[>] Problèmes de commutation

 
Exercice 1  1247  Correction  

Pour An(𝕂), on note σ(A) la somme des termes de A.
On pose

J=(11(1)11).

Vérifier J.A.J=σ(A).J.

Solution

Notons

A=(ai,j)n(𝕂).

On a

σ(A)=k=1n=1nak,.

Par produit B=A.J=(bi,j) avec bi,j==1nai,.1 et C=J.A.J=J.B=(ci,j) avec

ci,j=k=1n1.bk,j=k=1n=1nak,l=σ(A).

Ainsi C=σ(A).J.

 
Exercice 2  1248  

On note Ei,j et Ek, les matrices élémentaires de n,p(𝕂) et p,q(𝕂) d’indices (i,j) et (k,) convenables.

Calculer

Ei,j×Ek,.
 
Exercice 3  5194  

Soient A et B deux matrices de n(𝕂) nilpotentes11 1 On dit qu’une matrice An(𝕂) est nilpotente lorsqu’il existe p* tel que Ap=On..

On suppose que A et B commutent, montrer que A+B est nilpotente.

 
Exercice 4  403     X (MP)Correction  

Soit

M=(abcd)2()

avec 0dcba et b+ca+d.
Pour tout n2, on note

Mn=(anbncndn).

Démontrer que, pour tout n2,

bn+cnan+dn.

Solution

Pour n1, en exploitant Mn+1=M×Mn, on a

{an+1=aan+bcnbn+1=abn+bdncn+1=can+dcndn+1=cbn+ddn.

Par suite,

an+1+dn+1-(bn+1+cn+1)=(a-c)(an-bn)+(b-d)(cn-dn).

Sachant ac et bd, il suffit d’établir anbn et cndn pour conclure.
Dans le cas n=1, la propriété est vérifiée.
Dans le cas n2, exploitons la relation Mn=Mn-1×M

{an=an-1a+bn-1cbn=an-1b+bn-1dcn=cn-1a+dn-1cdn=cn-1b+dn-1d.

On a alors

an-bn=an-1(a-b)+bn-1(c-d) et cn-dn=cn-1(a-b)+dn-1(c-d).

Puisqu’il est évident que an-1,bn-1,cn-1,dn-10 (cela se montre par récurrence), on obtient sachant a-b0 et c-d0 les inégalités permettant de conclure.
Notons que l’hypothèse b+ca+d ne nous a pas été utile.

 
Exercice 5  3976     MINES (MP)Correction  

Soit AGLn() vérifiant

A+A1=In.

Pour k, calculer Ak+Ak.

Solution

Posons Bk=Ak+Ak. On vérifie

(Ak+Ak)(A+A1)=Ak+1+A(k+1)+Ak1+A(k1)

et donc

Bk=Bk+1+Bk1.

Sachant B0=2In et B1=In, on a par récurrence Bk=λkIn avec (λk) la suite récurrente linéaire double déterminée par

{λ0=2,λ1=1λk+1=λkλk1.

L’équation caractéristique a pour racines

j=eiπ/3etj¯

et le terme λk s’exprime

λk=αcos(kπ3)+βsin(kπ3).

Après résolution connaissant λ0=2 et λ1=1, on obtient

λk=2cos(kπ3).
 
Exercice 6  5195   

On dit qu’une matrice An(𝕂) est triangulaire supérieure stricte si elle est triangulaire supérieure et que ses coefficients diagonaux sont tous nuls.

  • (a)

    Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure stricte est nilpotente.

  • (b)

    On suppose n=2. Donner un exemple de matrice nilpotente qui ne soit pas triangulaire supérieure stricte.

 
Exercice 7  5190   

Soient An,p() et Bp,n() deux matrices. On suppose

AMB=On pour toute matrice Mp().

Montrer qu’au moins l’une des deux matrices A ou B est nulle.

[<] Opérations sur les matrices[>] Matrices carrées inversibles

 
Exercice 8  697  Correction  

On suppose que A,Bn(𝕂) commutent et que A est inversible.
Justifier que les matrices A-1 et B commutent.

Solution

Il suffit d’écrire

A-1B=A-1(BA)A-1=A-1(AB)A-1=BA-1.
 
