[>] Calcul dans un espace préhilbertien

 
Exercice 1  4492  

Pour P et Q éléments de [X], on pose

(PQ)=01P(t)Q(t)dt.

Montrer que () définit un produit scalaire sur [X].

 
Exercice 2  1568  Correction  

Soit n. Montrer que

φ(P,Q)=k=0nP(k)Q(k)

définit un produit scalaire sur n[X]

Solution

Symétrie, bilinéarité et positivité: claires.
Si φ(P,P)=0 alors

k=0nP(k)2=0

donc

k{0,1,,n},P(k)=0.

Ainsi P admet au moins n+1 racines, or deg(P)n donc P=0.

 
Exercice 3  1570   Correction  

Soit E=𝒞1([0;1],). Pour f,gE, on pose

φ(f,g)=f(0)g(0)+01f(t)g(t)dt.

Montrer que φ est un produit scalaire sur E.

Solution

φ est clairement une forme bilinéaire symétrique.
On a aussi φ(f,f)0 et

φ(f,f)=0f(0)=0 et f=0

car f2 est continue, positive et d’intégrale nulle. On en déduit

φ(f,f)=0f=0.
 
Exercice 4  1569   Correction  

Montrer que

φ(f,g)=-11f(t)g(t)(1-t2)dt

définit un produit scalaire sur l’espace E=𝒞([-1;1],).

Solution

Symétrie, bilinéarité et positivité: claires.
Si φ(f,f)=0 alors par nullité de l’intégrale d’une fonction continue et positive, on a pour tout t[-1;1], f(t)2(1-t2)=0 et donc pour tout t]-1;1[, f(t)=0.
Par continuité de f en 1 et -1, on obtient f(t)=0 sur [-1;1].
On peut alors conclure que φ est un produit scalaire.

 
Exercice 5  1571    

Soient a,b,c,d. Pour u=(x,y)2 et v=(x,y)2, on pose

φ(u,v)=axx+bxy+cxy+dyy.

À quelles conditions sur a,b,c,d, l’application φ est-elle un produit scalaire sur 2?

[<] Produit scalaire[>] Calcul dans un espace euclidien

 
Exercice 6  1572  

Soient E espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire (), a un vecteur non nul de E et λ un réel. Résoudre l’équation

(E):(ax)=λ

d’inconnue xE.

 
Exercice 7  510  Correction  

Soient x,y deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel. Établir

xx2-yy2=x-yxy.

Solution

On connaît la fomule de développement

a-b2=a2-2(ab)+b2

En développant le produit scalaire,

xx2-yy22=1x2-2(xy)x2y2+1y2=(x-yxy)2.
 
Exercice 8  508   

Soient E un espace préhilbertien réel de produit scalaire , et f,g:EE deux applications vérifiant

f(x),y=x,g(y)pour tout (x,y)E2.

Montrer que les applications f et g sont linéaires.

 
Exercice 9  509   Correction  

Soient E un espace préhilbertien réel et f:EE une application surjective telle que pour tout x,yE, on ait

(f(x)f(y))=(xy).

Montrer que f est un endomorphisme de E.

Solution

Pour x,xE et λ,λ,

(f(λx+λx)f(y)) =(λx+λxy)
=λ(xy)+λ(xy)
=λ(f(x)f(y))+λ(f(x)f(y))
=(λf(x)+λf(x)f(y))

donc

f(λx+λx)-(λf(x)+λf(x))(Im(f))={0}

d’où la linéarité de f.

En fait, l’hypothèse de surjectivité n’est pas nécessaire pour résoudre cet exercice mais permet un «  argument rapide  ».

 
Exercice 10  3180   

Soit S l’ensemble des vecteurs de norme 1 d’un espace préhilbertien réel E.

Montrer que, si x et y sont deux éléments distincts de S, alors pour tout λ,

(λ0 et λ1)(1-λ).x+λ.yS.
 
Exercice 11  1579   Correction  

Soient E un espace préhilbertien réel et x,yE. Montrer que x et y sont orthogonaux si, et seulement si,

λ,x+λyx.

Solution

() Via la formule de Pythagore.

() Si pour tout λ on a x+λyx alors

2λ(xy)+λ2y20.

Si, par l’absurde (xy)0 alors

2λ(xy)+λ2y2λ02λ(xy)

qui change de signe en 0. Cela est absurde et par suite (xy)=0.

[<] Calcul dans un espace préhilbertien[>] Inégalité de Cauchy Schwarz

 
Exercice 12  1584  Correction  

Soient E un espace vectoriel euclidien et f(E) tel que

(x,y)E2,(f(x)y)=(xf(y)).
  • (a)

    Montrer que la matrice de f dans une base orthonormée =(e1,,en) est symétrique.

  • (b)

    Montrer que le noyau et l’image de f sont supplémentaires et orthogonaux.

Solution

  • (a)

    A=Mat(f)=(ai,j) avec ai,j=(eif(ej))=(f(ei)ej)=aj,i.

  • (b)

    Soit xKer(f) et z=f(y)Im(f).
    (xz)=(xf(y))=(f(x)y)=(0y)=0 donc Ker(f)Im(f).
    De plus,

    dimKer(f)=dimE-dimIm(f)=dimIm(f)

    et donc Ker(f)=Im(f) puis la conclusion.

 
Exercice 13  523   

Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien E vérifiant f(x),x=0 pour tout xE. Comparer Ker(f) et Im(f).

 
Exercice 14  5181   

Soient E un espace euclidien de produit scalaire () et f:EE une application vérifiant

(f(x)f(y))=(xy)pour tous x,yE.

Montrer que f est un endomorphisme de E.

 
Exercice 15  2396     CENTRALE (MP)Correction  

Soient (E,,) un espace euclidien non nul et u(E) tel que tr(u)=0.

  • (a)

    Montrer qu’il existe xE{0} tel que u(x),x=0.

  • (b)

    Montrer qu’il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est à diagonale nulle.

Solution

  • (a)

    Soit (e1,,en) une base orthonormée de E. tr(u)=0 donne

    i=1nei,u(ei)=0.

    Si dimE=1: ok
    Si dimE>1, il existe ij tel que ei,u(ei)0 et ej,u(ej)0.
    L’application tu(tei+(1-t)ej),tei+(1-t)ej est continue, à valeurs réelles et change de signe, en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, elle s’annule et donc il existe t[0;1] tel que pour x=tei+(1-t)ej, u(x),x=0. De plus, l’indépendance de ei et ej assure x0.

  • (b)

    Il existe ε1 vecteur unitaire tel que

    ε1,u(ε1)=0.

    On complète celui-ci en une base orthonormée (ε1,ε2,,εn). La matrice de u dans cette base est de la forme

    (0**A)

    avec tr(A)=0. Considérons alors u l’endomorphisme de E=Vect(ε2,,εn) de matrice A dans la base (ε2,,εn). Puisque tr(u)=tr(A)=0, un principe de récurrence permet de former une base orthonormée (ε2,,εn) de E dans laquelle u est représenté par une matrice de diagonale nulle. La famille (ε1,ε2,,εn) est alors une base orthonormée solution du problème posé.

