={X>n-1}{X>n} donc

pn=P(X>n-1)-P(X>n)

donc

E(X)=n=1NnP(X>n-1)-n=1NnP(X>n).

Par décalage d’indice dans la première somme

E(X)=n=0N-1(n+1)P(X>n)-n=1NnP(X>n).

En supprimant le dernier terme assurément nul de la deuxième somme et en y ajoutant un terme nul correspondant à l’indice 0

E(X)=n=0N-1(n+1)P(X>n)-n=0N-1nP(X>n).

Enfin, en combinant ces sommes

E(X)=n=0N-1P(X>n).
 
Exercice 28  3833  Correction  

Soit X une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini. Établir

E(X)2E(X2).

Solution

Par la formule de Huygens,

V(X)=E((X-E(X)2))=E(X2)-E(X)20.
 
Exercice 29  3992   

Soient X1 et X2 deux variables aléatoires réelles. On suppose que E(X1k)=E(X2k) pour tout k. Montrer que les variables X1 et X2 suivent les mêmes lois.

 
Exercice 30  4617   

Deux variables aléatoires réelles indépendantes X et Y prennent leurs valeurs dans un ensemble E et suivent une même loi.

  • (a)

    Soient f et g deux fonctions réelles croissantes définies sur E. En étudiant l’espérance de Z=(f(Y)-f(X))(g(Y)-g(X)), établir

    E(f(X)g(X))E(f(X))E(g(X)).
  • (b)

    Application: On suppose que X prend ses valeurs dans E+*. Montrer

    E(X)E(1X)1.
 
Exercice 31  3847   Correction  

Dans cet exercice, les variables aléatoires sont toutes supposées prendre leurs valeurs dans .
On appelle fonction caractéristique d’une variable aléatoire X l’application φX: définie par

φX(u)=E(eiuX).
  • (a)

    Vérifier que φX est 2π-périodique et de classe 𝒞.
    Calculer φX(0). Comment interpréter φX(0) et φX′′(0)?

  • (b)

    Calculer la fonction caractéristique d’une variable X suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.
    Même question avec une loi binomiale de paramètres n et p.

  • (c)

    Soient X une variable aléatoire réelle et x0 un entier. Vérifier

    P(X=x0)=12π02πφX(u)e-iux0du.

    En déduire

    φX=φYX et Y suivent la même loi.
  • (d)

    Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. Vérifier

    φX+Y=φXφY.
  • (e)

    Exploiter ce résultat pour retrouver la fonction caractéristique d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

Solution

  • (a)

    Notons x1,,xn les valeurs (entières) prises par X. On a

    φX(u)=k=1neiuxkP(X=xk).

    La fonction φX est alors combinaison linéaire de fonctions 2π-périodiques (car xk) et de classe 𝒞.

    φX(0)=E(1)=1,φX(0)=k=1nixkP(X=xk)=iE(X) et φX′′(0)=-E(X2).
  • (b)

    Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p

    φX(u)=(1-p)+peiu.

    Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p

    φX(u)=k=0n(nk)pk(1-p)n-keiku=(1-p+peiu)n.
  • (c)

    Avec les notations qui précèdent

    02πφX(u)e-iux0du=k=0nP(X=xk)02πeiu(xk-x0)du.

    Puisque xk-x0 est un entier

    02πeiu(xk-x0)du={0 si xkx02π si xk=x0

    et donc

    02πφX(u)e-iux0du=2πP(X=x0).

    Si φX=φY alors

    x0,P(X=x0)=P(Y=x0)

    et donc X et Y suivent la même loi.

  • (d)

    Notons que X+Y prend ses valeurs dans comme X et Y.

    φX+Y(u)=E(eiu(X+Y))=E(eiuXeiuY)=E(eiuX)E(eiuY)=φX(u)φY(u)

    car les variables X et Y sont supposées indépendantes.

  • (e)

    Une loi binomiale de paramètres n et p peut se comprendre comme la somme de n loi de Bernoulli indépendantes de paramètre p.
    Avec cet exercice, on perçoit la trace dans une situation particulière de résultats beaucoup plus généraux. Il est assez fréquent d’étudier une variable aléatoire par la fonction caractéristique associée.

[<] Espérance[>] Covariance

 
Exercice 32  4612  

Soient ab deux entiers. Calculer l’espérance et la variance d’une variable X suivant une loi uniforme sur a;b.

