Décrire les parties de dans lesquelles évoluent pour que les assertions suivantes soient vraies:
.
Solution
(et il n’y a pas d’erreurs!)
Étant donné , et trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité:
.
Solution
Dans les deux cas on obtient la table:
Dans les deux cas on obtient la table:
On dispose de neuf billes visuellement identiques, huit d’entre elles ont même masse mais la neuvième est plus lourde. Comment, en deux pesées sur une balance à deux plateaux, peut-on démasquer l’intrus?
Solution
On compare deux paquets de trois billes.
Si l’un est plus lourd que l’autre, c’est qu’il contient l’intrus.
Sinon, l’intrus est parmi les trois billes restantes.
Ainsi, on sait dans quel paquet de trois billes se situe l’intrus.
Dans ce celui-ci, on compare deux billes.
Si l’une est plus lourde que l’autre, c’est l’intrus.
Sinon, l’intrus est la troisième.
On dispose de neuf billes visuellement identiques, elles ont toutes la même masse sauf une.
Comment, à l’aide d’une balance à deux plateaux, démasquer l’intrus en trois pesées?
Solution
L’exercice serait facile à résoudre en deux pesées si l’on savait si la bille différente était plus lourde ou plus légère que les autres. Ignorant ce fait, l’exercice devient d’autant plus croustillant…
Notons 1,2,3,4,5,6,7,8,9 nos billes.
On commence par comparer 2 lots constituées de 1,2,3 et de 4,5,6.
Si ceux-ci ont même masse alors l’intrus figure parmi 7,8,9 et l’on peut utiliser la bille 1 comme bille témoin. On compare alors les billes 1 et 7 puis les billes 1 et 8 pour démasquer l’intrus.
Si en revanche les deux premiers lots n’ont pas même masse, l’intrus se trouve parmi l’un deux. La bille 9 servira alors de bille témoin. Pour fixer les idées (et sans perte de généralités), supposons que le premier lot est plus lourd que le second. Comparons maintenant les billes 1 et 4 avec les billes 2 et 5.
Si celles-ci ont même masse commune, l’intrus se trouve dans les deux autres billes 3 et 6. Une comparaison de 3 avec 9 permet alors de savoir qui est l’intrus de 3 ou de 6.
Si celles-ci n’ont pas même masse commune, pour fixer les idées (et sans perte de généralités), supposons que 1 et 4 soient plus lourdes que 2 et 5.
Si l’intrus est plus lourd que ses congénères alors cela ne peut ni être 4 ni être 2 à cause respectivement des première et deuxième pesées.
Si l’intrus est plus léger que ses congénères alors cela ne peut ni être 2 ni être 4 à cause respectivement des première et deuxième pesées.
Dans tous les cas l’intrus est soit 1, soit 5.
Une comparaison de la bille 1 avec la bille 9 permet alors de démasquer cet intrus.
Soit une fonction de vers . Que signifient les phrases quantifiées suivantes?
.
.
.
.
.
Soient un intervalle de et une fonction définie sur à valeurs réelles.
Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes:
.
Solution
la fonction est constante
la fonction ne peut s’annuler qu’en 0 (mais n’y est pas forcée de s’y annuler)
la fonction prend toute valeur réelle
la fonction est croissante
la fonction ne prend jamais deux fois la même valeur
Soit une application. Signifier à l’aide de phrases quantifiées les affirmations suivantes:
La fonction est la fonction nulle.
La fonction s’annule.
La fonction ne s’annule que sur .
La fonction s’annule au plus une fois.
Soient un intervalle de et une fonction définie sur à valeurs réelles.
Exprimer à l’aide de quantificateurs les assertions suivantes:
la fonction s’annule
la fonction est la fonction nulle
n’est pas une fonction constante
ne prend jamais deux fois la même valeur
la fonction présente un minimum
prend des valeurs arbitrairement grandes
ne peut s’annuler qu’une seule fois.
Solution
ou encore
.
Soit une application. Écrire les négations des phrases quantifiées suivantes:
.
