[>] Calculs dans un espace préhilbertien réel

Exercice 1 2126 SAINT CYR (MP)Correction

Pour $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose

(A ∣ B) = tr (A^{⊤} B) .

(a)

Montrer que $(\cdot ∣ \cdot)$ définit un produit scalaire sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

En déduire

$\forall A \in ℳ_{n} (ℝ), tr {(A)}^{2} \leq n tr (A^{⊤} A) .$

Soit $F = {M \in ℳ_{n} (ℝ) | tr (M) = 0}$ .

(c)

Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $ℳ_{n} (ℝ)$ et donner sa dimension.
(d)

Déterminer $F^{⊥}$ .
(e)

Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Solution

(a)

On trouvera cette démonstration dans le cours.
(b)

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

$tr {(A)}^{2} = {(I_{n} ∣ A)}^{2} \leq (I_{n} ∣ I_{n}) (A ∣ A) = n tr (A^{⊤} A) .$
(c)

L’ensemble $F$ est le noyau de l’application linéaire trace sur $ℳ_{n} (ℝ)$ , c’est donc un sous-espace vectoriel de $ℳ_{n} (ℝ)$ . Au surplus, la trace est une forme linéaire non nulle, l’espace $F$ est donc un hyperplan de $ℳ_{n} (ℝ)$ , c’est-à-dire un sous-espace vectoriel de dimension $n^{2} - 1$ .
(d)

Pour tout $M \in F$ , on remarque $(I_{n} ∣ M) = tr (M) = 0$ . La matrice $I_{n}$ appartient à $F^{⊥}$ . Or $F^{⊥}$ est un sous-espace vectoriel supplémentaire de $F$ et c’est donc un sous-espace vectoriel de dimension $1$ . Par inclusion et égalité des dimensions, on obtient $F^{⊥} = Vect (I_{n})$ .
(e)

On trouvera cette démonstration dans le cours.

Exercice 2 5671 CCINP (MP)Correction

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Pour $M, N \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose

φ (M, N) = tr (M^{⊤} N) .

(a)

Montrer que $φ$ définit un produit scalaire sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

Soit $(U, V) \in O_{n} {(ℝ)}^{2}$ . Montrer que $φ (U, V) \leq n$ .
(c)

Soit $(A, B) \in 𝒮_{n} {(ℝ)}^{2}$ . Montrer que $tr ({(A B)}^{2}) \leq tr (A^{2} B^{2})$ .
(d)

Soit $(A, B) \in 𝒮_{n} {(ℝ)}^{2}$ . Montrer que $tr ({(A B + B A)}^{2}) \leq 4 tr (A^{2} B^{2})$ .

Solution

(a)

C’est une question de cours. Notons qu’avec des notations entendues

$φ (M, N) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} m_{i, j} n_{i, j}$
(b)

Pour $(U, V) \in O_{n} {(ℝ)}^{2}$ , le produit $Ω = U^{⊤} V$ est une matrice orthogonale. Or les coefficients d’une matrice orthogonale sont tous inférieurs à $1$ en valeur absolue. On en déduit

$φ (U, V) = tr (Ω) = \sum_{i = 1}^{n} {[Ω]}_{i, i} \leq n .$
(c)

Soit $(A, B) \in 𝒮_{n} {(ℝ)}^{2}$ .

On remarque

$tr ({(A B)}^{2}) = tr ((A B) (A B)) = tr ({(B A)}^{⊤} (A B)) = φ (B A, A B)$

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au produit scalaire $φ$ ,

$tr ({(A B)}^{2}) \leq ∥ B A ∥ ∥ A B ∥$

Or

${∥ A B ∥}^{2} = tr ({(A B)}^{⊤} A B) = tr (B A A B) = tr (A A B B) = tr (A^{2} B^{2})$

et, par le même calcul,

${∥ B A ∥}^{2} = tr (B^{2} A^{2}) = tr (A^{2} B^{2})$

On en déduit l’inégalité voulue.
(d)

Par développement,

$tr ({(A B + B A)}^{2}) = tr ({(A B)}^{2}) + 2 tr (A B B A) + tr ({(B A)}^{2}) .$

D’une part,

$tr ({(A B)}^{2}) \leq tr (A^{2} B^{2}) et tr ({(B A)}^{2}) \leq tr (B^{2} A^{2}) = tr (A^{2} B^{2}) .$

D’autre part,

$tr (A B B A) = tr ((A B B) A) = tr (A (A B B)) = tr (A^{2} B^{2}) .$

On obtient alors l’inégalité souhaitée.

Exercice 3 6005 Correction

Montrer que l’on définit un produit scalaire sur $ℝ [X]$ en posant

\forall (P, Q) \in ℝ {[X]}^{2}, φ (P, Q) = \int_{0}^{+ \infty} P (t) Q (t) e^{- t} d t .

Solution

Soient $P, Q \in E$ . La fonction $f : t \mapsto P (t) Q (t) e^{- t}$ est définie et continue par morceaux sur $[0; + \infty [$ . Elle est négligeable devant $1 / t^{2}$ quand $t$ tend vers $+ \infty$ car

t^{2} f (t) = t^{2} P (t) Q (t) e^{- t} \to_{t \to + \infty}^{} 0

puisqu’une fonction polynomiale est négligeable devant $t \mapsto e^{- t}$ en $+ \infty$ . La fonction $f$ est donc intégrable sur $[0; + \infty [$ et l’intégrale définissant $φ (P, Q)$ est convergente. L’application $φ$ est donc bien définie de $E \times E$ vers $ℝ$ .

Soient $λ, μ \in ℝ$ et $P, Q, R \in E$ .

On vérifie sans peine la symétrie $φ (P, Q) = φ (Q, P)$ . Avec convergence de chacune des intégrales écrites, on a aussi

\int_{0}^{+ \infty} P (t) (λ Q (t) + μ R (t)) e^{- t} d t = λ \int_{0}^{+ \infty} P (t) Q (t) e^{- t} d t + μ \int_{0}^{+ \infty} P (t) R (t) e^{- t} d t

et donc $φ (P, λ Q + μ R) = λ φ (P, Q) + μ φ (P, R)$ . On en déduit que $φ$ est linéaire en sa deuxième variable et donc bilinéaire par symétrie.

Il reste à montrer qu’elle est définie positive. Par positivité de l’intégrale,

φ (P, P) = \int_{0}^{+ \infty} \underset{\begin{matrix} \geq 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{P {(t)}^{2} e^{- t}}} d t \geq 0 .

De plus, si $φ (P, P) = 0$ , on obtient une intégrale nulle d’une fonction continue et positive qui est donc la fonction nulle: $P {(t)}^{2} e^{- t} = 0$ pour tout $t \in [0; + \infty [$ . On en déduit que le polynôme $P$ admet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.

Finalement, $φ$ est un produit scalaire sur $E$ .

Exercice 4 3480

On note $E = ℝ [X]$ et l’on considère l’application $φ : E \times E \to ℝ$ donnée par

φ (P, Q) = \int_{0}^{+ \infty} P (t) Q (t) e^{- t} d t .

(a)

Montrer que $φ$ définit un produit scalaire sur $E$ .
(b)

Pour $p, q \in ℕ$ , calculer $φ (X^{p}, X^{q})$ .
(c)

Orthonormaliser la famille $(1, X, X^{2})$ par le procédé de Gram-Schmidt.
(d)

Calculer

$inf_{(a, b, c) \in ℝ^{3}} \int_{0}^{+ \infty} {(t^{3} - (a t^{2} + b t + c))}^{2} e^{- t} d t .$

Exercice 5 4252

On note $E = ℓ^{2} (ℕ, ℝ)$ l’ensemble des suites réelles $(u_{n})$ telles que la série $\sum u_{n}^{2}$ converge.

(a)

Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de l’espace $ℝ^{ℕ}$ des suites réelles.

Pour $u, v \in E$ , on pose

⟨ u, v ⟩ = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} v_{n} .

(b)

Montrer que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ définit un produit scalaire sur $E$ .

On note $F$ le sous-espace vectoriel de $E$ constitué des suites nulles à partir d’un certain rang et l’on considère $v$ une suite élément de $E$ qui n’appartient pas à $F$ .

(c)

Déterminer $F^{⊥}$ . Les espaces $F$ et $F^{⊥}$ sont-ils supplémentaires?
(d)

On pose $G = Vect (v)$ . Comparer $F^{⊥} + G^{⊥}$ et ${(F \cap G)}^{⊥}$ .

Exercice 6 3322 Correction

Soient $a$ un vecteur unitaire d’un espace préhilbertien réel $E$ , $k$ un réel et $φ : E \times E \to ℝ$ l’application déterminée par

φ (x, y) = ⟨ x, y ⟩ + k ⟨ x, a ⟩ ⟨ y, a ⟩ .

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $φ$ soit un produit scalaire.

Solution

Il est immédiat que $φ$ est une forme bilinéaire symétrique sur $E$ avec

φ (x, x) = {∥ x ∥}^{2} + k {⟨ x, a ⟩}^{2} .

En particulier,

φ (a, a) = {∥ a ∥}^{2} + k {∥ a ∥}^{4} = (1 + k) .

Pour que la forme bilinéaire symétrique $φ$ soit définie positive, il est nécessaire que $1 + k > 0$ .

Inversement, supposons $1 + k > 0$ .

Si $k \geq 0$ alors $φ (x, x) \geq {∥ x ∥}^{2}$ et donc

\forall x \in E ∖ {0_{E}}, φ (x, x) > 0 .

Si $k \in] - 1; 0 [$ , $k = - α$ avec $α \in] 0; 1 [$ et

φ (x, x) = {∥ x ∥}^{2} - α {⟨ x, a ⟩}^{2} .

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

{⟨ x, a ⟩}^{2} \leq {∥ x ∥}^{2} {∥ a ∥}^{2} = {∥ x ∥}^{2}

donc

φ (x, x) \geq {∥ x ∥}^{2} - α {∥ x ∥}^{2} = (1 - α) {∥ x ∥}^{2}

de sorte que

\forall x \in E ∖ {0_{E}}, φ (x, x) > 0 .

Ainsi, $φ$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive donc un produit scalaire.

Finalement, $φ$ est un produit scalaire si, et seulement si, $1 + k > 0$ .

Exercice 7 4092 Correction

Soit $E = 𝒞^{1} ([0; 1], ℝ)$ . Pour $f, g \in E$ , on pose

φ (f, g) = \int_{0}^{1} f^{'} (t) g^{'} (t) d t + f (1) g (0) + f (0) g (1) .

