[>] Problèmes de commutation

 
Exercice 1  1247  Correction  

Pour An(𝕂), on note σ(A) la somme des termes de A.
On pose

J=(11(1)11).

Vérifier J.A.J=σ(A).J.

Solution

Notons

A=(ai,j)n(𝕂).

On a

σ(A)=k=1n=1nak,.

Par produit B=A.J=(bi,j) avec bi,j==1nai,.1 et C=J.A.J=J.B=(ci,j) avec

ci,j=k=1n1.bk,j=k=1n=1nak,l=σ(A).

Ainsi C=σ(A).J.

 
Exercice 2  1248  

On note Ei,j et Ek, les matrices élémentaires de n,p(𝕂) et p,q(𝕂) d’indices (i,j) et (k,) convenables.

Calculer

Ei,j×Ek,.
 
Exercice 3  5194  

Soient A et B deux matrices de n(𝕂) nilpotentes11 1 On dit qu’une matrice An(𝕂) est nilpotente lorsqu’il existe p* tel que Ap=On..

On suppose que A et B commutent, montrer que A+B est nilpotente.

 
Exercice 4  403     X (MP)Correction  

Soit

M=(abcd)2()

avec 0dcba et b+ca+d.
Pour tout n2, on note

Mn=(anbncndn).

Démontrer que, pour tout n2,

bn+cnan+dn.

Solution

Pour n1, en exploitant Mn+1=M×Mn, on a

{an+1=aan+bcnbn+1=abn+bdncn+1=can+dcndn+1=cbn+ddn.

Par suite,

an+1+dn+1-(bn+1+cn+1)=(a-c)(an-bn)+(b-d)(cn-dn).

Sachant ac et bd, il suffit d’établir anbn et cndn pour conclure.
Dans le cas n=1, la propriété est vérifiée.
Dans le cas n2, exploitons la relation Mn=Mn-1×M

{an=an-1a+bn-1cbn=an-1b+bn-1dcn=cn-1a+dn-1cdn=cn-1b+dn-1d.

On a alors

an-bn=an-1(a-b)+bn-1(c-d) et cn-dn=cn-1(a-b)+dn-1(c-d).

Puisqu’il est évident que an-1,bn-1,cn-1,dn-10 (cela se montre par récurrence), on obtient sachant a-b0 et c-d0 les inégalités permettant de conclure.
Notons que l’hypothèse b+ca+d ne nous a pas été utile.

 
Exercice 5  3976     MINES (MP)Correction  

Soit AGLn() vérifiant

A+A-1=In.

Pour k, calculer Ak+A-k.

Solution

Posons Bk=Ak+A-k. On vérifie

(Ak+A-k)(A+A-1)=Ak+1+A-(k+1)+Ak-1+A-(k-1)

et donc

Bk=Bk+1+Bk-1.

Sachant B0=2In et B1=In, on a par récurrence Bk=λkIn avec (λk) la suite récurrente linéaire double déterminée par

{λ0=2,λ1=1λk+1=λk-λk-1.

L’équation caractéristique a pour racines

-j=eiπ/2et-j¯

et le terme λk s’exprime

λk=αcos(kπ3)+βsin(kπ3)

Après résolution connaissant λ0=2 et λ1=1, on obtient

λk=2cos(kπ3).
 
Exercice 6  5195   

On dit qu’une matrice An(𝕂) est triangulaire supérieure stricte si elle est triangulaire supérieure et que ses coefficients diagonaux sont tous nuls.

  • (a)

    Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure stricte est nilpotente.

  • (b)

    On suppose n=2. Donner un exemple de matrice nilpotente qui ne soit pas triangulaire supérieure stricte.

 
Exercice 7  5190   

Soient An,p() et Bp,n() deux matrices. On suppose

AMB=On pour toute matrice Mp().

Montrer qu’au moins l’une des deux matrices A ou B est nulle.

[<] Opérations sur les matrices[>] Matrices carrées inversibles

 
Exercice 8  697  Correction  

On suppose que A,Bn(𝕂) commutent et que A est inversible.
Justifier que les matrices A-1 et B commutent.

Solution

Il suffit d’écrire

A-1B=A-1(BA)A-1=A-1(AB)A-1=BA-1.
 
Exercice 9  1249  

Soit Dn(𝕂) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux λ1,,λn sont deux à deux distincts.

Déterminer les matrices de n(𝕂) commutant avec D.

 
Exercice 10  3422   

Soient A,Bn(𝕂) vérifiant AB=A+B. Montrer que A et B commutent.

 
Exercice 11  4534   

Soit n avec n2.

  • (a)

    Déterminer les matrices commutant avec toutes celles de n(𝕂).

  • (b)

    Déterminer les matrices commutant avec toutes celles de GLn(𝕂).

  • (c)

    Soit An(𝕂). On suppose que pour toutes matrices M et N de n(𝕂),

    A=MNA=NM.

    Montrer qu’il existe λ𝕂 tel que A=λIn.

 
Exercice 12  2689     MINES (MP)Correction  

Soient n*, α1,,αn des complexes distincts, A=diag(α1,,αn) et

C(A)={Mn(),AM=MA}.

Montrer que (Ak)0kn-1 est une base de C(A).

Solution

En étudiant l’égalité AM=MA, on justifie C(A)=Dn(). C(A) est donc un sous-espace vectoriel de dimension n. De plus, il contient évidemment les éléments Ak pour k{0,,n-1} (et, plus généralement, tout polynôme en A).

Supposons

λ0In+λ1A++λn-1An-1=0.

Pour tout i=1,,n, on a

λ0+λ1αi++λn-1αin-1=0.

Le polynôme P=λ0+λ1X++λn-1Xn-1 s’annule en chaque αi et possède donc plus de racines que son degré. On peut alors affirmer P=0 puis λ0==λn-1=0.

La famille (Ak)0kn-1 est une famille libre à n éléments de C(A), c’en est donc une base

 
Exercice 13  3166   Correction  

Soit n2. Déterminer les matrices de n(𝕂) commutant avec toutes les matrices symétriques.

Solution

Soit A=(ai,j)n(𝕂) une matrice commutant avec toutes les matrices symétriques.
Soient i<j{1,,n}.
La matrice A commute avec la matrice symétrique Ei,j+Ej,i ce qui permet d’écrire

A(Ei,j+Ej,i)=(Ei,j+Ej,i)A.

L’égalité des coefficients d’indice (i,j) donne

ai,i=aj,j.

La matrice A commute avec la matrice symétrique Ei,i ce qui permet d’écrire

AEi,i=Ei,iA.

L’égalité des coefficients d’indice (i,j) donne

ai,j=0.

On en déduit que la matrice A est de la forme λIn avec λ𝕂.

La réciproque est immédiate.

 
Exercice 14  3167   Correction  

Soit n2. Déterminer les matrices de n(𝕂) commutant avec toutes les matrices antisymétriques.

Solution

Cas: n=2. Les matrices antisymétriques sont colinéaires à la matrice

(01-10).

En étudiant la commutation d’une matrice de 2() avec cette dernière, on obtient que les matrices de 2() commutant avec les matrices antisymétriques sont de la forme

(ab-ba).

Cas: n3. Soit A=(ai,j)n(𝕂) une matrice commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Soient i<j{1,,n} et k{1,,n} avec ki,j.
La matrice A commute avec la matrice antisymétrique Ei,j-Ej,i ce qui permet d’écrire

A(Ei,j-Ej,i)=(Ei,j-Ej,i)A.

L’égalité des coefficients d’indice (i,j) et (k,j) donne

ai,i=aj,j et ak,i=0.

On en déduit que la matrice A est de la forme λIn avec λ𝕂.
La réciproque est immédiate.

 
Exercice 15  712   Correction  

Soient D=diag(a1,,an)n(𝕂) et

φ:Mn(𝕂)DM-MD.
  • (a)

    Déterminer noyau et image de l’endomorphisme φ.

  • (b)

    Préciser ces espaces quand D est à coefficients diagonaux distincts.

Solution

  • (a)

    DEi,j=aiEi,j et Ei,jD=ajEi,j donc

    φ(Ei,j)=(ai-aj)Ei,j.

    Posons I={(i,j)1;n2|aiaj} et J={(i,j)1;n2|ai=aj}=1;n2I.
    Pour (i,j)I, Ei,jIm(φ) et pour (i,j)J, Ei,jKer(φ).
    Ainsi,

    Vect{Ei,j|(i,j)I}Im(φ)etVect{Ei,j|(i,j)J}Ker(φ).

    Or

    dimVect{Ei,j|(i,j)I}+dimVect{Ei,j|(i,j)J}=n2=dimIm(φ)+dimKer(φ)

    donc

    dimVect{Ei,j|(i,j)I}=dimIm(φ)

    et

    dimVect{Ei,j|(i,j)J}=dimKer(φ)

    puis

    Vect{Ei,j|(i,j)I}=Im(φ)etVect{Ei,j|(i,j)J}=Ker(φ).
  • (b)

    Si D est à coefficients diagonaux distincts alors

    I={(i,j)1;n2|ij}etJ={(i,i)|i1;n}.

    Par suite, Im(φ) est l’espace des matrices de diagonale nulle tandis que Ker(φ) est l’espace des matrices diagonales.

 
Exercice 16  3164      CENTRALE (MP)

Soit Mn() une matrice triangulaire supérieure.

Montrer que MtM=MMt si, et seulement si, la matrice M est diagonale.

[<] Problèmes de commutation[>] Calcul des puissances d'une matrice carrée

 
Exercice 17  4526  

Montrer que la matrice suivante est inversible et calculer son inverse

A=(1012-11-11-1)3().
 
Exercice 18  1256  Correction  

Calculer l’inverse des matrices carrées suivantes:

  • (a)

    A=(10-121-3-102)

  • (b)

    B=(1012-11-11-1)

  • (c)

    C=(11-120121-1)

Solution

  • (a)

    Par la méthode du pivot, on opère sur les lignes d’une matrice de blocs A et In pour transformer A en In. On sait qu’alors le bloc In sera transformé en A-1.

    (10-110021-3010-102001).
    (10-110001-1-210001101).
    (100201010-111001101).

    On conclut

    A-1=(201-111101).
  • (b)

    Par la méthode du pivot

    (1011002-11010-11-1001).
    (1011000-1-1-210010101).
    (1011000-1-1-21000-1-111).
    (1011000112-100011-1-1).
    (1000110101010011-1-1).

    On conclut

    B-1=(0111011-1-1).
  • (c)

    Par la méthode du pivot

    (11-110020101021-1001).
    (11-11000-23-2100-11-201).
    (11-11000-11-2010-23-210).
    (11-110001-120-100121-2).
    (100-10101041-300121-2).

    On conclut

    C-1=(-10141-321-2).
 
Exercice 19  2575    CCP (PC)Correction  

Montrer que la matrice

A=(0111101111011110)

est inversible et calculer son inverse.

Solution

On a A2=3I+2A donc

A-1=13(A-2I).
 
Exercice 20  1257  Correction  

Justifier que

A=(1(-1)01)n()

est inversible et déterminer A-1.

Solution

A est inversible car triangulaire supérieure à coefficients diagonaux non nuls.
Soient X,Yn,1(). L’équation Y=AX équivaut à X=A-1Y or

{x1-(x2++xn)=y1xn-1-xn=yn-1xn=yn{x1=y1+y2+2y3++2n-2ynxn-2=yn-2+yn-1+2ynxn-1=yn-1+ynxn=yn

donc

A-1=(1122n-22011).
 
Exercice 21  1291  Correction  

Montrer que les matrices carrées d’ordre n2 suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss:

  • (a)

    A=(1-a(0)-a(0)1)

  • (b)

    B=(1(1)(0)1)

  • (c)

    C=(12n2(0)1)

Solution

  • (a)

    En effectuant successivement les opérations élémentaires: C2C2+aC1,C3C3+aC2,,CnCn+aCn-1 on obtient

    A-1=(1aa2an-101aa21a001).
  • (b)

    En effectuant successivement les opérations élémentaires:
    CnCn-Cn-1,Cn-1Cn-1-Cn-2,,C2C2-C1, on obtient

    A-1=(1-1(0)-1(0)1).
  • (c)

    En effectuant successivement les opérations élémentaires: CnCn-Cn-1,Cn-1Cn-1-Cn-2,,C2C2-C1,
    puis encore CnCn-Cn-1,Cn-1Cn-1-Cn-2,,C2C2-C1, on obtient

    A-1=(1-21(0)111-2(0)1).
 
