Exercice 1 1481 Correction

Décrire les parties de $ℝ$ dans lesquelles évoluent $x$ pour que les assertions suivantes soient vraies:

(a)

$(x > 0 et x < 1) ou x = 0$
(b)

$x > 3 et x < 5 et x \neq 4$
(c)

$(x \leq 0 et x > 1) ou x = 4$
(d)

$x \geq 0 ⟹ x \geq 2$ .

Solution

(a)

$[0; 1 [$
(b)

$] 3; 4 [\cup] 4; 5 [$
(c)

${4}$
(d)

$] - \infty; 0 [\cup [2; + \infty [$ (et il n’y a pas d’erreurs!)

Exercice 2 1482 Correction

Étant donné $P$ , $Q$ et $R$ trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité:

(a)

$P ou (Q et R) \sim (P ou Q) et (P ou R)$
(b)

$non (P ⟹ Q) \sim P et non (Q)$ .

Solution

(a)

Dans les deux cas on obtient la table

$\begin{matrix} P & v & v & v & v & f & f & f & f \\ Q & v & v & f & f & v & v & f & f \\ R & v & f & v & f & v & f & v & f \\ v & v & v & v & v & f & f & f \end{matrix} .$
(b)

Dans les deux cas on obtient la table

$\begin{matrix} P & v & v & f & f \\ Q & v & f & v & f \\ f & v & f & f \end{matrix} .$

Exercice 3 1483 Correction

On dispose de neuf billes visuellement identiques, huit d’entre elles ont même masse mais la neuvième est plus lourde. Comment, en deux pesées sur une balance à deux plateaux, peut-on démasquer l’intrus?

Solution

On compare deux paquets de trois billes.
Si l’un est plus lourd que l’autre, c’est qu’il contient l’intrus.
Sinon, l’intrus est parmi les trois billes restantes.
Ainsi, on sait dans quel paquet de trois billes se situe l’intrus.
Dans ce celui-ci, on compare deux billes.
Si l’une est plus lourde que l’autre, c’est l’intrus.
Sinon, l’intrus est la troisième.

Exercice 4 1484 Correction

On dispose de neuf billes visuellement identiques, elles ont toutes la même masse sauf une.
Comment, à l’aide d’une balance à deux plateaux, démasquer l’intrus en trois pesées?

Solution

L’exercice serait facile à résoudre en deux pesées si l’on savait si la bille différente était plus lourde ou plus légère que les autres. Ignorant ce fait, l’exercice devient d’autant plus croustillant…
Notons 1,2,3,4,5,6,7,8,9 nos billes.
On commence par comparer 2 lots constituées de 1,2,3 et de 4,5,6.
Si ceux-ci ont même masse alors l’intrus figure parmi 7,8,9 et l’on peut utiliser la bille 1 comme bille témoin. On compare alors les billes 1 et 7 puis les billes 1 et 8 pour démasquer l’intrus.
Si en revanche les deux premiers lots n’ont pas même masse, l’intrus se trouve parmi l’un deux. La bille 9 servira alors de bille témoin. Pour fixer les idées (et sans perte de généralités), supposons que le premier lot est plus lourd que le second. Comparons maintenant les billes 1 et 4 avec les billes 2 et 5.
Si celles-ci ont même masse commune, l’intrus se trouve dans les deux autres billes 3 et 6. Une comparaison de 3 avec 9 permet alors de savoir qui est l’intrus de 3 ou de 6.
Si celles-ci n’ont pas même masse commune, pour fixer les idées (et sans perte de généralités), supposons que 1 et 4 soient plus lourdes que 2 et 5.
Si l’intrus est plus lourd que ses congénères alors cela ne peut ni être 4 ni être 2 à cause respectivement des première et deuxième pesées.
Si l’intrus est plus léger que ses congénères alors cela ne peut ni être 2 ni être 4 à cause respectivement des première et deuxième pesées.
Dans tous les cas l’intrus est soit 1, soit 5.
Une comparaison de la bille 1 avec la bille 9 permet alors de démasquer cet intrus.

[<] Logique[>] Raisonnements

Exercice 5 4466

Soit $f$ une fonction de $ℝ$ vers $ℝ$ . Que signifient les phrases quantifiées suivantes?

(a)

$\exists M \in ℝ, \forall x \in ℝ, f (x) \leq M$ .
(b)

$\forall M \in ℝ, \exists x \in ℝ, f (x) \geq M$ .
(c)

$\forall x \in ℝ, x \geq 0 ⟹ f (x) \geq 0$ .
(d)

$\forall x \in ℝ, f (x) = 0 ⟹ x = 0$ .
(e)

$\exists A \in ℝ, \exists C \in ℝ, \forall x \in ℝ, x \geq A ⟹ f (x) = C$ .

Exercice 6 1485 Correction

Soient $I$ un intervalle de $ℝ$ et $f : I \to ℝ$ une fonction définie sur $I$ à valeurs réelles.
Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes:

(a)

$\exists C \in ℝ, \forall x \in I, f (x) = C$
(b)

$\forall x \in I, f (x) = 0 ⟹ x = 0$
(c)

$\forall y \in ℝ, \exists x \in I, f (x) = y$
(d)

$\forall x, y \in I, x \leq y ⟹ f (x) \leq f (y)$
(e)

$\forall x, y \in I, f (x) = f (y) ⟹ x = y$ .

Solution

(a)

la fonction $f$ est constante
(b)

la fonction $f$ ne peut s’annuler qu’en 0 (mais n’y est pas forcée de s’y annuler)
(c)

la fonction $f$ prend toute valeur réelle
(d)

la fonction $f$ est croissante
(e)

la fonction $f$ ne prend jamais deux fois la même valeur

Exercice 7 4468

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une application. Signifier à l’aide de phrases quantifiées les affirmations suivantes:

(a)

La fonction $f$ est la fonction nulle.
(b)

La fonction $f$ s’annule.
(c)

La fonction $f$ ne s’annule que sur $ℝ_{+}$ .
(d)

La fonction $f$ s’annule au plus une fois.

Exercice 8 1486 Correction

Soient $I$ un intervalle de $ℝ$ et $f : I \to ℝ$ une fonction définie sur $I$ à valeurs réelles.
Exprimer à l’aide de quantificateurs les assertions suivantes:

(a)

la fonction $f$ s’annule
(b)

la fonction $f$ est la fonction nulle
(c)

$f$ n’est pas une fonction constante
(d)

$f$ ne prend jamais deux fois la même valeur
(e)

la fonction $f$ présente un minimum
(f)

$f$ prend des valeurs arbitrairement grandes
(g)

$f$ ne peut s’annuler qu’une seule fois.

Solution

(a)

$\exists x \in I, f (x) = 0$
(b)

$\forall x \in I, f (x) = 0$
(c)

$\exists x, y \in I, f (x) \neq f (y)$
(d)

$\forall x, y \in I, x \neq y ⟹ f (x) \neq f (y)$ ou encore
$\forall x, y \in I, f (x) = f (y) ⟹ x = y$
(e)

$\exists a \in I, \forall x \in I, f (x) \geq f (a)$
(f)

$\forall M \in ℝ, \exists x \in I, f (x) > M$
(g)

$\forall x, y \in I, f (x) = 0 et f (y) = 0 ⟹ x = y$ .

Exercice 9 4467

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une application. Écrire les négations des phrases quantifiées suivantes:

(a)

$\exists M \in ℝ, (\forall x \in ℝ, f (x) \geq M) ou (\forall x \in ℝ, f (x) \leq M)$ .
(b)

$\forall x \in ℝ, f (x) \geq 0 ⟹ x \geq 0$ .
(c)

$\forall (x, y) \in ℝ^{2}, x \leq y ⟹ f (x) \leq f (y)$ .
(d)

$\forall a \in ℝ, \forall ε > 0, \exists α > 0, \forall x \in ℝ, | x - a | \leq α ⟹ | f (x) - f (a) | \leq ε$ .

