Exercice 1 4492

Pour $P$ et $Q$ éléments de $ℝ [X]$ , on pose

(P ∣ Q) = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t .

Montrer que $(\cdot ∣ \cdot)$ définit un produit scalaire sur $ℝ [X]$ .

Exercice 2 1568 Correction

Soit $n \in ℕ$ . Montrer que

φ (P, Q) = \sum_{k = 0}^{n} P (k) Q (k)

définit un produit scalaire sur $ℝ_{n} [X]$

Solution

Symétrie, bilinéarité et positivité: claires.
Si $φ (P, P) = 0$ alors

\sum_{k = 0}^{n} P {(k)}^{2} = 0

donc

\forall k \in {0,1, \dots, n}, P (k) = 0 .

Ainsi $P$ admet au moins $n + 1$ racines, or $\deg (P) \leq n$ donc $P = 0$ .

Exercice 3 1570 Correction

Soit $E = 𝒞^{1} ([0; 1], ℝ)$ . Pour $f, g \in E$ , on pose

φ (f, g) = f (0) g (0) + \int_{0}^{1} f^{'} (t) g^{'} (t) d t .

Montrer que $φ$ est un produit scalaire sur $E$ .

Solution

$φ$ est clairement une forme bilinéaire symétrique.
On a aussi $φ (f, f) \geq 0$ et

φ (f, f) = 0 ⟹ f (0) = 0 et f^{'} = 0

car $f^{', 2}$ est continue, positive et d’intégrale nulle. On en déduit

φ (f, f) = 0 ⟹ f = 0 .

Exercice 4 1569 Correction

Montrer que

φ (f, g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) (1 - t^{2}) d t

définit un produit scalaire sur l’espace $E = 𝒞 ([- 1; 1], ℝ)$ .

Solution

Symétrie, bilinéarité et positivité: claires.
Si $φ (f, f) = 0$ alors par nullité de l’intégrale d’une fonction continue et positive, on a pour tout $t \in [- 1; 1]$ , $f {(t)}^{2} (1 - t^{2}) = 0$ et donc pour tout $t \in] - 1; 1 [$ , $f (t) = 0$ .
Par continuité de $f$ en 1 et $- 1$ , on obtient $f (t) = 0$ sur $[- 1; 1]$ .
On peut alors conclure que $φ$ est un produit scalaire.

Exercice 5 1571

Soient $a, b, c, d \in ℝ$ . Pour $u = (x, y) \in ℝ^{2}$ et $v = (x^{'}, y^{'}) \in ℝ^{2}$ , on pose

φ (u, v) = a x x^{'} + b x y^{'} + c x^{'} y + d y y^{'} .

À quelles conditions sur $a, b, c, d$ , l’application $φ$ est-elle un produit scalaire sur $ℝ^{2}$ ?

[<] Produit scalaire[>] Calcul dans un espace euclidien

Exercice 6 1572

Soient $E$ espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire $(\cdot ∣ \cdot)$ , $a$ un vecteur non nul de $E$ et $λ$ un réel. Résoudre l’équation

(E) : (a ∣ x) = λ

d’inconnue $x \in E$ .

Exercice 7 510 Correction

Soient $x, y$ deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel. Établir

∥ \frac{x}{{∥ x ∥}^{2}} - \frac{y}{{∥ y ∥}^{2}} ∥ = \frac{∥ x - y ∥}{∥ x ∥ ∥ y ∥} .

Solution

On connaît la formule de développement

{∥ a - b ∥}^{2} = {∥ a ∥}^{2} - 2 (a ∣ b) + {∥ b ∥}^{2} .

En développant le produit scalaire,

{∥ \frac{x}{{∥ x ∥}^{2}} - \frac{y}{{∥ y ∥}^{2}} ∥}^{2} = \frac{1}{{∥ x ∥}^{2}} - 2 \frac{(x ∣ y)}{{∥ x ∥}^{2} {∥ y ∥}^{2}} + \frac{1}{{∥ y ∥}^{2}} = {(\frac{∥ x - y ∥}{∥ x ∥ ∥ y ∥})}^{2} .

Exercice 8 508

Soient $E$ un espace préhilbertien réel de produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ et $f, g : E \to E$ deux applications vérifiant

⟨ f (x), y ⟩ = ⟨ x, g (y) ⟩ pour tout (x, y) \in E^{2} .

Montrer que les applications $f$ et $g$ sont linéaires.

Exercice 9 509 Correction

Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $f : E \to E$ une application surjective telle que pour tout $x, y \in E$ , on ait

(f (x) ∣ f (y)) = (x ∣ y) .

Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$ .

Solution

Pour $x, x^{'} \in E$ et $λ, λ^{'} \in ℝ$ ,

	$(f (λ x + λ^{'} x^{'}) ∣ f (y))$	$= (λ x + λ^{'} x^{'} ∣ y)$
		$= λ (x ∣ y) + λ^{'} (x^{'} ∣ y)$
		$= λ (f (x) ∣ f (y)) + λ^{'} (f (x^{'}) ∣ f (y))$
		$= (λ f (x) + λ^{'} f (x^{'}) ∣ f (y))$

donc

f (λ x + λ^{'} x^{'}) - (λ f (x) + λ^{'} f (x^{'})) \in {(Im (f))}^{⊥} = {0}

d’où la linéarité de $f$ .

En fait, l’hypothèse de surjectivité n’est pas nécessaire pour résoudre cet exercice mais permet un « argument rapide ».

Exercice 10 3180

Soit $S$ l’ensemble des vecteurs de norme $1$ d’un espace préhilbertien réel $E$ .

Montrer que, si $x$ et $y$ sont deux éléments distincts de $S$ , alors pour tout $λ \in ℝ$ ,

(λ \neq 0 et λ \neq 1) ⟹ (1 - λ) . x + λ . y \notin S .

Exercice 11 1579 Correction

Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $x, y \in E$ . Montrer que $x$ et $y$ sont orthogonaux si, et seulement si,

\forall λ \in ℝ, ∥ x + λ y ∥ \geq ∥ x ∥ .

Solution

$(⟹)$ Via la formule de Pythagore.

$(⟸)$ Si pour tout $λ \in ℝ$ on a $∥ x + λ y ∥ \geq ∥ x ∥$ alors

2 λ (x ∣ y) + λ^{2} {∥ y ∥}^{2} \geq 0 .

Si, par l’absurde $(x ∣ y) \neq 0$ alors

2 λ (x ∣ y) + λ^{2} {∥ y ∥}^{2} \underset{λ \to 0}{\sim} 2 λ (x ∣ y)

qui change de signe en 0. Cela est absurde et par suite $(x ∣ y) = 0$ .

[<] Calcul dans un espace préhilbertien[>] Inégalité de Cauchy Schwarz

Exercice 12 1584 Correction

Soient $E$ un espace vectoriel euclidien et $f \in ℒ (E)$ tel que

\forall (x, y) \in E^{2}, (f (x) ∣ y) = (x ∣ f (y)) .

(a)

Montrer que la matrice de $f$ dans une base orthonormée $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ est symétrique.
(b)

Montrer que le noyau et l’image de $f$ sont supplémentaires et orthogonaux.

Solution

(a)

$A = {Mat}_{ℬ} (f) = (a_{i, j})$ avec $a_{i, j} = (e_{i} ∣ f (e_{j})) = (f (e_{i}) ∣ e_{j}) = a_{j, i}$ .
(b)

Soit $x \in Ker (f)$ et $z = f (y) \in Im (f)$ .
$(x ∣ z) = (x ∣ f (y)) = (f (x) ∣ y) = (0 ∣ y) = 0$ donc $Ker (f) \subset Im (f^{⊥})$ .
De plus,

$dim Ker (f) = dim E - dim Im (f) = dim Im (f^{⊥})$

et donc $Ker (f) = Im (f^{⊥})$ puis la conclusion.

Exercice 13 523

Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien $E$ vérifiant $⟨ f (x), x ⟩ = 0$ pour tout $x \in E$ . Comparer $Ker (f)$ et $Im (f)$ .

Exercice 14 5181

Soient $E$ un espace euclidien de produit scalaire $(\cdot ∣ \cdot)$ et $f : E \to E$ une application vérifiant

(f (x) ∣ f (y)) = (x ∣ y) pour tous x, y \in E .

Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$ .

Exercice 15 2396 CENTRALE (MP)Correction

Soient $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ un espace euclidien non nul et $u \in ℒ (E)$ tel que $tr (u) = 0$ .

(a)

Montrer qu’il existe $x \in E ∖ {0}$ tel que $⟨ u (x), x ⟩ = 0$ .
(b)

Montrer qu’il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est à diagonale nulle.

