[>] Construction d'une probabilité

 
Exercice 1  4571  

Soient A, B et C trois événements d’un univers fini Ω.

  • (a)

    Exprimer en langage naturel les événements

    (i)  ABC¯  (ii)  (ABC)(ABC)  (iii)  (AB)(BC)(CA).

  • (b)

    Exprimer par les opérations ensemblistes les événements:

    (i)  «  Seul un des trois événements A, B ou C est réalisé11 1 On dit qu’un événement est réalisé si l’issue de l’expérience aléatoire lui appartient.  »;

    (ii)  «  Au plus deux des trois événements A, B ou C sont réalisés  ».

  • (c)

    Exprimer les propriétés:

    (i)  «  Si A est réalisé, aucun des événements B ou C ne l’est  »;

    (ii)  «  Lorsque A est réalisé, un et un seul des événements B ou C a lieu  ».

 
Exercice 2  4003  Correction  

Soient A,B,C trois évènements d’un espace probabilisable. Exprimer les évènements suivants:

  • (a)

    Aucun des évènements A,B ou C n’est réalisé.

  • (b)

    Un seul des trois évènements A,B ou C est réalisé.

  • (c)

    Au moins deux des trois évènements A,B ou C sont réalisés.

  • (d)

    Pas plus de deux des trois évènements A,B ou C sont réalisés.

Solution

  • (a)

    A¯B¯C¯.

  • (b)

    (AB¯C¯)(A¯BC¯)(A¯B¯C).

  • (c)

    (AB)(BC)(AC).

  • (d)

    ABC¯.

 
Exercice 3  4004   Correction  

Soient A,B,C trois évènements.

  • (a)

    Vérifier que (AB)C entraîne A(BC).

  • (b)

    À quelle condition sur A et C les deux évènements précédents sont-ils égaux?

Solution

  • (a)

    En développant

    (AB)C=(AC)(BC)A(BC).
  • (b)

    AC=A c’est-à-dire AC est une condition évidemment suffisante. Elle est aussi nécessaire car si

    (AB)C=A(BC)

    alors

    AA(BC)(AB)CC.

[<] Événements et langage ensembliste[>] Propriétés d'une probabilité

 
Exercice 4  4577  

Pour chacune des expériences qui suit, proposer un espace probabilisé (Ω,P) permettant de l’étudier.

  • (a)

    On tire successivement et sans remise six boules dans une urne contenant des boules numérotées de 1 à 49.

  • (b)

    On lance deux dés équilibrés.

  • (c)

    Dix individus prennent place sur dix chaises réparties autour d’une table.

  • (d)

    On lance une pièce équilibrée. Si celle-ci tombe du côté pile, on tire une boule dans une urne contenant une boule blanche et deux boules rouges. Sinon, on tire une boule dans une urne contant trois boules blanches et une boule rouge.

 
Exercice 5  3821  Correction  

Déterminer une probabilité sur Ω={1,2,,n} telle que la probabilité de l’événement {k} soit proportionnelle à k.

Solution

Par hypothèse, il existe α tel que P({k})=αk. Or par additivité

k=1nP({k})=P(Ω)=1

donc

α=2n(n+1).
 
Exercice 6  4578  

Soit n*. Déterminer une probabilité sur l’univers Ω={1,2,,n} telle que la probabilité de l’événement {1,2,,k} soit proportionnelle à k2.

 
Exercice 7  3823   

À quelle(s) condition(s) sur les réels x et y existe-t-il une probabilité P sur l’ensemble à 3 éléments Ω={a,b,c} vérifiant

P({a,b})=xetP({b,c})=y?
 
Exercice 8  3824   Correction  

Soient A,B deux parties d’un ensemble Ω fini vérifiant

AB,AB¯,A¯B et A¯B¯.

À quelle condition sur (a,b,c,d)]0;1[4 existe-t-il une probabilité P sur Ω vérifiant

P(AB)=a,P(AB¯)=b,P(BA)=c et P(BA¯)=d?

Solution

Soit P une probabilité solution. Posons

x=P(AB),y=P(AB¯),z=P(A¯B) et t=P(A¯B¯).

On a x,y,z,t0 et par additivité

x+y+z+t=P(A)+P(A¯)=1.

Inversement, si x,y,z,t sont quatre réels positifs de somme égale à 1, on peut déterminer une probabilité P sur Ω vérifiant les conditions ci-dessus: il suffit d’introduire un élément de chacun des ensembles disjoints AB, AB¯, A¯B et A¯B¯, de poser la probabilité de l’événement élémentaire associé égale à x,y,z et t respectivement, puis les probabilités des autres événements élémentaires égaux à 0.
Le problème revient alors à déterminer sous quelle condition, il existe x,y,z,t0 de somme égale à 1 tels que

P(AB)=a,P(AB¯)=b,P(BA)=c et P(BA¯)=d.

Par additivité

P(A)=x+y et P(B)=x+z.

On a alors P(AB)=a si, et seulement si, x=a(x+z).
De même, les autres conditions fournissent les équations

y=b(1-(x+z)),x=c(x+y) et z=d(1-(x+y))

ce qui nous conduit à un système linéaire de quatre équations et trois inconnues

{(1-a)x-az=0bx+y+bz=b(1-c)x-cy=0dx+dy+z=d.