Exercice 10 1487 Correction

Soient $I$ un intervalle de $ℝ$ non vide et $f : I \to ℝ$ une fonction à valeurs réelles définie sur $I$ .
Exprimer les négations des assertions suivantes:

(a)

$\forall x \in I, f (x) \neq 0$
(b)

$\forall y \in ℝ, \exists x \in I, f (x) = y$
(c)

$\exists M \in ℝ, \forall x \in I, | f (x) | \leq M$
(d)

$\forall x, y \in I, x \leq y ⟹ f (x) \leq f (y)$
(e)

$\forall x, y \in I, f (x) = f (y) ⟹ x = y$
(f)

$\forall x \in I, f (x) > 0 ⟹ x \leq 0$ .

Solution

(a)

$\exists x \in I, f (x) = 0$
(b)

$\exists y \in ℝ, [x \in I] f (x) \neq y$
(c)

$\forall M \in ℝ, \exists x \in I, | f (x) | > M$
(d)

$\exists x, y \in I, x \leq y et f (x) > f (y)$
(e)

$\exists x, y \in I, f (x) = f (y) et x \neq y$
(f)

$\exists x \in I, f (x) > 0 et x > 0$ .

Exercice 11 1488

Soit $f : E \to F$ une application. Dans chaque cas, donner la différence de sens entre les deux assertions proposées:

(a)

$« \forall x \in E, \exists y \in F, y = f (x) »$ et $« \exists y \in F, \forall x \in E, y = f (x) »$ .
(b)

$« \forall y \in F, \exists x \in E, y = f (x) »$ et $« \exists x \in E, \forall y \in F, y = f (x) »$ .

Soit $𝒫 (x, y)$ une assertion dépendant d’un couple $(x, y)$ élément de $E \times F$ .

(c)

Laquelle des deux assertions suivantes entraîne l’autre?

$« \exists x \in E, \forall y \in F, 𝒫 (x, y) » et « \forall y \in F, \exists x \in E, 𝒫 (x, y) ».$

Pourquoi ne sont-elles généralement pas équivalentes?

Exercice 12 1489 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue.
On considère les assertions suivantes:

P \sim « \forall x \in ℝ, f (x) = 0 », Q \sim « \exists x \in ℝ, f (x) = 0 »

R \sim « (\forall x \in ℝ, f (x) > 0) ou (\forall x \in ℝ, f (x) < 0) ».

Parmi les implications suivantes lesquelles sont exactes:

(a)

$P ⟹ Q$
(b)

$Q ⟹ P$
(c)

$Q ⟹ R$
(d)

$non (R) ⟹ Q$
(e)

$non (Q) ⟹ non (P)$
(f)

$non (P) ⟹ non (R)$ ?

Solution

(a)

d) e) sont les assertions exactes (d) car $f$ est continue…

Exercice 13 1490 Correction

Soit $a \in ℝ$ .

(a)

Montrer que $(\forall ε \geq 0, | a | \leq ε) ⟹ a = 0$ .
(b)

Montrer que $(\forall ε > 0, | a | \leq ε) ⟹ a = 0$ .

Solution

(a)

Supposons $\forall ε \geq 0, | a | \leq ε$ . En particulier, pour $ε = 0$ , on a $| a | \leq 0$ donc $a = 0$ .
(b)

Par contraposée, montrons: $a \neq 0 ⟹ \exists ε > 0, | a | > ε$ .
Supposons $a \neq 0$ . Pour $ε = \frac{| a |}{2}$ on a $ε > 0$ et $| a | > ε$ ce qui détermine un $ε$ convenable.

[<] Usage des quantificateurs[>] Raisonnements par récurrence

Exercice 14 4469

Montrer que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.

Exercice 15 3947 Correction

Sachant $\sqrt{2} \notin ℚ$ , montrer

\forall x \in ℚ, x + \sqrt{2} \notin ℚ .

Solution

Soit $x \in ℚ$ . Si par l’absurde $y = x + \sqrt{2} \in ℚ$ alors

\sqrt{2} = y - x \in ℚ .

Exercice 16 3946 Correction

Montrer

\forall n \in ℕ, \frac{n (n^{2} + 1)}{2} \in ℕ .

Solution

Opérons par disjonction de cas.

Cas: $n$ pair. On peut écrire $n = 2 p$ avec $p \in ℕ$ et alors

\frac{n (n^{2} + 1)}{2} = p (n^{2} + 1) \in ℕ .

Cas: $n$ impair. On peut écrire $n = 2 p + 1$ avec $p \in ℕ$ et alors

\frac{n (n^{2} + 1)}{2} = n (2 p^{2} + 2 p + 1) \in ℕ .

Dans les deux cas la propriété est vraie.

Exercice 17 2054 Correction

Soient $𝒫 = {2 k | k \in ℤ}$ et $ℐ = {2 k + 1 | k \in ℤ}$ les ensembles formés respectivement des entiers pairs et impairs. Écrire une démonstration de l’identité $𝒫 \cap ℐ = \emptyset$ .

Solution

Par l’absurde, si $𝒫 \cap ℐ \neq \emptyset$ , considérons $x \in 𝒫 \cap ℐ$ .
Comme $x \in 𝒫$ , il existe $k \in ℤ$ tel que $x = 2 k$ .
Comme $x \in ℐ$ , il existe $ℓ \in ℤ$ tel que $x = 2 ℓ + 1$ .
Par suite, $2 k = 2 ℓ + 1$ puis $1 / 2 = k - ℓ \in ℤ$ ce qui est absurde
Une erreur de raisonnement classique est de décrire $x$ comme un nombre pair et impair en choisissant le même entier $k$ .

Exercice 18 4470

(a)

Vérifier que $x^{2} + x + 1$ est strictement positif quelle que soit la valeur du réel $x$ .
(b)

Vérifier que lorsque $n$ est un entier naturel, le nombre $\frac{n (n^{2} + 1)}{2}$ l’est aussi.
(c)

Vérifier que lorsque le produit de deux réels est nul, l’un des facteurs est nul.

Exercice 19 4471

(a)

Montrer que tout nombre rationnel peut s’écrire comme somme de deux nombres irrationnels.
(b)

Montrer que pour tout entier naturel, il existe un nombre premier¹¹ 1 Un nombre premier est un entier $p \geq 2$ dont les seuls diviseurs positifs sont $1$ et lui-même: 2, 3, 5, 7, 11, 13,… sont les premiers nombres premiers. Le théorème d’Euclide () assure l’existence d’une infinité de nombres premiers. qui lui est strictement supérieur.
(c)

À quelle condition un réel peut-il s’écrire à la fois comme la somme et le produit des deux mêmes réels?

Exercice 20 4472

(a)

Soit $a \in ℝ$ . Établir l’implication

$(\forall ε \geq 0, | a | \leq ε) ⟹ a = 0 .$
(b)

Soit $a \in ℝ$ . Établir l’implication

$(\forall ε > 0, | a | \leq ε) ⟹ a = 0 .$
(c)

Soient $x$ et $y$ deux réels. Établir l’équivalence

$x^{2} + y^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0 et y = 0 .$

[<] Raisonnements[>] Sous-ensemble, appartenance, inclusion

Exercice 21 2057 Correction

Soit $(u_{n})$ la suite réelle déterminée par

u_{0} = 2, u_{1} = 3 et \forall n \in ℕ, u_{n + 2} = 3 u_{n + 1} - 2 u_{n} .