Montrer que $φ$ définit un produit scalaire sur $E$ .

Solution

L’application $φ$ est bien définie de $E \times E \to ℝ$ et clairement bilinéaire et symétrique.

Soit $f \in E$ .

φ (f, f) = \int_{0}^{1} f^{'} {(t)}^{2} d t + 2 f (0) f (1) .

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

{(\int_{0}^{1} f^{'} (t) d t)}^{2} \leq \int_{0}^{1} f^{'} {(t)}^{2} d t

et donc

\int_{0}^{1} f^{'} {(t)}^{2} d t \geq {(f (1) - f (0))}^{2}

puis

φ (f, f) \geq f {(1)}^{2} + f {(0)}^{2} \geq 0 .

Au surplus, si $φ (f, f) = 0$ alors $f (0) = f (1) = 0$ , mais aussi $\int_{0}^{1} f^{'} {(t)}^{2} d t = 0$ . La fonction $f$ est donc constante égale à $0$ .

Exercice 8 5902 Correction

On munit l’espace $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ du produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ donné par

⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t

Déterminer l’orthogonal du sous-espace vectoriel $F = {f \in E | f (0) = 0}$ .

Solution

Soit $g \in F^{⊥}$ . Pour $n \in ℕ^{*}$ , considérons la fonction continue $φ_{n} : [0; 1] \to ℝ$ donnée par

φ_{n} (t) = {\begin{matrix} n t & si t \in [0; 1 / n] \\ 1 & si t \in [1 / n; n] \end{matrix}

Considérons ensuite $f_{n} = φ_{n} g$ . La fonction $f_{n}$ est élément de $F$ et donc $⟨ f_{n}, g ⟩ = 0$ . Or, par convergence dominée¹¹ 1 La domination a lieu par la fonction constante égale à ${∥ g ∥}_{\infty}^{2}$ .,

\int_{0}^{1} f_{n} (t) g (t) d t \to_{n \to + \infty}^{} \int_{0}^{1} {(\tilde{g} (t))}^{2} d t

avec

\tilde{g} = {\begin{matrix} 0 & si t = 0 \\ g (t) & si t \in] 0; 1] \end{matrix}

On en déduit

\int_{0}^{1} {(\tilde{g} (t))}^{2} d t = 0

Or on ne change pas la valeur d’une intégrale en modifiant la valeur de la fonction intégrée en un nombre fini de points. On a donc aussi

\int_{0}^{1} {(g (t))}^{2} d t = 0

La fonction $g^{2}$ est continue, positive et d’intégrale nulle, c’est donc la fonction identiquement nulle. Cela donne $g = 0$ .

Ainsi, $F^{⊥} \subset {0}$ . L’inclusion réciproque est immédiate et donc $F^{⊥} = {0}$ .

[<] Produit scalaire[>] Projections orthogonales et calcul de distances

Exercice 9 5140

Soient $F_{1}, \dots, F_{n}$ des sous-espaces vectoriels deux à deux orthogonaux d’un espace préhilbertien $E$ . Montrer que ceux-ci sont en somme directe.

Exercice 10 3325 Correction

Soit $F$ un sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien réel $E$ . Établir

F^{⊥} = {\bar{F}}^{⊥} .

Solution

Puisque $F \subset \bar{F}$ , on a déjà

{\bar{F}}^{⊥} \subset F^{⊥} .

Soit $a \in F^{⊥}$ . Pour tout $x \in \bar{F}$ , il existe une suite $(x_{n})$ d’éléments de $F$ de limite $x$ . Puisque

\forall n \in ℕ, ⟨ x_{n}, a ⟩ = 0

on obtient à la limite (le produit scalaire étant continue)

⟨ x, a ⟩ = 0

et donc $a \in {\bar{F}}^{⊥}$ .

Finalement, par double inclusion, $F^{⊥} = {\bar{F}}^{⊥}$ .

Exercice 11 4251

Soit $A$ une partie d’un espace préhilbertien $E$ .

(a)

Montrer que l’orthogonal de $A$ est une partie fermée.
(b)

Montrer que $A$ et $\bar{A}$ ont le même orthogonal.

Exercice 12 6016 Correction

Soit $E$ un espace préhilbertien réel de produit scalaire noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

On dit qu’une suite ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ de vecteurs de $E$ converge faiblement vers un vecteur $x \in E$ lorsque

\forall y \in E, ⟨ x_{n}, y ⟩ \to_{n \to + \infty}^{} ⟨ x, y ⟩ .

(a)

Montrer que si ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ converge faiblement vers $x$ alors $x$ est unique.
(b)

Montrer que si ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ converge vers $x$ pour la norme euclidienne alors ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ converge faiblement vers $x$ .
(c)

Établir la réciproque en dimension finie.

Solution

(a)

Supposons que ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ converge faiblement vers $x$ et $x^{'} \in E$ . Par différence,

$\forall y \in E, \underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{⟨ x_{n}, y ⟩ - ⟨ x_{n}, y ⟩}} \to_{n \to + \infty}^{} ⟨ x, y ⟩ - ⟨ x^{'}, y ⟩ = ⟨ x - x^{'}, y ⟩$

et donc

$\forall y \in E, ⟨ x - x^{'}, y ⟩ = 0 .$

Le vecteur $x - x^{'}$ est orthogonal à tout vecteur de $E$ , c’est nécessairement le vecteur nul et donc $x = x^{'}$ .
(b)

Supposons que ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ converge vers $x$ pour la norme euclidienne. Cela signifie $∥ x_{n} - x ∥ \to_{n \to + \infty}^{} 0$ . Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

$\forall y \in E, | ⟨ x_{n}, y ⟩ - ⟨ x, y ⟩ | = | ⟨ x_{n} - x, y ⟩ | \leq ∥ x_{n} - x ∥ ∥ y ∥ \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

On a donc

$\forall y \in E, ⟨ x_{n}, y ⟩ \to_{n \to + \infty}^{} ⟨ x, y ⟩ .$

La suite ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ converge faiblement vers $x$ .
(c)

Supposons l’espace $E$ de dimension finie $n \in ℕ$ . On peut introduire $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ base orthonormée de $E$ . On sait

$\forall x \in E, {∥ x ∥}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} {⟨ e_{k}, x ⟩}^{2} .$

Supposons que ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ converge faiblement vers $x$ . Pour tout $k \in ⟦ 1; n ⟧$ ,

$⟨ e_{k}, x_{n} ⟩ \to_{n \to + \infty}^{} ⟨ e_{k}, x ⟩$

et donc

${∥ x_{n} - x ∥}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} {⟨ e_{k}, x_{n} - x ⟩}^{2} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Ainsi, ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ converge vers $x$ pour la norme euclidienne (ou tout autre norme puisque celles-ci sont toutes équivalentes en dimension finie).

Exercice 13 511 Correction

On munit $E = 𝒞 ([a; b], ℝ)$ du produit scalaire défini par

(f ∣ g) = \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t .

En exploitant le théorème d’approximation uniforme de Weierstrass, établir que l’orthogonal du sous-espace vectoriel $F$ de $E$ formé des fonctions polynomiales est réduit à ${0}$ .

Solution

Soit $f \in F^{⊥}$ . Puisque $f$ est continue sur le segment $[a; b]$ , par le théorème d’approximation uniforme de Weierstrass:

\forall ε > 0, \exists P \in ℝ [X], {∥ f - P ∥}_{\infty, [a; b]} \leq ε .

On a alors

{∥ f ∥}^{2} = \int_{a}^{b} f^{2} = \int_{a}^{b} f (f - P) + \int_{a}^{b} f P = \int_{a}^{b} f (f - P)

avec

| \int_{a}^{b} f (f - P) | \leq (b - a) {∥ f ∥}_{\infty} {∥ f - P ∥}_{\infty} \leq (b - a) {∥ f ∥}_{\infty} ε .

En faisant tendre $ε$ vers 0, on obtient ${∥ f ∥}^{2} = 0$ donc $f = 0$ . Ainsi $F^{⊥} \subset {0}$ puis $F^{⊥} = {0}$ .

Exercice 14 2997 CCINP (MP)Correction

(a)

Soit $F$ un sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien $E$ .

Montrer que $F \cap F^{⊥} = {0_{E}}$ et que $F \subset {(F^{⊥})}^{⊥}$ .

On considère $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ muni du produit scalaire

(f ∣ g) = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t .

On pose $F = 𝒞^{2} ([0; 1], ℝ)$ .

(b)

Soit $f \in E$ . Montrer qu’il existe une unique fonction $g \in F$ vérifiant

$g^{''} = f et g (0) = g (1) = 0 .$
(c)

En déduire $F^{⊥}$ et ${(F^{⊥})}^{⊥}$ .

Solution

(a)

Ces résultats figurent au cours.
(b)

Analyse: Soit $g$ une fonction solution. Par la formule de Taylor avec reste intégral,

$\forall x \in [0; 1], g (x)$ $= g (0) + (x - 0) g^{'} (0) + \int_{0}^{x} (x - t) g^{''} (t) d t$

$= x g^{'} (0) + \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t .$

La condition $g (1) = 0$ détermine la valeur $g^{'} (0)$ et donc la fonction $g$ de façon unique

$\forall x \in [0; 1], g (x) = \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t - x \int_{0}^{1} (1 - t) f (t) d t .$

Synthèse: Considérons la fonction $g$ déterminée comme au-dessus.

On vérifie immédiatement $g (0) = g (1) = 0$ . Aussi, on peut écrire

$\forall x \in [0; 1], g (x) = x \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} t f (t) - x \int_{0}^{1} (1 - t) f (t) d .$

Les termes intégrales correspondent à des expressions de primitives. La fonction $g$ est donc dérivable avec

$\forall x \in [0; 1], g^{'} (x) = \int_{0}^{x} f (t) + \underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{x f (x) - x f (x)}} - \int_{0}^{1} (1 - t) f (t) d t .$

La fonction $g$ est donc une seconde fois dérivable avec

$\forall x \in [0; 1], g^{''} (x) = f (x) .$

Finalement, $g$ est une fonction de classe $𝒞^{2}$ sur $[0; 1]$ solution du problème posé.
(c)

Soit $f \in F^{⊥}$ . Pour $g \in F$ comme au-dessus, on a

$(f ∣ g) = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t = \int_{0}^{1} g^{''} (t) g (t) d t = 0 .$

Par intégration par parties,

$\int_{0}^{1} g^{''} (t) g (t) d t = \underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{{[g^{'} (t) g (t)]}_{0}^{1}}} - \int_{0}^{1} {(g^{'} (t))}^{2} d t$

et donc

$\int_{0}^{1} {(g^{'} (t))}^{2} d t = 0 .$

Par nullité de l’intégrale d’une fonction continue et positive,

$\forall t \in [0; 1], g^{'} (t) = 0 .$

La fonction $f = g^{''}$ est donc identiquement nulle.