.
.
.
Soient un intervalle de non vide et une fonction à valeurs réelles définie sur .
Exprimer les négations des assertions suivantes:
.
Solution
.
Soit une application. Dans chaque cas, donner la différence de sens entre les deux assertions proposées:
et .
et .
Soit une assertion dépendant d’un couple élément de .
Laquelle des deux assertions suivantes entraîne l’autre?
Pourquoi ne sont-elles généralement pas équivalentes?
Soit une fonction continue.
On considère les assertions suivantes:
et
Parmi les implications suivantes lesquelles sont correctes:
?
Solution
(a) (d) (e) sont les assertions correctes (l’assertion (d) car est continue).
Soit .
Montrer que .
Montrer que .
Solution
Supposons . En particulier, pour , on a donc .
Par contraposée, montrons: .
Supposons . Pour on a et ce qui détermine un convenable.
[<] Usage des quantificateurs[>] Raisonnements par récurrence
Montrer que est un nombre irrationnel.
Montrer
Solution
Opérons par disjonction de cas.
Cas: pair. On peut écrire avec et alors
Cas: impair. On peut écrire avec et alors
Dans les deux cas la propriété est vraie.
Soient et les ensembles formés respectivement des entiers pairs et impairs. Écrire une démonstration de l’identité .
Solution
Par l’absurde, si , considérons .
Comme , il existe tel que .
Comme , il existe tel que .
Par suite, puis ce qui est absurde
Une erreur de raisonnement classique est de décrire comme un nombre pair et impair en choisissant le même entier .
Vérifier que est strictement positif quelle que soit la valeur du réel .
Vérifier que lorsque est un entier naturel, le nombre l’est aussi.
Vérifier que lorsque le produit de deux réels est nul, l’un des facteurs est nul.
Montrer que tout nombre rationnel peut s’écrire comme somme de deux nombres irrationnels.
Montrer que pour tout entier naturel, il existe un nombre premier11 1 Un nombre premier est un entier dont les seuls diviseurs positifs sont et lui-même: 2, 3, 5, 7, 11, 13,… sont les premiers nombres premiers. Le théorème d’Euclide assure l’existence d’une infinité de nombres premiers. qui lui est strictement supérieur.
À quelle condition un réel peut-il s’écrire à la fois comme la somme et le produit des deux mêmes réels?
Soit . Établir l’implication
Soit . Établir l’implication
Soient et deux réels. Établir l’équivalence
[<] Raisonnements[>] Sous-ensemble, appartenance, inclusion
Soit . Établir
Solution
On sait la formule
On en déduit
On montre alors l’inégalité en raisonnant par récurrence sur .
Pour , la propriété est immédiate car .
Supposons la propriété vraie au rang . Au rang suivant,
donc
La récurrence est établie.
Soit la suite réelle déterminée par
Montrer
Solution
Par récurrence double.
Pour et : ok
Supposons la propriété établie aux rangs et (avec ).
Récurrence établie
Le raisonnement suivant est erroné:
Montrons, par récurrence sur , la propriété:
= points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pour , la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang .
Considérons alors points deux à deux distincts .
(HR) Les points sont alignés sur une droite .
(HR) Les points sont alignés sur une droite .
Or et contiennent les deux points distincts et , donc .
Par suite, sont alignés sur la droite .
Récurrence établie.
Où est l’erreur?
Solution
À l’avant dernière ligne, pour que soient distincts, il est nécessaire que .
L’hérédité de la récurrence ne s’enchaîne alors plus avec l’initialisation.
Établir que tout entier naturel non nul s’écrit
en procédant de deux manières:
En introduisant le plus grand entier tel que divise .
En raisonnant par récurrence.
Soit un réel non nul tel que soit entier.
Montrer que pour tout ,
Donner un exemple de réel non trivial11 1 Les solutions et sont évidentes, on cherche ici une solution qui ne l’est pas. ayant la propriété qui précède.
Montrer que
Solution
Par récurrence sur .
Pour ok.
Supposons la propriété établie au rang .