Montrer

\forall n \in ℕ, u_{n} = 2^{n} + 1 .

Solution

Par récurrence double.
Pour $n = 0$ et $n = 1$ : ok
Supposons la propriété établie aux rangs $n$ et $n + 1$ (avec $n \geq 0$ ).

u_{n + 2} = 3 u_{n + 1} - 2 u_{n} \underset{H R}{=} {3.2}^{n + 1} + 3 - {2.2}^{n} - 2 = 2^{n + 2} + 1 .

Récurrence établie

Exercice 22 2060 Correction

Le raisonnement suivant est erroné:
Montrons, par récurrence sur $n \in ℕ^{*}$ , la propriété:
$𝒫 (n)$ = $n$ points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pour $n = 1 et n = 2$ , la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 2$ .
Considérons alors $n + 1$ points deux à deux distincts $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}, A_{n + 1}$ .
(HR) Les points $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ sont alignés sur une droite $𝒟$ .
(HR) Les points $A_{2}, \dots, A_{n}, A_{n + 1}$ sont alignés sur une droite $𝒟^{'}$ .
Or $𝒟$ et $𝒟^{'}$ contiennent les deux points distincts $A_{2}$ et $A_{n}$ , donc $𝒟 = 𝒟^{'}$ .
Par suite, $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}, A_{n + 1}$ sont alignés sur la droite $𝒟 = 𝒟^{'}$ .
Récurrence établie.
Où est l’erreur?

Solution

À l’avant dernière ligne, pour que $A_{2} et A_{n}$ soient distincts, il est nécessaire que $n \geq 3$ .
L’hérédité de la récurrence ne s’enchaîne alors plus avec l’initialisation.

Exercice 23 2061

Établir que tout entier naturel non nul $n$ s’écrit

n = 2^{k} (2 p + 1) avec (p, k) \in ℕ^{2}

en procédant de deux manières:

(a)

En introduisant le plus grand entier $k$ tel que $2^{k}$ divise $n$ .
(b)

En raisonnant par récurrence.

Exercice 24 1274

Soit $x$ un réel non nul tel que $x + \frac{1}{x}$ soit entier.

(a)

Montrer que pour tout $n \in ℕ$ ,

$x^{n} + \frac{1}{x^{n}} \in ℤ .$
(b)

Donner un exemple de réel $x$ non trivial¹¹ 1 Les solutions $x = 1$ et $x = - 1$ sont évidentes, on cherche ici une solution qui ne l’est pas. ayant la propriété qui précède.

Exercice 25 2058 Correction

Montrer que

\forall n \in ℕ ∖ {0,1}, 1 + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} > \frac{3 n}{2 n + 1} .

Solution

Par récurrence sur $n \geq 2$ .
Pour $n = 2$ ok.
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 2$ .

1 + \dots + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \underset{H R}{\geq} \frac{3 n}{2 n + 1} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \underset{?}{\geq} \frac{3 (n + 1)}{2 n + 3} .

Vérifions l’inégalité proposée:

\frac{3 n}{2 n + 1} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} - \frac{3 (n + 1)}{2 n + 3} = \frac{n^{2} + 2 n}{(2 n + 1) {(n + 1)}^{2} (2 n + 3)} \geq 0 .

Récurrence établie.

Exercice 26 2059 Correction

Montrer que

\forall n \in ℕ^{*}, 1! 3! \dots (2 n + 1)! \geq {((n + 1)!)}^{n + 1} .

Solution

Par récurrence sur $n \geq 1$ .
Pour $n = 1$ : ok
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 1$ .

1! 3! \dots (2 n + 1)! (2 n + 3)! \underset{H R}{\geq} {((n + 1)!)}^{n + 1} (2 n + 3)! \underset{?}{\geq} {((n + 2)!)}^{n + 2} .

Vérifions l’inégalité proposée:

\frac{{((n + 1)!)}^{n + 1} (2 n + 3)!}{((n + 2)!^{n + 2}} = \frac{(2 n + 3)!}{(n + 1)! {(n + 2)}^{n + 2}} = \frac{(n + 2) (n + 3) \dots (2 n + 3)}{(n + 2) (n + 2) \dots (n + 2)} \geq 1 .

Récurrence établie.

[<] Raisonnements par récurrence[>] Opérations sur les parties d'un ensemble

Exercice 27 1491 Correction

Soit $E = {a, b, c}$ un ensemble. Peut-on écrire:

(a)

$a \in E$
(b)

$a \subset E$
(c)

${a} \subset E$
(d)

$\emptyset \in E$
(e)

$\emptyset \subset E$
(f)

${\emptyset} \subset E$ ?

Solution

On peut écrire: a), c), e).

Exercice 28 1492 Correction

Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu’il réunit les éléments d’un ensemble vérifiant une propriété. Un ensemble est dit décrit en extension lorsque l’on cite ses éléments. Par exemple, ${n \in ℤ | \exists k \in ℤ, n = 2 k}$ et ${2 k | k \in ℤ}$ sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l’ensemble des entiers pairs.

(a)

Décrire en compréhension et en extension l’ensemble ${1,3,5,7, \dots}$ .
(b)

Décrire en compréhension et en extension l’ensemble ${1,10,100,1000, \dots}$ .
(c)

Décrire en extension l’ensemble des nombres rationnels.
(d)

Décrire en compréhension l’ensemble $] 0; 1]$ .
(e)

Décrire en compréhension et en extension l’ensemble des valeurs prises par une fonction $f : ℝ \to ℝ$ .
(f)

Décrire en compréhension l’ensemble des antécédents d’un réel $y$ par une fonction $f : ℝ \to ℝ$ .

Solution

(a)

${1,3,5,7, \dots} = {n \in ℕ | \exists k \in ℕ, n = 2 k + 1} = {2 k + 1 | k \in ℕ}$ .
(b)

${1,10,100,1000, \dots} = {x \in ℝ | \exists k \in ℕ, x = 10^{k}} = {10^{k} | k \in ℕ}$ .
(c)

$ℚ = {\frac{p}{q} | p \in ℤ, q \in ℕ^{*}}$ .
(d)

$] 0; 1] = {x \in ℝ | 0 < x \leq 1}$ .
(e)

${y \in ℝ | \exists x \in ℝ, y = f (x)} = {f (x) | x \in ℝ}$ .
(f)

${x \in ℝ | f (x) = y}$ .

Exercice 29 1493 Correction

Décrire $𝒫 (𝒫 ({a}))$ où $a$ désigne un élément.

Solution

$𝒫 ({a}) = {\emptyset, {a}}$ et $𝒫 (𝒫 ({a})) = {\emptyset, {\emptyset}, {{a}}, {\emptyset, {a}}}$ .

Exercice 30 2200 Correction

Soit $A$ une partie d’un ensemble $E$ . On appelle fonction indicatrice de la partie $A$ dans $E$ , l’application $1_{A} : E \to ℝ$ définie par:

1_{A} (x) = {\begin{matrix} 1 & si x \in A \\ 0 & sinon. \end{matrix}

De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions indicatrices?

(a)

$\min (1_{A} {,1}_{B})$
(b)

$\max (1_{A} {,1}_{B})$
(c)

$1_{A} {.1}_{B}$
(d)

$1 - 1_{A}$
(e)

$1_{A} + 1_{B} - 1_{A} {.1}_{B}$
(f)

${(1_{A} - 1_{B})}^{2}$

Solution

(a)

$A \cap B$
(b)

$A \cup B$
(c)

$A \cap B$
(d)

$∁_{E} A$ complémentaire de $A$ dans $E$ .
(e)

$A \cup B$
(f)

$A Δ B = (A \cup B) ∖ (A \cap B)$

[<] Sous-ensemble, appartenance, inclusion[>] Injectivité, surjectivité, bijectivité

Exercice 31 1494

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$ .

