Soit l’ensemble des fonctions telles qu’il existe pour lesquels:
Montrer que est sous-espace vectoriel de .
Déterminer une base de et sa dimension.
Solution
On peut percevoir avec , et .
L’ensemble est donc un sous-espace vectoriel et en est une famille génératrice.
Soit . Supposons . Pour tout ,
Pour , on obtient pour tout .
Par l’absurde, si alors . C’est exclu. Nécessairement .
On a alors pour tout .
Pour , puis , on obtient successivement et .
Finalement, est une famille libre. C’est donc une base de et
Soit . Pour tout , on pose .
Montrer que la famille est libre.
En déduire la dimension de .
Solution
Supposons . Pour tout ,
Si alors
C’est absurde.
Nécessairement, puis, de même, .
Finalement, la famille est libre.
Par suite, pour tout . L’espace est de dimension infinie.
Soient et l’ensemble des suites complexes -périodiques, c’est-à-dire l’ensemble des suites11 1 Dans ce sujet, on adopte une notation fonctionnelle des termes de la suite en écrivant au lieu de . vérifiant pour tout entier naturel .
Montrer que est un -espace vectoriel de dimension finie et calculer celle-ci.
Déterminer une base de formée uniquement de suites géométriques.
Soient l’espace réel des fonctions de vers et le sous-ensemble de constitué des fonctions de la forme
Montrer que est un sous-espace vectoriel de dimension finie de et préciser sa dimension.
Soit l’ensemble des fonctions telles qu’il existe des réels pour lesquels:
Montrer que est sous-espace vectoriel de l’espace et déterminer sa dimension.
Soit l’espace vectoriel des applications de dans .
On considère la partie de constituée des applications de la forme:
Montrer que un sous-espace vectoriel de .
Montrer que est de dimension finie et déterminer .
Solution
et la fonction nulle appartient à (en prenant )
Soient et . On peut écrire et avec .
On a alors avec donc et finalement est un sous-espace vectoriel de .
Posons et avec .
Les fonctions sont des fonctions de formant clairement une famille génératrice.
Supposons
Pour tout ,
Pour avec , on obtient une infinité de racine au polynôme .
Cela permet d’affirmer .
Pour avec , on peut affirmer .
On peut conclure que est libre et donc une base de puis .
Soit un espace vectoriel réel de dimension finie . Déterminer les applications définies sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels de et à valeurs dans vérifiant, pour tous sous-espaces vectoriels et en somme directe,
(1) |
[<] Dimension d'un espace[>] Sous-espaces vectoriels de dimension finie
On pose , et .
Montrer que est une base de .
Solution
Supposons .
On a
qui donne .
La famille est une famille libre formée de vecteurs de , c’est donc une base de .
Soient un espace vectoriel réel de dimension et une base de . On pose
Montrer que la famille est une base de .
Déterminer les coordonnées du vecteur dans les bases et .
Soit un -espace vectoriel de dimension 3 et une base de .
On pose
Montrer que est une base de .
Solution
Supposons . On a
Or est libre donc
puis .
La famille est une famille libre formée de vecteurs de , c’est donc une base de .
Soit un -espace vectoriel muni d’une base .
Pour tout , on pose .
Montrer que est une base de .
Exprimer les composantes dans d’un vecteur en fonction de ses composantes dans .
Solution
Supposons . On a donc
qui donne .
La famille est une famille libre formée de vecteurs de , c’est donc une base de .
donne
puis
Soit un -espace vectoriel de dimension 3 et une base de .
Soit
Montrer que la famille est libre et compléter celle-ci en une base de .
Solution
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires donc forme une famille libre.
Pour (ou encore par exemple mais surtout pas ), on montre que la famille est libre et donc une base de .
(Lemme d’échange)
Soient et deux bases d’un -espace vectoriel .
Montrer qu’il existe tel que la famille soit encore une base de .
Solution
Par l’absurde, supposons la famille liée pour chaque .
Puisque la sous-famille est libre, le vecteur est combinaison linéaire des vecteurs et donc
Cela entraîne
ce qui est absurde.
(Polynômes de degrés étagés)
Soit une famille de polynômes de vérifiant pour tout naturel .
Soit . Montrer que est une base de .
Établir que est une base de .