On en déduit $F^{⊥} \subset {0}$ et, finalement, $F^{⊥} = {0}$ .

Il en découle immédiatement ${(F^{⊥})}^{⊥} = E$ . En l’occurrence, ${(F^{⊥})}^{⊥} \neq F$ .

Exercice 15 513

Soit $E$ un espace préhilbertien réel.

(a)

Établir l’inclusion $\bar{F} \subset {(F^{⊥})}^{⊥}$ pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ .

On se propose d’établir par un exemple que cette inclusion peut être stricte. On introduit pour cela l’espace $E = ℝ [X]$ muni du produit scalaire donné par

(P ∣ Q) = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t .

(b)

Montrer que

$H = {P \in ℝ [X] | \int_{- 1}^{1} | t | P (t) d t = 0}$

est un hyperplan fermé de $E$ .
(c)

Soit $Q \in H^{⊥}$ . Établir que pour tout $P \in ℝ [X]$ ,

$\int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t = (\int_{- 1}^{1} | t | P (t) d t) (\int_{- 1}^{1} Q (t) d t) .$
(d)

Vérifier que $H^{⊥} = {0}$ et conclure.

Exercice 16 505 Correction

Démontrer que la boule unité fermée $B$ d’un espace préhilbertien réel est strictement convexe c’est-à-dire que pour tous $x, y \in B$ différents et tout $t \in] 0; 1 [$ , $∥ (1 - t) x + t y ∥ < 1$ .

Solution

Par l’inégalité triangulaire,

∥ (1 - t) x + t y ∥ \leq (1 - t) ∥ x ∥ + t ∥ y ∥ \leq 1 .

De plus, s’il y a égalité alors $∥ x ∥ = 1$ , $∥ y ∥ = 1$ et les vecteurs $(1 - t) x$ et $t y$ sont positivement liés.

Les vecteurs $x$ et $y$ étant unitaires et positivement liés, ils sont égaux et cela est exclu.

Exercice 17 4995

Soient $e_{1}, \dots, e_{n}$ des vecteurs d’un espace euclidien $E$ . On pose

M = \max_{(ε_{1}, \dots, ε_{n}) \in {1, - 1}^{n}} ∥ \sum_{k = 1}^{n} ε_{k} . e_{k} ∥ .

(a)

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires deux à deux indépendantes et uniformes sur ${1, - 1}$ . Montrer

$E ({∥ \sum_{k = 1}^{n} X_{k} . e_{k} ∥}^{2}) = \sum_{k = 1}^{n} {∥ e_{k} ∥}^{2} .$
(b)

En déduire

$\sum_{k = 1}^{n} {∥ e_{k} ∥}^{2} \leq M^{2} .$

Exercice 18 3318 Correction

Soient $x_{1}, \dots, x_{n}$ des vecteurs d’un espace préhilbertien $E$ .
On suppose qu’il existe $M \in ℝ$ tel que

\forall (ε_{1}, \dots, ε_{n}) \in {1, - 1}^{n}, ∥ \sum_{k = 1}^{n} ε_{k} x_{k} ∥ \leq M .

Montrer

\sum_{k = 1}^{n} {∥ x_{k} ∥}^{2} \leq M^{2} .

Solution

Cas: $n = 1$ . C’est immédiat.

Cas: $n = 2$ . Si $∥ x + y ∥ \leq M$ et $∥ x - y ∥ \leq M$ alors

{∥ x ∥}^{2} + 2 (x ∣ y) + {∥ y ∥}^{2} \leq M^{2} et {∥ x ∥}^{2} - 2 (x ∣ y) + {∥ y ∥}^{2} \leq M^{2} .

Si $(x ∣ y) \geq 0$ alors première identité donne ${∥ x ∥}^{2} + {∥ y ∥}^{2} \leq M^{2}$ , si $(x ∣ y) \leq 0$ , c’est la deuxième identité qui permet de conclure.

Supposons la propriété vraie au rang $n \geq 1$ .
Supposons

\forall (ε_{1}, \dots, ε_{n + 1}) \in {1, - 1}^{n + 1}, ∥ \sum_{k = 1}^{n + 1} ε_{k} x_{k} ∥ \leq M .

Par l’étude du cas $n = 2$ appliquée au vecteur

x = \sum_{k = 1}^{n} ε_{k} x_{k} et y = x_{n + 1}

on obtient

\forall (ε_{1}, \dots, ε_{n}) \in {1, - 1}^{n}, {∥ \sum_{k = 1}^{n} ε_{k} x_{k} ∥}^{2} + {∥ x_{n + 1} ∥}^{2} \leq M^{2}

donc

\forall (ε_{1}, \dots, ε_{n}) \in {1, - 1}^{n}, ∥ \sum_{k = 1}^{n} ε_{k} x_{k} ∥ \leq \sqrt{M^{2} - {∥ x_{n + 1} ∥}^{2}} .

Par hypothèse de récurrence

\sum_{k = 1}^{n} {∥ x_{k} ∥}^{2} \leq M^{2} - {∥ x_{n + 1} ∥}^{2}

et l’on peut conclure.
Récurrence établie.

Une variante probabiliste élégante: On introduit des variables $r_{1}, \dots, r_{n}$ indépendantes et uniformes sur ${\pm 1}$ . Par hypothèse

E ({∥ \sum_{i = 1}^{n} r_{i} x_{i} ∥}^{2}) \leq M^{2} .

Or en développant

E ({∥ \sum_{i = 1}^{n} r_{i} x_{i} ∥}^{2}) = \sum_{i, j = 1}^{n} E (r_{i} r_{j}) (x_{i} ∣ x_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} {∥ x_{i} ∥}^{2} .

car $E (r_{i} r_{j}) = δ_{i, j}$ .

Exercice 19 5661 Correction

Soit $E$ un espace préhilbertien réel et soit $(x_{1}, \dots, x_{n})$ une famille de $n$ vecteurs de $E$ ( $n \in ℕ^{*}$ ).

(a)

Montrer que

$\sum_{1 \leq i < j \leq n} {∥ x_{i} - x_{j} ∥}^{2} = n \sum_{i = 1}^{n} {∥ x_{i} ∥}^{2} - {∥ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} ∥}^{2} .$
(b)

On suppose

$\forall (i, j) \in {⟦ 1; n ⟧}^{2}, i \neq j ⟹ ∥ x_{i} - x_{j} ∥ \geq 1 .$

Établir que si une boule fermée $B$ contient tous les vecteurs $x_{1}, \dots, x_{n}$ , celle-ci est de rayon au moins égal à

$\sqrt{\frac{n - 1}{2 n}} .$

Solution

(a)

En développant,

$\sum_{1 \leq i < j \leq n} {∥ x_{i} - x_{j} ∥}^{2} = \sum_{1 \leq i < j \leq n} ({∥ x_{i} ∥}^{2} + {∥ x_{j} ∥}^{2}) - 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} (x_{i} ∣ x_{j})$

et

${∥ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} ∥}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} {∥ x_{i} ∥}^{2} - 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} (x_{i} ∣ x_{j}) .$

Or

$\sum_{1 \leq i < j \leq n} {∥ x_{i} ∥}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (n - i) {∥ x_{i} ∥}^{2} et \sum_{1 \leq i < j \leq n} {∥ x_{j} ∥}^{2} = \sum_{j = 1}^{n} (i - 1) {∥ x_{j} ∥}^{2}$

donc

$\sum_{1 \leq i < j \leq n} {∥ x_{i} ∥}^{2} = (n - 1) \sum_{i = 1}^{n} {∥ x_{i} ∥}^{2}$

et la relation voulue découle de l’ensemble de ces inégalités.
(b)

Soit $B$ une boule de centre $a$ et de rayon $R$ contenant tous les $x_{i}$ .

Par la relation qui précède appliquée aux vecteurs $x_{i} - a$ au lieu de $x_{i}$ ,

$n \sum_{i = 1}^{n} {∥ x_{i} - a ∥}^{2} \geq \sum_{1 \leq i < j \leq n} {∥ x_{i} - x_{j} ∥}^{2} \geq \sum_{1 \leq i < j \leq n} 1 .$

D’une part,

$\sum_{1 \leq i < j \leq n} 1 = \sum_{j = 2}^{n} \sum_{i = 1}^{j - 1} 1 = \sum_{j = 2}^{n} (j - 1) = \frac{n (n - 1)}{2} .$

D’autre part,

$n \sum_{i = 1}^{n} {∥ x_{i} - a ∥}^{2} \leq n^{2} R^{2} .$

On a donc

$R^{2} > \frac{n - 1}{2 n} .$

Exercice 20 351 Correction

Soient $e = {(e_{i})}_{1 \leq i \leq n}$ et $f = {(f_{j})}_{1 \leq j \leq n}$ deux bases orthonormales d’un espace euclidien $E$ .
Soit $u \in ℒ (E)$ . On pose

A = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} {(f_{i} ∣ u (e_{j}))}^{2} .

Montrer que $A$ ne dépend pas des bases orthonormales choisies

Solution

Puisque la base $f$ est orthonormale, on a

A = \sum_{j = 1}^{n} {∥ u (e_{j}) ∥}^{2}

et donc

A = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} {(e_{i} ∣ u (e_{j}))}^{2} .

Notons $M = (m_{i, j})$ la matrice de $u$ dans la base orthonormale $e$ . On a

m_{i, j} = (e_{i} ∣ u (e_{j}))

et donc

A = tr (M^{⊤} M) .

Si $e^{'} = (e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'})$ est une autre base orthonormale de $E$ et si $M^{'}$ est la matrice de $u$ dans $e^{'}$ , on peut écrire

M^{'} = P^{⊤} M P avec P \in O_{n} (ℝ)

et alors

tr (M^{', ⊤} M^{'}) = tr (P^{⊤} M^{⊤} M P) = tr (M^{⊤} M P P^{⊤}) = tr (M^{⊤} M) .

Finalement, la quantité $A$ ne dépend ni de choix de $f$ ni de celui de $e$ .