(a)

Montrer $A ∖ (B \cap C) = (A ∖ B) \cup (A ∖ C)$ .
(b)

On suppose $A \cap B \subset A \cap C$ et $A \cup B \subset A \cup C$ . Montrer $B \subset C$ .
(c)

On suppose $A ∖ B = C$ . Montrer $A \cup B = B \cup C$ .
(d)

On suppose $A \cap B = B \cap C = C \cap A$ et $A \cup B = B \cup C = C \cup A$ . Montrer que les trois ensembles $A$ , $B$ et $C$ sont égaux.

Exercice 32 4478

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$ . Vérifier

(A \cup B) \cap (B \cup C) \cap (C \cup A) = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A) .

Exercice 33 1496 Correction

Étant donné $A$ , $B$ et $C$ trois parties de $E$ , justifier les équivalences suivantes:

(a)

$A \subset B \Leftrightarrow A \cup B = B$ .
(b)

$A = B \Leftrightarrow A \cap B = A \cup B$ .
(c)

$A \cup B = A \cap C \Leftrightarrow B \subset A \subset C$
(d)

${\begin{matrix} A \cup B = A \cup C \\ A \cap B = A \cap C \end{matrix} \Leftrightarrow B = C$

Solution

(a)

$(⟹)$ Supposons $A \subset B$ . On a toujours $B \subset A \cup B$ .
Pour $x \in A \cup B$ . Que $x \in A$ ou $x \in B$ on a $x \in B$ donc $A \cup B \subset B$ . Ainsi $A \cup B = B$ .

$(⟸)$ Supposons $A \cup B = B$ . Puisque $A \subset A \cup B$ , on a $A \subset B$ .
(b)

$(⟹)$ Supposons $A = B$ . On a $A \cap B = A = A \cup B$ .

$(⟸)$ Supposons $A \cap B = A \cup B$ . On a $A \subset A \cup B \subset A \cap B \subset B$ et de même $B \subset A$ donc $A = B$ .
(c)

$(⟹)$ Supposons $A \cup B = A \cap C$ .
On a $B \subset A \cup B = A \cap C \subset A \subset A \cup B = A \cap C \subset C$ .

$(⟸)$ Supposons $B \subset A \subset C$ . $A \cup B = A = A \cap C$ .
(d)

$(⟹)$ Supposons $A \cup B = A \cup C$ et $A \cap B = A \cap C$ .
Soit $x \in B$ .
Si $x \in A$ alors $x \in A \cap B = A \cap C$ donc $x \in C$ .
Si $x \notin A$ alors sachant $x \in A \cup B$ on a $x \in A \cup C$ , or $x \notin A$ donc $x \in C$ .
Dans les deux cas, $x \in C$ . Ainsi, $B \subset C$ et de manière symétrique $C \subset B$ d’où l’égalité.

$(⟸)$ Si $B = C$ alors clairement $A \cup B = A \cup C$ et $A \cap B = A \cap C$ .

Exercice 34 1495 Correction

Étant donné $A$ et $B$ deux parties de $E$ , justifier

∁_{E} A ∖ ∁_{E} B = B ∖ A .

Solution

Puisque la privation correspond à l’intersection avec le complémentaire

∁_{E} A ∖ ∁_{E} B = ∁_{E} A \cap ∁_{E} ∁_{E} B = B \cap ∁_{E} A = B ∖ A .

Exercice 35 1497 Correction

Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$ , on appelle différence symétrique de $A$ et $B$ , l’ensemble

A Δ B = (A ∖ B) \cup (B ∖ A) .

Montrer

A Δ B = (A \cup B) ∖ (A \cap B) .

Solution

Soit $x \in E$ .

	$x \in A Δ B$	$\Leftrightarrow (x \in A et x \notin B) ou (x \in B et x \notin A)$
		$\Leftrightarrow (x \in A ou x \in B) et (x \in A ou x \notin A)$
		$et (x \notin B ou x \in B) et (x \notin B ou x \notin A)$
		$\Leftrightarrow x \in A \cup B et x \notin A \cap B$
		$\Leftrightarrow x \in (A \cup B) ∖ (A \cap B)$

d’où l’égalité des ensembles.

Exercice 36 1498 Correction

Étant données $A$ , $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$ , montrer que:

(a)

$A Δ B = A Δ C \Leftrightarrow B = C$
(b)

$A ∖ B = A \Leftrightarrow B ∖ A = B$
(c)

$A Δ B = A \cap B ⟹ A = B = \emptyset$ .

Solution

(a)

Si $A Δ B = A Δ C$ alors pour tout $x \in B$ :
Si $x \in A$ alors $x \notin A Δ B$ et donc $x \notin A Δ C$ et puisque $x \in A$ , $x \in C$ .
Si $x \notin A$ alors $x \in A Δ B$ et donc $x \in A Δ C$ et puisque $x \notin A$ , $x \in C$ .
Dans les deux cas $x \in C$ . Ainsi $B \subset C$ et un raisonnement symétrique donne $C \subset B$ puis l’égalité.
Réciproque immédiate.
(b)

$A ∖ B = A \Leftrightarrow A \cap ∁_{E} B = A \Leftrightarrow A \subset ∁_{E} B$ or $A \subset ∁_{E} B \Leftrightarrow B \subset ∁_{E} A$ et donc $A ∖ B = A \Leftrightarrow B ∖ A = B$ .
(c)

$A Δ B = (A \cup B) ∖ (A \cap B)$ donc $A Δ B = A \cap B ⟹ A \cap B = \emptyset = A \cup B ⟹ A = B = \emptyset$ .

Exercice 37 4479

(Différence symétrique)

On définit la différence symétrique de deux parties $A$ et $B$ d’un ensemble $E$ par

A Δ B \overset{déf}{=} (A \cup B) \cap (\bar{A \cap B}) .

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois parties de $E$ .

(a)

Calculer $A Δ A$ , $A Δ \bar{A}$ , $A Δ E$ et $A Δ \emptyset$ .
(b)

Vérifier la propriété d’associativité

$A Δ (B Δ C) = (A Δ B) Δ C .$
(c)

Établir

$A Δ B = A Δ C ⟹ B = C .$

Exercice 38 1499

Soient $A$ et $B$ des parties d’un ensemble $E$ .

Discuter et résoudre l’équation $A \cup X = B$ d’inconnue $X \in ℘ (E)$ .

Exercice 39 1500 Correction

Soient $A, B$ deux parties de $E$ .
Discuter et résoudre l’équation $A \cap X = B$ d’inconnue $X \in 𝒫 (E)$ .

Solution

Si $B ⊄ A$ alors l’équation n’a pas de solution.
Si $B \subset A$ . Soit $X$ une solution de l’équation.
On a $X = (A \cap X) \cup (\bar{A} \cap X) = B \cup C$ avec $C = \bar{A} \cap X \subset \bar{A}$ .
Inversement, pour $X = B \cup C$ avec $C \subset \bar{A}$ , $A \cap X = (A \cap B) \cup (A \cap C) = B$ .
Ainsi $𝒮 = {X = B \cup C | C \subset \bar{A}} = {X \in 𝒫 (E) | B \subset X \subset B \cup \bar{A}}$ .

[<] Opérations sur les parties d'un ensemble[>] Image directe, image réciproque d'une partie

Exercice 40 4476

Soit $s : ℕ \to ℕ^{*}$ l’application définie par $s (n) = n + 1$ . Montrer que l’application $s$ est bijective:

(a)

En constatant la définition d’une application bijective.
(b)

En vérifiant injectivité et surjectivité.
(c)

En déterminant une application susceptible d’être sa bijection réciproque.