Exercice 9  1249  

Soit Dn(𝕂) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux λ1,,λn sont deux à deux distincts.

Déterminer les matrices de n(𝕂) commutant avec D.

 
Exercice 10  3422   

Soient A,Bn(𝕂) vérifiant AB=A+B. Montrer que A et B commutent.

 
Exercice 11  4534   

Soit n avec n2.

  • (a)

    Déterminer les matrices commutant avec toutes celles de n(𝕂).

  • (b)

    Déterminer les matrices commutant avec toutes celles de GLn(𝕂).

  • (c)

    Soit An(𝕂). On suppose que pour toutes matrices M et N de n(𝕂),

    A=MNA=NM.

    Montrer qu’il existe λ𝕂 tel que A=λIn.

 
Exercice 12  3166   Correction  

Soit n2. Déterminer les matrices de n(𝕂) commutant avec toutes les matrices symétriques.

Solution

Soit A=(ai,j)n(𝕂) une matrice commutant avec toutes les matrices symétriques.
Soient i<j{1,,n}.
La matrice A commute avec la matrice symétrique Ei,j+Ej,i ce qui permet d’écrire

A(Ei,j+Ej,i)=(Ei,j+Ej,i)A.

L’égalité des coefficients d’indice (i,j) donne

ai,i=aj,j.

La matrice A commute avec la matrice symétrique Ei,i ce qui permet d’écrire

AEi,i=Ei,iA.

L’égalité des coefficients d’indice (i,j) donne

ai,j=0.

On en déduit que la matrice A est de la forme λIn avec λ𝕂.

La réciproque est immédiate.

 
Exercice 13  3167   Correction  

Soit n2. Déterminer les matrices de n(𝕂) commutant avec toutes les matrices antisymétriques.

Solution

Cas: n=2. Les matrices antisymétriques sont colinéaires à la matrice

(01-10).

En étudiant la commutation d’une matrice de 2() avec cette dernière, on obtient que les matrices de 2() commutant avec les matrices antisymétriques sont de la forme

(ab-ba).

Cas: n3. Soit A=(ai,j)n(𝕂) une matrice commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Soient i<j{1,,n} et k{1,,n} avec ki,j.
La matrice A commute avec la matrice antisymétrique Ei,j-Ej,i ce qui permet d’écrire

A(Ei,j-Ej,i)=(Ei,j-Ej,i)A.

L’égalité des coefficients d’indice (i,j) et (k,j) donne

ai,i=aj,j et ak,i=0.

On en déduit que la matrice A est de la forme λIn avec λ𝕂.
La réciproque est immédiate.

 
Exercice 14  3164      CENTRALE (MP)

Soit Mn() une matrice triangulaire supérieure.

Montrer que MM=MM si, et seulement si, la matrice M est diagonale.

[<] Problèmes de commutation[>] Calcul des puissances d'une matrice carrée

 
Exercice 15  4526  

Montrer que la matrice suivante est inversible et calculer son inverse

A=(1012-11-11-1)3().
 
Exercice 16  1256  Correction  

Calculer l’inverse des matrices carrées suivantes:

  • (a)

    A=(10-121-3-102)

  • (b)

    B=(1012-11-11-1)

  • (c)

    C=(11-120121-1)

Solution

  • (a)

    Par la méthode du pivot, on opère sur les lignes d’une matrice de blocs A et In pour transformer A en In. On sait qu’alors le bloc In sera transformé en A-1.

    (10-110021-3010-102001).
    (10-110001-1-210001101).
    (100201010-111001101).

    On conclut

    A-1=(201-111101).
  • (b)

    Par la méthode du pivot

    (1011002-11010-11-1001).
    (1011000-1-1-210010101).
    (1011000-1-1-21000-1-111).
    (1011000112-100011-1-1).
    (1000110101010011-1-1).

    On conclut

    B-1=(0111011-1-1).
  • (c)

    Par la méthode du pivot

    (11-110020101021-1001).
    (11-11000-23-2100-11-201).
    (11-11000-11-2010-23-210).
    (11-110001-120-100121-2).
    (100-10101041-300121-2).

    On conclut

    C-1=(-10141-321-2).
 
