Exercice 1 2025

Vérifier que pour tout $z \in 𝕌 ∖ {i}$ , le nombre complexe $Z = \frac{z + i}{i z + 1}$ est réel.

Exercice 2 3651 Correction

Soient $a, b, z$ trois complexes de module 1 deux à deux distincts. Démontrer

\frac{b}{a} {(\frac{z - a}{z - b})}^{2} \in ℝ_{+}^{*} .

Solution

Rappelons que si $u$ est un complexe de module alors $1 / u = \bar{u}$ .
On a alors

{(z - a)}^{2} = (z - a) (\frac{1}{\bar{z}} - \frac{1}{\bar{a}}) = \frac{(z - a) (\bar{a} - \bar{z})}{\bar{a} \bar{z}} = - a \frac{{| z - a |}^{2}}{\bar{z}}

donc

\frac{b}{a} {(\frac{z - a}{z - b})}^{2} = \frac{{| z - a |}^{2}}{{| z - b |}^{2}} \in ℝ_{+}^{*} .

Exercice 3 2026

Soient $P = {z \in ℂ | Im (z) > 0}$ et $f : P \to ℂ$ l’application définie par

f (z) = \frac{z - i}{z + i} .

(a)

Montrer que $f$ prend ses valeurs dans $D = {z \in ℂ | | z | < 1}$ .
(b)

Vérifier que tout élément de $D$ possède un unique antécédent par $f$ .

Exercice 4 3880 MINES (MP)Correction

Soient $a, b, c$ des réels strictement positifs.
À quelle condition existe-t-il des complexes $t, u, v$ de somme nulle vérifiant

t \bar{t} = a^{2}, u \bar{u} = b^{2} et v \bar{v} = c^{2} .

Solution

En multipliant les trois complexes $t, u, v$ par $e^{i θ}$ , on peut former un nouveau triplet solution à partir d’un premier. Sans perte de généralité, on peut donc supposer $t \in ℝ_{+}$ auquel cas $t = a$ .
En écrivant $u = x + i y$ et $v = x^{'} + i y^{'}$ avec $x, x^{'}, y, y^{'} \in ℝ$ , la condition $t + u + v = 0$ donne

{\begin{matrix} x^{'} & = - (a + x) \\ y^{'} & = - y \end{matrix}

et les deux conditions $u \bar{u} = b^{2}$ et $v \bar{v} = c^{2}$ équivalent alors au système

{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} & = b^{2} \\ {(x + a)}^{2} + y^{2} & = c^{2} . \end{matrix}

Ce système possède une solution si, et seulement si, le cercle de centre $O$ et de rayon $b$ coupe le cercle de centre $Ω (- a,0)$ et de rayon $c$ . Ces deux cercles se coupent si, et seulement si,

| b - c | \leq a \leq b + c .

On peut alors conclure que le triplet $(t, u, v)$ existe si, et seulement si, chacun des paramètres $a, b, c$ est inférieur à la somme des deux autres.

Exercice 5 3107 X (PSI)Correction

Soit $B$ une partie bornée non vide de $ℂ$ .
On suppose que si $z \in B$ alors $1 - z + z^{2} \in B$ et $1 + z + z^{2} \in B$ .
Déterminer $B$ .

Solution

On observe que $B = {i, - i}$ est solution. Montrons qu’il n’y en a pas d’autres…
Posons $f : ℂ \to ℂ$ et $g : ℂ \to ℂ$ définies par

f (z) = 1 - z + z^{2} et g (z) = 1 + z + z^{2} .

On remarque

| f (z) - i | = | z + i | | z - (1 + i) |, | f (z) + i | = | z - i | | z - (1 - i) | .

| g (z) - i | = | z - i | | z + 1 + i | et | g (z) + i | = | z + i | | z + 1 - i | .

Soient $a \in B$ et ${(z_{n})}_{n \geq 0}$ la suite d’éléments de $B$ définie par $z_{0} = a$ et pour tout $n \in ℕ$

z_{n + 1} = {\begin{matrix} f (z_{n}) & si Re (z_{n}) \leq 0 \\ g (z_{n}) & si Re (z_{n}) > 0 . \end{matrix}

Posons enfin

u_{n} = | z_{n}^{2} + 1 | = | z_{n} - i | | z_{n} + i | .

Si $Re (z_{n}) \leq 0$ alors

u_{n + 1} = | f (z_{n}) - i | | f (z_{n}) + i | = u_{n} | z_{n} - (1 + i) | | z_{n} - (1 - i) | .

Selon le signe de la partie imaginaire de $z_{n}$ , l’un au moins des deux modules $| z_{n} - (1 + i) |$ et $| z_{n} - (1 - i) |$ est supérieur à $\sqrt{2}$ alors que l’autre est supérieur à 1.
Ainsi,

u_{n + 1} \geq \sqrt{2} u_{n} .

Si $Re (z_{n}) > 0$ , on obtient le même résultat.
On en déduit que si $u_{0} \neq 0$ alors la suite $(u_{n})$ n’est pas bornée. Or la partie $B$ est bornée donc $u_{0} = 0$ puis $a = \pm i$ . Ainsi, $B \subset {i, - i}$ .
Sachant $B \neq \emptyset$ et sachant que l’appartenance de $i$ entraîne celle de $- i$ et inversement, on peut conclure

B = {i, - i} .

Exercice 6 4890

(Noyaux de Dirichlet et de Fejér)

Soient $n \in ℕ$ et $x$ un réel.