Exercice 22  5191  

Soit a. Calculer l’inverse de la matrice

M=(1aa2an-11aa2a(0)1)n().
 
Exercice 23  1255  Correction  

Soit

A=(abcd)2(𝕂).

Observer que

A2-(a+d)A+(ad-bc)I=0.

À quelle condition A est-elle inversible? Déterminer alors A-1.

Solution

La relation A2-(a+d)A+(ad-bc)I=0 est immédiate
Si ad-bc0 alors A est inversible et A-1=1ad-bc((a+d)I-A)=1ad-bc(d-b-ca).
Si ad-bc=0 alors A2-(a+d)A=0.
Par l’absurde, si A est inversible, A est régulière donc A=(a+d)I puis A=O. Absurde.

 
Exercice 24  1260   Correction  

Soit

A=(2-125-33-10-2).
  • (a)

    Calculer (A+I3)3.

  • (b)

    En déduire que A est inversible.

Solution

  • (a)

    On a

    A+I3=(1-125-23-10-1)et(A+I3)2=(2-112-11-21-1)

    puis (A+I3)3=O3.

  • (b)

    Par la formule du binôme de Newton (A et I3 commutent), on obtient A3+3A2+3A+I3=O3. On organise ce produit sous la forme AB=I3 avec B=-(A2+3A+3I3). On en déduit que A est inversible et

    A-1=-(A2+3A+3I3).
 
Exercice 25  1261   Correction  

Soit A=(1-δi,j)n()

  • (a)

    Calculer A2.

  • (b)

    Montrer que A est inversible et exprimer A-1.

Solution

  • (a)

    A=J-In avec J2=nJ donc A2=(n-2)J+In=(n-2)A+(n-1)In.

  • (b)

    AB=In pour B=1n-1(A-(n-2)In) donc A est inversible et B=A-1.

 
Exercice 26  1259   

Soient n{0,1}, ω=e2iπ/n et la matrice

A=(ω(k-1)(-1))1k,nn().

On note A¯ la matrice conjuguée de A, c’est-à-dire la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de A.

Calculer AA¯. La matrice A est-elle inversible? Exprimer son inverse si c’est le cas.

 
Exercice 27  2688     MINES (MP)Correction  

Soit ω une racine primitive n-ième de l’unité. On pose

Fω(P)=1nk=0n-1P(ωk)Xk

pour tout Pn-1[X].

Montrer que Fω est un automorphisme de n-1[X] et exprimer son inverse.

Solution

Fω est clairement un endomorphisme de n-1[X]. Sa matrice dans la base (1,X,,Xn-1) est A=(ai,j)0i,jn-1 avec

ai,j=1nωijpour tout 0i,jn-1.

On remarque que A¯A=In car

1nk=0n-1ω(j-i)k={1 si i=j0 sinon.

Par suite, Fω est un automorphisme et Fω-1 étant représenté par A¯,

Fω-1(P)=1nk=0n-1P(ω-k)Xk.
 
Exercice 28  4539   

Soient n et A=(ai,j)0i,jnn+1() la matrice dont le coefficient général11 1 On notera que, dans ce sujet, lignes et colonnes sont indexées à partir du rang 0. est donné par le coefficient binomial:

ai,j=(ji)pour tout (i,j)0;n2.

Soit φ l’endomorphisme de n[X] représenté par la matrice A dans la base canonique (1,X,,Xn).

  • (a)

    Exprimer simplement φ(P) pour tout P de n[X].

  • (b)

    Montrer que A est inversible et calculer A-1.

 
Exercice 29  3420  Correction  

Soient A,B,Cn(𝕂)(n2) non nulles vérifiant

ABC=On.

Montrer qu’au moins deux des matrices A,B,C ne sont pas inversibles.

Solution

Supposons A et B inversibles. En multipliant à gauche par A-1 et B-1, on obtient C=On ce qui est exclu.
En raisonnant de façon analogue, on exclut les autres cas où deux des trois matrices sont inversibles.

 
Exercice 30  4536   

Soit N une matrice nilpotente de n().

  • (a)

    Vérifier que la matrice I3-N est inversible et exprimer son inverse.

  • (b)

    Soit An() telle que AN=NA. Montrer que les matrices A et A+N sont simultanément11 1 Autrement dit, lorsque l’une des deux matrices est inversible, l’autre l’est aussi. inversibles.

 
Exercice 31  1262   Correction  

Soit An(𝕂) telle que la matrice In+A soit inversible. On pose B=(IN-A)(IN+A)-1.

  • (a)

    Montrer que B=(IN+A)-1(IN-A).

  • (b)

    Montrer que IN+B est inversible et exprimer A en fonction de B.

Solution

  • (a)

    Comme (IN+A)(IN-A)=(IN-A)(IN+A), on a, en multipliant à droite et à gauche par (IN+A)-1, la relation

    (IN-A)(IN+A)-1=(IN+A)-1(IN-A).
  • (b)

    On a

    (IN+A)(IN+B)=(IN+A)+(IN-A)=2IN

    donc IN+B est inversible et

    (IN+B)-1=12(IN+A)

    puis

    (IN-B)(IN+B)-1=12(IN+A-(IN-A))=A.
 
Exercice 32  5193    

Soit A une matrice antisymétrique réelle de taille n.

  • (a)

    Calculer XtAX pour toute colonne X réelle de hauteur n.

  • (b)

    Montrer que In+A est inversible.

On pose M=(In-A)(In+A)-1

  • (c)

    Montrer que M est inversible et11 1 On dit que la matrice M est orthogonale. M-1=Mt.

 
Exercice 33  1258    

(Matrice à diagonale strictement dominante)

Soit A=(ai,j)n() vérifiant

|ai,i|>1jnji|ai,j|pour tout i1;n.

Montrer que la matrice A est inversible.

 
Exercice 34  5196    

Soient An,p() et Bp,n().

Montrer que la matrice In-AB est inversible si, et seulement si, Ip-BA l’est.

 
Exercice 35  4971      MINES (PC)

Soit n avec n2. On note Ω l’ensemble des matrices élémentaires Ei,j de n() d’indice (i,j) avec i et j distincts.

  • (a)

    Montrer que, si un sous-espace vectoriel de n() contient Ω, il contient au moins une matrice inversible.

  • (b)

    Montrer que tout hyperplan de n() contient au moins une matrice inversible.

 
Exercice 36  4961      X (PC)

Montrer qu’une matrice A de n() n’est pas inversible si, et seulement si, il existe une matrice Bn() non nulle vérifiant

(A+B)p=Ap+Bppour tout p*.

[<] Matrices carrées inversibles[>] Symétrie matricielle

 
Exercice 37  1251  

Calculer An pour n et les matrices A suivantes:

  • (a)

    A=(110-1)

  • (b)

    A=(1101)

  • (c)

    A=(1103).

 
Exercice 38  4533  

On considère la matrice réelle

A=(123012001).
  • (a)

    Calculer An pour n.

  • (b)

    Calculer An pour n.

 
Exercice 39  1252  Correction  

On considère la matrice

A=(111011001)

et l’on pose B=A-I3.
Calculer Bn pour n et en déduire l’expression de An.

Solution

B=(011001000),B2=(001000000)

et Bn=O3 pour n3.
Comme B et I3 commutent, la formule du binôme donne

An=(I3+B)n=I3+nB+n(n-1)2B2

et donc

An=(1nn(n+1)201n001).
 
Exercice 40  1253   Correction  

Calculer An pour

A=(110011001)

de deux manières différentes.

Solution

  • (a)

    Par récurrence

    An=(1nn(n-1)201n001).
  • (b)

    A=I3+B avec

    B=(010001000).

    Puisque I3 et B commutent, la formule du binôme donne

    An=I3+nB+n(n-1)2B2

    car Bk=O3 pour k3

 
Exercice 41  1254   Correction  

On considère la matrice

A=(-1-234).
  • (a)

    Calculer A2-3A+2I2. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.

  • (b)

    Pour n2, déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par X2-3X+2.

  • (c)

    En déduire l’expression de la matrice An.

Solution

  • (a)

    A2-3A+2I2=0. Comme A(-12A+32I2)=I2, on a

    A-1=-12A+32I2=(21-3/2-1/2).
  • (b)

    X2-3X+2=(X-1)(X-2). Sachant que le reste de la division euclidienne considérée est de la forme aX+b, en évaluant en 1 et 2, on détermine a et b et l’on obtient

    Xn=(X2-3X+2)Q(X)+(2n-1)X+2-2n.
  • (c)

    On peut remplacer X par A dans le calcul qui précède et l’on obtient

    An=(A2-3A+2I2)Q(A)+(2n-1)A+(2-2n)I2=(2n-1)A+(2-2n)I2

    et donc

    An=(3-2n+12-2n+13.2n-33.2n-2).
 
Exercice 42  2929     X (MP)Correction  

Soit

A=(1(1)(0)1)n().
  • (a)

    Soit k*. Majorer les coefficients de Ak.

  • (b)

    Calculer A-1.

  • (c)

    Calculer (A-1)k pour k.

Solution

  • (a)

    Si Mk majore les coefficients de Ak alors nMk majore les coefficients de Ak+1.
    On en déduit que les coefficients de Ak sont majorés par

    nk-1.

    On peut sans doute proposer plus fin.

  • (b)

    Posons T la matrice de n() dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de coefficients (i,i+1) qui valent 1. On remarque

    A=In+T++Tn-1.

    On en déduit

    (I-T)A=In-Tn

    et puisque Tn=On, on obtient

    A-1=In-T.
  • (c)

    Le calcul des puissances de A-1 est immédiat

    (A-1)k=j=0k(-1)j(kj)Tj

    et donc le coefficient d’indice (i,j) de (A-1)k est

    ai,j-k=(-1)j-i(kj-i)=(-1)j-ik(k-1)(k-j+i+1)(j-i)(j-i-1)1.

    Cette formule laisse présumer que le coefficient d’indice (i,j) de Ak est

    ai,jk=(-1)j-i(-k)(-k-1)(-k-j+i+1)(j-i)(j-i-1)1=(k+j-i-1j-i)

    ce que l’on démontre en raisonnant par récurrence.

 
Exercice 43  4975      X (PC)

Soient A,Bn() vérifiant11 1 A=(0100) et B=(100-1) vérifient la condition proposée. AB+BA=On.

Proposer une formule réalisant le développement de (A+B)m pour m*.

[<] Calcul des puissances d'une matrice carrée[>] Structures constituées de matrices

 
Exercice 44  1263  

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques réelles soit une matrice symétrique.

 
Exercice 45  5192  

Montrer que toute matrice de n() s’écrit de façon unique comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.

 
Exercice 46  5119  

Soit An() une matrice antisymétrique. Calculer XtAX pour Xn,1().

 
Exercice 47  4968     X (PC)

Montrer que toute matrice de n() peut s’écrire comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice nilpotente11 1 Une matrice carrée est dite nilpotente lorsque l’une de ses puissances est nulle (les suivantes l’étant alors a fortiori)..

[<] Symétrie matricielle[>] Calcul par blocs

 
Exercice 48  4524  

Une matrice Mn() est dite symétrique (resp. antisymétrique) lorsque Mt=M (resp. Mt=-M). On note 𝒮n() et 𝒜n() les ensembles constitués des matrices symétriques et des matrices antisymétriques de n().

  • (a)

    Montrer que 𝒮n() et 𝒜n() sont des espaces supplémentaires de n().

  • (b)

    Préciser leurs dimensions respectives.

 
Exercice 49  5126  Correction  

(Les quaternions)

On note l’ensemble des matrices

M(a,b)=(ab-b¯a¯) avec a,b.
  • (a)

    Montrer que est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel réel 2() et que celui-ci est stable par produit.

  • (b)

    Déterminer une base (I,J,K,L) de avec

    I=I2,J2=K2=L2=-IetJK=L=-KJ.
  • (c)

    Vérifier que tout élément non nul de est inversible et que son inverse appartient à .

Solution

  • (a)

    2() est un espace vectoriel complexe de dimension 4 donc aussi un espace vectoriel réel de dimension 8, c’est cette dernière structure qui est considérée ici: les scalaires sont les nombres réels, les vecteurs les matrices carrées complexes de taille 2.