Exercice 17  2575    CCINP (PC)Correction  

Montrer que la matrice

A=(0111101111011110)

est inversible et calculer son inverse.

Solution

On a A2=3I+2A donc

A-1=13(A-2I).
 
Exercice 18  1257  Correction  

Justifier que

A=(1(-1)01)n()

est inversible et déterminer A-1.

Solution

A est inversible car triangulaire supérieure à coefficients diagonaux non nuls.
Soient X,Yn,1(). L’équation Y=AX équivaut à X=A-1Y or

{x1-(x2++xn)=y1xn-1-xn=yn-1xn=yn{x1=y1+y2+2y3++2n-2ynxn-2=yn-2+yn-1+2ynxn-1=yn-1+ynxn=yn

donc

A-1=(1122n-22011).
 
Exercice 19  1291  Correction  

Montrer que les matrices carrées d’ordre n2 suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss:

  • (a)

    A=(1-a(0)-a(0)1)

  • (b)

    B=(1(1)(0)1)

  • (c)

    C=(12n2(0)1)

Solution

  • (a)

    En effectuant successivement les opérations élémentaires: C2C2+aC1,C3C3+aC2,,CnCn+aCn-1 on obtient

    A-1=(1aa2an-101aa21a001).
  • (b)

    En effectuant successivement les opérations élémentaires:
    CnCn-Cn-1,Cn-1Cn-1-Cn-2,,C2C2-C1, on obtient

    A-1=(1-1(0)-1(0)1).
  • (c)

    En effectuant successivement les opérations élémentaires: CnCn-Cn-1,Cn-1Cn-1-Cn-2,,C2C2-C1,
    puis encore CnCn-Cn-1,Cn-1Cn-1-Cn-2,,C2C2-C1, on obtient

    A-1=(1-21(0)111-2(0)1).
 
Exercice 20  5191  

Soit a. Calculer l’inverse de la matrice

M=(1aa2an-11aa2a(0)1)n().
 
Exercice 21  1255  Correction  

Soit

A=(abcd)2(𝕂).

Observer que

A2-(a+d)A+(ad-bc)I=0.

À quelle condition A est-elle inversible? Déterminer alors A-1.

Solution

La relation A2-(a+d)A+(ad-bc)I=0 est immédiate
Si ad-bc0 alors A est inversible et A-1=1ad-bc((a+d)I-A)=1ad-bc(d-b-ca).
Si ad-bc=0 alors A2-(a+d)A=0.
Par l’absurde, si A est inversible, A est régulière donc A=(a+d)I puis A=O. Absurde.

 
Exercice 22  1260   Correction  

Soit

A=(212533102).
  • (a)

    Calculer (A+I3)3.

  • (b)

    En déduire que A est inversible et exprimer A1 comme combinaison linéaire des matrices I3, A et A2.

  • (c)

    Pour n, exprimer An comme combinaison linéaire des matrices I3, A et A2.

Solution

  • (a)

    On a

    A+I3=(112523101)et(A+I3)2=(211211211)

    puis (A+I3)3=O3.

  • (b)

    Par la formule du binôme de Newton (possible car A et I3 commutent), on obtient

    A3+3A2+3A+I3=O3.

    On organise ce produit sous la forme AB=I3 avec B=(A2+3A+3I3).

    On en déduit que A est inversible avec

    A1=(A2+3A+3I3).
  • (c)

    Pour n2, c’est immédiat.

    Pour n3, on écrit par la formule du binôme de Newton

    An=((A+I3)I3)n=k=0n(nk)(1)nk(A+I3)k.

    Pour k3, (A+I3)k=O3 et l’on peut tronquer la somme

    An=k=02(nk)(1)nk(A+I3)k

    puis on concrétise

    An =(1)n(n0)I3+(1)n1(n1)(A+I3)+(1)n2(n2)(A2+2A+I3)
    =(1)n(1n+n(n1)2)I3+(1)n(n(n1)n)A+n(n1)2A2
    =(1)n(n1)(n2)2I3+(1)nn(n2)A+n(n1)2A2.

    Il est remarquable que cette écriture obtenue pour n3 est aussi valable pour n2 et même n=1!