Les trois premières équations conduisent à la solution

x=abca(1-c)+bc,y=ab(1-c)a(1-c)+bc et z=(1-a)bca(1-c)+bc

avec le dénominateur commun non nul car somme de quantités strictement positives.
La quatrième équation du système est alors vérifiée si, et seulement si,

ad(1-b)(1-c)=bc(1-a)(1-d).

La solution (x,y,z) alors obtenue vérifie x,y,z0 et x+y+z1 de sorte que l’on peut encore déterminer t0 tel que x+y+z+t=1.
Finalement, il existe une probabilité telle que voulue si, et seulement si,

ad(1-b)(1-c)=bc(1-a)(1-d)

ce qui, en divisant par abcd, peut encore s’énoncer

(1-1b)(1-1c)=(1-1a)(1-1d).

[<] Construction d'une probabilité[>] Calcul de probabilités

 
Exercice 9  4582  

Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé (Ω,P).

  • (a)

    On suppose AB. Démontrer P(A)P(B).

  • (b)

    On suppose AB=. Montrer P(A)1-P(B).

  • (c)

    On suppose P(A)=0,3, P(B)=0,5 et P(AB)=0,6. Calculer P(A¯B).

 
Exercice 10  3829  Correction  

Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé.
Montrer

max{0,P(A)+P(B)-1}P(AB)min{P(A),P(B)}.

Solution

On a ABA donc P(AB)P(A) et de même P(AB)P(B) donc

P(AB)min{P(A),P(B)}.

Bien évidemment P(AB)0. De plus, P(AB)1 avec

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

donc

P(AB)P(A)+P(B)-1

puis

max{0,P(A)+P(B)-1}P(AB).
 
Exercice 11  4050   

Soient P une probabilité sur un ensemble Ω et A,B deux événements de Ω. On pose

x=P(AB),y=P(AB¯),z=P(A¯B)ett=P(A¯B¯).
  • (a)

    Vérifier

    P(A)P(B)-P(AB)=yz-xt.
  • (b)

    En déduire

    |P(A)P(B)-P(AB)|14.
 
Exercice 12  4589    
  • (a)

    Soient A1,,An des événements d’un espace probabilisé (Ω,P). Montrer

    P(i=1nAi)i=1nP(Ai)-1i<jnP(AiAj).
  • (b)

    Montrer que la probabilité qu’un Valet côtoie une Dame dans un jeu mélangé de cinquante-deux cartes est supérieure à 0,47.

[<] Propriétés d'une probabilité[>] Calcul de de probabités par dénombrement

 
Exercice 13  4587  

On lance deux fois un même dé. Montrer que la probabilité d’obtenir deux fois la même valeur est minimale lorsque le dé est équilibré.

 
Exercice 14  4116   Correction  

Une urne contient des boules blanches et noires en proportion p et q (avec p+q=1). On opère à des tirages successifs avec remise.

  • (a)

    Quelle est la probabilité que la première boule blanche tirée apparaisse lors du n-ième tirage?

  • (b)

    Quelle est la probabilité que la k-ième boule blanche tirée apparaisse lors du n-ième tirage?

Solution

Notons Ai l’événement «  une boule blanche est obtenue lors du i-ème tirage  ».
Les événements Ai sont mutuellement indépendants et P(Ai)=p pour tout i.

  • (a)

    Notons Bn l’événement «  la première boule blanche apparaît lors du n-ième tirage  ».
    On peut écrire

    Bn=A1¯An-1¯An.

    Par indépendance, on obtient

    P(Bn)=(1-p)n-1p.
  • (b)

    Notons Cn-1 l’événement «  k-1 boules sont apparues lors des n-1 premiers tirages  »
    et Dn l’événement «  la k-ième boule blanche tirée apparaît lors du n-ième tirage  ».

    On a Dn=Cn-1An et

    P(Cn-1)=(n-1k-1)pk-1(1-p)n-k

    car il s’agit de la probabilité d’obtenir k-1 succès dans la répétition indépendante d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre p. Par indépendance, on conclut

    P(Dn)=P(Cn-1An)=(n-1k-1)pk(1-p)n-k.
 
Exercice 15  4588   

Un archer a la probabilité p[0;1] d’atteindre une cible à chaque essai.

Soient n* et k1;n.

  • (a)

    Quelle est la probabilité qu’il atteigne au moins une fois la cible en n tentatives?

  • (b)

    Quelle est la probabilité qu’il touche sa cible pour la première fois lors du n-ième essai?

  • (c)

    Quelle est la probabilité qu’il touche exactement k cibles en n essais?

  • (d)

    Quelle est la probabilité qu’il touche sa k-ième cible lors du n-ième essai?

 
Exercice 16  5213   

Un concierge dispose d’un trousseau de n clés semblables (avec n2) et d’un sérieux penchant pour l’alcool…

  • (a)

    Lorsque le concierge n’est pas ivre et qu’il doit ouvrir une porte, il choisit une clé au hasard et, si celle-ci n’ouvre pas la porte, il essaie une autre clé parmi celles qu’il n’a pas encore testées. Calculer la probabilité qu’il ouvre la porte lors de sa k-ième tentative.