Vérifions l’inégalité proposée:
Récurrence établie.
Montrer que
Solution
Par récurrence sur .
Pour : ok
Supposons la propriété établie au rang .
Vérifions l’inégalité proposée:
Récurrence établie.
[<] Raisonnements par récurrence[>] Opérations sur les parties d'un ensemble
Soit un ensemble. Peut-on écrire:
?
Solution
On peut écrire: (a), (c) et (e).
Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu’il réunit les éléments d’un ensemble vérifiant une propriété. Un ensemble est dit décrit en extension lorsque l’on cite ses éléments. Par exemple, et sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l’ensemble des entiers pairs.
Décrire en compréhension et en extension l’ensemble .
Décrire en compréhension et en extension l’ensemble .
Décrire en extension l’ensemble des nombres rationnels.
Décrire en compréhension l’ensemble .
Décrire en compréhension et en extension l’ensemble des valeurs prises par une fonction .
Décrire en compréhension l’ensemble des antécédents d’un réel par une fonction .
Solution
.
.
.
.
.
.
Soit une partie d’un ensemble . On appelle fonction indicatrice de la partie dans , l’application définie par:
De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions indicatrices?
Solution
complémentaire de dans .
[<] Sous-ensemble, appartenance, inclusion[>] Injectivité, surjectivité, bijectivité
Soient , et trois parties d’un ensemble .
On suppose et . Montrer .
Solution
Raisonnons par double inclusion.
Soit . Procédons par disjonction de cas.
Cas: . L’élément appartient à donc à . On en déduit que .
Cas: . L’élément appartient à donc à . Or n’appartient pas à donc .
Dans les deux cas, . On a ainsi établi .
Par un raisonnement symétrique, on obtient et l’on conclut à l’égalité.
Soient , et trois parties d’un ensemble .
Montrer .
On suppose et . Montrer .
On suppose . Montrer .
On suppose et . Montrer que les trois ensembles , et sont égaux.
Soient , et trois parties d’un ensemble . Vérifier
Étant donné , et trois parties de , justifier les équivalences suivantes:
.
.
Solution
Supposons . On a toujours .
Pour . Que ou on a donc . Ainsi .
Supposons . Puisque , on a .
Supposons . On a .
Supposons . On a et de même donc .
Supposons .
On a .
Supposons . .
Supposons et .
Soit .
Si alors donc .
Si alors sachant on a , or donc .
Dans les deux cas, . Ainsi, et de manière symétrique d’où l’égalité.
Si alors clairement et .
Étant donné et deux parties de , justifier
Solution
Puisque la privation correspond à l’intersection avec le complémentaire
Soient et deux parties de , on appelle différence symétrique de et , l’ensemble
Montrer
Solution
Soit .
d’où l’égalité des ensembles.
Étant données , et trois parties d’un ensemble , montrer que:
.
Solution
Si alors pour tout :
Si alors et donc et puisque , .
Si alors et donc et puisque , .
Dans les deux cas . Ainsi et un raisonnement symétrique donne puis l’égalité.
Réciproque immédiate.
or et donc .
donc .
(Différence symétrique)
On définit la différence symétrique de deux parties et d’un ensemble par
Soient , et trois parties de .
Calculer , , et .
Vérifier la propriété d’associativité
Établir
Soient et des parties d’un ensemble .
Discuter et résoudre l’équation d’inconnue .
Soient deux parties de .
Discuter et résoudre l’équation d’inconnue .
Solution
Cas: . L’équation n’a pas de solution. En effet, l’existence de tel que implique .
Cas: . Soit une solution de l’équation.
On peut écrire
Inversement, pour avec alors
Ainsi,
[<] Opérations sur les parties d'un ensemble[>] Image directe, image réciproque d'une partie
Soit l’application définie par . Montrer que l’application est bijective:
En constatant la définition d’une application bijective.
En vérifiant injectivité et surjectivité.
En déterminant une application susceptible d’être sa bijection réciproque.
Soient , et trois réels tels que et . On introduit .