Solution

(a)

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée de $E$ . $tr (u) = 0$ donne

$\sum_{i = 1}^{n} ⟨ e_{i}, u (e_{i}) ⟩ = 0 .$

Si $dim E = 1$ : ok
Si $dim E > 1$ , il existe $i \neq j$ tel que $⟨ e_{i}, u (e_{i}) ⟩ \geq 0$ et $⟨ e_{j}, u (e_{j}) ⟩ \leq 0$ .
L’application $t \mapsto ⟨ u (t e_{i} + (1 - t) e_{j}), t e_{i} + (1 - t) e_{j} ⟩$ est continue, à valeurs réelles et change de signe, en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, elle s’annule et donc il existe $t \in [0; 1]$ tel que pour $x = t e_{i} + (1 - t) e_{j}$ , $⟨ u (x), x ⟩ = 0$ . De plus, l’indépendance de $e_{i}$ et $e_{j}$ assure $x \neq 0$ .
(b)

Il existe $ε_{1}$ vecteur unitaire tel que

$⟨ ε_{1}, u (ε_{1}) ⟩ = 0 .$

On complète celui-ci en une base orthonormée $(ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n})$ . La matrice de $u$ dans cette base est de la forme

$(\begin{matrix} 0 & * \\ * & A \end{matrix})$

avec $tr (A) = 0$ . Considérons alors $u^{'}$ l’endomorphisme de $E^{'} = Vect (ε_{2}, \dots, ε_{n})$ de matrice $A$ dans la base $(ε_{2}, \dots, ε_{n})$ . Puisque $tr (u^{'}) = tr (A) = 0$ , un principe de récurrence permet de former une base orthonormée $(ε_{2}^{'}, \dots, ε_{n}^{'})$ de $E^{'}$ dans laquelle $u^{'}$ est représenté par une matrice de diagonale nulle. La famille $(ε_{1}, ε_{2}^{'}, \dots, ε_{n}^{'})$ est alors une base orthonormée solution du problème posé.

Exercice 16 5345 Correction

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une famille de vecteurs unitaires d’un espace euclidien $E$ de dimension $n \geq 1$ .

On suppose que $∥ e_{i} - e_{j} ∥ = 1$ pour tous $i, j \in {1, \dots, n}$ distincts.

Montrer que la famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base de $E$ .

Solution

Puisque la famille est formée de $n$ vecteurs il suffit de constater sa liberté.

Supposons $λ_{1} . e_{1} + \dots + λ_{n} . e_{n} = 0_{E}$ avec $(λ_{1}, \dots, λ_{n}) \in ℝ^{n}$ .

Soit $i \in {1, \dots, n}$ . En faisant le produit scalaire avec $e_{i}$ , on obtient les équations

\sum_{j \neq i} λ_{j} (e_{i} ∣ e_{j}) + λ_{i} = 0 .

Or, pour $i \neq j$ ,

{∥ e_{i} - e_{j} ∥}^{2} = {∥ e_{i} ∥}^{2} - 2 (e_{i} ∣ e_{j}) + {∥ e_{j} ∥}^{2} = 2 - 2 (e_{i} ∣ e_{j})

et donc $(e_{i} ∣ e_{j}) = 1 / 2$ .

Les équations précédentes forment alors le système $A X = 0$ avec

A = (\begin{matrix} 1 & (\frac{1}{2}) \\ ⋱ \\ (\frac{1}{2}) & 1 \end{matrix}) et X = (\begin{matrix} λ_{1} \\ ⋮ \\ λ_{n} \end{matrix}) .

Or la matrice $A$ est inversible car $\det (A) \neq 0$ (cf. sujet 4451) et donc $X$ est la colonne nulle. On conclut que la famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est libre et donc une base de $E$ .

Exercice 17 2733 MINES (MP)

(Famille équiangulaire)

Soient $u_{1}, \dots, u_{n}$ des vecteurs unitaires d’un espace euclidien $E$ de dimension $n \geq 2$ dont le produit scalaire est noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ . On suppose qu’il existe un réel $c$ tel que $⟨ u_{i}, u_{j} ⟩ = c$ pour tous les indices $i$ et $j$ distincts dans $⟦ 1; n ⟧$ .

Pour quelles valeurs de $c$ peut-on affirmer que la famille $(u_{1}, \dots, u_{n})$ est liée?

[<] Calcul dans un espace euclidien[>] Orthogonal d'une partie, d'un sous-espace vectoriel

Exercice 18 1575

Soit $(x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n}$ . Montrer l’inégalité qui suit en précisant le cas d’égalité

{(\sum_{k = 1}^{n} x_{k})}^{2} \leq n \sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2} .

Exercice 19 1576 Correction

Soient $x_{1}, \dots, x_{n}$ des réels strictement positifs tels que $x_{1} + \dots + x_{n} = 1$ .
Montrer que

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{x_{k}} \geq n^{2} .

Préciser les cas d’égalité.

Solution

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{x_{k}}} \sqrt{x_{k}})}^{2} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{x_{k}} \sum_{k = 1}^{n} x_{k} .

Donc

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{x_{k}} \geq n^{2} .

De plus, il y a égalité si, et seulement si, il y a colinéarité des $n$ -uplets

(\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{x_{n}}}) et (\sqrt{x_{1}}, \dots, \sqrt{x_{n}})

ce qui correspond au cas où

\frac{\sqrt{x_{1}}}{1 / \sqrt{x_{1}}} = \dots = \frac{\sqrt{x_{n}}}{1 / \sqrt{x_{n}}}

soit encore

x_{1} = \dots = x_{n} = \frac{1}{n} .

Exercice 20 5898 Correction

Montrer que pour tout $n \in ℕ$

\sum_{k = 0}^{n} \sqrt{(\binom{n}{k})} \leq \sqrt{2^{n} (n + 1)}

Solution

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

\sum_{k = 0}^{n} \sqrt{(\binom{n}{k})} \times 1 \leq {(\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}))}^{1 / 2} {(\sum_{k = 0}^{n} 1)}^{1 / 2} = \sqrt{2^{n}} \cdot \sqrt{n + 1}

ce qui produit l’inégalité voulue.

Exercice 21 4501

Soient $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Établir

{(tr (A B))}^{2} \leq tr (A^{⊤} A) tr (B^{⊤} B) .

Exercice 22 504 Correction

Soient $A, B \in 𝒮_{n} (ℝ)$ . Montrer

{(tr (A B + B A))}^{2} \leq 4 tr (A^{2}) tr (B^{2}) .

Solution

Sur $ℳ_{n} (ℝ)$ , on définit un produit scalaire par

(A ∣ B) = tr (A^{⊤} B) .

Pour $A, B \in 𝒮_{n} (ℝ)$ ,

tr (A B + B A) = 2 (A ∣ B)

et l’inégalité de Cauchy-Schwarz fournit la relation demandée.

Exercice 23 1578 Correction

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ continue et positive. On pose $I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} f (t) d t$ .
Montrer

I_{n + p}^{2} \leq I_{2 n} I_{2 p} .

Solution

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

{(\int_{0}^{1} t^{n + p} f (t) d t)}^{2} = {(\int_{0}^{1} t^{n} \sqrt{f (t)} t^{p} \sqrt{f (t)} d t)}^{2} \leq \int_{0}^{1} t^{2 n} f (t) d t \int_{0}^{1} t^{2 p} f (t) d t .

Exercice 24 5820 Correction

Soit $E$ un espace préhilbertien non réduit au vecteur nul. On note $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ le produit scalaire sur $E$ et $∥ \cdot ∥$ la norme euclidienne associée. Montrer

\forall x \in E, ∥ x ∥ = sup_{y \in S} | ⟨ x, y ⟩ |

en notant $S$ l’ensemble des vecteurs unitaires de $E$ .

Solution

Soit $x \in E$ .

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

\forall y \in S, | ⟨ x, y ⟩ | \leq ∥ x ∥ ∥ y ∥ = ∥ x ∥ .

En passant à la borne supérieure,

sup_{y \in S} | ⟨ x, y ⟩ | \leq ∥ x ∥ .

Inversement, si $x = 0_{E}$ , l’égalité voulue est immédiate et sinon, on peut introduire $x^{'} = x / ∥ x ∥ \in S$ et remarquer

| ⟨ x, x^{'} ⟩ | = \frac{{∥ x ∥}^{2}}{∥ x ∥} = ∥ x ∥

donc

sup_{y \in S} | ⟨ x, y ⟩ | \geq ∥ x ∥ .

Par double inégalité, on peut affirmer l’égalité.

Exercice 25 1577 Correction

On considère $𝒞^{0} ([a; b], ℝ)$ muni du produit scalaire

(f ∣ g) = \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t .

Pour $f$ strictement positive sur $[a; b]$ , on pose

ℓ (f) = \int_{a}^{b} f (t) d t \int_{a}^{b} \frac{d t}{f (t)} .