 
Exercice 16  2733     MINES (MP)

(Famille équiangulaire)

Soient u1,,un des vecteurs unitaires d’un espace euclidien E de dimension n2 dont le produit scalaire est noté ,. On suppose qu’il existe un réel c tel que ui,uj=c pour tous les indices i et j distincts dans 1;n.

Pour quelles valeurs de c peut-on affirmer que la famille (u1,,un) est liée?

 
Exercice 17  5345   Correction  

Soit (e1,,en) une famille de vecteurs unitaires d’un espace euclidien E de dimension n1.

On suppose que ei-ej=1 pour tous i,j{1,,n} distincts.

Montrer que la famille (e1,,en) est une base de E.

Solution

Puisque la famille est formée de n vecteurs il suffit de constater sa liberté.

Supposons λ1.e1++λn.en=0E avec (λ1,,λn)n.

Soit i{1,,n}. En faisant le produit scalaire avec ei, on obtient les équations

jiλj(eiej)+λi=0.

Or, pour ij,

ei-ej2=ei2-2(eiej)+ej2=2-2(eiej)

et donc (eiej)=1/2.

Les équations précédentes forment alors le système AX=0 avec

A=(1(12)(12)1)etX=(λ1λn).

Or la matrice A est inversible car det(A)0 (cf. sujet 4451) et donc X est la colonne nulle. On conclut que la famille (e1,,en) est libre et donc une base de E.

[<] Calcul dans un espace euclidien[>] Orthogonal d'une partie, d'un sous-espace vectoriel

 
Exercice 18  1575  

Soit (x1,,xn)n. Montrer l’inégalité qui suit en précisant le cas d’égalité

(k=1nxk)2nk=1nxk2.
 
Exercice 19  1576  Correction  

Soient x1,,xn des réels strictement positifs tels que x1++xn=1.
Montrer que

k=1n1xkn2.

Préciser les cas d’égalité.

Solution

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

(k=1n1xkxk)2k=1n1xkk=1nxk.

Donc

k=1n1xkn2.

De plus, il y a égalité si, et seulement si, il y a colinéarité des n-uplets

(1x1,,1xn)et(x1,,xn)

ce qui correspond au cas où

x11/x1==xn1/xn

soit encore

x1==xn=1n.
 
Exercice 20  4501  

Soient A,Bn(). Établir

(tr(AB))2tr(AtA)tr(BtB).
 
Exercice 21  504  Correction  

Soient A,B𝒮n(). Montrer

(tr(AB+BA))24tr(A2)tr(B2).

Solution

Sur n(), on définit un produit scalaire par

(AB)=tr(AtB).

Pour A,B𝒮n(),

tr(AB+BA)=2(AB)

et l’inégalité de Cauchy-Schwarz fournit la relation demandée.

 
Exercice 22  1578  Correction  

Soit f:[0;1] continue et positive. On pose In=01tnf(t)dt.
Montrer

In+p2I2nI2p.

Solution

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

(01tn+pf(t)dt)2=(01tnf(t)tpf(t)dt)201t2nf(t)dt01t2pf(t)dt.
 
Exercice 23  1577   Correction  

On considère 𝒞0([a;b],) muni du produit scalaire

(fg)=abf(t)g(t)dt.

Pour f strictement positive sur [a;b], on pose

(f)=abf(t)dtabdtf(t).
  • (a)

    Montrer que (f)(b-a)2.

  • (b)

    Étudier les cas d’égalités.

Solution

  • (a)

    Soit g𝒞([a;b],) l’application définie par g(t)=f(t). Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

    (b-a)2=(abg(t).1g(t)dt)2abf(t)dt.abdtf(t)=(f).
  • (b)

    Il y a égalité si, et seulement si, tg(t) et t1g(t) sont colinéaires ce qui correspond à f constante.

 
Exercice 24  3883     MINES (MP)Correction  

Soit A=(ai,j)1i,jn une matrice réelle vérifiant

i{1,,n},ai,i1eti=1nj=1,jinai,j2<1.
  • (a)

    Montrer

    Xn{0},XtAX>0.
  • (b)

    En déduire que la matrice A est inversible.

Solution

  • (a)

    En notant X=(x1,,xn), on obtient

    XtAX=i=1nj=1nai,jxixj

    et donc

    XtAX=i=1nai,ixi2+i=1nj=1,jinai,jxixj.

    Par l’inégalité triangulaire

    |i=1nj=1,jinai,jxixj|i=1n|xi|j=1,jin|ai,j||xj|.

    Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

    |i=1nj=1,jinai,jxixj|i=1nxi2i=1n(j=1,jin|ai,j||xj|)2

    et une nouvelle fois

    (j=1,jin|ai,j||xj|)2j=1,jinai,j2j=1,jinxj2j=1,jinai,j2j=1nxj2.

    On obtient donc

    |i=1nj=1,jinai,jxixj|i=1nxi2i=1nj=1,jinai,j2<i=1nxi2

    puis

    XtAX>i=1nai,ixi2-i=1nxi20.
  • (b)

    Si XKer(A) alors XtAX=0 et donc X=0 en vertu de ce qui précède.

[<] Inégalité de Cauchy Schwarz[>] Algorithme de Gram-Schmidt

 
Exercice 25  4497  

Soit E un espace préhilbertien muni d’un produit scalaire noté ().

  • (a)

    Soient A et B deux parties de E avec AB. Montrer BA.

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

  • (b)

    Montrer (F+G)=FG.

  • (c)

    Montrer (FG)F+G.

    Que devient cette inclusion si l’on suppose que l’espace E est euclidien?

 
Exercice 26  4250  

Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien E. Montrer

F=((F)).
 
Exercice 27  4498  

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires et orthogonaux d’un espace préhilbertien E. Montrer G=F.

 
Exercice 28  3081   

On munit l’espace E=𝒞([-1;1],) du produit scalaire défini par

f,g=-11f(t)g(t)dt.

On pose

F={fE|t[-1;0],f(t)=0}etG={gE|t[0;1],g(t)=0}.
  • (a)

    Montrer que F=G.

  • (b)

    Les sous-espaces vectoriels F et F sont-ils supplémentaires?

  • (c)

    Comparer F+G et (FG).

 
Exercice 29  516   Correction  

On munit n() du produit scalaire défini par

(AB)=tr(AtB).
  • (a)

    Montrer que la base canonique (Ei,j)1i,jn de n() est orthonormée.

  • (b)

    Observer que les espaces 𝒮n() et 𝒜n() sont supplémentaires orthogonaux.

  • (c)

    Établir que pour tout An() on a

    tr(A)ntr(AtA)

    et préciser les cas d’égalité.

Solution

  • (a)

    (Ei,jEk,)=tr(Ej,iEk,)=tr(δi,kEj,)=δi,kδj,.