(a)

Exprimer simplement

$D_{n} (x) = \sum_{k = - n}^{n} e^{i k x} et F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} D_{k} (x) (pour n \neq 0).$
(b)

Vérifier

$F_{n} (x) = \sum_{k = - n}^{n} (1 - \frac{| k |}{n}) e^{i k x} .$

[<] Les nombres complexes[>] Module et argument

Exercice 7 2027 Correction

(a)

Déterminer le lieu des points $M$ d’affixe $z$ qui sont alignés avec $I$ d’affixe $i$ et $M^{'}$ d’affixe $i z$ .
(b)

Déterminer de plus le lieu des points $M^{'}$ correspondant.

Solution

(a)

$M = I$ est solution.
Pour $M \neq I$ , $I, M, M^{'}$ sont alignés si, et seulement si, il existe $λ \in ℝ$ tel que $\vec{I M^{'}} = λ \vec{I M}$ c’est-à-dire $\frac{i z - i}{z - i} \in ℝ$ .
Posons $x = Re (z)$ et $y = Im (z)$ . $Im (\frac{i z - i}{z - i}) = 0 \Leftrightarrow x (x - 1) + y (y - 1) = 0 \Leftrightarrow {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$ .

Finalement, le lieu des points $M$ solutions est le cercle de centre $Ω | \begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \end{matrix}$ et de rayon $1 / \sqrt{2}$ .
(b)

Le point $M^{'}$ est l’image de $M$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $π / 2$ .
Le lieu des points $M^{'}$ est donc le cercle de centre $Ω^{'} | \begin{matrix} - 1 / 2 \\ 1 / 2 \end{matrix}$ et de rayon $1 / \sqrt{2}$

Exercice 8 2050 Correction

Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que

z + \bar{z} = | z | .

Solution

Soit $M (z)$ solution avec $z = a + i b$ et $a, b \in ℝ$ .
On a $2 a = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donc $a \geq 0$ et $b = \pm \sqrt{3} a$ .
Ainsi $M$ se situe sur les demi-droites d’origine $O$ dirigée par les vecteurs

\vec{u} (\begin{matrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{matrix}) et \vec{v} (\begin{matrix} 1 \\ - \sqrt{3} \end{matrix}) .

Inversement: ok.

Exercice 9 4882

Décrire l’ensemble des

Z = \frac{z - 1}{z + 1} pour z parcourant 𝕌 ∖ {- 1} .

Exercice 10 3040 X (MP)Correction

Décrire l’ensemble des

Z = \frac{1}{1 - z} pour z parcourant 𝕌 ∖ {1} .

Solution

Soit $z$ un complexe du cercle unité avec $z \neq 1$ . Il existe $θ \in] 0; 2 π [$ tel que $z = e^{i θ}$ . On a alors

Z = \frac{1}{1 - e^{i θ}} = e^{- i θ / 2} \frac{i}{2 \sin (θ) / 2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \cot (\frac{θ}{2}) .

Quand $θ$ parcourt $] 0; 2 π [$ (ce qui revient à faire parcourir à $z$ le cercle unité), l’expression $\cot (θ / 2)$ prend toutes les valeurs de $ℝ$ . L’image du cercle unité est donc la droite d’équation $x = 1 / 2$ .

Exercice 11 5013

Soient $A, B, C$ trois points distincts du plan géométrique d’affixes respectives $a, b, c$ .

(a)

Montrer que le triangle $(A B C)$ est équilatéral si, et seulement si,

$\frac{c - a}{b - a} = - j ou \frac{c - a}{b - a} = - j^{2} .$
(b)

En déduire que le triangle $(A B C)$ est équilatéral si, et seulement si,

$a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + c a .$

Exercice 12 3458

Soient $z_{0} \in ℂ$ et $r > 0$ tels que $| z_{0} | \neq r$ . On note $𝒞$ le cercle dans $ℂ$ de centre $z_{0}$ et de rayon $r$ .

(a)

Pour $z \in ℂ$ , montrer

$z \in 𝒞 \Leftrightarrow {| z |}^{2} - 2 Re (\bar{z} z_{0}) + {| z_{0} |}^{2} = r^{2} .$
(b)

En déduire que l’ensemble des valeurs prises par l’application $f : z \mapsto 1 / z$ sur $𝒞$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon en fonction de $z_{0}$ et $r$ .

Exercice 13 4891

(Théorème de l’angle au centre)

Soient $M, A, B$ trois points distincts du plan géométrique d’affixes respectives $z, a, b$ .

(a)

Donner l’interprétation d’un argument du nombre complexe $Z = \frac{z - b}{z - a}$ .

On suppose que $A$ et $B$ sont deux points d’un cercle $𝒞$ de centre $O$ . On note $θ$ une mesure de l’angle entre les vecteurs $\vec{O A}$ et $\vec{O B}$ et $φ$ une mesure de l’angle¹¹ 1 On dit que $θ$ mesure l’angle au centre et $φ$ l’angle inscrit. entre les vecteurs $\vec{M A}$ et $\vec{M B}$

(b)

Montrer que $M$ appartient au cercle $𝒞$ si, et seulement si, $2 φ \equiv θ [2 π]$ .

[<] Le plan complexe[>] Racines de l'unité

Exercice 14 4876

Déterminer le module et un argument de $z = \frac{\sqrt{3} + i}{1 - i}$ .

Exercice 15 2030 Correction

Déterminer module et argument de

z = \sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}} .

On pourra commencer par calculer $z^{2}$ .

Solution

Après calculs,

z^{2} = 2 \sqrt{2} (1 + i) = 4 e^{i π / 4}

On en déduit ${| z |}^{2} = 4$ et donc $| z | = 2$ .

Aussi, on peut choisir un argument de $θ$ dans $[0; π / 2]$ car $Re (z) \geq 0$ et $Im (z) \geq 0$ . L’égalité précédente donne

2 θ \equiv \frac{π}{4} [2 π]

On en déduit $θ = π / 8$ .

