[>] Éléments remarquables d'une structure

Exercice 1 2190 Correction

On définit une loi de composition interne $⋆$ sur $ℝ$ par

\forall (a, b) \in ℝ^{2}, a ⋆ b = \ln (e^{a} + e^{b}) .

Quelles en sont les propriétés? Possède-t-elle un élément neutre? Y a-t-il des éléments réguliers?

Solution

Pour tous $a, b \in ℝ$ ,

b ⋆ a = \ln (e^{b} + e^{a}) = \ln (e^{a} + e^{b}) = a ⋆ b .

La loi $⋆$ est commutative.

Pour tous $a, b, c \in ℝ$ ,

(a ⋆ b) ⋆ c = \ln (e^{a ⋆ b} + e^{c}) = \ln (e^{a} + e^{b} + e^{c}) = a ⋆ (b ⋆ c) .

La loi $⋆$ est associative.

a ⋆ ε = a \Leftrightarrow \ln (e^{a} + e^{ε}) = a \Leftrightarrow e^{ε} = 0 .

Il n’y a donc pas de neutre.

a ⋆ b = a ⋆ c ⟹ \ln (e^{a} + e^{b}) = \ln (e^{a} + e^{c}) ⟹ e^{b} = e^{c} ⟹ b = c .

Tout élément est régulier.

Exercice 2 2191

On note $E = [0; 1]$ et, pour $x, y \in E$ , on pose

x ⋆ y = x + y - x y .

(a)

Vérifier que $⋆$ définit une loi de composition interne sur $E$ .
(b)

Étudier la commutativité et l’associativité de la loi $⋆$ .
(c)

Existe-t-il un élément neutre? Quels sont les éléments symétrisables?
(d)

Soit $α \in [0; 1]$ . Vérifier que $A = [α; 1]$ est une partie stable.

Exercice 3 2192 Correction

Soit $⋆$ une loi de composition interne sur $E$ .

Pour $A, B \in 𝒫 (E)$ , on pose

A ⋆ B = {a ⋆ b | a \in A, b \in B} .

(a)

Étudier les propriétés de $⋆$ sur $E$ (commutativité, associativité, existence d’un neutre) conservées par $⋆$ sur $𝒫 (E)$ .
(b)

La loi $⋆$ est-elle distributive sur l’union, sur l’intersection?

Solution

(a)

$⋆$ est bien une loi de composition interne sur $𝒫 (E)$ .

Si $⋆$ est commutative sur $E$ , elle l’est aussi sur $𝒫 (E)$ .

Si $⋆$ est associative sur $E$ , elle l’est aussi sur $𝒫 (E)$ .

Si $⋆$ possède un neutre $e$ dans $E$ , alors $⋆$ possède un neutre dans $𝒫 (E)$ à savoir ${e}$ car

$A ⋆ {e} = {a ⋆ e | a \in A} = A .$
(b)

La loi $⋆$ est distributive sur l’union

$A ⋆ (B \cup C) = {a ⋆ x | a \in A, x \in B \cup C} = (A ⋆ B) \cup (A ⋆ C) .$

En revanche, la distributivité sur l’intersection est fausse. On obtient un contre exemple dans $ℝ$ avec $⋆ = +$ , $A = {1, - 1}$ , $B = {1}$ et $C = {- 1}$ où

$A ⋆ B \cap C = A ⋆ \emptyset = \emptyset$

alors que

$(A ⋆ B) \cap A ⋆ C = {2,0} \cap {- 2,0} = {0} .$

Exercice 4 2197 Correction

Soit $⋆$ une loi de composition interne associative sur $E$ .
On suppose qu’il existe $a \in E$ tel que l’application $f : E \to E$ définie par $f (x) = a ⋆ x ⋆ a$ soit surjective et l’on note $b$ un antécédent de $a$ par $f$ .

(a)

Montrer que $e = a ⋆ b$ et $e^{'} = b ⋆ a$ sont neutres resp. à gauche et à droite puis que $e = e^{'}$ .
(b)

Montrer que $a$ est symétrisable et $f$ bijective.

Solution

Par la surjectivité de $f$ , il existe $b \in E$ tel que $a ⋆ b ⋆ a = a$ .

(a)

$a ⋆ b = a ⋆ a ⋆ c ⋆ a$
Pour tout $x \in E$ , il existe $α \in E$ tel que l’on peut écrire $x = a ⋆ α ⋆ a$ .
Pour $e = a ⋆ b$ , $e ⋆ x = a ⋆ b ⋆ a ⋆ α ⋆ a = a ⋆ α ⋆ a = x$ .
Pour $e^{'} = b ⋆ a$ , $x ⋆ e^{'} = x ⋆ b ⋆ a = a ⋆ α ⋆ a ⋆ b ⋆ a = a ⋆ α ⋆ a$ .
$e ⋆ e^{'} = e = e^{'}$ .
(b)

Puisque $a ⋆ b = b ⋆ a = e$ , $a$ est symétrisable et $sym (a) = b$ .
De plus, $g : x \to b ⋆ x ⋆ b$ est clairement application réciproque de $f$ .

Exercice 5 4198 Correction

Soit $⋆$ une loi de composition interne associative sur $E$ . On suppose qu’il existe $a \in E$ tel que $E = {a ⋆ x ⋆ a | x \in E}$ . Montrer que la loi $⋆$ possède un neutre et que l’élément $a$ est symétrisable.

Solution

Méthode: On introduit $b \in E$ tel que $a ⋆ b ⋆ a = a$ .

Considérons $e = a ⋆ b$ et $e^{'} = b ⋆ a$ qui semblent candidats pour déterminer des neutres pour la loi $⋆$ . Vérifions que $e$ et $e^{'}$ sont respectivement neutre à gauche et neutre à droite pour la loi $⋆$ . Soit $x \in E$ . On peut écrire $x = a ⋆ y ⋆ a$ pour un certain $y \in E$ . On a alors

e ⋆ x = (a ⋆ b) ⋆ (a ⋆ y ⋆ a) = (a ⋆ b ⋆ a) ⋆ y ⋆ a = a ⋆ y ⋆ a = x

Un calcul analogue permet de vérifier $x ⋆ e^{'} = x$ . Comme déjà vu dans le sujet 4594, le calcul de $e ⋆ e^{'}$ assure que les deux éléments $e$ et $e^{'}$ sont égaux et l’on peut affirmer que $⋆$ possède un neutre. Au surplus, les identités $a ⋆ b = e$ et $b ⋆ a = e^{'} = e$ permettent d’affirmer que $a$ est symétrisable de symétrique $b$ .

Exercice 6 4595

Soit $E$ un ensemble muni d’une loi $⋆$ associative possédant un neutre $e$ .

Montrer que si $x$ et $y$ sont deux éléments de $E$ tels que les composés $x ⋆ y$ et $y ⋆ x$ sont symétrisables alors $x$ et $y$ sont symétrisables.

Exercice 7 4599

Soit $E$ un ensemble muni d’une loi $⋆$ associative. On suppose qu’il existe $a \in E$ telle que, pour tout $x \in E$ , il est possible d’écrire $x = a ⋆ y = z ⋆ a$ avec $(y, z) \in E^{2}$ .

Montrer que $(E, ⋆)$ possède un neutre et que $a$ est symétrisable.

Exercice 8 2198 Correction

Soient $⋆$ une loi de composition interne associative sur un ensemble fini $E$ et $x$ un élément régulier de $E$ . Montrer que $E$ possède un neutre.

Solution

Considérons l’application $f : ℕ \to E$ définie par $f (n) = x^{⋆ n}$ .
Puisque $N$ est infini et que l’ensemble $E$ est fini, l’application $f$ n’est pas injective et donc il existe $p > q \in ℕ$ tels que $f (p) = f (q)$ c’est-à-dire

x^{⋆ p} = x^{⋆ q} .

Pour tout $y \in E$ .

x^{⋆ p} ⋆ y = x^{⋆ q} ⋆ y .

Puisque $x$ est régulier, on obtient

x^{⋆ (p - q)} ⋆ y = y .

De même, $y ⋆ x^{⋆ (p - q)} = y$ et donc $e = x^{⋆ (p - q)}$ est neutre.

[<] Lois de composition interne[>] Groupes

Exercice 9 4594

Soit $E$ un ensemble muni d’une loi $⋆$ . On dit qu’un élément $e$ est neutre à gauche (resp. à droite) lorsque $e ⋆ x = x$ (resp. $x ⋆ e = x$ ) pour tout $x$ de $E$ .

Montrer que si la loi $⋆$ possède un neutre à gauche et un neutre à droite, elle possède un élément neutre.

Exercice 10 2194

Soit $E$ un ensemble muni d’une loi $⋆$ associative possédant un neutre $e$ .

Montrer qu’un élément $a$ est symétrisable si, et seulement si, l’application $f : E \to E$ définie par $f (x) = a ⋆ x$ est bijective.

Exercice 11 2195 Correction

Soit $⋆$ une loi associative sur un ensemble $E$ . Un élément $x$ de $E$ est dit idempotent si, et seulement si, $x ⋆ x = x$ .

(a)

Montrer que si $x$ et $y$ sont idempotents et commutent, alors $x ⋆ y$ est idempotent.
(b)

Montrer que si $x$ est idempotent et inversible, alors $x^{- 1}$ est idempotent.

Solution

(a)

On a

$(x ⋆ y) ⋆ (x ⋆ y) = (x ⋆ x) ⋆ (y ⋆ y) = x ⋆ y .$
(b)

On a

$x ⋆ x = x ⟹ {(x ⋆ x)}^{- 1} = x^{- 1} ⟹ x^{- 1} ⋆ x^{- 1} = x^{- 1} .$

Exercice 12 2193 Correction

Soit $E$ un ensemble et $f : E \to E$ .
Montrer que $f$ est un élément régulier de $(E^{E}, \circ)$ si, et seulement si, $f$ est bijective.

Solution

Supposons $f$ est bijective.
Soient $g, h : E \to E$ . Si $f \circ g = f \circ h$ alors $f^{- 1} \circ f \circ g = f^{- 1} \circ f \circ h$ puis $g = h$ .
De même, $g \circ f = h \circ f ⟹ g = h$ et donc $f$ est un élément régulier.
Supposons que $f$ est un élément régulier.
Soient $x, x^{'} \in E$ . Si $f (x) = f (x^{'})$ alors $f \circ g = f \circ h$ avec $g$ et $h$ les fonctions constantes égales à $x$ et $x^{'}$ .
Par la régularité de $f$ , on obtient $g = h$ et donc $x = x^{'}$ .
Si $E$ est un singleton alors $f$ est nécessairement surjective.
Sinon, on peut construire deux fonctions $g$ et $h$ telle que

\forall x \in E, g (x) = h (x) \Leftrightarrow x \in Im (f) .

On a $g \circ f = h \circ f$ donc, par la régularité de $f$ , $g = h$ d’où $Im (f) = E$ puis $f$ surjective.

Exercice 13 2199 Correction

Soit $⋆$ une loi associative sur un ensemble $E$ fini. On suppose que la loi $⋆$ possède un neutre $e$ .
Montrer que tout élément régulier de $E$ est inversible.

Solution

Soit $a$ un élément régulier.
Considérons l’application $f : E \to E$ définie par $f (x) = a ⋆ x$ .
L’application $f$ est injective.
$E$ est fini donc $f$ est bijective et par suite surjective d’où l’existence de $b \in E$ tel que $a ⋆ b = e$ .
$f (e) = a$ et $f (b ⋆ a) = a ⋆ b ⋆ a = e ⋆ a = a$ donc par l’injectivité de $f$ : $b ⋆ a = e$ .

Finalement, $a$ est inversible.
On peut aussi partir de $f : ℕ \to E$ définie par $f (n) = a^{⋆ n}$ qui n’est pas injective.

Exercice 14 3043 X (MP)

Soit $E$ un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne associative $⋆$ . Montrer qu’il existe un élément $e$ dans $E$ vérifiant $e ⋆ e = e$ .

[<] Éléments remarquables d'une structure[>] Sous-groupes

Exercice 15 2201

Soit $(G, ⋆)$ un groupe. On suppose $x^{2} = e$ pour tout $x \in G$ .

Montrer que le groupe $G$ est commutatif.

Exercice 16 2203 Correction

Soit $⋆$ une loi de composition interne associative sur un ensemble $E$ fini non vide.
On suppose que tous les éléments de $E$ sont réguliers. Montrer que $E$ est un groupe.

Solution

La loi $⋆$ est déjà associative. Montrons qu’elle est possède un neutre. Soit $x$ un élément de $E$ . La suite des $x^{n}$ avec

x^{n} = x ⋆ \dots ⋆ x (n termes), n \geq 1

ne peut être formé d’éléments deux à deux distincts car $E$ est un ensemble fini. Il existe donc $n, k > 0$ vérifiant

x^{n + k} = x^{n} .

Posons alors $e = x^{k}$ et vérifions que $e$ est neutre pour la loi $⋆$ . Soit $y \in E$ . On a $y ⋆ x^{n + k} = y ⋆ x^{n}$ et donc $(y ⋆ x^{k}) ⋆ x^{n} = y ⋆ x^{n}$ . Par régularité de $x^{n}$ , on obtient $y ⋆ e = y$ . On montre de même $e ⋆ y$ .
Il reste maintenant à vérifier que tout élément $a \in E$ est inversible.
Considérons l’application $f : E \to E$ définie par $f (x) = a ⋆ x$ .
$a$ est régulier donc l’application $f$ est injective.
$E$ est fini donc $f$ est bijective et par suite surjective d’où l’existence d’un $b \in E$ tel que $a ⋆ b = e$ .
$f (e) = a$ et $f (b ⋆ a) = a ⋆ b ⋆ a = e ⋆ a = a$ donc par l’injectivité de $f$ : $b ⋆ a = e$ .

Finalement, $a$ est inversible et $(E, ⋆)$ est un groupe.

Exercice 17 2196

(Transport de loi)

Soit $(G, ⋆)$ un groupe et $φ : G \to E$ une application bijective au départ de $G$ et à valeurs dans un ensemble $E$ . On définit une loi de composition interne $⊤$ sur $E$ en posant

x ⊤ y = φ (φ^{- 1} (x) ⋆ φ^{- 1} (y)) .

Montrer que $(E, ⊤)$ est un groupe.

Exercice 18 4197

On note $G =] - 1; 1 [$ et, pour $x, y \in G$ , on pose

x ⋆ y = \frac{x + y}{1 + x y} .

Montrer que la loi $⋆$ munit $G$ d’une structure de groupe abélien.

Exercice 19 2207 Correction

(Addition des vitesses en théorie de la relativité)

Soit $c > 0$ ( $c$ correspond à la vitesse –ou célérité– de la lumière) et $I =] - c; c [$ .

(a)

Montrer

$\forall (x, y) \in I^{2}, x ⋆ y = \frac{x + y}{1 + \frac{x y}{c^{2}}} \in I .$
(b)

Montrer que la loi $⋆$ munit $I$ d’une structure de groupe abélien.
Cette loi $⋆$ correspond à l’addition des vitesses portées par un même axe en théorie de la relativité.

Solution

(a)

Pour $x, y \in I$ ,

$x ⋆ y \in I$ $\Leftrightarrow x y + c (x + y) + c^{2} > 0 et x y - c (x + y) + c^{2} > 0$

$\Leftrightarrow (x + c) (y + c) > 0 et (x - c) (y - c) > 0$

Par suite,

$\forall (x, y) \in I^{2}, x ⋆ y \in I .$
(b)

La loi $⋆$ est clairement commutative. La loi $⋆$ est associative puisque

$\forall x, y, z \in I, (x ⋆ y) ⋆ z = \frac{x + y + z + \frac{x y z}{c^{2}}}{1 + \frac{x y + y z + z x}{c^{2}}} = x ⋆ (y ⋆ z)$

$0$ est élément neutre pour la structure $(I, ⋆)$ car

$\forall x \in I, x ⋆ 0 = 0 ⋆ x = x .$

Enfin,

$\forall x \in I, (- x) ⋆ x = x ⋆ (- x) = 0$

et tout élément de $I$ est donc symétrisable dans $I$ .

Finalement, $(I, ⋆)$ est un groupe abélien.

Exercice 20 2205

Soit $G = ℝ^{*} \times ℝ$ et $⋆$ la loi de composition interne définie sur $G$ par

(x, y) ⋆ (x^{'}, y^{'}) = (x x^{'}, x y^{'} + y) .

(a)

Observer que la loi $⋆$ n’est pas commutative.
(b)

Montrer que $(G, ⋆)$ est un groupe dont on précisera le neutre.
(c)

Vérifier que $ℝ_{+}^{*} \times ℝ$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ .

Exercice 21 3199 CENTRALE (MP)Correction

Soient $A (1,0)$ et $B (0,1)$ . À partir de points $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ et $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ donnés, on construit le point $P_{0}$ par les conditions:

—

les droites $(P_{0} M_{0})$ et $(O x)$ sont parallèles;
—

$P_{0} \in (A B)$ .

On construit le point $Q_{0}$ par les conditions:

—

les droites $(P_{0} Q_{0})$ et $(M_{1} B)$ sont parallèles;
—

$Q_{0} \in (A M_{1})$ .

Enfin, on définit le point $M_{2} (x_{2}, y_{2})$ tel que le quadrilatère $(M_{0} P_{0} Q_{0} M_{2})$ soit un parallélogramme. On pose alors

M_{0} ⋆ M_{1} = M_{2} .

(a)

Démontrer

$(\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{0} + x_{1} y_{0} \\ y_{0} y_{1} \end{matrix}) .$
(b)

Démontrer que la loi $⋆$ est associative, admet un élément neutre et que, si $y_{0} \neq 0$ , le point $M_{0}$ admet un inverse.
(c)

On définit une suite de points ${(M_{n})}_{n \in ℕ}$ par la donnée de $M_{0}$ , de $M_{1}$ et de la relation de récurrence

$M_{n} = M_{n - 1} ⋆ M_{n - 2} pour tout n \geq 2 .$

Déterminer $y_{n}$ en fonction de $y_{0}$ et de $y_{1}$ .

Solution

(a)

On a

$P_{0} | \begin{matrix} 1 - y_{0} \\ y_{0} \end{matrix} et Q_{0} | \begin{matrix} 1 + y_{0} (x_{1} - 1) \\ y_{0} y_{1} \end{matrix}$

(en considérant que les cas singuliers sont les prolongements du cas général).

On en déduit

${\begin{matrix} x_{2} & = x_{0} + y_{0} x_{1} \\ y_{2} & = y_{0} y_{1} . \end{matrix}$
(b)

Avec des notations immédiates

$(M_{0} ⋆ M_{1}) ⋆ M_{2} | \begin{matrix} (x_{0} + y_{0} x_{1}) + (y_{0} y_{1}) x_{2} \\ (y_{0} y_{1}) y_{2} \end{matrix} et M_{0} ⋆ (M_{1} ⋆ M_{2}) | \begin{matrix} x_{0} + y_{0} (x_{1} + y_{1} x_{2}) \\ y_{0} (y_{1} y_{2}) \end{matrix}$

et l’on vérifie bien l’associativité de la loi $⋆$ .

On remarque que

$B ⋆ M = M ⋆ B = M$

donc $B$ est élément neutre de la loi $⋆$ .

Enfin, si $y_{0} \neq 0$ , pour

${\begin{matrix} x_{1} & = - x_{0} / y_{0} \\ y_{1} & = 1 / y_{0} \end{matrix}$

on observe

$M_{0} ⋆ M_{1} = M_{1} ⋆ M_{0} = B$

et l’on peut donc affirmer que $M_{0}$ est inversible d’inverse $M_{1}$ .
(c)

On a

$y_{n} = y_{n - 1} y_{n - 2}$

et l’on peut affirmer qu’il est possible d’écrire $y_{n}$ sous la forme

$y_{n} = y_{0}^{a_{n}} y_{1}^{b_{n}}$

avec

${\begin{matrix} a_{0} = 1, a_{1} = 0, a_{n} & = a_{n - 1} + a_{n - 2} \\ b_{0} = 0, b_{1} = 1, b_{n} & = b_{n - 1} + b_{n - 2} . \end{matrix}$

Les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont récurrentes linéaires d’ordre $2$ d’équation caractéristique $r^{2} = r + 1$ de racines

$r_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} et r_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} .$

On obtient après calculs

$a_{n} = \frac{r_{2}}{r_{2} - r_{1}} r_{1}^{n} + \frac{r_{1}}{r_{1} - r_{2}} r_{2}^{n} et b_{n} = \frac{r_{2}^{n} - r_{1}^{n}}{r_{2} - r_{1}} .$

Exercice 22 4600

Soient $a$ et $b$ deux éléments d’un groupe $G$ noté multiplicativement. Montrer

{(a b)}^{n} = 1 ⟹ {(b a)}^{n} = 1 .

Exercice 23 4610

(Équation de Pell-Fermat)

On s’intéresse à l’équation $(E) : x^{2} - 2 y^{2} = 1$ d’inconnue $(x, y) \in ℤ^{2}$ .

Pour la résoudre, on étudie l’ensemble

G = {(x, y) \in ℕ^{*} \times ℤ | x^{2} - 2 y^{2} = 1} .

(a)

Pour $(x, y)$ et $(x^{'}, y^{'})$ dans $G$ , on pose

$(x, y) ⋆ (x^{'}, y^{'}) = (x x^{'} + 2 y y^{'}, x y^{'} + x^{'} y) .$

Montrer que $⋆$ munit $G$ d’une structure de groupe dont on précisera le neutre $e$ .

Pour $(x, y) \in G$ , on pose $φ (x, y) = \ln (x + \sqrt{2} y)$ .

(b)

On introduit $a = (3,2) \in G$ . Montrer

$\forall (x, y) \in G, 0 \leq φ (x, y) < φ (a) ⟹ (x, y) = e .$
(c)

Vérifier que, pour tout $(x, y) \in G$ et tout $(x^{'}, y^{'}) \in G$ ,

$φ ((x, y) ⋆ (x^{'}, y^{'})) = φ (x, y) + φ (x^{'}, y^{'}) .$ (1)
(d)

En déduire que les éléments de $G$ sont les $a^{n}$ avec $n \in ℤ$ .

[<] Groupes[>] Groupe de cardinal fini

Exercice 24 4597

(a)

Soit $n \in ℕ^{*}$ . On considère $𝕌_{n} = {z \in ℂ | z^{n} = 1}$ l’ensemble des racines $n$ -ièmes de l’unité. Montrer que $𝕌_{n}$ muni de la multiplication des nombres complexes est un groupe.
(b)

Soit $a$ un élément d’un ensemble $E$ . On considère $H = {f \in 𝒮_{E} | f (a) = a}$ l’ensemble des permutations de $E$ fixant $a$ . Montrer que $H$ muni du produit de composition des applications est un groupe.

Exercice 25 4596

Soient $a$ et $b$ deux réels. Montrer que $a ℤ + b ℤ = {a k + b ℓ | k, ℓ \in ℤ}$ est un sous-groupe de $(ℝ, +)$ .

Exercice 26 2208 Correction

Soient $ω \in ℂ$ et $H = {a + ω b | a, b \in ℤ}$ .
Montrer que $H$ est un sous groupe de $(ℂ, +)$ .

Solution

$H \subset ℂ$ , $0 = 0 + ω .0 \in H$ .
Soient $x, y \in H$ . On peut écrire $x = a + ω b$ et $y = a^{'} + ω b^{'}$ avec $a, b, a^{'}, b^{'} \in ℤ$ et alors

x - y = (a - a^{'}) + ω (b - b^{'})

avec $a - a^{'} \in ℤ$ et $b - b^{'} \in ℤ$ donc $x - y \in H$ .
Ainsi $H$ est un sous groupe de $(ℂ, +)$ .

Exercice 27 2209 Correction

Soient $a \in ℂ^{*}$ et $H = {a^{n} | n \in ℤ}$ .
Montrer que $H$ est un sous groupe de $(ℂ^{*}, \times)$ .

Solution

$H \subset ℂ^{*}$ , $1 = a^{0} \in H$ .
Soient $x, y \in H$ , on peut écrire $x = a^{n}$ et $y = a^{m}$ avec $n, m \in ℤ$ . On a alors

x y^{- 1} = a^{n - m}

avec $n - m \in ℤ$ donc $x y^{- 1} \in H$ .
Ainsi $H$ est un sous groupe de $(ℂ^{*}, \times)$ .

Exercice 28 3354

Montrer que

V = {z \in ℂ | \exists n \in ℕ^{*}, z^{n} = 1}

est un groupe multiplicatif.

Exercice 29 4601

Montrer que ${x + y \sqrt{3} | (x, y) \in ℤ^{2} et x^{2} - 3 y^{2} = 1}$ est un sous-groupe de $(ℝ^{*}, \times)$ .

Exercice 30 5330 Correction

Montrer que

G = {a^{2} + b^{2} | (a, b) \in ℚ^{2} ∖ {(0,0)}}

est un sous-groupe de $(ℝ_{+}^{*}, \times)$ .

Solution

$G$ est une partie du groupe $(ℝ_{+}^{*}, \times)$ et $1 = 1^{2} + 0^{2} \in G$ .

Soient $x, y \in G$ . On peut écrire

x = a^{2} + b^{2} et y = c^{2} + d^{2} avec (a, b), (c, d) \in ℚ^{2} ∖ {(0,0)}

et l’on a

x y = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = {(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2} .

On observe $a c + b d, a d - b c \in ℚ$ et $(a c + b d, a d - b c) \neq (0,0)$ car

{\begin{matrix} a c + b d & = 0 \\ a d - b c & = 0 \end{matrix} ⟹ x y = 0 .

Enfin,

\frac{1}{x} = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{(a^{2} + b^{2}) 2} = {(\frac{a}{a^{2} + b^{2}})}^{2} + {(\frac{b}{a^{2} + b^{2}})}^{2}

avec

(\frac{a}{a^{2} + b^{2}}, \frac{b}{a^{2} + b^{2}}) \in ℚ^{2} ∖ {(0,0)} .

Ainsi, $x y \in G$ et $x^{- 1} \in G$ , $G$ est un sous-groupe de $(ℝ_{+}^{*}, \times)$ .

Exercice 31 2213 Correction

Soit $f_{a, b} : ℂ \to ℂ$ définie par $f_{a, b} (z) = a z + b$ avec $a \in ℂ^{*}, b \in ℂ$ .
Montrer que $({f_{a, b} | a \in ℂ^{*}, b \in ℂ}, \circ)$ est un groupe.

Solution

Posons $H = {f_{a, b} | a \in ℂ^{*}, b \in ℂ}$ et montrons que $H$ est un sous-groupe du groupe de permutations $(𝒮_{ℂ}, \circ)$ .
${Id}_{ℂ} = f_{1,0} \in H$ .

Z = a z + b \Leftrightarrow z = \frac{1}{a} Z - \frac{b}{a}

donc $f_{a, b} \in 𝒮_{ℂ}$ et $f_{a, b}^{- 1} = f_{1 / a, - b / a}$ . Ainsi $H \subset 𝒮_{ℂ}$ et

\forall f \in H, f^{- 1} \in H .

Enfin $f_{a, b} \circ f_{c, d} (z) = a (c z + d) + b = a c z + (a d + b)$ donc $f_{a, b} \circ f_{c, d} = f_{a c, a d + b}$ . Ainsi,

\forall f, g \in H, f \circ g \in H .

On peut conclure.

Exercice 32 2212

On appelle centre d’un groupe $(G, ⋆)$ l’ensemble

Z (G) = {x \in G | \forall y \in G, x ⋆ y = y ⋆ x} .

Montrer que $Z (G)$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ .

Exercice 33 4602

Soit $H$ une partie finie non vide d’un groupe $(G, ⋆)$ .

On suppose que $H$ est stable pour la loi $⋆$ . Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$ .

Exercice 34 2211 Correction

Soient $(G, \times)$ un groupe, $H$ un sous groupe de $(G, \times)$ et $a \in G$ .

(a)

Montrer que $a H a^{- 1} = {a x a^{- 1} | x \in H}$ est un sous groupe de $(G, \times)$ .
(b)

À quelle condition simple $a H = {a x | x \in H}$ est un sous groupe de $(G, \times)$ ?

Solution

(a)

$a H a^{- 1} \subset G$ , $e = a e a^{- 1} \in a H a^{- 1}$ .
Soient $a x a^{- 1}, a y a^{- 1} \in a H a^{- 1}$ avec $x, y \in H$ on a

$(a x a^{- 1}) (a y^{- 1} a^{- 1}) = a (x y^{- 1}) a^{- 1} \in a H a^{- 1} .$
(b)

$e \in a H ⟹ a^{- 1} \in H ⟹ a \in H$ . Inversement

$a \in H ⟹ a^{- 1} \in H ⟹ a H = H .$

La condition simple cherchée est $a \in H$ .

Exercice 35 2215 Correction

Soit $H$ et $K$ deux sous-groupes d’un groupe $(G, *)$ tels que $H \cup K$ en soit aussi un sous-groupe. Montrer que $H \subset K$ ou $K \subset H$ .

Solution

Par l’absurde supposons

H ⊄ K et K ⊄ H .

Il existe $h \in H$ tel que $h \notin K$ et $k \in K$ tel que $k \notin H$ .
On a $h, k \in H \cup K$ donc $h * k \in H \cup K$ car $H \cup K$ sous-groupe.
Si $h * k \in H$ alors $k = h^{- 1} * (h * k) \in H$ car $H$ sous-groupe. Or cela est exclu.
Si $h * k \in K$ alors $h = (h * k) * k^{- 1} \in K$ car $K$ sous-groupe. Or cela est exclu.
Ainsi $h * k \notin H \cup K$ . Absurde.

Exercice 36 4603

Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes d’un groupe $G$ noté multiplicativement. On forme

H K = {x y | x \in H et y \in K} et K H = {y x | y \in K et x \in H} .

Établir que $H K$ est un sous-groupe de $G$ si, et seulement si, $K H \subset H K$ et qu’alors $H K = K H$ .

Exercice 37 2217 Correction

(Description des sous-groupes de $(Z, +)$ )

Pour $a \in ℕ$ , on note $a ℤ = {a k | k \in ℤ}$ .

(a)

Montrer que $a ℤ$ est un sous-groupe de $(ℤ, +)$ .
On se propose de montrer que, réciproquement, tout sous groupe de $ℤ$ est de cette forme.
(b)

Vérifier que le groupe ${0}$ est de la forme voulue.
Soit $H$ un sous-groupe de $(ℤ, +)$ non réduit à ${0}$ .
(c)

Montrer que $H^{+} = {h \in H | h > 0}$ possède un plus petit élément. On note $a = \min H^{+}$ .
(d)

Établir que $a ℤ \subset H$ .
(e)

En étudiant le reste de la division euclidienne d’un élément de $H$ par $a$ montrer que $H \subset a ℤ$ .
(f)

Conclure que pour tout sous-groupe $H$ de $ℤ$ , il existe un unique $a \in ℕ$ tel que $H = a ℤ$ .

Solution

(a)

$a ℤ \subset ℤ$ , $0 = a .0 \in a ℤ$ .
Soient $x, y \in a ℤ$ , on peut écrire $x = a k$ et $y = a ℓ$ avec $k, ℓ \in ℤ$ .
$x - y = a (k - ℓ)$ avec $k - ℓ \in ℤ$ donc $x - y \in a ℤ$ .
Ainsi $a ℤ$ est un sous-groupe de $ℤ$ .
(b)

Pour $a = 0 \in ℕ$ , ${0} = a ℤ$ .
(c)

Puisque $H$ est non vide et non réduit à ${0}$ , il existe $h \in H$ tel que $h \neq 0$ .
Si $h > 0$ alors $h \in H^{+}$ , si $h < 0$ alors $- h \in H$ (car $H$ sous-groupe) et $- h > 0$ donc $- h \in H^{+}$ .
Dans les deux cas $H^{+} \neq \emptyset$ .
$H^{+}$ est une partie non vide de $ℕ$ donc $H^{+}$ possède un plus petit élément.
(d)

$0 \in H$ et $a \in H$ .
Par récurrence, la stabilité de $H$ donne

$\forall n \in ℕ, a . n = a + \dots + a \in H .$

Par passage à l’opposé, la stabilité de $H$ par passage au symétrique donne

$\forall n \in ℤ, a . n \in H .$

Ainsi $a ℤ \subset H$ .
(e)

Soit $x \in H$ . La division euclidienne de $x$ par $a \neq 0$ donne $x = a q + r$ avec $q \in ℤ$ et $0 \leq r < a$ .
On a $r = x - a q$ avec $x \in H$ et $a q \in a ℤ \subset H$ donc $r \in H$ .
Si $r > 0$ alors $r \in H^{+}$ or $r < a = \min H^{+}$ donc cela est impossible.
Il reste $r = 0$ ce qui donne $x = a q \in a ℤ$ . Ainsi $H \subset a ℤ$ et finalement $H = a ℤ$ .
(f)

L’existence est établie ci-dessus. Il reste à montrer l’unicité.
Soit $a, b \in ℕ$ tel que $a ℤ = b ℤ$ . On a $a \in a ℤ = b ℤ$ donc $b ∣ a$ et de même $a ∣ b$ , or $a, b \geq 0$ donc $a = b$ .

[<] Sous-groupes[>] Anneaux et corps

Exercice 38 2204 Correction

Soit $(G, ⋆)$ un groupe à $n$ éléments.
Justifier que sa table de composition est un carré latin c’est à dire que tout élément de $G$ figure une fois et une seule dans chaque ligne et dans chaque colonne.

Solution

Si un élément figure deux fois dans une même ligne correspondant aux valeurs de composition avec $x$ , c’est qu’il existe $a \neq b$ tel que $x ⋆ a = x ⋆ b$ .
Or tout élément d’un groupe est régulier, ce cas de figure ci-dessus est donc impossible.
Comme le groupe $G$ à $n$ élément, qu’il y a $n$ cases sur chaque ligne et que chaque ligne ne peut contenir deux fois le même élément, chaque ligne contient chaque élément de $G$ une fois et une seule.
On raisonne de même avec les colonnes.

Exercice 39 2214 Correction

On considère les applications de $E = ℝ ∖ {0,1}$ dans lui-même définies par:

i (x) = x, f (x) = 1 - x, g (x) = \frac{1}{x}, h (x) = \frac{x}{x - 1}, k (x) = \frac{x - 1}{x}, ℓ (x) = \frac{1}{1 - x} .

(a)

Démontrer que ce sont des permutations de $E$ .
(b)

Construire la table donnant la composée de deux éléments quelconques de l’ensemble $G = {i, f, g, h, k, l}$ .
(c)

Montrer que $G$ muni de la composition des applications est un groupe non commutatif.

Solution

(a)

Il est clair que $i$ , $f$ et $g$ sont des permutations de $E$ .

$h (x) = \frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1} = 1 - \frac{1}{1 - x} = f (g (f (x)))$

donc $h = f \circ g \circ f$ et donc $h \in 𝒮_{E}$ .
De même, $k = f \circ g \in 𝒮_{E}$ et $ℓ = g \circ f \in 𝒮_{E}$
(b)

$\begin{matrix} \circ & i & f & g & h & k & ℓ \\ i & i & f & g & h & k & ℓ \\ f & f & i & k & ℓ & g & h \\ g & g & ℓ & i & k & h & f \\ h & h & k & ℓ & i & f & g \\ k & k & h & f & g & ℓ & i \\ ℓ & ℓ & g & h & f & i & k \end{matrix} .$
(c)

$G$ est un sous groupe de $(𝒮_{E}, \circ)$ car $G$ contient $i$ , est stable par composition et par passage à l’inverse.
De plus, ce groupe n’est pas commutatif car $g \circ f \neq f \circ g$ .

Exercice 40 4607

On dit qu’un élément $a$ d’un ensemble $E$ muni d’une loi $⋆$ est régulier lorsque, pour tout $(x, y) \in E^{2}$ ,

	$a ⋆ x = a ⋆ y$	$⟹ x = y (régularité à gauche)$
	$x ⋆ a = y ⋆ a$	$⟹ x = y (régularité à droite).$

(a)

Montrer que tous les éléments d’un groupe sont réguliers.
(b)

Soit $E$ un ensemble fini muni d’une loi associative pour laquelle il existe un élément régulier. Montrer que la loi $⋆$ possède un élément neutre.
(c)

Soit $G$ un ensemble fini non vide muni d’une loi associative pour laquelle tous les éléments sont réguliers. Montrer que $G$ est un groupe.

Exercice 41 4604

Soit $G$ un groupe possédant $4$ éléments. Montrer que $G$ est commutatif.

Exercice 42 4605

Soit $G$ un groupe noté multiplicativement possédant un nombre pair d’éléments.

Montrer qu’il existe $x \in G$ tel que $x^{2} = 1$ et $x \neq 1$ .

Exercice 43 4608

Soit $(G, ⋆)$ un groupe possédant $2 n$ éléments avec $n \geq 2$ .

On suppose qu’il existe deux sous-groupes $H$ et $K$ possédant chacun $n$ éléments et vérifiant $H \cap K = {e}$ . Montrer $n = 2$ .

Exercice 44 4609

Soit $(G, ⋆)$ un groupe fini dans lequel $x^{2} = e$ pour tout $x \in E$ .

(a)

Soient $H$ un sous-groupe strict¹¹ 1 Un sous-groupe strict est un sous-groupe différent du groupe. de $(G, ⋆)$ et $a$ un élément de $G ∖ H$ .

Montrer que $K = H \cup H^{'}$ avec $H^{'} = {a ⋆ x | x \in H}$ est un sous-groupe de $G$ .
(b)

Avec les notations qui précèdent, donner le cardinal de $K$ en fonction de celui de $H$ .
(c)

En déduire que le cardinal de $G$ est une puissance de $2$ .

Exercice 45 4611

(Conjugaison dans un groupe)

Soit $G$ un groupe fini noté multiplicativement.

(a)

On appelle normalisateur de $x \in G$ l’ensemble $N (x) = {g \in G | g x g^{- 1} = x}$ . Montrer que $N (x)$ est un sous-groupe de $G$ .
(b)

Montrer que l’on définit une relation d’équivalence $ℛ$ sur $G$ en posant

$x ℛ y \Leftrightarrow \exists g \in G, y = g x g^{- 1} .$
(c)

On note $Cl (x)$ la classe d’équivalence d’un élément $x$ pour la relation $ℛ$ . Montrer

$Card (G) = Card (Cl (x)) \times Card (N (x)) .$
(d)

Application: On suppose que $G$ est de cardinal $p^{α}$ avec $p$ premier et $α \in ℕ^{*}$ . Montrer que son centre¹¹ 1 Voir sujet 2212. $Z (G)$ n’est pas réduit à ${1}$ .

[<] Groupe de cardinal fini

Exercice 46 4598

Soit $E$ un ensemble. On définit la différence symétrique¹¹ 1 Voir sujet 4479. $A Δ B$ de deux parties $A$ et $B$ de $E$ par la relation $A Δ B = (A \cup B) \cap (\bar{A \cap B})$ .

Montrer que $(℘ (E), Δ, \cap)$ est un anneau commutatif.

Exercice 47 2243 Correction

Pour $a, b \in ℝ$ , on pose

a ⊤ b = a + b - 1 et a ⋆ b = a b - a - b + 2 .

Montrer que $(ℝ, ⊤, ⋆)$ est un corps.

Solution

Soit $φ : ℝ \to ℝ$ définie par $φ : x \mapsto x - 1$ . $φ$ est une bijection et l’on vérifie

φ (a ⊤ b) = φ (a) + φ (b) et φ (a ⋆ b) = φ (a) \times φ (b) .

Par la bijection $φ^{- 1}$ , la structure de corps sur $(ℝ, +, \times)$ est transportée sur $(ℝ, ⊤, ⋆)$ .

Notamment, les neutres de $(ℝ, ⊤, ⋆)$ sont $1$ et $2$ .

Exercice 48 2235

(Anneau de Boole)

Soit $(A, +, \times)$ un anneau de Boole¹¹ 1 L’anneau $(℘ (E), Δ, \cap)$ étudié dans le sujet 4598 est un exemple non trivial d’anneau de Boole., c’est-à-dire une anneau dans lequel $x^{2} = x$ pour tout $x \in A$ .

(a)

Montrer que $2 . x = 0_{A}$ pour tout $x \in A$ . En déduire que $A$ est un anneau commutatif.
(b)

Montrer que l’on définit une relation d’ordre $≼$ sur $A$ en posant

$x ≼ y \Leftrightarrow x y = x .$

Exercice 49 2234

(Nilpotence)

On dit qu’un élément $x$ d’un anneau $(A, +, \times)$ est nilpotent lorsqu’il existe $n \in ℕ^{*}$ vérifiant $x^{n} = 0_{A}$ . Soit $x$ et $y$ deux éléments de l’anneau $(A, +, \times)$ .

(a)

Montrer que si $x$ est nilpotent et que $x$ et $y$ commutent, alors $x y$ est nilpotent.
(b)

Montrer que si $x y$ est nilpotent, alors $y x$ l’est aussi.
(c)

Montrer que si $x$ et $y$ sont nilpotents et commutent, alors $x + y$ est nilpotent.
(d)

Montrer que si $x$ est nilpotent alors $1_{A} - x$ est inversible et préciser ${(1_{A} - x)}^{- 1}$ .

Exercice 50 1221

Soient $a$ et $b$ deux éléments d’un anneau $(A, +, \times)$ . Montrer que si $1_{A} - a b$ est inversible alors $1_{A} - b a$ l’est aussi.

Exercice 51 4606

Soit $(A, +, \times)$ un anneau vérifiant $x y x = x^{2} y$ pour tous $x$ et $y$ dans $A$ . Montrer que l’anneau est commutatif.

Édité le 08-11-2019

	$x ⋆ y \in I$	$\Leftrightarrow x y + c (x + y) + c^{2} > 0 et x y - c (x + y) + c^{2} > 0$
		$\Leftrightarrow (x + c) (y + c) > 0 et (x - c) (y - c) > 0$