Exercice 21 5145 Correction

(Endomorphisme adjoint)

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace euclidien $E$ de produit scalaire noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

(a)

Montrer qu’il existe un unique endomorphisme¹¹ 1 Cet endomorphisme est appelé adjoint de $u$ . $v$ de $E$ vérifiant

$⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, v (y) ⟩ pour tous x, y \in E .$

On pourra étudier la matrice de $v$ dans une base orthonormée de $E$ .
(b)

Déterminer le noyau et l’image de $v$ en fonction de ceux de $u$ .

Solution

(a)

Soit $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée de $E$ . Notons $A = (a_{i, j})$ la matrice $u$ dans $e$ .

Analyse: Soient $v$ un endomorphisme solution et $B = (b_{i, j})$ sa matrice dans $e$ .

Pour tous $i, j \in ⟦ 1; n ⟧$ ,

$b_{i, j} = ⟨ e_{i}, v (e_{j}) ⟩ = ⟨ u (e_{i}), e_{j} ⟩ = a_{j, i} .$

On en déduit $B = A^{⊤}$ ce qui détermine $B$ (et donc $v$ de façon unique).

Synthèse: Soit $v$ l’endomorphisme de $E$ dont $A^{⊤}$ est la matrice dans la base $e$ . Pour tous $x, y \in E$ , en notant $X, Y$ les colonnes des coordonnées dans $e$ des vecteurs $x, y$ ,

$⟨ u (x), y ⟩ = (A X) Y^{⊤} = X^{⊤} A^{⊤} Y = ⟨ x, v (y) ⟩ .$

Ainsi, l’endomorphisme $v$ est solution.
(b)

Vérifions $Ker (v) = {(Im (u))}^{⊥}$ en raisonnant par double inclusion.

Soient $x = u (a) \in Im (u)$ et $y \in Ker (v)$ . On a

$⟨ x, y ⟩ = ⟨ u (a), y ⟩ = ⟨ a, v (y) ⟩ = ⟨ a {,0}_{E} ⟩ = 0 .$

Ainsi, $Ker (v)$ et $Im (u)$ orthogonaux ce qui donne $Ker (v) \subset {(Im (u))}^{⊥}$ .

Inversement, soit $y \in {(Im (u))}^{⊥}$ . Pour tout $x \in E$ ,

$⟨ u (x), y ⟩ = 0 donc ⟨ x, v (y) ⟩ = 0 .$

Le vecteur $v (y)$ étant orthogonal à tout vecteur $x$ , c’est le vecteur nul et donc $y \in Ker (v)$ . Ainsi, ${(Im (u))}^{⊥} \subset Ker (v)$ et l’on peut conclure à l’égalité.

Vérifions $Im (v) = {(Ker (u))}^{⊥}$ par inclusion et égalité des dimensions.

Soient $x \in Ker (u)$ et $y = v (a) \in Im (v)$ . On a

$⟨ x, y ⟩ = ⟨ x, v (a) ⟩ = ⟨ u (x), a ⟩ = ⟨ 0_{E}, a ⟩ = 0 .$

Ainsi, $Ker (u)$ et $Im (v)$ sont orthogonaux: $Im (v) \subset {(Ker (u))}^{⊥}$ . De plus,

$dim Im (v)$ $= n - dim Ker (v) = n - dim {(Im (u))}^{⊥}$

$= rg (u) = n - dim Ker (u) = dim {(Ker (u))}^{⊥} .$

On conclut $Im (v) = {(Ker (u))}^{⊥}$ .

Exercice 22 3321 Correction

(Opérateur de Volterra)

On munit l’espace $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ du produit scalaire

⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (x) g (x) d x .

Pour $f \in E$ , on note $F$ la primitive de $f$ qui s’annule en $0$

\forall x \in [0; 1], F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

et l’on considère l’endomorphisme $v$ de $E$ déterminé par $v (f) = F$ .

(a)

Déterminer un endomorphisme $v^{*}$ vérifiant

$\forall (f, g) \in E^{2}, ⟨ v (f), g ⟩ = ⟨ f, v^{*} (g) ⟩ .$
(b)

Déterminer les valeurs propres de l’endomorphisme $v^{*} \circ v$ .

Solution

(a)

Par intégration par parties,

$\int_{0}^{1} F (x) g (x) d x = F (1) G (1) - \int_{0}^{1} f (x) G (x) d x$

ce qui se réécrit

$\int_{0}^{1} F (x) g (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) (G (1) - G (x)) d x .$

Ainsi, pour

$v^{*} (g) : x \mapsto G (1) - G (x) = \int_{x}^{1} g (t) d t$

on vérifie que $v^{*}$ est un endomorphisme de $E$ vérifiant

$\forall (f, g) \in E^{2}, ⟨ v (f), g ⟩ = ⟨ f, v^{*} (g) ⟩ .$
(b)

Les endomorphismes $v$ et $v^{*}$ sont injectifs donc $v^{*} \circ v$ aussi. Par conséquent, $0$ n’est pas valeur propre de $v^{*} \circ v$ .

Soient $λ \in ℝ^{*}$ et $f \in E$ vérifiant $(v^{*} \circ v) (f) = λ f$ .

La fonction $f$ est nécessairement dérivable et vérifie

${\begin{matrix} λ f (1) & = 0 \\ v (f) (x) & = - λ f^{'} (x) . \end{matrix}$

La fonction $f$ est donc nécessairement deux fois dérivable et vérifie

${\begin{matrix} λ f (1) & = 0 \\ λ f^{'} (0) & = 0 \\ f (x) & = - λ f^{''} (x) . \end{matrix}$

Cas: $λ > 0$ . En écrivant $λ = 1 / \sqrt{ω}$ , l’équation différentielle $λ y^{''} + y = 0$ donne la solution générale

$y (t) = α \cos (ω t) + β \sin (ω t) .$

La condition $f^{'} (0) = 0$ donne $β = 0$ et la condition $f (1) = 0$ donne $α \cos (ω) = 0$ .

Si $ω \notin π / 2 + π ℕ$ alors $f = 0$ et $λ = 1 / \sqrt{ω}$ n’est pas valeur propre.

En revanche, si $ω \in π / 2 + π ℕ$ , alors par la reprise des calculs précédents donne $λ = 1 / \sqrt{ω}$ valeur propre associé au vecteur propre associé $f (x) = \cos (ω x)$ .

Cas: $λ < 0$ . La résolution de l’équation différentielle linéaire à coefficients constants avec les conditions proposées donne $f = 0$ et donc $λ$ n’est pas valeur propre.

Exercice 23 5899 Correction

(Opérateur de Volterra)

On munit l’espace $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ du produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ donné par

⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t .

Pour $f \in E$ , on considère la fonction $T (f) : [0; 1] \to ℝ$ donnée par

\forall x \in [0; 1], T (f) (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t .

(a)

Montrer que $T$ définit un endomorphisme de $E$ .
(b)

Justifier l’existence d’un endomorphisme $T^{*}$ de $E$ vérifiant

$\forall (f, g) \in E^{2}, ⟨ T (f), g ⟩ = ⟨ f, T^{*} (g) ⟩ .$

Solution

(a)

Pour $f \in E$ , l’application $T (f)$ est correctement définie et il s’agit de la primitive de $f$ qui s’annule en $1$ . C’est évidemment une fonction continue. L’application $T$ est donc correctement définie de $E$ vers $E$ . La linéarité de $T$ est facile à vérifier.
(b)

Pour $f, g \in E$ ,

$⟨ T (f), g ⟩ = \int_{0}^{1} F (t) g (t) d t avec F : x \mapsto \int_{0}^{x} f (t) d t .$

Par intégration par parties,

$\int_{0}^{1} F (t) g (t) d t$ $= {[F (t) G (t)]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} f (t) G (t)$

$= F (1) G (1) - \int_{0}^{1} f (t) G (t) avec G primitive de g .$

Pour obtenir la relation voulue, il suffit de considérer la primitive de $- g$ qui s’annule en $1$ . Considérons alors $T^{*} (g)$ l’application donnée par

$\forall x \in [0; 1], T^{*} (g) (x) = \int_{x}^{1} g (t) d t .$

Comme dans la question précédente, on vérifie que $T^{*}$ est un endomorphisme de $E$ et, par les calculs ci-dessus, on vérifie

$⟨ T (f), g ⟩ = ⟨ f, T^{*} (g) ⟩ .$

Exercice 24 5398 Correction

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace euclidien $E$ de dimension $n \in ℕ^{*}$ .

On suppose que $f$ est trigonalisable, montrer qu’il existe une base orthonormale trigonalisant $f$ .

Solution

Soit $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base trigonalisant. La matrice de $f$ dans $e$ est

A = {Mat}_{e} (f) \in T_{n}^{+} (ℝ) .

Par le procédé de Gram-Schmidt, on peut transformer $e$ en une base orthonormale $e^{'} = (e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'})$ de sorte que la matrice de passage de $e$ à $e^{'}$ soit triangulaire supérieure

P = {Mat}_{e} e^{'} \in T_{n}^{+} (ℝ) et P^{- 1} \in T_{n}^{+} (ℝ) .

Par changement de base,

A^{'} = {Mat}_{e^{'}} (f) = P^{- 1} A P .

Or le produit de matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure: la base $e^{'}$ est une base orthonormale trigonalisant $f$ .

Exercice 25 3979 MINES (MP)

Soient $a, b$ deux vecteurs unitaires d’un espace euclidien $E$ de dimension $n \geq 2$ dont le produit scalaire est noté $(\cdot ∣ \cdot)$ .

Montrer que la fonction $f : x \mapsto (a ∣ x) (b ∣ x)$ définie sur $S = {x \in E | ∥ x ∥ = 1}$ présente un minimum et un maximum que l’on déterminera.

[<] Calculs dans un espace préhilbertien réel[>] Familles obtusangles

Exercice 26 3924

Soit $E$ un espace euclidien de produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

Montrer que si $p$ est une projection de $E$ vérifiant $⟨ p (x), x ⟩ \geq 0$ pour tout $x$ de $E$ , alors $p$ est une projection orthogonale.

Exercice 27 1595 MINES (MP)

Soit $p$ une projection vectorielle d’un espace euclidien $E$ .

Montrer que la projection $p$ est orthogonale si, et seulement si,

∥ p (x) ∥ \leq ∥ x ∥ pour tout x \in E .

Exercice 28 524

Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ muni d’une base orthonormale $ℬ$ et $p$ la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel $F$ muni d’une base orthonormale $(x_{1}, \dots, x_{r})$ . Montrer que la matrice $A$ de $p$ dans la base $ℬ$ est

A = \sum_{k = 1}^{r} X_{k} X_{k}^{⊤}

avec $X_{1}, \dots, X_{r}$ les colonnes des coordonnées des vecteurs $x_{1}, \dots, x_{r}$ dans $ℬ$ .