On considère la fonction définie par
Justifier que l’application est bien définie.
Calculer . En déduire que est une bijection dont on déterminera l’application réciproque.
On considère l’application définie par
Montrer que l’application est bijective et exprimer sa bijection réciproque.
Soit l’application définie par
Montrer que est injective.
Déterminer un antécédent par à pour .
Montrer que est surjective. Qu’en déduire?
Solution
Soient . Supposons . On a . Quitte à échanger, on peut supposer et alors simplifier . Puisque est un entier impair, on a nécessairement . L’égalité se simplifie alors ce qui donne . Finalement, : on a établi l’injectivité de .
On remarque , et .
Soit . Considérons le plus grand entier tel que divise . On peut écrire avec . L’entier est nécessairement impair car sinon cela contredirait la maximalité définissant . On peut donc écrire avec et l’on constate .
L’application est surjective et donc bijective.
On considère l’application définie par
Justifier que l’application est correctement définie.
L’application est-elle injective?
L’application est-elle surjective?
Solution
Pour tout , l’exponentielle de existe et correspond à un nombre complexe non nul. L’application est donc correctement définie au départ de et à valeurs dans .
On remarque . L’application n’est pas injective.
On sait que pour tout , il existe tel que . En effet, si l’on écrit avec , le complexe convient. L’application est donc surjective.
Soient et les applications déterminées par:
Étudier la bonne définition des applications et .
Étudier les injectivités des applications et .
Étudier les surjectivités des applications et .
Préciser les applications et . Sont-elles bijectives?
Soit l’application définie par .
Montrer que l’application est surjective mais non injective.
On note .
On considère la restriction de au départ de . Montrer que est injective. Est-elle surjective?
On considère l’application définie par . Montrer que celle-ci est bijective.
Soient et deux parties d’un ensemble et
Montrer que est injective si, et seulement si, .
À quelle condition la fonction est-elle surjective?
Soit une fonction réelle définie au départ d’un intervalle .
Montrer que, si est strictement monotone, alors est injective.
Soient trois ensembles, et .
On suppose et injective. Montrer que .
Solution
Pour tout on a c’est-à-dire donc . Ainsi .
Soient trois ensembles, et .
On suppose surjective et . Montrer que .
Solution
Pour tout , il existe tel que et alors donc .
Soit une application.
Que dire de la restriction de au départ de et à valeurs dans ? Que dire de plus si l’on sait injective?
Soient et deux applications. Établir:
injective injective.
surjective surjective.
injective et surjective injective.
surjective et injective surjective.
Soient trois ensembles, , et
Établir que si est injective et que et sont surjectives alors et sont bijectives.
Solution
Supposons injective et ainsi que surjectives.
Puisque est injective, on a injective.
Puisque est surjective, on a surjective.
Par suite, est bijective et l’on peut introduire .
Par composition est injective et par suite est injective.
D’autre part est surjective et donc aussi.
Finalement, est bijective. Par composition, est injective et est surjective donc est bijective.
Soient et deux applications telles que soit bijective.
Montrer que et sont bijectives
Solution
Par l’exercice précédent, bijective implique injective et surjective.
Ainsi est bijective et l’on peut introduire .
est bijective par composition d’applications bijectives.
Soient un ensemble et une application telle que .
Montrer que est injective si, et seulement si, est surjective.
Soient et des ensembles non vides. Montrer qu’il existe une injection de dans si, et seulement si, il existe une surjection de sur .
Soit un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas d’applications surjectives de vers .
[<] Injectivité, surjectivité, bijectivité[>] Relations d'équivalence
Soit la fonction définie par . Déterminer les ensembles suivants:
.
Décrire l’image directe de par la fonction exponentielle.
Déterminer l’image réciproque de l’intervalle par la fonction définie sur .
Solution
et .
Soit une application surjective. On pose, pour tout , .
Montrer que les sont non vides, deux à deux disjoints, de réunion égale à .
Solution
Puisque est surjective, les sont non vides.
Si alors pour on a et donc .
