[>] Les nombres réels

 
Exercice 1  2092  

Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

 
Exercice 2  2093  Correction  

Montrer que 2 n’est pas un nombre rationnel

Solution

Par l’absurde supposons 2.
On peut alors écrire 2=p/q avec p,q* et, quitte à simplifier, p et q non tous les deux pairs.
On a alors 2q2=p2.
p est alors nécessairement pair car p2 est pair. Cela permet d’écrire p=2k avec k puis q2=2k2.
Mais alors q est pair. Par suite, p et q sont tous les deux pairs.
Absurde.

 
Exercice 3  2094  

Simplifier (22)2.

En déduire l’existence d’un nombre rationnel pouvant s’écrire ab avec a et b deux nombres irrationnels strictement positifs.

 
Exercice 4  2095   Correction  

Soit f: telle que

(x,y)2,f(x+y)=f(x)+f(y).
  • (a)

    On suppose f constante égale C quelle est la valeur de C?
    On revient au cas général.

  • (b)

    Calculer f(0).

  • (c)

    Montrer que f(-x)=-f(x) pour tout x.

  • (d)

    Établir que f(nx)=nf(x) pour tous n et x, et généraliser cette propriété à n.

  • (e)

    On pose a=f(1). Montrer que f(x)=ax pour tout x.

Solution

  • (a)

    La relation f(x+y)=f(x)+f(y) avec f constante égale à C donne C=C+C d’où C=0.

  • (b)

    Pour x=y=0, la relation f(x+y)=f(x)+f(y) implique f(0)=0.

  • (c)

    Pour y=-x, la relation f(x+y)=f(x)+f(y) donne 0=f(-x)+f(x) d’où f(-x)=-f(x).

  • (d)

    Par récurrence:

    n,x,f(nx)=nf(x).

    Pour n-,n=-p avec p et

    f(nx)=f(-px)=-f(px)=-pf(x)=nf(x).
  • (e)

    On peut écrire x=p/q avec p et q*.

    f(x)=f(p×1q)=pf(1q)

    or

    a=f(1)=f(q×1q)=qf(1q)

    donc

    f(1q)=aq

    puis

    f(x)=apq=ax.
 
Exercice 5  2475      CENTRALE (MP)

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que

Hn=k=1n1k

n’est pas un nombre entier.

 
Exercice 6  2647     MINES (MP)

Soit n un entier naturel.

  • (a)

    Montrer l’existence et l’unicité de nombres entiers an et bn vérifiant

    (1+2)n=an+bn2.
  • (b)

    Calculer an2-2bn2.

  • (c)

    Montrer qu’il existe un unique p* tel que

    (1+2)n=p+p-1.
 
Exercice 7  1975   

(Irrationalité de π)

On veut montrer que π est un nombre irrationnel. On raisonne par l’absurde et l’on suppose qu’il est possible d’écrire π=a/b avec a,b*. Pour n, on introduit alors

Pn=1n!Xn(bX-a)netIn=0πPn(t)sin(t)dt.
  • (a)

    Montrer que Pn et ses polynômes dérivés à tout ordre prennent des valeurs entières en 0.

  • (b)

    Établir la même propriété en π=a/b.

  • (c)

    Montrer que la suite (In) tend vers 0.

  • (d)

    Conclure en observant que In est un nombre entier.

 
Exercice 8  3668   Correction  

(Irrationalité de er pour rQ*)

  • (a)

    Pour a,b*, montrer que la fonction polynomiale

    Pn(x)=1n!xn(bx-a)n

    et ses dérivées successives prennent en x=0 des valeurs entières.

  • (b)

    Établir la même propriété en x=a/b

  • (c)

    On pose r=a/b et pour n*

    In=0rPn(t)etdt.

    Montrer que In0.

  • (d)

    En supposant er=p/q avec p,q*, montrer que qIn. Conclure.

Solution

  • (a)

    0 est racine de multiplicité n de Pn donc

    m<n,Pn(m)(0)=0.

    Le polynôme Pn est de degré 2n donc Pn(m)=0 pour tout m>2n et ainsi

    m>2n,Pn(m)(0)=0.

    Reste à traiter le cas nm2n. En développant par la formule du binôme

    Pn(x)=k=0n1n!(nk)(-a)n-kbkxn+k.

    Puisque Pn(m)(0) est donné par la dérivation du terme xm, on obtient

    Pn(m)(0)=1n!(nm-n)(-a)2n-mbm-nm!.
  • (b)

    On remarque

    x,Pn(a/b-x)=Pn(x)

    donc

    m,Pn(m)(a/b)=(-1)mPn(m)(0).
  • (c)

    On a

    |In-0|=1n!|0rtn(bt-a)netdt|1n!rn+1(br+a)nn+0.
  • (d)

    Par intégration par parties

    In=[Pn(t)et]0r-0rPn(t)etdt

    et en répétant l’opération

    In=[m=02n(-1)mPn(m)(t)et]0r.

    On en déduit

    qIn=m=02n(-1)m(Pn(m)(r)p-Pnm(0)q).