(Suites récurrentes linéaires doubles11 1 L’enjeu de cet exercice est de produire une démonstration algébrique du théorème des suites récurrentes linéaire double donnant l’expression du terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre .)
Soient et l’ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence linéaire double
Montrer que est un sous-espace vectoriel de l’espace .
Justifier qu’une suite géométrique de raison appartient à si, et seulement si, est racine de l’équation .
Pour , on pose .
Montrer que est un isomorphisme de vers . En déduire la dimension de .
On suppose que l’équation possède deux racines distinctes et . Déterminer une base de l’espace formé de suites géométriques.
On suppose que l’équation possède une racine double non nulle22 2 0 est racine double de l’équation si, et seulement si, . Dans ce cas, une suite est élément de si, et seulement si, tous ses termes sont nuls au delà du rang .. Montrer que les suites et forment une base .
[<] Bases en dimension finie[>] Supplémentarité
On considère l’espace réel .
Déterminer une base du sous-espace vectoriel .
Compléter en une base de la famille avec et .
Déterminer un sous-espace supplémentaire de dans .
Dans , on considère l’ensemble des matrices diagonales
Vérifier que est un sous-espace vectoriel de .
Déterminer une base de .
Solution
On introduit les matrices
On constate
Puisque apparaît comme un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs, c’est en particulier un sous-espace vectoriel.
Ce qui précède a déterminé une famille génératrice de . Vérifions que celle-ci est libre.
Soit . Supposons . On a
Par identification des coefficients d’une matrice, . La famille est libre11 1 On aurait aussi pu observer que c’est une sous-famille de la famille libre qu’est la base canonique constituée des matrices élémentaires..
Soit l’ensemble des polynômes vérifiant .
Montrer que est un sous-espace vectoriel de l’espace .
Déterminer une base de .
Solution
Soit un polynôme de : . On observe
L’ensemble est donc l’ensemble des polynômes de la forme avec . Ainsi,
L’ensemble apparaît comme le sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs, c’est donc un sous-espace vectoriel de .
Par ce qui précède, et forment une famille génératrice de . Vérifions que celle-ci est une famille libre.
Soit . Supposons . On a
Par unicité des coefficients d’un polynôme, on identifie . La famille est donc une base de .
Dans , on considère les vecteurs , , , et puis on pose
Quelles sont les dimensions de ?
Solution
forme une famille libre donc une base de . Ainsi, .
forme une famille libre donc une base de . Ainsi, .
forme une famille libre donc une base de . Ainsi, et .
Enfin,
Soient et deux sous-espaces vectoriels d’un espace de dimension . Vérifier
Solution
Par la formule de Grassmann,
Or et donc . On en déduit
Soient , et trois sous-espaces vectoriels d’un -espace vectoriel de dimension finie .
On suppose . Montrer que n’est pas réduit au vecteur nul.
On suppose . Que dire de l’espace ?
Solution
Puisque , on a . La formule des quatre dimensions donne alors
L’hypothèse de travail fournit alors .
Introduisons l’espace . Par la formule des quatre dimensions,
On a donc
L’étude précédent assure alors que l’espace n’est pas réduit à l’espace nul.
Soit un espace vectoriel de dimension finie .
Soient et deux sous-espaces vectoriels de vérifiant . Montrer que n’est pas réduit au vecteur nul.
Généraliser ce résultat à plusieurs sous-espaces vectoriels de .
[<] Sous-espaces vectoriels de dimension finie[>] Hyperplans en dimension finie
Dans , déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants:
où
où
.
Solution
est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et génératrice de . C’est donc une base de .
avec est un supplémentaire de car la famille est une base de .
donc . est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et génératrice de . C’est donc une base de .
avec est un supplémentaire de car la famille est une base de .
avec et . est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et génératrice de . C’est donc une base de .
avec est un supplémentaire de car la famille est une base de .
Soient un -espace vectoriel de dimension finie, un sous-espace vectoriel de distinct de et un sous-espace vectoriel supplémentaire de dans .
On introduit une base de et, pour une famille de vecteurs de , on note
Montrer que les espaces déterminent tous les sous-espaces supplémentaires de dans .
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et des sous-espaces vectoriels de vérifiant .
Montrer qu’il existe des sous-espaces vectoriels tels que:
Soit un espace vectoriel réel de dimension finie non nulle.
Soient et deux hyperplans de . Montrer que ceux-ci possèdent un sous-espace vectoriel supplémentaire commun.