Exercice 29 5936 Correction

Soient $p_{1}$ et $p_{2}$ deux projections orthogonales d’un espace euclidien $E$ .

À quelle condition l’application $p_{1} + p_{2}$ est-elle encore une projection orthogonale?

Solution

Analyse: Supposons que $p_{1} + p_{2}$ soit une projection orthogonale.

En particulier $p_{1} + p_{2}$ est un projecteur ce qui donne

{(p_{1} + p_{2})}^{2} = p_{1} + p_{2}

En développant et en simplifiant, on obtient

p_{1} \circ p_{2} + p_{2} \circ p_{1} = 0

D’une part, on compose par $p_{1}$ à gauche

p_{1} \circ p_{2} + p_{1} \circ p_{2} \circ p_{1} = 0

D’autre part, on compose par $p_{1}$ à droite

p_{1} \circ p_{2} \circ p_{1} + p_{2} \circ p_{1} = 0

On en déduit

p_{1} \circ p_{2} = p_{2} \circ p_{1} = 0

et par conséquent

Im (p_{2}) \subset Ker (p_{1}) et Im (p_{1}) \subset Ker (p_{2})

Sachant $Ker (p_{1}) = {(Im (p_{1}))}^{⊥}$ et $Ker (p_{2}) = {(Im (p_{2}))}^{⊥}$ , les deux conditions précédentes se résument en $Im (p_{1}) ⊥ Im (p_{2})$ .

Synthèse: Supposons $Im (p_{1}) ⊥ Im (p_{2})$

Considérons une base orthonormée adaptée à l’écriture $Im (p_{1}) \oplus^{⊥} Im (p_{2})$ complétée en une base orthonormée de $E$ . Les vecteurs complétant sont des vecteurs de l’espace ${(Im (p_{1}) + Im (p_{2}))}^{⊥} = Ker (p_{1}) \cap Ker (p_{2})$ .

Les matrices de $p_{1}$ et $p_{2}$ dans cette base sont de la forme

(\begin{matrix} I_{r_{1}} & (0) \\ O_{r_{2}} \\ (0) & O_{n - r_{1} - r_{2}} \end{matrix}) et (\begin{matrix} O_{r_{1}} & (0) \\ I_{r_{2}} \\ (0) & O_{n - r_{1} - r_{2}} \end{matrix})

avec $n = dim E$ , $r_{1} = rg (p_{1})$ et $r_{2} = rg (p_{2})$ .

La matrice de $p_{1} + p_{2}$ dans cette base est alors

(\begin{matrix} I_{r_{1}} & (0) \\ I_{r_{2}} \\ (0) & O_{n - r_{1} - r_{2}} \end{matrix})

On reconnaît la matrice de la projection orthogonale sur l’espace $Im (p_{1}) \oplus^{⊥} Im (p_{2})$ . Ainsi, $p_{1} + p_{2}$ est une projection orthogonale.

Exercice 30 529 Correction

On considère une application $φ : ℝ [X] \times ℝ [X] \to ℝ$ par

φ (P, Q) = \int_{0}^{+ \infty} P (t) Q (t) e^{- t} d t .

(a)

Montrer que $φ$ définit un produit scalaire sur $ℝ [X]$ .
(b)

Déterminer

$inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} {(t^{2} - (a t + b))}^{2} d t .$

Solution

(a)

Symétrie, bilinéarité et positivité: ok

Si $φ (P, P) = 0$ alors $\int_{0}^{+ \infty} P^{2} (t) e^{- t} d t = 0$ donc (fonction continue positive d’intégrale nulle)

$\forall t \in [0; + \infty [, P (t) = 0 .$

Comme le polynôme $P$ admet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.
(b)

On interprète

$inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} {(t^{2} - (a t + b))}^{2} d t = d {(X^{2}, ℝ_{1} [X])}^{2} = {∥ X^{2} - P ∥}^{2}$

avec $P = a X + b$ le projeté orthogonal de $X^{2}$ sur $ℝ_{1} [X]$ . Détermions ce polynôme.

Les égalités $(X^{2} - P ∣ 1) = (X^{2} - P ∣ X) = 0$ donnent

${\begin{matrix} a & + b & = 2 \\ 2 a & + b & = 6 . \end{matrix}$

Après résolution, $a = 4$ , $b = - 2$ puis

$inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} {(t^{2} - (a t + b))}^{2} d t = 4 .$

Exercice 31 5456 Correction

Calculer

m = inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} \int_{0}^{1} {(\ln (t) - (a t + b))}^{2} d t .

Solution

On considère l’espace préhilbertien $L^{2} (] 0; 1], ℝ)$ où le produit scalaire est défini par

(f ∣ g) = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t .

On remarque que la fonction $f = \ln$ est élément de cet espace et il s’agit ici de calculer

m = {(d (f, F))}^{2} avec F = Vect (1, Id) .

On sait

d (f, F) = ∥ f - p_{F} (f) ∥

avec $p_{F}$ la projection orthogonale sur $F$ .

Par application du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, on forme une base orthonormale $(e_{1}, e_{2})$ de $F$ avec

e_{1} (x) = 1 et e_{2} (x) = 2 \sqrt{3} (x - 1 / 2) .

On peut alors déterminer le projeté de $f$

p_{F} (f) = (f ∣ e_{1}) . e_{1} + (f ∣ e_{2}) . e_{2}

avec (après calcul par intégrations par parties)

(f ∣ e_{1}) = - 1 et (f ∣ e_{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} .

On en déduit

{∥ p_{F} (f) ∥}^{2} = {(f ∣ e_{1})}^{2} + {(f ∣ e_{2})}^{2} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}

puis, par Pythagore,

m = {∥ f - p_{F} (f) ∥}^{2} = {∥ f ∥}^{2} - {∥ p_{F} (f) ∥}^{2} = 2 - \frac{7}{4} = \frac{1}{4} .

Exercice 32 2735 MINES (MP)Correction

Calculer

inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} \int_{0}^{1} t^{2} {(\ln (t) - a t - b)}^{2} d t .

Solution

En introduisant l’espace $E$ des fonctions réelles $f$ continues sur $] 0; 1]$ telles que $t \mapsto {(t f (t))}^{2}$ soit intégrable et en munissant cet espace du produit scalaire

(f ∣ g) = \int_{0}^{1} t^{2} f (t) g (t) d t

la quantité cherchée est: $m = d {(f, F)}^{2}$ avec $f : t \mapsto \ln (t)$ et $F = Vect (f_{0}, f_{1})$ où $f_{0} (t) = 1$ et $f_{1} (t) = t$ .
$m = {∥ f - p (f) ∥}^{2}$ avec $p$ la projection orthogonale sur $F$ .
$p (f) (t) = a + b t$ avec $(p (f) ∣ f_{0}) = (f ∣ f_{0})$ et $(p (f) ∣ f_{1}) = (f ∣ f_{1})$ .
La résolution du système ainsi obtenu donne $a = 5 / 3$ et $b = - 19 / 12$ .
$m = {∥ f - p (f) ∥}^{2} = (f - p (f) ∣ f) = 1 / 432$ .

Exercice 33 3766 KER LANN (MP)Correction

On pose $E = 𝒞^{1} ([0; 1], ℝ)$ et

\forall f, g \in E, ⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t + \int_{0}^{1} f^{'} (t) g^{'} (t) d t .

(a)

Montrer que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ définit un produit scalaire sur $E$ .
(b)

On pose

$V = {f \in E | f (0) = f (1) = 0} et W = {f \in E | f est de classe 𝒞^{2} et f^{''} = f} .$

Montrer que $V$ et $W$ sont supplémentaires et orthogonaux.

Exprimer la projection orthogonale sur $W$ .
(c)

Soient $α, β \in ℝ$ et

$E_{α, β} = {f \in E | f (0) = α et f (1) = β} .$

Calculer

$inf_{f \in E_{α, β}} \int_{0}^{1} (f {(t)}^{2} + f^{'} {(t)}^{2}) d t .$

Solution

(a)

Vérification sans peine.
(b)

Soit $(f, g) \in V \times W$ . On a

$⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (t) g^{''} (t) + f^{'} (t) g^{'} (t) d t = {[f (t) g^{'} (t)]}_{0}^{1} = 0$

et les espaces $V$ et $W$ sont donc en somme directe.

Soit $f \in E$ . Posons

$λ = f (0) et μ = \frac{f (1) - f (0) ch (1)}{sh (1)} .$

On a $f = g + h$ avec $h = λ ch + μ sh \in W$ et $g = f - h \in V$ par construction.
Les espaces $V$ et $W$ sont donc supplémentaires orthogonaux et l’on peut introduire la projection orthogonale $p$ sur $W$ . Par ce qui précède

$p (f) = f (0) ch + \frac{f (1) - f (0) ch (1)}{sh (1)} sh .$
(c)

Soit $g$ la fonction de $E_{α, β}$ définie par

$g = α ch + \frac{β - α ch (1)}{sh (1)} sh .$

Les fonctions de $E_{α, β}$ sont alors de la forme $f = g + h$ avec $h$ parcourant $V$ et par orthogonalité de $g$ et $h$

$\int_{0}^{1} (f {(t)}^{2} + f^{'} {(t)}^{2}) d t = {∥ f ∥}^{2} = {∥ g ∥}^{2} + {∥ h ∥}^{2} .$

On en déduit

$inf_{f \in E_{α, β}} \int_{0}^{1} (f {(t)}^{2} + f^{'} {(t)}^{2}) d t = {∥ g ∥}^{2} = \frac{(α^{2} + β^{2}) ch (1) - 2 α β}{sh (1)} .$

[<] Projections orthogonales et calcul de distances[>] Représentation d'une forme linéaire

Exercice 34 3157 Correction

Soit $ℱ = (x_{1}, \dots, x_{n})$ une famille de $n \geq 2$ vecteurs d’un espace préhilbertien réel.
On suppose

\forall 1 \leq i \neq j \leq n, (x_{i} ∣ x_{j}) < 0 .

Montrer que toute sous famille de $n - 1$ vecteurs de $ℱ$ est libre.

Solution

Raisonnons par récurrence sur $n \geq 2$ .
Pour $n = 2$ la propriété est immédiate car aucun vecteur ne peut être nul.
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 2$ .
Soit $(x_{1}, \dots, x_{n + 1})$ une famille de vecteurs vérifiant

\forall 1 \leq i \neq j \leq n + 1, (x_{i} ∣ x_{j}) < 0 .

