Exercice 2 2191

On note $E = [0; 1]$ et, pour $x, y \in E$ , on pose

x ⋆ y = x + y - x y .

(a)

Vérifier que $⋆$ définit une loi de composition interne sur $E$ .
(b)

Étudier la commutativité et l’associativité de la loi $⋆$ .
(c)

Existe-t-il un élément neutre?
(d)

Quels sont les éléments symétrisables?
(e)

Soit $α \in [0; 1]$ . Vérifier que $A = [α; 1]$ est une partie de $E$ stable pour la loi $⋆$ .

Exercice 3 2192 Correction

Soit $⋆$ une loi de composition interne sur $E$ .

Pour $A, B \in 𝒫 (E)$ , on pose

A ⋆ B = {a ⋆ b | a \in A, b \in B} .

(a)

Étudier les propriétés de $⋆$ sur $E$ (commutativité, associativité, existence d’un neutre) conservées par $⋆$ sur $𝒫 (E)$ .
(b)

La loi $⋆$ est-elle distributive sur l’union, sur l’intersection?

Solution

(a)

$⋆$ est bien une loi de composition interne sur $𝒫 (E)$ .

Si $⋆$ est commutative sur $E$ , elle l’est aussi sur $𝒫 (E)$ .

Si $⋆$ est associative sur $E$ , elle l’est aussi sur $𝒫 (E)$ .

Si $⋆$ possède un neutre $e$ dans $E$ , alors $⋆$ possède un neutre dans $𝒫 (E)$ à savoir ${e}$ car

$A ⋆ {e} = {a ⋆ e | a \in A} = A .$
(b)

La loi $⋆$ est distributive sur l’union

$A ⋆ (B \cup C) = {a ⋆ x | a \in A, x \in B \cup C} = (A ⋆ B) \cup (A ⋆ C) .$

En revanche, la distributivité sur l’intersection est fausse. On obtient un contre exemple dans $ℝ$ avec $⋆, =, +$ , $A = {1, - 1}$ , $B = {1}$ et $C = {- 1}$ où

$A ⋆ B \cap C = A ⋆ \emptyset = \emptyset$

alors que

$(A ⋆ B) \cap A ⋆ C = {2,0} \cap {- 2,0} = {0} .$

Exercice 4 2197 Correction

Soit $⋆$ une loi de composition interne associative sur $E$ .
On suppose qu’il existe $a \in E$ tel que l’application $f : E \to E$ définie par $f (x) = a ⋆ x ⋆ a$ soit surjective et l’on note $b$ un antécédent de $a$ par $f$ .

(a)

Montrer que $e = a ⋆ b$ et $e^{'} = b ⋆ a$ sont neutres resp. à gauche et à droite puis que $e = e^{'}$ .
(b)

Montrer que $a$ est symétrisable et $f$ bijective.

Solution

Par la surjectivité de $f$ , il existe $b \in E$ tel que $a ⋆ b ⋆ a = a$ .

(a)

$a ⋆ b = a ⋆ a ⋆ c ⋆ a$
Pour tout $x \in E$ , il existe $α \in E$ tel que l’on peut écrire $x = a ⋆ α ⋆ a$ .
Pour $e = a ⋆ b$ , $e ⋆ x = a ⋆ b ⋆ a ⋆ α ⋆ a = a ⋆ α ⋆ a = x$ .
Pour $e^{'} = b ⋆ a$ , $x ⋆ e^{'} = x ⋆ b ⋆ a = a ⋆ α ⋆ a ⋆ b ⋆ a = a ⋆ α ⋆ a$ .
$e ⋆ e^{'} = e = e^{'}$ .
(b)

Puisque $a ⋆ b = b ⋆ a = e$ , $a$ est symétrisable et $sym (a) = b$ .
De plus, $g : x \to b ⋆ x ⋆ b$ est clairement application réciproque de $f$ .

Exercice 5 4198 Correction

Soit $⋆$ une loi de composition interne associative sur $E$ . On suppose qu’il existe $a \in E$ tel que $E = {a ⋆ x ⋆ a | x \in E}$ . Montrer que la loi $⋆$ possède un neutre et que l’élément $a$ est symétrisable.

Solution

Méthode: On introduit $b \in E$ tel que $a ⋆ b ⋆ a = a$ .