 
Exercice 23  1261   Correction  

Soit A=(1-δi,j)n()

  • (a)

    Calculer A2.

  • (b)

    Montrer que A est inversible et exprimer A-1.

Solution

  • (a)

    On écrire A=J-In avec J2=nJ. On en déduit

    A2=(n-2)J+In=(n-2)A+(n-1)In.
  • (b)

    On a AB=In pour B=1n-1(A-(n-2)In). On en déduit que A est inversible avev A-1=B.

 
Exercice 24  2988   Correction  

Pour n2, on considère la matrice A=(ai,j)n() déterminée par

ai,j={1 si ij0 sinon

Montrer que A est inversible et exprimer A-1.

Solution

On introduit la matrice Jn() dont tous les coefficients sont égaux à 1. On remarque A=J-In et J2=nJ donc

A2=J2-2J+In=(n-2)J+In=(n-2)A+(n-1)In.

On réorganise cette identité en

1n-1(A-(n-2)In)A=In.

On en déduit que A est inversible avec

A-1=1n-1(A-(n-2)In).
 
Exercice 25  1259   

Soient n{0,1}, ω=e2iπ/n et la matrice

A=(ω(k-1)(-1))1k,nn().

On note A¯ la matrice conjuguée de A, c’est-à-dire la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de A.

Calculer AA¯. La matrice A est-elle inversible? Exprimer son inverse si c’est le cas.

 
Exercice 26  3420  Correction  

Soient A,B,Cn(𝕂) (n2) non nulles vérifiant

ABC=On.

Montrer qu’au moins deux des matrices A,B,C ne sont pas inversibles.

Solution

Supposons A et B inversibles. En multipliant à gauche par A-1 et B-1, on obtient C=On ce qui est exclu.
En raisonnant de façon analogue, on exclut les autres cas où deux des trois matrices sont inversibles.

 
Exercice 27  4536   

Soit N une matrice nilpotente de n().

  • (a)

    Vérifier que la matrice In-N est inversible et exprimer son inverse.

  • (b)

    Soit An() telle que AN=NA. Montrer que les matrices A et A+N sont simultanément11 1 Autrement dit, lorsque l’une des deux matrices est inversible, l’autre l’est aussi. inversibles.

 
Exercice 28  1262   Correction  

Soit An(𝕂) telle que la matrice In+A soit inversible. On pose B=(In-A)(In+A)-1.

  • (a)

    Montrer que B=(In+A)-1(In-A).

  • (b)

    Montrer que In+B est inversible et exprimer A en fonction de B.

Solution

  • (a)

    Comme (In+A)(In-A)=(In-A)(In+A), on a, en multipliant à droite et à gauche par (In+A)-1, la relation

    (In-A)(In+A)-1=(In+A)-1(In-A).
  • (b)

    On a

    (In+A)(In+B)=(In+A)+(In-A)=2In

    donc In+B est inversible et

    (In+B)-1=12(In+A)

    puis

    (In-B)(In+B)-1=12(In+A-(In-A))=A.
 
Exercice 29  5193   

Soit A une matrice antisymétrique réelle de taille n.

  • (a)

    Calculer XAX pour toute colonne X réelle de hauteur n.

  • (b)

    Montrer que In+A est inversible.

On pose M=(In-A)(In+A)-1

  • (c)

    Montrer que M est inversible et11 1 On dit que la matrice M est orthogonale. M-1=M.

 
Exercice 30  5816   Correction  

(Matrice à diagonale strictement dominante)

Soit A=(ai,j)n() vérifiant

|ai,i|>1jnji|ai,j|pour tout i1;n.

On considère Xn,1() vérifiant AX=0. En introduisant une coordonnée de X de module maximal, établir que X=0. Que peut-on en déduire?

Solution

Notons x1,,xn les coefficients de X. L’égalité AX=0 donne

j=1nai,jxj=0pour tout i1;n.

On introduit un indice i0 tel que |xi0| est le maximum des |x1|,,|xn| et l’on considère l’égalité précédente pour i=i0. Afin d’exploiter l’hypothèse de travail, on isole le terme d’indice i0 de la somme et l’on passe en valeurs absolues afin d’écrire

|ai0,i0||xi0|ji0|ai0,j||xj||xi0|ji0|ai0,j||xi0|=(ji0|ai0,j|)|xi0|.