    L’ensemble est une partie non vide de 2() stable par combinaison linéaire car, pour a,b,c,d et λ,μ, on vérifie

    λM(a,b)+μM(c,d)=M(λa+μc,λb+μd).

    Ainsi, est un sous-espace vectoriel l’espace réel 2().

    Au surplus, est stable par produit car, avec les mêmes notations qu’au-dessus,

    M(a,b)M(c,d)=M(ac-bd¯,ad+bc¯).
  • (b)

    et c’est donc une -algèbre. Enfin, en introduisant les parties réelles et imaginaires des nombres complexes a et b, on peut écrire

    M(a,b)=tI2+xJ+yK+zL

    avec t=Re(a), x=Im(a), y=Re(b), z=Im(b) et

    J=(i00-i),K=(01-10)etL=(0ii0)

    est l’ensemble des combinaisons linéaires réelles des quatre matrices11 1 On a les relations remarquables J2=K2=L2=-I2, JK=L, KL=J et LJ=K. I2, J, K et L. Ces dernières étant linéairement indépendantes, est un espace réel de dimension 4.

  • (c)

    Soit (a,b)2. Étudions l’inversibilité de M(a,b) dans .

    Si M(a,b)O2, on a (a,b)(0,0) et det(M(a,b))=|a|2+|b|20. On en déduit que la matrice M(a,b) est inversible dans 2(). De plus, en introduisant sa comatrice, on peut exprimer l’inverse de M(a,b) puis vérifier son appartenance à :

    (M(a,b))-1 =1det(M(a,b))(Com(M(a,b)))t=1|a|2+|b|2(a¯-bb¯a)
    =M(a¯|a|2+|b|2,-b|a|2+|b|2).

    Finalement, tout élément non nul de l’algèbre est inversible22 2 La multiplication sur n’est pas commutative et n’est donc pas un corps dans le sens où ce concept est défini dans le cours..

 
Exercice 50  4535   

Soit E l’ensemble des matrices de la forme

M(a,b,c)=(abcba+cbcba) avec a,b,c.
  • (a)

    Montrer que E est un sous-espace vectoriel de 3() et préciser sa dimension.

  • (b)

    Montrer que ABE pour tous11 1 On dit que E est stable pour le produit matriciel. A et B de E.

Soit A une matrice inversible de E.

  • (c)

    En considérant l’application f:MAM définie sur E, montrer (sans le calculer) que l’inverse de A est élément de E.

 
Exercice 51  1266   Correction  

Soit E l’ensemble des matrices de la forme

M(a,b,c)=(abc0ab00a)

avec a,b,c.
Notre objectif est d’établir que l’inverse d’une matrice inversible de E appartient encore à E, sans pour autant calculer cet inverse.

  • (a)

    Montrer que (E,+,.) est un -espace vectoriel dont on précisera la dimension.

  • (b)

    Montrer que (E,+,×) est un anneau commutatif.

  • (c)

    À quelle condition sur (a,b,c)3, la matrice A=M(a,b,c) est-elle inversible dans 3()? On suppose cette condition vérifiée. En considérant l’application f:EE définie par f(X)=AX, montrer que A-1E.

Solution

  • (a)

    M(a,b,c)=a.I+b.J+c.K avec

    I=(100010001),J=(010001000) et K=J2=(001000000).

    On observe que: E=Vect(I,J,K). Par suite, E un sous-espace vectoriel de 3().
    De plus, la famille (I,J,K) est libre, c’est donc une base de E et par suite dimE=3.

  • (b)

    De plus, IE, M(a,b,c)-M(a,b,c)=M(a-a,b-b,c-c)E et M(a,b,c)M(a,b,c)=(aI+bJ+cK)(aI+bJ+cK)=aaI+(ab+ab)J+(ac+bb+ca)KE.
    Donc E est un sous-anneau de 3().
    De plus, M(a,b,c)M(a,b,c)=M(a,b,c)M(a,b,c), donc E est un anneau commutatif.

  • (c)

    A est inversible si, et seulement si, a0 (ici A est triangulaire supérieure)
    f(λ.X+μ.Y)=A(λ.X+μ.Y)=λ.AX+μ.AY=λ.f(X)+μ.f(Y). f est un endomorphisme de E.
    Soit XE, si XKer(f) alors AX=O puis A-1AX=O d’où X=O. Par suite, Ker(f)={0}
    f est un endomorphisme injectif d’un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, c’est donc un automorphisme. Par suite, il existe BE telle que f(B)=AB=I.
    En multipliant par A-1, on conclut A-1=BE.

 
Exercice 52  1268   Correction  

Soit E l’ensemble des matrices de 2(𝕂) de la forme

A=(a+bb-ba-b) avec (a,b)𝕂2.
  • (a)

    Montrer que E est un sous-espace vectoriel de 2(𝕂), en donner une base.

  • (b)

    Montrer que E est un sous-anneau commutatif de 2(𝕂).

  • (c)

    Déterminer les inversibles de E.

  • (d)

    Déterminer les diviseurs de zéro de E c’est-à-dire les matrices A et BE vérifiant AB=O2 avec A,BO2.

Solution

  • (a)

    E=Vect(I,J) avec

    J=(11-1-1).

    La famille (I,J) forme une base de E car cette famille est évidemment libre.

  • (b)

    E2(𝕂), IE. Soient A=aI+bJE et B=cI+dJE.
    A-B=(a-c)I+(b-d)JE et AB=(ac)I+(ac+bd)J car J2=O.
    Ainsi E est un sous-anneau de 2(𝕂). De plus, AB=BA donc E commutatif.

  • (c)

    Avec les notations précédentes AB=I si, et seulement si,

    {ac=1ad+bc=0.

    Par suite, A est inversible si, et seulement si, a0.

  • (d)

    Avec les notations précédentes AB=O2 si, et seulement si,

    {ac=0ad+bc=0.

    Les diviseurs de zéros sont donc les matrices

    (bb-b-b) avec b𝕂.
 
Exercice 53  1563   

On dit qu’une matrice A=(ai,j)n(𝕂) est centro-symétrique lorsque

an+1-i,n+1-j=ai,jpour tout (i,j)1;n2.
  • (a)

    Décrire les matrices centro-symétriques lorsque n=2 et n=3.

On note 𝒞 le sous-espace vectoriel11 1 On vérifie aisément que la matrice nulle est centro-symétrique et qu’une combinaison linéaire de matrices centro-symétriques l’est encore. On peut aussi établir que l’espace 𝒞 est de dimension n2+12. de n(𝕂) formé des matrices centro-symétriques.

  • (b)

    Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques de n(𝕂) est aussi centro-symétrique.

  • (c)

    Soit An(𝕂) une matrice centro-symétrique inversible. En considérant l’application MAM de 𝒞 vers 𝒞, montrer que A-1 est centro-symétrique.

 
Exercice 54  4219    

(Matrices de permutation)

Soient n un entier au moins égal à 2 et 𝒮n l’ensemble des permutations11 1 Une permutation de 1;n est une bijection de l’ensemble 1;n vers lui-même. Il est remarquable que la composée de deux permutations de 1;n et la bijection réciproque d’une permutation de 1;n sont des permutations de 1;n. de 1;n. On appelle matrice d’une permutation σ de 𝒮n, la matrice déterminée par

P(σ)=(δi,σ(j))1i,jnn()avecδi,j={1 si i=j0 si ij.
  • (a)

    On suppose n=3. Déterminer les matrices P(σ) et P(σ) pour les permutations de {1,2,3} données par

    (σ(1),σ(2),σ(3))=(2,1,3)et(σ(1),σ(2),σ(3))=(2,3,1)
  • (b)

    Vérifier P(σσ)=P(σ)P(σ) pour tous σ et σ dans 𝒮n.

  • (c)

    Soit σ𝒮n. Justifier que P(σ) est inversible d’inverse (P(σ))t.

 
Exercice 55  5120  

(Matrice stochastique)

On dit qu’une matrice A=(ai,j) de n() est stochastique si tous ses coefficients sont positifs et si

j=1nai,j=1pour tout i1;n.
  • (a)

    L’ensemble des matrices stochastiques constitue-t-il un espace vectoriel pour les opérations usuelles?

  • (b)

    Montrer que l’ensemble des matrices stochastiques de taille n est stable pour la multiplication des matrices.

 
Exercice 56  4220    

(Matrice stochastique)

On dit qu’une matrice A=(ai,j)n() est stochastique si tous ses coefficients sont positifs et si

j=1nai,j=1pour tout i1;n.
  • (a)

    Montrer que l’ensemble des matrices stochastiques de taille n est stable pour la multiplication des matrices.

  • (b)

    À quelle condition une matrice stochastique est-elle inversible tout en ayant pour inverse une matrice stochastique?

[<] Structures constituées de matrices[>] Matrice d'une application linéaire

 
Exercice 57  3264  Correction  

Soient An(𝕂) et

B=(OnAInOn)2n(𝕂).
  • (a)

    Montrer que A est inversible si, et seulement si, B l’est.

  • (b)

    Calculer Bp pour tout p.

Solution

  • (a)

    Si A est inversible alors en posant

    C=(OnInA-1On)2n(𝕂)

    on obtient BC=I2n et l’on en déduit que B est inversible et que C est son inversible en vertu du théorème d’inversibilité.
    Si A n’est pas inversible alors les lignes de A sont liées et les n premières lignes de B sont aussi liées par la même relation linéaire. On en déduit que B n’est pas inversible.

  • (b)

    On obtient

    B2p=(ApOnOnAp)etB2p+1=(OnAp+1ApOn).
 
Exercice 58  3702    CCP (PC)Correction  

Soit

A=(1-100010000-11000-1).

Calculer An pour tout n.

Solution

Par blocs, on a

A=(MO2O2-M) avec M=(1-101).

Par récurrence, on obtient

n,Mn=(1-n01)

et on en déduit

n,An=(1-n00010000(-1)n(-1)n+1n000(-1)n).

On vérifie que cette relation est encore valable pour n en constatant que cette expression satisfait

An×A-n=I4.
 
Exercice 59  747   

Soit Mn(𝕂) une matrice de rang r que l’on suppose pouvoir écrire par blocs

M=(ABCD) avec AGLr(𝕂).
  • (a)

    Montrer que, pour tout Xn-r,1(𝕂), il existe Yr,1(𝕂) telle que

    M(0X)=M(Y0)

    où les 0 désignent des colonnes nulles de tailles appropriées.

  • (b)

    En déduire que D=CA-1B.

 
Exercice 60  3137   Correction  

Soient A,B,C,Dn(𝕂) et

M=(ABCD)2n(𝕂).

On suppose que les matrices A,D et M sont inversibles.
Exprimer M-1.

Solution

On peut écrire la matrice M-1 sous la forme

M-1=(ABCD).

La relation MM-1=I2n donne alors le système

{AA+BC=InCA+DC=OnAB+BD=OnCB+DD=In

qui entraîne

{(A-BD-1C)A=InC=-D-1CAB=-A-1BD(D-CA-1B)D=In.

On en déduit que les matrices A-BD-1C et D-CA-1B sont nécessairement inversible et A et D sont leurs inverses respectifs.
Au final

M-1=((A-BD-1C)-1A-1B(CA-1B-D)-1D-1C(BD-1C-A)-1(D-CA-1B)-1).

[<] Calcul par blocs[>] Matrice d'un endomorphisme

 
Exercice 61  5198  
  • (a)

    Donner la matrice dans la base canonique de l’endomorphisme

    f:{33(x,y,z)(y-z,z-x,x-y).
  • (b)

    Donner la matrice dans la base canonique de l’endomorphisme

    φ:{2[X]2[X]aX2+bX+ca+bX+cX2.
  • (c)

    On suppose muni de sa structure d’espace vectoriel réel. Donner la matrice dans la base (1,i) de l’endomorphisme

    g:{z(1+i)z.
 
Exercice 62  5197  
  • (a)

    Donner la matrice de l’application linéaire

    f:{32(x,y,z)(x+y-z,2x+z)

    relative aux bases canoniques des espaces 3 et 2.

  • (b)

    Soient a,b,c,d des réels. Donner la matrice de l’application linéaire

    E:{3[X]4P(P(a),P(b),P(c),P(d))

    relative aux bases canoniques de 3[X] et 4.