  • (b)

    Lorsque le concierge est ivre, il choisit une clé sans se soucier de celles qu’il a déjà essayées. Calculer de nouveau la probabilité qu’il ouvre la porte lors de sa k-ième tentative.

  • (c)

    Le concierge est ivre un jour sur deux. Sachant qu’il a déjà essayé n-1 clés sans succès, quelle est la probabilité qu’il soit ivre?

[<] Calcul de probabilités[>] Couples d'événements indépendants

 
Exercice 17  4586  

On considère des dés équilibrés. Lequel des événements qui suivent est le plus probable?

  • (a)

    A=«  Ne pas obtenir de 𝑢𝑛 ni de 𝑠𝑖𝑥 en 2 lancers  ».

  • (b)

    B=«  Obtenir un 𝑠𝑖𝑥 en moins de 4 lancers  ».

  • (c)

    C=«  Obtenir un double-six en moins de 24 lancers de deux dés  ».

  • (d)

    D=«  Obtenir toutes les valeurs de 𝑢𝑛 à 𝑠𝑖𝑥 en moins de 8 lancers  ».

 
Exercice 18  3957  Correction  

On dispose r boules à l’intérieur de n urnes (avec rn), chaque urne pouvant contenir plusieurs boules.
Les répartitions possibles sont équiprobables.

  • (a)

    Déterminer la probabilité de l’évènement:

    A=«  chaque urne contient au plus une boule  ».
  • (b)

    Déterminer la probabilité de l’évènement:

    B=«  il existe une urne contenant au moins deux boules  ».

Solution

En discernant les boules et les urnes, chaque tirage se comprend comme une application φ de {1,,r} vers {1,,n} associant à la boule d’indice i l’urne de numéro φ(i) qui la contient.
Il y a nr répartitions possible.

  • (a)

    La probabilité cherchée correspond à celle de choisir une fonction φ injective soit

    P(A)=n×(n-1)×(n-r+1)nr.
  • (b)

    La probabilité cherchée est complémentaire de la précédente

    P(B)=1-P(A).
 
Exercice 19  3958   Correction  
  • (a)

    Combien de fois faut-il lancer un dé équilibré pour avoir au moins une chance sur deux d’obtenir un «  six   »?

  • (b)

    Même question avec deux dés pour obtenir un «  double-six   »

Solution

  • (a)

    La probabilité de ne pas obtenir de 6 lors de k lancers est (5/6)k. Il s’agit donc ici de trouver le plus petit k pour lequel (5/6)k1/2. On obtient k=4.

  • (b)

    On veut (35/36)k<1/2 et l’on obtient k=25.

 
Exercice 20  5344   Correction  

Deux joueurs s’affrontent aux dés. Le premier joueur lance deux dés et s’il obtient six, il gagne la partie. Sinon, c’est au second joueur de lancer deux dés et s’il obtient sept, c’est lui qui a gagné. Si aucun des joueurs n’a gagné, ils rejouent. Le premier joueur a l’avantage de commencer alors que le second a l’avantage qu’il est plus facile d’obtenie sept que six. Lequel des deux joueurs a le plus de chance de gagner?

Solution

La probabilité d’obtenir un six en lançant deux dés vaut p1=5/36 alors que celle d’obtenir sept est de p2=7/36. Lors d’un tour de jeu, pour que le premier joueur gagne, il lui d’obtenir immédiatement six. Sa probabilité de victoire est donc simplement de

5360.139 à 10-3 près.

Pour que le second joueur gagne, il faut qu’il fasse sept sans que son adversaire ait fait six au préalable. Sa probabilité de victoire est

(1-536)736=21712960.167 à 10-3 près.

La situation du second joueur est préférable.

 
Exercice 21  4120   Correction  

Une urne contient des boules numérotées de 1 à 10. On tire, sans remise, trois boules dans cette urne.

  • (a)

    Quelle est la probabilité d’obtenir des numéros en ordre croissant?

  • (b)

    Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre strictement croissant.

  • (c)

    Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre croissant au sens large.

Solution

  • (a)

    Pour chaque tirage faisant apparaître les nombres a,b,c dans le bon ordre, il y en a 5 autres où ces mêmes nombres apparaissent dans le désordre. La probabilité recherchée est donc égale à 1/6.

  • (b)

    Un tirage s’apparente à une fonction de 1;3 vers 1;10. Il y a 103 fonctions toutes équiprobables. Parmi celles-ci, on recherche les fonctions strictement croissantes. Celles-ci sont simplement déterminées par les 3 valeurs distinctes qu’elles prennent qu’il suffit ensuite d’ordonner. Déterminer ces trois valeurs revient à choisir 3 éléments dans un ensemble à 10 éléments, il y a (103) possibilités. La probabilité recherchée vaut donc

    (103)103=12100.
  • (c)

    Il s’agit maintenant de dénombrer les fonctions croissantes de 1;3 vers 1;10. À une telle fonction f, on peut associer la fonction g:1;31;12 déterminée par

    g(1)=f(1),g(2)=f(2)+1 et g(3)=f(3)+2.