 
Exercice 33  3838  Correction  

Soit X une variable aléatoire binomiale de taille n et de paramètre p]0;1[.
Calculer l’espérance de la variable

Y=1X+1.

Solution

Puisque

P(X=k)=(nk)pk(1-p)n-k

l’espérance de Y est donnée par

E(Y)=k=0n1k+1(nk)pk(1-p)n-k.

Or

(n+1k+1)=n+1k+1(nk)

donc

E(Y)=1n+1k=0n(n+1k+1)pk(1-p)n-k

puis par glissement d’indice

E(Y)=1p(n+1)k=1n+1(n+1k)pk(1-p)(n+1)-k

et enfin, par la formule du binôme de Newton, avec un terme manquant

E(Y)=1-(1-p)n+1p(n+1).
 
Exercice 34  3980  Correction  

Soient p]0;1[ et (Xk)k* une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes vérifiant

P(Xk=1)=petP(Xk=-1)=1-p.
  • (a)

    Calculer l’espérance de Xk.

  • (b)

    On pose

    Yn=k=1nXk.

    En calculant de deux façons l’espérance de Yn, déterminer pn=P(Yn=1).

  • (c)

    Quelle est la limite de pn quand n+.

Solution

  • (a)

    E(Xk)=1×p+(-1)×(1-p)=2p-1.

  • (b)

    Par l’indépendance des variables

    E(Yn)=k=1nE(Xk)=(2p-1)n.

    Aussi Yn{1,-1} et

    E(Yn)=1×pn+(-1)×(1-pn)=2pn-1.

    On en déduit

    pn=1+(2p-1)n2.
  • (c)

    Puisque |p|<1, pn1/2.

 
Exercice 35  3839  

Une population de N individus est infectée par un virus dans une faible proportion p. Des analyses sanguines permettent de détecter la présence du virus dans n’importe quel échantillon. Afin de réduire le nombre d’analyses, on se propose de déterminer les individus malades en réunissant ceux-ci par groupes de n et, pour simplifier l’étude, on suppose que n divise N. On rassemble une partie des échantillons sanguins des individus de chaque groupe et l’on teste l’échantillon obtenu. Si le résultat du groupe est positif, on analyse chacun des échantillons des individus du groupe.

  • (a)

    Déterminer la loi de la variable aléatoire X donnant le nombre de groupes positifs.

  • (b)

    On note Y la variable aléatoire donnant le nombre d’analyses effectuées. Calculer l’espérance de Y en fonction de n,N et p.

  • (c)

    Que vaut cette espérance pour les valeurs N=1 000, n=10 et p=0,01?

 
Exercice 36  5217   

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi uniforme sur 1;n.

  • (a)

    Déterminer l’espérance de Z=min(X,Y).

  • (b)

    En déduire les espérances de max(X,Y) et de |Y-X|.

 
Exercice 37  3987   Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans 1;n.

  • (a)

    Exprimer E(X) en fonction de P(Xk).

  • (b)

    On suppose les variables X et Y uniformes.
    Déterminer l’espérance de min(X,Y) puis de max(X,Y).
    Déterminer aussi l’espérance de |X-Y|.

Solution

  • (a)

    En écrivant

    P(X=k)=P(Xk)-P(Xk+1)

    on obtient

    E(X)=k=1nkP(X=k)=k=1nP(Xk).
  • (b)

    Par la propriété au-dessus

    E(min(X,Y))=k=1nP(Xk et Yk)=k=1nP(Xk)P(Yk).

    Puisque

    P(Xk)=P(Yk)=n+1-kn

    on obtient

    E(min(X,Y))=1n2k=1n(n+1-k)21n2k=1nk2=(n+1)(2n+1)6n.

    Aussi

    min(X,Y)+max(X,Y)=X+Y

    donc

    E(max(X,Y))=n+1-(n+1)(2n+1)6n=(n+1)(4n-1)6n.

    Encore

    min(X,Y)=12((X+Y)-|X-Y|)

    donc

    E(|X-Y|)=n+1-(n+1)(2n+1)3n=n2-13n.
 
Exercice 38  3837   

Une urne contient b1 boules blanches et r1 boules rouges. On tire simultanément n boules dans cette urne et l’on note X le nombre de boules blanches obtenues.