Soient et deux sous-espaces vectoriels de tels que .
Montrer que et ont un sous-espace vectoriel supplémentaire en commun.
Solution
Si alors n’importe quel supplémentaire de est convenable et il en existe.
Sinon, on a et donc il existe et tels que et .
On a alors . L’espace est alors un supplémentaire commun à et .
Raisonnons par récurrence décroissante sur
Si et : ok
Supposons la propriété établie au rang .
Soient et deux sous-espaces vectoriels de dimension .
Si alors n’importe quel supplémentaire de est convenable.
Sinon, on a et . Il existe donc et tels que et . On a alors .
Posons et .
Comme , par hypothèse de récurrence, et possède un supplémentaire commun et, par suite, est une supplémentaire commun à et .
La récurrence est établie.
Soient un sous-corps de , un -espace vectoriel de dimension finie, et deux sous-espaces vectoriels de .
On suppose . Montrer qu’il existe sous-espace vectoriel de tel que .
On suppose que . Montrer qu’il existe et sous-espaces vectoriels de tels que et .
Solution
Par récurrence sur .
Si alors convient.
Supposons la propriété établie au rang .
Soient et de même dimension tels que .
Si l’existence d’un supplémentaire à tout sous-espace vectoriel en dimension finie permet de conclure.
Sinon, on a et ce qui assure l’existence de et de .
Le vecteur n’appartient ni à , ni à . On pose alors et . On peut appliquer l’hypothèse de récurrence à et : on obtient l’existence d’un supplémentaire commun à et . est alors supplémentaire commun à et . Récurrence établie.
Soit un sous-espace vectoriel contenant et de même dimension que . et possèdent un supplémentaire commun . Considérons un supplémentaire de dans . En posant et on conclut.
[<] Supplémentarité[>] Rang d'une famille de vecteurs
Dans , on considère le sous-espace vectoriel
Soient . Montrer que forme une base de .
Solution
car ces vecteurs vérifient l’équation définissant .
est libre et car est un hyperplan de .
On secoue, hop, hop, le résultat tombe.
Soient , et
Montrer que est un sous-espace vectoriel de de dimension11 1 On dit qu’un tel espace est un hyperplan. .
Soient et deux hyperplans distincts d’un -espace vectoriel de dimension finie supérieure à .
Déterminer la dimension de .
Solution
est un sous-espace vectoriel de qui contient donc ou .
Si alors par inclusion et égalité des dimensions: .
C’est exclu, il reste et alors .
Soient un hyperplan et un sous-espace vectoriel non inclus dans .
Montrer
Solution
On a et donc d’où via le théorème des quatre dimensions.
Soient un espace vectoriel de dimension finie et un sous-espace vectoriel de de dimension11 1 Dans le sujet 5187 il est présenté un exemple général d’espace de ce type. . Montrer que, si un vecteur de n’appartient pas à , alors .
Soient un hyperplan d’un -espace vectoriel de dimension et un vecteur de . À quelle condition les espaces et sont-ils supplémentaires dans ?
Soient un espace de dimension finie et un sous-espace vectoriel distinct de .
Montrer que peut s’écrire comme une intersection d’un nombre fini d’hyperplans.
Quel est le nombre minimum d’hyperplans nécessaire?
Montrer que le sous-ensemble de l’espace constitué des matrices de trace nulle est un hyperplan.
Soit un hyperplan de . Montrer qu’il existe une matrice non nulle telle que
Y a-t-il unicité d’une telle matrice ?
(Formes linéaires)
Soit un -espace vectoriel de dimension finie . On appelle forme linéaire sur , toute application linéaire de vers .
Montrer qu’une forme linéaire non nulle est surjective.
En déduire que le noyau d’une forme linéaire non nulle est un sous-espace vectoriel de dimension11 1 On dit qu’un tel espace est un hyperplan. .
Inversement, soit un sous-espace vectoriel de de dimension .
Montrer qu’il existe une forme linéaire non nulle dont est le noyau.
Montrer que les formes linéaires non nulles dont est le noyau sont alors exactement les avec .
Soit un -espace vectoriel de dimension finie. On se propose d’établir que si une réunion de sous-espaces vectoriels est égale à alors11 1 Une conséquence est que si une réunion finie de sous-espaces vectoriels de dimensions finies est un sous-espace vectoriel alors l’un des espaces contient tous les autres. l’un des espaces qui constitue cette réunion est égal à . On raisonne par récurrence sur .