    La fonction f étant croissante, la fonction g est strictement croissante. Inversement, à une fonction g strictement croissante de 1;3 vers 1;12 correspond une unique fonction f croissante de 1;3 vers 1;10. Il y a donc autant de fonctions croissantes de 1;3 vers 1;10 que de fonctions strictement croissantes de 1;3 vers 1;12 à savoir (123). La probabilité recherchée vaut donc

    (123)103=22100.
 
Exercice 22  5340    Correction  

On répartit au hasard les entiers de 1 à 9 dans une matrice carrée de taille 3.

Calculer la probabilité que le déterminant de cette matrice soit un nombre impair.

Solution

Méthode: On étudie le déterminant modulo 2.

Notons A=(ai,j)3() la matrice formée. Son déterminant est défini par la formule

det(A)=σ𝒮3ε(σ)i=13aσ(i),i.

Celui-ci est un nombre entier et il s’agit d’un entier impair si, et seulement si, il vaut 1 modulo 2. Le calcul du déterminant étant compatible avec le calcul en congruence modulo 2, le problème est alors de savoir quelles sont les matrices dont le déterminant vaut 1 modulo 2 parmi les matrices dont les coefficients sont constitués par quatre 0 et cinq 1 (car il y a quatre nombres pairs et cinq nombres impairs entre 1 et 9).

Une telle matrice peut avoir une colonne comportant trois 1 et deux colonnes comportant chacune un seul 1 (type I) ou bien deux colonnes comportant deux 1 et une colonne comportant un seul 1 (type II).

Les matrices de type I sont au nombre de

3×3×2=18

car elles s’obtiennent en choisissant la colonne contenant trois 1 (3 possibilités), la position du 1 dans la première des deux colonnes restantes (3 possibilités) et la position du dernier 1 dans la dernière colonne sur une ligne différente de celle précédemment occupées11 1 Cela est nécessaire sans quoi la matrice n’est pas inversible. Inversement, le déterminant d’une telle matrice vaut alors 1 ou -1. (2 possibilités).

Les matrices du type II sont au nombre de

3×3×3×2=54

car elles s’obtiennent en choisissant la colonne qui ne contient qu’un seul 1 (3 possibilités), la position de ce 1 (3 possibilités), la position du 0 dans la première des colonnes qui contient deux 1 (3 possibilités) et la position du 0 dans l’autre colonne à une position différente de la précédente22 2 Une matrice inversible est nécessairement de cette forme et inversement une telle matrice est de déterminant ±1. (2 possibilités).

Au total, il y a 72 matrices possibles formées de quatre 0 et de cinq 1 dont le déterminant vaut 1 modulo 2. Il y a un total de (95) matrices de cette forme possibles et donc une probabilité de

72(95)=47

qu’une matrice constituée de quatre 0 et de cinq 1 soit de déterminant égal à 1 modulo 2.

Enfin, puisque chaque matrice constituée de quatre 0 et de cinq 1 possède le même nombre d’antécédents (à savoir 4!×5!) parmi les matrices formées des entiers allant de 1 à 9, la probabilité que le déterminant d’une telle matrice soit impair vaut aussi 4/7.

 
Exercice 23  4593    

Soit n*. À chaque suite finie x=(x1,,xn) élément de {-1,1}n, on associe la suite s=(s0,,sn) avec

s0etsk=sk-1+xk pour k1;n.

La suite s détermine une ligne brisée articulée autour des points de coordonnées (k,sk) avec k allant de 0 à n. On dit que cette ligne brisée détermine un chemin allant de s0 à sn en n étapes.

  • (a)

    Soient et m. Combien existe-t-il de chemins allant de à m en n étapes?

  • (b)

    On suppose ,m. Expliquer pourquoi il y a autant de chemins joignant - à m en n étapes que de chemins joignant à m en n étapes et coupant l’axe des abscisses.

  • (c)

    Application: À une élection opposant deux candidats, l’un l’emporte avec 42 voix contre 24 pour l’autre. Quelle est la probabilité que le candidat vainqueur ait été majoritaire (au sens large) tout au long du dépouillement?

[<] Calcul de de probabités par dénombrement[>] Famille d'événements mutuellement indépendants

 
Exercice 24  3948  Correction  

On lance à dé à six faces parfaitement équilibré. Justifier l’indépendance des évènements

A=«  on obtient le tirage 2, 4 ou 6  »  et B=«  on obtient le tirage 3 ou 6   ».

Solution

P(A)=1/2, P(B)=1/3 et P(AB)=P({6})=1/6 donc

P(AB)=P(A)×P(B).

Les évènements A et B sont bien indépendants.

 
Exercice 25  4584  

Deux urnes contiennent des boules blanches et rouges. Les proportions de boules blanches dans ces urnes sont respectivement égales à p et q avec p,q]0;1[.

De façon équiprobable, on choisit l’une des deux urnes et l’on tire avec remise deux boules dans celle-ci. À quelle condition a-t-on l’indépendance des deux événements «  La première boule tirée est blanche  » et «  La seconde boule tirée est blanche  »?

 
Exercice 26  3953  Correction  

Montrer qu’un évènement A est indépendant de tout autre évènement si, et seulement si, P(A)=0 ou 1.

Solution

Si A et indépendant de tout évènement alors A est indépendant de lui-même et donc

P(A)=P(AA)=P(A)2.