    Or sur [0;r] la fonction tPn(t)et est continue, positive sans être nulle et 0<r donc In>0.
    Ainsi, qIn0, qIn>0 et qIn: c’est absurde.
    Notons que l’on en déduit immédiatement l’irrationalité de ln(r) pour r+*{1}.

 
Exercice 9  4972     X (PC)

Montrer11 1 Pour x0, x3 désigne la racine cubique de x, c’est-à-dire l’unique réel dont le cube vaut x. que 2+33 est un nombre irrationnel.

 
Exercice 10  5272  

Soit a un réel.

  • (a)

    Étudier la limite de la suite de terme général 1nna (avec n*).

  • (b)

    En déduire que tout réel est limite d’une suite de nombres rationnels et d’une suite de nombres irrationnels

 
Exercice 11  5009   

Montrer que tout intervalle ouvert non vide de rencontre11 1 Autrement dit, les intervalles ouverts non vides contiennent des nombres rationnels et des nombres irrationnels. et .

 
Exercice 12  4907    

(Approximation de Dirichlet)

Soit x un nombre irrationnel.

Montrer qu’il existe une infinité de couples (p,q)×* vérifiant

|x-pq|1q2.
 
Exercice 13  5024    

Résoudre l’équation ab+bc+ca=abc d’inconnue (a,b,c)3.

[<] Rationnels et irrationnels[>] Inégalités

 
Exercice 14  2098   

Soit a[1;+[. Simplifier

a+2a-1+a-2a-1.
 
Exercice 15  2099   Correction  

Soit f: une application telle que:

(x,y)2, f(x+y)=f(x)+f(y);
(x,y)2, f(xy)=f(x)f(y);
x, f(x)0.
  • (a)

    Calculer f(0), f(1) et f(-1).

  • (b)

    Déterminer f(x) pour x puis pour x.

  • (c)

    Démontrer que x0,f(x)0. En déduire que f est croissante.

  • (d)

    Conclure que f=Id.

Solution

  • (a)

    f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) donc f(0)=0.

    x,f(x)=f(1.x)=f(1)f(x).

    Comme f est non nulle, on a f(1)=1.
    f(1)+f(-1)=f(0)=0 donc f(-1)=-1.

  • (b)

    Par récurrence sur n: f(n)=n.

    De plus,

    f(-n)=f((-1)×n)=f(-1)×f(n)=-f(n)=-n

    donc

    x,f(x)=x.

    Pour x, x=pq avec p,q*,

    f(x)=f(p×1q)=f(p)×f(1q).

    Or f(p)=p et

    1=f(1)=f(q×1q)=f(q)×f(1q)=q×f(1q)

    donc f(1q)=1q. Par suite, f(x)=x.

  • (c)
    x0,f(x)=f(xx)=(f(x))20.

    Pour x,y, si xy alors

    f(y)=f(x+y-x)=f(x)+f(y-x)f(x).

    Ainsi f est croissante.

  • (d)

    Pour x et n:

    (nx)nx<(nx)+1n.

    Comme f est croissante:

    f((nx)n)f(x)<f((nx)+1n)

    puis

    (nx)nf(x)<(nx)+1n.

    À la limite, quand n+, on obtient xf(x)x c’est-à-dire f(x)=x.

    Finalement, f=Id.

 
Exercice 16  4906   

(Fonctions additives croissantes)

Soit f: une fonction croissante vérifiant

f(x+y)=f(x)+f(y)pour tout (x,y)2. (1)

Montrer qu’il existe un réel a0 tel que11 1 On dit alors que la fonction f est linéaire. f(x)=ax pour tout réel x.

 
Exercice 17  3404   

Soient n* et x1,,xn des réels. On suppose

{x1++xn=nx12++xn2=n.

Montrer que les réels x1,,xn sont tous égaux à 1.

[<] Les nombres réels[>] Partie entière

 
Exercice 18  4897  

(Inégalité triangulaire renversée)

Pour tous réels x et y, montrer l’inégalité

||y|-|x|||y-x|.
 
Exercice 19  3983  

Vérifier:

  • (a)

    x(1-x)14 pour tout réel x.

  • (b)

    xln(x)-1e pour tout x>0.

 
Exercice 20  3643  Correction  

Soient x,y[0;1]. Montrer

x2+y2-xy1.

Solution

Sachant x2x et y2y, on a

x2+y2-xy-1x+y-xy-1=(x-1)(1-y)0.
 
Exercice 21  2096  

Vérifier11 1 Cette inégalité sera souvent utilisée dans la suite. que pour tous réels a et b,

ab12(a2+b2).

En déduire que pour tout x>0,

x+1x2.
 
Exercice 22  2097  

Montrer que pour tous a, b et c réels,

ab+bc+caa2+b2+c2.
 
Exercice 23  3224  Correction  

Montrer

(u,v)+, 1+uv1+u1+v.

Solution

Compte tenu de la positivité des membres, le problème revient à établir

(1+uv)2(1+u)(1+v)

soit encore

2uvu+v

ce qui découle directement de la propriété

(u-v)20.
 