 
Exercice 63  1269  Correction  

Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires f suivantes:

  • (a)

    f:{32(x,y,z)(x+y,y-2x+z)

  • (b)

    f:{33(x,y,z)(y+z,z+x,x+y)

  • (c)

    f:{3[X]3[X]PP(X+1)

  • (d)

    f:{3[X]4P(P(1),P(2),P(3),P(4))

Solution

On note A la représentation matricielle cherchée.

  • (a)
    A=(110-211).
  • (b)
    A=(011101110).
  • (c)
    A=(1111012300130001).
  • (d)
    A=(1111124813927141664).
 
Exercice 64  5199   

Soit

J=(01(0)01(0)0)n().

À l’aide des applications linéaires canoniquement associées, calculer JtJ et JJt.

[<] Matrice d'une application linéaire[>] Étude d'endomorphisme connu par sa matrice

 
Exercice 65  1276  Correction  

Soit

A=(31-3-11111-1).

On note =(e1,e2,e3) la base canonique de 3.
Soit f l’endomorphisme de 3 dont la matrice dans est A.
On pose ε1=(1,1,1),ε2=(1,-1,0),ε3=(1,0,1) et =(ε1,ε2,ε3).

  • (a)

    Montrer que constitue une base de 3.

  • (b)

    Écrire la matrice de f dans cette base.

  • (c)

    Déterminer une base de Ker(f) et de Im(f).

Solution

  • (a)

    On vérifie que la famille est libre, puis c’est une base car formée de trois vecteurs en dimension 3.

  • (b)

    Par calcul matriciel

    f(ε1)=ε1,f(ε2)=2ε2,f(ε3)=0

    et donc

    Mat(f)=(100020000).
  • (c)

    On observe que ε3Ker(f) et ε1,ε2Im(f).
    Le théorème du rang permet de conclure: (ε3) est une base de Ker(f) et (ε1,ε2) est une base de Im(f).

 
Exercice 66  5205  

Dans l’espace réel 𝒞(,), on considère le sous-espace vectoriel E de dimension 4 engendré par les fonctions11 1 Voir le sujet 4512.

c0:xcos(x),c1:xxcos(x),s0:xsin(x)ets1:xxsin(x).
  • (a)

    Montrer que la dérivée d’une fonction de E est encore une fonction de E.

On note D l’endomorphisme de E défini par D(f)=f pour tout fE.

  • (b)

    Donner la matrice de D dans la base =(c0,c1,s0,s1).

  • (c)

    Application: Déterminer les fonctions réelles solutions sur de l’équation différentielle

    (E):y′′+2y+y=xcos(x).
 
Exercice 67  715   Correction  

Soient a* et f: définie par f(z)=z+az¯.

  • (a)

    Former la matrice de l’endomorphisme f du -espace vectoriel dans la base (1,i).

  • (b)

    Déterminer l’image et le noyau de f.

Solution

  • (a)

    Posons x=Re(a) et y=Im(a).
    f(1)=1+x+iy et f(i)=i-ai=y+i(1-x).
    La matrice de f dans la base (1,i) est donc

    (1+xyy1-x).
  • (b)

    Si |a|1 alors det(f)0. Im(f)= et Ker(f)={0}.
    Si |a|=1 alors det(f)=0 et f0. f est un endomorphisme de rang 1.
    On a f(eiθ/2)=2eiθ/2 et f(ei(θ+π)/2)=0 donc

    Im(f)=Vect{eiθ/2}etKer(f)=iIm(f).
 
Exercice 68  5202   

Soient θ et f: définie par f(z)=z+eiθz¯.

  • (a)

    Vérifier que f est un endomorphisme du -espace vectoriel .

  • (b)

    Former la matrice de l’endomorphisme f dans la base (1,i).

  • (c)

    Déterminer le rang, l’image et le noyau de f.

 
Exercice 69  5409   Correction  

Soient a,b et fa,b: définie par fa,b(z)=az+bz¯.

  • (a)

    Vérifier que fa,b est un endomorphisme du -espace vectoriel .

  • (b)

    Former la matrice de fa,b dans la base (1,i).

  • (c)

    Calculer le déterminant de fa,b en fonction de a et b.

  • (d)

    Inversement, soit f: un endomorphisme du -espace vectoriel . Montrer qu’il existe d’uniques nombres complexes a et b tels que f=fa,b.

  • (e)

    Déterminer les complexes a,b pour lesquels fa,b désigne une symétrie vectorielle.

Solution

  • (a)

    On vérifie sans peine que, pour tous λ1,λ2 et tous z1,z2,

    fa,b(λ1z1+λ2z2)=λ1fa,b(z1)+λ2fa,b(z2).
  • (b)

    On a fa,b(1)=a+b et fa,b(i)=i(a-b). Afin d’identifier partie réelle et imaginaire, on écrit

    a=Re(a)+iIm(a)etb=Re(b)+iIm(b).

    On peut alors former la matrice de fa,b

    Mat(1,i)(fa,b)=(Re(a)+Re(b)Im(b)-Im(a)Im(a)+Im(b)Re(a)-Re(b)).
  • (c)

    Immédiatement,

    det(fa,b) =(Re(a)+Re(b))(Re(a)-Re(b))-(Im(a)+Im(b))(Im(b)-Im(a))
    =|a|2-|b|2.
  • (d)

    Analyse: Supposons f=fa,b. On a f(1)=fa,b(1) et f(i)=fa,b(i) ce qui donne

    {a+b=f(1)i(a-b)=f(i).

    Ce système se résout pour fournir

    a=12(f(1)-if(i))etb=12(f(1)+if(i)).

    Cela détermine (a,b)2 de façon unique.

    Synthèse: Pour les valeurs de a et b qui précèdent,

    {f(1)=fa,b(1)f(i)=fa,b(i).

    Les endomorphismes f et fa,b sont égaux sur une base donc égaux sur l’espace entier.

  • (e)

    On observe

    fa,b(fa,b(z))=(a2+|b|2)z+2Re(a)bz¯.

    L’endomorphisme fa,b est donc une symétrie si, et seulement si,

    {a2+|b|2=12Re(a)b=0.

    Dans le cas b=0, on obtient a=±1.

    Dans le cas b0, on obtient

    a=ixetb=1+x2eiθ avec (x,θ)2.

    En écrivant x=sh(φ) avec φ, on obtient aussi l’écriture

    a=ish(φ)etb=ch(φ)eiθ.
 
Exercice 70  1270   Correction  

On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de 3 suivants:

P={(x,y,z)3|x+2y-z=0}etD=Vect(w) où w=(1,0,-1).

On note =(i,j,k) la base canonique de 3.

On note p la projection vectorielle sur P parallèlement à D, q celle sur D parallèlement à P, et enfin, s la symétrie vectorielle par rapport à P et parallèlement à D.

  • (a)

    Former la matrice de p dans .

  • (b)

    En déduire les matrices, dans , de q et de s.

Solution

  • (a)

    Pour u=(x,y,z) calculons p(u)=(x,y,z).
    Comme p(u)-uD, il existe λ𝕂 tel que p(u)=u+λ.w.
    Comme p(u)P on a x+2y-z=0 ce qui donne

    λ=-(x+2y-z)/2

    et donc

    p(u)=((x-2y+z)/2,y,(x+2y+z)/2).

    Par suite,

    Mat(p)=(1/2-11/20101/211/2).
  • (b)

    Comme q=I-p et s=2p-I,

    Mat(q)=(1/21-1/2000-1/2-11/2) et Mat(s)=(0-21010120).
 
Exercice 71  5302   Correction  

Dans l’espace 3, donner la matrice dans la base canonique de la projection sur le plan P d’équation x+y+z=0 parallèlement à la droite D d’équations x=y2=z3.

Solution

Soit u=(x,y,z)3. Le projeté u=(x,y,z) de u sur P parallèlement à D est caractérisé géométriquement par

uPetu-uD=Vect{(1,2,3)}

ce qui donne les conditions

{x+y+z=0x=λ+xy=2λ+yz=3λ+z

(avec λ). Après résolution, on obtient

{x=16(5x-y-z)y=16(-2x+4y-2z)z=16(-3x-3y+3z)

La matrice cherchée est donc

16(5-1-1-24-2-3-33)
 
Exercice 72  714   Correction  

Soit A=(ai,j)1i,jn+1n+1() la matrice dont le coefficient général est donné par un coefficient binomial:

ai,j=(j-1i-1).

Soit φ(n[X]) l’endomorphisme représenté par la matrice A dans la base canonique (1,X,,Xn).

  • (a)

    Exprimer simplement φ(P) pour tout Pn[X].

  • (b)

    Calculer Am pour tout m.

  • (c)

    Calculer A-1.

Solution

  • (a)

    Pour 0kn,

    φ(Xk)=i=0n(ki)Xi=i=0k(ki)Xi+i=k+1n(ki)=0Xi=(X+1)k.

    On en déduit

    φ(P)=P(X+1).
  • (b)

    φm(P)=P(X+m) donc

    φm(Xk)=(X+m)k=i=0k(ki)mk-iXi=i=0n(ki)mk-iXi

    d’où

    Am=(mj-iai,j)1i,jn+1.
  • (c)

    φ-1(P)=P(X-1) donc

    φ-1(Xk)=(X-1)k

    d’où

    A-1=((-1)j-iai,j)1i,jn+1.
 
Exercice 73  5201   

Soit n. Pour Pn[X], on pose φ(P)=nXP-(X2-1)P.

  • (a)

    Vérifier que φ définit un endomorphisme de n[X].

  • (b)

    Former la matrice de φ dans la base11 1 La famille des (X-1)k pour k=0,,n est une base de n[X] car il s’agit d’une famille de polynômes de degrés étagés (voir le sujet 5186). On peut aussi dire que c’est la base liée à la formule de Taylor en λ=1 (). ((X-1)k)0kn.

  • (c)

    L’endomorphisme φ est-il bijectif?

 
Exercice 74  3160     CCP (MP)Correction  

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n2.

  • (a)

    Indiquer des endomorphismes de E dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de E.

  • (b)

    Soit (e1,,en) une base de E. Montrer que pour tout i{2,,n}, la famille (e1+ei,e2,,en) est une base de E.

  • (c)

    Déterminer tous les endomorphismes de E dont la représentation matricielle est diagonale dans toutes les bases de E.

  • (d)

    Quels sont les endomorphismes de E dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de E?

Solution

  • (a)

    Les endomorphismes λIdE ont la propriété voulue.

  • (b)

    Les familles (e1,,en) et (e1+ei,e2,,en) engendrent le même espace vectoriel. Étant toutes deux formées de n vecteurs, si l’une est libre, l’autre aussi.

  • (c)

    Soit u un endomorphisme de E dont la matrice est diagonale dans toutes les bases de E.
    La matrice de u dans la base (e1,,en) est de la forme diag(λ1,λ2,,λn).
    Puisque la matrice de u dans la base (e1+ei,e2,,en) est aussi diagonale, il existe α tel que

    u(e1+ei)=α(e1+ei).

    Or par linéarité

    u(e1+ei)=u(e1)+u(ei)=λ1e1+λiei.

    Par liberté de la famille (e1,ei) on identifie les scalaires et l’on peut affirmer

    λ1=α=λi.

    Ainsi, si un endomorphisme à une représentation matricielle diagonale dans toutes les bases de E, sa matrice est de la forme λIn et donc cet endomorphisme est de la forme λIdE.

  • (d)

    Soit u un tel endomorphisme. Si A=(ai,j) est sa matrice dans une base (e1,,en) alors sa matrice dans la base (e1,2e2,,nen) a pour coefficient général

    jiai,j

    et comme cette matrice doit être égale à la précédente, on obtient

    i,j{1,,n},ijai,j=0.

    Ainsi, cet endomorphisme a une matrice diagonale dans toute base de E et en vertu de ce qui précède, il est de la forme λIdE avec λ.

[<] Matrice d'un endomorphisme[>] Changement de bases

 
Exercice 75  1277  Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel muni d’une base =(i,j,k).
Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans est

A=(2-1-110-11-10).
  • (a)

    Calculer A2. Qu’en déduire sur f?

  • (b)

    Déterminer une base de Im(f) et Ker(f).