On en déduit P(A)=0 ou 1.
Inversement, supposons P(A)=0. Pour tout évènement B, on a ABA et donc P(AB)P(A)=0. Ainsi,

P(AB)=0=P(A)P(B).

Supposons maintenant P(A)=1. On a P(A¯)=0 et donc A¯ est indépendant de tout évènement B. Par suite, A est aussi indépendant de tout évènement B.

 
Exercice 27  3830  

Soient A et B deux événements incompatibles d’un espace probabilisé (Ω,P).

À quelle condition les événements A et B sont-ils indépendants?

 
Exercice 28  3951  Correction  

Soient A et B deux évènements indépendants. Les évènements A et B¯ sont-ils aussi indépendants?

Solution

Puisque A est la réunion disjointe de AB et AB¯, on a

P(A)=P(AB)+P(AB¯)

et donc

P(A)=P(A)P(B)+P(AB¯)

puis

P(AB¯)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B¯).

Les évènements A et B¯ sont indépendants.

 
Exercice 29  3949   Correction  

Soient A,B,C trois évènements tels que A et B d’une part, A et C d’autre part, sont indépendants.

Les événements A et BC sont-ils indépendants? Même question avec A et BC.

Solution

Considérons le tirage équilibré d’un dé à six faces et les événements

A={2,4,6},B={1,2}etC={2,3}.

On vérifie aisément

P(AB)=P(A)P(B)etP(AC)=P(A)P(C).

Cependant

P(A(BC))=1/6P(A)P(BC)=1/4

et

P(A(BC))=1/6P(A)P(BC)=1/12.

Ainsi, A et BC ne sont pas indépendants. Les événements A et BC ne le sont pas plus.

 
Exercice 30  3950   Correction  

Soient A,B,C trois évènements tels que A et BC d’une part, A et BC d’autre part, soient indépendants.

Les événements A et B sont-ils indépendants?

Solution

Considérons le tirage équilibré d’un dé à six faces et considérons les événements

A={2,4,6},B={1,2,3}etC={1,2,4}.

On vérifie aisément

P(A(BC))=1/3=P(A)P(BC) et P(A(BC))=1/6=P(A)P(BC).

Cependant,

P(AB)=1/6P(A)P(B)=1/4.

Les événements A et B ne sont pas indépendants?

 
Exercice 31  3952   

Soient A,B,C trois événements d’un espace probabilisé (Ω,P).

On suppose A indépendant de BC, B indépendant de AC et C indépendant de AB. On suppose aussi A indépendant de BC et P(A)>0.

Établir que les événements A,B,C sont mutuellement indépendants.

[<] Couples d'événements indépendants[>] Probabilités conditionnelles

 
Exercice 32  4581  

On lance successivement deux dés équilibrés et l’on considère les événements:

A =«  La valeur du premier dé lancé est paire  »,
B =«  La valeur du second dé lancé est paire  »,
C =«  La somme des valeurs des deux dés est paire  ».

Vérifier que les événements A, B et C sont deux à deux indépendants sans être mutuellement indépendants.

 
Exercice 33  4583  

Soient A,B,C trois événements d’un espace probabilisé (Ω,P).

  • (a)

    On suppose les événements A, B et C mutuellement indépendants. Montrer que les événements A et BC sont indépendants.

  • (b)

    On suppose A et B d’une part, A et C d’autre part, indépendants. Les événements A et BC sont-ils assurément indépendants?

 
Exercice 34  3819   

(Fonction indicatrice d’Euler11 1 Cette étude propose un calcul probabiliste des valeurs de la fonction indicatrice d’Euler présentée dans le .)

Soit n un entier naturel supérieur à 2. On munit l’univers Ω=1;n de la probabilité uniforme et, pour tout entier d divisant n, on introduit l’événement

Ad={1kn|d divise k}.
  • (a)

    Calculer P(Ad).

Soit p1,,pr les facteurs premiers n.

  • (b)

    Montrer que les événements Ap1,,Apr sont mutuellement indépendants.

On note

B={1kn|k et n sont premiers entre eux}.
  • (c)

    Montrer

    P(B)=i=1r(1-1pi).
 
Exercice 35  5215   

Soient A1,,An des événements mutuellement indépendants.

Montrer que la probabilité qu’au moins l’un des Ai soit réalisé est supérieure à

1-exp(-i=1nP(Ai)).
 
Exercice 36  4585    

Soit (Ω,P) un espace probabilisé.

  • (a)

    Montrer que, si A et B sont deux événements indépendants, alors A et B¯ sont aussi indépendants.

Pour ε=1 ou -1 et A un événement de Ω, on note

Aε={A si ε=1A¯ si ε=-1.
  • (b)

    Soient n2 et A1,,An des événements mutuellement indépendants de (Ω,P). Montrer que pour tout (ε1,,εn){-1,1}n, les événements A1ε1,,Anεn sont mutuellement indépendants.

[<] Famille d'événements mutuellement indépendants[>] Formule des probabilités totales et composées

 
Exercice 37  4012  Correction  

Soient A,B,C trois évènements avec P(BC)>0. Vérifier

P(ABC)P(BC)=P(ABC).

Solution

On a

P(ABC)P(BC)=P(ABC)P(BC)P(BC)P(C)=P(ABC).
 