  • (b)

    Pour A𝒮n() et B𝒜n(),

    (AB)=tr(AtB)=tr(AB)=-tr(ABt)=-tr(BtA)=-(BA)

    donc (AB)=0 et l’orthogonalité des espaces. Leur supplémentarité est connue.

  • (c)

    L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

    |(InA)|InA

    d’où

    tr(A)ntr(AtA)

    avec égalité si, et seulement si, tr(A)0 et (A,In) liée, c’est-à-dire A=λIn avec λ0.

[<] Orthogonal d'une partie, d'un sous-espace vectoriel[>] Base orthonormale

 
Exercice 30  4494  

On munit 3 de son produit scalaire canonique ().

Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille de vecteurs (u1,u2,u3) avec

u1=(1,1,0),u2=(1,0,1)etu3=(1,1,1).
 
Exercice 31  1581  Correction  

On munit 3 de son produit scalaire canonique ().

Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille de vecteurs (u,v,w) avec

u=(1,0,1),v=(1,1,1),w=(-1,1,0).

Solution

On obtient la famille (e1,e2,e3) avec

e1=(12,0,12),e2=(0,1,0)ete3=(-12,0,12).
 
Exercice 32  3805    CCP (MP)Correction  
  • (a)

    Énoncer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.

  • (b)

    Orthonormaliser la base canonique de 2[X] pour le produit scalaire

    (P,Q)-11P(t)Q(t)dt.

Solution

  • (a)

    cf. cours!

  • (b)

    Au terme des calculs, on obtient la base (P0,P1,P2) avec

    P0=12,P1=32XetP2=3522(X2-13).

[<] Algorithme de Gram-Schmidt[>] Projections et symétries orthogonales

 
Exercice 33  5139   

Pour A,Bn(), on pose A,B=tr(AtB).

  • (a)

    Montrer que , définit un produit scalaire sur n().

  • (b)

    Montrer que la famille constituée des matrices élémentaires de n() est une base orthonormale pour le produit scalaire précédent.

  • (c)

    Montrer que la norme euclidienne associée à ce produit scalaire vérifie:

    ABABpour tous A et B de n().
 
Exercice 34  1580   

Pour P et Q dans [X], on pose

φ(P,Q)=12π-ππP(eiθ)Q(e-iθ)dθ.
  • (a)

    Montrer que φ définit un produit scalaire sur [X].

  • (b)

    Montrer que (Xn)n est une base orthonormale pour ce produit scalaire.

 
Exercice 35  521     ENSIIE

Soient E un espace euclidien de produit scalaire () et (e1,,en) une famille de vecteurs unitaires de E vérifiant

k=1n(ekx)2=x2pour tout xE.

Montrer que (e1,,en) est une base orthonormale de E.

 
Exercice 36  4495  

On munit 3 de son produit scalaire canonique. Déterminer une base orthonormale de 3 dont les deux premiers vecteurs appartiennent au plan

P={(x,y,z)3|x-z=0}.
 
Exercice 37  5178  

On munit E=2() du produit scalaire11 1 On vérifie aisément que , est un produit scalaire sur 2(), celui-ci est d’ailleurs analogue au produit scalaire canonique sur 4. donné par

A,B=aa+bb+cc+ddpour tous A=(abcd) et B=(abcd) de E.

Soit F le sous-ensemble de E constitué des matrices de la forme

(abba+b) avec (a,b)2.
  • (a)

    Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E et donner une base orthonormale de F.

  • (b)

    Déterminer une base orthonormale de F.

 
Exercice 38  4496  

Soit E un espace euclidien de dimension n1 dont le produit scalaire est noté ().

Soient f un endomorphisme de E et A=(ai,j) sa matrice dans une base orthonormale =(e1,,en). Justifier

ai,j=(eif(ej))pour tous i et j dans 1;n.
 
Exercice 39  5180   

Soit E un espace euclidien de dimension n1 et de produit scalaire noté ,.

On dit qu’un endomorphisme f de E est antisymétrique s’il vérifie

f(x),x=0pour tout xE.
  • (a)

    Soit f un endomorphisme antisymétrique de E. Établir

    f(x),y=-x,f(y)pour tous x,yE.
  • (b)

    Montrer que l’image et le noyau d’un endomorphisme antisymétrique sont l’orthogonal l’un de l’autre.

  • (c)

    Montrer qu’un endomorphisme de E est antisymétrique si, et seulement si, sa matrice dans n’importe quelle base orthonormale est antisymétrique.

 
Exercice 40  4247  

Soit E un espace euclidien de dimension n1 et de produit scalaire noté ().

Montrer que si f est un endomorphisme de E, alors pour toute base orthonormale =(e1,,en) de E,

tr(f)=k=1n(ekf(ek)).
 
Exercice 41  4153     CCP (MP)Correction  

Soit v un endomorphisme d’un espace euclidien de de dimension n.

  • (a)

    Montrer que la quantité

    S=i=1nv(ei),ei

    ne dépend pas de la base orthonormée (e1,,en) de E choisie.

  • (b)

    Montrer que la quantité

    T=i=1nj=1nv(ei),fj2

    ne dépend pas des bases orthonormées (e1,,en) et (f1,,fn) de E choisies.

  • (c)

    Que vaut T lorsque v est un projecteur orthogonal de rang r?

Solution

  • (a)

    v(ei),ei est le coefficient diagonal d’indice i de la matrice figurant v dans la base orthonormée (e1,,en). La quantité S correspond à la trace de v.

  • (b)

    La somme

    jnv(ei),fj2

    correspond à la norme au carrée du vecteur v(ei) et donc

    T=i=1nv(ei)2.

    Notons A la matrice figurant l’endomorphisme v dans la base (e1,,en) et w l’endomorphisme figuré dans cette base par la matrice AtA. On remarque, pour x vecteur de E de colonne coordonnées X,

    v(x)2=(AX)tAX=XtAtAX=x,w(x).

    On en déduit

    T=i=1nw(ei),ei=tr(w).
  • (c)

    Si v est un projecteur orthogonal, il existe une base orthonormée (e1,,en) dans lequel il est figuré par une matrice diagonale avec r coefficients 1 et le reste de 0. On a alors

    T=i=1nv(ei)2=r.

[<] Base orthonormale[>] Distance à un sous-espace vectoriel

 
Exercice 42  5183  

Dans l’espace 3 muni du produit scalaire canonique, on considère le plan P formé des triplets (x,y,z)3 vérifiant

x-2y+z=0.

Former la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur P.

 
Exercice 43  1588  Correction  

On considère un espace vectoriel euclidien E muni d’une base orthonormée =(i,j,k).
Former la matrice dans de la projection orthogonale sur le plan P d’équation x+y+z=0.

Solution

Soit n=i+j+k un vecteur normal à P. Notons p la projection orthogonale sur P.
On sait

xE,p(x)=x-(xn)n2n

et donc

Mat(p)=13(2-1-1-12-1-1-12).
 