  • (c)

    Quelle est la matrice de f relativement à une base adaptée à la supplémentarité de Im(f) et Ker(f)?

Solution

  • (a)
    A2=(2-1-110-11-10)=A

    doncf est une projection vectorielle.

  • (b)

    En résolvant les équations f(x)=x et f(x)=0 on obtient que (u,v) forme une base de Im(f) et (w) forme une base de Ker(f) avec u=i+j,v=i+k et w=i+j+k.

  • (c)
    Mat(u,v,w)(f)=(100010000).
 
Exercice 76  4538  

Déterminer les transformations vectorielles de 3 réalisées par les endomorphismes figurés dans la base canonique par les matrices:

  • (a)

    A=(3-421-11-120)

  • (b)

    B=(00-1111-100).

 
Exercice 77  4528   

Soit f l’endomorphisme de 3 figuré dans la base canonique par la matrice

A=(-13-311-11-11).

On introduit les vecteurs e1=(1,1,0), e2=(-1,1,1) et e3=(0,1,1).

  • (a)

    Montrer que =(e1,e2,e3) est une base de 3.

  • (b)

    Écrire la matrice de f dans cette base.

  • (c)

    Sans calculs, déterminer une base de Ker(f) et de Im(f).

 
Exercice 78  1278   Correction  

Soit

A=(2-1-1-12-1-1-12).

On note =(e1,e2,e3) la base canonique de 3.
Soit f l’endomorphisme de 3 dont la matrice dans est A.

  • (a)

    Déterminer Ker(f) et Im(f). Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans 3.

  • (b)

    Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de f dans cette base.

  • (c)

    Décrire f comme composée de transformations vectorielles élémentaires.

Solution

  • (a)

    Ker(f)=Vect(u) avec u=(1,1,1). Im(f)=Vect(v,w) avec v=(2,-1,-1),w=(-1,2,-1).
    Comme 𝒞=(u,v,w) est libre on peut conclure que Ker(f) et Im(f) sont supplémentaires dans 3.

  • (b)

    𝒞 est une base adaptée à la supplémentarité de Ker(f) et Im(f).

    Mat𝒞(f)=(000030003).
  • (c)

    f est la composée, commutative, de l’homothétie vectorielle de rapport 3 avec la projection vectorielle sur Im(f) parallèlement à Ker(f).

 
Exercice 79  4537   

Soit f l’endomorphisme de 3 figuré dans la base canonique par la matrice

A=(101-121101).
  • (a)

    Déterminer le noyau et l’image de f.

  • (b)

    Vérifier que ces espaces sont supplémentaires et exprimer la matrice de f dans une base adaptée à cette supplémentarité.

  • (c)

    Décrire f comme la composition de deux transformations vectorielles simples.

[<] Étude d'endomorphisme connu par sa matrice[>] Matrice d'un endomorphisme dans une base bien choisie (similitude)

 
Exercice 80  4529  

Soient E un espace vectoriel réel muni d’une base =(e1,e2,e3) et f l’endomorphisme de E figuré dans la base par la matrice

A=(-3-1142-122-1).

On pose e1=e2+e3, e2=e1-e2+e3 et e3=e1-e2.

  • (a)

    Vérifier que =(e1,e2,e3) est une base de E.

  • (b)

    Former la matrice D de f dans la base .

  • (c)

    Exprimer la matrice de passage P de à et son inverse P-1.

  • (d)

    Quelle relation relie les matrices A, D et P?

  • (e)

    En déduire une expression de An pour tout n.

 
Exercice 81  1282  Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel muni d’une base =(e1,e2,e3).
Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans est

A=(2-10-21-2113).

Soit =(ε1,ε2,ε3) la famille définie par

{ε1=e1+e2-e3ε2=e1-e3ε3=e1-e2.
  • (a)

    Montrer que est une base de E et former la matrice D de f dans .

  • (b)

    Exprimer la matrice de passage P de à et calculer P-1.

  • (c)

    Quelle relation lie les matrices A,D,P et P-1?

  • (d)

    Calculer An pour tout n.

Solution

  • (a)

    est libre et formée de trois vecteurs en dimension 3, c’est une base de E.
    f(ε1)=ε1,f(ε2)=2ε2,f(ε3)=3ε3 donc D=diag(1,2,3).

  • (b)
    P=(11110-1-1-10),P-1=(111-1-1-2101).
  • (c)

    Par formule de changement base

    A=PDP-1.
  • (d)

    Puisqu’il est facile de calculer Dn

    An=PDnP-1=(111111-1-1-1)+2n(-1-1-2000112)+3n(101-10-1000).
 
Exercice 82  717  Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base e=(e1,e2,e3).
Soit f(E) dont la matrice dans la base e est

A=(011010-112).

On pose e1=e1+e3, e2=e1+e2 et e3=e1+e2+e3.

  • (a)

    Montrer que la famille e=(e1,e2,e3) forme une base de E et déterminer la matrice B de f dans e.

  • (b)

    Calculer An.

Solution

  • (a)

    On vérifie aisément que la famille e est libre et c’est donc une base de E.
    f(e1)=e1,f(e2)=e2,f(e3)=e3+e1 donc

    B=Matef=(101010001).
  • (b)

    Par récurrence

    Bn=(10n010001)

    puis An=PBnP-1 avec

    P=(111011101) et P-1=(1-1010-1-111)

    d’où

    An=(1-nnn010-nnn+1).
 
Exercice 83  718  Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base =(e1,e2,e3).
Soit f(E) dont la matrice dans la base est

A=(021-121011).

On pose ε1=e1+e3, ε2=e1+e2 et ε3=e1+e2+e3.

  • (a)

    Montrer que =(ε1,ε2,ε3) forme une base de E et déterminer la matrice de f dans .

  • (b)

    Calculer An.

Solution

  • (a)

    On vérifie aisément que la famille est libre et c’est donc une base de E.
    f(ε1)=ε1,f(ε2)=ε1+ε2,f(ε3)=ε1+ε2+ε3 donc

    Matf=(111011001)=B.
  • (b)

    B=I3+J avec

    J=(011001000),J2=(001000000).

    Puisque I3 et J commutent la formule du binôme donne

    Bn=I3+nJ+n(n-1)2J2

    car Jk=O3 pour k3.
    Par formule de changement de base, on obtient

    An=(1-n(n+1)2n(n+3)2n(n+1)2-nn+1n-n(n-1)2n(n+1)21+n(n-1)2).
 
Exercice 84  716  Correction  

Soit f(3) représenté dans la base canonique par

(21-1010110).
  • (a)

    Soit 𝒞=(ε1,ε2,ε3) avec ε1=(1,0,1),ε2=(-1,1,0),ε3=(1,1,1). Montrer que 𝒞 est une base.

  • (b)

    Déterminer la matrice de f dans 𝒞.

  • (c)

    Calculer la matrice de fn dans pour tout n.

Solution

  • (a)

    On vérifie aisément que famille 𝒞 est libre et c’est donc une base de 3.

  • (b)

    f(ε1)=ε1, f(ε2)=ε2 et f(ε3)=ε1+ε3 donc

    Mat𝒞f=(101010001).
  • (c)

    Par récurrence:

    Mat𝒞(fn)=(10n010001).

    Par la formule de changement de bases avec

    P=(1-11011101)etP-1=(-1-12-10111-1)

    on obtient

    Mat(fn)=(n+1n-n010nn1-n).
 
Exercice 85  1283   Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel muni d’une base =(e1,e2,e3).
Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans est

A=(3-22120111).
  • (a)

    Montrer qu’il existe une base 𝒞=(ε1,ε2,ε3) de E dans laquelle la matrice représentative de f est une matrice diagonale D de coefficients diagonaux: 1,2 et 3.

  • (b)

    Déterminer la matrice de passage P de à 𝒞. Calculer P-1.

  • (c)

    Quelle relation lie les matrices A,D,P et P-1?

  • (d)

    Calculer An pour tout n.

Solution

  • (a)

    En recherchant des vecteurs tels que f(x)=x,f(x)=2x et f(x)=3x on observe que ε1=(-1,1,2),ε2=(0,1,1) et ε3=(1,1,1) conviennent. De plus, ces trois vecteurs forment une famille libre et donc une base de 3.

  • (b)
    P=(-101111211) et P-1=(0-11-13-21-11).
  • (c)

    Par changement base

    A=PDP-1.
  • (d)

    Sachant calculer Dn on obtient

    An=(3n1-3n-1+3n-2n+3n-1+3.2n-3n1-2.2n+3n-2n+3n-2+3.2n-3n2-2.2n+3n)

    que l’on peut encore écrire

    An=(01-10-110-22)+2n(000-13-2-13-2)+3n(1-111-111-11).
 
Exercice 86  4540   

Soit E un espace vectoriel réel de dimension 3 muni d’une base =(e1,e2,e3).

On considère les matrices

A=(0111011-10)etD=(0000-10001).

Soit f l’endomorphisme de E figuré par la matrice A dans la base .

  • (a)

    Montrer que l’endomorphisme f peut être représenté par la matrice D.

  • (b)

    En déduire une matrice PGL3() telle que A=PDP-1.

  • (c)

    On considère les suites réelles (xn), (yn) et (zn) déterminées par:

    {x0=1y0=0z0=0et{xn+1=yn+znyn+1=xn+znzn+1=xn-ynpour tout n.

    Exprimer xn, yn et zn pour tout n1.

 
Exercice 87  1284   Correction  

Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension 3 et =(e1,e2,e3) une base de E.
On considère les matrices

A=(4-2-210-13-2-1)etD=(000010002).

Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base est A.

  • (a)

    Montrer qu’il existe une base 𝒞=(ε1,ε2,ε3) de E telle que la matrice de f dans 𝒞 soit D.

  • (b)

    Déterminer la matrice P de GL3() telle que A=PDP-1. Calculer P-1.

  • (c)

    Calculer An pour tout n.

  • (d)

    En déduire le terme général des suites (xn)n,(yn)n et (zn)n définies par:

    {x0=1y0=0z0=0et{xn+1=4xn-2(yn+zn)yn+1=xn-znzn+1=3xn-2yn-znpour tout n.

Solution

  • (a)

    En résolvant les équations: f(u)=0,f(u)=u et f(u)=2u on trouve que ε1=e1+e2+e3,ε2=e2-e3 et ε3=e1+e3 sont des vecteurs tels que f(ε1)=0,f(ε2)=ε2,f(ε3)=2ε3.
    On vérifie aisément que la famille 𝒞 est libre et c’est donc une base de E, celle-ci convient.

  • (b)

    On a

    P=(1011101-11),P-1=(-11110-12-1-1).
  • (c)

    Par changement de base

    An=PDnP-1=(2n+1-2n-2n10-12n+1-1-2n1-2n)=(00010-1-101)+2n(2-1-10002-1-1).
  • (d)

    Posons Xn=(xnynzn)t. On observe Xn+1=AXn. Par récurrence Xn=AnX0.
    Avec X0=(100)t on obtient

    {xn=2n+1yn=1zn=2n+1-1.
 
Exercice 88  3212     CCP (MP)Correction  

Soient b=(i,j) et B=(I,J) deux bases d’un -espace vectoriel de dimension 2 et P la matrice de passage de b à B.
Pour xE, notons

v=MatbxetV=MatBx.
  • (a)

    Retrouver la relation entre v et V.

  • (b)

    Soient f(E) et

    m=MatbfetM=MatBf.

    Retrouver la relation entre m et M.

  • (c)

    Par quelle méthode peut-on calculer mn lorsque l’on connaît deux vecteurs propres non colinéaires de f.

Solution

  • (a)

    P est la matrice de l’application IdE dans les bases B au départ et b à l’arrivée.
    La relation x=IdE(x) donne matriciellement v=PV.

  • (b)

    La relation f=IdE-1fIdE donne matriciellement M=P-1mP.

  • (c)

    Dans une base de vecteurs propres, la matrice de f est diagonale et ses puissances sont alors faciles à calculer. Par changement de base, on en déduit mn.

[<] Changement de bases[>] Rang d'une matrice

 
Exercice 89  1273  Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension 3 et f(E) tel que f20 et f3=0.

Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est

(000100010).

Solution

Comme f20, il existe xE tel que f2(x)0. Posons

e1=x,e2=f(x),e3=f2(x).

Si λ1e1+λ2e2+λ3e3=0 alors

λ1x+λ2f(x)+λ3f2(x)=0.