Par projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel de dimension finie $D = Vect (x_{n + 1})$ , on peut écrire pour tout $i \in {1, \dots, n}$

x_{i} = y_{i} + λ_{i} x_{n + 1}

avec $y_{i}$ un vecteur orthogonal à $x_{n + 1}$ et $λ_{i} < 0$ puisque $(x_{i} ∣ x_{n + 1}) < 0$ .
On remarque alors

(x_{i} ∣ x_{j}) = (y_{i} ∣ y_{j}) + λ_{i} λ_{j} {∥ x_{n + 1} ∥}^{2}

et on en déduit

\forall 1 \leq i \neq j \leq n, (y_{i} ∣ y_{j}) < 0 .

Par hypothèse de récurrence, on peut affirmer que la famille $(y_{2}, \dots, y_{n})$ est libre et puisque ses vecteurs sont orthogonaux au vecteur $x_{n + 1}$ non nul, on peut aussi dire que la famille $(y_{2}, \dots, y_{n}, x_{n + 1})$ est libre. Enfin, on en déduit que la famille $(x_{2}, \dots, x_{n}, x_{n + 1})$ car cette dernière engendre le même espace que la précédente et est formée du même nombre de vecteurs.

Par permutation des indices, ce qui précède vaut pour toute sous-famille formée de $n$ vecteurs de la famille initiale $(x_{1}, \dots, x_{n}, x_{n + 1})$ .

Récurrence établie.

Exercice 35 520 MINES (PC)

(Famille obtusangle¹¹ 1 Selon que $(x ∣ y)$ est positif, nul ou négatif, on dit que les deux vecteurs $x$ et $y$ forment un angle aigu, droit ou obtus.)

Soient $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n + 2}$ des vecteurs d’un espace euclidien $E$ de dimension $n \geq 1$ dont le produit scalaire est noté $(\cdot ∣ \cdot)$ . Montrer qu’il est impossible que $(x_{i} ∣ x_{j}) < 0$ pour tous les indices $i$ et $j$ distincts compris entre $1$ et $n + 2$ .

[<] Familles obtusangles[>] Éléments propres d'endomorphismes dans un espace euclidien

Exercice 36 4248

Soit $φ$ une forme linéaire sur $E = ℳ_{n} (ℝ)$ . Montrer qu’il existe une matrice $A$ dans $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $φ (M) = tr (A M)$ pour tout $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

Exercice 37 5566 Correction

Dans $E = ℳ_{n} (ℝ)$ canoniquement euclidien, on considère

H = {M \in ℳ_{n} (ℝ) | tr (M) = 0} .

(a)

Justifier que $H$ est un hyperplan de $E$ .
(b)

Déterminer un vecteur normal de $H$ .
(c)

Soit $H^{'}$ un hyperplan de $E$ . Montrer qu’il existe $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ , $A \neq O_{n}$ telle que

$M \in H^{'} \Leftrightarrow tr (A M) = 0 .$

Solution

(a)

L’ensemble $H$ apparaît comme le noyau de l’application linéaire trace. Puisque celle-ci est une forme linéaire non nulle, $H$ est un hyperplan.
(b)

Le produit scalaire sur $E$ est donné par $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)$ . Pour $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ ,

$M \in H$ $\Leftrightarrow tr (M) = 0$

$\Leftrightarrow ⟨ I_{n}, M ⟩ = 0 .$

La matrice $I_{n}$ est un vecteur normal de l’hyperplan $H$ .
(c)

Soient $A^{'}$ un vecteur normal de $H^{'}$ et $A = A^{', ⊤}$ . La matrice $A$ n’est pas nulle et, pour $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ ,

$M \in H^{'}$ $\Leftrightarrow ⟨ A^{'}, M ⟩ = 0$

$\Leftrightarrow tr (A M) = 0 .$

Exercice 38 3024 X (MP)Correction

On définit sur $ℝ [X]$ le produit scalaire

⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t .

Existe-t-il $A \in ℝ [X]$ tel que

\forall P \in ℝ [X], P (0) = ⟨ A, P ⟩ ?

Solution

Supposons l’existence d’un tel polynôme $A$ et considérons $P (X) = X A (X)$ .
On a

0 = P (0) = ⟨ A, P ⟩ = \int_{0}^{1} t A {(t)}^{2} d t .

Par nullité de l’intégrale d’une fonction continue positive, on obtient

\forall t \in [0; 1], t A {(t)}^{2} = 0 .

Le polynôme $A$ admet une infinité de racine, c’est donc le polynôme nul ce qui est absurde.

Exercice 39 2666 ENTPE (MP)

Soit $E = ℝ_{n} [X]$ avec $n \in ℕ$ .

(a)

Montrer l’existence et l’unicité d’un polynôme $A$ de $E$ tel que

$P (0) = \int_{0}^{1} A (t) P (t) d t pour tout P \in E .$
(b)

Établir que le polynôme $A$ est de degré $n$ exactement.

Exercice 40 4262

(Produit vectoriel)

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs d’un espace euclidien orienté $E$ de dimension $3$ .

(a)

Montrer qu’il existe un unique vecteur noté $\vec{u} \land \vec{v}$ dans $E$ vérifiant¹¹ 1 $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ désigne le produit mixte des vecteurs $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ , c’est-à-dire le déterminant de la famille $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ dans une base orthonormale directe de $E$ .

$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{x}] = (\vec{u} \land \vec{v} ∣ \vec{x}) pour tout \vec{x} \in E .$

Le vecteur $\vec{u} \land \vec{v}$ est appelé produit vectoriel de $\vec{u}$ par $\vec{v}$ .
(b)

Vérifier que le vecteur $\vec{u} \land \vec{v}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
(c)

Montrer que la famille $(\vec{u}, \vec{v})$ est libre si, et seulement si, $\vec{u} \land \vec{v}$ est non nul. Observer que la famille $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \land \vec{v})$ est alors une base directe.
(d)

On introduit une base orthonormale directe $ℬ = (\vec{ı}, \vec{ȷ}, \vec{k})$ telle que $\vec{u} \in Vect (\vec{ı})$ et $\vec{v} \in Vect (\vec{ı}, \vec{ȷ})$ . Exprimer le vecteur $\vec{u} \land \vec{v}$ et vérifier la formule²² 2 D’autres propriétés classiques sur le produit vectoriel peuvent être établies comme sa bilinéarité ou la formule du double produit vectoriel $\vec{u} \land (\vec{v} \land \vec{w}) = (\vec{u} ∣ \vec{w}) . \vec{v} - (\vec{u} ∣ \vec{v}) . \vec{w}$ . Notons que le produit vectoriel n’est pas associatif et qu’il est anticommutatif $\vec{v} \land \vec{u} = - (\vec{u} \land \vec{v})$ .

${(\vec{u} ∣ \vec{v})}^{2} + {∥ \vec{u} \land \vec{v} ∥}^{2} = {∥ \vec{u} ∥}^{2} {∥ \vec{v} ∥}^{2} .$

[<] Représentation d'une forme linéaire[>] Produit scalaire et transposition matricielle

Exercice 41 517 Correction

Soit $a$ un vecteur normé d’un espace vectoriel euclidien $E$ . Pour tout $α \in ℝ$ , on considère l’endomorphisme

f_{α} : x \mapsto x + α (a ∣ x) a .

(a)

Préciser la composée $f_{α} \circ f_{β}$ . Quelles sont les endomorphismes $f_{α}$ bijectifs?
(b)

Déterminer les éléments propres de $f_{α}$ .

Solution

(a)

Pour $α, β \in ℝ$ ,

$f_{α} \circ f_{β} = f_{α + β + α β} .$

Si $α = - 1$ alors $a \in Ker (f_{α})$ et donc $f_{α}$ n’est pas bijective.
Si $α \neq - 1$ alors, pour $β = - \frac{α}{1 + α}$ ,

$f_{β} \circ f_{α} = f_{α} \circ f_{β} = f_{0} = Id$

d’où la bijectivité de $f_{α}$ .
(b)

Tout vecteur non nul orthogonal à $a$ est vecteur propre associé à la valeur propre $1$ .

Tout vecteur non nul colinéaire à $a$ est vecteur propre associé à la valeur propre $1 + α$ .

Pour une raison de dimension, il ne peut y avoir d’autres vecteurs propres.

Exercice 42 6004 Correction

Soit $a$ et $b$ deux vecteurs d’un espace euclidien $E$ de produit scalaire $(\cdot ∣ \cdot)$ . On considère l’application $f : E \to E$ donnée par

\forall x \in E, f (x) = x + (a ∣ x) b .

(a)

Montrer que $f$ est linéaire.
(b)

Calculer $f^{2}$ et en déduire un polynôme annulateur de $f$ .
(c)

À quelle condition l’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable?

Solution

(a)

Pour $λ, μ \in ℝ$ et $x, y \in E$ ,

$f (λ . x + μ . y)$ $= (λ . x + μ . y) + (a ∣ λ . x + μ . y) b$

$= (λ . x + μ . y) + λ (a ∣ x) b + μ (a ∣ y) b$

$= λ f (x) + μ f (y) .$
(b)

Pour $x \in ℝ$ ,

$f^{2} (x)$ $= f (f (x)) = f (x) + (a ∣ f (x)) b$

$= f (x) + (a ∣ x + (a ∣ x) b) b$

$= x + (a ∣ x) b + (a ∣ x) b + (a ∣ x) (a ∣ b) b$

$= x + (2 + (a ∣ b)) (a ∣ x) b .$

Aussi, $(a ∣ x) b = f (x) - x$ et donc

$f^{2} (x) = x + (2 + (a ∣ b)) (f (x) - x) = (2 + (a ∣ b)) f (x) - (1 + (a ∣ b)) x .$

On en déduit que le polynôme

$P = X^{2} - (2 + (a ∣ b)) X + 1 + (a ∣ b)$

est annulateur de $f$ .
(c)

Les racines de $P$ sont $1$ et $1 + (a ∣ b)$ .

Cas: $(a ∣ b) \neq 0$ . Le polynôme $P$ est simplement scindé sur $ℝ$ . L’endomorphisme $f$ est diagonalisable.

