[>] Sommes

 
Exercice 1  5267  

Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle:

  • (a)

    x=2x-1+2

  • (b)

    ex-4e-x=3.

 
Exercice 2  2115  Correction  

Résoudre les équations suivantes d’inconnue x:

  • (a)

    x=2x-1[1]

  • (b)

    3x=2-x[π]

  • (c)

    nx=0[π] (avec n*)

Solution

  • (a)

    x=2x-1[1]-x=-1[1]x=1[1], 𝒮=.

  • (b)

    3x=2-x[π]4x=2[π]x=12[π4], 𝒮={kπ+24|k}.

  • (c)

    nx=0[π]x=0[πn],

    𝒮={kπn|k}.
 
Exercice 3  2116   Correction  

Observer que

x=20+1423+20-1423

est solution d’une équation de la forme x3=αx+β avec α,β. Résoudre cette dernière et déterminer x.

Solution

On remarque

x3=6x+40

4 est solution apparente de cette équation.

x3-6x-40=(x-4)(x2+4x+10).

Les solutions de l’équation sont 4,-2+i6,-2-i6. Le nombre x correspond à la seule solution réelle donc x=4.

 
Exercice 4  5014  

Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue x réelle:

  • (a)

    1x12

  • (b)

    2x-1x+21

  • (c)

    3+x-1<x

  • (d)

    |2x-1|+|x-3|7.

 
Exercice 5  5189  

Résoudre les systèmes d’inconnues réelles qui suivent:

  • (a)

    {x+y+2z=1x+2y+z=22x-y+z=1

  • (b)

    {x+y-z=12x-y+z=2-x+2y-2z=3

  • (c)

    {x-z=1-x+y+2z=0x+2y+z=3

  • (d)

    {2x+y+z=0x+y-z=1x+2y+z=2-x+3y-z=5

  • (e)

    {x-y+2z+t=12x-3y+z-t=1-x+2y+z+t=1.

 
Exercice 6  2118  Correction  

Résoudre les systèmes suivants d’inconnue (x,y,z)3:

  • (a)

    {x+2y-z=1x-y+z=2xyz=0

  • (b)

    {x+2y-z=1x-y+2z=23x-y+z=3

  • (c)

    {x+y+z=1x-y+3z=22x-y+z=3

Solution

  • (a)

    Si (x,y,z) est solution alors (3) donne x=0,y=0 ou z=0.
    Si x=0 alors y=3,z=5. Si y=0 alors x=32,z=12. Si z=0 alors x=53,y=-13.
    Inversement: ok.

    Finalement, 𝒮={(0,3,5),(32,0,12),(53,-13,0)}.

  • (b)

    𝒮={(89,49,79)}.

  • (c)

    𝒮={(54,-38,18)}.

 
Exercice 7  2119   Correction  

Résoudre le système

{x-ay+z=2x+(a+1)z=3x+ay+3z=4

d’inconnue (x,y,z)3, a désignant un paramètre réel.

Solution

On a

{x-ay+z=2x+(a+1)z=3x+ay+3z=4{x-ay+z=2ay+az=1ay+z=1{x-ay+z=2ay+az=1(1-a)z=0.

Si a=1 alors le système a pour solution les triplets

(3-2z,1-z,z) avec z.

Si a1 alors le système équivaut à

{x-ay=2ay=1z=0.

Si a=0, il n’y a pas de solutions.
Si a0,1 alors le système possède pour solution l’unique le triplet

(3,1/a,0).
 
Exercice 8  4419  

Résoudre dans les systèmes d’équations linéaires suivants en discutant selon la valeur du paramètre réel m:

  • (a)

    {x+y+z+t=1x+y+2z=0x+y+2t=m

  • (b)

    {mx+y+z=1x+my+z=mx+y+mz=m2.

 
Exercice 9  4420  

Soient a,b et θ des réels. Résoudre le système suivant d’inconnue (x,y)2:

(Σ):{cos(θ)x-sin(θ)y=a(1)sin(θ)x+cos(θ)y=b(2).
 