Considérons $e = a ⋆ b$ et $e^{'} = b ⋆ a$ qui semblent candidats pour déterminer des neutres pour la loi $⋆$ . Vérifions que $e$ et $e^{'}$ sont respectivement neutre à gauche et neutre à droite pour la loi $⋆$ . Soit $x \in E$ . On peut écrire $x = a ⋆ y ⋆ a$ pour un certain $y \in E$ . On a alors

e ⋆ x = (a ⋆ b) ⋆ (a ⋆ y ⋆ a) = (a ⋆ b ⋆ a) ⋆ y ⋆ a = a ⋆ y ⋆ a = x .

Un calcul analogue permet de vérifier $x ⋆ e^{'} = x$ . Comme déjà vu dans le sujet 4594, le calcul de $e ⋆ e^{'}$ assure que les deux éléments $e$ et $e^{'}$ sont égaux et l’on peut affirmer que $⋆$ possède un neutre. Au surplus, les identités $a ⋆ b = e$ et $b ⋆ a = e^{'} = e$ permettent d’affirmer que $a$ est symétrisable de symétrique $b$ .

Exercice 6 4595

Soit $E$ un ensemble muni d’une loi $⋆$ associative possédant un neutre $e$ .

Montrer que, si $x$ et $y$ sont deux éléments de $E$ tels que les composés $x ⋆ y$ et $y ⋆ x$ sont symétrisables, alors $x$ et $y$ sont symétrisables.

Exercice 7 4599

Soit $E$ un ensemble muni d’une loi $⋆$ associative. On suppose qu’il existe $a \in E$ telle que, pour tout $x \in E$ , il est possible d’écrire $x = a ⋆ y = z ⋆ a$ avec $(y, z) \in E^{2}$ .

Montrer que $(E, ⋆)$ possède un neutre et que $a$ est symétrisable.

Exercice 8 2198 Correction

Soient $⋆$ une loi de composition interne associative sur un ensemble fini $E$ et $x$ un élément régulier de $E$ . Montrer que $E$ possède un neutre.

Solution

Considérons l’application $f : ℕ \to E$ définie par $f (n) = x^{⋆ n}$ .
Puisque $N$ est infini et que l’ensemble $E$ est fini, l’application $f$ n’est pas injective et donc il existe $p > q \in ℕ$ tels que $f (p) = f (q)$ c’est-à-dire

x^{⋆ p} = x^{⋆ q} .

Pour tout $y \in E$ .

x^{⋆ p} ⋆ y = x^{⋆ q} ⋆ y .

Puisque $x$ est régulier, on obtient

x^{⋆ (p - q)} ⋆ y = y .

De même, $y ⋆ x^{⋆ (p - q)} = y$ et donc $e = x^{⋆ (p - q)}$ est neutre.

[<] Lois de composition interne[>] Groupes

Exercice 9 4594

Soit $E$ un ensemble muni d’une loi $⋆$ . On dit qu’un élément $e$ est neutre à gauche (resp. à droite) lorsque $e ⋆ x = x$ (resp. $x ⋆ e = x$ ) pour tout $x$ de $E$ .

Montrer que si la loi $⋆$ possède un neutre à gauche et un neutre à droite, elle possède un élément neutre.

Exercice 10 2194

Soit $E$ un ensemble muni d’une loi $⋆$ associative possédant un élément neutre $e$ .

Montrer qu’un élément $a$ de $E$ est symétrisable si, et seulement si, l’application $f : E \to E$ définie par $f (x) = a ⋆ x$ est bijective.

Exercice 11 2195 Correction

Soit $⋆$ une loi associative sur un ensemble $E$ . Un élément $x$ de $E$ est dit idempotent si, et seulement si, $x ⋆ x = x$ .

(a)

Montrer que si $x$ et $y$ sont idempotents et commutent, alors $x ⋆ y$ est idempotent.
(b)

Montrer que si $x$ est idempotent et inversible, alors $x^{- 1}$ est idempotent.