(a)

Montrer que $ℓ (f) \geq {(b - a)}^{2}$ .
(b)

Étudier les cas d’égalités.

Solution

(a)

Soit $g \in 𝒞 ([a; b], ℝ)$ l’application définie par $g (t) = \sqrt{f (t)}$ . Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

${(b - a)}^{2} = {(\int_{a}^{b} g (t) . \frac{1}{g (t)} d t)}^{2} \leq \int_{a}^{b} f (t) d t . \int_{a}^{b} \frac{d t}{f (t)} = ℓ (f) .$
(b)

Il y a égalité si, et seulement si, $t \mapsto g (t)$ et $t \mapsto \frac{1}{g (t)}$ sont colinéaires ce qui correspond à $f$ constante.

Exercice 26 5684 Correction

Soit $(A, B) \in 𝒮_{n} {(ℝ)}^{2}$ . Montrer

tr ({(A B)}^{2}) \leq tr (A^{2} B^{2}) .

Solution

On remarque

tr ({(A B)}^{2}) = tr ((A B) (A B)) = tr ({(B A)}^{⊤} (A B)) = ⟨ B A, A B ⟩

avec $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ le produit scalaire canonique sur $ℳ_{n} (ℝ)$ défini par $⟨ M, N ⟩ = tr (M^{⊤} N)$ .

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

tr ({(A B)}^{2}) \leq ∥ B A ∥ ∥ A B ∥ .

{∥ A B ∥}^{2} = tr ({(A B)}^{⊤} A B) = tr (B A A B) = tr (A A B B) = tr (A^{2} B^{2})

et, par le même calcul,

{∥ B A ∥}^{2} = tr (B^{2} A^{2}) = tr (A^{2} B^{2}) .

On en déduit l’inégalité voulue.

Exercice 27 3883 MINES (MP)Correction

Soit $A = {(a_{i, j})}_{1 \leq i, j \leq n}$ une matrice réelle vérifiant

\forall i \in {1, \dots, n}, a_{i, i} \geq 1 et \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} a_{i, j}^{2} < 1 .

(a)

Montrer

$\forall X \in ℝ^{n} ∖ {0}, X^{⊤} A X > 0 .$
(b)

En déduire que la matrice $A$ est inversible.

Solution

(a)

En notant $X = (x_{1}, \dots, x_{n})$ , on obtient

$X^{⊤} A X = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} x_{i} x_{j}$

et donc

$X^{⊤} A X = \sum_{i = 1}^{n} a_{i, i} x_{i}^{2} + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} a_{i, j} x_{i} x_{j} .$

Par l’inégalité triangulaire

$| \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} a_{i, j} x_{i} x_{j} | \leq \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} | \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} | a_{i, j} | | x_{j} | .$

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

$| \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} a_{i, j} x_{i} x_{j} | \leq \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(\sum_{j = 1, j \neq i}^{n} | a_{i, j} | | x_{j} |)}^{2}}$

et une nouvelle fois

${(\sum_{j = 1, j \neq i}^{n} | a_{i, j} | | x_{j} |)}^{2} \leq \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} a_{i, j}^{2} \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} x_{j}^{2} \leq \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} a_{i, j}^{2} \sum_{j = 1}^{n} x_{j}^{2} .$

On obtient donc

$| \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} a_{i, j} x_{i} x_{j} | \leq \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} a_{i, j}^{2} < \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}$

puis

$X^{⊤} A X > \sum_{i = 1}^{n} a_{i, i} x_{i}^{2} - \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \geq 0 .$
(b)

Si $X \in Ker (A)$ alors $X^{⊤} A X = 0$ et donc $X = 0$ en vertu de ce qui précède.

[<] Inégalité de Cauchy Schwarz[>] Algorithme de Gram-Schmidt

Exercice 28 4497

Soit $E$ un espace préhilbertien muni d’un produit scalaire noté $(\cdot ∣ \cdot)$ .

(a)

Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$ avec $A \subset B$ . Montrer $B^{⊥} \subset A^{⊥}$ .

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ .

(b)

Montrer ${(F + G)}^{⊥} = F^{⊥} \cap G^{⊥}$ .
(c)

Montrer ${(F \cap G)}^{⊥} \supset F^{⊥} + G^{⊥}$ .
(d)

Que devient cette dernière inclusion si l’on suppose que l’espace $E$ est euclidien?

Exercice 29 4250

Soit $F$ un sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien $E$ . Montrer

F^{⊥} = {({(F^{⊥})}^{⊥})}^{⊥} .

Exercice 30 4498

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires et orthogonaux d’un espace préhilbertien $E$ . Montrer $G = F^{⊥}$ .

Exercice 31 3081

On munit l’espace $E = 𝒞 ([- 1; 1], ℝ)$ du produit scalaire défini par

⟨ f, g ⟩ = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t .

On pose

F = {f \in E | \forall t \in [- 1; 0], f (t) = 0} et G = {g \in E | \forall t \in [0; 1], g (t) = 0} .

(a)

Montrer que $F^{⊥} = G$ .
(b)

Les sous-espaces vectoriels $F$ et $F^{⊥}$ sont-ils supplémentaires?
(c)

Comparer $F^{⊥} + G^{⊥}$ et ${(F \cap G)}^{⊥}$ .

Exercice 32 516 Correction

On munit $ℳ_{n} (ℝ)$ du produit scalaire défini par

(A ∣ B) = tr (A^{⊤} B) .

(a)

Montrer que la base canonique ${(E_{i, j})}_{1 \leq i, j \leq n}$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ est orthonormée.
(b)

Observer que les espaces $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ sont supplémentaires orthogonaux.
(c)

Établir que pour tout $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ on a

$tr (A) \leq \sqrt{n} \sqrt{tr (A^{⊤} A)}$

et préciser les cas d’égalité.

Solution

(a)

$(E_{i, j} ∣ E_{k, ℓ}) = tr (E_{j, i} E_{k, ℓ}) = tr (δ_{i, k} E_{j, ℓ}) = δ_{i, k} δ_{j, ℓ}$ .
(b)

Pour $A \in 𝒮_{n} (ℝ)$ et $B \in 𝒜_{n} (ℝ)$ ,

$(A ∣ B) = tr (A^{⊤} B) = tr (A B) = - tr (A B^{⊤}) = - tr (B^{⊤} A) = - (B ∣ A)$

donc $(A ∣ B) = 0$ et l’orthogonalité des espaces. Leur supplémentarité est connue.
(c)

L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

$| (I_{n} ∣ A) | \leq ∥ I_{n} ∥ ∥ A ∥$

d’où

$tr (A) \leq \sqrt{n} \sqrt{tr (A^{⊤} A)}$

avec égalité si, et seulement si, $tr (A) \geq 0$ et $(A, I_{n})$ liée, c’est-à-dire $A = λ I_{n}$ avec $λ \geq 0$ .

[<] Orthogonal d'une partie, d'un sous-espace vectoriel[>] Base orthonormale

Exercice 33 4494

On munit $ℝ^{3}$ de son produit scalaire canonique $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille de vecteurs $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ avec

u_{1} = (1, 1, 0), u_{2} = (1, 0, 1) et u_{3} = (1, 1, 1) .

Exercice 34 1581 Correction

On munit $ℝ^{3}$ de son produit scalaire canonique $(\cdot ∣ \cdot)$ .

Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille de vecteurs $(u, v, w)$ avec

u = (1,0,1), v = (1,1,1), w = (- 1,1,0) .

Solution

On obtient la famille $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ avec

e_{1} = (\frac{1}{\sqrt{2}},0, \frac{1}{\sqrt{2}}), e_{2} = (0,1,0) et e_{3} = (- \frac{1}{\sqrt{2}},0, \frac{1}{\sqrt{2}}) .

Exercice 35 3805 CCINP (MP)Correction

(a)

Énoncer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
(b)

Orthonormaliser la base canonique de $ℝ_{2} [X]$ pour le produit scalaire

$(P, Q) \mapsto \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t .$

Solution

(a)

cf. cours!
(b)

Au terme des calculs, on obtient la base $(P_{0}, P_{1}, P_{2})$ avec

$P_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}, P_{1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} X et P_{2} = \frac{3 \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} (X^{2} - \frac{1}{3}) .$

Exercice 36 5565 Correction

Dans $ℳ_{2} (ℝ)$ muni du produit scalaire canonique $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)$ , orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille $(A_{1}, A_{2}, A_{3})$ avec

A_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), A_{2} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) et A_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

Solution

Le produit scalaire sur $ℳ_{2} (ℝ)$ est en fait défini par

⟨ (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}), (\begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c^{'} & d^{'} \end{matrix}) ⟩ = a a^{'} + b b^{'} + c c^{'} + d d^{'} .