Exercice 10  2117   Correction  

Résoudre les systèmes d’inconnue (x,y)2:

  • (a)

    {x2+2y2=1x2+xy=0

  • (b)

    {x2+y2=12xy=1

  • (c)

    {x2=yy2=x

Solution

  • (a)

    Si (x,y) est solution alors (2)x(x+y)=0 donc x=0 ou y=-x.
    Si x=0 alors (1) donne y=±1/2.
    Si y=-x alors (1) donne x=±1/3.
    Inversement: ok

    Finalement,

    𝒮={(0,1/2),(0,-1/2),(1/3,-1/3),(-1/3,1/3)}.
  • (b)

    Si (x,y) est solution alors (1)-(2) donne (x-y)2=0 d’où x=y puis (1) donne x=y=±12.
    Inversement: ok.

    Finalement,

    𝒮={(1/2,1/2),(-1/2,-1/2)}.
  • (c)

    Si (x,y) est solution alors (1) et (2) donnent x4=x d’où x=0 ou x=1.
    Si x=0 alors y=0. Si x=1 alors y=1.
    Inversement: ok. Finalement,

    𝒮={(0,0),(1,1)}.
 
Exercice 11  5019   

Soit a un réel non nul. Déterminer les triplets (x,y,z) de réels non nuls vérifiant:

{x+y+z=a1x+1y+1z=1a.

[<] Équations, inéquations et systèmes[>] Sommes géométriques

 
Exercice 12  2062  Correction  

Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies:

  • (a)

    i=1n(α+ai)=α+i=1nai

  • (b)

    i=1n(ai+bi)=i=1nai+i=1nbi

  • (c)

    i=1nαai=αi=1nai

  • (d)

    i=1naibi=i=1naii=1nbi

  • (e)

    i=1naiα=(i=1nai)α

  • (f)

    j=1n(i=1nai,j)=i=1n(j=1nai,j)?

Solution

b) c) f)

 
Exercice 13  4415  

Soit n*. Calculer les sommes suivantes:

  • (a)

    An=k=0n(-1)kx2k

  • (b)

    Bn=k=12n(-1)kk3

  • (c)

    Cn=1i,jn(i+j)

  • (d)

    Dn=1ijn(i+j).

 
Exercice 14  2063  Correction  

Établir l’une des trois formules suivantes:

  • (a)

    k=1nk=n(n+1)2

  • (b)

    k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6

  • (c)

    k=1nk3=n2(n+1)24

Solution

Chacune des formules peut être acquise en raisonnant par récurrence.

 
Exercice 15  5167  

Soit n*. Justifier

k=1nk3=n2(n+1)24.
 
Exercice 16  4414  

Soit n*. Calculer les sommes suivantes:

  • (a)

    An=1×2+2×3++n×(n+1)

  • (b)

    Bn=1×n+2×(n-1)++n×1

  • (c)

    Cn=12+32++(2n+1)2

  • (d)

    Dn=11×2+12×3++1n(n+1).

 
Exercice 17  2064   Correction  

À partir des valeurs connues de k=1nk et k=1nk2, calculer:

  • (a)

    k=1nk(k+1)

  • (b)

    1.n+2.(n-1)++(n-1).2+n.1.

Solution

  • (a)

    En séparant la somme

    k=1nk(k+1)=k=1nk2+k=1nk=n(n+1)(n+2)3.
  • (b)

    On réécrit

    1.n+2.(n-1)++(n-1).2+n.1=k=1nk(n+1-k)

    et l’on réorganise

    k=1nk(n+1-k)=(n+1)k=1nk-k=1nk2=n(n+1)(n+2)6.
 
Exercice 18  2065   Correction  

Calculer

k=1n(-1)kk.

Solution

D’une part

k=12p(-1)kk==1p(-(2-1)+2)=p

et d’autre part

k=12p+1(-1)kk=p-(2p+1)=-(p+1).

Ainsi,

k=1n(-1)kk={n/2 si n est pair(-1)n(n+1)/2 si n est impair.
 
Exercice 19  2067   Correction  

Montrer

k=0nk!2n!  pour tout n.

Solution

Les cas n=0 et n=1 sont immédiats. On peut alors raisonner par récurrence en écrivant pour n1

k=0n+1k! =k=0nk!+(n+1)!
2n!+(n+1)!
(n+1)n!+(n+1)!
2(n+1)!.

On peut aussi mener un calcul direct pour n1 en écrivant

k=0nk!=k=0n-1k!+n!

avec

k=0n-1k!k=0n-1(n-1)!=n(n-1)!=n!.
 