Par l’absurde, si |xi0|>0, on simplifie par |xi0| et cela produit une inégalité qui contredit l’hypothèse du sujet. On en déduit |xi0|=0 puis x1==xn=0 car |xi0| a été introduit comme le maximum des |x1|,,|xn|.

Finalement, la colonne X est nulle. Le noyau de la matrice carrée A se limite donc à l’élément nul, cette matrice est inversible.

 
Exercice 31  5196    

Soient An,p() et Bp,n().

Montrer que la matrice In-AB est inversible si, et seulement si, Ip-BA l’est.

 
Exercice 32  4961      X (PC)

Montrer qu’une matrice A de n() n’est pas inversible si, et seulement si, il existe une matrice Bn() non nulle vérifiant

(A+B)p=Ap+Bppour tout p*.

[<] Matrices carrées inversibles[>] Symétrie matricielle

 
Exercice 33  1251  

Calculer An pour n et les matrices A suivantes:

  • (a)

    A=(110-1)

  • (b)

    A=(1101)

  • (c)

    A=(1103).

 
Exercice 34  4533  

On considère la matrice réelle

A=(123012001).
  • (a)

    Calculer An pour n.

  • (b)

    Calculer An pour n.

 
Exercice 35  1253   Correction  

Soit n. Calculer An pour

A=(110011001)

de deux manières différentes.

Solution

Première méthode: On calcule les premières puissances de A puis l’on montre par récurrence

An=(1nn(n-1)201n001).

Deuxième méthode: A=I3+B avec

B=(010001000).

Puisque I3 et B commutent, la formule du binôme donne

An=I3+nB+n(n-1)2B2

car Bk=O3 pour k3

 
Exercice 36  1254   Correction  

On considère la matrice

A=(-1-234).
  • (a)

    Calculer A2-3A+2I2. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.

  • (b)

    Pour n2, déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par X2-3X+2.

  • (c)

    En déduire l’expression de la matrice An.

Solution

  • (a)

    A2-3A+2I2=0. Comme A(-12A+32I2)=I2, on a

    A-1=-12A+32I2=(21-3/2-1/2).
  • (b)

    X2-3X+2=(X-1)(X-2). Sachant que le reste de la division euclidienne considérée est de la forme aX+b, en évaluant en 1 et 2, on détermine a et b et l’on obtient

    Xn=(X2-3X+2)Q(X)+(2n-1)X+2-2n.
  • (c)

    On peut remplacer X par A dans le calcul qui précède et l’on obtient

    An=(A2-3A+2I2)Q(A)+(2n-1)A+(2-2n)I2=(2n-1)A+(2-2n)I2

    et donc

    An=(3-2n+12-2n+13.2n-33.2n-2).
 
Exercice 37  2929     X (MP)Correction  

Soit

A=(1(1)(0)1)n().
  • (a)

    Soit k*. Majorer les coefficients de Ak.

  • (b)

    Calculer A-1.

  • (c)

    Calculer (A-1)k pour k.

Solution

  • (a)

    Si Mk majore les coefficients de Ak alors nMk majore les coefficients de Ak+1.
    On en déduit que les coefficients de Ak sont majorés par

    nk-1.

    On peut sans doute proposer plus fin.

  • (b)

    Posons T la matrice de n() dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de coefficients (i,i+1) qui valent 1. On remarque

    A=In+T++Tn-1.

    On en déduit

    (I-T)A=In-Tn

    et puisque Tn=On, on obtient

    A-1=In-T.
  • (c)

    Le calcul des puissances de A-1 est immédiat

    (A-1)k=j=0k(-1)j(kj)Tj

    et donc le coefficient d’indice (i,j) de (A-1)k est

    ai,j-k=(-1)j-i(kj-i)=(-1)j-ik(k-1)(k-j+i+1)(j-i)(j-i-1)1.

    Cette formule laisse présumer que le coefficient d’indice (i,j) de Ak est

    ai,jk=(-1)j-i(-k)(-k-1)(-k-j+i+1)(j-i)(j-i-1)1=(k+j-i-1j-i)

    ce que l’on démontre en raisonnant par récurrence.