Par contraposée: .
Soient et . On a . Ainsi puis l’égalité.
Soit une application et . Établir
Solution
Méthode: On vérifie l’égalité des deux ensembles par correspondance des éléments qui les constituent.
Pour ,
On peut alors conclure .
Soit une application.
Soient et deux parties de . Montrer
Soient et deux parties de . Établir
Soient une partie de et une partie de . Établir
Soit une application.
Établir
Montrer
Montrer
Soit une application.
Soient et deux parties de . Montrer
Soient et deux parties de . Montrer
Soit une application. À quelle condition sur peut-on affirmer
Soit une application. Montrer
Soit une application croissante au sens de l’inclusion, c’est-à-dire une application vérifiant
Montrer qu’il existe une partie de vérifiant .
[<] Image directe, image réciproque d'une partie[>] Relations d'ordre
On définit une relation11 1 C’est la relation de commensurabilité: deux longueurs sont commensurables lorsqu’elles sont multiples d’une longueur commune. binaire sur l’ensemble en posant
Montrer que définit une relation d’équivalence.
Soit . Décrire la classe d’équivalence de .
Soit une relation binaire sur un ensemble à la fois réflexive et transitive.
On définit les nouvelles relations et par:
Les relations et sont-elles des relations d’équivalences?
Solution
Les relations et sont clairement réflexives et symétriques.
Soient .
Supposons et .
On a alors et donc et aussi et donc puis .
Le raisonnement n’est plus valable avec et l’on peut présumer que ne sera pas une relation d’équivalence.
Prenons pour la relation divise définie sur . On a et donc et or .
Ici la relation n’est pas transitive.
On considère sur la relation binaire définie par:
Montrer que est une relation d’équivalence.
Décrire la classe d’équivalence d’une fonction donnée .
Solution
donc .
Si alors il existe telle que mais alors donc .
Si et alors il existe telles que et donc avec . Ainsi, .
Finalement, est une relation d’équivalence.
Pour ,
Finalement,
Soit une application. On définit une relation binaire sur par:
Montrer que définit une relation d’équivalence sur .
Exprimer la classe d’équivalence d’un élément quelconque de .
Soient un ensemble de cardinal , une relation d’équivalence sur ayant classes d’équivalence et le graphe de supposé de cardinal .
Montrer que .
Solution
Notons les cardinaux respectifs des classes d’équivalence de . D’une part,
et d’autre part,
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
Soient un ensemble et une partie de .
On définit une relation sur par:
Montrer que est une relation d’équivalence
Décrire la classe d’équivalence de
Solution
La relation étudiée est évidemment réflexive, symétrique et transitive.
Pour ,
Soit . On a . Pour tout , on a et donc . Ainsi, et inversement donc .
Puisque , on a avec .
Inversement, soit avec . On a
Finalement,
Soit une relation binaire réflexive et transitive sur un ensemble . On définit une relation sur par
Montrer que est une relation d’équivalence et que permet de définir une relation d’ordre sur les classes d’équivalences de .
Solution
est réflexive, symétrique et transitive sans difficultés.
On définit
La relation est bien définie, réflexive transitive.
Si et alors donc .
Soient un groupe et un-sous groupe de .
On définit une relation binaire sur par:
Montrer que est une relation d’équivalence et en décrire les classes d’équivalence.
Solution
Soit . On a car .
Soient . Si alors et donc d’où .
Soient . Si et alors et donc d’où .
Finalement, est une relation d’équivalence.
Pour ,
On en déduit
Soit un groupe multiplicatif de cardinal avec premier et .
Montrer que
Solution
Considérons la relation binaire sur définie par
Il est immédiat de vérifier que est une relation d’équivalence sur . Les classes d’équivalence de forment donc une partition de ce qui permet d’affirmer que le cardinal de est la somme des cardinaux des classes d’équivalence de .
Une classe d’équivalence d’un élément est réduite à un singleton si, et seulement si,
c’est-à-dire
En dénombrant en fonction des classes d’équivalence de et en isolant parmi celles-ci celles qui sont réduites à un singleton on a
avec la somme des cardinaux des classes d’équivalence de qui ne sont pas réduites à un singleton.