Exercice 24  4017   

Soient x et y deux réels de l’intervalle [0;1]. Montrer

min{xy,(1-x)(1-y)}14.
 
Exercice 25  4902   

(Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Soient n*, a1,,an et b1,,bn.

Montrer

|k=1nakbk|(k=1nak2)1/2(k=1nbk2)1/2.

On pourra étudier le signe de la fonction φ:λk=1n(λak+bk)2.

 
Exercice 26  2114   

Soient n* et x1,,xn+*.

Montrer

(x1++xn)(1x1++1xn)n2.

Préciser les cas d’égalité.

 
Exercice 27  3405   

Soient n*, a1,,an et b1,,bn avec a1an et b1bn.

Établir

(1nk=1nak)(1nk=1nbk)1nk=1nakbk.
 
Exercice 28  5021    

Soient n avec n2, a1,,an et b1,,bn+*.

Montrer

min{a1b1,,anbn}a1++anb1++bnmax{a1b1,,anbn}.
 
Exercice 29  1733   Correction  

Déterminer tous les couples (α,β)(+*)2 pour lesquels il existe M tel que

x,y>0,xαyβM(x+y).

Solution

Soit (α,β) solution. Considérons

f(x,y)=xαyβx+y

sur (+*)2.
On a

f(x,x)=xα+β2x

f bornée implique α+β=1.
Inversement, supposons α+β=1.
Si yx alors

0f(x,y)=xαy1-αx+yyx+y(xy)α1.

Si xy alors idem.

[<] Inégalités[>] Les nombres complexes

 
Exercice 30  2100  

Montrer que la fonction partie entière est croissante.

 
Exercice 31  2105  Correction  

Soit ab. Établir

Card([a;b])=b+1-a.

Solution

Si a alors [a;b]={a+1,a+2,,b} donc

Card([a;b])=b-a.

Or

1-a=1+-a=-a

car a donc

Card([a;b])=b+1-a.

Si a alors [a;b]={a,a+1,,b} donc

Card([a;b])=b-a+1=b+1-a

car 1-a.

 
Exercice 32  2101  

Montrer que pour tous x et y réels,

x+yx+yx+y+1.
 
Exercice 33  2102   Correction  

Montrer

x,y,x+x+y+y2x+2y.

Solution

Si xx<x+1/2 et yy<y+1/2 alors

x+y=x+y,
2x=2x et
2y=2y

puis relation voulue.

Si x+1/2x<x+1 et yy<y+1/2 alors

x+yx+y+1,
2x=2x+1 et
2y=2y

puis la relation voulue.

Si xx<x+1/2 et y+1/2y<y+1: c’est analogue.

Si x+1/2x<x+1 et y+1/2y<y+1 alors

x+yx+y+2,
2x=2x+1 et
2y=2y+1

puis la relation voulue.

Dans tous les cas la relation proposée est vérifiée.

 
Exercice 34  2103   

Soient n* et x. Montrer

nxn=x.
 
Exercice 35  5333   Correction  

Soient x et p,q*. Montrer

1pxq=xpq.

Solution

D’une part,

1pxq1pxq1pxq=xpq

et donc

1pxqxpq car 1pxq.

D’autre part,

pxpqpxpq=xq

et donc

pxpqxq car pxpq.

On en déduit

xpq1pxq

puis

xpq1pxq car xpq.

Par double inégalité, on peut conclure.

 
Exercice 36  2104   Correction  

Montrer que

x,n*,k=0n-1x+kn=nx.

Solution

Posons m=nx et réalisons la division euclidienne de m par n: m=nq+r avec 0rn-1.
On a nq+rnx<nq+r+1 donc pour tout k{0,,n-1}:

q+k+rnx+kn<q+k+r+1n.

Si k+r<n alors x+kn=q et si k+rn alors x+kn=q+1.
Par suite,

k=0n-1x+kn=k=0n-r-1x+kn+k=n-rn-1x+kn=nq+r=m=nx.
 
Exercice 37  2106   Correction  

Soit n*.

  • (a)

    Montrer qu’il existe (an,bn)(*)2 tel que

    (2+3)n=an+bn3et3bn2=an2-1.
  • (b)

    Montrer que la partie entière de (2+3)n est un entier impair.

Solution

  • (a)

    Par récurrence sur n*.
    Pour n=1, a1=2 et b1=1 conviennent.
    Supposons la propriété établie au rang n1.

    (2+3)n+1=(2+3)(an+bn3)=an+1+bn+13

    avec an+1=2an+3bn et bn+1=an+2bn de sorte que

    3bn+12-an+12=-an2+3bn2=-1.

    Récurrence établie.

  • (b)

    an-1bn3<an donc 2an-1(2+3)n<2an donc

    (2+3)n=2an-1.

    C’est un entier impair.

 
Exercice 38  3416    

Vérifier que pour tout n entier naturel,

n+n+1=4n+2.

[<] Partie entière[>] Le plan complexe

 
Exercice 39  2025  

Vérifier que pour tout z𝕌{i}, le nombre complexe Z=z+iiz+1 est réel.