Exercice 41 1502

Soient $a$ , $b$ et $c$ trois réels tels que $c \neq 0$ et $a^{2} + b c \neq 0$ . On introduit $E = ℝ ∖ {a / c}$ .

On considère la fonction $f : E \to E$ définie par

f (x) = \frac{a x + b}{c x - a} .

(a)

Justifier que l’application $f$ est bien définie.
(b)

Calculer $f \circ f$ . En déduire que $f$ est une bijection dont on déterminera l’application réciproque.

Exercice 42 4483

On considère l’application $f : ℕ \to ℤ$ définie par

f (n) = {\begin{matrix} \frac{n}{2} & si n est pair \\ - \frac{n + 1}{2} & sinon. \end{matrix}

Montrer que l’application $f$ est bijective et exprimer sa bijection réciproque.

Exercice 43 4475

Soient $f : ℕ \to ℕ$ et $g : ℕ \to ℕ$ les applications déterminées par:

f (k) = 2 k et g (k) = {\begin{matrix} k / 2 & si k est pair \\ (k - 1) / 2 & si k est impair. \end{matrix}

(a)

Étudier la bonne définition des applications $f$ et $g$ .
(b)

Étudier les injectivités des applications $f$ et $g$ .
(c)

Étudier les surjectivités des applications $f$ et $g$ .
(d)

Préciser les applications $g \circ f$ et $f \circ g$ . Sont-elles bijectives?

Exercice 44 4481

Soit $f : ℂ \to ℂ$ l’application définie par $f (z) = z^{2}$ .

(a)

Montrer que l’application $f$ est surjective mais non injective.

On note $Ω = {z \in ℂ | Re (z) > 0}$ .

(b)

On considère ${f |}_{Ω} : Ω \to ℂ$ la restriction de $f$ au départ de $Ω$ . Montrer que ${f |}_{Ω}$ est injective. Est-elle surjective?
(c)

On considère l’application $f^{'} : Ω \to ℂ ∖ ℝ_{-}$ définie par $f^{'} (z) = z^{2}$ . Montrer que celle-ci est bijective.

Exercice 45 1511

Soient $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$ et

f : {\begin{matrix} ℘ (E) & \to & ℘ (A) \times ℘ (B) \\ X & \mapsto & (X \cap A, X \cap B) . \end{matrix}

(a)

Montrer que $f$ est injective si, et seulement si, $A \cup B = E$ .
(b)

À quelle condition la fonction $f$ est-elle surjective?

Exercice 46 4480

Soit $f$ une fonction réelle définie au départ d’un intervalle $I$ .

Montrer que, si $f$ est strictement monotone, alors $f$ est injective.

Exercice 47 1508 Correction

Soient $E, F, G$ trois ensembles, $f_{1}, f_{2} : E \to F$ et $g : F \to G$ .
On suppose $g \circ f_{1} = g \circ f_{2}$ et $g$ injective. Montrer que $f_{1} = f_{2}$ .

Solution

Pour tout $x \in E$ on a $(g \circ f_{1}) (x) = (g \circ f_{2}) (x)$ c’est-à-dire $g (f_{1} (x)) = g (f_{2} (x))$ donc $f_{1} (x) = f_{2} (x)$ . Ainsi $f_{1} = f_{2}$ .

Exercice 48 1509 Correction

Soient $E, F, G$ trois ensembles, $f : E \to F$ et $g_{1}, g_{2} : F \to G$ .
On suppose $f$ surjective et $g_{1} \circ f = g_{2} \circ f$ . Montrer que $g_{1} = g_{2}$ .

Solution

Pour tout $y \in F$ , il existe $x \in E$ tel que $y = f (x)$ et alors $g_{1} (y) = (g_{1} \circ f) (x) = (g_{2} \circ f) (x) = g_{2} (y)$ donc $g_{1} = g_{2}$ .

Exercice 49 4482

Soit $f : E \to F$ une application.

Que dire de la restriction de $f$ au départ de $E$ et à valeurs dans $f (E))$ ? Que dire de plus si l’on sait $f$ injective?

Exercice 50 1504

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$ deux applications. Établir:

(a)

$g \circ f$ injective $⟹$ $f$ injective.
(b)

$g \circ f$ surjective $⟹$ $g$ surjective.
(c)

$g \circ f$ injective et $f$ surjective $⟹$ $g$ injective.
(d)

$g \circ f$ surjective et $g$ injective $⟹$ $f$ surjective.

Exercice 51 1505 Correction

Soient $E, F, G$ trois ensembles, $f : E \to F$ , $g : F \to G$ et $h : G \to E$
Établir que si $h \circ g \circ f$ est injective et que $g \circ f \circ h$ et $f \circ h \circ g$ sont surjectives alors $f, g$ et $h$ sont bijectives.

Solution

Supposons $h \circ g \circ f$ injective et $g \circ f \circ h$ ainsi que $f \circ h \circ g$ surjectives.
Puisque $(h \circ g) \circ f$ est injective, on a $f$ injective.
Puisque $f \circ (h \circ g)$ est surjective, on a $f$ surjective.
Par suite, $f$ est bijective et l’on peut introduire $f^{- 1}$ .
Par composition $h \circ g = (h \circ g \circ f) \circ f^{- 1}$ est injective et par suite $g$ est injective.
D’autre part $g \circ f \circ h$ est surjective et donc $g$ aussi.

Finalement, $g$ est bijective. Par composition, $h = (h \circ g) \circ g^{- 1}$ est injective et $h = f^{- 1} \circ (f \circ h \circ g) \circ g^{- 1}$ est surjective donc $h$ est bijective.

Exercice 52 1507 Correction

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to E$ deux applications telles que $f \circ g \circ f$ soit bijective.
Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives

Solution

Par l’exercice précédent, $f \circ g \circ f$ bijective implique $f$ injective et $f$ surjective.
Ainsi $f$ est bijective et l’on peut introduire $f^{- 1}$ .
$g = f^{- 1} \circ (f \circ g \circ f) \circ f^{- 1}$ est bijective par composition d’applications bijectives.

Exercice 53 1506

Soient $E$ un ensemble et $f : E \to E$ une application telle que $f \circ f \circ f = f$ .

Montrer que $f$ est injective si, et seulement si, $f$ est surjective.

Exercice 54 4489

Soient $E$ et $F$ des ensembles non vides. Montrer qu’il existe une injection de $E$ dans $F$ si, et seulement si, il existe une surjection de $F$ sur $E$ .

Exercice 55 4490

Soit $E$ un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas d’applications surjectives de $E$ vers $℘ (E)$ .

[<] Injectivité, surjectivité, bijectivité[>] Relations d'équivalence

Exercice 56 4473

Soit $f : ℝ \to ℝ$ la fonction définie par $f (x) = x^{2}$ . Déterminer les ensembles suivants:

(a)

$f ([- 1; 2])$
(b)

$f^{- 1} ([1; 2 [)$ .

Exercice 57 1512 Correction

Décrire l’image directe de $ℝ$ par la fonction exponentielle.
Déterminer l’image réciproque de l’intervalle $[- 1; 4]$ par la fonction $f : x \mapsto x^{2}$ définie sur $ℝ$ .

Solution

$\exp (ℝ) = ℝ_{+}^{*}$ et $f^{- 1} ([- 1; 4]) = [- 2; 2]$ .

Exercice 58 1510 Correction

Soit $f : E \to I$ une application surjective. On pose, pour tout $i \in I$ , $A_{i} = f^{- 1} ({i})$ .
Montrer que les $A_{i}$ sont non vides, deux à deux disjoints, de réunion égale à $E$ .