Exercice 16 4881

Déterminer le module et un argument de $z = 1 + \sqrt{3} + i (1 - \sqrt{3})$ .

Exercice 17 2033

Soit $θ \in ℝ$ . Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z = e^{i θ} + 1$ .

Exercice 18 2035 Correction

Déterminer le module et un argument de $e^{i θ} + e^{i θ^{'}}$ pour $θ, θ^{'} \in ℝ$ .

Solution

On peut factoriser

e^{i θ} + e^{i θ^{'}} = e^{i \frac{θ + θ^{'}}{2}} (e^{i \frac{θ - θ^{'}}{2}} + e^{- i \frac{θ - θ^{'}}{2}}) = 2 \cos (\frac{θ - θ^{'}}{2}) e^{i \frac{θ + θ^{'}}{2}}

ce qui permet de préciser module et argument en discutant selon le signe de $\cos (\frac{θ - θ^{'}}{2})$ .

Exercice 19 2052 Correction

Résoudre l’équation $| z + 1 | = | z | + 1$ d’inconnue $z \in ℂ$ .

Solution

On a ${| z + 1 |}^{2} = {| z |}^{2} + 2 Re (z) + 1$ et ${(| z | + 1)}^{2} = {| z |}^{2} + 2 | z | + 1$ donc

	$\| z + 1 \| = \| z \| + 1$	$\Leftrightarrow Re (z) = \| z \|$
		$\Leftrightarrow z \in ℝ_{+} .$

Exercice 20 2031 Correction

Soient $z \in ℂ^{*}$ et $z^{'} \in ℂ$ . Montrer

| z + z^{'} | = | z | + | z^{'} | \Leftrightarrow \exists λ \in ℝ_{+}, z^{'} = λ . z .

Solution

$(⟸)$ ok
$(⟹)$ Si $| z + z^{'} | = | z | + | z^{'} |$ alors, en divisant par $| z |$ : $| 1 + x | = 1 + | x |$ avec $x = z^{'} / z \in ℂ$ .
Écrivons $x = a + i b$ avec $a, b \in ℝ$ .

{| 1 + x |}^{2} = {(a + 1)}^{2} + b^{2} = 1 + a^{2} + b^{2} + 2 a

{(1 + | x |)}^{2} = {(1 + \sqrt{a^{2} + b^{2}})}^{2} = 1 + a^{2} + b^{2} + 2 \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| 1 + x | = 1 + | x |$ donne alors $a = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ d’où $b = 0 et a \geq 0$ .
Par suite, $x \in ℝ_{+}$ et l’on conclut.

Exercice 21 4894 MINES (MP)

Soient $z_{1}, \dots, z_{n}$ des nombres complexes. À quelle condition simple a-t-on

| z_{1} + \dots + z_{n} | = | z_{1} | + \dots + | z_{n} | ?

Exercice 22 5988 Correction

Soit $z \in ℂ ∖ ℝ_{-}$ . On pose

Z = \frac{z + | z |}{2 \sqrt{Re (z) + | z |}} .

Vérifier $Z^{2} = z$ .

Solution

Puisque $z \in ℂ ∖ ℝ_{-}$ , on peut affirmer $Re (z) + | z | > 0$ ce qui assure la bonne définition du complexe $Z$ . En élevant au carré,

Z^{2} = \frac{z^{2} + 2 z | z | + {| z |}^{2}}{2 Re (z) + 2 | z |} = \frac{z^{2} + 2 z | z | + {| z |}^{2}}{z + \bar{z} + 2 | z |} .

z \times (z + \bar{z} + 2 | z |) = z^{2} + {| z |}^{2} + 2 z | z |

et l’on a donc

Z^{2} = \frac{z (z + \bar{z} + 2 | z |)}{z + \bar{z} + 2 | z |} = z .

Exercice 23 55 Correction

Soit $a \in ℂ$ . Déterminer l’ensemble des nombres complexes $z$ tels que

| \frac{z - a}{1 - \bar{a} z} | \leq 1 .

Solution

Pour que la quantité soit définie il est nécessaire que $z \neq 1 / \bar{a}$ .

Pour un tel nombre complexe $z$ ,

| \frac{z - a}{1 - \bar{a} z} | \leq 1 \Leftrightarrow {| z - a |}^{2} \leq {| 1 - \bar{a} z |}^{2} .

Sachant ${| x + y |}^{2} = {| x |}^{2} + 2 Re (\bar{x} y) + {| y |}^{2}$ , on obtient

	$\| \frac{z - a}{1 - \bar{a} z} \| \leq 1$	$\Leftrightarrow {\| 1 - \bar{a} z \|}^{2} - {\| z - a \|}^{2} \geq 0$
		$\Leftrightarrow 1 + {\| a \|}^{2} {\| z \|}^{2} - \| z \| - \| a \| \geq 0$
		$\Leftrightarrow ({\| a \|}^{2} - 1) ({\| z \|}^{2} - 1) \geq 0 .$

Cas: $| a | = 1$ . L’inégalité qui précède est vérifiée et tout $z \neq 1 / \bar{a}$ est solution. Notons que dans le cas présent $1 / \bar{a} = a$ pour $a$ de module $1$ .

Cas: $| a | < 1$ . L’ensemble recherché est l’ensemble des complexes de module inférieur à $1$ (parmi lequel ne figure par $1 / \bar{a}$ dont le module est l’inverse de celui de $| a |$ donc strictement supérieur à $1$ ).

Cas: $| a | > 1$ . L’ensemble recherché est cette fois-ci l’ensemble des nombres complexes de module supérieur à $1$ .