Déterminer l’espérance et la variance de la variable X.

 
Exercice 39  3984   

Soient X1,,Xn des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes suivant une même loi d’espérance μ et de variance σ2.

  • (a)

    Calculer l’espérance de la variable

    Mn=1ni=1nXi.

    On dit que Mn est un estimateur de l’espérance μ.

  • (b)

    Calculer la variance de Mn.

  • (c)

    Pour quelle valeur du réel λ, la variable aléatoire

    Vn=λi=1n(Xi-Mn)2

    peut-elle être considérée comme un estimateur de la variance σ2?

 
Exercice 40  5064   

M. Atchoum dispose d’un paquet de N mouchoirs en papier dans chacune des poches droite et gauche de son pantalon. Chaque fois qu’il éternue, il choisit une poche au hasard pour prendre un mouchoir. Il répète cela jusqu’à ce qu’il vide l’un des paquets. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de mouchoirs restant alors dans l’autre paquet.

  • (a)

    Exprimer la loi de X.

  • (b)

    Montrer que pour tout k1;N,

    (2N-k-1)P(X=k+1)=2(N-k)P(X=k).
  • (c)

    Calculer l’espérance de X.

 
Exercice 41  4621   

Soient X1,,Xn,Xn+1 des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant chacune des lois de Bernoulli de même paramètre p[0;1]. Pour tout k1;n on pose Yk=XkXk+1. Calculer la variance de Sn=Y1++Yn.

 
Exercice 42  5066    Correction  

Soit An() une matrice dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes et suivent une loi uniforme sur {-1,1}.

Calculer E(det(A)) et V(det(A)).

On admettra que lorsque deux variables aléatoires s’expriment à l’aide de deux sous-familles disjointes d’une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, celles-ci sont indépendantes.

Solution

Pour (i,j)1;n2, notons ai,j la variable aléatoire associée au coefficient d’indice (i,j) de la matrice A. Par hypothèse, ai,j est d’espérance nulle tandis que ai,j2 est la variable constante égale à 1.

Méthode: On développe le déterminant de A selon une rangée.

En développant le déterminant de A selon la première colonne, on écrit

det(A)=i=1n(-1)i+1ai,1Δi,1

avec Δi,1 le déterminant de la matrice de taille n-1 obtenue par suppression de la première colonne et de la ligne d’indice i de A. Par linéarité de l’espérance,

E(det(A))=i=1n(-1)i+1E(ai,1Δi,1). (1)

Cependant, pour i1;n, le déterminant Δi,1 se calcule à partir de coefficients de la matrice A qui ne figurent pas sur la première colonne de A. Par le résultat admis, les deux variables aléatoires ai,1 et Δi,1 sont indépendantes. On en déduit

E(ai,1Δi,1)=E(ai,1)=0E(Δi,1)=0 puis E(det(A))=0.

On calcule ensuite la variance de det(A) à l’aide de la formule de Huygens

V(det(A))=E((det(A))2)-(E(det(A))=0)2=E((det(A))2)

Méthode: On élève au carré et l’on développe la formule (1).

Par développement,

(det(A))2=(i=1n(-1)i+1ai,1Δi,1)2=i=1nj=1n(-1)i+jai,1aj,1Δi,1Δj,1.

Pour i et j distincts, les variables aléatoires ai,1 et aj,1Δi,1Δj,1 sont indépendantes et donc

E(ai,1aj,1Δi,1Δj,1)=E(ai,1)=0E(aj,1Δi,1Δj,1)=0.

En simplifiant ces termes et en employant l’indépendance de ai,12 et Δi,12, on obtient

E((det(A))2)=i=1nE(ai,12Δi,12)=i=1nE(ai,12)=1E(Δi,12)=i=1nE(Δi,12). (2)

L’espérance du déterminant du carrée d’une matrice dont les coefficients suivent indépendamment la même loi uniforme sur {-1,1} n’est fonction que de la taille de cette matrice. En notant dn cette espérance pour les matrices de tailles n, la relation (2) donne

dn=ndn-1

car les espérances de Δi,12 sont toutes égales à dn-1. De plus, on a d1=1 car, en taille 1, le déterminant du carré est constant égal à 1. On en déduit par récurrence dn=n! puis

V(det(A))=n!  pour tout n1.
 