On pose $B_{1} = A_{1}$ .

On recherche $B_{2}$ de la forme $B_{2} = A_{2} + λ B_{1}$ avec $λ$ déterminé par la condition $⟨ B_{1}, B_{2} ⟩ = 0$ . On obtient $λ = - 1$ puis

B_{2} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

On recherche $B_{3}$ de la forme $B_{3} = A_{3} + λ B_{1} + μ B_{2}$ avec $λ$ et $μ$ déterminés par les conditions $⟨ B_{1}, B_{3} ⟩ = ⟨ B_{2}, B_{3} ⟩ = 0$ . On obtient $λ = - 1 / 2$ , $μ = 0$ puis

B_{3} = (\begin{matrix} 1 / 2 & 0 \\ 0 & - 1 / 2 \end{matrix}) .

Il reste à normer chacune de ces colonnes et on forme

C_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), C_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) et C_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) .

[<] Algorithme de Gram-Schmidt[>] Projections et symétries orthogonales

Exercice 37 5139

Pour $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)$ .

(a)

Montrer que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ définit un produit scalaire sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

Montrer que la famille constituée des matrices élémentaires de $ℳ_{n} (ℝ)$ est une base orthonormale pour le produit scalaire précédent.
(c)

Montrer que la norme euclidienne associée à ce produit scalaire vérifie:

$∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥ pour tous A et B de ℳ_{n} (ℝ) .$

Exercice 38 1580

Pour $P$ et $Q$ dans $ℝ [X]$ , on pose

φ (P, Q) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} P (e^{i θ}) Q (e^{- i θ}) d θ .

(a)

Montrer que $φ$ définit un produit scalaire sur l’espace $ℝ [X]$ .
(b)

Montrer que ${(X^{n})}_{n \in ℕ}$ est une base orthonormale pour ce produit scalaire.

Exercice 39 521 ENSIIE (MP)

Soient $E$ un espace euclidien de produit scalaire $(\cdot ∣ \cdot)$ et $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une famille de vecteurs unitaires de $E$ vérifiant

\sum_{k = 1}^{n} {(e_{k} ∣ x)}^{2} = {∥ x ∥}^{2} pour tout x \in E .

Montrer que $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base orthonormée de $E$ .

Exercice 40 4495

On munit $ℝ^{3}$ de son produit scalaire canonique $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ . Déterminer une base orthonormale de $ℝ^{3}$ dont les deux premiers vecteurs appartiennent au plan

P = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x - z = 0} .

Exercice 41 5178

On munit $E = ℳ_{2} (ℝ)$ du produit scalaire¹¹ 1 On vérifie aisément que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $ℳ_{2} (ℝ)$ , celui-ci est d’ailleurs analogue au produit scalaire canonique sur $ℝ^{4}$ . donné par

⟨ A, B ⟩ = a a^{'} + b b^{'} + c c^{'} + d d^{'} pour tous A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) et B = (\begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c^{'} & d^{'} \end{matrix}) de E .

Soit $F$ le sous-ensemble de $E$ constitué des matrices de la forme

(\begin{matrix} a & b \\ b & a + b \end{matrix}) avec (a, b) \in ℝ^{2} .

(a)

Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et donner une base orthonormale de $F$ .
(b)

Déterminer une base orthonormale de $F^{⊥}$ .

Exercice 42 5564 Correction

Soit $(x_{1}, \dots, x_{p})$ une famille de $p$ vecteurs d’un espace euclidien $E$ muni d’une base orthonormée $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ . On pose $A = {Mat}_{e} (x_{1}, \dots, x_{p})$ . Justifier

A^{⊤} A = {(⟨ x_{i}, x_{j} ⟩)}_{1 \leq i, j \leq p} .

Solution

Le coefficient d’indice $(i, j)$ de la matrice $A$ est la $i$ -ème coordonnée dans la base orthonormée $e$ du $j$ -ème vecteur $x_{j}$

a_{i, j} = (e_{i} ∣ x_{j}) .

Pour tous $1 \leq i, j \leq n$ ,

{[A^{⊤} A]}_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} {[A^{⊤}]}_{i, k} {[A]}_{k, j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k, i} a_{k, j} .

On reconnaît la formule permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs dont on connaît les coordonnées dans une base orthonormée

{[A^{⊤} A]}_{i, j} = ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ .

Exercice 43 4496

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ dont le produit scalaire est noté $(\cdot ∣ \cdot)$ .

Soient $f$ un endomorphisme de $E$ et $A = (a_{i, j})$ sa matrice dans une base orthonormale $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ . Justifier

a_{i, j} = (e_{i} ∣ f (e_{j})) pour tous i et j dans ⟦ 1; n ⟧ .

Exercice 44 5180

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ et de produit scalaire noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

On dit qu’un endomorphisme $f$ de $E$ est antisymétrique s’il vérifie

⟨ f (x), x ⟩ = 0 pour tout x \in E .

(a)

Soit $f$ un endomorphisme antisymétrique de $E$ . Établir

$⟨ f (x), y ⟩ = - ⟨ x, f (y) ⟩ pour tous x, y \in E .$
(b)

Montrer que l’image et le noyau d’un endomorphisme antisymétrique sont l’orthogonal l’un de l’autre.
(c)

Montrer qu’un endomorphisme de $E$ est antisymétrique si, et seulement si, sa matrice dans n’importe quelle base orthonormale est antisymétrique.

Exercice 45 4247

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ et de produit scalaire noté $(\cdot ∣ \cdot)$ .

Montrer que si $f$ est un endomorphisme de $E$ , alors pour toute base orthonormale $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ ,

tr (f) = \sum_{k = 1}^{n} (e_{k} ∣ f (e_{k})) .

Exercice 46 4153 CCINP (MP)Correction

Soit $v$ un endomorphisme d’un espace euclidien de de dimension $n$ .

(a)

Montrer que la quantité

$S = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v (e_{i}), e_{i} ⟩$

ne dépend pas de la base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ choisie.
(b)

Montrer que la quantité

$T = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} {⟨ v (e_{i}), f_{j} ⟩}^{2}$

ne dépend pas des bases orthonormées $(e_{1}, \dots, e_{n})$ et $(f_{1}, \dots, f_{n})$ de $E$ choisies.
(c)

Que vaut $T$ lorsque $v$ est un projecteur orthogonal de rang $r$ ?

Solution

(a)

$⟨ v (e_{i}), e_{i} ⟩$ est le coefficient diagonal d’indice $i$ de la matrice figurant $v$ dans la base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$ . La quantité $S$ correspond à la trace de $v$ .
(b)

La somme

$\sum_{j}^{n} {⟨ v (e_{i}), f_{j} ⟩}^{2}$

correspond à la norme au carrée du vecteur $v (e_{i})$ et donc

$T = \sum_{i = 1}^{n} {∥ v (e_{i}) ∥}^{2} .$

Notons $A$ la matrice figurant l’endomorphisme $v$ dans la base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ et $w$ l’endomorphisme figuré dans cette base par la matrice $A^{⊤} A$ . On remarque, pour $x$ vecteur de $E$ de colonne coordonnées $X$ ,

${∥ v (x) ∥}^{2} = {(A X)}^{⊤} A X = X^{⊤} A^{⊤} A X = ⟨ x, w (x) ⟩ .$

On en déduit

$T = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ w (e_{i}), e_{i} ⟩ = tr (w) .$
(c)

Si $v$ est un projecteur orthogonal, il existe une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$ dans lequel il est figuré par une matrice diagonale avec $r$ coefficients $1$ et le reste de $0$ . On a alors

$T = \sum_{i = 1}^{n} {∥ v (e_{i}) ∥}^{2} = r .$

[<] Base orthonormale[>] Distance à un sous-espace vectoriel

Exercice 47 5183

Dans l’espace $ℝ^{3}$ muni du produit scalaire canonique, on considère le plan $P$ formé des triplets $(x, y, z) \in ℝ^{3}$ vérifiant

x - 2 y + z = 0 .

Former la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur $P$ .

Exercice 48 1588 Correction

On considère un espace vectoriel euclidien $E$ muni d’une base orthonormée $ℬ = (i, j, k)$ .

Former la matrice dans $ℬ$ de la projection orthogonale sur le plan $P$ d’équation $x + y + z = 0$ .

Solution

Soit $n = i + j + k$ un vecteur normal à $P$ . Notons $p$ la projection orthogonale sur $P$ .

On sait

\forall x \in E, p (x) = x - \frac{(x ∣ n)}{{∥ n ∥}^{2}} n

et donc

{Mat}_{ℬ} (p) = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{matrix}) .