Exercice 44  1589  Correction  

On considère un espace vectoriel euclidien E muni d’une base orthonormée =(i,j,k).
Former la matrice dans de la symétrie orthogonale sur le plan P d’équation x=z.

Solution

Soit n=i-k un vecteur normal à P. Notons s la symétrie orthogonale par rapport à P. La relation

s(x)=x-2(xn)n2n

donne

Mat(s)=(001010100).
 
Exercice 45  1590   Correction  

On considère 4 muni de sa structure euclidienne canonique et F le sous-espace vectoriel de 4 défini par

F={(x,y,z,t)4|x+y+z+t=x-y+z-t=0}.
  • (a)

    Déterminer une base orthonormale du supplémentaire orthogonal de F.

  • (b)

    Écrire la matrice dans la base canonique de 4 de la projection orthogonale sur F.

  • (c)

    Écrire la matrice dans la base canonique de 4 de la symétrie orthogonale par rapport à F.

  • (d)

    Calculer d(u,F)u=(1,2,3,4).

Solution

  • (a)

    Soient

    H={(x,y,z,t)4|x+y+z+t=0}

    et

    K={(x,y,z,t)4|x-y+z-t=0}.

    On a F=HK puis F=H+K.
    Soient n=(1,1,1,1) et m=(1,-1,1,-1) des vecteurs normaux à H et K.
    Par le procédé de Schmidt,

    e1=(12,12,12,12)ete2=(12,-12,12,-12)

    forment une base orthonormée de F.

  • (b)

    On peut facilement former Mat(pF) car

    xE,pF(x)=(xe1)e1+(xe2)e2

    donc

    Mat(pF)=I4-Mat(pF)=12(10-10010-1-10100-101).
  • (c)

    sF=2pF-Id donc

    Mat(sF)=(00-10000-1-10000-100).
  • (d)

    Pour u=(1,2,3,4),pF(u)=(-1,-1,1,1) donc

    d(u,F)=u-pF(u)=4+9+4+9=26.
 
Exercice 46  1591  Correction  

Soit E un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonormée =(i,j,k).

Soit p(E) déterminé par

Mat(p)=16(5-21-222125).

Montrer que p est une projection orthogonale sur un plan dont on précisera une équation.

Solution

Notons A=Mat(p). On a A2=A donc p est une projection.

En déterminant Ker(p), on obtient Ker(p)=Vect(a) avec a=i+2j-k.

L’espace Im(p) est un plan dont p(i) et p(j) forment une base. Puisque (p(i)a)=(p(j)a)=0 on a Im(p)(Ker(p)) puis Im(p)=(Ker(p)) par égalité des dimensions.

On conclut que p est la projection orthogonale sur le plan dont a est vecteur normal, c’est-à-dire

P:x+2y-z=0.
 
Exercice 47  4503   

On munit E=n() du produit scalaire11 1 Voir sujet 4493. donné par A,B=tr(AtB).

On introduit 𝒮n() et 𝒜n() les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques de n()

𝒮n()={Mn()|Mt=M}et𝒜n()={Mn()|Mt=-M}.
  • (a)

    Montrer que 𝒮n() et 𝒜n() sont l’orthogonal l’un de l’autre.

  • (b)

    Exprimer le projeté orthogonal sur 𝒮n() d’une matrice M de n().

 
Exercice 48  1594   Correction  

Soit E=𝒞([-1;1],).
Pour f,gE, on pose

φ(f,g)=-11f(t)g(t)dt.
  • (a)

    Montrer que φ est un produit scalaire sur E.

  • (b)

    On note 𝒫 et les sous-ensembles de E formés des fonctions paires et impaires.
    Montrer que =𝒫.

  • (c)

    Soit ψ:ff^ avec f^:xf(-x).
    Montrer que ψ est la symétrie orthogonale par rapport à 𝒫.

Solution

  • (a)

    Rien à signaler.

  • (b)

    On a

    f𝒫,g,φ(f,g)=0

    car le produit tf(t)g(t) est impair et intégré sur un intervalle symétrique par rapport à 0.
    Ainsi 𝒫.
    Inversement, soit h. On sait 𝒫=E donc on peut écrire h=f+g avec f𝒫 et g.
    On a φ(h,g)=φ(f,g)+φ(g,g). Or φ(h,g)=0 et φ(f,g)=0 donc φ(g,g)=0 d’où g=0.
    Ainsi h=f𝒫 puis 𝒫. On conclut.

  • (c)

    ψ2=Id donc ψ est une symétrie.

    f𝒫,ψ(f)=fetf=(𝒫),ψ(f)=-f

    donc ψ est la symétrie orthogonale par rapport à 𝒫.

 
Exercice 49  5182  

Soient x et y deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien E et D une droite de E.
À quelle condition les projetés orthogonaux des vecteurs x et y sur la droite D sont-ils égaux?

 
Exercice 50  4504   

Soient x et y deux vecteurs distincts d’un espace euclidien de dimension supérieure à 2.

  • (a)

    On suppose (xy)=y2. Montrer qu’il existe un unique hyperplan H de E tel que y=pH(x).

  • (b)

    À quelle condition existe-t-il une réflexion échangeant x et y?

 
Exercice 51  3403   Correction  

Soient x et y deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien E.
À quelle condition sur x et y, le projeté orthogonal du vecteur x sur la droite Vect(y) est-il égal au projeté orthogonal de y sur la droite Vect(x)?

Solution

Le projeté orthogonal de x sur la droite Vect(y) est

(yx)y2y.

Les projetés orthogonaux considérés seront donc égaux si, et seulement si,

(yx)y2y=(xy)x2x.

Cette équation est vérifiée si, et seulement si, x et y sont orthogonaux ou

x2y=y2x.

Dans ce dernier cas x et y sont colinéaires ce qui permet d’écrire y=λx et l’égalité donne

λx2x=λ2x2x

d’où λ=1.
Finalement, les projetés orthogonaux considérés seront égaux si, et seulement si, les vecteurs x et y sont égaux ou orthogonaux.

 
Exercice 52  5184   

Soit p un endomorphisme d’un espace vectoriel réel E de dimension finie n1. On suppose pp=p. Existe-t-il un produit scalaire sur E pour lequel p soit une projection orthogonale?

 
Exercice 53  1596   Correction  

Soit E un espace vectoriel euclidien, H et H deux hyperplans de E.
On note s et s les réflexions par rapport à H et H.
À quelle condition s et s commutent-elles et préciser alors ss.

Solution

Soit n et n des vecteurs normaux à H et H.
Si s et s commutent alors ss(n)=ss(n)=-s(n) donc s(n)H.
Puisque s(n)=n on a s(n)=n ou s(n)=-n c’est-à-dire nH ou nH.
Inversement:
Si nH alors on peut construire une base adaptée qui permet matriciellement de conclure à la commutativité et d’observer que ss est la symétrie orthogonale par rapport à HH.
Si nH alors H=H et ss=Id.

 
Exercice 54  1592   Correction  

Soient a et b deux vecteurs distincts d’un espace vectoriel euclidien E tels que

a=b.