Pour poursuivre, montrons maintenant que le cardinal d’une classe d’équivalence de la relation divise le cardinal de .
Considérons une classe d’équivalence pour la relation et notons
Pour , puisque , il existe tel que
Considérons alors l’application définie par
On vérifie que cette application est bien définie et qu’elle est bijective.
On en déduit
et puisque est la réunion disjointes des
Ainsi, toutes les classes d’équivalences qui ne sont pas réduites à un élément ont un cardinal multiple de et donc .
Puisque divise , on a
Sachant (car ) on peut affirmer
On définit une relation binaire sur par:
Montrer que est une relation d’ordre. Cet ordre est-il total?
Solution
Soit , on a pour donc . La relation est réflexive.
Soient , si et alors il existe tels que et .
On a alors donc
Si alors .
Si alors puis . Or donc puis .
Finalement, la relation est antisymétrique.
Soient . Si et alors il existe tels que et .
On a avec donc . La relation est transitive.
Finalement, est une relation d’ordre.
Cet ordre n’est pas total car, par exemple, 2 et 3 ne sont pas comparables.
Soit une application injective. On définit sur une relation binaire par
Montrer que est une relation d’ordre sur .
S’agit-il d’une relation d’ordre totale?
(Ordre lexicographique)
Sur , on définit une relation binaire par
Vérifier que définit une relation d’ordre sur .
S’agit-il d’une relation d’ordre totale?
Soit la relation binaire définie sur le demi-plan par
Montrer que est une relation d’ordre sur .
S’agit-il d’une relation d’ordre totale?
On définit une relation binaire sur par:
Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre total.
Solution
est clairement réflexive.
Si et alors nécessairement et donc car .
Si et alors si alors et sinon et donc ce qui permet à nouveau d’affirmer .
Pour .
Si alors
Si alors .
Si alors dans le cas où on a et, dans le cas complémentaire, on a .
Dans tout les cas et sont comparables, la relation d’ordre est totale.
Soit l’ensemble des couples formé d’un intervalle et d’une fonction réelle définie sur .
On définit une relation sur par: et .
Montrer que est une relation d’ordre sur .
Solution
La relation est clairement réflexive.
Si et alors , et donc et .
Si et alors et donc .
Finalement, est une relation d’ordre.
Soient deux parties d’un ensemble ordonné par .
On suppose que et ont chacun un plus grand élément.
Qu’en est-il de lorsque l’ordre est total? lorsqu’il ne l’est pas?
Que dire de ?
Solution
Si l’ordre est total possède un plus grand élément: .
Si l’ordre n’est pas total, les plus grands éléments de et de peuvent ne pas être comparés aux éléments de et . Dans , pour et , et ont un plus grand élément alors que n’en a pas.
peut ne pas posséder de plus grand élément, cet ensemble peut notamment être vide.
Soit un ensemble ordonné par une relation .
Un tableau à lignes et colonnes est formé d’éléments avec indice de ligne() et indice de colonne().
On note le plus petit élément de chaque colonne et l’on prend le plus grand de ces plus petits:
On note aussi le plus grand élément de chaque ligne et l’on prend le plus petit de ces plus grands:
Comparer ces deux nombres.
Donner un exemple de non égalité.
Solution
Pour tout ,
donc
puis
Pour le tableau
Montrer qu’il n’existe pas de suite strictement décroissante d’entiers naturels.
Solution
Par l’absurde, supposons que soit une telle suite.
est une partie non vide de , elle possède donc un plus petit élément .
Puisque , il existe tel que . Mais alors . Absurde.
Soit un ensemble ordonné tel que toute partie non vide admet un plus petit élément et un plus grand élément.
Montrer que est fini.
Solution
Par l’absurde supposons infini.
Posons , ,…, ,…
L’ensemble n’a pas de plus grand élément. Absurde.
Édité le 15-11-2024
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