Exercice 49 1589 Correction

On considère un espace vectoriel euclidien $E$ muni d’une base orthonormée $ℬ = (i, j, k)$ .
Former la matrice dans $ℬ$ de la symétrie orthogonale sur le plan $P$ d’équation $x = z$ .

Solution

Soit $n = i - k$ un vecteur normal à $P$ . Notons $s$ la symétrie orthogonale par rapport à $P$ . La relation

s (x) = x - 2 \frac{(x ∣ n)}{{∥ n ∥}^{2}} n

donne

{Mat}_{ℬ} (s) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Exercice 50 1590 Correction

On considère $ℝ^{4}$ muni de sa structure euclidienne canonique et $F$ le sous-espace vectoriel de $ℝ^{4}$ défini par

F = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} | x + y + z + t = x - y + z - t = 0} .

(a)

Déterminer une base orthonormale du supplémentaire orthogonal de $F$ .
(b)

Écrire la matrice dans la base canonique de $ℝ^{4}$ de la projection orthogonale sur $F$ .
(c)

Écrire la matrice dans la base canonique de $ℝ^{4}$ de la symétrie orthogonale par rapport à $F$ .
(d)

Calculer $d (u, F)$ où $u = (1,2,3,4)$ .

Solution

(a)

Soient

$H = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} | x + y + z + t = 0}$

et

$K = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} | x - y + z - t = 0} .$

On a $F = H \cap K$ puis $F^{⊥} = H^{⊥} + K^{⊥}$ .
Soient $n = (1,1,1,1)$ et $m = (1, - 1,1, - 1)$ des vecteurs normaux à $H$ et $K$ .
Par le procédé de Schmidt,

$e_{1} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) et e_{2} = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

forment une base orthonormée de $F^{⊥}$ .
(b)

On peut facilement former ${Mat}_{ℬ} (p_{F^{⊥}})$ car

$\forall x \in E, p_{F^{⊥}} (x) = (x ∣ e_{1}) e_{1} + (x ∣ e_{2}) e_{2}$

donc

${Mat}_{ℬ} (p_{F}) = I_{4} - {Mat}_{ℬ} (p_{F^{⊥}}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .$
(c)

$s_{F} = 2 p_{F} - Id$ donc

${Mat}_{ℬ} (s_{F}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{matrix}) .$
(d)

Pour $u = (1,2,3,4), p_{F} (u) = (- 1, - 1,1,1)$ donc

$d (u, F) = ∥ u - p_{F} (u) ∥ = \sqrt{4 + 9 + 4 + 9} = \sqrt{26} .$

Exercice 51 1591 Correction

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonormée $ℬ = (i, j, k)$ .

Soit $p \in ℒ (E)$ déterminé par

{Mat}_{ℬ} (p) = \frac{1}{6} (\begin{matrix} 5 & - 2 & 1 \\ - 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{matrix}) .

Montrer que $p$ est une projection orthogonale sur un plan dont on précisera une équation.

Solution

Notons $A = {Mat}_{ℬ} (p)$ . On a $A^{2} = A$ donc $p$ est une projection.

En déterminant $Ker (p)$ , on obtient $Ker (p) = Vect (a)$ avec $a = i + 2 j - k$ .

L’espace $Im (p)$ est un plan dont $p (i)$ et $p (j)$ forment une base. Puisque $(p (i) ∣ a) = (p (j) ∣ a) = 0$ on a $Im (p) \subset {(Ker (p))}^{⊥}$ puis $Im (p) = {(Ker (p))}^{⊥}$ par égalité des dimensions.

On conclut que $p$ est la projection orthogonale sur le plan dont $a$ est vecteur normal, c’est-à-dire

P : x + 2 y - z = 0 .

Exercice 52 5977 Correction

Soit $E$ un espace euclidien dont on note $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ le produit scalaire.

Soit $p$ la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ .

(a)

Montrer que

$\forall x \in E, ∥ p (x) ∥ \leq ∥ x ∥ .$
(b)

Justifier que

$F = {x \in E | ∥ x ∥ = ∥ p (x) ∥} .$

Soient $F$ , $G$ et $H$ des sous-espaces vectoriels de $E$ . On note $p_{F}$ , $p_{G}$ et $p_{H}$ les projections orthogonales sur ces sous-espaces vectoriels.

Solution

(a)

Soit $x \in E$ . On écrit $x = a + b$ avec $a = p (x) \in F$ et $b \in F^{⊥}$ . Par la formule de Pythagore,

${∥ x ∥}^{2} = {∥ a ∥}^{2} + {∥ b ∥}^{2} \geq {∥ a ∥}^{2} = {∥ p (x) ∥}^{2}$

donc $∥ x ∥ \geq ∥ p (x) ∥$ .
(b)

Avec les notations qui précèdent,

${∥ x ∥}^{2} = {∥ p (x) ∥}^{2}$ $\Leftrightarrow {∥ a ∥}^{2} + {∥ b ∥}^{2} = {∥ a ∥}^{2}$

$\Leftrightarrow {∥ b ∥}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow b = 0_{E} .$

Par conséquent,

$∥ x ∥ = ∥ p (x) ∥ \Leftrightarrow x \in F .$
(c)

Soit $x \in F \cap G$ . On a $p_{G} (x) = x$ et $p_{F} (x) = x$ donc $p_{F} \circ p_{G} (x) = x$ . Par conséquent, $x \in H$ .

Inversement, soit $x \in H$ . On a $p_{H} (x) = x$ donc $p_{F} \circ p_{G} (x) = x$ . Par conséquent,

$∥ x ∥ = ∥ p_{F} \circ p_{G} (x) ∥ \leq ∥ p_{G} (x) ∥ \leq ∥ x ∥ .$

Puisque les membres extrêmes sont égaux, les inégalités intermédiaires sont des égalités

$∥ p_{F} \circ p_{G} (x) ∥ = ∥ p_{G} (x) ∥ et ∥ p_{G} (x) ∥ = ∥ x ∥ .$

On en déduit $x \in G$ et $p_{G} (x) = x \in F$ . Ainsi, $x \in F \cap G$ .

Exercice 53 4503

On munit $E = ℳ_{n} (ℝ)$ du produit scalaire¹¹ 1 Voir le sujet 4493. donné par $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)$ .

On introduit $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques de $ℳ_{n} (ℝ)$

𝒮_{n} (ℝ) = {M \in ℳ_{n} (ℝ) | M^{⊤} = M} et 𝒜_{n} (ℝ) = {M \in ℳ_{n} (ℝ) | M^{⊤} = - M} .

(a)

Montrer que $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ sont l’orthogonal l’un de l’autre.
(b)

Exprimer le projeté orthogonal sur $𝒮_{n} (ℝ)$ d’une matrice $M$ de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Exercice 54 1594 Correction

Soit $E = 𝒞 ([- 1; 1], ℝ)$ .
Pour $f, g \in E$ , on pose

φ (f, g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t .

(a)

Montrer que $φ$ est un produit scalaire sur $E$ .
(b)

On note $𝒫$ et $ℐ$ les sous-ensembles de $E$ formés des fonctions paires et impaires.
Montrer que $ℐ = 𝒫^{⊥}$ .
(c)

Soit $ψ : f \mapsto \hat{f}$ avec $\hat{f} : x \mapsto f (- x)$ .
Montrer que $ψ$ est la symétrie orthogonale par rapport à $𝒫$ .

Solution

(a)

Rien à signaler.
(b)

On a

$\forall f \in 𝒫, \forall g \in ℐ, φ (f, g) = 0$

car le produit $t \mapsto f (t) g (t)$ est impair et intégré sur un intervalle symétrique par rapport à 0.
Ainsi $𝒫 \subset ℐ^{⊥}$ .
Inversement, soit $h \in ℐ^{⊥}$ . On sait $𝒫 \oplus ℐ = E$ donc on peut écrire $h = f + g$ avec $f \in 𝒫$ et $g \in ℐ$ .
On a $φ (h, g) = φ (f, g) + φ (g, g)$ . Or $φ (h, g) = 0$ et $φ (f, g) = 0$ donc $φ (g, g) = 0$ d’où $g = 0$ .
Ainsi $h = f \in 𝒫$ puis $ℐ^{⊥} \subset 𝒫$ . On conclut.
(c)

$ψ^{2} = Id$ donc $ψ$ est une symétrie.

$\forall f \in 𝒫, ψ (f) = f et \forall f \in ℐ = {(𝒫)}^{⊥}, ψ (f) = - f$

donc $ψ$ est la symétrie orthogonale par rapport à $𝒫$ .

Exercice 55 5182

Soient $x$ et $y$ deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien $E$ et $D$ une droite de $E$ .
À quelle condition les projetés orthogonaux des vecteurs $x$ et $y$ sur la droite $D$ sont-ils égaux?