Montrer qu’il existe une unique réflexion échangeant a et b.

Solution

Unicité: Si σ est une réflexion par rapport à un hyperplan H solution alors:
σ(a-b)=b-a et donc

H=Vect(b-a).

Existence: Soit H=Vect(b-a) et σ la réflexion par rapport à H.
σ(a-b)=b-a et σ(a+b)=a+b car (a+ba-b)=0.
Donc

σ(a)=12σ(a+b)+12σ(a-b)=b et σ(b)=a.

La réflexion σ est solution.

 
Exercice 55  4992    

Soient x un vecteur d’un espace euclidien E de dimension n1 et (λ1,,λn) une famille de réels.

À quelle condition existe-t-il une base orthonormale de E telle que (λ1,,λn) soit la famille des coordonnées de x dans cette base?

[<] Projections et symétries orthogonales[>] Matrices orthogonales

 
Exercice 56  4499  

On munit 4 de son produit scalaire canonique noté ,.

  • (a)

    Former la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale p sur l’espace

    F={(x,y,z,t)4|x-y-z-t=x-z-2t=0}.
  • (b)

    Calculer la distance à F du vecteur (1,2,3,4).

 
Exercice 57  5177  

Soit E un espace euclidien de dimension n2 dont le produit scalaire est noté ,. Soient a un vecteur non nul de E et H l’ensemble des vecteurs x de E solutions de l’équation a,x=0

  • (a)

    Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E et préciser sa dimension.

  • (b)

    Exprimer le projeté orthogonal d’un vecteur x de E sur H ainsi que la distance de x à H.

  • (c)

    Application: On munit 3 de sa structure euclidienne usuelle.

    Calculer la distance de u=(1,2,3) au plan P formé des (x,y,z) solutions de l’équation x-3y+z=0.

 
Exercice 58  4505  

On munit E=2() du produit scalaire donné par

A,B=aa+bb+cc+ddpour tous A=(abcd) et B=(abcd) de E.

Calculer la distance de la matrice I2 à l’espace H constitué des matrices de E dont la somme des coefficients est nulle.

 
Exercice 59  4080   Correction  

On munit n() de son produit scalaire canonique A,B=tr(AtB).

  • (a)

    Montrer que 𝒮n() et 𝒜n() sont supplémentaires et orthogonaux.

  • (b)

    Calculer la distance à 𝒮3() de la matrice

    M=(123012123)3().
  • (c)

    Montrer que l’ensemble H des matrices de trace nulle est un sous-espace vectoriel de n() et donner sa dimension.
    Donner la distance à H de la matrice J dont tous les coefficients valent 1.

Solution

  • (a)

    Pour A𝒮n() et B𝒜n(), on a

    A,B=tr(ABt)=-tr(AB) et A,B=B,A=tr(AtB)=tr(AB).

    On en déduit A,B=0.
    Les espaces 𝒮n() et 𝒜n() sont donc en somme directe.
    Puisque l’on peut écrire pour tout Mn(),

    M=12(M+Mt)+12(M-Mt)

    avec 12(M+Mt)𝒮n() et 12(M-Mt)𝒜n(), les espaces 𝒮n() et 𝒜n() sont supplémentaires orthogonaux.

  • (b)

    La distance de M à 𝒮3() est égale à la distance de M à son projeté orthogonal sur 𝒮3() c’est-à-dire

    d(M,𝒮3())=12M-Mt=2.
  • (c)

    H est le noyau de la forme linéaire non nulle trace, c’est donc un hyperplan de n().
    La matrice In est orthogonale à tout élément de H et c’est donc un vecteur normal à l’hyperplan H.
    On en déduit

    d(H,J)=|In,J|In=nn=n.
 
Exercice 60  2736    MINES (MP)Correction  

On munit n() du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique, dont on note la norme associée.

Soit J la matrice de n() dont tous les coefficients sont égaux à 1. Pour Mn(), calculer

inf(a,b)2M-aIn-bJ.

Solution

Le cas n=1 étant évident, on suppose désormais n2.

La quantité cherchée est m=d(M,Vect(In,J))=M-p(M) avec p la projection orthogonale sur Vect(In,J).

On écrit p(M)=aIn+bJ avec (p(M)In)=(MIN)=tr(M) et (p(M)J)=(MJ)=σσ est la somme des coefficients de M.

La résolution de ce système donne

a=ntr(M)-σn(n-1) et b=σ-tr(M)n(n-1)

donc

m2=M-p(M)2=(M-p(M)M)=M2-(n-1)tr(M)2+(tr(M)-σ)2n(n-1).
 
Exercice 61  3764    MINES (PC)Correction  

Soit A=(ai,j)1i,jnn(). Calculer

infM𝒮n()(1i,jn(ai,j-mi,j)2).

Solution

En introduisant la norme euclidienne canonique sur n() définie par

A=(1i,jai,j2)1/2

on peut interpréter l’infimum calculé

infM𝒮n()(1i,jn(ai,j-mi,j)2)=d(A,𝒮n())2.

La distance introduite se calcule par projection orthogonale. Sachant A=M+N avec

M=A+At2𝒮n()etN=A-At2𝒜n()=𝒮n()

on obtient

d(A,𝒮n())2=N2=141i<jn(ai,j-aj,i)2.
 
Exercice 62  73    CCP (MP)Correction  

On munit E=𝒞([-1;1],) du produit scalaire:

(fg)=12-11f(x)g(x)dx.

Pour i{0,1,2,3}, on note Pi(x)=xi.

  • (a)

    Montrer que la famille (P0,P1,P2) est libre mais pas orthogonale.

  • (b)

    Déterminer, par le procédé de Schmidt, une base orthonormée (Q0,Q1,Q2) de F=Vect(P0,P1,P2) à partir de la famille (P0,P1,P2).

  • (c)

    Calculer la projection orthogonale de P3 sur F et la distance de P3 à F.

Solution

  • (a)

    Si λ0P0+λ1P1+λ2P2=0 alors le polynôme λ0+λ1X+λ2X2 admet une infinité de racines. C’est donc le polynôme nul et par conséquent λ0=λ1=λ2=0.
    La famille (P0,P1,P2) est donc libre. Elle n’est pas orthogonale puisque (P0P2)=1/30.

  • (b)

    R0=P0, R0=1, Q0:x1
    (P0P1)=0, R1=P1, R1=1/3, Q1:x3x.
    R2=P2+λ0R0+λ1R1.
    (R2R0)=0 donne λ0=-(P2P0)=-1/3,
    (R2R1)=0 donne λ1/3=-(P2R1)=0.
    R2:xx2-1/3, R2=235, Q2:x52(3x2-1).

  • (c)

    Le projeté orthogonal de P3 sur F est

    R=(Q0P3)Q0+(Q1P3)Q1+(Q2P3)Q2

    soit, après calculs

    R:x35x.

    La distance de P3 à F est alors

    d=P3-R=257.
 