Exercice 38  3361  Correction  

Soient A et B deux évènements avec P(A)>0. Comparer les probabilités conditionnelles

P(ABAB)etP(ABA).

Solution

Puisque AAB, on a P(AB)P(A) puis

P(AB)P(AB)P(AB)P(A).

c’est-à-dire

P(ABAB)P(ABA).
 
Exercice 39  3841  Correction  

Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires.
On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.

  • (a)

    Quelle est la probabilité qu’au moins une boule noire figure à l’intérieur du tirage?

  • (b)

    Sachant qu’une boule noire figure dans le tirage. Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire?

Solution

  • (a)

    L’évènement contraire est que le tirage ne comporte que des boules blanches. Par dénombrement, sa probabilité est

    (83)/(103)=715

    et la probabilité cherchée est

    1-715=815.
  • (b)

    Notons A l’événement, la première boule tirée est noire. En raisonnant comme au dessus

    P(A)=9×8+9×810×9×8=15.

    L’événement B, au moins une boule tirée est noire a été mesurée ci-dessus et donc

    P(AB)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)=38.
 
Exercice 40  3955   Correction  

Cinq cartes d’un jeu de cinquante deux cartes sont servies à un joueur de Poker.

  • (a)

    Quelle est la probabilité que celle-ci comporte exactement une paire d’As?

  • (b)

    Même question sachant que le jeu distribué comporte au moins un As?

Solution

  • (a)

    Il y a (525) distributions possibles équiprobables.
    Il y a exactement (42) paires d’As, (483) façons de compléter ce jeu avec d’autres cartes que des As.
    Au final, ce la donne la probabilité

    (42)(483)(525)=2162541450,04.
  • (b)

    La probabilité que le jeu distribué ne comporte pas d’As est

    (485)(525)

    et par complément, celle que le jeu distribué comporte au moins un As est

    1-(485)(525).

    La probabilité conditionnelle cherchée est donc

    (42)(483)(525)-(485)=108192360,12.
 
Exercice 41  3954   

(Paradoxe des deux enfants)

Une famille a deux enfants.

  • (a)

    Quelle est la probabilité que les deux soient des garçons?

  • (b)

    Quelle est cette probabilité sachant que l’aîné est un garçon?

  • (c)

    On sait qu’au moins l’un des enfants est un garçon, quelle est la probabilité que les deux le soient?

  • (d)

    On sait que l’un des deux enfants est un garçon et qu’il est né un 29 février. Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit aussi un garçon?

 
Exercice 42  4590   

Dans une commode à 7 tiroirs figure un billet de 1 dollar avec la probabilité p. Céline a exploré sans succès les six premiers tiroirs. Quelle est la probabilité qu’elle découvre le billet dans le septième tiroir?

 
Exercice 43  3826   Correction  

On considère N coffres. Avec une probabilité p, un trésor à été placé dans l’un de ces coffres, chaque coffre pouvant être choisi de façon équiprobable. On a ouvert N-1 coffres sans trouver le trésor. Quelle est la probabilité pour qu’il figure dans le dernier coffre?

Solution

Considérons l’événement A: un trésor est placé dans l’un des coffres. Par hypothèse

P(A)=p.

Considérons l’événement Ai: un trésor est placé dans le coffre d’indice i. Par hypothèse P(Ai)=P(Aj) et puisque les événements Ai sont deux à deux incompatibles

P(Ai)=p/N.

La question posée consiste à déterminer

P(ANA¯1A¯N-1).

On a

P(A¯1A¯N-1)=1-P(A1AN-1)=1-N-1Np

et

P(ANA¯1A¯N-1)=P(AN)=pN

donc

P(ANA¯1A¯N-1)=pN-(N-1)p.
 
Exercice 44  3828   

(Loi des successions de Laplace)

On dispose de N+1 urnes numérotées de 0 à N. L’urne de numéro k contient k boules blanches et N-k boules rouges. On choisit une urne au hasard, chaque choix étant équiprobable. Dans l’urne choisie, on tire des boules avec remise.

  • (a)

    Soit n. Quelle est la probabilité que la (n+1)-ième boule tirée soit blanche sachant que les n précédentes le sont toutes?

  • (b)

    Que devient cette probabilité lorsque N tend vers l’infini?

[<] Probabilités conditionnelles[>] Formule de Bayes

 
Exercice 45  3831  Correction  

Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé.
On suppose 0<P(B)<1. Établir

P(A)=P(AB)P(B)+P(AB¯)P(B¯).

Solution

On a

P(A)=P(A(BB¯))=P((AB)(AB¯)).

Les événements AB et AB¯ étant disjoints

P(A)=P(AB)+P(AB¯).

Or P(AB)=P(AB)P(B) et P(AB¯)=P(AB¯)P(B¯).

 
Exercice 46  4579  

On tire successivement deux boules dans une urne contenant 7 boules blanches et 3 boules rouges.

  • (a)

    Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit rouge?

  • (b)

    Quelle est la probabilité d’avoir tiré deux boules rouges?

  • (c)

    Quelle est la probabilité que la seconde boule tirée soit rouge?

  • (d)

    Quelle est la probabilité qu’au moins l’une des deux boules soit rouge?

  • (e)

    La seconde boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité que la première boule tirée le soit aussi?