Exercice 56 4504

Soient $x$ et $y$ deux vecteurs distincts d’un espace euclidien de dimension supérieure à $2$ .

(a)

On suppose $(x ∣ y) = {∥ y ∥}^{2}$ . Montrer qu’il existe un unique hyperplan $H$ de $E$ tel que $y = p_{H} (x)$ .
(b)

À quelle condition existe-t-il une réflexion échangeant $x$ et $y$ ?

Exercice 57 3403 Correction

Soient $x$ et $y$ deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien $E$ .
À quelle condition sur $x$ et $y$ , le projeté orthogonal du vecteur $x$ sur la droite $Vect (y)$ est-il égal au projeté orthogonal de $y$ sur la droite $Vect (x)$ ?

Solution

Le projeté orthogonal de $x$ sur la droite $Vect (y)$ est

\frac{(y ∣ x)}{{∥ y ∥}^{2}} y .

Les projetés orthogonaux considérés seront donc égaux si, et seulement si,

\frac{(y ∣ x)}{{∥ y ∥}^{2}} y = \frac{(x ∣ y)}{{∥ x ∥}^{2}} x .

Cette équation est vérifiée si, et seulement si, $x$ et $y$ sont orthogonaux ou

{∥ x ∥}^{2} y = {∥ y ∥}^{2} x .

Dans ce dernier cas $x$ et $y$ sont colinéaires ce qui permet d’écrire $y = λ x$ et l’égalité donne

λ {∥ x ∥}^{2} x = λ^{2} {∥ x ∥}^{2} x

d’où $λ = 1$ .
Finalement, les projetés orthogonaux considérés seront égaux si, et seulement si, les vecteurs $x$ et $y$ sont égaux ou orthogonaux.

Exercice 58 5184

Soit $p$ un endomorphisme d’un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie $n \geq 1$ . On suppose $p \circ p = p$ . Existe-t-il un produit scalaire sur $E$ pour lequel $p$ soit une projection orthogonale?

Exercice 59 1596 Correction

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $H$ et $H^{'}$ deux hyperplans de $E$ .
On note $s$ et $s^{'}$ les réflexions par rapport à $H$ et $H^{'}$ .
À quelle condition $s$ et $s^{'}$ commutent-elles et préciser alors $s \circ s^{'}$ .

Solution

Soit $n$ et $n^{'}$ des vecteurs normaux à $H$ et $H^{'}$ .
Si $s$ et $s^{'}$ commutent alors $s \circ s^{'} (n) = s^{'} \circ s (n) = - s^{'} (n)$ donc $s^{'} (n) \in H^{⊥}$ .
Puisque $∥ s^{'} (n) ∥ = ∥ n ∥$ on a $s^{'} (n) = n$ ou $s^{'} (n) = - n$ c’est-à-dire $n \in H^{'}$ ou $n \in H^{', ⊥}$ .
Inversement:
Si $n \in H^{'}$ alors on peut construire une base adaptée qui permet matriciellement de conclure à la commutativité et d’observer que $s \circ s^{'}$ est la symétrie orthogonale par rapport à $H \cap H^{'}$ .
Si $n \in H^{', ⊥}$ alors $H = H^{'}$ et $s \circ s^{'} = Id$ .

Exercice 60 1592 Correction

Soient $a$ et $b$ deux vecteurs distincts d’un espace vectoriel euclidien $E$ tels que

∥ a ∥ = ∥ b ∥ .

Montrer qu’il existe une unique réflexion échangeant $a$ et $b$ .

Solution

Unicité: Si $σ$ est une réflexion par rapport à un hyperplan $H$ solution alors:
$σ (a - b) = b - a$ et donc

H = Vect {(b - a)}^{⊥} .

Existence: Soit $H = Vect {(b - a)}^{⊥}$ et $σ$ la réflexion par rapport à $H$ .
$σ (a - b) = b - a$ et $σ (a + b) = a + b$ car $(a + b ∣ a - b) = 0$ .
Donc

σ (a) = \frac{1}{2} σ (a + b) + \frac{1}{2} σ (a - b) = b et σ (b) = a .

La réflexion $σ$ est solution.

Exercice 61 4992

Soient $x$ un vecteur d’un espace euclidien $E$ de dimension $n ⩾ 1$ et $(λ_{1}, \dots, λ_{n})$ une famille de réels.

À quelle condition existe-t-il une base orthonormale de $E$ telle que $(λ_{1}, \dots, λ_{n})$ soit la famille des coordonnées de $x$ dans cette base?

[<] Projections et symétries orthogonales

Exercice 62 4499

On munit $ℝ^{4}$ de son produit scalaire canonique noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

(a)

Former la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale $p$ sur l’espace

$F = {(x, y, z, t) \in ℝ^{4} | x - y - z - t = x - z - 2 t = 0} .$
(b)

Calculer la distance à $F$ du vecteur $(1,2,3,4)$ .

Exercice 63 5177

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n ⩾ 2$ dont le produit scalaire est noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ . Soient $a$ un vecteur non nul de $E$ et $H$ l’ensemble des vecteurs $x$ de $E$ solutions de l’équation $⟨ a, x ⟩ = 0$

(a)

Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et préciser sa dimension.
(b)

Exprimer le projeté orthogonal d’un vecteur $x$ de $E$ sur $H$ ainsi que la distance de $x$ à $H$ .
(c)

Application: On munit $ℝ^{3}$ de sa structure euclidienne usuelle.

Calculer la distance de $u = (1, 2, 3)$ au plan $P$ formé des $(x, y, z)$ solutions de l’équation $x - 3 y + z = 0$ .

Exercice 64 4505

On munit $E = ℳ_{2} (ℝ)$ du produit scalaire donné par

⟨ A, B ⟩ = a a^{'} + b b^{'} + c c^{'} + d d^{'} pour tous A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) et B = (\begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c^{'} & d^{'} \end{matrix}) de E .

Calculer la distance de la matrice $I_{2}$ à l’espace $H$ constitué des matrices de $E$ dont la somme des coefficients est nulle.

Exercice 65 4080 Correction

On munit $ℳ_{n} (ℝ)$ de son produit scalaire canonique $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)$ .

(a)

Montrer que $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ sont supplémentaires et orthogonaux.
(b)

Calculer la distance à $𝒮_{3} (ℝ)$ de la matrice

$M = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}) \in ℳ_{3} (ℝ) .$
(c)

Montrer que l’ensemble $H$ des matrices de trace nulle est un sous-espace vectoriel de $ℳ_{n} (ℝ)$ et donner sa dimension.
Donner la distance à $H$ de la matrice $J$ dont tous les coefficients valent $1$ .

Solution

(a)

Pour $A \in 𝒮_{n} (ℝ)$ et $B \in 𝒜_{n} (ℝ)$ , on a

$⟨ A, B ⟩ = tr (A B^{⊤}) = - tr (A B) et ⟨ A, B ⟩ = ⟨ B, A ⟩ = tr (A^{⊤} B) = tr (A B) .$

On en déduit $⟨ A, B ⟩ = 0$ .
Les espaces $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ sont donc en somme directe.
Puisque l’on peut écrire pour tout $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ ,

$M = \frac{1}{2} (M + M^{⊤}) + \frac{1}{2} (M - M^{⊤})$

avec $\frac{1}{2} (M + M^{⊤}) \in 𝒮_{n} (ℝ)$ et $\frac{1}{2} (M - M^{⊤}) \in 𝒜_{n} (ℝ)$ , les espaces $𝒮_{n} (ℝ)$ et $𝒜_{n} (ℝ)$ sont supplémentaires orthogonaux.
(b)

La distance de $M$ à $𝒮_{3} (ℝ)$ est égale à la distance de $M$ à son projeté orthogonal sur $𝒮_{3} (ℝ)$ c’est-à-dire

$d (M, 𝒮_{3} (ℝ)) = \frac{1}{2} ∥ M - M^{⊤} ∥ = 2 .$
(c)

$H$ est le noyau de la forme linéaire non nulle trace, c’est donc un hyperplan de $ℳ_{n} (ℝ)$ .
La matrice $I_{n}$ est orthogonale à tout élément de $H$ et c’est donc un vecteur normal à l’hyperplan $H$ .
On en déduit

$d (H, J) = \frac{| ⟨ I_{n}, J ⟩ |}{∥ I_{n} ∥} = \frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} .$

Exercice 66 2736 MINES (MP)Correction

On munit $ℳ_{n} (ℝ)$ du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique, dont on note $∥ \cdot ∥$ la norme associée.

Soit $J$ la matrice de $ℳ_{n} (ℝ)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$ . Pour $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ , calculer

inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} ∥ M - a I_{n} - b J ∥ .

Solution

Le cas $n = 1$ étant évident, on suppose désormais $n \geq 2$ .