Exercice 24 3249 Correction

Soit $f : ℂ \to ℂ$ définie par

f (z) = \frac{z + | z |}{2} .

Déterminer les valeurs prises par $f$ .

Solution

Soit $z \in ℂ$ .
Si $z \in ℝ_{-}$ alors $f (z) = 0$ .
Sinon, on peut écrire $z = r e^{i θ}$ avec $r > 0$ et $θ \in] - π; π [$ et alors

f (z) = r \frac{1 + e^{i θ}}{2} = r \cos (\frac{θ}{2}) e^{i θ / 2} .

Puisque $\cos (θ / 2) \geq 0$

| f (z) | = r \cos (\frac{θ}{2}) et \arg (f (z)) = \frac{θ}{2}

donc

f (z) \in {Z \in ℂ | Re (Z) > 0} .

Inversement, soit $Z \in ℂ$ tel que $Re (Z) > 0$ .
On peut écrire $Z = R e^{i α}$ avec $R > 0$ et $α \in] - π / 2; π / 2 [$ . Pour

z = \frac{R}{\cos (α)} e^{2 i α}

les calculs qui précèdent donnent

f (z) = R e^{i α} = Z .

Finalement, les valeurs prises par $f$ sont les complexes de parties réelles strictement positives ainsi que le complexe nul.

Exercice 25 4883

(Identité du parallélogramme)

Vérifier pour tous $a$ et $b$ nombres complexes,

{| a + b |}^{2} + {| a - b |}^{2} = 2 {| a |}^{2} + 2 {| b |}^{2} .

Exercice 26 3642 Correction

(a)

Vérifier

$\forall (z_{1}, z_{2}) \in ℂ^{2}, {| z_{1} + z_{2} |}^{2} + {| z_{1} - z_{2} |}^{2} = 2 {| z_{1} |}^{2} + 2 {| z_{2} |}^{2} .$
(b)

On suppose $z_{1}, z_{2} \in ℂ$ tels que $| z_{1} | \leq 1$ et $| z_{2} | \leq 1$ . Montrer qu’il existe $ε = 1$ ou $- 1$ tel que

$| z_{1} + ε z_{2} | \leq \sqrt{2} .$

Solution

(a)

En développant

${| z_{1} + z_{2} |}^{2} = (z_{1} + z_{2}) ({\bar{z}}_{1} + {\bar{z}}_{2}) = {| z_{1} |}^{2} + z_{1} {\bar{z}}_{2} + {\bar{z}}_{1} z_{2} + {| z_{2} |}^{2}$

et la relation écrire est alors immédiate.
(b)

On a

${| z_{1} + z_{2} |}^{2} + {| z_{1} - z_{2} |}^{2} \leq 4$

donc parmi les quantités $| z_{1} + z_{2} |$ et $| z_{1} - z_{2} |$ , l’une au moins est de carré inférieur à 2.

[<] Module et argument[>] Équations algébriques

Exercice 27 2036

Calculer la somme et le produit des racines $n$ -ièmes de l’unité.

Exercice 28 2039 Correction

Simplifier:

(a)

$j (j + 1)$
(b)

$\frac{j}{j^{2} + 1}$
(c)

$\frac{j + 1}{j - 1}$

(avec $j = e^{2 i π / 3}$ ).

Solution

(a)

$j (j + 1) = j^{2} + j = - 1 .$
(b)

$\frac{j}{j^{2} + 1} = \frac{j}{- j} = - 1 .$
(c)

$\frac{j + 1}{j - 1} = \frac{(j + 1) \bar{(j - 1)}}{(j - 1) \bar{(j - 1)}} = \frac{(j + 1) (j^{2} - 1)}{(j - 1) (j^{2} - 1)} = \frac{j^{3} + j^{2} - j - 1}{j^{3} - j^{2} - j + 1} = \frac{- 1 - 2 j}{3} .$

Exercice 29 2043 Correction

Soit $ω = e^{i \frac{2 π}{7}}$ . Calculer les nombres:

A = ω + ω^{2} + ω^{4} et B = ω^{3} + ω^{5} + ω^{6} .

Solution

On a

1 + A + B = 0, A B = 2 et Im (A) > 0

donc

A = \bar{B} = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2} .

Exercice 30 2038 Correction

Soit $ω$ une racine $n$ -ième de l’unité différente de 1. On pose

S = \sum_{k = 0}^{n - 1} (k + 1) ω^{k} .

En calculant $(1 - ω) S$ , déterminer la valeur de $S$ .

Solution

On a

(1 - ω) S = \sum_{k = 0}^{n - 1} (k + 1) ω^{k} - \sum_{k = 1}^{n} k ω^{k} = \sum_{k = 0}^{n - 1} ω^{k} - n ω^{n} = - n

donc

S = \frac{n}{ω - 1} .

Exercice 31 4892

Soient $ω_{0}, \dots, ω_{2 n}$ les racines $(2 n + 1)$ -ièmes de l’unité. Calculer

S = \sum_{k = 0}^{2 n} \frac{1}{1 + ω_{k}} .

Exercice 32 2037 Correction

Soit $n \in ℕ^{*}$ . On note $𝕌_{n}$ l’ensemble des racines $n$ -ièmes de l’unité.

Calculer

\sum_{z \in 𝕌_{n}} | z - 1 | .

Solution

Notons $ω_{k} = e^{\frac{2 i k π}{n}}$ avec $k \in ℤ$ . Par factorisation d’exponentielle équilibrée,

| ω_{k} - 1 | = 2 | \sin (\frac{k π}{n}) | .