Exercice 43  4957    

Sur un espace probabilisé fini (Ω,P), on considère N une variable aléatoire à valeurs dans 1;n (avec n*) et X1,,Xn des variables aléatoires réelles suivant chacune la loi d’une même variable X. On suppose toutes ces variables mutuellement indépendantes et l’on définit une variable Y sur Ω en posant11 1 Par exemple, Y peut être le nombre de côtés piles obtenus lors d’une expérience où on lance un dé puis une pièce un nombre de fois égal à la valeur N du dé.

Y(ω)=i=1N(ω)Xi(ω)pour tout ωΩ.

Exprimer l’espérance puis la variance de la variable Y en fonction des espérances et variances de X et N.

 
Exercice 44  5084    

Une urne contient six jetons indiscernables au toucher et numérotés de 1 à 6. On lance un dé équilibré et l’on pioche dans l’urne (sans remise) un nombre de jetons égal à la valeur du dé. On admet l’existence d’un espace probabilisé (Ω,𝒯,P) qui permet d’étudier cette expérience.

Déterminer l’espérance et la variance de la variable S donnant la valeur totale des jetons piochés.

 
Exercice 45  3840    

Dans une urne contenant n* boules blanches et n boules rouges, on prélève successivement et sans remise des boules jusqu’à l’obtention de toutes les boules blanches. On note X le nombre total de boules alors sorties de l’urne.

  • (a)

    Proposer un espace probabilisé (Ω,P) permettant d’étudier cette expérience.

  • (b)

    Déterminer la loi de X.

  • (c)

    Calculer son espérance et sa variance.

 
Exercice 46  3986    

Un groupe de n2 individus échange des cadeaux. Chaque individu apporte un cadeau qu’il dispose dans une urne. Chacun leur tour, les individus retirent de l’urne un cadeau avec le risque de piocher leur propre cadeau. On note X la variable aléatoire donnant le nombre d’individus ayant pioché les cadeaux qu’ils ont apportés.

  • (a)

    Proposer un espace probabilisé (Ω,P) permettant d’étudier l’expérience.

  • (b)

    Calculer l’espérance de X.

 
Exercice 47  5091    Correction  

Soient a,b et n. On appelle chemin de longueur n allant de a à b toute suite d’entiers γ=(a0,a1,,an) commençant par a0=a, terminant par an=b et vérifiant |ai-ai-1|=1 pour tout i1;n. On dit alors que ce chemin passe par les ai et celui-ci peut être figuré par une ligne brisée s’articulant autour des points de coordonnées (i,ai) pour i=0,1,,n.

  • (a)

    À quelle condition existe-t-il au moins un chemin de longueur n allant de a à b? On suppose cette condition remplie, exprimer alors le nombre de ces chemins.

  • (b)

    Soient a et b*. Justifier qu’il y a autant de chemins de longueur n allant de a à b qui passe par 0 que de chemins de longueur n allant de -a à b.

Soit (Xn)n* une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées selon la loi d’une variable X prenant ses valeurs dans {-1,1} avec P(X=1)=p (avec p]0;1[). Pour tout n*, on pose Sn=X1++Xn.

  • (c)

    Soient n* et b. Exprimer P(Sn=b) et vérifier

    P(S1S2Sn0,Sn=b)=|b|nP(Sn=b).
  • (d)

    En déduire

    P(S1S2Sn0)=1nE(|Sn|).

Solution

  • (a)

    Un chemin de longueur n est formé par le choix des valeurs ai-ai-1 égales à 1 ou -1. S’il y a k valeurs égales à 1, il y en a n-k égales à -1 et alors

    an-a0=i=1n(ai-ai-1)=k1+(n-k)(-1)=2k-n avec k0;n.

    Ainsi, il existe un chemin de longueur allant de a à b si, et seulement si, il existe k0;n tel que b-a=2k-n, c’est-à-dire si, et seulement si, n+b-a est un entier pair compris entre 0 et 2n. De plus, lorsque cette condition est remplie, un tel chemin est entièrement déterminé par le choix des k=12(n+b-a) indices i de 1;n pour lesquels ai-ai-1=1. Le nombre de chemins de longueur n allant de a à b est alors

    (nn+b-a2) pour n+b-a20;n
  • (b)

    Méthode: On fait se correspondre de façon bijective les chemins allant de a à b et passant par 0 avec ceux allant de -a à b: c’est le principe de réflexion.

