Pour , on note la somme des termes de .
On pose
Vérifier .
Solution
Notons
On a
Par produit avec et avec
Ainsi .
On note et les matrices élémentaires de et d’indices et convenables.
Calculer
Soient et deux matrices de nilpotentes11 1 On dit qu’une matrice est nilpotente lorsqu’il existe tel que ..
On suppose que et commutent, montrer que est nilpotente.
Soit
avec et .
Pour tout , on note
Démontrer que, pour tout ,
Solution
Pour , en exploitant , on a
Par suite,
Sachant et , il suffit d’établir et pour conclure.
Dans le cas , la propriété est vérifiée.
Dans le cas , exploitons la relation
On a alors
Puisqu’il est évident que (cela se montre par récurrence), on obtient sachant et les inégalités permettant de conclure.
Notons que l’hypothèse ne nous a pas été utile.
Soit vérifiant
Pour , calculer .
Solution
Posons . On vérifie
et donc
Sachant et , on a par récurrence avec la suite récurrente linéaire double déterminée par
L’équation caractéristique a pour racines
et le terme s’exprime
Après résolution connaissant et , on obtient
On dit qu’une matrice est triangulaire supérieure stricte si elle est triangulaire supérieure et que ses coefficients diagonaux sont tous nuls.
Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure stricte est nilpotente.
On suppose . Donner un exemple de matrice nilpotente qui ne soit pas triangulaire supérieure stricte.
Soient et deux matrices. On suppose
Montrer qu’au moins l’une des deux matrices ou est nulle.
[<] Opérations sur les matrices[>] Matrices carrées inversibles
On suppose que commutent et que est inversible.
Justifier que les matrices et commutent.
Solution
Il suffit d’écrire
Soit une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts.
Déterminer les matrices de commutant avec .
Soient vérifiant . Montrer que et commutent.
Soit avec .
Déterminer les matrices commutant avec toutes celles de .
Déterminer les matrices commutant avec toutes celles de .
Soit . On suppose que pour toutes matrices et de ,
Montrer qu’il existe tel que .
Soit . Déterminer les matrices de commutant avec toutes les matrices symétriques.
Solution
Soit une matrice commutant avec toutes les matrices symétriques.
Soient .
La matrice commute avec la matrice symétrique ce qui permet d’écrire
L’égalité des coefficients d’indice donne
La matrice commute avec la matrice symétrique ce qui permet d’écrire
L’égalité des coefficients d’indice donne
On en déduit que la matrice est de la forme avec .
La réciproque est immédiate.
Soit . Déterminer les matrices de commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Solution
Cas: . Les matrices antisymétriques sont colinéaires à la matrice
En étudiant la commutation d’une matrice de avec cette dernière, on obtient que les matrices de commutant avec les matrices antisymétriques sont de la forme
Cas: .
Soit une matrice commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
Soient et avec .
La matrice commute avec la matrice antisymétrique ce qui permet d’écrire
L’égalité des coefficients d’indice et donne
On en déduit que la matrice est de la forme avec .
La réciproque est immédiate.
Soit une matrice triangulaire supérieure.
Montrer que si, et seulement si, la matrice est diagonale.
[<] Problèmes de commutation[>] Calcul des puissances d'une matrice carrée
Montrer que la matrice suivante est inversible et calculer son inverse
Calculer l’inverse des matrices carrées suivantes:
Solution
Par la méthode du pivot, on opère sur les lignes d’une matrice de blocs et pour transformer en . On sait qu’alors le bloc sera transformé en .
On conclut
Par la méthode du pivot
On conclut
Par la méthode du pivot
On conclut
Montrer que la matrice
est inversible et calculer son inverse.
Solution
On a donc
Justifier que
est inversible et déterminer .
Solution
est inversible car triangulaire supérieure à coefficients diagonaux non nuls.
Soient . L’équation équivaut à or
donc
Montrer que les matrices carrées d’ordre suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss:
Solution
En effectuant successivement les opérations élémentaires: on obtient
En effectuant successivement les opérations élémentaires:
, on obtient
En effectuant successivement les opérations élémentaires: ,
puis encore , on obtient
Soit . Calculer l’inverse de la matrice
Soit
Observer que
À quelle condition est-elle inversible? Déterminer alors .
Solution
La relation est immédiate
Si alors est inversible et .
Si alors .
Par l’absurde, si est inversible, est régulière donc puis . Absurde.
Soit
Calculer .
En déduire que est inversible et exprimer comme combinaison linéaire des matrices , et .
Pour , exprimer comme combinaison linéaire des matrices , et .