Alors

	$\sum_{z \in 𝕌_{n}} \| z - 1 \|$	$= \sum_{k = 0}^{n - 1} 2 \sin (\frac{k π}{n}) = 2 Im (\sum_{k = 0}^{n - 1} e^{i \frac{k π}{n}})$
		$= 4 Im (\frac{1}{1 - e^{i π / n}}) = 2 \frac{\cos (\frac{π}{2 n})}{\sin (\frac{π}{2 n})} = 2 \cot (\frac{π}{2 n}) .$

Exercice 33 3353 X (PC)Correction

Soient $n \geq 3$ , $ω_{1}, \dots, ω_{n}$ les racines $n$ -ième de l’unité avec $ω_{n} = 1$ .

(a)

Calculer pour $p \in ℤ$ ,

$S_{p} = \sum_{i = 1}^{n} ω_{i}^{p} .$
(b)

Calculer

$T = \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{1}{1 - ω_{i}} .$

Solution

Quitte à réindexer, on peut supposer

\forall k \in {1, \dots, n}, ω_{k} = e^{2 i k π / n} = ω^{k} avec ω = e^{2 i π / n} .

(a)

Si $n$ ne divise pas $p$ alors, puisque $ω^{p} \neq 1$

$S_{p} = \sum_{k = 1}^{n} ω^{k p} = ω^{p} \frac{1 - ω^{n p}}{1 - ω^{p}} = 0 .$

Si $n$ divise $p$ alors

$S_{p} = \sum_{k = 1}^{n} ω^{k p} = \sum_{k = 1}^{n} 1 = n .$
(b)

Pour $1 \leq k \leq n - 1$ , on a

$\frac{1}{1 - ω_{k}} = - e^{- i k π / n} \frac{1}{2 i \sin (\frac{k π}{n})} = \frac{i}{2} \cot (\frac{k π}{n}) + \frac{1}{2} .$

Puisque

$\sum_{k = 1}^{n - 1} \cot (\frac{k π}{n}) \underset{ℓ = n - k}{=} \sum_{ℓ = 1}^{n - 1} \cot (π - \frac{ℓ π}{n}) = \sum_{ℓ = 1}^{n - 1} - \cot (\frac{ℓ π}{n})$

on a

$\sum_{k = 1}^{n - 1} \cot (\frac{k π}{n}) = 0$

puis

$T = \frac{(n - 1)}{2} .$

On peut aussi lier le calcul au précédent en écrivant

$\frac{1}{1 - ω_{i}} = \sum_{p = 0}^{n - 1} ω_{i}^{p} + \frac{ω_{i}^{n}}{1 - ω_{i}} .$

On peut aussi retrouver cette relation en considérant que $T$ est la somme des racines d’un polynôme bien construit

$P^{n} = {(X - 1)}^{n} - X^{n} = - n X^{n - 1} + \frac{n (n - 1)}{2} X^{n - 2} + \dots$

Exercice 34 2044 Correction

Soient $n \in ℕ$ , $n \geq 2$ et $ω = \exp (2 i π / n)$ .

(a)

Établir que pour tout $z \in ℂ, z \neq 1$ ,

$\prod_{k = 1}^{n - 1} (z - ω^{k}) = \sum_{ℓ = 0}^{n - 1} z^{ℓ} .$
(b)

Justifier que l’égalité reste valable pour $z = 1$ .
(c)

En déduire l’égalité

$\prod_{k = 1}^{n - 1} \sin (\frac{k π}{n}) = \frac{n}{2^{n - 1}} .$

Solution

(a)

Puisque les racines de l’équation $z^{n} - 1$ sont $1, ω, \dots, ω^{n - 1}$ , on a

$z^{n} - 1 = (z - 1) \prod_{k = 1}^{n - 1} (z - ω^{k}) .$

Or on a aussi $z^{n} - 1 = (z - 1) (1 + z + \dots + z^{n - 1})$ d’où l’égalité proposée pour $z \neq 1$ .
(b)

Les fonctions $x \mapsto \prod_{k = 1}^{n - 1} (x - ω^{k})$ et $x \mapsto \sum_{ℓ = 0}^{n - 1} x^{ℓ}$ sont définies et continues sur $ℝ$ et coïncident sur $ℝ ∖ {1}$ , elles coïncident donc aussi en 1 par passage à la limite.
(c)

Pour $z = 1$ , l’égalité du a) donne $\prod_{k = 1}^{n - 1} (1 - ω^{k}) = n$ . Or par factorisation de l’exponentielle équilibrée,

$1 - ω^{k} = - e^{\frac{i k π}{n}} 2 i \sin (\frac{k π}{n})$

et

$\prod_{k = 1}^{n - 1} e^{i \frac{k π}{n}} = e^{i \frac{π}{n} \sum_{k = 1}^{n - 1} k} = i^{n - 1}$

donc

$\prod_{k = 1}^{n - 1} (1 - ω^{k}) = 2^{n - 1} \prod_{k = 1}^{n - 1} \sin (\frac{k π}{n})$

puis la relation proposée.

Exercice 35 5293 ENSTIM (MP)Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on note $𝕌_{n}$ l’ensemble des racines $n$ -ièmes de l’unité et l’on étudie l’application

f : {\begin{matrix} 𝕌_{n} & \to & 𝕌_{n} \\ z & \mapsto & z^{2} . \end{matrix}

Pour quels $n \in ℕ^{*}$ , l’application $f$ est-elle bijective?

Solution

L’application $f$ est un morphisme du groupe fini $(𝕌_{n}, \times)$ vers lui-même. Celui-ci est bijectif si, et seulement si, son noyau est réduit à $1$ c’est-à-dire si, et seulement si, $- 1$ n’est pas élément de $𝕌_{n}$ . L’application $f$ est donc bijective si, et seulement si, l’entier $n$ est impair.