Exercice 20  4421   

Soit n*. Calculer

k=1nkk!  etk=1nk(k+1)!.
 
Exercice 21  2069    Correction  
  • (a)

    Calculer

    k=1pkk!.
  • (b)

    Soit p. Montrer que pour tout n0,(p+1)!-1, il existe un uplet (n0,n1,,np)p+1 tel que

    k0;p, 0nkk et n=k=0pnkk!.
  • (c)

    Justifier l’unicité d’une telle suite.

Solution

  • (a)

    En écrivant k=(k+1)-1

    k=1pkk!=k=1p(k+1)!-k!=(p+1)!-1.
  • (b)

    Par récurrence forte sur p0.
    Pour p=0: ok
    Supposons la propriété établie jusqu’au rang p0.
    Soit n0,(p+2)!-1.
    Réalisons la division euclidienne de n par (p+1)!: n=q(p+1)!+r avec 0r<(p+1)!.
    Puisque 0n<(p+2)! on a 0qp+1.
    Par hypothèse de récurrence, on peut écrire r=k=0pnkk! et en prenant np+1=q on a n=k=0p+1nkk!.
    Récurrence établie.

  • (c)

    Supposons n=k=0pnkk!=k=0pnkk! avec les conditions requises.
    Si np<np alors

    k=0pnkk!npp!+k=0p-1kk!=(np+1)p!-1<npp!k=0pnkk!.

    Ceci est absurde donc nécessairement npnp puis par symétrie np=np.
    On simplifie alors le terme npp! et l’on reprend le principe pour conclure à l’unicité.

 
Exercice 22  5012    Correction  

Soient n* et x. Montrer

k=0n|cos(kx)|2n+58.

Solution

Méthode: Il n’est pas possible d’exprimer simplement la somme. On minore celle-ci en employant l’inégalité |cos(t)|cos2(t).

Pour tout k0;n, on a cos(kx)[-1;1] et donc

|cos(kx)|cos2(kx).

En sommant ces inégalités, il vient

k=0n|cos(kx)|k=0ncos2(kx).

Méthode: On peut calculer la somme en second membre en linéarisant cos2(kx).

On sait cos(2a)=2cos2(a)-1 et donc cos2(kx)=12(1+cos(2kx)). On en déduit

k=0ncos2(kx)=12k=0n(1+cos(2kx))=n+12+12k=0ncos(2kx).

Cas: x0[π]. On a cos(2kx)=1 pour tout k0;n et donc

12k=0ncos(2kx)=n+12.

On a alors

k=0n|cos(kx)|n+12n+58

(ce que l’on peut aussi trouver par un calcul direct).

Cas: x0[π]. On peut calculer la somme des cos(2kx) comme cela a déjà été réalisé dans le sujet 2028 et l’on obtient

12k=0ncos(2kx)=12cos(nx)sin((n+1)x)sin(x).

On transforme l’expression en employant

sin(a)cos(b)=12(sin(a+b)+sin(a-b))

et on écrit

12k=0ncos(2kx)=sin((2n+1)x)+sin(x)4sin(x)=14sin((2n+1)x)sin(x)+14.

Étudions ensuite la fonction φ donnée par

φ(x)=sin((2n+1)x)sin(x)pour x0[π].

Celle-ci est π périodique et paire ce qui permet de limiter son étude sur ]0;π/2].

Soit x]0;π/2]. Si xπ/(2n+1), la valeur φ(x) est positive. Sinon, on a

sin(x)sin(π2n+1)

et l’inégalité sin((2n+1)x)-1 entraîne

φ(x)=sin((2n+1)x)sin(x)-1sin(x)-1sin(π2n+1).

On en déduit

12k=0ncos(2kx)14(1-1sin(π2n+1))

puis

k=0n|cos(kx)|n+12+14(1-1sin(π2n+1)).

Enfin, en employant l’inégalité

sin(x)2πxpour tout x[0;π/2]

on conclut

k=0n|cos(kx)|2n+58.
 
Exercice 23  4429    

Soit n*. Vérifier

k=1n(-1)k-1k(nk)=k=1n1k.

[<] Sommes[>] Sommes doubles

 
Exercice 24  2071  Correction  

Calculer, pour tout q, la somme k=0nq2k.