 
Exercice 40  3651  Correction  

Soient a,b,z trois complexes de module 1 deux à deux distincts. Démontrer

ba(z-az-b)2+*.

Solution

Rappelons que si u est un complexe de module alors 1/u=u¯.
On a alors

(z-a)2=(z-a)(1z¯-1a¯)=(z-a)(a¯-z¯)a¯z¯=-a|z-a|2z¯

donc

ba(z-az-b)2=|z-a|2|z-b|2+*.
 
Exercice 41  2026   

Soient P={z|Im(z)>0} et f:P l’application définie par

f(z)=z-iz+i.
  • (a)

    Montrer que f prend ses valeurs dans D={z||z|<1}.

  • (b)

    Vérifier que tout élément de D possède un unique antécédent par f.

 
Exercice 42  3880     MINES (MP)Correction  

Soient a,b,c des réels strictement positifs.
À quelle condition existe-t-il des complexes t,u,v de somme nulle vérifiant

tt¯=a2,uu¯=b2 et vv¯=c2.

Solution

En multipliant les trois complexes t,u,v par eiθ, on peut former un nouveau triplet solution à partir d’un premier. Sans perte de généralité, on peut donc supposer t+ auquel cas t=a.
En écrivant u=x+iy et v=x+iy avec x,x,y,y, la condition t+u+v=0 donne

{x=-(a+x)y=-y

et les deux conditions uu¯=b2 et vv¯=c2 équivalent alors au système

{x2+y2=b2(x+a)2+y2=c2.

Ce système possède une solution si, et seulement si, le cercle de centre O et de rayon b coupe le cercle de centre Ω(-a,0) et de rayon c. Ces deux cercles se coupent si, et seulement si,

|b-c|ab+c.

On peut alors conclure que le triplet (t,u,v) existe si, et seulement si, chacun des paramètres a,b,c est inférieur à la somme des deux autres.

 
Exercice 43  3107      X (PSI)Correction  

Soit B une partie bornée non vide de .
On suppose que si zB alors 1-z+z2B et 1+z+z2B.
Déterminer B.

Solution

On observe que B={i,-i} est solution. Montrons qu’il n’y en a pas d’autres…
Posons f: et g: définies par

f(z)=1-z+z2 et g(z)=1+z+z2.

On remarque

|f(z)-i|=|z+i||z-(1+i)|,|f(z)+i|=|z-i||z-(1-i)|.
|g(z)-i|=|z-i||z+1+i| et |g(z)+i|=|z+i||z+1-i|.

Soient aB et (zn)n0 la suite d’éléments de B définie par z0=a et pour tout n

zn+1={f(zn) si Re(zn)0g(zn) si Re(zn)>0.

Posons enfin

un=|zn2+1|=|zn-i||zn+i|.

Si Re(zn)0 alors

un+1=|f(zn)-i||f(zn)+i|=un|zn-(1+i)||zn-(1-i)|.

Selon le signe de la partie imaginaire de zn, l’un au moins des deux modules |zn-(1+i)| et |zn-(1-i)| est supérieur à 2 alors que l’autre est supérieur à 1.
Ainsi,

un+12un.

Si Re(zn)>0, on obtient le même résultat.
On en déduit que si u00 alors la suite (un) n’est pas bornée. Or la partie B est bornée donc u0=0 puis a=±i. Ainsi, B{i,-i}.
Sachant B et sachant que l’appartenance de i entraîne celle de -i et inversement, on peut conclure

B={i,-i}.
 
Exercice 44  4890    

(Noyaux de Dirichlet et de Fejér)

Soient n et x un réel.

  • (a)

    Exprimer simplement

    Dn(x)=k=-nneikxetFn(x)=1nk=0n-1Dk(x) (pour n0).
  • (b)

    Vérifier

    Fn(x)=k=-nn(1-|k|n)eikx.

[<] Les nombres complexes[>] Module et argument

 
Exercice 45  2027  Correction  
  • (a)

    Déterminer le lieu des points M d’affixe z qui sont alignés avec I d’affixe i et M d’affixe iz.

  • (b)

    Déterminer de plus le lieu des points M correspondant.

Solution

  • (a)

    M=I est solution.
    Pour MI, I,M,M sont alignés si, et seulement si, il existe λ tel que IM=λIM c’est-à-dire iz-iz-i.
    Posons x=Re(z) et y=Im(z). Im(iz-iz-i)=0x(x-1)+y(y-1)=0(x-12)2+(y-12)2=12.

    Finalement, le lieu des points M solutions est le cercle de centre Ω|1/21/2 et de rayon 1/2.

  • (b)

    Le point M est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle π/2.
    Le lieu des points M est donc le cercle de centre Ω|-1/21/2 et de rayon 1/2

 
Exercice 46  2050  Correction  

Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que

z+z¯=|z|.

Solution

Soit M(z) solution avec z=a+ib et a,b.
On a 2a=a2+b2 donc a0 et b=±3a.
Ainsi M se situe sur les demi-droites d’origine O dirigée par les vecteurs

u(13)etv(1-3).

Inversement: ok.