Exercice 36 5477 Correction

Montrer que $z = \frac{3 + 4 i}{5}$ est un nombre complexe de module $1$ mais n’est pas une racine de l’unité.

Solution

Par un calcul direct,

{| z |}^{2} = {(\frac{3}{5})}^{2} + {(\frac{4}{5})}^{2} = \frac{9 + 16}{25} = 1 .

Le nombre $z$ est donc de module $1$ .

Pour montrer que $z$ n’est pas une racine de l’unité, on commence par observer qu’il est possible d’écrire

z^{n} = \frac{x_{n} + i y_{n}}{5^{n}} avec x_{n}, y_{n} \in ℤ .

De plus, pour tout $n \in ℕ$ , l’égalité $z^{n + 1} = z^{n} \times z$ donne

{\begin{matrix} x_{n + 1} & = 3 x_{n} - 4 y_{n} \\ y_{n + 1} & = 4 x_{n} + 3 y_{n} . \end{matrix}

Pour tout $n \in ℕ^{*}$ , on vérifie

{\begin{matrix} x_{n} & \equiv 3 [5] \\ y_{n} & \equiv 4 [5] . \end{matrix}

On en déduit $z^{n} \neq 1$ pour tout $n \geq 1$ , notamment parce que la partie imaginaire de $z^{n}$ n’est jamais nulle.

[<] Racines de l'unité[>] Exponentielle complexe

Exercice 37 4879

Résoudre dans $ℂ$ les équations:

(a)

$z^{2} - (5 + 3 i) z + 2 + 9 i = 0$
(b)

$z^{4} + (3 - 6 i) z^{2} - 8 - 6 i = 0$ .

Exercice 38 2046 Correction

Résoudre dans $ℂ$ , les équations:

(a)

$z^{2} - 2 i z - 1 + 2 i = 0$
(b)

$z^{4} - (5 - 14 i) z^{2} - 2 (12 + 5 i) = 0$ .

Solution

(a)

$𝒮 = {1, - 1 + 2 i}$ ,
(b)

$𝒮 = {- 1 + i, - 3 + 2 i,1 - i,3 - 2 i}$ .

Exercice 39 4878

Soit $θ \in ℝ$ . Résoudre dans $ℂ$ l’équation $z^{2} - 2 \cos (θ) z + 1 = 0$ .

Exercice 40 5703 Correction

Soit $θ \in ℝ$ . Résoudre dans $ℂ$ l’équation $z^{4} - 2 \cos (θ) z^{2} + 1 = 0$ .

Solution

Posons $Z = z^{2}$ . L’équation étudiée se relit

Z^{2} - 2 \cos (θ) Z + 1 = 0

C’est une équation du second degré de discriminant $Δ = 4 \cos^{2} (θ) - 1 = - 4 \sin^{2} (θ)$ .

Les racines de cette équation (éventuellement confondues) sont

Z_{1} = \frac{2 \cos (θ) + 2 i \sin (θ)}{2} = e^{i θ} et Z_{2} = \bar{Z_{1}} = e^{- i θ} .

Les solutions de l’équation initiale sont donc

e^{i θ / 2}, - e^{i θ / 2}, e^{- i θ / 2} et - e^{i θ / 2}

Exercice 41 2045 Correction

Pour quels $a \in ℝ$ l’équation $x^{3} + 2 x^{2} + 2 a x - a^{2} = 0$ possède $x = 1$ pour solution?
Quelles sont alors les autres solutions de l’équation?

Solution

$x = 1$ est solution de l’équation si, et seulement si, $a^{2} - 2 a - 3 = 0$ ce qui donne $a = - 1$ ou $a = 3$ .
Lorsque $a = - 1$ , les solutions de l’équation sont $1, \frac{- 3 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .
Lorsque $a = 3$ , les solutions de l’équation sont $1, \frac{- 3 + i3 \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i3 \sqrt{3}}{2}$ .

Exercice 42 2047 Correction

(a)

Déterminer les racines carrées complexes de $5 - 12 i$ .
(b)

Résoudre l’équation $z^{3} - (1 + 2 i) z^{2} + 3 (1 + i) z - 10 (1 + i) = 0$ en commençant par observer l’existence d’une solution imaginaire pure.
(c)

Quelles particularités a le triangle dont les sommets ont pour affixe les solutions de l’équation précédente?

Solution

(a)

$\pm (3 - 2 i)$
(b)

$a = - 2 i, b = - 1 + 3 i$ et $c = 2 + i$
(c)

$| c - b | = | c - a | = \sqrt{13}$ et $| b - a | = \sqrt{26}$ . Le triangle est rectangle isocèle.

Exercice 43 6073 Correction

Résoudre l’équation d’inconnue $z$ complexe suivante:

{(\frac{z - i}{z + i})}^{2} + {(\frac{z + i}{z - i})}^{2} = 1 .

Solution

L’équation a un sens pour $z \in ℂ ∖ {i, - i}$ . Pour un tel $z$ , posons $Z = {(\frac{z - i}{z + i})}^{2}$ . On observe $Z \in ℂ^{*}$ et

	${(\frac{z - i}{z + i})}^{2} + {(\frac{z + i}{z - i})}^{2} = 1$	$\Leftrightarrow Z + \frac{1}{Z} = 1$
		$\Leftrightarrow Z^{2} - Z + 1 = 0 .$

On a $Δ = - 3 < 0$ . Les racines complexes de l’équation d’inconnue $Z$ sont

Z_{1} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2} et Z_{2} = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} .