Établir la propriété lorsque .
On suppose la propriété vraie au rang et l’on considère des sous-espaces vectoriels d’un espace de dimension tels que .
Soit un hyperplan de .
Que dire de la réunion des sous-espaces vectoriels ?
Conclure
Solution
Lorsque , tous les sous-espaces vectoriels sont réduits au vecteur nul donc tous égaux à .
Par distributivité,
Cela détermine une réunion finie de sous-espaces vectoriels de qui est égale à l’espace lui-même de dimension .
Soit un hyperplan de arbitraire. Par l’hypothèse de récurrence, puisque les sont des sous-espaces vectoriels de dont la réunion vaut , il existe tel que et donc . Par l’absurde, si aucun des espaces ne vaut , ce qui précède donne que, pour tout hyperplan de , il existe tel que . Cela est absurde car signifie que l’espace ne possède qu’un nombre fini d’hyperplans. La récurrence est établie.
[<] Hyperplans en dimension finie[>] L'espace des matrices carrées
Déterminer le rang des familles de vecteurs suivantes de :
avec et .
avec et .
Solution
est libre donc .
Comme et , on a .
Comme est libre, on a .
Dans on considère:
Quel est le rang de la famille ?
Solution
On a
donc
car est libre.
Soient trois réels. Dans l’espace des fonctions de vers , déterminer le rang de la famille des fonctions , et .
Soit une famille de vecteurs d’un espace vectoriel . Établir que pour tout ,
[<] Rang d'une famille de vecteurs[>] L'espace des polynômes de degrés inférieurs à n
Une matrice est dite symétrique (resp. antisymétrique) lorsque (resp. ). On note et les ensembles constitués des matrices symétriques et des matrices antisymétriques de .
Montrer que et sont des espaces supplémentaires de .
Préciser leurs dimensions respectives.
Soient , des complexes distincts, et
Montrer que est une base de .
Solution
En étudiant l’égalité , on justifie . est donc un sous-espace vectoriel de dimension . De plus, il contient évidemment les éléments pour (et, plus généralement, tout polynôme en ).
Supposons
Pour tout , on a
Le polynôme s’annule en chaque et possède donc plus de racines que son degré. On peut alors affirmer puis .
La famille est une famille libre à éléments de , c’en est donc une base
(Les quaternions)
On note l’ensemble des matrices
Montrer que est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel réel et que celui-ci est stable par produit.
Déterminer une base de avec
Vérifier que tout élément non nul de est inversible et que son inverse appartient à .
Solution
est un espace vectoriel complexe de dimension donc aussi un espace vectoriel réel de dimension , c’est cette dernière structure qui est considérée ici: les scalaires sont les nombres réels, les vecteurs les matrices carrées complexes de taille 2.
L’ensemble est une partie non vide de stable par combinaison linéaire car, pour et , on vérifie
Ainsi, est un sous-espace vectoriel l’espace réel .
Au surplus, est stable par produit car, avec les mêmes notations qu’au-dessus,
et c’est donc une -algèbre. Enfin, en introduisant les parties réelles et imaginaires des nombres complexes et , on peut écrire
avec , , , et
est l’ensemble des combinaisons linéaires réelles des quatre matrices11 1 On a les relations remarquables , , et . , , et . Ces dernières étant linéairement indépendantes, est un espace réel de dimension .
Soit . Étudions l’inversibilité de dans .
Si , on a et . On en déduit que la matrice est inversible dans . De plus, en introduisant sa comatrice, on peut exprimer l’inverse de puis vérifier son appartenance à :
Finalement, tout élément non nul de l’algèbre est inversible22 2 La multiplication sur n’est pas commutative et n’est donc pas un corps dans le sens où ce concept est défini dans le cours..
Soit l’ensemble des matrices de la forme
Montrer que est un sous-espace vectoriel de et préciser sa dimension.
Montrer que pour tous11 1 On dit que est stable pour le produit matriciel. et de .
Soit une matrice inversible de .
En considérant l’application définie sur , montrer (sans le calculer) que l’inverse de est élément de .
Soit l’ensemble des matrices de la forme
avec .
Notre objectif est d’établir que l’inverse d’une matrice inversible de appartient encore à , sans pour autant calculer cet inverse.
Montrer que est un -espace vectoriel dont on précisera la dimension.
Montrer que est un anneau commutatif.
À quelle condition sur , la matrice est-elle inversible dans ? On suppose cette condition vérifiée. En considérant l’application définie par , montrer que .
Solution
avec
On observe que: . Par suite, un sous-espace vectoriel de .
De plus, la famille est libre, c’est donc une base de et par suite .
De plus, , et .
Donc est un sous-anneau de .
De plus, , donc est un anneau commutatif.
est inversible si, et seulement si, (ici est triangulaire supérieure)
. est un endomorphisme de .
Soit , si alors puis d’où . Par suite,
est un endomorphisme injectif d’un -espace vectoriel de dimension finie, c’est donc un automorphisme. Par suite, il existe telle que .
En multipliant par , on conclut .
On dit qu’une matrice est centro-symétrique lorsque
Décrire les matrices centro-symétriques lorsque et .
On note le sous-espace vectoriel11 1 On vérifie aisément que la matrice nulle est centro-symétrique et qu’une combinaison linéaire de matrices centro-symétriques l’est encore. On peut aussi établir que l’espace est de dimension . de formé des matrices centro-symétriques.
Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques de est aussi centro-symétrique.
Soit une matrice centro-symétrique inversible. En considérant l’application de vers , montrer que est centro-symétrique.
Soit avec . On note l’ensemble des matrices élémentaires de d’indice avec et distincts.
Montrer que, si un sous-espace vectoriel de contient , il contient au moins une matrice inversible.
Montrer que tout hyperplan de contient au moins une matrice inversible.
[<] L'espace des matrices carrées
Soient , et .
Montrer que la famille est une base de .
Solution
Supposons . Par égalité de coefficients de polynômes:
Après résolution .
La famille est une famille libre formée de polynômes de , c’est donc une base de .
Pour et , on pose .
Montrer que la famille est une base de .
Exprimer dans la base précédente.
Solution
Commençons par souligner que les polynômes sont tous de degré : ils appartiennent bien à l’espace . De plus, ceux-ci sont au nombre de avec égal à la dimension de . Il suffit donc d’établir que la famille est libre pour conclure que c’est une base de .
Supposons avec réels, c’est-à-dire
(1) |
En évaluant en cette identité polynomiale, on obtient immédiatement . La relation (1) peut alors être simplifiée par ce qui donne
On évalue à nouveau11 1 On peut être surpris d’une simplification par suivie d’une évaluation en . Cela n’a rien de singulier car on manipule ici des polynômes et non des fonctions d’une variable réelle. Si un produit désigne le polynôme nul avec un polynôme, on a nécessairement et donc : c’est la démarche qui est suivie ici. en pour obtenir et encore simplifier par , etc. Ainsi, on obtient successivement pour tout indice allant de jusqu’à : on peut conclure que la famille est libre, c’est donc une base de .
Pour , on écrit
Pour , on pose .
Montrer que la famille est une base de .
Solution
On remarque que donc .
Supposons .
Si alors car et
Ceci est exclu, donc .
Sachant , le même raisonnement donne et ainsi de suite .
La famille est une famille libre de éléments de , c’est donc une base de .
(Polynômes de Newton)
Soit . On pose
Soit . Montrer que la famille est une base de .
Vérifier que est un nombre entier pour tout et tout .
Trouver tous les polynômes prenant des valeurs entières sur chaque entier.
On dit qu’une famille de polynômes non nuls de est une famille de polynômes de degrés échelonnés lorsque
Montrer qu’une telle famille est libre.
À quelle condition celle-ci constitue-t-elle une base de ?
Soient et un polynôme non nul.
Montrer que est un sous-espace vectoriel de et en déterminer la dimension et un supplémentaire.
Solution
, car .
Soient et .
et donc puis .
Ainsi, est un sous-espace vectoriel de .
Notons . On a
ce qui détermine un supplémentaire de et donne .
Montrer que la famille pour constitue une base de .
Redémontrer la formule donnant l’expression du déterminant de Vandermonde
Solution
La matrice de la famille étudiée dans la base canonique de a pour coefficient général
En factorisant par ligne le déterminant de cette matrice est
avec déterminant de Vandermonde.
cf. cours.
Édité le 23-02-2024
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