Solution

Si q21 alors k=0nq2k=q2n+2-1q2-1 (somme géométrique de raison q2)
Si q2=1 alors k=0nq2k=n+1.

 
Exercice 25  2070  Correction  

Calculer, pour tout θ, la somme k=0neikθ.

Solution

Si θ0[2π] alors

k=0neikθ=ei(n+1)θ-1eiθ-1

(somme géométrique de raison eiθ1)
Si θ=0[2π] alors

k=0neikθ=k=0n1=n+1.
 
Exercice 26  2072  

Pour x un réel différent de 1 et n un entier naturel, on pose

Sn=k=0nkxk.
  • (a)

    Déterminer la valeur de Sn en calculant xSn-Sn.

  • (b)

    Retrouver la valeur de Sn en dérivant la fonction x1+x++xn.

 
Exercice 27  2053    Correction  

Soit n. Résoudre, lorsqu’elle a un sens, l’équation:

k=0ncos(kx)cosk(x)=0.

Solution

L’équation a un sens pour xπ/2[π]. En exploitant cos(kx)=Re(eikx), on peut écrire

k=0ncos(kx)cosk(x)=Re(k=0neikxcosk(x))

ce qui apparaît comme une somme géométrique.
Si x0[π] alors q=eixcos(x)1 et

k=0neikxcosk(x)=1cosn(x)cosn+1(x)-ei(n+1)xcos(x)-eix.

Il reste à en déterminer la partie réelle. Puisque

k=0neikxcosk(x)=1cosn(x)cosn+1(x)-cos(n+1)x-isin(n+1)x-isin(x)

on obtient

k=0ncos(kx)cosk(x)=sin(n+1)xsin(x)(cos(x))n.

Alors, pour les x considérés

k=0ncos(kx)cosk(x)=0 sin(n+1)x=0
x0[πn+1].

Si x0[π] alors x n’est pas solution car

k=0ncos(kx)cosk(x)=n+1.

Finalement, les solutions sont les

kπn+1

avec k, k non mutiple de n+1 et non multiple impaire de (n+1)/2 (lorsque n est impair et afin de tenir compte de la condition xπ/2[π].)

[<] Sommes géométriques[>] Produits

 
Exercice 28  2073  Correction  

À partir des valeurs connues de k=1nk, k=1nk2 et k=1nk3, calculer:

  • (a)

    1i,jn(i+j)2

  • (b)

    1i<jnij

Solution

  • (a)

    On développe

    1i,jn(i+j)2=i=1nj=1n(i2+2ij+j2)

    puis

    1i,jn(i+j)2=ni=1ni2+2i=1nj=1nij+nj=1nj2=n2(n+1)(7n+5)6.
  • (b)

    Il s’agit d’une somme triangulaire

    1i<jnij=i=1n-1j=i+1nij=i=1n-1(ij=i+1nj)

    puis

    1i<jnij=i=1n-1in+i+12(n-i)=n(n-1)(n+1)(3n+2)24.
 
Exercice 29  2074   Correction  

Soit n*. Calculer Cn=1p<qn(p+q) en remarquant

1p,qnp+q=2Cn+2p=1np.

Solution

Après réorganisation des termes

1p,qnp+q=2Cn+2p=1np.

Or

2p=1np=n(n+1)

et

p=1nq=1np+q=n2(n+1)

d’où

Cn=(n-1)n(n+1)2.
 
Exercice 30  4422    

Soit n*. Calculer

1i,jnmin(i,j).

[<] Sommes doubles[>] Nombres factoriels

 
Exercice 31  2075  Correction  

Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies?

  • (a)

    i=1n(αai)=αi=1nai

  • (b)

    i=1n(aibi)=i=1naii=1nbi

  • (c)

    i=1n(ai+bi)=i=1nai+i=1nbi.

Solution

Seule la formule (b) est correcte.

 
Exercice 32  4416  

Soit n*. Calculer les produits suivants:

  • (a)

    k=1nqk  avec q

  • (b)

    k=1n(1+1k).

 
Exercice 33  3498  Correction  

Pour n*, simplifier

k=1n2k+32k-1.

Solution

Pour n2, on a

k=1n2k+32k-1=(2n+3)(2n+1)(2n-1)××5(2n-1)(2n-3)××5×3×1

puis après simplification

k=1n2k+32k-1=(2n+3)(2n+1)3

et pour n=1

k=1n2k+32k-1=5

ce qui rend la formule précédente encore valable.