Solution
On a
puis .
Par la formule du binôme de Newton (possible car et commutent), on obtient
On organise ce produit sous la forme avec .
On en déduit que est inversible avec
Pour , c’est immédiat.
Pour , on écrit par la formule du binôme de Newton
Pour , et l’on peut tronquer la somme
puis on concrétise
Il est remarquable que cette écriture obtenue pour est aussi valable pour et même !
Soit
Calculer .
Montrer que est inversible et exprimer .
Solution
On écrire avec . On en déduit
On a pour . On en déduit que est inversible avev .
Pour , on considère la matrice déterminée par
Montrer que est inversible et exprimer .
Solution
On introduit la matrice dont tous les coefficients sont égaux à . On remarque et donc
On réorganise cette identité en
On en déduit que est inversible avec
Soient , et la matrice
On note la matrice conjuguée de , c’est-à-dire la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de .
Calculer . La matrice est-elle inversible? Exprimer son inverse si c’est le cas.
Soient () non nulles vérifiant
Montrer qu’au moins deux des matrices ne sont pas inversibles.
Solution
Supposons et inversibles. En multipliant à gauche par et , on obtient ce qui est exclu.
En raisonnant de façon analogue, on exclut les autres cas où deux des trois matrices sont inversibles.
Soit une matrice nilpotente de .
Vérifier que la matrice est inversible et exprimer son inverse.
Soit telle que . Montrer que les matrices et sont simultanément11 1 Autrement dit, lorsque l’une des deux matrices est inversible, l’autre l’est aussi. inversibles.
Soit telle que la matrice soit inversible. On pose .
Montrer que .
Montrer que est inversible et exprimer en fonction de .
Solution
Comme , on a, en multipliant à droite et à gauche par , la relation
On a
donc est inversible et
puis
Soit une matrice antisymétrique réelle de taille .
Calculer pour toute colonne réelle de hauteur .
Montrer que est inversible.
On pose
Montrer que est inversible et11 1 On dit que la matrice est orthogonale. .
(Matrice à diagonale strictement dominante)
Soit vérifiant
On considère vérifiant . En introduisant une coordonnée de de module maximal, établir que . Que peut-on en déduire?
Solution
Notons les coefficients de . L’égalité donne
On introduit un indice tel que est le maximum des et l’on considère l’égalité précédente pour . Afin d’exploiter l’hypothèse de travail, on isole le terme d’indice de la somme et l’on passe en valeurs absolues afin d’écrire
Par l’absurde, si , on simplifie par et cela produit une inégalité qui contredit l’hypothèse du sujet. On en déduit puis car a été introduit comme le maximum des .
Finalement, la colonne est nulle. Le noyau de la matrice carrée se limite donc à l’élément nul, cette matrice est inversible.
Soient et .
Montrer que la matrice est inversible si, et seulement si, l’est.
Montrer qu’une matrice de n’est pas inversible si, et seulement si, il existe une matrice non nulle vérifiant
[<] Matrices carrées inversibles[>] Symétrie matricielle
Calculer pour et les matrices suivantes:
.
On considère la matrice réelle
Calculer pour .
Calculer pour .
Soit . Calculer pour
de deux manières différentes.
Solution
Première méthode: On calcule les premières puissances de puis l’on montre par récurrence
Deuxième méthode: avec
Puisque et commutent, la formule du binôme donne
car pour
On considère la matrice
Calculer . En déduire que est inversible et calculer son inverse.
Pour , déterminer le reste de la division euclidienne de par .
En déduire l’expression de la matrice .
Solution
. Comme , on a
. Sachant que le reste de la division euclidienne considérée est de la forme , en évaluant en 1 et 2, on détermine et et l’on obtient
On peut remplacer par dans le calcul qui précède et l’on obtient
et donc
Soit
Soit . Majorer les coefficients de .
Calculer .
Calculer pour .
Solution
Si majore les coefficients de alors majore les coefficients de .
On en déduit que les coefficients de sont majorés par
On peut sans doute proposer plus fin.
Posons la matrice de dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de coefficients qui valent 1. On remarque
On en déduit
et puisque , on obtient
Le calcul des puissances de est immédiat
et donc le coefficient d’indice de est
Cette formule laisse présumer que le coefficient d’indice de est
ce que l’on démontre en raisonnant par récurrence.
Soient vérifiant11 1 et vérifient la condition proposée. .
Proposer une formule réalisant le développement de pour .
[<] Calcul des puissances d'une matrice carrée[>] Structures constituées de matrices
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques réelles soit une matrice symétrique.