En appliquant f2 à cette relation, on a λ1f2(x)=0 car on sait f3=0.
Puisque f2(x)0, on a λ1=0 et sans plus de difficultés on montre aussi λ2=0 et λ3=0.
La famille =(e1,e2,e3) est libre en dimension 3, c’est donc une base de E. La matrice de f dans celle-ci est comme voulue.

 
Exercice 90  5203   

Soit f un endomorphisme de 2 vérifiant f2+Id2=0. Montrer que l’on peut trouver une base de 2 dans laquelle la matrice de f est

A=(0-110).
 
Exercice 91  719   Correction  

Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension n* et f(E) tel que fn=0 et fn-10.
Montrer qu’il existe une base de E pour laquelle:

Mat(f)=(010100).

Solution

Soit xKer(fn-1). Un tel x existe puisque fn-10.
Considérons la famille =(fn-1(x),,f(x),x).
Supposons

λn-1fn-1(x)++λ1f(x)+λ0x=0E.

En y appliquant successivement fn-1,,f,Id on obtient λ0=0,,λn-2=0 puis λn-1=0 car fn-1(x)0E.
est une famille libre formée de n=dimE vecteurs, c’est donc une base de E.
De plus, Mat(f) est de la forme convenable.

 
Exercice 92  1275   Correction  

Soit f un endomorphisme d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension n* vérifiant

fn=0etfn-10.
  • (a)

    Justifier qu’il existe un vecteur xE tel que la famille =(x,f(x),f2(x),,fn-1(x)) forme une base de E.

  • (b)

    Déterminer les matrices de f,f2,,fn-1 dans cette base.

  • (c)

    En déduire que

    {g(E)|gf=fg}=Vect(Id,f,f2,,fn-1).

Solution

  • (a)

    Comme fn-10,xE,fn-1(x)0.
    Si λ0x+λ1f(x)++λn-1fn-1(x)=0 alors:
    en composant avec fn-1, on obtient λ0fn-1(x)=0 d’où λ0=0.
    en composant successivement avec fn-2,,f,I, on obtient successivement λ1=0,,λn-2=0,λn-1=0
    Par suite, =(x,f(x),f2(x),,fn-1(x)) est libre et forme donc une base de E.

  • (b)

    On a

    MatBf=(0(0)1(0)10)=A

    puis

    Mat(f2)=A2=(0(0)01(0)100),,.
    Mat(fn-1)=An-1=(0(0)0100).
  • (c)

    Notons C(f)={g(E)|gf=fg}.
    Il est clair que Vect(I,f,f2,,fn-1)C(f).
    Inversement, soit gC(f), notons a0,,an-1 les composantes de g(x) dans . On a

    {g(x)=a0x+a1f(x)++an-1fn-1(x)g(f(x))=f(g(x))=a0f(x)++an-2fn-1(x)g(fn-1(x))=fn-1(g(x))=a0fn-1(x).

    Par suite,

    Matg=(a0(0)a1an-1a1a0)=a0I+a1A++an-1An-1.

    Donc g=a0I+a1f++an-1fn-1Vect(I,f,,fn-1).
    Ainsi,

    C(f)=Vect(I,f,f2,,fn-1).
 
Exercice 93  720   

Soit f un endomorphisme d’un espace réel E de dimension finie vérifiant f2=0. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f s’écrit par blocs

(0Ir00) avec r

où les 0 désignent des blocs nuls de tailles appropriées.

 
Exercice 94  4154     CCP (MP)Correction  

Soit f un endomorphisme non nul d’un -espace vectoriel E de dimension 3 vérifiant f3+f=0.

  • (a)

    Soit xE. Démontrer que si x=y+z avec yKer(f) et zKer(f2+Id) alors y=x+f2(x) et z=-f2(x).

  • (b)

    Montrer que

    E=Ker(f)Ker(f2+Id).
  • (c)

    Prouver dimKer(f2+Id)1. Montrer que, si xKer(f2+Id){0} alors (x,f(x)) est une famille libre de Ker(f2+Id).

  • (d)

    Que vaut det(-Id)? En déduire dimKer(f2+Id)=2.

  • (e)

    Déterminer une base de E dans laquelle la matrice de f est

    (00000-1010).

Solution

  • (a)

    Par hypothèse f(y)=0 et f2(z)=-z. En composant l’identité x=y+z avec f2, on obtient

    f2(x)=0+f2(z)=-z

    et il en découle

    y=x-z=x+f2(x).
  • (b)

    Ce qui précède assure l’unicité de la décomposition d’un vecteur x de E et donc le caractère direct de la somme.

    De plus, pour xE, en posant y=x+f2(x) et z=-f2(x), on vérifie x=y+z et

    f(y) =f(x)+f3(x)=(f3+f)(x)=0
    (f2+Id)(z) =-f4(x)-f2(x)=-(f3+f)(f(x))=0.

    On peut donc affirmer que E est la somme directe de Ker(f) et Ker(f2+Id).

  • (c)

    On a (f2+Id)f=0 donc Im(f)Ker(f2+Id). Or f0 donc dimIm(f)1 puis dimKer(f2+Id)1.

    Soit x un vecteur non nul de Ker(f2+Id). Supposons

    λ.x+μ.f(x)=0. (1)

    En composant avec f, on obtient λ.f(x)+μ.f2(x)=0 puis

    λ.f(x)-μ.x=0. (2)

    La combinaison λ×(1)-μ×(2) donne (λ2+μ2).x=0. Sachant x0, on obtient λ2+μ2=0 puis λ=μ=0 car λ et μ sont réels. La famille (x,f(x)) est donc libre.

  • (d)

    En dimension impaire det(-Id)=-1. Si l’endomorphisme f est inversible, la relation f3+f=0 peut être simplifiée en f2+Id=0. Ceci donne det(f2)=det(-Id)=-1 ce qui est incompatible avec det(f2)=(det(f))20. On en déduit que f n’est pas inversible: dimKer(f)1.

    La conjonction des résultats qui précèdent donne

    dimKer(f)=1 et dimKer(f2+Id)=2.
  • (e)

    Soit y un vecteur non nul de Ker(f) et x un vecteur non nul de Ker(f2+Id). La famille (y) est base de Ker(f) et la famille (x,f(x)) est base de Ker(f2+Id). Ces deux espaces étant supplémentaires dans E, la famille (y,x,f(x)) est base de E. La matrice de f dans celle-ci est de la forme voulue.

 
Exercice 95  2596     CCP (PSI)Correction  

Soit f un élément non nul de (3) vérifiant

f3+f=0.

Montrer que 3=Ker(f)Im(f) et que l’on peut trouver une base dans laquelle f a pour matrice

A=(0000010-10).

Solution

Soit xKer(f)Im(f). Il existe a3 tel que x=f(a) et alors

x=-f3(a)=-f2(x)=-f(f(x))=-f(0)=0.

Ainsi Ker(f)Im(f)={0} puis, par le théorème du rang, on peut affirmer

3=Ker(f)Im(f).

Si f2+Id=0~ alors f2=-Id puis (det(f))2=det(-Id)=-1. C’est impossible.
On en déduit que f2+Id0~ et puisque f(f2+Id)=0~, on a Ker(f){0}.
Soit e1Ker(f) non nul.
Puisque par hypothèse f n’est pas l’application nulle, considérons e2=f(a)Im(f) vecteur non nul. Posons e3=-f(e2)Im(f).
On vérifie

f(e3)=-f2(e2)=-f3(a)=f(a)=e2.

De plus, les vecteurs e2 et e3 ne sont pas colinéaires.
En effet, si e3=λe2, on obtient en composant par f, e2=-λe3 et l’on en déduit e2=-λ2e2. Sachant e20, on obtient λ2=-1 ce qui est impossible avec λ.
Puisque (e2,e3) est une famille libre de Im(f) et puisque (e1) est une famille libre de Ker(f), on peut affirmer que (e1,e2,e3) est une base de 3. Dans celle-ci, la matrice de f est égale à A.

 
Exercice 96  2679     MINES (MP)Correction  

Soient f,g(2) tel que f2=g2=0 et fg=gf. Calculer fg.

Solution

Si f=0 alors fg=0.

Sinon, il existe une base de 2 dans laquelle la matrice de f est

A=(0100).

La matrice de g commutant avec celle de f, elle est de la forme

(ab0a)

Puisque g2=0, il vient a=0.

Par suite, la matrice de fg est nulle.

[<] Matrice d'un endomorphisme dans une base bien choisie (similitude)[>] Image et noyau d'une matrice

 
Exercice 97  4525  

Calculer le rang des matrices suivantes:

  • (a)

    (1-12100-110-10001200000)

  • (b)

    (111-1-1-101102-1)

  • (c)

    (01111012-110-11-101).

 
Exercice 98  1285  Correction  

Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de 3:

  • (a)

    (x1,x2,x3) avec x1=(1,1,0),x2=(1,0,1) et x3=(0,1,1)

  • (b)

    (x1,x2,x3) avec x1=(2,1,1),x2=(1,2,1) et x3=(1,1,2)

  • (c)

    (x1,x2,x3) avec x1=(1,2,1),x2=(1,0,3) et x3=(1,1,2).

Solution

  • (a)

    rg(x1,x2,x3)=3 b) rg(x1,x2,x3)=3 c) rg(x1,x2,x3)=2

 
Exercice 99  1286  Correction  

Calculer le rang des applications linéaires suivantes:

  • (a)

    f:𝕂3𝕂3 définie par

    f(x,y,z)=(-x+y+z,x-y+z,x+y-z).
  • (b)

    f:𝕂3𝕂3 définie par

    f(x,y,z)=(x-y,y-z,z-x).
  • (c)

    f:𝕂4𝕂4 définie par

    f(x,y,z,t)=(x+y-t,x+z+2t,2x+y-z+t,-x+2y+z).

Solution

  • (a)

    rg(f)=3

  • (b)

    rg(f)=2

  • (c)

    rg(f)=4.

 
Exercice 100  2533    CCP (MP)Correction  

Soient u,v:n[X]n[X] définies par

u(P)=P(X+1) et v(P)=P(X-1).
  • (a)

    Calculer rg(u-v) en utilisant sa matrice.

  • (b)

    Retrouver ce résultat d’une autre manière.

Solution

  • (a)

    Dans la base canonique, la matrice de u-v est de la forme

    (02*02n00)

    donc

    rg(u-v)=(n+1)-1=n.
  • (b)

    On peut aussi étudier le noyau de u-v et par un argument de périodicité justifier que seuls les polynômes constants sont éléments de ce noyau.

 
Exercice 101  4541   

Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres réels a, b et c:

  • (a)

    A=(111b+cc+aa+bbccaab)

  • (b)

    B=(111abca3b3c3).

 
Exercice 102  1287   Correction  

Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres:

  • (a)

    (111b+cc+aa+bbccaab)

  • (b)

    (1cos(θ)cos(2θ)cos(θ)cos(2θ)cos(3θ)cos(2θ)cos(3θ)cos(4θ))

  • (c)

    (ab(0)(0)bb(0)a)

Solution

  • (a)

    Notons A=(111b+cc+aa+bbccaab),

    rg(A)=rg(1110a-ba-c0c(a-b)b(a-c))=rg(1110a-ba-c00(b-c)(a-c)).

    En discutant les 5 cas possibles: rg(A)=Card({a,b,c}).

  • (b)

    Notons A=(1cos(θ)cos(2θ)cos(θ)cos(2θ)cos(3θ)cos(2θ)cos(3θ)cos(4θ)).

    rg(A)=rg(100cos(θ)sin2(θ)sin(θ)sin(2θ)cos(2θ)sin(θ)sin(2θ)sin2(2θ)).

    Si sin(θ)=0 alors rg(A)=1.
    Si sin(θ)0 alors

    rg(A)=rg(100cos(θ)sin2(θ)2cos(θ)×sin2(θ)cos(2θ)sin(θ)sin(2θ)2cos(θ)×sin(θ)sin(2θ))=rg(10cos(θ)sin2(θ)cos(2θ)sin(θ)sin(2θ))=2.

    Résumons: Si θ0[π], rg(A)=2, sinon rg(A)=1.

  • (c)

    Notons A la matrice étudiée.
    Cas: a=b=0. rg(A)=0 car la matrice A est nulle.