 
Exercice 38  4975      X (PC)

Soient A,Bn() vérifiant11 1 A=(0100) et B=(100-1) vérifient la condition proposée. AB+BA=On.

Proposer une formule réalisant le développement de (A+B)m pour m*.

[<] Calcul des puissances d'une matrice carrée[>] Structures constituées de matrices

 
Exercice 39  1263  

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques réelles soit une matrice symétrique.

 
Exercice 40  5192  

Montrer que toute matrice de n() s’écrit de façon unique comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.

 
Exercice 41  5483  Correction  

Soit An(). Montrer que A est antisymétrique si, et seulement si, XAX=0 pour tout Xn,1().

Solution

() Supposons la matrice A antisymétrique: A=-A.

Pour toute colonne X, XAX est une matrice uni-coefficient et donc égale à sa transposée. Or

(XAX)=XAX=-XAX.

Ainsi, XAX=-XAX et le réel XAX est donc nul.

() Supposons XAX=0 pour tout Xn,1() et notons ai,j le coefficient général de la matrice A. Introduisons aussi (E1,,En) les colonnes élémentaires de n,1():

E1=(100),,En=(001).

Pour i1;n,

EiAEi=ai,i

et donc ai,i=0.

Pour i,j1;n distincts,

(Ei+Ej)A(Ei+Ej)=ai,i+ai,j+aj,i+aj,j=ai,j+aj,i

et donc ai,j=-aj,i.

La matrice A est alors antisymétrique.

 
Exercice 42  4968     X (PC)

Montrer que toute matrice de n() peut s’écrire comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice nilpotente11 1 Une matrice carrée est dite nilpotente lorsque l’une de ses puissances est nulle (les suivantes l’étant alors a fortiori)..

[<] Symétrie matricielle[>] Équations à inconnue matricielle

 
Exercice 43  4219    

(Matrices de permutation)

Soient n un entier au moins égal à 2 et 𝒮n l’ensemble des permutations11 1 Une permutation de 1;n est une bijection de l’ensemble 1;n vers lui-même. Il est remarquable que la composée de deux permutations de 1;n et la bijection réciproque d’une permutation de 1;n sont des permutations de 1;n. de 1;n. On appelle matrice d’une permutation σ de 𝒮n, la matrice déterminée par

P(σ)=(δi,σ(j))1i,jnn() avec δi,j={1 si i=j0 si ij.
  • (a)

    On suppose n=3. Déterminer les matrices P(σ) et P(σ) pour les permutations de {1,2,3} données par

    (σ(1),σ(2),σ(3))=(2,1,3)et(σ(1),σ(2),σ(3))=(2,3,1).
  • (b)

    Vérifier P(σσ)=P(σ)P(σ) pour tous σ et σ dans 𝒮n.

  • (c)

    Soit σ𝒮n. Justifier que P(σ) est inversible d’inverse (P(σ)).

 
Exercice 44  4220    

(Matrice stochastique)

On dit qu’une matrice A=(ai,j)n() est stochastique si tous ses coefficients sont positifs et si

j=1nai,j=1pour tout i1;n.
  • (a)

    Montrer que l’ensemble des matrices stochastiques de taille n est stable pour la multiplication matricielle.

  • (b)

    À quelle condition une matrice stochastique est-elle inversible tout en ayant pour inverse une matrice stochastique?

 
Exercice 45  1268   Correction  

Soit E l’ensemble des matrices de 2(𝕂) de la forme

M=(a+bbbab) avec (a,b)𝕂2.
  • (a)

    Montrer que E est un sous-anneau commutatif de 2(𝕂).

  • (b)

    Déterminer les inversibles de E.

  • (c)

    Déterminer les diviseurs de zéro de E, c’est-à-dire les matrices M et NE vérifiant MN=O2 avec M,NO2.

Solution

  • (a)

    Considérons

    I=(1001)etJ=(1111).