Montrer que toute matrice de s’écrit de façon unique comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.
Soit . Montrer que est antisymétrique si, et seulement si, pour tout .
Solution
Supposons la matrice antisymétrique: .
Pour toute colonne , est une matrice uni-coefficient et donc égale à sa transposée. Or
Ainsi, et le réel est donc nul.
Supposons pour tout et notons le coefficient général de la matrice . Introduisons aussi les colonnes élémentaires de :
Pour ,
et donc .
Pour distincts,
et donc .
La matrice est alors antisymétrique.
Montrer que toute matrice de peut s’écrire comme la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice nilpotente11 1 Une matrice carrée est dite nilpotente lorsque l’une de ses puissances est nulle (les suivantes l’étant alors a fortiori)..
[<] Symétrie matricielle[>] Équations à inconnue matricielle
(Matrices de permutation)
Soient un entier au moins égal à et l’ensemble des permutations11 1 Une permutation de est une bijection de l’ensemble vers lui-même. Il est remarquable que la composée de deux permutations de et la bijection réciproque d’une permutation de sont des permutations de . de . On appelle matrice d’une permutation de , la matrice déterminée par
On suppose . Déterminer les matrices et pour les permutations de données par
Vérifier pour tous et dans .
Soit . Justifier que est inversible d’inverse .
(Matrice stochastique)
On dit qu’une matrice est stochastique si tous ses coefficients sont positifs et si
Montrer que l’ensemble des matrices stochastiques de taille est stable pour la multiplication matricielle.
À quelle condition une matrice stochastique est-elle inversible tout en ayant pour inverse une matrice stochastique?
Soit l’ensemble des matrices de de la forme
Montrer que est un sous-anneau commutatif de .
Déterminer les inversibles de .
Déterminer les diviseurs de zéro de , c’est-à-dire les matrices et vérifiant avec .
Solution
Considérons
Les matrices de sont celles s’écrivant
, . Soient et .
et car .
Ainsi, est un sous-anneau de . De plus, donc commutatif.
Avec les notations précédentes si, et seulement si,
Par suite, est inversible si, et seulement si, .
Avec les notations précédentes si, et seulement si,
Les diviseurs de zéros sont donc les matrices
[<] Structures constituées de matrices[>] Systèmes d'équations linéaires
Déterminer toutes les matrices de vérifiant .
Déterminer une matrice telle que
Solution
On recherche triangulaire inférieure de la forme
Pour , ça marche.
Résoudre l’équation où
Solution
Une matrice solution commute avec .
En étudiant l’équation coefficients par coefficients, on observe que est de la forme
Pour une telle matrice, l’équation équivaut au système:
Les solutions sont donc
On appelle trace d’une matrice la somme de ses coefficients diagonaux. On note celle-ci .
Soient . Résoudre dans l’équation
Pour , on note la somme des coefficients de .
Soit . Résoudre l’équation d’inconnue .
[<] Équations à inconnue matricielle
Résoudre en fonction du paramètre , les systèmes suivants d’inconnues complexes:
Solution
Si alors
Si alors
On a
Si alors
Si alors
Si alors système incompatible
Si : système incompatible
Si ,
et donc
Résoudre le système d’équations suivant d’inconnues complexes:
Solution
Par les opérations élémentaires: on obtient le système équivalent:
Donc
Soient . Résoudre le système:
Solution
Cas: , et .
Cas: , et . On doit avoir simultanément
ce qui est incompatible: .
Cas: .
Si alors .
Si alors .
Cas: .
Si alors .
Si alors
Résoudre, en discutant selon , le système
Solution
La matrice de ce système carré n’est pas inversible lorsque ou .
Cas: . Le système est compatible si, et seulement si, et ses solutions sont les quadruplets vérifiant
Cas: . En sommant les quatre équations, on obtient l’équation de compatibilité .
Si alors le système est incompatible.
Si , on conduit la résolution
ce qui permet d’exprimer la droite des solutions.
Cas: .
C’est un système de Cramer…
Sa solution est
Résoudre, en discutant selon , le système
Solution
Si , on parvient au système
Dans le cas , le système est incompatible.
Dans le cas , on parvient à l’équation .
Si , on parvient au système
puis
Dans le cas , le système n’est compatible que si et l’on parvient au système
Dans le cas , le système est incompatible.
Dans le cas général restant, on parvient à
Résoudre le système d’équations suivant d’inconnues complexes:
Solution
On résout le système en exprimant les inconnues en fonction de à l’aide des premières équations.
Cas: .
Cas: .
Édité le 23-02-2024
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