 
Exercice 47  4882  

Décrire l’ensemble des

Z=z-1z+1pour z parcourant 𝕌{-1}.
 
Exercice 48  3040    X (MP)Correction  

Décrire l’ensemble des

Z=11-zpour z parcourant 𝕌{1}.

Solution

Soit z un complexe du cercle unité avec z1. Il existe θ]0;2π[ tel que z=eiθ. On a alors

Z=11-eiθ=e-iθ/2i2sin(θ)/2=12+12icot(θ2).

Quand θ parcourt ]0;2π[ (ce qui revient à faire parcourir à z le cercle unité), l’expression cot(θ/2) prend toutes les valeurs de . L’image du cercle unité est donc la droite d’équation x=1/2.

 
Exercice 49  5013   

Soient A,B,C trois points distincts du plan géométrique d’affixes respectives a,b,c.

  • (a)

    Montrer que le triangle (ABC) est équilatéral si, et seulement si,

    c-ab-a=-jouc-ab-a=-j2.
  • (b)

    En déduire que le triangle (ABC) est équilatéral si, et seulement si,

    a2+b2+c2=ab+bc+ca.
 
Exercice 50  3458   

Soient z0 et r>0 tels que |z0|r. On note 𝒞 le cercle dans de centre z0 et de rayon r.

  • (a)

    Pour z, montrer

    z𝒞|z|2-2Re(z¯z0)+|z0|2=r2.
  • (b)

    En déduire que l’ensemble des valeurs prises par l’application f:z1/z sur 𝒞 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon en fonction de z0 et r.

 
Exercice 51  4891    

(Théorème de l’angle au centre)

Soient M,A,B trois points distincts du plan géométrique d’affixes respectives z,a,b.

  • (a)

    Donner l’interprétation d’un argument du nombre complexe Z=z-bz-a.

On suppose que A et B sont deux points d’un cercle 𝒞 de centre O. On note θ une mesure de l’angle entre les vecteurs OA et OB et φ une mesure de l’angle11 1 On dit que θ mesure l’angle au centre et φ l’angle inscrit. entre les vecteurs MA et MB

  • (b)

    Montrer que M appartient au cercle 𝒞 si, et seulement si, 2φθ[2π].

[<] Le plan complexe[>] Racines de l'unité

 
Exercice 52  4876  

Déterminer le module et un argument de z=3+i1-i.

 
Exercice 53  2030  Correction  

Déterminer module et argument de

z=2+2+i2-2.

Solution

|z|2=2+2+2-2=4 donc |z|=2.
Posons θ un argument de z que l’on peut choisir dans [0;π/2] car Re(z),Im(z)0.
On a cos(θ)=122+2 donc

cos(2θ)=2cos2(θ)-1=12(2+2)-1=22

avec 2θ[0;π] donc 2θ=π/4 puis θ=π/8.

 
Exercice 54  4881  

Déterminer le module et un argument de z=1+3+i(1-3).

 
Exercice 55  2033   

Soit θ. Déterminer le module et un argument du nombre complexe z=eiθ+1.

 
Exercice 56  2035   Correction  

Déterminer le module et un argument de eiθ+eiθ pour θ,θ.

Solution

On peut factoriser

eiθ+eiθ=eiθ+θ2(eiθ-θ2+e-iθ-θ2)=2cos(θ-θ2)eiθ+θ2

ce qui permet de préciser module et argument en discutant selon le signe de cos(θ-θ2).

 
Exercice 57  2052  Correction  

Résoudre l’équation |z+1|=|z|+1 d’inconnue z.

Solution

On a |z+1|2=|z|2+2Re(z)+1 et (|z|+1)2=|z|2+2|z|+1 donc

|z+1|=|z|+1 Re(z)=|z|
z+.
 
Exercice 58  2031   Correction  

Soient z* et z. Montrer

|z+z|=|z|+|z|λ+,z=λ.z.

Solution

() ok
() Si |z+z|=|z|+|z| alors, en divisant par |z|: |1+x|=1+|x| avec x=z/z.
Écrivons x=a+ib avec a,b.

|1+x|2=(a+1)2+b2=1+a2+b2+2a

et

(1+|x|)2=(1+a2+b2)2=1+a2+b2+2a2+b2

|1+x|=1+|x| donne alors a=a2+b2 d’où b=0 et a0.
Par suite, x+ et l’on conclut.

 
Exercice 59  4894   

Soient z1,,zn des nombres complexes. À quelle condition simple a-t-on

|z1++zn|=|z1|++|zn|?
 
Exercice 60  55   Correction  

Soit a tel que |a|<1.
Déterminer l’ensemble des complexes z tels que

|z-a1-a¯z|1.

Solution

Pour que la quantité soit définie il est nécessaire que z1/a¯.
Si tel est le cas

|z-a1-a¯z|1|z-a|2|1-a¯z|2.

Sachant |x+y|2=|x|2+2Re(x¯y)+|y|2, on obtient

|z-a1-a¯z|1(|a|2-1)(|z|2-1)0.

L’ensemble recherché est l’ensemble des complexes de module inférieur à 1.