    Cas: a=0 et b0. rg(A)=n car les n colonnes de A sont indépendantes.

    Cas: a0. En effectuant successivement C2aC2-bC1,C3a2C3-bC2,,Cnan-1Cn-bCn-1, on obtient

    rg(A)=(aaan-(-1)nbn)

    (il y a conservation du rang car a0).

    Donc, si an=(-b)n alors rg(A)=n-1, sinon rg(A)=n.

 
Exercice 103  1289  Correction  

Soient A et B deux matrices carrées d’ordre 3 telles que AB=O3.
Montrer que l’une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à 1.

Solution

Soient u et v les endomorphismes de 3 canoniquement associés à A et B.
Comme uv=0, on a Im(v)Ker(u), puis rg(v)=3-dimKer(v)dimKer(u).
Par suite, dimKer(u)+dimKer(v)3, puis dimKer(u)2 ou dimKer(v)2.
On a alors respectivement rg(u)=rg(A)1 ou rg(v)=rg(B)1.

 
Exercice 104  4542   

Soient A3,2() et B2,3() deux matrices vérifiant

AB=(100010000).

Déterminer les rangs de A et B et calculer BA.

 
Exercice 105  699   Correction  

Soient A3,2() et B2,3() matrices de rang 2 vérifiant (AB)2=AB.
Montrer BA=I2.

Solution

On a A(BA-I2)B=0.
Or puisque A est de rang 2, Ker(A)={0} et donc (BA-I2)B=0.
De plus, puisque B est de rang 2, Im(B)=2() et donc BA-I2=0.

 
Exercice 106  710  Correction  

Soit G un groupe multiplicatif formé d’éléments de n().

Montrer que les éléments de G ont tous le même rang.

Solution

Commençons par noter que le neutre multiplicatif de G n’est pas nécessairement In. Par exemple, G={On} est un groupe multiplicatif formé d’éléments de n().
Notons J le neutre du groupe G. Soit AG.

D’une part, JA=A donc rg(A)=rg(JA)rg(J).

D’autre part, il existe BMn() tel que AB=J donc rg(J)=rg(AB)rg(A).

Finalement,

AG,rg(A)=rg(J).

On peut même être plus précis et constater que les matrices de A ont toutes la même image.

 
Exercice 107  3032     X (MP)Correction  

Soit f:n() non constante telle que:

(A,B)n()2,f(AB)=f(A)f(B).

Pour An(), prouver l’équivalence:

AGLn()f(A)0.

Solution

Commençons par déterminer f(In) et f(On).
On a f(In)=f(In2)=f(In)2 donc f(In)=0 ou 1.
Si f(In)=0 alors pour tout An(), f(A)=f(A×In)=f(A)×f(In)=0 et donc f est constante ce qui est exclu. Ainsi, f(In)=1.
Aussi f(On)=f(On2)=f(On)×f(On) donc f(On)=0 ou 1.
Si f(On)=1 alors pour tout An(), f(A)=f(On)×f(A)=f(On×A)=f(On)=1 et donc f est constante ce qui est exclu. Ainsi, f(On)=0.
Si A est inversible alors f(In)=f(A×A-1) donne f(A)×f(A-1)=1 et donc f(A)0.
La réciproque est plus délicate.
Supposons A non inversible et posons r=rg(A).
La matrice A est équivalente à la matrice

Jr=(IrOr,n-rOn-r,rOn-r)

ce qui permet d’écrire A=QJrP avec P,Q inversibles. On a alors f(A)=f(Q)f(Jr)f(P) et il suffit de montrer f(Jr)=0 pour conclure.
Par permutation des vecteurs de bases, la matrice Jr est semblable à toute matrice diagonale où figure r coefficients 1 et n-r coefficients 0. En positionnant, pertinemment les coefficients 0, on peut former des matrices A1,,Ap toutes semblables à Jr vérifiant

A1Ap=On.

On a alors

f(A1)f(Ap)=0.

Or il est facile d’établir que si deux matrices sont semblables, la fonction f prend les mêmes valeurs sur celles-ci. Par suite, f(Jr)=f(A1)==f(Ap) et ainsi f(Jr)p=0 puis enfin f(Jr)=0.

 
Exercice 108  5349     MINES (MP)Correction  

Soit Mn().

Montrer que la matrice M est inversible ou nulle si, et seulement si, rg(AM)=rg(MA) pour toute matrice An().

Solution

() Si M est inversible alors, pour toute matrice An(), rg(AM)=rg(A) et rg(MA)=rg(A) car on ne modifie pas le rang d’une matrice en multipliant par une matrice inversible. On en déduit rg(AM)=rg(MA). Si M est la matrice nulle alors rg(AM)=rg(MA)=0 pour toute matrice An().

() Supposons rg(AM)=rg(MA) pour toute matrice An(). Si la matrice M n’est pas inversible, il existe une colonne X non nulle telle que MX=0. Pour toute colonne Y, on considère alors A=XYtn() et l’on a

rg(MA)=rg(MXYt)=0 donc rg(XYtM)=0.

Puisque la colonne X n’est pas nulle, nécessairement la ligne YtM doit être nulle. Cela entraîne MtY=0 pour toute colonne Y et donc Mt=0. Ainsi, si la matrice M n’est pas inversible, c’est la matrice nulle.

 
Exercice 109  3861      X (MP)

Soient A,Bn() vérifiant A2B=A et rg(A)=rg(B). Montrer B2A=B.

[<] Rang d'une matrice[>] Rang d'une matrice par blocs

 
Exercice 110  4530  

Déterminer le noyau et l’image de la matrice

A=(1010111-10)3().
 
Exercice 111  4531  

Soient An,p(𝕂) et Bp,q(𝕂). Montrer

AB=On,qIm(B)Ker(A).
 
Exercice 112  1288   Correction  

Soient n* et Mn() définie par

M=(11000110011001).
  • (a)

    Donner le rang de M et la dimension de son noyau.

  • (b)

    Préciser noyau et image de M.

  • (c)

    Calculer Mn.

Solution

  • (a)

    En retirant la première ligne à la dernière

    rg(11000110011001)=rg(11000110010-101)

    puis en ajoutant la deuxième ligne à la dernière etc.

    rg(11000110011001)=rg(11000110010001-(-1)n).

    Si n est pair alors rg(M)=n-1, sinon rg(M)=n.

  • (b)

    Cas: n impair. C’est immédiat, la matrice M est inversible.

    Cas: n pair.

    Ker(M)=Vect((1-11-1)t)

    et

    Im(M):x1-x2+x3++xn-1-xn=0.
  • (c)

    M=I+N avec la matrice de permutation

    N=(01000010011000).

    On en déduit

    Mn=k=0n(nk)Nk=(2(n0)(n1)(n2)(nn-1)(nn-1)2(n0)(n1)(n2)(n2)(n1)(n1)(n2)(nn-1)2(n0))

    en notant (nk) le coefficient binomial «  k parmi n  ».

[<] Image et noyau d'une matrice[>] Matrices de rang 1

 
Exercice 113  1604  Correction  

Soient An(𝕂), Bp(𝕂) et M la matrice

M=(AOn,pOp,nB)n+p(𝕂).

Établir

rg(M)=rg(A)+rg(B).

Solution

Posons r=rg(A) et s=rg(B). Les matrices A et B sont respectivement équivalentes aux matrices

Jr=(IrOr,n-rOn-r,tOn-r) et Js=(IsOs,p-sOp-s,tOp-s).

Il existe donc P,QGLn(𝕂) et R,SGLp(𝕂) telles que

PAQ=Jr et RBS=Js.

En opérant par blocs, on a alors

(POOR)(AOOB)(QOOS)=(JrOOJs)

avec les facteurs

(POOR) et (QOOS)

inversibles.
On en déduit

rg(M)=rg(JrOOJs)=r+s.
 
Exercice 114  1649  Correction  

Soient Bn,p(𝕂) et Cp(𝕂).
Montrer

rg(InBOp,nC)=n+rg(C).

Solution

En multipliant par la matrice inversible

(In-BOp,nIp)

on obtient

rg(InBOp,nC)=rg(InOn,pOp,nC).

En posant r=rg(C), on peut écrire PCQ=Jr avec

P,QGLp(𝕂) et Jr=(IrOr,p-rOp-r,rOp-r).

En multipliant à gauche et à droite par les matrices inversibles

(InOn,pOp,nP) et (InOn,pOp,nQ)

on obtient

rg(InBOp,nC)=rg(InOn,pOp,nJr)=n+r.
 
Exercice 115  3101   Correction  

Soient AGLp(), Bp,q(), Cq() et

M=(ABOq,pC)p+q().

Déterminer le rang de M en fonction de celui de C.

Solution

Introduisons la matrice inversible

M=(A-1Op,qOq,pIq).

On a rg(M)=rg(MM) avec

MM=(IpBOq,pC).

Par opérations élémentaires sur les colonnes, la matrice MM a le rang de la matrice

(IpOp,qOq,pC).

Enfin, les opérations élémentaires déterminant le rang de C se transposent à la matrice en cours afin d’en donner le rang. Au final

rg(M)=p+rg(C).
 
Exercice 116  2335   Correction  

Soient An(𝕂), Bp(𝕂), Cn,p(𝕂) et

M=(ACOp,nB)n+p(𝕂).

On suppose B inversible. Établir

rg(M)=pA=On.

Solution

L’implication () est immédiate car rg(B)=p.
Inversement, supposons rg(M)=p.
Puisque B est inversible, les p dernières lignes de M sont indépendantes et donc les autres lignes de M sont combinaisons linéaires de celles-ci puisque rg(M)=p. Puisque les n premières lignes de M sont combinaisons linéaires des p dernières lignes de M, on a

A=On.
 
Exercice 117  4952     MINES (PC)Correction  

Soient A,Bn(𝕂).

  • (a)

    Exprimer le rang de la matrice M décrite par blocs

    M=(AAAB).
  • (b)

    Calculer l’inverse de M lorsque cela est possible.

Solution

  • (a)

    Méthode: Par opérations élémentaires sur les rangées, on peut opérer sur les blocs tout en conservant le rang de la matrice étudiée.

    En retranchant11 1 Ceci revient à effectuer les opérations élémentaires Ln+iLn+i+Li pour i=1,,n. la première ligne de blocs à la deuxième ligne de blocs, on obtient

    rg(M)=rg(AAAB)=rg(AAOnB-A).

    En opérant sur les colonnes de blocs, on poursuit

    rg(M)=rg(AOnOnB-A).

    On en déduit l’égalité

    rg(M)=rg(A)+rg(B-A).

    En effet, les opérations élémentaires qui transforment A et B-A en matrices échelonnées peuvent être adaptées à la matrice en cours. Le nombre total de pivots obtenus est la somme du nombre de pivots pour A et B-A.

  • (b)

    La matrice M est inversible si, et seulement si, A et B-A le sont. Supposons que ce soit le cas.

    Méthode: On résout l’équation MX=Y en écrivant les colonnes X et Y par blocs.

    Posons

    X=(X1X2),Y=(Y1Y2) avec X1,X2,Y1,Y2n,1(𝕂)

    et étudions l’équation MX=Y ce qui correspond au système

    {AX1+AX2=Y1AX1+BX2=Y2.

    En retranchant la première équation à la seconde, on obtient le système équivalent

    {AX1+AX2=Y1(B-A)X2=Y2-Y1.

    Sachant B-A inversible, on exprime X2 en fonction de Y1 et Y2 par la deuxième équation et l’inversibilité de A permet alors d’exprimer X1 par la première équation

    {X1=(A-1+(B-A)-1)Y1+(A-B)-1Y2X2=(A-B)-1Y1+(B-A)-1Y2.

    Finalement, l’inverse de M est22 2 Pour «  simplifier  » l’écriture, on a factorisé A-1+(B-A)-1 en A-1(In+A(B-A)-1) puis en A-1((B-A)+A)(B-A)-1 ce qui donne A-1B(B-A)-1.

    M-1=(A-1+(B-A)-1(A-B)-1(A-B)-1(B-A)-1).
 
Exercice 118  3134   Correction  

Soient A,B,C,Dn(𝕂).