Exercice 63  527  Correction  
  • (a)

    Montrer que (PQ)=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2) définit un produit scalaire sur 2[X].

  • (b)

    Calculer d(X2,P)P={aX+b|(a,b)2}

Solution

  • (a)

    Sans difficulté, notamment parce qu’un polynôme de degré 2 possédant trois racines est nécessairement nul.

  • (b)

    d(X2,P)=X2-π avec π=aX+b projeté orthogonal de X2 sur P.
    (X2-π1)=(X2-πX)=0 donne le système

    {3a+3b=55a+3b=9.

    Après résolution

    {a=2b=-1/3

    et après calcul

    d=2/3.
 
Exercice 64  4958     MINES (PC)

Soient n, a0,a1,,an des réels deux à deux distincts et E=n[X].

  • (a)

    Montrer que l’on définit un produit scalaire sur E en posant

    (PQ)=k=0nP(ak)Q(ak)pour tous P,QE.
  • (b)

    Déterminer une base orthonormale de E pour le produit scalaire précédent.

  • (c)

    Exprimer la distance du polynôme Xn à l’espace

    H={PE|P(a0)++P(an)=0}.
 
Exercice 65  4506   

Calculer

m=inf(a,b)201(t2-(at+b))2dt.
 
Exercice 66  1598   Correction  

Soient n un entier supérieur à 3 et E=n[X].

  • (a)

    Montrer que

    φ(P,Q)=-11P(t)Q(t)dt

    définit un produit scalaire sur E.

  • (b)

    Calculer

    inf(a,b,c)3-11(t3-(at2+bt+c))2dt.

Solution

  • (a)

    Symétrie, bilinéarité et positivité: ok
    Si φ(P,P)=0 alors -11P2(t)dt=0 donc (fonction continue positive d’intégrale nulle)

    t[-1;1],P(t)=0.

    Comme le polynôme P admet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.

  • (b)

    On a

    inf(a,b,c)3-11(t3-(at2+bt+c))2dt=d(X3,F)2

    F=Vect(1,X,X2).
    Soit P le projeté orthogonal de X3 sur F. On peut écrire P=a+bX+cX2 et l’on a par orthogonalité

    (X3-P1)=(X3-PX)=(X3-PX2)=0.

    On en déduit que P=35X puis

    d(X3,F)2=8175.
 
Exercice 67  2734     MINES (MP)Correction  

Calculer le minimum de

01(t3-at2-bt-c)2dt

pour a,b,c parcourant .

Solution

Sur [X], on définit un produit scalaire par

(PQ)=01P(t)Q(t)dt.

La quantité cherchée m apparaît alors sous la forme

m=infa,b,cX2-(aX2+bX+c)2.

C’est donc le carré de la distance de X3 au sous-espace vectoriel 2[X]. En introduisant la projection orthogonale p sur ce sous-espace vectoriel

m=d(X3,2[X])2=X3-p(X3)2.

On peut écrire

p(X3)=a+bX+cX2.

Pour chaque i=0,1,2, on a

(p(X3)Xi)=(X3Xi)

car

(p(X3)-X3Xi)=0.

On obtient alors un système d’équations d’inconnue (a,b,c)

{c+b/2+a/3=1/4c/2+b/3+a/4=1/5c/3+b/4+a/5=1/6.

La résolution de ce système donne

c=1/20,b=-3/5 et a=3/2.

On en déduit

m=X3-p(X3)2=(X3-p(X3)X3)=12800.
 
Exercice 68  2571     CCP (MP)Correction  
  • (a)

    Montrer que

    (fg)=01f(t)g(t)dt

    définit un produit scalaire sur l’espace E des fonctions définies sur engendré par f1(x)=1, f2(x)=ex et f3(x)=x.

  • (b)

    Pour quels réels a et b la distance de f2(x) à g(x)=ax+b est-elle minimale?

Solution

  • (a)

    On reconnaît une restriction du produit scalaire usuel sur l’espace des fonctions réelles continues sur [0;1].

  • (b)

    La distance f2 à g sera minimale quand g est le projeté orthogonal de f2 sur Vect(f1,f3).
    Ce projeté g vérifie (f2-gf1)=(f2-gf3)=0 ce qui donne le système

    {12a+b=e-113a+12b=1.

    Après résolution, on obtient a=18-6e et b=4e-10.

 
Exercice 69  4256    

On munit l’espace E=𝒞1([-1;1],) du produit scalaire , donné par

u,v=-11(u(t)v(t)+u(t)v(t))dt

et l’on introduit les sous-espaces vectoriels

F={fE|f(-1)=f(1)=0}etG={gE|g est de classe 𝒞2 et g′′=g}.
  • (a)

    Montrer que les espaces F et G sont supplémentaires et orthogonaux.

Soient a et b deux réels et

Fa,b={uE|u(-1)=a et u(1)=b}.
  • (b)

    Calculer

    infuFa,b-11(u(t)2+u(t)2)dt.
 
Exercice 70  4969     MINES (PSI)

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace euclidien E.

Montrer que F et G sont supplémentaires et orthogonaux si, et seulement si,

x2=(d(x,F))2+(d(x,G))2pour tout xE.
 
Exercice 71  1599    

(Déterminant de Gram)

Soit (x1,,xn) une famille de vecteurs d’un espace euclidien E dont le produit scalaire est noté ,. La matrice de n() de coefficient général xi,xj est notée G(x1,,xn), on l’appelle matrice de Gram associée à la famille (x1,,xn).

  • (a)

    Montrer que, si la famille (x1,,xn) est liée, alors det(G(x1,,xn))=0.

On suppose désormais la famille (x1,,xn) libre et l’on introduit =(e1,,en) une base orthonormale de l’espace F qu’elle engendre. On note A=(ai,j) la matrice figurant la famille (x1,,xn) dans la base .

  • (b)

    Exprimer G(x1,,xn) en fonction de A et de At. En déduire

    det(G(x1,,xn))>0.
  • (c)

    On introduit uE. Montrer

    d(u,F)=det(G(u,x1,,xn))det(G(x1,,xn)).

[<] Distance à un sous-espace vectoriel[>] Isométries vectorielles

 
Exercice 72  3171  Correction  

Soit An() une matrice inversible vérifiant

AAt=AtA.

Montrer que la matrice Ω=A-1tA est orthogonale.

Solution

On a

ΩΩt=A-1tAAtA-1.

Or A et At commutent donc

ΩΩt=A-1tAtAA-1=In.
 
Exercice 73  4500  

Vérifier que la matrice suivante est orthogonale:

A=13(12221-22-21).
 
Exercice 74  3803    CCP (PSI)Correction  

Montrer que la matrice

M=13(1-2-2-21-2-2-21)

est orthogonale.
Calculer det(M). Qu’en déduire d’un point de vue géométrique?
Donner les caractéristiques géométriques de M.