    Considérons un chemin γ=(a0,a1,,an) allant de a à b passant par 0. Il existe au moins un indice j dans 1;n-1 tel que aj=0. Parmi ceux-ci, considérons le plus petit de sorte que aj=0 et ai>0 pour tout indice i<j. On transforme alors le chemin γ en γ=(-a0,-a1,,-aj-1,0,aj+1,,an) ce qui détermine un chemin de longueur n allant de -a à b. Réciproquement, un chemin de longueur n allant de -a à b passe nécessairement par 0 et si l’on introduit l’indice j du premier passage par 0, on transforme ce chemin de façon inverse à la démarche précédente en un chemin de longueur n allant de a à b et passant par 0.

    Par ces transformations bijectives réciproques l’une de l’autre, on obtient qu’il y a exactement autant de chemins de longueur n allant de a à b et passant par 0 que de chemins de longueur n allant de -a à b.

  • (c)

    Méthode: La suite (0,S1,,Sn) détermine un chemin de longueur n allant de 0 à b.

    Si 12(n+b) n’est pas élément de 0;n, il n’existe pas de chemins de longueur n allant de 0 à b: P(Sn=b)=0.

    Sinon, pour réaliser un chemin de longueur n allant de 0 à b, les variables X1,,Xn doivent prendre 12(n+b) fois la valeur 1 et 12(n-b) fois la valeur -1. Par indépendance de ces variables, la probabilité d’un tel chemin est pn+b2(1-p)n-b2 ce qui ne dépend pas du choix de ce chemin et donc11 1 On peut aussi obtenir cette formule en introduisant les variables de Bernoulli Yn=12(1+Xn) et en constatant que 12(n+Sn)=Y1++Yn suit alors une loi binomiale de paramètres n et p.

    P(Sn=b)=(nn+b2)p12(n+b)(1-p)12(n-b).

    Étudions ensuite la probabilité de l’événement (S1S2Sn0)(Sn=b) ce qui correspond à la réalisation d’un chemin de longueur n commençant en 0, terminant en b et qui ne repasse pas 0. Encore une fois, si 12(n+b) n’est pas élément de 0;n, cette probabilité est nulle et la formule voulue est vérifiée. Supposons désormais 12(n+b)0;n et poursuivons en discutant selon le signe de b.

    Cas: b>0. Un chemin convenable commence nécessairement avec X1=1 puis définit un chemin de longueur n-1 allant de 1 à b et ne passant pas par 0. Si b=n, aucun chemin de longueur n-1 allant de 1 à b=n ne peut passer par 0 et la formule proposée est vérifiée. Sinon, b est strictement inférieur à n et le nombre de ces chemins se déduit du nombre de chemins allant de -1 à b. On obtient

    (n-1n+b2-1)nombre de cheminsde longueur n-1de 1 à b-(n-1n+b2)nombre de cheminsde longueur n-1de -1 à b

    ce qui donne par les écritures factorielles des coefficients binomiaux

    (n-1)!(n+b2-1)!(n-b2)!-(n-1)!(n+b2)!(n-b2-1)!=(n-1)!(n+b2-n-b2)(n+b2)!(n-b2)!=bn(nn+b2).

    De plus, comme au-dessus, chacun de ces chemins a la même probabilité pn+b2(1-p)n-b2 et donc

    P(S1S2Sn0,Sn=b)=bn(nn+b2)pn+b2(1-p)n-b2=bnP(Sn=b).

    Cas: b<0. On peut reproduire le raisonnement précédent ou introduire les variables Yn=-Xn ce qui a pour effet d’échanger Sn en -Sn, b en -b et p en 1-p. On vérifie alors l’exactitude de la formule proposée.

    Cas: b=0. L’événement de (S1S2Sn0)(Sn=0) est impossible ce qui valide encore la formule.

  • (d)

    En notant Bn l’ensemble des valeurs prises par Sn, les événements (Sn=b) pour b parcourant Bn constituent un système complet et donc

    P(S1S2Sn0)=bBnP(S1S2Sn0,Sn=b)=bB|b|nP(Sn=b).