    Les matrices de E sont celles s’écrivant

    M=aI+bJ avec a,b𝕂

    E2(𝕂), IE. Soient M=aI+bJE et N=cI+dJE.
    MN=(ac)I+(bd)JE et MN=(ac)I+(ac+bd)J car J2=O.
    Ainsi, E est un sous-anneau de 2(𝕂). De plus, MN=NM donc E commutatif.

  • (b)

    Avec les notations précédentes MN=I si, et seulement si,

    {ac=1ad+bc=0.

    Par suite, M est inversible si, et seulement si, a0.

  • (c)

    Avec les notations précédentes MN=O2 si, et seulement si,

    {ac=0ad+bc=0.

    Les diviseurs de zéros sont donc les matrices

    (bbbb) avec b𝕂.

[<] Structures constituées de matrices[>] Systèmes d'équations linéaires

 
Exercice 46  4532  

Déterminer toutes les matrices M de 2() vérifiant M2=I2.

 
Exercice 47  5286    SAINT CYR (MP)Correction  

Déterminer une matrice M telle que

M2=A avec A=(100040019).

Solution

On recherche M triangulaire inférieure de la forme

M=(1000200x3).

Pour x=1/5, ça marche.

 
Exercice 48  702   Correction  

Résoudre l’équation X2=A

A=(1010420016).

Solution

Une matrice X solution commute avec A.
En étudiant l’équation AX=XA coefficients par coefficients, on observe que X est de la forme

(a0x0by00c).

Pour une telle matrice, l’équation X2=A équivaut au système:

{a2=1b2=4c2=16(a+c)x=1(b+c)y=2.

Les solutions sont donc

(101/5021/3004),(-101/3021/3004),(101/50-21004),(-101/30-21004),(10-1/302-100-4) etc.
 
Exercice 49  2563     CCINP (MP)

On appelle trace d’une matrice Mn() la somme de ses coefficients diagonaux. On note celle-ci tr(M).

Soient A,Bn(). Résoudre dans n() l’équation

X=tr(X)A+B.
 
Exercice 50  5206   

Pour Mn(), on note σ(M) la somme des coefficients de M.

Soit An(). Résoudre l’équation X+X=σ(X)A d’inconnue Xn().

[<] Équations à inconnue matricielle

 
Exercice 51  1294  Correction  

Résoudre en fonction du paramètre m, les systèmes suivants d’inconnues complexes:

  • (a)

    {x-y+z=mx+my-z=1x-y-z=1

  • (b)

    {mx+y+z=1x+my+z=mx+y+mz=m2

  • (c)

    {mx+y+z+t=1x+my+z+t=mx+y+mz+t=m+1

Solution

  • (a)

    Si m=-1 alors

    𝒮={(y,y,-1)|y}.

    Si m-1 alors

    𝒮={(m+12,0,m-12)}.
  • (b)

    On a

    rg(m111m111m)={1 si m=12 si m=-23 sinon.

    Si m1 et m-2 alors

    𝒮={(-1+m2+m,12+m,(1+m)22+m)}.

    Si m=1 alors

    𝒮={(x,y,1-x-y)|x,y}.

    Si m=-2 alors système incompatible

    𝒮=.
  • (c)

    Si m=1: système incompatible

    𝒮=.

    Si m1,

    {mx+y+z+t=1x+my+z+t=mx+y+mz+t=m+1{x+y+mz+t=m+1(1-m)y+(m-1)z=1(m+2)z+t=m(m+1)m-1

    et donc

    S={(z-mm-1,y=z-1m-1,z,m(m+1)m-1-(m+2)z)|z}.
 
Exercice 52  1296  Correction  

Résoudre le système d’équations suivant d’inconnues complexes:

{x1+x2+x3++xn=1x1+2x2+2x3++2xn=1x1+2x2+3x3++3xn=1x1+2x2+3x3++nxn=1.

Solution

Par les opérations élémentaires: LnLn-Ln-1,,L2L2-L1 on obtient le système équivalent:

{x1+x2++xn=1x2++xn=0xn-1+xn=0xn=0.

Donc

𝒮={(1,0,,0)}.
 
Exercice 53  1295   Correction  

Soient a,b. Résoudre le système:

{ax+by+z=1x+aby+z=bx+by+az=1.