  • (a)

    On note (AB)n,2n(𝕂) la matrice obtenue en accolant les colonnes de B à droite de celles de A.
    Montrer

    rg(AB)=rg(A)Un(𝕂),B=AU.
  • (b)

    On note (AC)2n,n(𝕂) la matrice obtenue en accolant les lignes de C en dessous de celles de A.
    Montrer

    rg(AC)=rg(A)Vn(𝕂),C=VA.
  • (c)

    En déduire

    rg(ABCD)=rg(A)U,V,n(𝕂),(ABCD)=(AAUVAVAU).

Solution

  • (a)

    () Supposons

    rg(AB)=rg(A)=r.

    Rappelons que le rang d’une matrice est le rang de la famille de ses colonnes.
    Puisque rg(A)=r, la matrice A possède r colonnes indépendantes.
    Puisque rg(AB)=r, les colonnes de (AB) sont toutes combinaisons linéaires des colonnes précédentes.
    En particulier les colonnes de B sont combinaisons linéaires des colonnes de A. Ceci permet de former Un(𝕂) vérifiant B=AU.

    () Supposons B=AU.
    Les colonnes de B sont combinaisons linéaires des colonnes de A et donc par opérations sur les colonnes

    rg(AB)=rg(AOn)=rg(A).
  • (b)

    Il suffit de transposer le raisonnement qui précède en raisonnant sur les lignes et en exploitant que le rang d’une matrice est aussi le rang de la famille des ses lignes.

  • (c)

    Supposons

    rg(ABCD)=rg(A).

    Puisque

    rg(A)rg(AB)rg(ABCD)=rg(A)

    on a

    rg(A)=rg(AB)etrg(ABCD)=rg(AB).

    En vertu de a) il existe une matrice Un(𝕂) telle que

    B=AU.

    En raisonnant comme en b), il existe une matrice Vn(𝕂) telle que

    (CD)=(VAVB).

    On en déduit

    (ABCD)=(AAUVAVAU).

    Inversement, supposons

    (ABCD)=(AAUVAVAU).

    Les n dernières lignes étant combinaisons linéaires des n premières, on a

    rg(ABCD)=(AAUOnOn)=rg(AAU)

    puis

    rg(ABCD)=(AAUOnOn)=rg(A).

[<] Rang d'une matrice par blocs[>] Matrices équivalentes

 
Exercice 119  700  Correction  

Soit A une matrice carrée de rang 1. Montrer qu’il existe λ𝕂 tel que A2=λA.

Solution

Il existe une colonne X telle que AX0 et alors Im(A)=Vect(AX).
A2XIm(A) donc il existe λ𝕂 tel que A2X=λAX.
De plus, pour YKer(A), A2Y=0=λAY.
Enfin Ker(A) et Vect(X) sont supplémentaires dans n,1(𝕂) donc A2=λA.

 
Exercice 120  701   

Soit An(𝕂) une matrice de rang 1.

  • (a)

    Établir l’existence de deux colonnes X,Yn,1(𝕂) vérifiant A=YXt.

  • (b)

    En déduire l’existence de λ𝕂 tel que A2=λA.

 
Exercice 121  4974     MINES (PC)

Soient (X1,,Xn) et (Y1,,Yn) deux familles libres d’éléments de n,1().

Établir que la famille (XiYjt)1i,jn est une base de n() constituée de matrices de rang 1.

 
Exercice 122  3460   Correction  

Soit Hn() une matrice de rang 1.

  • (a)

    Montrer qu’il existe des matrices U,Vn,1(𝕂) telles que H=UVt.

  • (b)

    En déduire

    H2=tr(H)H.
  • (c)

    On suppose tr(H)-1. Montrer que In+H est inversible et

    (In+H)-1=In-11+tr(H)H.
  • (d)

    Soient AGLn(𝕂) telle que tr(HA-1)-1. Montrer que A+H est inversible et

    (A+H)-1=A-1-11+tr(HA-1)A-1HA-1.

Solution

  • (a)

    Soit U une colonne non nulle de l’image de H.
    Pour tout 1jp, la colonne Cj de H peut s’écrire Cj=λjU avec λj𝕂.
    La matrice colonne V=(λ1λn)t vérifie alors H=UVt.

  • (b)

    On a alors H2=U(VtU)Vt avec λ=VtU un scalaire donc H2=λH et

    λ=VtU=tr(VtU)=tr(UVt)=tr(H).
  • (c)

    En développant

    (In+H)(In-11+tr(H)H)=In+H-11+tr(H)H-11+tr(H)H2=In.

    Par le théorème d’inversibilité des matrices, on obtient In+H est inversible et

    (In+H)-1=In-11+tr(H)H.
  • (d)

    On a rg(HA-1)=rg(H)=1 car on ne modifie pas le rang en multipliant par une matrice inversible.
    On en déduit que In+HA-1 est inversible et

    (In+HA-1)-1=In-11+tr(HA-1)HA-1.

    En multipliant par la matrice inversible A, on obtient A+H=(In+HA-1)A inversible et

    (A+H)-1=A-1(In+HA-1)-1=An-1-11+tr(HA-1)A-1HA-1.

[<] Matrices de rang 1[>] Trace

 
Exercice 123  1290  

Soit An,p(𝕂) une matrice de rang r. Montrer qu’il existe des matrices B et C, respectivement dans n,r(𝕂) et r,p(𝕂), telles que A=BC.

 
Exercice 124  2602   

Soit An() une matrice de rang r. Déterminer la dimension de l’espace

{Bn()|ABA=On}.
 
Exercice 125  703   Correction  
  • (a)

    Montrer qu’une matrice An(𝕂) est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente.

  • (b)

    Soit f:n(𝕂)𝕂 une application vérifiant: f(On)=0, f(In)0 et pour tous A,Bn(𝕂),

    f(AB)=f(A)f(B).

    Montrer que An(𝕂) est inversible si, et seulement si, f(A)0.

Solution

  • (a)

    Si A n’est pas inversible alors rg(A)<n. Or il est possible de construire une matrice nilpotente de rang égal à rg(A). Deux matrices étant équivalentes si, et seulement si, elles ont le même rang, on peut conclure que A est équivalente à une matrice nilpotente. La réciproque est immédiate.

  • (b)

    Si A est inversible alors f(A)f(A-1)=f(In)=1 donc f(A)0. Si A n’est pas inversible alors A est équivalente à une matrice nilpotente B. Pour celle-ci, on a f(B)=0 car f(Bn)=f(B)n. Puisque l’on peut écrire A=PBQ avec P et Q inversibles, on peut conclure f(A)=0.

 
Exercice 126  1602   Correction  

Soient A,Bn(𝕂).

  • (a)

    Justifier qu’il existe U,VGLn(𝕂) tels que

    rg(UA+BV)=min(n,rg(A)+rg(B)).
  • (b)

    On suppose rg(A)+rg(B)n. Montrer qu’il existe U,VGLn(𝕂) tels que

    UA+BVGLn().

Solution

  • (a)

    Posons r=rg(A) et s=rg(B). Les matrices A et B sont respectivement équivalentes aux matrices

    Jr=(IrOr,n-rOn-r,tOn-r)etJs=(On-sOn-s,sOs,n-sIs).

    Il existe donc P,Q,R,SGLn() telles que

    PAQ=Jr et RBS=Js

    et alors

    PAQ+RBS=Jr+Js

    qui est une matrice de rang min(n,r+s).
    On peut aussi écrire

    (R-1P)A+B(SQ-1)=R-1(Jr+Js)Q-1

    et en posant U=R-1P et V=SQ-1, on obtient U,VGLn() telles que

    rg(UA+BV)=min(n,r+s).
  • (b)

    Si r+sn alors min(n,r+s)=n et ce qui précède conduit à une matrice inversible.

 
Exercice 127  4963   Correction  

Soit An,p(). Existe-t-il une matrice Mp,n() vérifiant A=AMA?

Solution

Soit r=rg(A). On peut écrire A=QJrP avec P,Q inversibles et Jr matrice canonique de rang r de type (n,p). Considérons alors M=P-1JrQ-1 avec Jr matrice canonique de rang r de type (p,n). Puisque JrJrJr=Jr, on obtient par simple calcul AMA=A.

[<] Matrices équivalentes[>] Trace d'une projection

 
Exercice 128  4216  

Soient An,p(𝕂) et Bp,n(𝕂). Établir tr(AB)=tr(BA).

 
Exercice 129  5121  
  • (a)

    Existe-t-il des matrices A,Bn(𝕂) telles que AB-BA=In?

  • (b)

    On suppose que A,Bn(𝕂) vérifient (AB-BA)2=AB-BA. Montrer que A et B commutent.

 
Exercice 130  3259  

Soient A et B deux matrices de n(𝕂) vérifiant AB-BA=A.

Calculer tr(Ap) pour tout p*.

 
Exercice 131  731  Correction  

Soit φ une forme linéaire sur n(𝕂). Montrer qu’il existe An(𝕂) tel que pour tout Mn(𝕂), φ(M)=tr(AM).

Solution

Posons aj,i=φ(Ei,j). φ(M)=1i,jnaj,imi,j=tr(AM) avec A=(ai,j).

 
Exercice 132  729  Correction  

Soit f un endomorphisme de rang 1 d’un 𝕂-espace vectoriel E de dimension n1. Montrer

f2=tr(f)f

Solution

Méthode: On figure l’endomorphisme f dans une base adaptée à son noyau.

Par la formule du rang,

dimKer(f)=dimE-rg(f)=n-1

Soit (e1,,en-1) une base de Ker(f) complétée en =(e1,,en-1,en) base de E. Les premiers vecteurs de cette base annulant f, la matrice de f dans est de la forme

M=(00α100αn)

Par produit matriciel, on vérifie M2=αnM et donc f2=αn.f avec αn=tr(M)=tr(f).

 
Exercice 133  2547    CCP (MP)Correction  

Soit E un -espace vectoriel de dimension finie n>1.
Montrer que f(E) de rang 1 n’est pas forcément un projecteur.
Montrer que f(E) de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base de (E) constituée de projecteurs.

Solution

Soit (e1,,en) une base de E avec e1,,en-1Ker(f).
La matrice de f dans cette base est de la forme

A=(00λ1λn-100λn)

avec λn=tr(f).
On observe alors que A2=λnA.
Ainsi si tr(f)=1 alors A2=A donc f2=f puis f est un projecteur.
Par l’isomorphisme de représentation matricielle dans une base donnée de E, on peut retraduire le problème matriciellement.
En considérant les éléments Ei,i et Ei,i+Ei,j pour 1ijn on forme une base de n() telle que souhaitée.

 
Exercice 134  4976     X (PC)Correction  

À quelle condition existe-t-il des matrices A,Bn() vérifiant (AB-BA)2=In?

Solution

Supposons que de telles matrices existent et posons M=AB-BA. D’une part

tr(M)=tr(AB)-tr(BA)=0

et d’autre part M2=In et M est donc la matrice d’une symétrie, semblable à

(Ip00Iq) avec p=dimKer(M-In) et q=dimKer(M+Is).

On a donc

p-q=0

et l’entier n=p+q est nécessairement pair.

Inversement, si n est pair, on écrit n=2p et les matrices A et B suivantes sont solutions

A=(0Ip00)etB=(00Ip0).

En résumé, de telles matrices A et B existent si, et seulement si, n est un entier pair.

 
Exercice 135  732   

Soit T une forme linéaire sur n(𝕂) vérifiant T(AB)=T(BA) pour toutes matrices A et B de n(𝕂). Établir que T est colinéaire à la forme linéaire trace.

 
Exercice 136  2686     MINES (MP)Correction  
  • (a)

    Soit f une forme linéaire sur n() vérifiant

    A,Bn(),f(AB)=f(BA)

    montrer que f est proportionnelle à la trace.

  • (b)

    Soit g un endomorphisme de l’espace vectoriel n() vérifiant

    g(AB)=g(BA)

    pour toutes matrices A,Bn() et g(In)=In. Montrer que g conserve la trace.

Solution

  • (a)

    Notons Ei,j les matrices élémentaires de n(). Puisque

    Ei,i=Ei,jEj,i et Ej,j=Ej,iEi,j

    l’hypothèse de travail donne

    f(Ei,i)=f(Ei,jEj,i)=f(Ej,iEi,j)=f(Ej,j).

    De plus, pour ij, on a

    Ei,j=Ei,jEj,jetOn=Ej,jEi,j

    donc

    f(Ei,j)=f(Ei,jEj,j)=f(Ej,j