    Par la formule de transfert, on conclut

    P(S1S2Sn0)=1nE(|Sn|).

[<] Calcul d'espérances et de variances[>] Calcul de covariances

 
Exercice 48  3993  Correction  

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé (Ω,P).
Montrer

|Cov(X,Y)|V(X)V(Y).

Solution

Pour λ, introduisons Z=λX+Y. On a V(Z)0 avec

V(Z)=λ2V(X)+2λCov(X,Y)+V(Y).

Si V(X)=0, on a nécessairement Cov(X,Y)=0 pour que V(Z) soit positif pour tout λ.
Si V(X)0, on a nécessairement Δ=4Cov(X,Y)2-4V(X)V(Y)0 pour que V(Z) soit positif pour tout λ.
Dans les deux cas, on obtient

|Cov(X,Y)|V(X)V(Y).
 
Exercice 49  3994   

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles avec V(X)>0. Déterminer (a,b)2 minimisant la quantité

E((Y-(aX+b))2).

[<] Covariance[>] Inégalité de Markov

 
Exercice 50  4111  Correction  

À un péage autoroutier n voitures franchissent au hasard et indépendamment l’une des trois barrières de péage mises à leur disposition. On note X1,X2,X3 les variables aléatoires dénombrant les voitures ayant franchi ces barrières.

  • (a)

    Déterminer la loi de X1.

  • (b)

    Calculer les variances de X1, X2 et de X1+X2.

  • (c)

    En déduire la covariance de X1 et X2.

Solution

  • (a)

    Chacune des n voitures a la probabilité p=1/3 de choisir le premier péage. Dès lors, la variable aléatoire X1 peut se comprendre comme étant le nombre de succès dans une série de n épreuves indépendantes ayant chacune la probabilité p de réussir. La variable X1 suit une loi binomiale de paramètres n et p=1/3.

  • (b)

    V(X1)=np(1-p)=2n/9 et V(X2)=2n/9 car X1,X2,X3 suivent les mêmes lois.
    Puisque X1+X2=n-X3, V(X1+X2)=V(n-X3)=V(X3)=2n/9.

  • (c)

    Sachant

    V(X1+X2)=V(X1)+2Cov(X1,X2)+V(X2)

    on obtient

    Cov(X1,X2)=-n/9.
 
Exercice 51  4620  

Soient U et V deux variables de Bernoulli indépendantes de paramètres p et q]0;1[. On pose X=U+V et Y=U-V.

  • (a)

    Calculer la covariance de X et Y.

  • (b)

    Les variables X et Y sont-elles indépendantes?

 
Exercice 52  5088  

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires réelles suivant une loi uniforme sur l’ensemble {(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}.

  • (a)

    Préciser les lois des variables X et Y.

  • (b)

    Calculer la covariance des variables X et Y. Celles-ci sont-elles indépendantes?

 
Exercice 53  4181     CENTRALE (MP)Correction  

Soit (U,V) un couple de variables aléatoires indépendantes suivant la loi binomiale (2,1/2).

  • (a)

    Montrer que la somme de n variables aléatoires réelles indépendantes qui suivent la loi de Bernoulli de paramètre p]0;1[ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  • (b)

    On pose S=(U-1)2+(V-1)2. Déterminer la loi de S.

  • (c)

    On pose T=(U-1)(V-1)+1. Calculer E(S(T-1)). Déterminer la loi de T . Calculer la covariance de (S,T). Les variables S et T sont-elles indépendantes?

Solution

  • (a)

    Cf. cours.

  • (b)

    (U-1)2 prend les valeurs 0 et 1 avec

    P((U-1)2=1)=P(U=1)=12.

    Les variables (U-1)2 et (V-1)2 suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre 1/2. Par indépendance de U et V, on a aussi celle de (U-1)2 et (V-1)2 et donc S suit une loi (2,1/2).

  • (c)

    Par indépendance, l’espérance d’un produit est le produit des espérances

    E(S(T-1))=E((U-1)3)E(V-1)+E(U-1)E((V-1)3)=0.

    La variable T prend les valeurs 0, 1 et 2.

    P(T=0)=P(U=0,V=2)+P(U=2,V=0)=18

    et

    P(T=2)=P(U=0,V=0)+P(U=2,V=2)=18.

    On en tire P(T=1)=3/4.