 
Exercice 34  2077   Correction  

On désire calculer le produit

P(x)=0kncos(2kx)

pour tout x.

  • (a)

    Commencer par traiter le cas x0[π].

  • (b)

    Pour x0[π], simplifier sin(x)P(x) et exprimer P(x).

Solution

  • (a)

    Cas: x0[2π]. Tous les facteurs sont égaux à 1 donc P(x)=1.

    Cas: xπ[2π]. Tous les facteurs sont égaux à 1 sauf le premier qui vaut -1. On a donc P(x)=-1.

  • (b)

    En exploitant successivement la formule sin(2a)=2sin(a)cos(a)

    sin(x)P(x)=sin(x).cos(x).cos(2x)cos(2nx)=12n+1sin(2n+1x)

    donc

    P(x)=sin(2n+1x)2n+1sin(x).
 
Exercice 35  2078  

Soit a. Pour n, on pose

Pn=k=0n(1+a2k).
  • (a)

    Calculer Pn lorsque a=1.

  • (b)

    On suppose a1. Donner la valeur de Pn en calculant (1-a)Pn.

 
Exercice 36  4428   

Soient n*, a1,,an des réels positifs et sn=a1++an leur somme.

Vérifier

k=1n(1+ak)k=0nsnkk!.
 
Exercice 37  4964      X (PC)

Soit A une partie finie de telle que l’application zz2 réalise une bijection11 1 A={0,1,j,j2} avec j=e2iπ/3 est un exemple parmi d’autres d’ensemble de cette forme. de A vers A. Montrer

aA(1+a)=1 ou 2.

[<] Produits[>] Coefficients binomiaux

 
Exercice 38  4417  

Soit n. Exprimer à l’aide de nombres factoriels les produits suivants:

  • (a)

    2×4×6××(2n)

  • (b)

    1×3×5××(2n+1).

 
Exercice 39  2080   

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,

k=1n(4k-2)=k=1n(n+k).
 
Exercice 40  4423   

Soit n*. Exprimer à l’aide de nombres factoriels le produit

k=1n(1-14k2).

[<] Nombres factoriels[>] Formule du binôme de Newton

 
Exercice 41  2081  

Soit n*.

  • (a)

    Vérifier que pour tout entier p compris entre 1 et n,

    (np)=np(n-1p-1).
  • (b)

    En déduire la valeur de

    p=1np(np).
 
Exercice 42  2086   

Pour tous n, p et q entiers naturels, calculer la somme

k=p+1q(n+kk).
 
Exercice 43  5168   

(Formule de Chu-Vandermonde)

Soient n, p et q trois entiers naturels vérifiant np+q.

Proposer une preuve combinatoire de la formule de Chu-Vandermonde11 1 Voir aussi le sujet 2085.

k=0n(pk)(qn-k)=(p+qn).
 
Exercice 44  2087   Correction  

Calculer pour n,p*, la somme

i=0n(j=1p(i+j)).

Solution

On commence par exprimer le produit comme un rapport de nombres factoriels

i=0n(j=1p(i+j))=i=0n(i+p)!i!

puis on introduit un coefficient du binôme

i=0n(j=1p(i+j))=p!i=0n(i+pi).

La somme introduite peut être calculée grâce à la formule de Pascal

i=0n(j=1p(i+j))=p!(p+n+1n)=(p+n+1)!(p+1)n!.
 
Exercice 45  2091   

Calculer

Sn=k=0n(-1)k(2n+1k).
 
Exercice 46  2090   Correction  

Montrer que pour tout n*

k=1n(-1)k+1k(nk)=k=1n1k.

Solution

Par récurrence sur n1.

Pour n=1, l’égalité est vraie.

Supposons la propriété vérifiée au rang n1.

On écrit

k=1n+1(-1)k+1k(n+1k)=k=1n(-1)k+1k(nk)+k=1n+1(-1)k+1k(nk-1).

Or

k=1n+1(-1)k+1k(nk-1)=k=1n+1(-1)k+1n+1(n+1k)=1n+1-(1-1)n+1n+1=1n+1

donc

k=1n+1(-1)k+1k(n+1k)=k=1n+11k.

La récurrence est établie.