Solution

Puisque $f$ est surjective, les $A_{i}$ sont non vides.
Si $A_{i} \cap A_{j} \neq \emptyset$ alors pour $x \in A_{i} \cap A_{j}$ on a $f (x) = i$ et $f (x) = j$ donc $i = j$ .
Par contraposée: $i \neq j ⟹ A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ .
Soient $x \in E$ et $i = f (x)$ . On a $x \in A_{i}$ . Ainsi $E \subset ⋃_{i \in I} A_{i}$ puis l’égalité.

Exercice 59 4474

Soit $f : E \to F$ une application.

(a)

Soient $A$ et $A^{'}$ deux parties de $E$ . Montrer

$A \subset A^{'} ⟹ f (A) \subset f (A^{'}) .$
(b)

Soient $B$ et $B^{'}$ deux parties de $F$ . Établir

$B \subset B^{'} ⟹ f^{- 1} (B) \subset f^{- 1} (B^{'}) .$
(c)

Soient $A$ une partie de $E$ et $B$ une partie de $F$ . Établir

$A \subset f^{- 1} (f (A)) et f (f^{- 1} (B)) \subset B .$

Exercice 60 4485

Soit $f : E \to F$ une application.

(a)

Établir

$\forall A \in ℘ (E), A \subset f^{- 1} (f (A)) et \forall B \in ℘ (F), f (f^{- 1} (B)) \subset B .$
(b)

Montrer

$f est injective \Leftrightarrow \forall A \in ℘ (E), A = f^{- 1} (f (A)) .$
(c)

Montrer

$f est surjective \Leftrightarrow \forall B \in ℘ (F), f (f^{- 1} (B)) = B .$

Exercice 61 1513

Soit $f : E \to F$ une application.

(a)

Soient $A_{1}$ et $A_{2}$ deux parties de $E$ . Montrer

$f (A_{1} \cup A_{2}) = f (A_{1}) \cup f (A_{2}) et f (A_{1} \cap A_{2}) \subset f (A_{1}) \cap f (A_{2}) .$
(b)

Soient $B_{1}$ et $B_{2}$ deux parties de $F$ . Montrer

$f^{- 1} (B_{1} \cup B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cup f^{- 1} (B_{2}) et f^{- 1} (B_{1} \cap B_{2}) = f^{- 1} (B_{1}) \cap f^{- 1} (B_{2}) .$

Exercice 62 4484

Soit $f : E \to F$ une application. À quelle condition sur $f$ peut-on affirmer

\forall (A_{1}, A_{2}) \in ℘ {(E)}^{2}, f (A_{1} \cap A_{2}) = f (A_{1}) \cap f (A_{2}) ?

Exercice 63 1517

Soit $f : E \to F$ une application. Montrer

f est bijective \Leftrightarrow \forall A \in ℘ (E), f (∁_{E} A) = ∁_{F} f (A) .

Exercice 64 4491

Soit $f : ℘ (E) \to ℘ (E)$ une application croissante au sens de l’inclusion, c’est-à-dire une application vérifiant

\forall (A, B) \in ℘ {(E)}^{2}, A \subset B ⟹ f (A) \subset f (B) .

Montrer qu’il existe une partie $A$ de $E$ vérifiant $f (A) = A$ .

[<] Image directe, image réciproque d'une partie[>] Relations d'ordre

Exercice 65 4477

On définit une relation¹¹ 1 C’est la relation de commensurabilité: deux longueurs sont commensurables lorsqu’elles sont multiples d’une longueur commune. binaire $ℛ$ sur l’ensemble $ℝ_{+}$ en posant

x ℛ y \Leftrightarrow \exists (k, ℓ) \in {(ℕ^{*})}^{2}, k x = ℓ y .

(a)

Montrer que $ℛ$ définit une relation d’équivalence.
(b)

Soit $x \in ℝ_{+}$ . Décrire la classe d’équivalence de $x$ .

Exercice 66 2643 Correction

Soit $ℛ$ une relation binaire sur un ensemble $E$ à la fois réflexive et transitive.
On définit les nouvelles relations $𝒮$ et $𝒯$ par:

x 𝒮 y \Leftrightarrow (x ℛ y et y ℛ x) et x 𝒯 y \Leftrightarrow (x ℛ y ou y ℛ x) .

Les relations $𝒮$ et $𝒯$ sont-elles des relations d’équivalences?

Solution

Les relations $𝒮$ et $𝒯$ sont clairement réflexives et symétriques.
Soient $x, y, z \in E$ .
Supposons $x 𝒮 y$ et $y 𝒮 z$ .
On a alors $x ℛ y$ et $y ℛ z$ donc $x ℛ z$ et aussi $y ℛ x$ et $z ℛ y$ donc $z ℛ x$ puis $x 𝒮 z$ .
Le raisonnement n’est plus valable avec $𝒯$ et l’on peut présumer que $𝒯$ ne sera pas une relation d’équivalence.
Prenons pour $ℛ$ la relation divise définie sur $ℕ^{*}$ . On a $2 ∣ 6$ et $3 ∣ 6$ donc $2 𝒯 6$ et $6 𝒯 3$ or $2 T̸ 3$ .
Ici la relation $𝒯$ n’est pas transitive.

Exercice 67 2983 Correction

On considère sur $ℱ (E, E)$ la relation binaire $ℛ$ définie par:

f ℛ g \Leftrightarrow \exists φ \in 𝒮 (E), f \circ φ = φ \circ g .

(a)

Montrer que $ℛ$ est une relation d’équivalence.
(b)

Décrire la classe d’équivalence d’une fonction donnée $f \in ℱ (E, E)$ .

Solution

(a)

$f \circ {Id}_{E} = {Id}_{E} \circ f$ donc $f ℛ f$ .

Si $f ℛ g$ alors il existe $φ \in 𝒮 (E)$ telle que $f \circ φ = φ \circ g$ mais alors $g \circ φ^{- 1} = φ^{- 1} \circ f$ donc $g ℛ f$ .

Si $f ℛ g$ et $g ℛ h$ alors il existe $φ, ψ \in 𝒮 (E)$ telles que $f \circ φ = φ \circ g$ et $g \circ ψ = ψ \circ h$ donc $f \circ θ = θ \circ h$ avec $θ = φ \circ ψ \in 𝒮 (E)$ . Ainsi, $f ℛ h$ .

Finalement, $ℛ$ est une relation d’équivalence.
(b)

Pour $g \in ℱ (E, E)$ ,

$g \in Cl (f) \Leftrightarrow \exists φ \in 𝒮 (E), g = φ^{- 1} \circ f \circ φ .$

Finalement,

$Cl (f) = {φ^{- 1} \circ f \circ φ | φ \in 𝒮 (E)} .$

Exercice 68 4488

Soit $f : E \to F$ une application. On définit une relation binaire sur $E$ par:

x ℛ y \Leftrightarrow f (x) = f (y) .

(a)

Montrer que $ℛ$ définit une relation d’équivalence sur $E$ .
(b)

Exprimer la classe d’équivalence d’un élément $x$ quelconque de $E$ .

Exercice 69 2357 CENTRALE (MP)Correction

Soient $E$ un ensemble de cardinal $n$ , $ℛ$ une relation d’équivalence sur $E$ ayant $k$ classes d’équivalence et $G = {(x, y) \in E^{2} | x ℛ y}$ le graphe de $ℛ$ supposé de cardinal $p$ .

Montrer que $n^{2} \leq k p$ .

Solution

Notons $n_{1}, \dots, n_{k}$ les cardinaux respectifs des $k$ classes d’équivalence de $ℛ$ . D’une part,

n = n_{1} + \dots + n_{k},

et d’autre part,

p = n_{1}^{2} + \dots + n_{k}^{2} .