    Par la formule de Huygens,

    Cov(S,T) =E(ST)-E(S)E(T)
    =E(S(T-1))+E(S)-E(S)E(T)
    =0+1-1=0.

    La covariance nulle ne suffit pas à affirmer l’indépendance de S et T. Étudions l’événement (S=0,T=0).

    L’événement (S=0) correspond à (U=1,V=1) alors que (T=0) correspond à (U=0,V=2)(U=2,V=0). Ceux-ci sont incompatibles et donc

    P(S=0,T=0)=0P(S=0)P(T=0).

    Les variables S et T ne sont pas indépendantes.

 
Exercice 54  5310     CCP (MP)Correction  

L’univers Ω est l’ensemble des permutations de 1;n (avec n*) muni de la probabilité uniforme. Soit k1;n. Pour σ élément de Ω, on définit une variable aléatoire réelle Xk par Xk(σ)=1 si k est un point fixe de σ (c’est-à-dire σ(k)=k) et 0 sinon. On note N le nombre de points fixes de σ.

  • (a)

    Que dire de la variable Xk?

  • (b)

    Calculer son espérance et sa variance.

  • (c)

    Calculer Cov(Xi,Xj) (pour i,j1;n distincts).

  • (d)

    Exprimer N en fonction des Xk.

  • (e)

    En déduire E(N) et V(N).

Solution

  • (a)

    La variable Xk prend ses valeurs dans {0,1}, elle suit une loi de Bernoulli. Il y a n! permutations de 1;n et exactement (n-1)! permutations fixant k. On en déduit

    P(Xk=1)=(n-1)!n!=1n.
  • (b)

    E(Xk)=1n et V(Xk)=(n-1)n2.

  • (c)

    Soient ij dans 1;n. La variable XiXj prend ses valeurs dans {0,1}, elle suit aussi une loi de Bernoulli. Il y a (n-2)! permutations de 1;n qui fixent i et j et donc

    E(XiXj)=P(XiXj=1)=(n-2)!n!=1n(n-1).

    On en déduit

    Cov(Xi,Xj)=E(XiXj)-E(Xi)E(Xj)=1n(n-1)-1n2=1(n-1)n2.
  • (d)

    N est la somme des Xk.

  • (e)

    Par linéarité de l’espérance,

    E(N)=k=1nE(Xk)=1.

    Par bilinéarité de la covariance,

    V(N)=Cov(N,N)=i,j=1nCov(Xi,Xj)=i=1nV(Xi)+21i<jnCov(Xi,Xj)=1.
 
Exercice 55  5351   Correction  

On tire deux parties A et B de 1;n indépendemment et selon une loi uniforme.

  • (a)

    Identifier la loi de la variable aléatoire X=Card(A).

  • (b)

    Déterminer l’espérance et la variance de la variable aléatoire Y=Card(AB).

  • (c)

    Même question avec Z=Card(AB).

  • (d)

    Calculer la covariance de Y et Z.

Solution

  • (a)

    X(Ω)=0;n. Pour k0;n, il y a exactement (nk) parties possèdant exactement k éléments. Puisqu’il existe un total de 2n parties dans 1;n, on obtient

    P(X=k)=(nk)12n.

    On observe que X suit une loi binomiale de paramètres n et p=1/2: X se comprend comme le nombre de succès dans la répétition indépendante de n épreuves de Bernoulli indépendantes et A est l’ensemble des indices où il y a eu succès.

  • (b)

    Si l’on répète deux successions de n épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès 1/2 et que l’on forme A et B les ensembles constitués des rangs où l’on a obtenu un succès lors de la première et de la deuxième série, on observe que les variables aléatoires A et B sont indépendantes et suivent une loi uniforme11 1 Chaque tirage correspondant à une partie de 0;n a la même probabilité 1/2n: ces variables respectent le contexte d’étude. La variable AB détermine alors les rangs communs de succès aux deux séries d’épreuves. Or si deux variables suivent des lois de Bernoulli indépendantes de paramètre 1/2, leur produit suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/4. On en déduit que Y suit une loi binomiale de paramètres n et p=1/4. Il vient alors

    E(Y)=n4etV(Y)=3n16.
  • (c)

    L’interprétation est semblable: Z est le nombre de rangs où il y a un succès lors de l’une ou l’autre des deux séries. On obtient que Z suit une loi binomiale de paramètres n et p=3/4. Ainsi,

    E(Z)=3n4etV(Y)=3n16.
  • (d)

    On sait

    Card(AB)+Card(AB)=Card(A)+Card(B).