Solution

(a)

On a

$(x ⋆ y) ⋆ (x ⋆ y) = (x ⋆ x) ⋆ (y ⋆ y) = x ⋆ y .$
(b)

On a

$x ⋆ x = x ⟹ {(x ⋆ x)}^{- 1} = x^{- 1} ⟹ x^{- 1} ⋆ x^{- 1} = x^{- 1} .$

Exercice 12 2193 Correction

Soit $E$ un ensemble et $f : E \to E$ .
Montrer que $f$ est un élément régulier de $(E^{E}, \circ)$ si, et seulement si, $f$ est bijective.

Solution

Supposons $f$ est bijective.
Soient $g, h : E \to E$ . Si $f \circ g = f \circ h$ alors $f^{- 1} \circ f \circ g = f^{- 1} \circ f \circ h$ puis $g = h$ .
De même, $g \circ f = h \circ f ⟹ g = h$ et donc $f$ est un élément régulier.
Supposons que $f$ est un élément régulier.
Soient $x, x^{'} \in E$ . Si $f (x) = f (x^{'})$ alors $f \circ g = f \circ h$ avec $g$ et $h$ les fonctions constantes égales à $x$ et $x^{'}$ .
Par la régularité de $f$ , on obtient $g = h$ et donc $x = x^{'}$ .
Si $E$ est un singleton alors $f$ est nécessairement surjective.
Sinon, on peut construire deux fonctions $g$ et $h$ telle que

\forall x \in E, g (x) = h (x) \Leftrightarrow x \in Im (f) .

On a $g \circ f = h \circ f$ donc, par la régularité de $f$ , $g = h$ d’où $Im (f) = E$ puis $f$ surjective.

Exercice 13 2199 Correction

Soit $⋆$ une loi associative sur un ensemble $E$ fini. On suppose que la loi $⋆$ possède un neutre $e$ .
Montrer que tout élément régulier de $E$ est inversible.

Solution

Soit $a$ un élément régulier.
Considérons l’application $f : E \to E$ définie par $f (x) = a ⋆ x$ .
L’application $f$ est injective.
$E$ est fini donc $f$ est bijective et par suite surjective d’où l’existence de $b \in E$ tel que $a ⋆ b = e$ .
$f (e) = a$ et $f (b ⋆ a) = a ⋆ b ⋆ a = e ⋆ a = a$ donc par l’injectivité de $f$ : $b ⋆ a = e$ .

Finalement, $a$ est inversible.
On peut aussi partir de $f : ℕ \to E$ définie par $f (n) = a^{⋆ n}$ qui n’est pas injective.

Exercice 14 3043 X (MP)

Soit $E$ un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne associative $⋆$ .

Montrer qu’il existe un élément $e$ dans $E$ vérifiant $e ⋆ e = e$ .

[<] Éléments remarquables d'une structure[>] Sous-groupes

Exercice 15 2201

Soit $(G, ⋆)$ un groupe de neutre $e$ . On suppose¹¹ 1 $x^{2}$ désigne $x ⋆ x$ . $x^{2} = e$ pour tout $x \in G$ . Montrer que le groupe $(G, ⋆)$ est commutatif.

Exercice 16 4600

Soient $a$ et $b$ deux éléments d’un groupe $G$ noté multiplicativement¹¹ 1 Dans un groupe multiplicatif, la loi est notée $\times$ ou $(\cdot)$ et le neutre noté $1$ ..

Montrer

{(a b)}^{n} = 1 ⟹ {(b a)}^{n} = 1 .

Exercice 17 2203 Correction

Soit $⋆$ une loi de composition interne associative sur un ensemble $E$ fini non vide.
On suppose que tous les éléments de $E$ sont réguliers. Montrer que $E$ est un groupe.

Solution

La loi $⋆$ est déjà associative. Montrons qu’elle est possède un neutre. Soit $x$ un élément de $E$ . La suite des $x^{n}$ avec

x^{n} = x ⋆ \dots ⋆ x (n termes), n \geq 1

ne peut être formé d’éléments deux à deux distincts car $E$ est un ensemble fini. Il existe donc $n, k > 0$ vérifiant

x^{n + k} = x^{n} .