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

{(n_{1} + \dots + n_{k})}^{2} \leq k (n_{1}^{2} + \dots + n_{k}^{2}) .

Exercice 70 2644 Correction

Soient $E$ un ensemble et $A$ une partie de $E$ .

On définit une relation $ℛ$ sur $℘ (E)$ par:

X ℛ Y \Leftrightarrow X \cup A = Y \cup A .

(a)

Montrer que $ℛ$ est une relation d’équivalence
(b)

Décrire la classe d’équivalence de $X \in ℘ (E)$

Solution

(a)

La relation étudiée est évidemment réflexive, symétrique et transitive.
(b)

Pour $Y \in ℘ (E)$ ,

$Y \in Cl (X) \Leftrightarrow Y \cup A = X \cup A .$

Soit $Y \in Cl (X)$ . On a $Y \cup A = X \cup A$ . Pour tout $x \in Y ∖ A$ , on a $x \in Y \cup A = X \cup A$ et $x \notin A$ donc $x \in X ∖ A$ . Ainsi, $Y ∖ A \subset X ∖ A$ et inversement $X ∖ A \subset Y ∖ A$ donc $X ∖ A = Y ∖ A$ .

Puisque $Y = (Y ∖ A) \cup (Y \cap A)$ , on a $Y = (X ∖ A) \cup B$ avec $B \in ℘ (A)$ .

Inversement, soit $Y = (X ∖ A) \cup B$ avec $B \in ℘ (A)$ . On a

$Y \cup A = (X ∖ A) \cup (B \cup A) = (X \cap \bar{A}) \cup A = X \cup A .$

Finalement,

$C l (X) = {(X ∖ A) \cup B | B \in ℘ (A)} .$

Exercice 71 2984 Correction

Soit $ℛ$ une relation binaire réflexive et transitive sur un ensemble $E$ . On définit une relation $𝒮$ sur $E$ par

x 𝒮 y \Leftrightarrow x ℛ y et y ℛ x .

Montrer que $𝒮$ est une relation d’équivalence et que $ℛ$ permet de définir une relation d’ordre sur les classes d’équivalences de $𝒮$ .

Solution

$𝒮$ est réflexive, symétrique et transitive sans difficultés.

On définit

Cl (x) ≼ Cl (y) \Leftrightarrow x ℛ y .

La relation $≼$ est bien définie, réflexive transitive.

Si $Cl (x) ≼ Cl (y)$ et $Cl (y) ≼ Cl (x)$ alors $x 𝒮 y$ donc $C l (x) = C l (y)$ .

Exercice 72 2985 Correction

Soient $(G, \times)$ un groupe et $H$ un-sous groupe de $(G, \times)$ .

On définit une relation binaire $ℛ$ sur $G$ par:

x ℛ y \Leftrightarrow x y^{- 1} \in H .

Montrer que $ℛ$ est une relation d’équivalence et en décrire les classes d’équivalence.

Solution

Soit $x \in G$ . On a $x ℛ x$ car $x x^{- 1} = 1 \in H$ .

Soient $x, y \in G$ . Si $x ℛ y$ alors $x y^{- 1} \in H$ et donc $y x^{- 1} \in H$ d’où $y ℛ x$ .

Soient $x, y, z \in G$ . Si $x ℛ y$ et $y ℛ z$ alors $x y^{- 1} \in H$ et $y z^{- 1} \in H$ donc $x z^{- 1} \in H$ d’où $x ℛ z$ .

Finalement, $ℛ$ est une relation d’équivalence.

Pour $a \in G$ ,

	$x \in C l (a)$	$\Leftrightarrow x ℛ a$
		$\Leftrightarrow x a^{- 1} \in H$

On en déduit

C l (a) = H a = {h a | h \in H} .

Exercice 73 3243 X (MP)Correction

Soit $G$ un groupe multiplicatif de cardinal $p^{α}$ avec $p$ premier et $α \in ℕ^{*}$ .
Montrer que

Z (G) \neq {1} .

Solution

Considérons la relation binaire $ℛ$ sur $G$ définie par

y_{1} ℛ y_{2} \Leftrightarrow \exists x \in G, x y_{1} = y_{2} x .

Il est immédiat de vérifier que $ℛ$ est une relation d’équivalence sur $G$ . Les classes d’équivalence de $ℛ$ forment donc une partition de $G$ ce qui permet d’affirmer que le cardinal de $G$ est la somme des cardinaux des classes d’équivalence de $ℛ$ .
Une classe d’équivalence d’un élément $y$ est réduite à un singleton si, et seulement si,

\forall x \in G, x y = y x .

c’est-à-dire

y \in Z (G) .

En dénombrant $G$ en fonction des classes d’équivalence de $ℛ$ et en isolant parmi celles-ci celles qui sont réduites à un singleton on a

Card (G) = Card (Z (G)) + N

avec $N$ la somme des cardinaux des classes d’équivalence de $ℛ$ qui ne sont pas réduites à un singleton.
Pour poursuivre, montrons maintenant que le cardinal d’une classe d’équivalence de la relation $ℛ$ divise le cardinal de $G$ .
Considérons une classe d’équivalence ${y_{1}, \dots, y_{n}}$ pour la relation $ℛ$ et notons

H_{i} = {x \in G | x y_{1} = y_{i} x} .

Pour $i \in {1, \dots, n}$ , puisque $y_{1} ℛ y_{i}$ , il existe $x_{i} \in G$ tel que

x_{i} y_{1} = y_{i} x_{i} .

Considérons alors l’application $φ : H_{1} \to H_{i}$ définie par

φ (x) = x_{i} x .

On vérifie que cette application est bien définie et qu’elle est bijective.
On en déduit

Card (H_{1}) = \dots = Card (H_{n}) = m

et puisque $G$ est la réunion disjointes des $H_{1}, \dots, H_{n}$

Card (G) = m n = p^{α} .

Ainsi, toutes les classes d’équivalences qui ne sont pas réduites à un élément ont un cardinal multiple de $p$ et donc $p ∣ N$ .
Puisque $p$ divise $Card (G) = Card (Z (G)) + N$ , on a

p ∣ Card (Z (G)) .

Sachant $Z (G) \neq \emptyset$ (car $1 \in Z (G)$ ) on peut affirmer

Card (Z (G)) \geq p .

[<] Relations d'équivalence

Exercice 74 1518 Correction

On définit une relation binaire $≼$ sur $ℝ_{+}^{*}$ par:

x ≼ y \Leftrightarrow \exists n \in ℕ, y = x^{n} .

Montrer que $≼$ est une relation d’ordre. Cet ordre est-il total?

Solution

Soit $x > 0$ , on a $x = x^{n}$ pour $n = 1 \in ℕ$ donc $x ≼ x$ . La relation $≼$ est réflexive.
Soient $x, y > 0$ , si $x ≼ y$ et $y ≼ x$ alors il existe $n, m \in ℕ$ tels que $y = x^{n}$ et $x = y^{m}$ .
On a alors $x = x^{n m}$ donc $\ln (x) = n m \ln (x)$
Si $x = 1$ alors $y = x^{n} = 1 = x$ .
Si $x \neq 1$ alors $\ln (x) \neq 0$ puis $1 = n m$ . Or $n, m \in ℕ$ donc $n = m = 1$ puis $x = y$ .

Finalement, la relation $≼$ est antisymétrique.
Soient $x, y, z > 0$ . Si $x ≼ y$ et $y ≼ z$ alors il existe $n, m \in ℕ$ tels que $y = x^{n}$ et $z = y^{m}$ .
On a $z = x^{m n}$ avec $m n \in ℕ$ donc $x ≼ z$ . La relation $≼$ est transitive.