Cas: $(a ∣ b) = 0$ . Le polynôme $P$ possède une seule racine $1$ . L’endomorphisme $f$ n’a donc qu’une seule valeur propre possible $1$ . L’endomorphisme $f$ est diagonalisable si, et seulement si, $f = {Id}_{E}$ . Or

$f = {Id}_{E}$ $\Leftrightarrow \forall x \in E, f (x) = x$

$\Leftrightarrow \forall x \in E, (a ∣ x) b = 0_{E}$

$\Leftrightarrow a = 0_{E} ou b = 0_{E} .$

En bilan, $f$ est diagonalisable si, et seulement si,

$(a ∣ b) \neq 0 ou a = 0_{E} ou b = 0_{E} .$

Exercice 43 5141

Soient $a$ et $b$ deux vecteurs unitaires d’un espace euclidien $E$ de dimension $n \geq 2$ et de produit scalaire noté $(\cdot ∣ \cdot)$ . On étudie l’endomorphisme $f$ de $E$ donné par

f (x) = x - (a ∣ x) . b .

(a)

À quelle condition simple l’endomorphisme $f$ est-il bijectif?
(b)

À quelle condition l’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable?

[<] Éléments propres d'endomorphismes dans un espace euclidien[>] Polynômes orthogonaux

Exercice 44 4257

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Vérifier $Im (A^{⊤}) = {(Ker (A))}^{⊥}$ .

Exercice 45 3937

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ .

(a)

Comparer les espaces $Ker (A) et Ker (A^{⊤} A)$ .
(b)

Comparer les espaces $Im (A) et Im (A A^{⊤})$ .

Exercice 46 354 ENSTIM (MP)Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Établir

rg (A^{⊤} A) = rg (A) .

Solution

Si $X \in Ker (A)$ alors $X \in Ker (A^{⊤} A)$ .
Inversement, si $X \in Ker (A^{⊤} A)$ alors $A^{⊤} A X = 0$ donc $X^{⊤} A^{⊤} A X = {(A X)}^{⊤} A X = 0$ d’où $A X = 0$ puis $X \in Ker (A)$ .
Ainsi,

Ker (A^{⊤} A) = Ker (A)

puis par la formule du rang

rg (A^{⊤} A) = rg (A) .

Exercice 47 3935

Soit $A$ une matrice de $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $A^{2} = O_{n}$ .

(a)

Établir

$Ker (A^{⊤} + A) = Ker (A) \cap Ker (A^{⊤}) .$
(b)

En déduire

$A^{⊤} + A \in {GL}_{n} (ℝ) \Leftrightarrow Im (A) = Ker (A) .$

Exercice 48 3938 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

\forall X \in ℳ_{n,1} (ℝ), ∥ A X ∥ \leq ∥ X ∥

où $∥ \cdot ∥$ désigne la norme euclidienne usuelle sur l’espace des colonnes.

(a)

Établir

$\forall X \in ℳ_{n,1} (ℝ), ∥ A^{⊤} X ∥ \leq ∥ X ∥ .$
(b)

Soit $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ . Montrer que si $A X = X$ alors $A^{⊤} X = X$
(c)

Établir

$ℳ_{n,1} (ℝ) = Ker (A - I_{n}) \oplus Im (A - I_{n}) .$

Solution

(a)

On a

${∥ A^{⊤} X ∥}^{2} = X^{⊤} A A^{⊤} X = ⟨ X, A A^{⊤} X ⟩ .$

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

${∥ A^{⊤} X ∥}^{2} = ⟨ X, A A^{⊤} X ⟩ \leq ∥ X ∥ ∥ A A^{⊤} X ∥ \leq ∥ X ∥ ∥ A^{⊤} X ∥ .$

Ainsi,

$∥ A^{⊤} X ∥ \leq ∥ X ∥$

et ce que $A^{⊤} X = 0$ ou non.
(b)

Si $A X = X$ alors

${∥ A^{⊤} X - X ∥}^{2} = {∥ A^{⊤} X ∥}^{2} - 2 ⟨ A^{⊤} X, X ⟩ + {∥ X ∥}^{2} \leq 2 ({∥ X ∥}^{2} - X^{⊤} A X) = 0 .$

On en déduit $A^{⊤} X = X$ .
(c)

Soit $X \in Ker (A - I_{n}) \cap Im (A - I_{n})$ .
On a $A X = X$ (et donc $A^{⊤} X = X$ ) et il existe $Y \in E$ vérifiant $X = A Y - Y$ .

${∥ X ∥}^{2} = ⟨ X, A Y - Y ⟩ = X^{⊤} A Y - X^{⊤} Y .$

Or

$X^{⊤} A Y = {(A^{⊤} X)}^{⊤} Y = X^{⊤} Y$

et donc ${∥ X ∥}^{2} = 0$ . Ainsi,

$Ker (A - I_{n}) \cap Im (A - I_{n}) = {0} .$

Enfin, le théorème du rang

$dim Ker (A - I_{n}) + rg (A - I_{n}) = dim E$

permet de conclure

$E = Ker (A - I_{n}) \oplus Im (A - I_{n}) .$

Exercice 49 4258

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $∥ A X ∥ \leq ∥ X ∥$ pour toute colonne $X$ de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ .

(a)

Montrer $∥ A^{⊤} X ∥ \leq ∥ X ∥$ pour toute colonne $X$ de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ .
(b)

Soit $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ vérifiant $A X = X$ . Montrer $A^{⊤} X = X$ .

[<] Produit scalaire et transposition matricielle

Exercice 50 3657 Correction

On munit $ℝ [X]$ du produit scalaire

⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t .

(a)

Établir l’existence et l’unicité d’une suite de polynômes $(P_{n})$ formée de polynômes deux à deux orthogonaux avec chaque $P_{n}$ de degré $n$ et de coefficient dominant 1.
(b)

Étudier la parité des polynômes $P_{n}$ .
(c)

Prouver que pour chaque $n \geq 1$ , le polynôme $P_{n + 1} - X P_{n}$ est élément de l’orthogonal à $ℝ_{n - 2} [X]$ .
(d)

En déduire alors qu’il existe $λ_{n} \in ℝ$ tel que

$P_{n + 1} = X P_{n} + λ_{n} P_{n - 1} .$

Solution

(a)

Par récurrence sur $n \geq 0$ , établissons l’existence et l’unicité de la sous-famille ${(P_{k})}_{0 \leq k \leq n}$ telle que voulue.
Cas: $n = 0$ . Le polynôme $P_{0}$ vaut 1.
Supposons la propriété vraie au rang $n \geq 0$ .
Les polynômes $P_{0}, \dots, P_{n}$ sont alors déterminés de façon unique par l’hypothèse de récurrence et il reste seulement à former $P_{n + 1}$ . Celui-ci peut s’écrire

$P_{n + 1} = X^{n + 1} + Q (X) avec Q (X) \in ℝ_{n} [X] .$

On veut $⟨ P_{n + 1}, P_{k} ⟩ = 0$ pour tout $k \in {0, \dots, n}$ . Le polynôme $Q$ doit donc vérifier

$\forall k \in {0, \dots, n}, ⟨ Q (X), P_{k} ⟩ = - ⟨ X^{n + 1}, P_{k} ⟩ .$

Ces relations détermine entièrement le polynôme $Q$ puisque $(P_{0}, \dots, P_{n})$ est une base orthogonale de $ℝ_{n} [X]$ :

$Q = - \sum_{k = 0}^{n} \frac{⟨ X^{n + 1}, P_{k} ⟩}{{∥ P_{k} ∥}^{2}} P_{k} .$

Le polynôme $P_{n + 1}$ existe donc et est unique.
Récurrence établie.
(b)

La famille $({(- 1)}^{n} P_{n} (- X))$ vérifie les mêmes conditions que celles ayant défini la suite $(P_{n})$ . On en déduit

$\forall n \in ℕ, P_{n} (- X) = {(- 1)}^{n} P_{n} (X) .$
(c)

Soit $Q \in ℝ_{n - 2} [X]$ .
On peut écrire $Q = \sum_{k = 0}^{n - 2} a_{k} P_{k}$ et donc

$⟨ P_{n + 1}, Q ⟩ = 0 .$

On peut aussi écrire $X Q = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k}^{'} P_{k}$ et donc

$⟨ X P_{n}, Q ⟩ = ⟨ P_{n}, X Q ⟩ = 0 .$

On en déduit

$\forall Q \in ℝ_{n - 2} [X], ⟨ P_{n + 1} - X P_{n}, Q ⟩ = 0 .$
(d)

Par simplification des termes de plus haut degré

$P_{n + 1} - X P_{n} \in ℝ_{n} [X] .$

On peut donc écrire

$P_{n + 1} - X P_{n} = \sum_{k = 0}^{n} α_{k} P_{k} .$

Or $P_{n + 1} - X P_{n}$ est orthogonal à $P_{0}, \dots, P_{n - 2}$ donc

$P_{n + 1} - X P_{n} = α_{n} P_{n} + α_{n - 1} P_{n - 1} .$

Enfin, par parité, $α_{n} = 0$ et donc

$P_{n + 1} - X P_{n} = α_{n - 1} P_{n - 1} .$

Exercice 51 4994

(Polynômes orthogonaux de Legendre)

Dans ce sujet, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée sur $[- 1; 1]$ .

On munit l’espace $E = 𝒞 ([- 1; 1], ℝ)$ du produit scalaire

(f ∣ g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t .

Pour tout $n \in ℕ$ , on introduit le polynôme $P_{n}$ défini par

P_{n} (x) = \frac{1}{2^{n} n!} \cdot \frac{d^{n}}{d x^{n}} ({(x^{2} - 1)}^{n}) .

(a)

Calculer $P_{n} (1)$ et $P_{n} (- 1)$ .
(b)

Montrer que $P_{n}$ est de degré $n$ et est orthogonal à tout polynôme de degré strictement inférieur à $n$ .
(c)

En commençant par dériver deux fois ${(x^{2} - 1)}^{n + 1}$ , établir

$P_{n + 1}^{'} = (2 n + 1) P_{n} + P_{n - 1}^{'} pour tout n \geq 1 .$
(d)

En déduire

$∥ P_{n} ∥ = \sqrt{\frac{2}{2 n + 1}} .$

Exercice 52 3079 X (MP)Correction

On définit

Q_{n} (X) = \frac{1}{2^{n} n!} {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n)} .

(a)

Soit $n \geq 1$ . Montrer que $Q_{n}$ possède $n$ racines simples dans $] - 1; 1 [$ .
(b)

Montrer que

$Q_{n} = X^{n} + (X^{2} - 1) R_{n} (X)$

avec $R_{n} \in ℝ [X]$ . En déduire $Q_{n} (1)$ et $Q_{n} (- 1)$ .
(c)

On pose, pour $(P, Q) \in ℝ {[X]}^{2}$ ,

$⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t .$

Montrer que $Q_{n}$ est orthogonal à $ℝ_{n - 1} [X]$ .
(d)

Calculer ${∥ Q_{n} ∥}^{2}$ .