Posons alors $e = x^{k}$ et vérifions que $e$ est neutre pour la loi $⋆$ . Soit $y \in E$ . On a $y ⋆ x^{n + k} = y ⋆ x^{n}$ et donc $(y ⋆ x^{k}) ⋆ x^{n} = y ⋆ x^{n}$ . Par régularité de $x^{n}$ , on obtient $y ⋆ e = y$ . On montre de même $e ⋆ y$ .
Il reste maintenant à vérifier que tout élément $a \in E$ est inversible.
Considérons l’application $f : E \to E$ définie par $f (x) = a ⋆ x$ .
$a$ est régulier donc l’application $f$ est injective.
$E$ est fini donc $f$ est bijective et par suite surjective d’où l’existence d’un $b \in E$ tel que $a ⋆ b = e$ .
$f (e) = a$ et $f (b ⋆ a) = a ⋆ b ⋆ a = e ⋆ a = a$ donc par l’injectivité de $f$ : $b ⋆ a = e$ .

Finalement, $a$ est inversible et $(E, ⋆)$ est un groupe.

Exercice 18 2196

(Transport de loi)

Soient $(G, ⋆)$ un groupe et $φ : G \to E$ une application bijective au départ de $G$ et à valeurs dans un ensemble $E$ . On définit une loi de composition interne $⊤$ sur $E$ en posant

⊤ x y = φ (φ^{- 1} (x) ⋆ φ^{- 1} (y)) .

Montrer que $(E, ⊤)$ est un groupe.

Exercice 19 5628 Correction

Soit $a$ un élément d’un groupe $(G, ⋆)$ .

(a)

Établir que l’application $x \mapsto a ⋆ x$ définit une permutation de $G$ .
(b)

Application : Montrer que la somme des éléments d’un sous-groupe fini de $(ℂ^{*}, \times)$ est nulle ou égale à $1$ .

Solution

(a)

L’application

$f : {\begin{matrix} G & \to & G \\ x & \mapsto & a ⋆ x \end{matrix}$

est correctement définie. Pour $x, y \in G$ ,

$y = f (x)$ $\Leftrightarrow y = a ⋆ x$

$\Leftrightarrow x = a^{- 1} ⋆ y .$

Ainsi, pour tout $y \in G$ , l’équation $y = f (x)$ d’inconnue $x \in G$ possède une unique solution dans $G$ : l’application $f$ est bijective.
(b)

Soit $G$ un sous-groupe de fini de $(ℂ^{*}, \times)$ .

Si $G = {1}$ , la somme des éléments de $G$ vaut $1$ . Sinon, il existe $a \in G$ tel que $a \neq 1$ . Considérons à nouveau l’application $f$ de la question précédente. Par permutation des termes d’une somme,

$\sum_{x \in G} x = \sum_{x \in G} a x .$

Cela donne

$\sum_{x \in G} = a \sum_{x \in G} x .$

Or $a \neq 1$ et donc nécessairement

$\sum_{x \in G} x = 0 .$

Exercice 20 4197

On note $G =] - 1; 1 [$ et, pour $x, y \in G$ , on pose

x ⋆ y = \frac{x + y}{1 + x y} .

Montrer que la loi $⋆$ munit $G$ d’une structure de groupe abélien¹¹ 1 C’est-à-dire de groupe commutatif..

Exercice 21 2207 Correction

(Addition des vitesses en théorie de la relativité)

Soit $c > 0$ ( $c$ correspond à la vitesse –ou célérité– de la lumière) et $I =] - c; c [$ .

(a)

Montrer

$\forall (x, y) \in I^{2}, x ⋆ y = \frac{x + y}{1 + \frac{x y}{c^{2}}} \in I .$
(b)

Montrer que la loi $⋆$ munit $I$ d’une structure de groupe abélien.
Cette loi $⋆$ correspond à l’addition des vitesses portées par un même axe en théorie de la relativité.

Solution

(a)

Pour $x, y \in I$ ,

$x ⋆ y \in I$ $\Leftrightarrow x y + c (x + y) + c^{2} > 0 et x y - c (x + y) + c^{2} > 0$

$\Leftrightarrow (x + c) (y + c) > 0 et (x - c) (y - c) > 0 .$

Par suite,

$\forall (x, y) \in I^{2}, x ⋆ y \in I .$
(b)

La loi $⋆$ est clairement commutative. La loi $⋆$ est associative puisque

$\forall x, y, z \in I, (x ⋆ y) ⋆ z = \frac{x + y + z + \frac{x y z}{c^{2}}}{1 + \frac{x y + y z + z x}{c^{2}}} = x ⋆ (y ⋆ z)$

$0$ est élément neutre pour la structure $(I, ⋆)$ car

$\forall x \in I, x ⋆ 0 = 0 ⋆ x = x .$

Enfin,

$\forall x \in I, (- x) ⋆ x = x ⋆ (- x) = 0$

et tout élément de $I$ est donc symétrisable dans $I$ .