On poursuit

{(\frac{z - i}{z + i})}^{2} + {(\frac{z + i}{z - i})}^{2} = 1 \Leftrightarrow {(\frac{z - i}{z + i})}^{2} = Z_{1} ou {(\frac{z - i}{z + i})}^{2} = Z_{2} .

On remarque $Z_{1} = e^{i π / 3}$ et $Z_{2} = e^{- i π / 6}$ . Cela permet d’extraire des racines carrées de $Z_{1}$ et $Z_{2}$ puis poursuivre

{(\frac{z - i}{z + i})}^{2} + {(\frac{z + i}{z - i})}^{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{z - i}{z + i} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2} ou - \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} .

	$\frac{z - i}{z + i} = Z$	$\Leftrightarrow z - i = Z (z + i)$
		$\Leftrightarrow z (1 - Z) = i (1 + Z)$
		$\Leftrightarrow z = i \frac{1 + Z}{1 - Z} .$

Après calculs, l’équation étudiée possède donc quatre solutions

2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3} et - 2 - \sqrt{3} .

Exercice 44 2048 Correction

Résoudre dans $ℂ$ le système

{\begin{matrix} x + y & = 1 + i \\ x y & = 2 - i . \end{matrix}

Solution

Il s’agit d’un système somme produit, on obtient ses solutions en résolvant l’équation

z^{2} - (1 + i) z + (2 - i) = 0 .

On obtient l’ensemble solution

𝒮 = {(1 + 2 i, - i), (- i,1 + 2 i)} .

Exercice 45 4880

Résoudre dans le champ complexe le système

{\begin{matrix} x + y & = 1 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} & = 3 . \end{matrix}

Exercice 46 2049

Résoudre dans $ℂ$ l’équation

z^{3} = 4 \sqrt{2} (1 + i) .

Exercice 47 2041

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Résoudre dans $ℂ$ l’équation

z^{n} + 1 = 0 .

Exercice 48 2040 Correction

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Résoudre l’équation

{(z + 1)}^{n} = {(z - 1)}^{n} .

Combien y a-t-il de solutions?

Solution

Notons $ω_{k} = e^{\frac{2 i k π}{n}}$ avec $k \in ℤ$ les racines $n$ -ième de l’unité.
Si $z$ est solution alors nécessairement $z \neq 1$ et ${(\frac{z + 1}{z - 1})}^{n} = 1$ donc il existe $k \in {0,1, \dots, n - 1}$ tel que

\frac{z + 1}{z - 1} = ω_{k}

ce qui donne

(ω_{k} - 1) z = ω_{k} + 1 .

Si $k = 0$ alors ce la donne $0 = 2$ donc nécessairement $k \in {1, \dots, n - 1}$ et $ω_{k} \neq 1$ .
Par suite,

z = \frac{ω_{k} + 1}{ω_{k} - 1} = \frac{2 \cos (\frac{k π}{n})}{2 i \sin (\frac{k π}{n})} = - i \cot (\frac{k π}{n}) .

Inversement, il suffit de remonter les calculs.

Finalement,

𝒮 = {- i \cot (\frac{k π}{n}) | k \in {1, \dots, n - 1}} .

Puisque la fonction $\cot$ est injective sur $] 0; π [$ , il y a exactement $n - 1$ solutions.

Exercice 49 2042

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Résoudre dans $ℂ$ l’équation

{(z + i)}^{n} = {(z - i)}^{n} .

Observer que celle-ci admet exactement $n - 1$ solutions, toutes réelles.

Exercice 50 4893

Soient $θ \in] 0; 2 π [$ et $n \in ℕ^{*}$ . Résoudre l’équation d’inconnue $z$ complexe

{(\frac{z - 1}{z + 1})}^{n} + {(\frac{z + 1}{z - 1})}^{n} = 2 \cos (θ) .

[<] Équations algébriques[>] Nombres complexes et trigonométrie

Exercice 51 5500 Correction

Résoudre l’équation $e^{z} + 1 = 0$ d’inconnue $z \in ℂ$ .

Solution

Pour $z \in ℂ$ ,

	$e^{z} + 1 = 0$	$\Leftrightarrow e^{z} = - 1$
		$\Leftrightarrow e^{z} = e^{i π} .$

En introduisant la partie réelle $a$ et la partie imaginaire $b$ de $z$ ,

	$e^{z} + 1 = 0$	$\Leftrightarrow e^{a} = 1 et e^{i b} = e^{i π}$
		$\Leftrightarrow a = 0 et b = π [2 π] .$

Les solutions de l’équation sont donc les

z = i (2 k + 1) π avec k \in ℤ .

Exercice 52 2051 Correction

Soit $Z \in ℂ^{*}$ . Résoudre l’équation $e^{z} = Z$ d’inconnue $z \in ℂ$ .

Solution

Posons $ρ = | Z |$ et $θ = \arg (Z) [2 π]$ .

	$e^{z} = Z$	$\Leftrightarrow e^{Re (z)} e^{i Im (z)} = \| Z \| e^{i θ}$
		$\Leftrightarrow e^{Re (z)} = \| Z \| et e^{i Im (z)} = e^{i θ}$
		$\Leftrightarrow z = \ln (ρ) + i θ + 2 i k π avec k \in ℤ .$

Exercice 53 2034 Correction

Simplifier $\frac{e^{i θ} - 1}{e^{i θ} + 1}$ pour $θ \in] - π; π [$ .

Solution

En factorisant $e^{i θ / 2}$ au numérateur et au dénominateur

\frac{e^{i θ} - 1}{e^{i θ} + 1} = \frac{i \sin (θ / 2)}{\cos (θ / 2)} = i \tan (\frac{θ}{2}) .