 
Exercice 47  3842  Correction  

Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires.
On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.
Quelle est la probabilité que la troisième boule du tirage soit noire?

Solution

Notons Ai l’événement la boule obtenue lors du i-ème tirage est noire.

On introduit un système complet d’événements en considérant B1,,B4 égaux à

A1A2,A1A¯2,A¯1A2 et A¯1A¯2.

Par la formule des probabilités totales,

P(A3)=k=14P(A3Bk)P(Bk).

Il ne reste plus qu’à évaluer…

P(A3B1)=0.

et

P(A3B2)=P(A3B3)=1/8 avec P(B2)=P(B3)=8/10×2/9

et

P(A3B4)=2/8 avec P(B4)=8/10×7/9.

Au final,

P(A3)=25×19+15×79=945=15.

C’est aussi la probabilité que la première boule tirée soit noire et par un argument de symétrie ce n’est pas si étonnant…

 
Exercice 48  4205  Correction  

Une pochette contient deux dés. L’un est parfaitement équilibré, mais le second donne un six une fois sur deux. On tire un dé au hasard de la pochette et on le lance une première fois. On obtient un six. Quelle est la probabilité d’obtenir un six au lancer suivant avec le même dé?

Solution

On introduit les événements

D =«  Le dé tiré est équilibré  »,
A =«  On obtient un six lors du premier lancer  »,
B =«  On obtient un six lors du second lancer  ».

Le cadre hypothétique donne

P(D)=12,P(AD)=P(BD)=16etP(AD¯)=P(BD¯)=12.

On veut calculer

P(BA)=P(AB)P(A).

Les événements D et D¯ forment un système complet d’événements. Par la formule des probabilités totales, on a

P(A)=P(AD)P(D)+P(AD¯)P(D¯)=1612+1212=13

et aussi

P(AB)=P(ABD)P(D)+P(ABD¯)P(D¯)=13612+1412=536

donc

P(BA)=512.
 
Exercice 49  3827   Correction  

Une succession d’individus A1,,An se transmet une information binaire du type «  oui  » ou «  non  ».
Chaque individu Ak transmet l’information qu’il a reçu avec la probabilité p à l’individu Ak+1 ou la transforme en son inverse avec la probabilité 1-p. Chaque individu se comporte indépendamment des autres.
Calculer la probabilité pn pour que l’information reçue par An soit identique à celle émise par A1.
On suppose 0<p<1. Quelle est la limite de pn quand n tend vers l’infini?

Solution

On a p1=1 et p2=p.
Supposons connu pn. Selon que An émet la même information que A1 ou non, on a par la formule des probabilités totales

pn+1=ppn+(1-p)(1-pn).

La suite (pn) vérifie donc la relation de récurrence

pn+1=(2p-1)pn+1-p.

Sachant la condition initiale p1=1, cette suite arithmético-géométrique a pour terme général

pn=1+(2p-1)n-12.

Si p]0;1[ alors |2p-1|<1 et donc pn1/2.

 
Exercice 50  4592   

Une lampe est éteinte dans une pièce lorsque survient une coupure d’électricité. Des individus pénètrent dans cette pièce et basculent plusieurs fois l’interrupteur en espérant que la lumière s’allume, sans succès… Quand l’électricité revient, quelle est la probabilité que la lumière soit allumée sachant que n individus sont entrés dans la pièce et que chacun a la probabilité p]0;1[ d’avoir repositionné l’interrupteur dans l’état où celui-ci figurait lorsqu’il est entré.

 
Exercice 51  5212   

Une urne contient n* boules numérotées de 1 à n. On tire avec remise n+1 boules dans cette urne et, pour tout k1;n+1, on introduit l’événement:

Ak=«  Lors du k-ième tirage, on obtient une boule déjà sortie précédemment  ».
  • (a)

    Soit k1;n+1. Interpréter l’événement Bk=A1Ak¯.

  • (b)

    Soit k1;n. Calculer P(Ak+1Bk) et en déduire une expression de P(Bk).

  • (c)

    Soit k2;n+1. Exprimer la probabilité que l’on obtienne pour la première fois lors du k-ième tirage une boule tirée précédemment.

 
Exercice 52  4591   

Chaque jour, du lundi au vendredi, le professeur Zinzin a la probabilité p]0;1[ d’égarer ses notes de cours en salle de classe. Peu lui importe car il improvise à chaque fois, mais ce vendredi soir il ne les retrouve plus et cela le contrarie car il s’y trouvait un dessin de sa fille Libi. Il est cependant certain de les avoir eues en sa possession le lundi matin. Quelle est la probabilité pour le professeur d’avoir perdu ses notes de cours le mercredi?

 
Exercice 53  4015   Correction  

Deux entreprises asiatiques produisent des «  langues de belle-mère  » en proportion égale. Cependant certaines sont défectueuses, dans la proportion p1 pour la première entreprise, dans la proportion p2 pour la seconde. Un client achète un sachet contenant n articles. Il souffle dans une première et celle-ci fonctionne: le voilà prêt pour fêter le nouvel an!

  • (a)

    Quelle est la probabilité pour qu’une seconde langue de belle-mère choisie dans le même sachet fonctionne?

  • (b)

    Quelle est la probabilité que le sachet comporte k articles fonctionnels (y compris le premier extrait)?