Finalement, $(I, ⋆)$ est un groupe abélien.

Exercice 22 2205

Soient $G = ℝ^{*} \times ℝ$ et $⋆$ la loi de composition interne définie sur $G$ par

(x, y) ⋆ (x^{'}, y^{'}) = (x x^{'}, x y^{'} + y) .

(a)

Observer que la loi $⋆$ n’est pas commutative.
(b)

Montrer que $(G, ⋆)$ est un groupe dont on précisera l’élément neutre.
(c)

Vérifier que $ℝ_{+}^{*} \times ℝ$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ .

Exercice 23 3199 CENTRALE (MP)Correction

Soient $A (1,0)$ et $B (0,1)$ . À partir de points $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ et $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ donnés, on construit le point $P_{0}$ par les conditions:

—

les droites $(P_{0} M_{0})$ et $(O x)$ sont parallèles;
—

$P_{0} \in (A B)$ .

On construit le point $Q_{0}$ par les conditions:

—

les droites $(P_{0} Q_{0})$ et $(M_{1} B)$ sont parallèles;
—

$Q_{0} \in (A M_{1})$ .

Enfin, on définit le point $M_{2} (x_{2}, y_{2})$ tel que le quadrilatère $(M_{0} P_{0} Q_{0} M_{2})$ soit un parallélogramme. On pose alors

M_{0} ⋆ M_{1} = M_{2} .

(a)

Démontrer

$(\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{0} + x_{1} y_{0} \\ y_{0} y_{1} \end{matrix}) .$
(b)

Démontrer que la loi $⋆$ est associative, admet un élément neutre et que, si $y_{0} \neq 0$ , le point $M_{0}$ admet un inverse.
(c)

On définit une suite de points ${(M_{n})}_{n \in ℕ}$ par la donnée de $M_{0}$ , de $M_{1}$ et de la relation de récurrence

$M_{n} = M_{n - 1} ⋆ M_{n - 2} pour tout n \geq 2 .$

Déterminer $y_{n}$ en fonction de $y_{0}$ et de $y_{1}$ .

Solution

(a)

On a

$P_{0} | \begin{matrix} 1 - y_{0} \\ y_{0} \end{matrix} et Q_{0} | \begin{matrix} 1 + y_{0} (x_{1} - 1) \\ y_{0} y_{1} \end{matrix}$

(en considérant que les cas singuliers sont les prolongements du cas général).

On en déduit

${\begin{matrix} x_{2} & = x_{0} + y_{0} x_{1} \\ y_{2} & = y_{0} y_{1} . \end{matrix}$
(b)

Avec des notations immédiates

$(M_{0} ⋆ M_{1}) ⋆ M_{2} | \begin{matrix} (x_{0} + y_{0} x_{1}) + (y_{0} y_{1}) x_{2} \\ (y_{0} y_{1}) y_{2} \end{matrix} et M_{0} ⋆ (M_{1} ⋆ M_{2}) | \begin{matrix} x_{0} + y_{0} (x_{1} + y_{1} x_{2}) \\ y_{0} (y_{1} y_{2}) \end{matrix}$

et l’on vérifie bien l’associativité de la loi $⋆$ .

On remarque que

$B ⋆ M = M ⋆ B = M$

donc $B$ est élément neutre de la loi $⋆$ .