Solution

Les colonnes de M sont unitaires et deux à deux orthogonales, c’est donc une matrice orthogonale.
En développant selon une rangée det(M)=-1.
Puisque la matrice M est de surcroît symétrique, c’est une matrice de réflexion par rapport à un plan. Ce plan est celui de vecteur normal (111)t.

 
Exercice 75  339  Correction  

Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures?

Solution

Les matrices diagonales avec coefficients diagonaux égaux à 1 ou -1. Le résultat s’obtient en étendant les colonnes de la première à la dernière, en exploitant qu’elles sont unitaires et deux à deux orthogonales.

 
Exercice 76  3926     MINES (MP)Correction  

Soient A et B dans On() telle que (A+2B)/3 appartienne à On(). Que dire de A et B?

Solution

Puisque On() est un groupe multiplicatif, on a

(In+2M)/3On()

avec M=A-1BOn(). Pour xn unitaire,

x+2Mx=3.

Mais aussi

x+2Mx=x+2x=3.

Il y a donc égalité dans l’inégalité triangulaire et, par conséquent, il existe λ+ vérifiant

2Mx=λx.

En considérant à nouveau la norme, on obtient λ=2 puis Mx=x. Cela valant pour tout xn, on conclut M=In puis A=B.

 
Exercice 77  2404     CENTRALE (MP)

Soit A=(ai,j)On(). Montrer

1i,jn|ai,j|nnet|1i,jnai,j|n.
 
Exercice 78  5291     ENSTIM (MP)Correction  

Soit A=(ai,j)On(). Montrer

1i,jnai,j2=n,|1i,jnai,j|nnetn1i,jn|ai,j|nn.

Solution

On reconnaît la norme euclidienne canonique

1i,jnai,j2=tr(AtA)=tr(In)=n.

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

|1i,jnai,j|(1i,jnai,j2)1/2(1i,jn12)2=nn.

Pour tous i,j1;n, ai,j[-1;1] et donc ai,j2|ai,j| ce qui entraîne

n=1i,jnai,j21i,jn|ai,j|.

Enfin, une nouvelle application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

1i,jn|ai,j|(1i,jn|ai,j|2)1/2(1i,jn12)2=nn.
 
Exercice 79  2926     MINES (MP)

Soient a, b et c trois réels. On étudie la matrice

A=(abccabbca).
  • (a)

    Montrer que A est une matrice orthogonale positive11 1 Autrement dit, ASO3(). si, et seulement si, a,b,c sont les trois racines d’un polynôme de la forme X3-X2+k avec k[0;4/27].

  • (b)

    Décrire la transformation géométrique associée aux matrices correspondantes.

 
Exercice 80  5289     ENSTIM (MP)Correction  

Déterminer

Card(On()n()).

Solution

Les colonnes d’une matrice orthogonale sont unitaires. Une matrice orthogonale à coefficients entiers ne peut avoir que des colonnes égales ou opposées à des colonnes élémentaires. De plus, ces colonnes élémentaires doivent être distinctes car une matrice orthogonale est inversible et donc chacune colonne élémentaire apparaît une fois et une seule (avec un éventuel signe). Inversement, une telle matrice est solution. En choisissant l’ordre des colonnes élémentaires et le signe attribué à chaque,

Card(On()n())=2nn!.
 
Exercice 81  2747      MINES (MP)

Soit M une matrice orthogonale de taille n=p+q que l’on écrit par blocs

M=(ABCD) avec Ap() et Dq().

Montrer

(det(A))2=(det(D))2.

[<] Matrices orthogonales[>] Isométries du plan

 
Exercice 82  1600  Correction  

Soit f(E). Montrer que

x,yE,(f(x)f(y))=(xy)xE,f(x)=x.

Solution

() Il suffit de prendre x=y.

() Par polarisation, pour tous x,yE,

(f(x)f(y))=12(f(x)+f(y)2-f(x)2-f(y)2).

Or f(x)+f(y)=f(x+y) et donc

(f(x)f(y))=12(x+y2-x2-y2)=(xy).
 
Exercice 83  343  

Soient f une isométrie vectorielle d’un espace euclidien E et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer

f(F)=(f(F)).
 
Exercice 84  1603  Correction  

Soient F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien E et fO(E) tels que f(F)F.
Montrer

f(F)=Fetf(F)=F.

Solution

f étant un automorphisme, dimf(F)=dimF donc f(F)=F.
Soit yf(F) on peut écrire y=f(x) avec xF.
Soit vF on peut écrire v=f(u) avec uF.
On a alors

(yv)=(f(x)f(u))=(xu)=0.

Ainsi f(F)F, puis par égalité des dimensions f(F)=F.

 
Exercice 85  344  Correction  

Soient f une isométrie vectorielle d’un espace vectoriel euclidien E et F=Ker(f-Id). Montrer

f(F)=F.

Solution

Soit yf(F). Il existe xF tel que y=f(x). On a alors

zF,(yz)=(f(x)f(z))=(xz)=0.

Par suite, f(F)F.
De plus, f conserve les dimensions car c’est un automorphisme. Il y a donc égalité.

 
Exercice 86  1606   Correction  

Soient a un vecteur unitaire d’un espace vectoriel euclidien E, α un réel et fα:EE l’application définie par

fα(x)=x+α(xa).a.
  • (a)

    Montrer que {fα|α} est stable pour le produit de composition et observer que fα et fβ commutent.

  • (b)

    Calculer fαp pour p.

  • (c)

    Montrer que fα est inversible si, et seulement si, α-1. Quelle est la nature de f-1?

  • (d)

    Montrer

    fαO(E)α=0 ou α=-2.

    Quelle est la nature de f-2?

Solution

  • (a)

    On a

    (α,β)2,fαfβ=fα+β+αβ=fβfα.
  • (b)

    Par récurrence

    fαp=f(α+1)p-1.
  • (c)

    Si α=-1 alors fα(a)=0.
    f-1 est la projection orthogonale sur Vect(a).
    Si α-1 alors g=f-α/(α+1) satisfait à la propriété fαg=gfα=Id donc fα inversible.

  • (d)

    Si α=0 alors fα=Id.
    Si α=-2 alors fα est la réflexion par rapport à Vect(a).
    Dans les deux cas fαO(E).
    Si α0,-2 alors fα(a)=(1+α).a puis

    fα(a)=|1+α|1=a

    et donc fαO(E).

 
Exercice 87  1605   

Soient f une isométrie d’un espace euclidien E et g=f-IdE.

  • (a)

    Montrer l’égalité Im(g)=(Ker(g)).

On note p la projection orthogonale sur Ker(g) et l’on introduit pour tout n*

pn=1n.(IdE+f+f2++fn-1).
  • (b)

    Démontrer que, pour tout xE, limn+(pn-p)(x)=0.

 
Exercice 88  346   Correction  

Soient E un espace vectoriel euclidien et f:EE une application telle que

(x,y)E2,(f(x)f(y))=(xy).

En observant que l’image par f d’une base orthonormée est une base orthonormée montrer que f est linéaire.