Solution

  • (a)

    Notons Ai l’évènement

    «  le sachet est produit dans l’entreprise d’indice i  ».

    Notons B1 l’évènement

    «  la première langue de belle-mère choisie dans le sachet est fonctionnelle  »

    Puisque les entreprises produisent en proportion égale

    P(A1)=P(A2)=1/2

    et par la formule des probabilités totales

    P(B1¯)=P(B1¯A1)P(A1)+P(B1¯A2)P(A2)=p1+p22

    puis

    P(B1)=(1-p1)+(1-p2)2.

    Notons B2 l’évènement «  la deuxième langue de belle-mère choisie dans le sachet est fonctionnelle  » On veut calculer

    P(B2B1)=P(B1B2)P(B1).

    Par la formule des probabilités totales

    P(B1B2)=P(B1B2A1)P(A1)+P(B1B2A2)P(A2).

    On peut supposer l’indépendance des défectuosités à l’intérieur d’une même usine et l’on obtient

    P(B1B2)=(1-p1)2+(1-p2)22.

    On en déduit

    P(B2B1)=(1-p1)2+(1-p2)2(1-p1)+(1-p2).
  • (b)

    Pour 0kn, notons Ck l’évènement

    «  le sachet contient k articles fonctionnels  ».

    On veut mesurer

    P(CkB1)=P(CkB1)P(B1).

    Pour k=0, cette probabilité est nulle car C0B1=.
    Pour k1;n-1

    CkB1=B1Dk-1

    avec Dk-1 l’évènement

    «  en dehors du premier article, le sachet contient k-1 articles fonctionnels  ».

    On peut mesurer la probabilité de ces évènements dès que l’on connaît l’usine de production

    P(B1Dk-1Ai)=(1-pi)(n-1k-1)(1-pi)k-1pin-k.

    Par probabilités totales

    P(B1Dk-1)=12(n-1k-1)((1-p1)kp1n-k+(1-p2)kp2n-k)

    et enfin

    P(CkB1)=(n-1k-1)((1-p1)kp1n-k+(1-p2)kp2n-k)(1-p1)+(1-p2).
 
Exercice 54  2417    

(Urne de Pólya)

Une urne contient initialement b boules blanches et r boules rouges. On tire dans celle-ci une boule, on note sa couleur et on la remet accompagnée de d boules de la même couleur. On réalise l’expérience n fois (avec n*).

Déterminer la probabilité que la boule obtenue soit blanche lors du n-ième tirage.

[<] Formule des probabilités totales et composées

 
Exercice 55  3962  Correction  

Une pochette contient deux dés. L’un est parfaitement équilibré, mais le second donne un «  six  » une fois sur deux (les autres faces étant supposées équilibrées).
On tire au hasard un dé la pochette et on le lance.

  • (a)

    On obtient un «  six  ». Quelle est la probabilité que le dé tiré soit équilibré?

  • (b)

    Au contraire, on a obtenu un «  cinq  ». Même question.

Solution

  • (a)

    Notons D l’évènement le dé tiré est équilibré et A l’évènement: on a obtenu un «  six  »

    P(D)=P(D¯)=1/2,P(AD)=1/6 et P(AD¯)=1/2.

    Par la formule de Bayes

    P(DA)=P(AD)P(D)P(A)

    avec par la formule des probabilités totales

    P(A)=P(AD)P(D)+P(AD¯)P(D¯).

    On obtient

    P(DA)=14.
  • (b)

    Notons B l’évènement: on a obtenu un «  cinq  » Par des calculs analogues aux précédents

    P(DB)=16×12112+12×110=58.
 
Exercice 56  3820  Correction  

Dans une population, une personne sur 10 000 souffre d’une pathologie. Un laboratoire pharmaceutique met sur le marché un test sanguin. Celui-ci est positif chez 99 % des malades mais aussi faussement positif chez 0,1 % des personnes non atteintes. Un individu passe ce test et obtient un résultat positif.
Quelle est sa probabilité d’être malade? Qu’en conclure?

Solution

Notons Ω la population, M le sous-ensemble constitué des individus malades et T celui constitué des individus rendant le test positif. On a

P(M)=10-4,P(TM)=0,99etP(TM¯)=10-3.

Par la formule des probabilités totales

P(T)=P(TM)P(M)+P(TM¯)P(M¯)

puis par la formule de Bayes

P(MT)=P(MT)P(T)=P(TM)P(M)P(T)

ce qui numériquement donne 9 %.
La personne n’a en fait qu’environ une chance sur 10 d’être malade alors que le test est positif! Cela s’explique aisément car la population de malade est de 1/10000 et celle des personnes saines faussement positives est de l’ordre de 1/1000.

 
Exercice 57  4119   

Dans une usine, 2 % des articles produits sont défectueux. Un contrôle qualité permet d’écarter 99 % des articles lorsqu’ils sont défectueux mais aussi 5 % des articles qui ne le sont pas!

  • (a)

    Quelle est la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle?

  • (b)

    Quelle est la probabilité qu’un article écarté par le contrôle soit défectueux?

  • (c)

    Quelle est la probabilité qu’un article en sortie d’usine soit défectueux?



Édité le 08-11-2019

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