Enfin, si $y_{0} \neq 0$ , pour

${\begin{matrix} x_{1} & = - x_{0} / y_{0} \\ y_{1} & = 1 / y_{0} \end{matrix}$

on observe

$M_{0} ⋆ M_{1} = M_{1} ⋆ M_{0} = B$

et l’on peut donc affirmer que $M_{0}$ est inversible d’inverse $M_{1}$ .
(c)

On a

$y_{n} = y_{n - 1} y_{n - 2}$

et l’on peut affirmer qu’il est possible d’écrire $y_{n}$ sous la forme

$y_{n} = y_{0}^{a_{n}} y_{1}^{b_{n}}$

avec

${\begin{matrix} a_{0} = 1, a_{1} = 0, a_{n} & = a_{n - 1} + a_{n - 2} \\ b_{0} = 0, b_{1} = 1, b_{n} & = b_{n - 1} + b_{n - 2} . \end{matrix}$

Les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont récurrentes linéaires d’ordre $2$ d’équation caractéristique $r^{2} = r + 1$ de racines

$r_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} et r_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} .$

On obtient après calculs

$a_{n} = \frac{r_{2}}{r_{2} - r_{1}} r_{1}^{n} + \frac{r_{1}}{r_{1} - r_{2}} r_{2}^{n} et b_{n} = \frac{r_{2}^{n} - r_{1}^{n}}{r_{2} - r_{1}} .$

Exercice 24 4610

(Équation de Pell-Fermat)

On s’intéresse à l’équation $(E) : x^{2} - 2 y^{2} = 1$ d’inconnue $(x, y) \in ℤ^{2}$ .

Pour la résoudre, on étudie l’ensemble

G = {(x, y) \in ℕ^{*} \times ℤ | x^{2} - 2 y^{2} = 1} .

(a)

Pour $(x, y)$ et $(x^{'}, y^{'})$ dans $G$ , on pose

$(x, y) ⋆ (x^{'}, y^{'}) = (x x^{'} + 2 y y^{'}, x y^{'} + x^{'} y) .$

Montrer que $⋆$ munit $G$ d’une structure de groupe dont on précisera le neutre $e$ .

Pour $(x, y) \in G$ , on pose $φ (x, y) = \ln (x + \sqrt{2} y)$ .

(b)

On introduit $a = (3,2) \in G$ . Montrer

$\forall (x, y) \in G, 0 \leq φ (x, y) < φ (a) ⟹ (x, y) = e .$
(c)

Vérifier que, pour tout $(x, y) \in G$ et tout $(x^{'}, y^{'}) \in G$ ,

$φ ((x, y) ⋆ (x^{'}, y^{'})) = φ (x, y) + φ (x^{'}, y^{'}) .$ (1)
(d)

En déduire que les éléments de $G$ sont les $a^{n}$ avec $n \in ℤ$ .

[<] Groupes[>] Morphismes de groupes

Exercice 25 4597

(a)

Soit $n \in ℕ^{*}$ . On considère $𝕌_{n} = {z \in ℂ | z^{n} = 1}$ l’ensemble des racines $n$ -ièmes de l’unité.

Montrer que $𝕌_{n}$ muni de la multiplication des nombres complexes est un groupe.
(b)

Soit $a$ un élément d’un ensemble $E$ . On considère $H = {f \in 𝒮_{E} | f (a) = a}$ l’ensemble des permutations de $E$ fixant $a$ .

Montrer que $H$ muni du produit de composition des applications est un groupe.

Exercice 26 4596

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Montrer que $a ℤ + b ℤ = {a k + b ℓ | k, ℓ \in ℤ}$ est un sous-groupe de $(ℝ, +)$ .

Exercice 27 2208 Correction

Soient $ω \in ℂ$ et $H = {a + ω b | a, b \in ℤ}$ .
Montrer que $H$ est un sous groupe de $(ℂ, +)$ .

Solution

$H \subset ℂ$ , $0 = 0 + ω .0 \in H$ .
Soient $x, y \in H$ . On peut écrire $x = a + ω b$ et $y = a^{'} + ω b^{'}$ avec $a, b, a^{'}, b^{'} \in ℤ$ et alors

x - y = (a - a^{'}) + ω (b - b^{'})

avec $a - a^{'} \in ℤ$ et $b - b^{'} \in ℤ$ donc $x - y \in H$ .
Ainsi $H$ est un sous groupe de $(ℂ, +)$ .

Exercice 28 2209 Correction

Soient $a \in ℂ^{*}$ et $H = {a^{n} | n \in ℤ}$ .
Montrer que $H$ est un sous groupe de $(ℂ^{*}, \times)$ .