La quantité cherchée est $m = d (M, Vect (I_{n}, J)) = ∥ M - p (M) ∥$ avec $p$ la projection orthogonale sur $Vect (I_{n}, J)$ .

On écrit $p (M) = a I_{n} + b J$ avec $(p (M) ∣ I_{n}) = (M ∣ I_{N}) = tr (M)$ et $(p (M) ∣ J) = (M ∣ J) = σ$ où $σ$ est la somme des coefficients de $M$ .

La résolution de ce système donne

a = \frac{n tr (M) - σ}{n (n - 1)} et b = \frac{σ - tr (M)}{n (n - 1)}

donc

m^{2} = {∥ M - p (M) ∥}^{2} = (M - p (M) ∣ M) = {∥ M ∥}^{2} - \frac{(n - 1) tr {(M)}^{2} + {(tr (M) - σ)}^{2}}{n (n - 1)} .

Exercice 67 3764 MINES (PC)Correction

Soit $A = {(a_{i, j})}_{1 \leq i, j \leq n} \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Calculer

inf_{M \in 𝒮_{n} (ℝ)} (\sum_{1 \leq i, j \leq n} {(a_{i, j} - m_{i, j})}^{2}) .

Solution

En introduisant la norme euclidienne canonique sur $ℳ_{n} (ℝ)$ définie par

∥ A ∥ = {(\sum_{1 \leq i, j, \leq} a_{i, j}^{2})}^{1 / 2}

on peut interpréter l’infimum calculé

inf_{M \in 𝒮_{n} (ℝ)} (\sum_{1 \leq i, j \leq n} {(a_{i, j} - m_{i, j})}^{2}) = d {(A, 𝒮_{n} (ℝ))}^{2} .

La distance introduite se calcule par projection orthogonale. Sachant $A = M + N$ avec

M = \frac{A + A^{⊤}}{2} \in 𝒮_{n} (ℝ) et N = \frac{A - A^{⊤}}{2} \in 𝒜_{n} (ℝ) = 𝒮_{n} {(ℝ)}^{⊥}

on obtient

d {(A, 𝒮_{n} (ℝ))}^{2} = {∥ N ∥}^{2} = \frac{1}{4} \sum_{1 \leq i < j \leq n} {(a_{i, j} - a_{j, i})}^{2} .

Exercice 68 73 CCINP (MP)Correction

On munit $E = 𝒞 ([- 1; 1], ℝ)$ du produit scalaire:

(f ∣ g) = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) d x .

Pour $i \in {0,1,2,3}$ , on note $P_{i} (x) = x^{i}$ .

(a)

Montrer que la famille $(P_{0}, P_{1}, P_{2})$ est libre mais pas orthogonale.
(b)

Déterminer, par le procédé de Schmidt, une base orthonormée $(Q_{0}, Q_{1}, Q_{2})$ de l’espace $F = Vect (P_{0}, P_{1}, P_{2})$ obtenue à partir de la famille $(P_{0}, P_{1}, P_{2})$ .
(c)

Calculer la projection orthogonale de $P_{3}$ sur $F$ et la distance de $P_{3}$ à $F$ .

Solution

(a)

Soit $(λ_{0}, λ_{1}, λ_{2}) \in ℝ^{3}$ tel que $λ_{0} P_{0} + λ_{1} P_{1} + λ_{2} P_{2} = 0$ c’est-à-dire

$\forall x \in [- 1; 1], λ_{0} + λ_{1} x + λ_{2} x^{2} = 0$

Le polynôme $λ_{0} + λ_{1} X + λ_{2} X^{2}$ admet alors une infinité de racines et c’est donc le polynôme nul. Par conséquent, $λ_{0} = λ_{1} = λ_{2} = 0$ .

La famille $(P_{0}, P_{1}, P_{2})$ est donc libre. Elle n’est pas orthogonale puisque

$(P_{0} ∣ P_{2}) = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{6} {[x^{3}]}_{- 1}^{1} = \frac{1}{3} \neq 0 .$
(b)

On commence par orthogonaliser la famille avant de normer chaque vecteur.

On pose $R_{0} = P_{0}$ ,

Puisque, $(P_{0} ∣ P_{1}) = 0$ , on a directement $R_{1} = P_{1}$ .

On recherche $R_{2}$ de la forme $R_{2} = P_{2} + λ_{0} R_{0} + λ_{1} R_{1}$ .

La condition $(R_{2} ∣ R_{0}) = 0$ donne $λ_{0} = - (P_{2} ∣ P_{0}) = - 1 / 3$ .

La condition $(R_{2} ∣ R_{1}) = 0$ donne $λ_{1} / 3 = - (P_{2} ∣ R_{1}) = 0$ .

On a donc $R_{2} : x \mapsto x^{2} - 1 / 3$ .

La famille $(R_{0}, R_{1}, R_{2})$ est l’orthogonalisée de Schmidt de la famille $(P_{0}, P_{1}, P_{2})$ . Il reste à diviser chaque élément de cette famille par sa norme.

On a $∥ R_{0} ∥ = 1$ , $∥ R_{1} ∥ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ et $∥ R_{2} ∥ = \frac{2}{3 \sqrt{5}}$ donc

$Q_{0} : x \mapsto 1 Q_{1} : x \mapsto \sqrt{3} x Q_{2} : x \mapsto \frac{\sqrt{5}}{2} (3 x^{2} - 1) .$
(c)

Le projeté orthogonal de $P_{3}$ sur $F$ est

$R = (Q_{0} ∣ P_{3}) Q_{0} + (Q_{1} ∣ P_{3}) Q_{1} + (Q_{2} ∣ P_{3}) Q_{2}$

Après calculs,

$R : x \mapsto \frac{3}{5} x .$

La distance de $P_{3}$ à $F$ est alors

$d = ∥ P_{3} - R ∥ = \frac{2}{5 \sqrt{7}} .$

Exercice 69 527 Correction

(a)

Montrer que $(P ∣ Q) = P (0) Q (0) + P (1) Q (1) + P (2) Q (2)$ définit un produit scalaire sur $ℝ_{2} [X]$ .
(b)

Calculer $d (X^{2}, P)$ où $P = {a X + b | (a, b) \in ℝ^{2}}$

Solution

(a)

Sans difficulté, notamment parce qu’un polynôme de degré $\leq 2$ possédant trois racines est nécessairement nul.
(b)

$d (X^{2}, P) = ∥ X^{2} - π ∥$ avec $π = a X + b$ projeté orthogonal de $X^{2}$ sur $P$ .
$(X^{2} - π ∣ 1) = (X^{2} - π ∣ X) = 0$ donne le système

${\begin{matrix} 3 a + 3 b = 5 \\ 5 a + 3 b = 9 . \end{matrix}$

Après résolution

${\begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 / 3 \end{matrix}$

et après calcul

$d = \sqrt{2 / 3} .$

Exercice 70 4958 MINES (PC)

Soient $n \in ℕ$ , $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ des réels deux à deux distincts et $E = ℝ_{n} [X]$ .

(a)

Montrer que l’on définit un produit scalaire sur $E$ en posant

$(P ∣ Q) = \sum_{k = 0}^{n} P (a_{k}) Q (a_{k}) pour tous P, Q \in E .$
(b)

Déterminer une base orthonormée de $E$ pour le produit scalaire précédent.
(c)

Exprimer la distance du polynôme $X^{n}$ à l’espace

$H = {P \in E | P (a_{0}) + \dots + P (a_{n}) = 0} .$

Exercice 71 5901 Correction

Dans ce sujet, on souhaite déterminer

m = inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} \int_{0}^{1} {(e^{t} - (a t + b))}^{2} d t .

On introduit l’espace $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ muni du produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ donné par

⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t .

(a)

Déterminer une fonction $φ \in E$ et un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ pour lesquels

$m = {(d (φ, F))}^{2} .$
(b)

Calculer le projeté orthogonal $f$ de $φ$ sur $F$ .
(c)

À l’aide du théorème de Pythagore, calculer $m$ .