Exercice 54 3457

Pour tout $z \in ℂ$ , établir

{(1 + \frac{z}{n})}^{n} \to_{n \to + \infty}^{} \exp (z) .

Exercice 55 2646 MINES (MP)

Soit $(x, y, z) \in ℝ^{3}$ vérifiant $e^{i x} + e^{i y} + e^{i z} = 0$ . Montrer $e^{2 i x} + e^{2 i y} + e^{2 i z} = 0$ .

[<] Exponentielle complexe[>] Inégalité dans le cadre des nombres complexes

Exercice 56 4877

Soit $a \in ℝ$ . Exprimer $\cos (3 a)$ en fonction de $\cos (a)$ et $\sin (3 a)$ en fonction de $\sin (a)$ .

Exercice 57 4887

En considérant les racines cinquièmes de l’unité, calculer

α = \cos (\frac{2 π}{5}) .

Exercice 58 2028

Soient $θ \in] 0; 2 π [$ et $n \in ℕ$ . Exprimer

C_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \cos (k θ) et S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \sin (k θ) .

Exercice 59 2531 CENTRALE (PC)Correction

Justifier

\sin (\frac{π}{5}) = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{8}} .

Solution

Puisque la somme des racines 5-ième de l’unité est nulle, en considérant la partie réelle, on obtient

1 + 2 \cos (\frac{2 π}{5}) + 2 \cos (\frac{4 π}{5}) = 0 .

Sachant $\cos (2 a) = 2 \cos^{2} (a) - 1$ , on obtient que $\cos (2 π / 5)$ est solution positive de l’équation

4 r^{2} + 2 r - 1 = 0

et donc

\cos (\frac{2 π}{5}) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} .

Or $\cos (2 a) = 1 - 2 \sin^{2} (a)$ donc

1 - 2 \sin^{2} (\frac{π}{5}) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}

puis

\sin^{2} (\frac{π}{5}) = \frac{5 - \sqrt{5}}{8}

et enfin la formule proposée puisque $\sin (π / 5) \geq 0$ .

Exercice 60 2029 Correction

Calculer pour $θ \in ℝ$ et $n \in ℕ$ ,

C_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cos (k θ) et S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \sin (k θ) .

Solution

$C_{n}$ et $S_{n}$ sont les parties réelles et imaginaires de

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) e^{i k θ} = {(1 + e^{i θ})}^{n} = 2^{n} e^{i \frac{n θ}{2}} \cos^{n} (\frac{θ}{2}) .

Ainsi,

C_{n} = 2^{n} \cos (\frac{n θ}{2}) \cos^{n} (\frac{θ}{2}) et S_{n} = 2^{n} \sin (\frac{n θ}{2}) \cos^{n} (\frac{θ}{2}) .

Exercice 61 4888

Soient $θ \in ℝ$ et $n \in ℕ^{*}$ . Calculer

S = \sum_{k = 0}^{n} \cos (k θ) \cos^{k} (θ) .

Exercice 62 4889

(Polynômes de Tchebychev)

Soit $n \in ℕ$ .

(a)

Montrer qu’il existe des entiers $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ tels que¹¹ 1 On dit que $\cos (n θ)$ est un polynôme en $\cos (θ)$ . pour tout $θ \in ℝ$ ,

$\cos (n θ) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \cos^{k} (θ) .$
(b)

Exprimer simplement $a_{0}$ .

[<] Nombres complexes et trigonométrie

Exercice 63 2356 CENTRALE (MP)

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. Montrer

| a | + | b | \leq | a + b | + | a - b |

et préciser les cas d’égalité.

Exercice 64 4884

Vérifier que pour tout réel $t$ ,

| e^{i t} - 1 | ⩽ | t |

et donner une interprétation géométrique de cette inégalité.

Exercice 65 4885

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. Établir

{| a + b |}^{2} \leq (1 + {| a |}^{2}) (1 + {| b |}^{2}) .

Préciser les cas d’égalité.

Exercice 66 4886

Soient $n$ un entier naturel et $z$ un nombre complexe de module différent de $1$ . Montrer

(a)

$| \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z} | \leq \frac{1 - {| z |}^{n + 1}}{1 - | z |}$ .
(b)

$| \frac{1 - (n + 1) z^{n} + n z^{n + 1}}{{(1 - z)}^{2}} | \leq \frac{1 - (n + 1) {| z |}^{n} + n {| z |}^{n + 1}}{{(1 - | z |)}^{2}}$ .

Exercice 67 4895

Soient $z_{1}, \dots, z_{n}$ des nombres complexes. Établir

\frac{| \sum_{k = 1}^{n} z_{k} |}{1 + | \sum_{k = 1}^{n} z_{k} |} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{| z_{k} |}{1 + | z_{k} |} .

Exercice 68 4896

Soient $z_{1}, \dots, z_{n}$ des nombres complexes et $z$ tels que $z^{2} = z_{1}^{2} + \dots + z_{n}^{2}$ . Montrer

| Re (z) | \leq \sum_{k = 1}^{n} | Re (z_{k}) | et | Im (z) | \leq \sum_{k = 1}^{n} | Im (z_{k}) | .

Édité le 29-11-2025

	$\| \frac{z - a}{1 - \bar{a} z} \| \leq 1$	$\Leftrightarrow {\| 1 - \bar{a} z \|}^{2} - {\| z - a \|}^{2} \geq 0$
		$\Leftrightarrow 1 + {\| a \|}^{2} {\| z \|}^{2} - \| z \| - \| a \| \geq 0$
		$\Leftrightarrow ({\| a \|}^{2} - 1) ({\| z \|}^{2} - 1) \geq 0 .$