Solution

f transforme une base orthonormée =(e1,,en) en une base orthonormée =(e1,,en). Pour tout xE,

f(x)=i=1n(f(x)ei)ei=i=1n(xei)ei

d’où la linéarité de f.

 
Exercice 89  5298     ENSTIM (MP)Correction  

Soient E un espace euclidien de dimension n* et une application f:EE telle que

(x,y)E2,f(x)-f(y)=x-yetf(0)=0.
  • (a)

    Montrer que f conserve le produit scalaire, c’est-à-dire

    (x,y)E2,(f(x)f(y))=(xy).
  • (b)

    Montrer que si (e1,,en) est une base orthonormale de E alors la famille (f(e1),,f(en)) est aussi une base orthonormale de E.

  • (c)

    En déduire que f est linéaire.

Solution

  • (a)

    On remarque f(x)=x et f(y)=y. En élevant au carré la relation proposée puis en développant, on acquiert l’égalité voulue après quelques simplifications.

  • (b)

    Soit e=(e1,,en) une base orthonormale de E. La famille image (f(e1),,f(en)) est aussi une base orthonormale de E car c’est une famille de n=dimE vecteurs de E vérifiant

    (f(ei)f(ej))=(eiej)=δi,jpour tous ij{1,,n}
  • (c)

    Pour tout xE, on peut écrire

    f(x)=k=1n(f(x)f(ek)).f(ek)=k=1n(xek).f(ek).

    Il est alors facile d’acquérir la linéarité de f.

 
Exercice 90  303    

Soit f un endomorphisme d’un espace euclidien E conservant l’orthogonalité, c’est-à-dire vérifiant, pour tous x et y de E,

(xy)=0(f(x)f(y))=0.

Montrer qu’il existe λ+ et φO(E) tels que f=λ.φ.

 
Exercice 91  5311     CCP (MP)Correction  

Soit E un espace euclidien de dimension 2n (avec n1) et de produit scalaire ,. On introduit F et G deux sous-espaces vectoriels de E chacun de dimension n et tels que E=FG. On note pF et pG les projections respectivement sur F et G et parallèlement à G et F. Soit φ une isométrie de E telle que φ(F)G. Enfin, on étudie

fφ:{EExφ(pF(x))+φ-1(pG(x)).
  • (a)

    Démontrer φ(F)=G, fφfφ=IdE, fφ(F)=G et fφ(G)=F.

  • (b)

    On suppose que

    φ(u),u=u,φ(u)pour tous u,uF.

    Démontrer que fφ est un automorphisme orthogonal.

  • (c)

    Établir la réciproque.

Solution

  • (a)

    L’application linéaire φ est injective et par conséquent conserve la dimension. Par inclusion et égalité des dimensions, φ(F)=G.

    Pour xF, fφ(x)=φ(x)G et donc fφ(fφ(x))=φ-1(φ(x))=x. Pour xG, le calcul est semblable. Par égalité d’applications linéaires sur des espaces supplémentaires, fφfφ=IdE.

    On a vu au-dessus fφ(F)G et cette inclusion se transforme en égalité par les dimensions car fφ est une application linéaire injective. On acquiert de même fφ(G)=F.

  • (b)

    Vérifions que fφ conserve la norme. Soit xE que l’on écrit x=a+b avec aF et bG. On a

    fφ(x)2 =φ(a)+φ-1(b)
    =φ(a)2+2φ(a),φ-1(b)+φ-1(b)2.

    La conversation du produit scalaire par φ et la propriété supposée entraîne

    fφ(x)2=a2+2a,b+b2=x2.

    On en déduit que fφ est un automorphisme orthogonal.

  • (c)

    Si fφ est un automorphisme orthogonal, il conserve le produit scalaire et donc

    fφ(x),fφ(y)=x,ypour tous x,yE.

    En particulier, pour x=u et y=φ-1(u) on obtient la relation voulue.

[<] Isométries vectorielles[>] Mesures angulaires

 
Exercice 92  5133  

Soit E un plan euclidien orienté.

  • (a)

    Montrer que la composée de deux réflexions du plan E est une rotation.

  • (b)

    Justifier que toute rotation peut s’écrire comme le produit de deux réflexions dont l’une peut être choisie arbitrairement.

 
Exercice 93  1608  

Soient r une rotation et s une réflexion d’un plan euclidien orienté E.

Simplifier les composées srs et rsr.

 
Exercice 94  1609  

Dans un plan euclidien orienté, à quelle condition peut-on affirmer qu’une rotation et qu’une réflexion commutent?

 
Exercice 95  4507   

Soient s1 et s2 deux réflexions de droites D1 et D2 d’un plan euclidien orienté E. On introduit u1 et u2 des vecteurs directeurs des droites D1 et D2 et l’on pose θ une mesure de l’angle orienté de u1 à u2. Préciser la composée s2s1.

 
Exercice 96  5134   

Soient u et v deux vecteurs de même norme d’un plan euclidien orienté E.

Déterminer les isométries f envoyant u sur v.

[<] Isométries du plan[>] Produit mixte

 
Exercice 97  5142  

On définit l’écart angulaire entre deux vecteurs non nuls x et y d’un espace préhilbertien de produit scalaire , comme étant l’unique11 1 Le réel θ existe et unique car l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne x,yxy[-1;1]. θ appartenant à [0;π] tel que x,y=xycos(θ).

Que dire d’une famille de trois vecteurs ayant deux à deux entre eux un écart angulaire égal à 2π/3?

 
Exercice 98  1597   Correction  

Soient E un espace vectoriel euclidien et u,v,w trois vecteurs unitaires.
On pose

α=Ecart(u,v),β=Ecart(v,w) et θ=Ecart(u,w).

En projetant v sur un plan contenant u et w, montrer que θα+β.

Solution

Notons v le projeté de v sur un plan P contenant u et w.
Orientons P, de sorte que (u,w)=θ[2π].
Notons α=Ecart(u,v) et β=Ecart(v,w).
(uv)=uvcos(α) et (uv)=(uv)=uvcos(α) avec vv donc cos(α)cos(α) puis αα.
De même, ββ.
Par des considérations d’angles orientés,

θ=α+β,α-β,-α+β,-α-β[2π].

Si θ=α+β[2π] alors θ=α+β et θα+β.
Si θ=α-β[2π] alors θ=α-βαα+β.
Si θ=-α+β[2π]: idem.
Si θ=-α-β[2π] alors θ=2π-α-β et α+βα+βπθ.

[<] Mesures angulaires

 
Exercice 99  4254    

(Inégalité d’Hadamard)

Soit E un espace euclidien orienté de dimension n1.

  • (a)

    Montrer que, pour toute famille (x1,,xn) de vecteurs11 1 [x1,,xn] désigne le produit mixte de la famille (x1,,xn), c’est-à-dire le déterminant de cette famille dans n’importe quelle base orthonormale directe de E. de E,

    |[x1,,xn]|x1xn.
  • (b)

    Dans quels cas y a-t-il égalité?



Édité le 08-11-2019

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