Solution

{ax+by+z=1x+aby+z=bx+by+az=1.
{x+by+az=1b(1-a)y+(1-a2)z=1-ab(a-1)y+(1-a)z=b-1,.
{x+by+az=1b(1-a)y+(1-a2)z=1-a(1-a)(2+a)z=b-a.

Cas: a1, a-2 et b0.

x=a-b(a-1)(a+2),y=ab-2+b(a-1)(a+2)b,z=a-b(a-1)(a+2).

Cas: a1, a-2 et b=0. On doit avoir simultanément

(1-a2)z=1-a et (1-a)(2+a)z=-a

ce qui est incompatible: 𝒮=.

Cas: a=1.

{x+by+z=10=00=b-1.

Si b1 alors 𝒮=.

Si b=1 alors 𝒮:x+y+z=1.

Cas: a=-2.

{x+by-2z=13by-3z=30=b+2.

Si b-2 alors 𝒮=.
Si b=-2 alors

{x=-1-2yz=-1-2y.
 
Exercice 54  2579     CCINP (MP)Correction  

Résoudre, en discutant selon a,b, le système

{ax+y+z+t=1x+ay+z+t=bx+y+az+t=b2x+y+z+at=b3.

Solution

La matrice de ce système carré n’est pas inversible lorsque a=1 ou a=-3.

Cas: a=1. Le système est compatible si, et seulement si, b=1 et ses solutions sont les quadruplets (x,y,z,t) vérifiant

x+y+z+t=1.

Cas: a=-3. En sommant les quatre équations, on obtient l’équation de compatibilité 0=1+b+b2+b3.

Si b{i,-1,-i} alors le système est incompatible.

Si b{i,-1,-i}, on conduit la résolution

{x-3y+z+t=bx+y-3z+t=b2x+y+z-3t=b3 {x-3y+z+t=b4y-4z=b2-b4y-4t=b3-b
{x=y+12b+14b2+14b3z=y+14(b-b2)t=y+14(b-b3)

ce qui permet d’exprimer la droite des solutions.
Cas: a{1,-3}. C’est un système de Cramer…

Sa solution est

x =2+a-b-b2-b32a-3+a2, y=ab-1+2b-b2-b32a-3+a2,
z =ab2-1-b+2b2-b32a-3+a2, t=ab3-1-b-b2+2b32a-3+a2.
 
Exercice 55  2560     CCINP (MP)Correction  

Résoudre, en discutant selon a,b, le système

{ax+2by+2z=12x+aby+2z=b2x+2by+az=1.

Solution

{ax+2by+2z=12x+aby+2z=b2x+2by+az=1{2x+2by+az=1b(a-2)y+(2-a)z=b-1(a-2)x+(2-a)z=0.

Si a=2, on parvient au système

{2x+2by+2z=10=b-1.

Dans le cas b1, le système est incompatible.
Dans le cas b=1, on parvient à l’équation 2x+2y+2z=1.
Si a2, on parvient au système

{2x+2by+az=1by-z=b-1a-2x-z=0

puis

{(a+4)z=a-2ba-2by=z+b-1a-2x=z.

Dans le cas a=-4, le système n’est compatible que si b=-2 et l’on parvient au système

{x=z-4y=2z+1.

Dans le cas b=0, le système est incompatible.
Dans le cas général restant, on parvient à

x=z=a-2b(a-2)(a+4),y=ab+2b-4b(a-2)(a+4).
 
Exercice 56  1297    Correction  

Résoudre le système d’équations suivant d’inconnues complexes:

{x1+x2=0x1+x2+x3=0x2+x3+x4=0xn2+xn1+xn=0xn1+xn=0.

Solution

On résout le système en exprimant les inconnues x2,,xn en fonction de x1 à l’aide des n1 premières équations.

{x1+x2=0x1+x2+x3=0x2+x3+x4=0xn2+xn1+xn=0xn1+xn=0
{x2=x1,x3=0xk={0 si k=0[3]x1 si k=1[3]x1 si k=2[3]xn1+xn=0.

Cas: n2[3].

𝒮={(0,0,0)}

Cas: n=2[3].

𝒮={(x,x,0,x,x,0,,x,x)|x}.


Édité le 23-02-2024

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