On peut aussi aquérir l’identité par un calcul intégral sachant

01(1-t)n-1tdt=u=1-t011-un1-udu

Il suffit alors de développement le premier membre par la formule du binôme de Newton et le second par sommation géométrique.

 
Exercice 47  3688   Correction  

Soient n*.

  • (a)

    Justifier

    1kn,(nk)=n-k+1k(nk-1).
  • (b)

    En déduire que pour tout entier k vérifiant 1kn/2

    (nk-1)<(nk)

    et pour tout entier k vérifiant n/2kn-1

    (nk+1)<(nk).
  • (c)

    Comment interpréter simplement les inégalités qui viennent d’être obtenues?

Solution

  • (a)

    On peut écrire

    n!k!(n-k)!=(n-k+1)kn!(k-1)!(n-k+1)!

    ce qui donne directement la relation soumise.

  • (b)

    Si 1kn/2 alors 2k<n+1 et donc n-k+1>k puis

    (nk)=n-k+1k(nk-1)>(nk-1).

    La deuxième inégalité s’en déduit par la relation de symétrie

    (nk)=(nn-k).
  • (c)

    Pour n fixé, la suite finie des coefficients binomiaux croît puis décroît en étant extrémale en son milieu.

 
Exercice 48  4427   

Soit n*.

  • (a)

    Vérifier que pour tout entier k compris entre 1 et n,

    (nk)=n-k+1k(nk-1).
  • (b)

    En déduire que

    (nk-1)<(nk)  si 1kn2
    (nk+1)<(nk)  si n2kn-1.
  • (c)

    Application: Montrer

    (2nn)4n2n+1.

[<] Coefficients binomiaux

 
Exercice 49  4418  

Soit n. Calculer

k=0n2k(nk).
 
Exercice 50  2083  

Soit n*.

  • (a)

    Calculer

    k=0n(nk)etk=0n(-1)k(nk).
  • (b)

    En déduire les valeurs de

    An=p=0n2(n2p)etBn=p=0(n-1)2(n2p+1).
 
Exercice 51  4424  

Soit n. En considérant la fonction f:x(1+x)n, calculer

k=1nk(nk)etk=1nk2(nk).
 
Exercice 52  2088  Correction  

Développer (a+b+c)n.

Solution

Par la formule du binôme de Newton,

(a+b+c)n =k=0nan-k(b+c)k
=k=0n=0k(nk)(k)an-kbk-c

avec

(nk)(k)=n!(n-k)!(k-)!!.

On peut aussi exprimer

(a+b+c)n=i+j+k=nn!i!j!k!aibjck.
 
Exercice 53  4426   

Soit n avec n2. Calculer

A=p=0n3(n3p),B=p=0n-13(n3p+1)etC=p=0n-23(n3p+2).
 
Exercice 54  2085   

(Formule de Chu-Vandermonde)

Soient n, p et q trois entiers naturels vérifiant np+q.

En développant de deux manières (1+x)p+q, établir

k=0n(pk)(qn-k)=(p+qn).
 
Exercice 55  4425   

Soit n. Calculer

k=0n(nk)2etk=0n(-1)k(nk)2.
 
Exercice 56  2089   Correction  
  • (a)

    Soit n. Calculer

    k=0n(-1)k(nk).
  • (b)

    Soient k,,n tels que kn. Comparer

    (nk)(k)et(n)(n-k-).
  • (c)

    Soit (xn) une suite de réels. On pose

    k,yk==0k(k)x.

    Montrer que

    n,xn=k=0n(-1)n-k(nk)yk.

Solution

  • (a)

    Par la formule du binôme

    k=0n(-1)k(nk)=(1+(-1))n={1 si n=00 sinon.
  • (b)

    On a

    (nk)(kell)=n!k!(n-k)!k!!(k-)!=n!!(n-)!(n-)!(n-k)!(k-)!=(nell)(n-k-).
  • (c)

    On a

    k=0n(-1)n-k(nk)yk=k=0n=0k(-1)n-k(nk)(k)x==0nxk=n(-1)n-k(nk)(k).

    Or

    k=n(-1)n-k(nk)(k)=(-1)n-(n)k=n(-1)k-(n-k-)

    avec

    k=n(-1)k-(n-k-)={1 si =n0 sinon.

    Par suite,

    k=0n(-1)n-k(nk)yk=xn.


Édité le 08-11-2019

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