Finalement, $≼$ est une relation d’ordre.
Cet ordre n’est pas total car, par exemple, 2 et 3 ne sont pas comparables.

Exercice 75 1522

Soit $f : E \to ℝ$ une application injective. On définit sur $E$ une relation binaire $≼$ par

x ≼ y \Leftrightarrow f (x) \leq f (y) .

(a)

Montrer que $≼$ est une relation d’ordre sur $E$ .
(b)

S’agit-il d’une relation d’ordre totale?

Exercice 76 4486

(Ordre lexicographique)

Sur $E = ℝ^{2}$ , on définit une relation binaire $≼$ par

(x, y) ≼ (x^{'}, y^{'}) \Leftrightarrow x < x^{'} ou (x = x^{'} et y \leq y^{'}) .

(a)

Vérifier que $≼$ définit une relation d’ordre sur $E$ .
(b)

S’agit-il d’une relation d’ordre totale?

Exercice 77 4487

Soit $≼$ la relation binaire définie sur le demi-plan $E = {(a, b) \in ℝ^{2} | a \leq b}$ par

(a, b) ≼ (a^{'}, b^{'}) \Leftrightarrow (a, b) = (a^{'}, b^{'}) ou b \leq a^{'} .

(a)

Montrer que $≼$ est une relation d’ordre sur $E$ .
(b)

S’agit-il d’une relation d’ordre totale?

Exercice 78 1520 Correction

On définit une relation binaire $≼$ sur ${z \in ℂ | Im (z) \geq 0}$ par:

z ≼ z^{'} \Leftrightarrow | z | < | z^{'} | ou (| z | = | z^{'} | et Re (z) \leq Re (z^{'})) .

Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre total.

Solution

$≼$ est clairement réflexive.
Si $z ≼ z^{'}$ et $z^{'} ≼ z$ alors nécessairement $| z | = | z^{'} |$ et $Re (z) = Re (z^{'})$ donc $z = z^{'}$ car $Im (z), Im (z^{'}) \geq 0$ .
Si $z ≼ z^{'}$ et $z^{'} ≼ z^{''}$ alors si $| z | < | z^{''} |$ alors $z ≼ z^{''}$ et sinon $| z | = | z^{'} | = | z^{''} |$ et donc $Re (z) \leq Re (z^{'}) \leq Re (z^{''})$ ce qui permet à nouveau d’affirmer $z ≼ z^{''}$ .
Pour $z, z^{'} \in {z \in ℂ | Im (z) \geq 0}$ .
Si $| z | < | z^{'} |$ alors $z ≼ z^{'}$
Si $| z | > | z^{'} |$ alors $z^{'} ≼ z$ .
Si $| z | = | z^{'} |$ alors dans le cas où $Re (z) \leq Re (z^{'})$ on a $z ≼ z^{'}$ et, dans le cas complémentaire, on a $z^{'} ≼ z$ .
Dans tout les cas $z$ et $z^{'}$ sont comparables, la relation d’ordre est totale.

Exercice 79 1521 Correction

Soit $E$ l’ensemble des couples $(I, f)$ formé d’un intervalle $I$ et d’une fonction réelle définie sur $I$ .
On définit une relation $≼$ sur $E$ par: $(I, f) ≼ (J, g) \Leftrightarrow I \subset J$ et ${g |}_{I} = f$ .
Montrer que $≼$ est une relation d’ordre sur $E$ .

Solution

La relation est clairement réflexive.
Si $(I, f) ≼ (J, g)$ et $(J, g) ≼ (I, f)$ alors $I \subset J$ , $J \subset I$ et ${g |}_{I} = f$ donc $I = J$ et $f = g$ .
Si $(I, f) ≼ (J, g)$ et $(J, g) ≼ (K, h)$ alors $I \subset J \subset K$ et $h_{↾ I} = {({h |}_{J}) |}_{I} = {g |}_{I} = f$ donc $(I, f) ≼ (K, h)$ .

Finalement, $≼$ est une relation d’ordre.

Exercice 80 1523 Correction

Soient $A, B$ deux parties d’un ensemble $E$ ordonné par $≼$ .
On suppose que $A$ et $B$ ont chacun un plus grand élément.
Qu’en est-il de $A \cup B$ lorsque l’ordre est total? lorsqu’il ne l’est pas?
Que dire de $A \cap B$ ?

Solution

Si l’ordre est total $A \cup B$ possède un plus grand élément: $\max (A \cup B) = \max (\max (A), \max (B))$ .
Si l’ordre n’est pas total, les plus grands éléments de $A$ et de $B$ peuvent ne pas être comparés aux éléments de $A$ et $B$ . Dans $(ℕ^{*}, ∣)$ , pour $A = {2,4}$ et $B = {3,9}$ , $A$ et $B$ ont un plus grand élément alors que $A \cup B$ n’en a pas.
$A \cap B$ peut ne pas posséder de plus grand élément, cet ensemble peut notamment être vide.

Exercice 81 1525 Correction

Soit $E$ un ensemble ordonné par une relation $\leq$ .
Un tableau à $n$ lignes et $p$ colonnes est formé d’éléments $a_{i, j} \in E$ avec $i$ indice de ligne( $1 \leq i \leq n$ ) et $j$ indice de colonne( $1 \leq j \leq p$ ).
On note le plus petit élément de chaque colonne et l’on prend le plus grand de ces plus petits:

\max_{1 \leq j \leq p} (\min_{1 \leq i \leq n} a_{i, j}) .

On note aussi le plus grand élément de chaque ligne et l’on prend le plus petit de ces plus grands:

\min_{1 \leq i \leq n} (\max_{1 \leq j \leq p} a_{i, j}) .

(a)

Comparer ces deux nombres.
(b)

Donner un exemple de non égalité.

Solution

(a)

Pour tout $1 \leq m \leq p$ ,

$a_{i, m} \leq \max_{1 \leq j \leq p} a_{i, j}$

donc

$\min_{1 \leq i \leq n} a_{i, m} \leq \min_{1 \leq i \leq n} \max_{1 \leq j \leq p} a_{i, j}$

puis

$\max_{1 \leq m \leq p} \min_{1 \leq i \leq n} a_{i, m} \leq \min_{1 \leq i \leq n} \max_{1 \leq j \leq p} a_{i, j} .$
(b)

Pour le tableau $(\begin{matrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{matrix})$

$\max_{1 \leq j \leq 2} \min_{1 \leq i \leq 2} a_{i, j} = 2 et \min_{1 \leq i \leq 2} \max_{1 \leq j \leq 2} a_{i, j} = 3 .$

Exercice 82 2055 Correction

Montrer qu’il n’existe pas de suite strictement décroissante d’entiers naturels.

Solution

Par l’absurde, supposons que $(u_{n})$ soit une telle suite.
$A = {u_{n} | n \in ℕ}$ est une partie non vide de $ℕ$ , elle possède donc un plus petit élément $m$ .
Puisque $m \in A$ , il existe $n \in ℕ$ tel que $m = u_{n}$ . Mais alors $u_{n + 1} < u_{n} \leq m = \min A$ . Absurde.

Exercice 83 1524 Correction

Soit $(E, ≼)$ un ensemble ordonné tel que toute partie non vide admet un plus petit élément et un plus grand élément.
Montrer que $E$ est fini.

Solution

Par l’absurde supposons $E$ infini.
Posons $x_{0} = \min E$ , $x_{1} = \min E ∖ {x_{0}}$ ,…, $x_{n} = \min E ∖ {x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n - 1}}$ ,…
L’ensemble ${x_{0}, \dots, x_{n}, \dots}$ n’a pas de plus grand élément. Absurde.

Édité le 08-11-2019