Solution

(a)

1 et $- 1$ sont racines de multiplicité $n$ du polynôme ${(X^{2} - 1)}^{n}$ .
1 et $- 1$ sont donc racines des polynômes

${(X^{2} - 1)}^{n}, {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{'}, …, {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n - 1)} .$

En appliquant le théorème de Rolle, on peut alors montrer par récurrence sur $k \in {0, \dots, n}$ que ${({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(k)}$ possède au moins $k$ racines dans l’intervalle $] - 1; 1 [$ .
En particulier $Q_{n}$ possède au moins $n$ racines dans $] - 1; 1 [$ , or $\deg (Q_{n}) = n$ donc il n’y a pas d’autres racines que celles-ci et elles sont simples.
(b)

Raisonnons par récurrence sur $n \in ℕ$ .
Pour $n = 0$ , c’est immédiat.
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 0$ .

$Q_{n + 1} (X) = \frac{1}{2^{n + 1} (n + 1)!} {(2 (n + 1) X {(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n)} .$

Par la formule de Leibniz

$Q_{n + 1} (X) = \frac{1}{2^{n} n!} (X {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n)} + n X {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n - 1)})$

1 et $- 1$ sont racines du polynôme ${({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n - 1)}$ et donc celui-ci peut s’écrire $(X^{2} - 1) S (X)$ .
En exploitant l’hypothèse de récurrence, on obtient

$Q_{n + 1} (X) = X^{n + 1} + X (X^{2} - 1) R_{n} (X) + 2 n X (X^{2} - 1) S (X) = X^{n + 1} + (X^{2} - 1) R_{n + 1} (X) .$

Récurrence établie
(c)

Par intégration par parties successives et en exploitant l’annulation en 1 et $- 1$ des polynômes

${(X^{2} - 1)}^{n}, {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{'}, …, {({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n - 1)}$

on obtient

$\int_{- 1}^{1} P (t) Q_{n} (t) d t = \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n} n!} \int_{- 1}^{1} P^{(n)} (t) {(t^{2} - 1)}^{n} d t .$

En particulier, si $P \in ℝ_{n - 1} [X]$ ,

$\int_{- 1}^{1} P (t) Q_{n} (t) d t = 0 .$
(d)

Par la relation qui précède

$\int_{- 1}^{1} {(Q_{n} (t))}^{2} d t = \frac{1}{2^{n} n!} \int_{- 1}^{1} Q_{n}^{(n)} (t) {(1 - t^{2})}^{n} d t .$

Puisque le polynôme ${(X^{2} - 1)}^{n}$ est unitaire et de degré $2 n$

${({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(2 n)} = (2 n)! et Q_{n}^{(n)} = \frac{(2 n)!}{2^{n} n!} .$

De plus, par intégration par parties successives

$\int_{- 1}^{1} {(1 - t^{2})}^{n} d t = \int_{0}^{1} {(1 - t)}^{n} {(1 + t)}^{n} d t = \frac{2^{2 n + 1} {(n!)}^{2}}{(2 n + 1)!} .$

Au final

${∥ Q_{n} ∥}^{2} = \frac{2}{(2 n + 1)} .$

Exercice 53 1332 MINES (MP)Correction

Soient $n \in ℕ^{*}$ , $E = ℝ_{n} [X]$ et

⟨ \cdot, \cdot ⟩ : (P, Q) \in E^{2} \mapsto ⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{+ \infty} P (t) Q (t) e^{- t} d t .

(a)

Justifier la définition de $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ et montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire.
On pose $F = {P \in E, P (0) = 0}$ . On cherche à déterminer $d (1, F)$ . On note $(P_{0}, \dots, P_{n})$ l’orthonormalisée de Schmidt de $(1, X, \dots, X^{n})$ .
(b)

Calculer $P_{k} {(0)}^{2}$ .
(c)

Déterminer une base de $F^{⊥}$ que l’on exprimera dans la base $(P_{0}, \dots, P_{n})$ . En déduire $d (1, F^{⊥})$ et $d (1, F)$ .

Solution

(a)

Pour $P, Q \in E$ , la fonction $t \mapsto P (t) Q (t) e^{- t}$ est définie et continue par morceaux sur $[0; + \infty [$ et vérifie

$t^{2} P (t) Q (t) e^{- t} \to_{t \to + \infty}^{} 0 .$

On peut donc affirmer que cette fonction est intégrable sur $[0; + \infty [$ ce qui assure la bonne définition de $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .
On vérifie aisément que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est une forme bilinéaire symétrique positive.
Si $⟨ P, P ⟩ = 0$ alors par nullité de l’intégrale d’une fonction continue positive

$\forall t \in [0; + \infty [, P {(t)}^{2} e^{- t} = 0 .$

On en déduit que le polynôme $P$ admet une infinité de racines et donc $P = 0$ .
(b)

Pour $k \geq 1$ ou $k = 0$ , on peut affirmer que les polynômes $P_{k}$ et $P_{k}^{'}$ sont orthogonaux car

$P_{k}^{'} \in Vect (P_{1}, \dots, P_{k - 1}) .$

Par une intégration par parties

$0 = \int_{0}^{+ \infty} P_{k}^{'} (t) P_{k} (t) e^{- t} d t = \frac{1}{2} {[P_{k} {(t)}^{2} e^{- t}]}_{0}^{+ \infty} + \frac{1}{2} \int_{0}^{+ \infty} P_{k} {(t)}^{2} e^{- t} d t .$

On en déduit

$P_{k} {(0)}^{2} = {∥ P_{k} ∥}^{2} = 1 .$
(c)

$F$ est un hyperplan (car noyau de la forme linéaire non nulle $P \mapsto P (0)$ ). Son orthogonal est donc une droite vectorielle. Soit $Q$ un vecteur directeur de celle-ci. On peut écrire

$Q = \sum_{k = 0}^{n} ⟨ P_{k}, Q ⟩ P_{k} .$

Or

$⟨ P_{k}, Q ⟩ = ⟨ P_{k} - P_{k} (0), Q ⟩ + P_{k} (0) ⟨ 1, Q ⟩ .$

Puisque le polynôme $P_{k} - P_{k} (0)$ est élément de $F$ , il est orthogonal à $Q$ et l’on obtient

$⟨ P_{k}, Q ⟩ = P_{k} (0) ⟨ 1, Q ⟩$

ce qui permet d’écrire

$Q = λ \sum_{k = 0}^{n} P_{k} (0) P_{k} avec λ = ⟨ 1, Q ⟩ \neq 0 .$

On en déduit

$d (1, F) = \frac{| ⟨ 1, Q ⟩ |}{∥ Q ∥} = \frac{1}{\sqrt{\sum_{k = 0}^{n} P_{k} {(0)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} .$

Enfin par Pythagore

${∥ 1 ∥}^{2} = d {(1, F)}^{2} + d {(1, F^{⊥})}^{2}$

et l’on obtient

$d (1, F^{⊥}) = \sqrt{\frac{n}{n + 1}} .$

Exercice 54 4133 KER LANN (MP)

(Quadrature par la méthode de Gauss)

Soient $a < b$ deux réels. Dans ce sujet, on identifie polynôme et fonction polynomiale associée sur $[a; b]$ . On munit l’espace $E = 𝒞 ([a; b], ℝ)$ du produit scalaire

(f ∣ g) = \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t .

Soit $n$ un entier naturel.

(a)

Montrer qu’il existe un polynôme $G$ de degré $n + 1$ orthogonal à tout polynôme de $ℝ_{n} [X]$ .
(b)

Montrer que le polynôme $G$ admet exactement $n + 1$ racines distinctes toutes dans l’intervalle $] a; b [$ .

On note $x_{0}, \dots, x_{n}$ les racines de $G$ , $ω_{0}, \dots, ω_{n}$ des réels et l’on pose, pour toute fonction $f$ de $E$ ,

ℰ (f) = \int_{a}^{b} f (t) d t - \sum_{k = 0}^{n} ω_{k} f (x_{k}) .

(c)

Montrer qu’il est possible de choisir les réels $ω_{0}, \dots, ω_{n}$ de sorte que $ℰ (P) = 0$ pour tout polynôme $P$ de $ℝ_{n} [X]$ .
(d)

Vérifier alors que $ℰ (P)$ est aussi nul pour tout polynôme $P$ de degré inférieur à $2 n + 1$ .
(e)

Justifier que les $ω_{k}$ sont tous strictement positifs.

Édité le 22-03-2025

	$\forall x \in [0; 1], g (x)$	$= g (0) + (x - 0) g^{'} (0) + \int_{0}^{x} (x - t) g^{''} (t) d t$
		$= x g^{'} (0) + \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t .$

	$dim Im (v)$	$= n - dim Ker (v) = n - dim {(Im (u))}^{⊥}$
		$= rg (u) = n - dim Ker (u) = dim {(Ker (u))}^{⊥} .$

	$\int_{0}^{1} F (t) g (t) d t$	$= {[F (t) G (t)]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} f (t) G (t)$
		$= F (1) G (1) - \int_{0}^{1} f (t) G (t) avec G primitive de g .$

	$M \in H$	$\Leftrightarrow tr (M) = 0$
		$\Leftrightarrow ⟨ I_{n}, M ⟩ = 0 .$

	$M \in H^{'}$	$\Leftrightarrow ⟨ A^{'}, M ⟩ = 0$
		$\Leftrightarrow tr (A M) = 0 .$

	$f (λ . x + μ . y)$	$= (λ . x + μ . y) + (a ∣ λ . x + μ . y) b$
		$= (λ . x + μ . y) + λ (a ∣ x) b + μ (a ∣ y) b$
		$= λ f (x) + μ f (y) .$

	$f^{2} (x)$	$= f (f (x)) = f (x) + (a ∣ f (x)) b$
		$= f (x) + (a ∣ x + (a ∣ x) b) b$
		$= x + (a ∣ x) b + (a ∣ x) b + (a ∣ x) (a ∣ b) b$
		$= x + (2 + (a ∣ b)) (a ∣ x) b .$

	$f = {Id}_{E}$	$\Leftrightarrow \forall x \in E, f (x) = x$
		$\Leftrightarrow \forall x \in E, (a ∣ x) b = 0_{E}$
		$\Leftrightarrow a = 0_{E} ou b = 0_{E} .$