 
Exercice 61  3249   Correction  

Soit f: définie par

f(z)=z+|z|2.

Déterminer les valeurs prises par f.

Solution

Soit z.
Si z- alors f(z)=0.
Sinon, on peut écrire z=reiθ avec r>0 et θ]-π;π[ et alors

f(z)=r1+eiθ2=rcos(θ2)eiθ/2.

Puisque cos(θ/2)0

|f(z)|=rcos(θ2)etarg(f(z))=θ2

donc

f(z){Z|Re(Z)>0}.

Inversement, soit Z tel que Re(Z)>0.
On peut écrire Z=Reiα avec R>0 et α]-π/2;π/2[. Pour

z=Rcos(α)e2iα

les calculs qui précèdent donnent

f(z)=Reiα=Z.

Finalement, les valeurs prises par f sont les complexes de parties réelles strictement positives ainsi que le complexe nul.

 
Exercice 62  4883  

(Identité du parallélogramme)

Vérifier pour tous a et b nombres complexes,

|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2.
 
Exercice 63  3642   Correction  
  • (a)

    Vérifier

    (z1,z2)2,|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.
  • (b)

    On suppose z1,z2 tels que |z1|1 et |z2|1. Montrer qu’il existe ε=1 ou -1 tel que

    |z1+εz2|2.

Solution

  • (a)

    En développant

    |z1+z2|2=(z1+z2)(z¯1+z¯2)=|z1|2+z1z¯2+z¯1z2+|z2|2

    et la relation écrire est alors immédiate.

  • (b)

    On a

    |z1+z2|2+|z1-z2|24

    donc parmi les quantités |z1+z2| et |z1-z2|, l’une au moins est de carré inférieur à 2.

[<] Module et argument[>] Équations algébriques

 
Exercice 64  2036  

Calculer la somme et le produit des racines n-ièmes de l’unité.

 
Exercice 65  2039  Correction  

Simplifier:

  • (a)

    j(j+1)

  • (b)

    jj2+1

  • (c)

    j+1j-1

(avec j=e2iπ/3).

Solution

  • (a)
    j(j+1)=j2+j=-1.
  • (b)
    jj2+1=j-j=-1.
  • (c)
    j+1j-1=(j+1)(j-1)¯(j-1)(j-1)¯=(j+1)(j2-1)(j-1)(j2-1)=j3+j2-j-1j3-j2-j+1=-1-2j3.
 
Exercice 66  2043   Correction  

Soit ω=ei2π7. Calculer les nombres:

A=ω+ω2+ω4etB=ω3+ω5+ω6.

Solution

On a

1+A+B=0,AB=2 et Im(A)>0

donc

A=B¯=-1+i72.
 
Exercice 67  2038  Correction  

Soit ω une racine n-ième de l’unité différente de 1. On pose

S=k=0n-1(k+1)ωk.

En calculant (1-ω)S, déterminer la valeur de S.

Solution

On a

(1-ω)S=k=0n-1(k+1)ωk-k=1nkωk=k=0n-1ωk-nωn=-n

donc

S=nω-1.
 
Exercice 68  4892   

Soient ω0,,ω2n les racines (2n+1)-ièmes de l’unité. Calculer

S=k=02n11+ωk.
 
Exercice 69  2037   Correction  

Soit n*. On note 𝕌n l’ensemble des racines n-ème de l’unité.

Calculer

zUn|z-1|.

Solution

Notons ωk=e2ikπn avec k. Par factorisation d’exponentielle équilibrée

|ωk-1|=2|sin(kπn)|.

Alors

z𝕌n|z-1| =k=0n-12sin(kπn)=2Im(k=0n-1eikπn)
=4Im(11-eiπ/n)=2cos(π2n)sin(π2n)=2cot(π2n).
 
Exercice 70  3353     X (PC)Correction  

Soient n3, ω1,,ωn les racines n-ième de l’unité avec ωn=1.

  • (a)

    Calculer pour p,

    Sp=i=1nωip.
  • (b)

    Calculer

    T=i=1n-111-ωi.

Solution

Quitte à réindexer, on peut supposer

k{1,,n},ωk=e2ikπ/n=ωk avec ω=e2iπ/n.
  • (a)

    Si n ne divise pas p alors, puisque ωp1

    Sp=k=1nωkp=ωp1-ωnp1-ωp=0.

    Si n divise p alors

    Sp=k=1nωkp=k=1n1=n.
  • (b)

    Pour 1kn-1, on a

    11-ωk=-e-ikπ/n12isin(kπn)=i2cot(kπn)+12.

    Puisque

    k=1n-1cot(kπn)==n-k=1n-1cot(π-πn)==1n-1-cot(πn)

    on a

    k=1n-1cot(kπn)=0

    puis

    T=(n-1)2.

    On peut aussi lier le calcul au précédent en écrivant

    11-ωi=p=0n-1ωip+ωin1-ωi.

    On peut aussi retrouver cette relation en considérant que T est la somme des racines d’un polynôme bien construit

    Pn=(X-1)n-Xn=-nXn-1+n(n-1)2Xn-2+
 
Exercice 71  2044   Correction  

Soient n, n2 et ω=exp(2iπ/n).