    Par indépendance,

    V(Card(A)+Card(B))=V(Card(A))+V(Card(B))=2V(X)=n2.

    Par développement,

    V(Card(AB)+Card(AB))=V(Y)+2Cov(Y,Z)+V(Z).

    On en déduit

    Cov(Y,Z)=n16.

[<] Calcul de covariances[>] Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

 
Exercice 56  4622  

Soient X une variable aléatoire réelle et g:++ une fonction croissante. Montrer que, pour tout réel a positif,

g(a)P(|X|a)E(g(|X|)).
 
Exercice 57  3834   Correction  

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de taille n et de paramètre p.
Montrer que pour tout λ>0 et tout ε>0

P(X-np>nε)E(exp(λ(X-np-nε))).

Solution

Par stricte croissance de l’exponentielle, l’événement X-np>nε équivaut à l’événement

exp(λ(X-np-nε))1.

L’inégalité de Markov appliquée à la variable Y=exp(λ(X-np-nε)) permet alors de conclure

P(exp((λ(X-np-nε)1)E(exp(λ(X-np-nε)))1.
 
Exercice 58  3816  Correction  

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre p et de taille n.

Établir pour ε>0,

P(|Xn-p|ε)p(1-p)εn.

Solution

Rappelons

E(X)=np et V(X)=np(1-p).

Considérons la variable aléatoire

Y=X-np=X-E(X).

Par l’inégalité de Markov,

P(|Y|nε)E(|Y|)nε

donc

P(|Xn-p|ε)E(|Y|)nε.

Or E(|Y|)E(Y2) (cf. Cauchy-Schwarz) avec E(Y2)=V(X)=np(1-p) donc

P(|Xn-p|ε)p(1-p)εn.
 
Exercice 59  4043   Correction  

Soit X une variable aléatoire de moyenne μ et de variance σ2.
En introduisant la variable aléatoire

Y=(α(X-μ)+σ)2.

Montrer que pour tout α>0

P(Xμ+ασ)11+α2.

Solution

On a

E(Y)=α2E((X-μ)2)+2αE(X-μ)+σ2=(α2+1)σ2.

L’inégalité de Markov appliquée à la variable positive Y donne

P(Ya)E(Y)a.

Pour a=σ2(α2+1)2,

P(Ya)11+α2.

Or

(Xμ+ασ)=(α(X-μ)+σ(α2+1)σ)

et donc

(Xμ+ασ)(Ya)

puis

P(Xμ+ασ)11+α2.
 
Exercice 60  4623    

Soient X1,,Xn des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur {-1,1}. On pose Sn=X1++Xn.

  • (a)

    Montrer que ch(λ)eλ2/2 pour tout réel λ.

  • (b)

    Établir que, pour tout α>0,

    P(Snn>α)e-nα2/2.

[<] Inégalité de Markov

 
Exercice 61  3982  

Une population présente une propriété dans une proportion inconnue p]0;1[ que l’on souhaite estimer. On choisit un échantillon de n personnes et l’on pose Xi=1 si le i-ème individu présente la propriété étudiée, 0 sinon. On considère que les variables aléatoires Xi ainsi définies sont indépendantes et suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre p. Enfin, on pose Sn=X1++Xn.

  • (a)

    Soit ε>0. Établir

    P(|Snn-p|>ε)14nε2.
  • (b)

    Pour ε=0,05, quelle valeur de n peut-on choisir pour que Sn/n constitue une valeur approchée de p à ε près avec une probabilité supérieure à 95 %?

 
Exercice 62  4042  Correction  

Soit X une variable aléatoire d’espérance μ et de variance σ2. Montrer

P(μ-ασ<X<μ+ασ)1-1α2.

Solution

Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev,

P(|X-μ|ασ)<σ2(ασ2)=1α2.

On conclut par considération d’évènement complémentaire.

 
Exercice 63  4035   

Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires telle que, pour tout n, Xn suit une loi binomiale de paramètres n et p]0;1[. Soit k. Établir

P(Xnk)n+0.


Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax