[>] Sous espaces vectoriels

 
Exercice 1  1680  Correction  

(Complexification d’un espace réel)

Soit E un -espace vectoriel. On munit le produit cartésien E×E de l’addition usuelle

(x,y)+(x,y)=(x+x,y+y)

et de la multiplication externe par les complexes définie par

(a+ib).(x,y)=(a.x-b.y,a.y+b.x).

Montrer que E×E est alors un -espace vectoriel.
Celui-ci est appelé complexifié de E.

Solution

Il est aisé de constater que l’addition sur E×E est commutative, associative, possède un neutre (0E,0E) et que tout élément est symétrisable dans (E×E,+), le symétrique de (x,y) étant (-x,-y).
Ainsi (E×E,+) est un groupe abélien.
Soient λ,μ et u,vE×E. On peut écrire λ=a+ib, μ=a+ib avec a,b,a,b et u=(x,y), v=(x,y) avec x,y,x,yE. On a

λ.(u+v) =(a+ib).(x+x,y+y)
=(ax+ax-by-by,ay+ay+bx+bx)
=λ.u+λ.v.
(λ+μ).u =((a+a)+i(b+b)).(x,y)
=(ax+ax-by-by,ay+ay+bx+bx)
=λ.u+μ.u.
λ.(μ.u) =(a+ib).(ax-by,ay+bx)
=((aa-bb)x-(ab+ab)y,(aa-bb)y+(ab+ab)x)
=(λμ).u

et

1.u=u.

On peut donc conclure que (E×E,+,.) est un -espace vectoriel.

[<] Structure d'espace vectoriel[>] Opérations sur les sous-espaces vectoriels

 
Exercice 2  1681  Correction  

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de 2?

  • (a)

    {(x,y)2|xy}

  • (b)

    {(x,y)2|xy=0}

  • (c)

    {(x,y)2|x=y}

  • (d)

    {(x,y)2|x+y=1}

  • (e)

    {(x,y)2|x2-y2=0}

  • (f)

    {(x,y)2|x2+y2=0}

Solution

  • (a)

    non: pas stable par multiplication scalaire: (0,1) appartient mais pas -(0,1)

  • (b)

    non: pas stable par addition: (1,0)+(0,1)

  • (c)

    oui

  • (d)

    non: ne passe pas par (0,0).

  • (e)

    non: pas stable par addition: (1,1)+(1,-1)

  • (f)

    oui (c’est l’espace nul!)

 
Exercice 3  1683  Correction  

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de ?

  • (a)

    {(un)|(un) bornée}

  • (b)

    {(un)|(un) monotone}

  • (c)

    {(un)|(un) convergente}

  • (d)

    {(un)|(un) arithmétique}

Solution

  • (a)

    oui

  • (b)

    non

  • (c)

    oui

  • (d)

    oui.

 
Exercice 4  1685  Correction  

Les parties de (,) suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels?

  • (a)

    {f:|f est monotone}

  • (b)

    {f:|f s’annule en 0}

  • (c)

    {f:|f s’annule}

  • (d)

    {f:|f est impaire}.

Solution

  • (a)

    non

  • (b)

    oui

  • (c)

    non

  • (d)

    oui.

 
Exercice 5  1684  Correction  

Soit F={(un)|n,un+2=nun+1+un}.
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de .

Solution

F, 0=(0)nF car n, 0=n.0+0.
Soient λ,μ et (un),(vn)F. On a

λ(un)+μ(vn)=(λun+μvn)

avec pour tout n,

λun+2+μvn+2=λ(nun+1+un)+μ(nvn+1+vn)=n(λun+1+μvn+1)+λun+μvn

donc λ(un)+μ(vn)F.
Ainsi, F est un sous-espace vectoriel de .

 
Exercice 6  4508  

Soient F={(x,y,z)3|x-y-z=0} et G={(a+b,a,a+3b)|a,b}.

  • (a)

    Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de l’espace 3.

  • (b)

    Déterminer FG.

 
Exercice 7  1686  Correction  

Montrer que les parties de ([a;b],) suivantes sont des sous-espaces vectoriels:

  • (a)

    F={f𝒞1([a;b],)|f(a)=f(b)}

  • (b)

    G={f𝒞0([a;b],)|abf(t)dt=0}

Solution

  • (a)

    F([a;b],) et 0~F.
    Soient λ,μ et f,gF. La fonction λf+μg est de classe 𝒞1 sur [a;b] et

    (λf+μg)(a)=λf(a)+μg(b)=λf(b)+μg(b)=(λf+μg)(b)

    donc λf+μgF.

  • (b)

    G([a;b],) et 0~G.
    Soient λ,μ et f,gG. La fonction λf+μg est continue sur [a;b] et

    ab(λf+μg)(t)dt=λabf(t)dt+μabg(t)dt=0

    donc λf+μgG.

 
Exercice 8  1688  Correction  

Soient u1,,un des vecteurs d’un 𝕂-espace vectoriel E.
Montrer que l’ensemble F={λ1u1++λnun|λ1,,λn𝕂} est un sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs u1,,un.

Solution

FE et 0EF car

0E=0.u1++0.un.

Soient α,β𝕂 et x,yF. On peut écrire

x=λ1u1++λnu et y=μ1u1++μnun

avec λi,μi𝕂. On a alors

αx+βy=(αλ1+βμ1)u1++(αλn+βμn)un

avec αλi+βμi𝕂 donc αx+βyF. Ainsi F est un sous-espace vectoriel de E.
De plus,

i{1,,n},ui=λ1u1++λnun

avec

λj=δi,j={1 si i=j0 sinon.

Ainsi uiF.

 
Exercice 9  4513  

On dit qu’une fonction f: est à support compact s’il existe A+ tel que f est nulle en dehors de [-A;A]. Vérifier que l’ensemble 𝒟 des fonctions de  vers  de classe 𝒞 et à support compact est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions de vers .

 
Exercice 10  1687   Correction  

Soit ω. On note ω.={ωx|x}.
Montrer que ω. est un sous-espace vectoriel de vu comme -espace vectoriel.
À quelle condition ω. est-il un sous-espace vectoriel de vu comme -espace vectoriel?

Solution

ω et 0ω car 0=ω×0.
Soient λ,μ et z,zω. on peut écrire z=ωx et z=ωx avec x,x et l’on a (λz+μz)=ω(λ.x+μx) avec λx+μx donc λz+μzω.
Ainsi ω est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel .
Si ω est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel alors puisque ω=ω×1ω et i, on a i.ωω. Cela n’est possible que si ω=0. Inversement, si ω=0 alors ω={0} est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel .

 
Exercice 11  1689   Correction  

Soient E=(,), 𝒞 l’ensemble des fonctions de E croissantes et

Δ={f-g|f,g𝒞}.

Montrer que Δ est un sous-espace vectoriel de E.

Solution

ΔE. 0=0-0 avec 0𝒞 donc 0Δ.
Soient h,hΔ. On peut écrire h=f-g et h=f-g avec f,g,f,g𝒞. On a alors h+h=(f+f)-(g+g) avec (f+f),(g+g)𝒞.
Soit hΔ. On peut écrire h=f-g avec f,g𝒞.
Pour tout λ0, on a λh=λf-λg avec λf,λg𝒞.
Pour tout λ<0, on a λh=(-λ)g-(-λf) avec (-λ)g,(-λ)f𝒞.
Dans les deux cas λhΔ.

 
Exercice 12  1690   Correction  

Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d’une structure que l’on précisera.

Solution

Montrons que l’ensemble F étudié est un sous-espace vectoriel de l’ensemble E des suites réelles.
Assurément FE. La suite nulle est périodique donc 0F. Pour u,vF et λ,μ, on peut affirmer que λu+μv est TT-périodique (et même ppcm(T,T)-périodique) en notant T et T des périodes non nulles de u et v. Ainsi, λu+μvF.

[<] Sous espaces vectoriels[>] Espaces engendrés par une partie

 
Exercice 13  1693  

Soient F, G et H des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer

F(G+H)(FG)+(FH)etF+(GH)(F+G)(F+H).

Vérifier à l’aide d’une figure que ces inclusions peuvent être strictes.

 
Exercice 14  1694  Correction  

Soient F, G et H trois sous-espaces vectoriels d’un 𝕂-espace vectoriel E.
Montrer que

FGF+(GH)=(F+G)(F+H).

Solution

F+(GH)F+G et F+(GH)F+H donc F+(GH)(F+G)(F+H).
Supposons de plus FG.
Soit x(F+G)(F+H). On a xF+G=G et x=u+v avec uF et vH.
v=x-uG donc vGH puis xF+(GH).

 
Exercice 15  1691  Correction  

Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E.
Montrer

FG=F+GF=G.

Solution

() C’est immédiat.

() Supposons FG=F+G. On a FF+G=FGG et de même GF donc F=G.

 
Exercice 16  1695   Correction  

Soient F, G, F, G des sous-espaces vectoriels de E tels que FG=FG.

Montrer que

(F+(GF))(F+(GG))=F.

Solution

() ok

() Soit x(F+(GF))(F+(GG)). On peut écrire x=u+v avec uF et vGF et x=u+v avec uF et vGG. On a

u-u=v-vFG=FG

et donc

v=-(v-v)+vG

Ainsi,

vGFG=FGF

puis x=u+vF.

Finalement, (F+(GF))(F+(GG))F puis l’égalité.

 
Exercice 17  1692   

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel réel E. Montrer que FG est un sous-espace vectoriel de E si, et seulement si11 1 Cette étude est généralisée dans le sujet 4523., FG ou GF.

 
Exercice 18  4523    

Soient F1,,Fn des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel réel E.

Montrer que, si l’union F1Fn est un sous-espace vectoriel de E, celle-ci est égale à l’un des espaces Fi.

[<] Opérations sur les sous-espaces vectoriels[>] Espaces supplémentaires

 
Exercice 19  1697  

Soit A et B deux parties d’un espace vectoriel E. Établir

Vect(AB)=Vect(A)+Vect(B).
 
Exercice 20  1696  Correction  

Comparer

Vect(AB)etVect(A)Vect(B).

Solution

ABVect(A)Vect(B) et Vect(A)Vect(B) est un sous-espace vectoriel donc

Vect(AB)Vect(A)Vect(B).

L’inclusion réciproque n’est pas vraie: prendre A={u} et B={2u} avec u0E

 
Exercice 21  1625  Correction  

On considère les vecteurs de 3

u=(1,1,1)etv=(1,0,-1).

Montrer

Vect(u,v)={(2α,α+β,2β)|α,β}.

Solution

On peut écrire

{(2α,α+β,2β)|α,β}=Vect(x,y)

avec x=(2,1,0) et y=(0,1,2).
On a u=12(x+y) et v=12(x-y) donc u,vVect(x,y) puis Vect(u,v)Vect(x,y).
Aussi x=u+v et y=u-v donc x,yVect(u,v) puis Vect(x,y)Vect(u,v).
Par double inclusion l’égalité.

 
Exercice 22  1626   Correction  

Dans 3, on considère x=(1,-1,1) et y=(0,1,a)a.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur a pour que u=(1,1,2) appartienne à Vect(x,y). Comparer alors Vect(x,y), Vect(x,u) et Vect(y,u).

Solution

On a

u=λx+μy{λ=1-λ+μ=1λ+aμ=2{λ=1μ=2a=1/2.

Ainsi,

uVect(x,y)a=1/2

et alors u=x+2y.
x,uVect(x,y) donc Vect(x,u)Vect(x,y).
x,yVect(y,u) donc Vect(x,y)Vect(y,u).
y,uVect(x,u) donc Vect(y,u)Vect(x,u).

Finalement, les trois espaces sont égaux.

 
Exercice 23  4522   

Soit N. Montrer que les familles de fonctions

(xcos(nx))0nNet(xcosn(x))0nN

engendrent le même sous-espace vectoriel de (,).

[<] Espaces engendrés par une partie[>] Somme d'un nombre fini de sous-espaces

 
Exercice 24  4509  

Soient E=𝒞([0;1],) l’espace réel des fonctions continues de [0;1] vers ,

F={fE|f(0)=f(1)=0}etG={gE|g est affine}.

Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.

 
Exercice 25  1698  Correction  

Soient F={f𝒞1(,)|f(0)=f(0)=0} et G={xax+b|(a,b)2}.
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de 𝒞1(,).

Solution

F𝒞1(,) et 0F.
Soient λ,μ et f,gF,

(λf+μg)(0)=λf(0)+μg(0)=0

et

(λf+μg)(0)=λf(0)+μg(0)=0

donc λf+μgF.
G𝒞1(,) et 0G (en prenant a=b=0).
Soient λ,μ et f,gG, il existe a,b,c,d tels que

x,f(x)=ax+b et g(x)=cx+d

et on a alors

(λf+μg)(x)=ex+f

avec

e=λa+μc et f=λb+μd

donc λf+μgG.
Soit hFG. Il existe a,b tels que

x,h(x)=ax+b

car hG. Or hF donc h(0)=b=0 et h(0)=a=0 puis h(x)=0 c’est-à-dire h=0. Ainsi,

FG={0~}.

Soit h𝒞1(,). Posons a=h(0), b=h(0), g:xax+b et f=h-g.

Clairement, gG et h=f+g.

De plus, f(0)=h(0)-b=0 et f(0)=h(0)-a=0 donc fF.

Ainsi,

F+G=𝒞1(,).

Finalement, F et G sont supplémentaires dans 𝒞1(,).

 
Exercice 26  1699  Correction  

Soient F={f𝒞([-1;1],)|-11f(t)dt=0} et G={f𝒞([-1;1],)|f constante}.
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de 𝒞([-1;1],).

Solution

F𝒞([-1;1],) et 0~F car -110dt=0.
Soient λ,μ et f,gF, on a

-11(λf+μg)(t)dt=λ-11f(t)dt+μ-11g(t)dt=0

donc λf+μgF.
G𝒞([-1;1],) et 0~G car c’est une fonction constante.
Soient λ,μ et f,gG. On a λf+μgG car il est clair que c’est une fonction constante.
Soit hFG. On a h constante car hG. Posons C la valeur de cette constante.
Puisque hF, on a

-11h(t)dt=-11Cdt=2C=0

et donc h=0~. Ainsi,

FG={0~}.

Soit h𝒞([-1;1],). Posons C=-11h(t)dt, g la fonction constante égale à 12C et f=h-g.
Clairement gG et f+g=h. De plus, -11f(t)dt=-11h(t)dt-C=0 donc fF.
Ainsi,

F+G=𝒞([-1;1],).

Finalement, F et G sont supplémentaires dans 𝒞([-1;1],).

 
Exercice 27  4516  

Dans l’espace réel E des fonctions de vers , on introduit les espaces 𝒫 et constitués respectivement des fonctions paires et impaires. Montrer que ceux-ci sont supplémentaires dans E.

 
Exercice 28  1700  Correction  

Soient

H={(x1,x2,,xn)𝕂n|x1+x2++xn=0}

et u=(1,,1)𝕂n.
Montrer que H et Vect(u) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de 𝕂n.

Solution

H𝕂n, 0=(0,,0)H car 0++0=0.
Soient λ,μ𝕂 et x=(x1,,xn)H, y=(y1,,yn)H. On a

λx+μy=(λx1+μy1,,λxn+μyn)

avec

(λx1+μy1)++(λxn+μyn)=λ(x1++xn)+μ(y1++yn)=0

donc λx+μyH.
Vect(u)=𝕂u est un sous-espace vectoriel.
Soit vHVect(u). On peut écrire v=λu=(λ,,λ) car vVect(u).
Or vH donc λ++λ=0 d’où λ=0 et donc v=0. Ainsi,

HVect(u)={0}.

Soit v=(v1,,vn)𝕂n. Posons λ=1n(v1++vn), y=λu et x=v-y.
Clairement x+y=v, yVect(u). De plus, x=(x1,,xn) avec

x1++xn=(v1-λ)++(vn-λ)=(v1++vn)-nλ=0

donc xH. Ainsi,

H+Vect(u)=𝕂n.

Finalement, H et Vect(u) sont supplémentaires dans 𝕂n.

 
Exercice 29  1701   Correction  

Dans l’espace E=𝒞([0;π],) on considère les parties

F={fE|f(0)=f(π/2)=f(π)} et G=Vect(sin,cos).

Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.

Solution

F et G sont clairement des sous-espaces vectoriels de E.
Soit fFG. On peut écrire f=λ.sin+μ.cos.
De plus, f(0)=f(π/2)=f(π) donne: μ=λ=-μ d’où λ=μ=0 puis f=0.
Soit fE. Posons λ=2f(π/2)-f(0)-f(π)2, μ=f(0)-f(π)2, h=λsin+μcos et g=f-h.
On a f=g+h avec gF et hG.
Ainsi F et G sont supplémentaires dans E.

 
Exercice 30  1702   Correction  

Soit F={f(,)|f(0)+f(1)=0}.

  • (a)

    Montrer que F est un sous-espace vectoriel.

  • (b)

    Déterminer un supplémentaire de F dans (,).

Solution

  • (a)

    sans peine

  • (b)

    L’ensemble des fonctions constantes convient.

 
Exercice 31  3852   

Dans l’espace E des fonctions continues de [-1;1] vers , on considère les sous-espaces vectoriels

F1={fE|f est constante},F2={fE|t[-1;0],f(t)=0} et 
F3={fE|t[0;1],f(t)=0}.

Établir

E=F1F2F3.
 
Exercice 32  217   Correction  

Soient n et E=n[X].
Pour tout i0;n, on note

Fi={PE|j0;n{i},P(j)=0}.

Montrer que les Fi sont des sous-espaces vectoriels et que

E=F0Fn.

Solution

Les Fi sont clairement des sous-espaces vectoriels.
Supposons P0++Pn=0 avec PiFi.
Pi possède par définition n racines et (P0++Pn)(i)=0 donc Pi(i)=0 ce qui fournit une n+1-ième racine. Par suite, Pi=0 car deg(Pi)n.
Soit PE.

Analyse: Supposons P=P0++Pn avec PiFi.
On a P(i)=Pi(i) car Pj(i)=0 pour ji.
Par suite,

Pi=P(i)j=0,jin(X-j)(i-j).

Synthèse: Les Pi précédemment proposés conviennent car
PiFi par construction et P=P0++Pn puisque P-(P0++Pn) est le polynôme nul car de degré n et possédant au moins n+1 racines: 0,1,,n.

[<] Espaces supplémentaires[>] Familles de vecteurs

 
Exercice 33  220  Correction  

Pour d, notons Hd l’ensemble formé des fonctions polynomiales de 2 vers homogènes de degré d c’est-à-dire pouvant s’écrire comme combinaison linéaire de fonctions monômes de degré d.

Montrer que (Hd)0dn est une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.

Solution

Hd est définit comme le sous-espace vectoriel engendré par les monômes de degré d, c’est donc un sous-espace vectoriel. Si k=0nPk=0 avec PkHk alors l’unicité de l’écriture d’un polynôme en somme de monôme permet de conclure Pk=0 pour tout k{0,,n}. La famille (Hd)0dn est donc bien une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.

 
Exercice 34  222  Correction  

Soient E1,,En et F1,,Fn sous-espaces vectoriels de E tel que EiFi et

i=1nEi=i=1nFi.

Montrer que Ei=Fi.

Solution

Soit xFi.
Puisque a xi=1nFi=i=1nEi, on peut écrire x=x1++xn avec xiEi.
On a alors

x1++(xi-x)++xn=0E

avec x1F1,…, xi-xFi,…, xnFn.
Or les espaces F1,,Fn sont en somme directe, donc les vecteurs précédents sont nuls et en particulier

x=xiEi.
 
Exercice 35  190   Correction  

Soient F,G,F,G des sous-espaces vectoriels d’un 𝕂-espace vectoriel E vérifiant

FG=FG=EetFG.

Montrer

FF(GG)=E.

Solution

Supposons x+x+y=0 avec xF, xF et yGG.
Puisque xFG et yGGG, on a x+yG.
Or F et G sont en somme directe donc x+(x+y)=0 avec xF et x+yG entraîne x=0 et x+y=0.
Sachant x+y=0 avec xF, yG et F,G en somme directe, on a x=y=0.

Finalement, x=x=y=0 et l’on peut affirmer que les espaces F,F et GG sont en somme directe.
Soit aE. Puisque E=FG, on peut écrire a=x+b avec xF et bG.
Sachant E=FG, on peut écrire b=x+y avec xF et yG.
Or y=b-x avec bG et xFG donc yG et ainsi yGG.
Finalement, on obtient a=x+x+y avec xF, xF et yGG.
On peut conclure EFF(GG) puis E=FF(GG).

[<] Somme d'un nombre fini de sous-espaces[>] Familles infinies de vecteurs

 
Exercice 36  1627  Correction  

Les familles suivantes de vecteurs de 3 sont-elles libres?
Si ce n’est pas le cas, former une relation linéaire liant ces vecteurs:

  • (a)

    (x1,x2) avec x1=(1,0,1) et x2=(1,2,2)

  • (b)

    (x1,x2,x3) avec x1=(1,0,0), x2=(1,1,0) et x3=(1,1,1)

  • (c)

    (x1,x2,x3) avec x1=(1,2,1), x2=(2,1,-1) et x3=(1,-1,-2)

  • (d)

    (x1,x2,x3) avec x1=(1,-1,1), x2=(2,-1,3) et x3=(-1,1,-1).

Solution

  • (a)

    oui b) oui c) non x3=x2-x1 d) non x3=-x1.

 
Exercice 37  4510  

Soient u et v deux vecteurs d’un 𝕂-espace vectoriel E. On dit que le vecteur v est colinéaire à u si l’on peut écrire v=α.u avec α𝕂.

  • (a)

    On suppose la famille (u,v) liée. Montrer que u est colinéaire à v ou v colinéaire à u.

  • (b)

    À quelle condition simple sur u peut-on affirmer que, lorsque la famille (u,v) est liée, le vecteur v est colinéaire à u?

 
Exercice 38  2464    X (MP)Correction  

Soit (a,b,c)3. Les fonctions xsin(x+a),xsin(x+b) et xsin(x+c) sont-elles linéairement indépendantes?

Solution

Non car ces trois fonctions sont combinaisons linéaires des deux suivantes

xsin(x)etxcos(x).
 
Exercice 39  1628   Correction  

On pose f1,f2,f3,f4:[0;2π] les fonctions définies par:
f1(x)=cos(x), f2(x)=xcos(x), f3(x)=sin(x) et f4(x)=xsin(x).
Montrer que la famille (f1,f2,f3,f4) est libre.

Solution

Supposons

af1+bf2+cf3+df4=0.

On a

x[0;2π],(a+bx)cos(x)+(c+dx)sin(x)=0.

Pour x=0 et x=π on obtient le système:

{a=0a+bπ=0

d’où a=b=0.
Pour x=π2 et x=3π2 on obtient le système

{c+dπ/2=0c+3dπ/2=0

d’où c=d=0.

Finalement, la famille étudiée est libre.

 
Exercice 40  1629   Correction  

Pour tout entier 0kn, on pose fk: la fonction définie par fk(x)=ek.x.
Montrer que la famille (fk)0kn est une famille libre de (,).

Solution

Supposons λ0f0++λnfn=0.
On a

x,λ0+λ1ex++λnenx=0.

Quand x-, en passant la relation ci-dessus à la limite, on obtient λ0=0.
On a alors

x,λ1ex++λnenx=0

donc

λ1+λ2ex++λne(n-1)x=0.

En reprenant la démarche ci-dessus, on obtient λ1=0, puis de même λ2==λn=0.

 
Exercice 41  1630   

Soit E un espace vectoriel réel.

  • (a)

    Soient x,y,z trois vecteurs de E constituant une famille libre. On pose u=x+y, v=y+z et w=z+x. Montrer la liberté de la famille (u,v,w).

  • (b)

    Soient x,y,z,t des vecteurs de E constituant une famille libre. On pose u=x+y, v=y+z, w=z+t et s=t+x. Étudier la liberté de la famille (u,v,w,s).

 
Exercice 42  1631   

Soit (u1,,un,un+1) une famille de vecteurs d’un 𝕂-espace vectoriel E.

  • (a)

    Établir que, si la famille (u1,,un) est libre et que un+1 n’appartient pas à Vect(u1,,un), alors (u1,,un,un+1) est libre.

  • (b)

    Établir que, si la famille (u1,,un,un+1) est génératrice de E et que un+1 est élément de Vect(u1,,un), alors (u1,,un) est génératrice de E

 
Exercice 43  1633   Correction  

Soit (e1,,ep) une famille libre de vecteurs de E.
Montrer que pour tout aEVect(e1,,ep), la famille (e1+a,,ep+a) est libre.

Solution

Supposons

λ1(e1+a)++λp(ep+a)=0E.

On a λ1e1++λpep=-(λ1++λp).a.
Si λ1++λp0 alors

a=-λ1e1++λpepλ1++λpVect(e1,,ep).

C’est exclu.
Si λ1++λp=0 alors λ1e1++λpep=0E puis λ1==λp=0.

 
Exercice 44  1632   Correction  

Soient (x1,,xn) une famille libre de vecteurs de E et α1,,αn𝕂.

On pose

u=α1.x1++αn.xnetyi=xi+upour i=1,,n.

À quelle condition sur les scalaires αi, la famille (y1,,yn) est-elle libre?

Solution

Supposons λ1y1++λnyn=0. On a

(λ1+α1(λ1++λn)).x1++(λn+αn(λ1++λn)).xn=0

donc

{(λ1+α1(λ1++λn))=0(λn+αn(λ1++λn))=0.

En sommant les équations,

(λ1++λn)(1+(α1++αn))=0.

Si α1++αn-1 alors λ1++λn=0 puis, par le système, λ1==λn=0.
Si α1++αn=-1 alors α1y1++αnyn=0.
Finalement, la famille (y1,,yn) est libre si, et seulement si,

α1++αn-1.
 
Exercice 45  171   Correction  

Soit E l’ensemble des applications f:[-1;1] continues telles que les restrictions f|[-1;0] et f|[0;1] soient affines.

  • (a)

    Montrer que E est un -espace vectoriel.

  • (b)

    Donner une base de E.

Solution

  • (a)

    E est un sous-espace vectoriel de 𝒞([-1;1],).

  • (b)

    x1, xx et x|x| forment une base de E.

 
Exercice 46  4212    

On munit de sa structure11 1 Les vecteurs sont les nombres réels et les scalaires exprimant les combinaisons linéaires sont des nombres rationnels. Le produit extérieur est la multiplication usuelle. Cet espace est de dimension infinie (voir sujet suivant). de -espace vectoriel.

  • (a)

    Soit d*. À quelle condition la famille (1,d) est-elle libre?

  • (b)

    Établir la liberté de la famille (1,2,3,6).

[<] Familles de vecteurs[>] Sous espaces affines

 
Exercice 47  168   

Pour a, on note ea l’application de vers définie par ea(t)=exp(at).
Montrer que la famille (ea)a est une famille libre d’éléments de l’espace (,).

 
Exercice 48  169   Correction  

Pour a+, on note fa l’application de vers définie par

fa(t)=cos(at).

Montrer que la famille (fa)a+ est une famille libre d’éléments de l’espace de (,).

Solution

Montrons que toute sous-famille finie à n éléments de (fa)a+ est libre.

Par récurrence sur n1.

Pour n=1: ok Supposons la propriété établie au rang n1. Soient a1,,an+1 des réels positifs distincts et supposons

λ1fa1++λn+1fan+1=0 (1)

En dérivant 2 fois cette relation,

a12λ1fa1++an+12λn+1fan+1=0 (2)

La combinaison an+12×(1)-(2) donne

λ1(an+12-a12)fa1++λn(an+12-an2)fan=0.

Par hypothèse de récurrence et en exploitant que les ai2 sont deux à deux distincts, on obtient λ1==λn=0 puis ensuite aisément λn+1=0.

La récurrence est établie.

 
Exercice 49  4229    

Soit a<b deux réels et E l’espace des fonctions continues et affines par morceaux du segment [a;b] vers . Pour α[a;b], on note fα la fonction de E définie par

fα(x)=|x-α|pour tout x[a;b].

Montrer que la famille (fα)α[a;b] est une base de E.

 
Exercice 50  170    

On peut énumérer11 1 L’ensemble des nombres premiers est dénombrable. l’infinité des nombres premiers en ordre croissant afin de former une suite (pn)n1: p1=2, p2=3, p3=5, etc.

  • (a)

    Montrer que la famille (ln(pn))n1 est une famille libre du -espace vectoriel .

  • (b)

    Que dire de la dimension du -espace vectoriel ?

[<] Familles infinies de vecteurs

 
Exercice 51  1728  Correction  

Soient V=a+F et W=b+G deux sous-espaces affines d’un -espace vectoriel E.
Montrer que

VWb-aF+G.

Solution

() Supposons VW. Soit xVW. On peut écrire x=a+u=b+v avec uF et vG.
On a alors b-a=u+(-v)F+G.

() Inversement, si b-aF+G alors on peut écrire b-a=u+v avec uF et vG.
On alors x=a+u=b-vVW.

 
Exercice 52  1727  Correction  

À quelle condition simple le sous-espace affine V=a+F est-il un sous-espace vectoriel?

Solution

Si aF alors V=a+F=F est un sous-espace vectoriel.
Inversement, si V est un sous-espace vectoriel alors oV donc il existe bF tel que o=a+b.
On a alors a=-bF. La condition cherchée et aF.

 
Exercice 53  4521   

Soient V et W deux sous-espaces affines de directions F et G d’un espace E. Lorsque FG, on dit que V est parallèle à W. Montrer qu’alors VW ou bien V et W sont disjoints.

 
Exercice 54  1729   

Soient V et W deux sous-espaces affines disjoints d’un espace vectoriel réel E.

Montrer qu’il existe deux sous-espaces affines disjoints V et W ayant la même direction et contenant respectivement V et W.



Édité le 08-11-2019

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