Solution

(a)

Pour $φ : t \mapsto e^{t}$ et $f : t \mapsto a t + b$ , on remarque

$\int_{0}^{1} {(e^{t} - a t + b)}^{2} d t = {∥ φ - f ∥}^{2} .$

En considérant, le sous-espace vectoriel $F = {t \mapsto a t + b | (a, b) \in ℝ^{2}}$ , on a donc

$m = inf_{f \in F} {∥ φ - f ∥}^{2} = {(inf_{f \in F} ∥ φ - f ∥)}^{2} = {(d (φ, F))}^{2} .$
(b)

Par le procédé de Gram-Schmidt, on détermine une base orthonormée de $F$ en orthonormalisant la famille $(f_{1}, f_{2})$ avec $f_{1} : t \mapsto 1$ et $f_{2} : t \mapsto t$ . On obtient la famille $(e_{1}, e_{2})$ avec $e_{1} : t \mapsto 1$ et $e_{2} : 2 \sqrt{3} (t - 1 / 2)$ . On peut alors calculer le projeté $f$ de $φ$ sur $F$ :

$f = ⟨ e_{1}, φ ⟩ e_{1} + ⟨ e_{2}, φ ⟩ e_{2}$

avec

$⟨ e_{1}, φ ⟩ = e - 1 et ⟨ e_{2}, φ ⟩ = \sqrt{3} (3 - e) .$

Cela donne

$f : t \mapsto 6 (3 - e) (t - 1 / 2) + e - 1 = 6 (3 - e) t + 4 e - 10 .$
(c)

On sait $d (φ, F) = ∥ φ - f ∥$ avec $f$ et $φ - f$ orthogonaux. Par le théorème de Pythagore,

${∥ φ ∥}^{2} = {∥ f ∥}^{2} - {∥ φ - f ∥}^{2}$

et donc

$m = {∥ φ ∥}^{2} - {∥ f ∥}^{2} = {∥ φ ∥}^{2} - {⟨ e_{1}, φ ⟩}^{2} - {⟨ e_{2}, φ ⟩}^{2} .$

Au terme des calculs,

$m = 20 e - \frac{7}{2} e^{2} - \frac{57}{2} ≃ \ltx@orig@numprint 0.004 .$

Exercice 72 4506

Calculer

m = inf_{(a, b) \in ℝ^{2}} \int_{0}^{1} {(t^{2} - (a t + b))}^{2} d t .

Exercice 73 1598 Correction

Soient $n$ un entier supérieur à 3 et $E = ℝ_{n} [X]$ .

(a)

Montrer que

$φ (P, Q) = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t$

définit un produit scalaire sur $E$ .
(b)

Calculer

$inf_{(a, b, c) \in ℝ^{3}} \int_{- 1}^{1} {(t^{3} - (a t^{2} + b t + c))}^{2} d t .$

Solution

(a)

Symétrie, bilinéarité et positivité: ok
Si $φ (P, P) = 0$ alors $\int_{- 1}^{1} P^{2} (t) d t = 0$ donc (fonction continue positive d’intégrale nulle)

$\forall t \in [- 1; 1], P (t) = 0 .$

Comme le polynôme $P$ admet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.
(b)

On a

$inf_{(a, b, c) \in ℝ^{3}} \int_{- 1}^{1} {(t^{3} - (a t^{2} + b t + c))}^{2} d t = d {(X^{3}, F)}^{2}$

où $F = Vect (1, X, X^{2})$ .
Soit $P$ le projeté orthogonal de $X^{3}$ sur $F$ . On peut écrire $P = a + b X + c X^{2}$ et l’on a par orthogonalité

$(X^{3} - P ∣ 1) = (X^{3} - P ∣ X) = (X^{3} - P ∣ X^{2}) = 0 .$

On en déduit que $P = \frac{3}{5} X$ puis

$d {(X^{3}, F)}^{2} = \frac{8}{175} .$

Exercice 74 2734 MINES (MP)Correction

Calculer le minimum de

\int_{0}^{1} {(t^{3} - a t^{2} - b t - c)}^{2} d t

pour $a, b, c$ parcourant $ℝ$ .

Solution

Sur $ℝ [X]$ , on définit un produit scalaire par

(P ∣ Q) = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t .

La quantité cherchée $m$ apparaît alors sous la forme

m = inf_{a, b, c \in ℝ} {∥ X^{2} - (a X^{2} + b X + c) ∥}^{2} .

C’est donc le carré de la distance de $X^{3}$ au sous-espace vectoriel $ℝ_{2} [X]$ . En introduisant la projection orthogonale $p$ sur ce sous-espace vectoriel

m = d {(X^{3}, ℝ_{2} [X])}^{2} = {∥ X^{3} - p (X^{3}) ∥}^{2} .

On peut écrire

p (X^{3}) = a + b X + c X^{2} .

Pour chaque $i = 0,1,2$ , on a

(p (X^{3}) ∣ X^{i}) = (X^{3} ∣ X^{i})

car

(p (X^{3}) - X^{3} ∣ X^{i}) = 0 .

On obtient alors un système d’équations d’inconnue $(a, b, c)$

{\begin{matrix} c + b / 2 + a / 3 = 1 / 4 \\ c / 2 + b / 3 + a / 4 = 1 / 5 \\ c / 3 + b / 4 + a / 5 = 1 / 6 . \end{matrix}

La résolution de ce système donne

c = 1 / 20, b = - 3 / 5 et a = 3 / 2 .

On en déduit

m = {∥ X^{3} - p (X^{3}) ∥}^{2} = (X^{3} - p (X^{3}) ∣ X^{3}) = \frac{1}{2800} .

Exercice 75 2571 CCINP (MP)Correction

(a)

Montrer que

$(f ∣ g) = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t$

définit un produit scalaire sur l’espace $E$ des fonctions définies sur $ℝ$ engendré par $f_{1} (x) = 1$ , $f_{2} (x) = e^{x}$ et $f_{3} (x) = x$ .
(b)

Pour quels réels $a$ et $b$ la distance de $f_{2} (x)$ à $g (x) = a x + b$ est-elle minimale?

Solution

(a)

On reconnaît une restriction du produit scalaire usuel sur l’espace des fonctions réelles continues sur $[0; 1]$ .
(b)

La distance $f_{2}$ à $g$ sera minimale quand $g$ est le projeté orthogonal de $f_{2}$ sur $Vect (f_{1}, f_{3})$ .
Ce projeté $g$ vérifie $(f_{2} - g ∣ f_{1}) = (f_{2} - g ∣ f_{3}) = 0$ ce qui donne le système

${\begin{matrix} \frac{1}{2} a + b & = e - 1 \\ \frac{1}{3} a + \frac{1}{2} b & = 1 . \end{matrix}$

Après résolution, on obtient $a = 18 - 6 e$ et $b = 4 e - 10$ .

Exercice 76 4256

On munit l’espace $E = 𝒞^{1} ([- 1; 1], ℝ)$ du produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ donné par

⟨ u, v ⟩ = \int_{- 1}^{1} (u (t) v (t) + u^{'} (t) v^{'} (t)) d t

et l’on introduit les sous-espaces vectoriels

F = {f \in E | f (- 1) = f (1) = 0} et G = {g \in E | g est de classe 𝒞^{2} et g^{''} = g} .

(a)

Montrer que les espaces $F$ et $G$ sont supplémentaires et orthogonaux.

Soient $a$ et $b$ deux réels et

F_{a, b} = {u \in E | u (- 1) = a et u (1) = b} .

(b)

Calculer

$inf_{u \in F_{a, b}} \int_{- 1}^{1} (u {(t)}^{2} + u^{'} {(t)}^{2}) d t .$

Exercice 77 4969 MINES (PSI)

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d’un espace euclidien $E$ .

Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires et orthogonaux si, et seulement si,

{∥ x ∥}^{2} = {(d (x, F))}^{2} + {(d (x, G))}^{2} pour tout x \in E .

Exercice 78 1599

(Déterminant de Gram)

Soit $(x_{1}, \dots, x_{n})$ une famille de vecteurs d’un espace euclidien $E$ dont le produit scalaire est noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ . La matrice de $ℳ_{n} (ℝ)$ de coefficient général $⟨ x_{i}, x_{j} ⟩$ est notée $G (x_{1}, \dots, x_{n})$ , on l’appelle matrice de Gram associée à la famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ .

(a)

Montrer que, si la famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est liée, alors $\det (G (x_{1}, \dots, x_{n})) = 0$ .

On suppose désormais la famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ libre et l’on introduit $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormale de l’espace $F$ qu’elle engendre. On note $A = (a_{i, j})$ la matrice figurant la famille $(x_{1}, \dots, x_{n})$ dans la base $ℬ$ .

(b)

Exprimer $G (x_{1}, \dots, x_{n})$ en fonction de $A$ et de $A^{⊤}$ . En déduire

$\det (G (x_{1}, \dots, x_{n})) > 0 .$
(c)

On introduit $u \in E$ . Montrer

$d (u, F) = \sqrt{\frac{\det (G (u, x_{1}, \dots, x_{n}))}{\det (G (x_{1}, \dots, x_{n}))}} .$

Édité le 29-11-2025

	${∥ x ∥}^{2} = {∥ p (x) ∥}^{2}$	$\Leftrightarrow {∥ a ∥}^{2} + {∥ b ∥}^{2} = {∥ a ∥}^{2}$
		$\Leftrightarrow {∥ b ∥}^{2} = 0$
		$\Leftrightarrow b = 0_{E} .$