  • (a)

    Établir que pour tout z,z1,

    k=1n-1(z-ωk)==0n-1z.
  • (b)

    Justifier que l’égalité reste valable pour z=1.

  • (c)

    En déduire l’égalité

    k=1n-1sin(kπn)=n2n-1.

Solution

  • (a)

    Puisque les racines de l’équation zn-1 sont 1,ω,,ωn-1, on a

    zn-1=(z-1)k=1n-1(z-ωk).

    Or on a aussi zn-1=(z-1)(1+z++zn-1) d’où l’égalité proposée pour z1.

  • (b)

    Les fonctions xk=1n-1(x-ωk) et x=0n-1x sont définies et continues sur et coïncident sur {1}, elles coïncident donc aussi en 1 par passage à la limite.

  • (c)

    Pour z=1, l’égalité du a) donne k=1n-1(1-ωk)=n. Or par factorisation de l’exponentielle équilibrée,

    1-ωk=-eikπn2isin(kπn)

    et

    k=1n-1eikπn=eiπnk=1n-1k=in-1

    donc

    k=1n-1(1-ωk)=2n-1k=1n-1sin(kπn)

    puis la relation proposée.

 
Exercice 72  5293     ENSTIM (MP)Correction  

Pour n*, on note 𝕌n l’ensemble des racines n-ième de l’unité et l’on étudie l’application

f:{𝕌n𝕌nzz2.

Pour quels n*, l’application f est-elle bijective?

Solution

L’application f est un morphisme du groupe fini (𝕌n,×) vers lui-même. Celui-ci est bijectif si, et seulement si, son noyau est réduit à 1 c’est-à-dire si, et seulement si, -1 n’est pas élément de 𝕌n. L’application f est donc bijective si, et seulement si, l’entier n est impair.

[<] Racines de l'unité[>] Exponentielle complexe

 
Exercice 73  4879  

Résoudre dans les équations:

  • (a)

    z2-(5+3i)z+2+9i=0

  • (b)

    z4+(3-6i)z2-8-6i=0.

 
Exercice 74  2046  Correction  

Résoudre dans , les équations:

  • (a)

    z2-2iz-1+2i=0

  • (b)

    z4-(5-14i)z2-2(12+5i)=0.

Solution

  • (a)

    𝒮={1,-1+2i},

  • (b)

    𝒮={-1+i,-3+2i,1-i,3-2i}.

 
Exercice 75  4878  

Soit θ. Résoudre dans l’équation z2-2cos(θ)z+1=0.

 
Exercice 76  2045  Correction  

Pour quels a l’équation x3+2x2+2ax-a2=0 possède x=1 pour solution?
Quelles sont alors les autres solutions de l’équation?

Solution

x=1 est solution de l’équation si, et seulement si, a2-2a-3=0 ce qui donne a=-1 ou a=3.
Lorsque a=-1, les solutions de l’équation sont 1,-3+52,-3+52.
Lorsque a=3, les solutions de l’équation sont 1,-3+i332,-3+i332.

 
Exercice 77  2047   Correction  
  • (a)

    Déterminer les racines carrées complexes de 5-12i.

  • (b)

    Résoudre l’équation z3-(1+2i)z2+3(1+i)z-10(1+i)=0 en commençant par observer l’existence d’une solution imaginaire pure.

  • (c)

    Quelles particularités a le triangle dont les sommets ont pour affixe les solutions de l’équation précédente?

Solution

  • (a)

    ±(3-2i)

  • (b)

    a=-2i,b=-1+3i et c=2+i

  • (c)

    |c-b|=|c-a|=13 et |b-a|=26. Le triangle est rectangle isocèle.

 
Exercice 78  2048  Correction  

Résoudre dans le système

{x+y=1+ixy=2-i.

Solution

Il s’agit d’un système somme produit, on obtient ses solutions en résolvant l’équation

z2-(1+i)z+(2-i)=0.

On obtient l’ensemble solution

𝒮={(1+2i,-i),(-i,1+2i)}.
 
Exercice 79  4880  

Résoudre dans le champ complexe le système

{x+y=11x+1y=3
 
Exercice 80  2049  

Résoudre dans l’équation

z3=42(1+i).
 
Exercice 81  2041  

Soit n*. Résoudre dans l’équation

zn+1=0.
 
Exercice 82  2040   Correction  

Soit n*. Résoudre l’équation

(z+1)n=(z-1)n.

Combien y a-t-il de solutions?

Solution

Notons ωk=e2ikπn avec k les racines n-ième de l’unité.
Si z est solution alors nécessairement z1 et (z+1z-1)n=1 donc il existe k{0,1,,n-1} tel que

z+1z-1=ωk

ce qui donne

(ωk-1)z=ωk+1.

Si k=0 alors ce la donne 0=2 donc nécessairement k{1,,n-1} et ωk1.
Par suite,

z=ωk+1ωk-1=2cos(kπn)2isin(kπn)=-icot(kπn).

Inversement, il suffit de remonter les calculs.

Finalement,

𝒮={-icot(kπn)|k{1,,n-1}}.

Puisque la fonction cot est injective sur ]0;π[, il y a exactement n-1 solutions.

 
Exercice 83  2042   

Soit n*. Résoudre dans l’équation

(z+i)n=(z-i)n.

Observer que celle-ci admet exactement n-1 solutions, toutes réelles.

 
Exercice 84  4893   

Soient θ]0;2π[ et n*. Résoudre l’équation d’inconnue z complexe

(z-1z+1)n+(z+1z-1)n=2cos(θ).

[<] Équations algébriques[>] Nombres complexes et trigonométrie

 
Exercice 85  2051  Correction  

Soit Z*. Résoudre l’équation ez=Z d’inconnue z.

Solution

Posons ρ=|Z| et θ=arg(Z)[2π].

ez=Z eRe(z)eiIm(z)=|Z|eiθ
eRe(z)=|Z| et eiIm(z)=eiθ
z=ln(ρ)+iθ+2ikπ avec k.
 
Exercice 86  2034  Correction  

Simplifier eiθ-1eiθ+1 pour θ]-π;π[.

Solution

En factorisant eiθ/2 au numérateur et au dénominateur

eiθ-1eiθ+1=isin(θ/2)cos(θ/2)=itan(θ2).
 
Exercice 87  3457   

Pour tout z, établir

(1+zn)nn+exp(z).
 
Exercice 88  2646     MINES (MP)

Soit (x,y,z)3 vérifiant eix+eiy+eiz=0. Montrer e2ix+e2iy+e2iz=0.

[<] Exponentielle complexe[>] Inégalité dans le cadre des nombres complexes

 
Exercice 89  4877  

Soit a. Exprimer cos(3a) en fonction de cos(a) et sin(3a) en fonction de sin(a).

 
Exercice 90  4887  

En considérant les racines cinquièmes de l’unité, calculer

α=cos(2π5).
 
Exercice 91  2028   

Soient θ]0;2π[ et n. Exprimer

Cn=k=0ncos(kθ)etSn=k=0nsin(kθ).
 
Exercice 92  2531     CENTRALE (PC)Correction  

Justifier

sin(π5)=5-58.

Solution

Puisque la somme des racines 5-ième de l’unité est nulle, en considérant la partie réelle, on obtient

1+2cos(2π5)+2cos(4π5)=0.

Sachant cos(2a)=2cos2(a)-1, on obtient que cos(2π/5) est solution positive de l’équation

4r2+2r-1=0

et donc

cos(2π5)=5-14.

Or cos(2a)=1-2sin2(a) donc

1-2sin2(π5)=5-14

puis

sin2(π5)=5-58

et enfin la formule proposée puisque sin(π/5)0.

 
Exercice 93  2029   Correction  

Calculer pour θ et n,

Cn=k=0n(nk)cos(kθ)etSn=k=0n(nk)sin(kθ).

Solution

Cn et Sn sont les parties réelles et imaginaires de

k=0n(nk)eikθ=(1+eiθ)n=2neinθ2cosn(θ2).

Ainsi,

Cn=2ncos(nθ2)cosn(θ2) et Sn=2nsin(nθ2)cosn(θ2).
 
Exercice 94  4888   

Soient θ et n*. Calculer

S=k=0ncos(kθ)cosk(θ).
 
Exercice 95  4889   

(Polynômes de Tchebychev)

Soit n.

  • (a)

    Montrer qu’il existe des entiers a0,a1,,an tels que11 1 On dit que cos(nθ) est un polynôme en cos(θ). pour tout θ,

    cos(nθ)=k=0nakcosk(θ).
  • (b)

    Exprimer simplement a0.

[<] Nombres complexes et trigonométrie

 
Exercice 96  2356    CENTRALE (MP)

Soient a et b deux nombres complexes. Montrer

|a|+|b||a+b|+|a-b|

et préciser les cas d’égalité.

 
Exercice 97  4884  

Vérifier que pour tout réel t,

|eit-1||t|

et donner une interprétation géométrique de cette inégalité.

 
Exercice 98  4885   

Soient a et b deux nombres complexes. Établir

|a+b|2(1+|a|2)(1+|b|2).

Préciser les cas d’égalité.

 
Exercice 99  4886    

Soient n un entier naturel et z un nombre complexe de module différent de 1. Montrer

  • (a)

    |1-zn+11-z|1-|z|n+11-|z|.

  • (b)

    |1-(n+1)zn+nzn+1(1-z)2|1-(n+1)|z|n+n|z|n+1(1-|z|)2.

 
Exercice 100  4895    

Soient z1,,zn des nombres complexes. Établir

|k=1nzk|1+|k=1nzk|k=1n|zk|1+|zk|.
 
Exercice 101  4896    

Soient z1,,zn des nombres complexes et z tels que z2=z12++zn2. Montrer

|Re(z)|k=1n|Re(zk)|et|Im(z)|k=1n|Im(zk)|.


Édité le 08-11-2019

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