Solution

$H \subset ℂ^{*}$ , $1 = a^{0} \in H$ .
Soient $x, y \in H$ , on peut écrire $x = a^{n}$ et $y = a^{m}$ avec $n, m \in ℤ$ . On a alors

x y^{- 1} = a^{n - m}

avec $n - m \in ℤ$ donc $x y^{- 1} \in H$ .
Ainsi $H$ est un sous groupe de $(ℂ^{*}, \times)$ .

Exercice 29 3354

Montrer que

V = {z \in ℂ | \exists n \in ℕ^{*}, z^{n} = 1}

est un groupe multiplicatif.

Exercice 30 4601

Montrer que ${x + y \sqrt{3} | (x, y) \in ℤ^{2} et x^{2} - 3 y^{2} = 1}$ est un sous-groupe de $(ℝ^{*}, \times)$ .

Exercice 31 5330 Correction

Montrer que

G = {a^{2} + b^{2} | (a, b) \in ℚ^{2} ∖ {(0,0)}}

est un sous-groupe de $(ℝ_{+}^{*}, \times)$ .

Solution

$G$ est une partie du groupe $(ℝ_{+}^{*}, \times)$ et $1 = 1^{2} + 0^{2} \in G$ .

Soient $x, y \in G$ . On peut écrire

x = a^{2} + b^{2} et y = c^{2} + d^{2} avec (a, b), (c, d) \in ℚ^{2} ∖ {(0,0)}

et l’on a

x y = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = {(a c + b d)}^{2} + {(a d - b c)}^{2} .

On observe $a c + b d, a d - b c \in ℚ$ et $(a c + b d, a d - b c) \neq (0,0)$ car

{\begin{matrix} a c + b d & = 0 \\ a d - b c & = 0 \end{matrix} ⟹ x y = 0 .

Enfin,

\frac{1}{x} = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} = {(\frac{a}{a^{2} + b^{2}})}^{2} + {(\frac{b}{a^{2} + b^{2}})}^{2}

avec

(\frac{a}{a^{2} + b^{2}}, \frac{b}{a^{2} + b^{2}}) \in ℚ^{2} ∖ {(0,0)} .

Ainsi, $x y \in G$ et $x^{- 1} \in G$ , $G$ est un sous-groupe de $(ℝ_{+}^{*}, \times)$ .

Exercice 32 2213 Correction

Soit $f_{a, b} : ℂ \to ℂ$ définie par $f_{a, b} (z) = a z + b$ avec $a \in ℂ^{*}, b \in ℂ$ .
Montrer que $({f_{a, b} | a \in ℂ^{*}, b \in ℂ}, \circ)$ est un groupe.

Solution

Notons

H = {f_{a, b} | a \in ℂ^{*}, b \in ℂ}

et montrons que $H$ est un sous-groupe du groupe $(𝒮_{ℂ}, \circ)$ des permutations de $ℂ$ .

La permutation ${Id}_{ℂ}$ est élément de $H$ car ${Id}_{ℂ} = f_{1,0}$ .

Pour tout $z \in ℂ$ et tout $Z \in ℂ$ ,

Z = a z + b \Leftrightarrow z = \frac{1}{a} Z - \frac{b}{a} .

On en déduit que $f_{a, b}$ est une bijection de $ℂ$ vers $ℂ$ et $f_{a, b}^{- 1} = f_{1 / a, - b / a}$ . Ainsi, $H \subset 𝒮_{ℂ}$ et

\forall f \in H, f^{- 1} \in H .

Enfin,

\forall z \in ℂ, f_{a, b} \circ f_{c, d} (z) = a (c z + d) + b = a c z + (a d + b)

donc $f_{a, b} \circ f_{c, d} = f_{a c, a d + b}$ . Ainsi,

\forall f, g \in H, f \circ g \in H .

On peut conclure que $H$ est un sous-groupe de $(𝒮_{ℂ}, \circ)$ et donc $(H, \circ)$ est un groupe.

Exercice 33 2212

On appelle centre d’un groupe $(G, ⋆)$ l’ensemble

Z (G) = {x \in G | \forall y \in G, x ⋆ y = y ⋆ x} .

Montrer que $Z (G)$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ .

Exercice 34 4602

Soit $H$ une partie finie non vide d’un groupe $(G, ⋆)$ .

On suppose que $H$ est stable pour la loi $⋆$ . Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$ .

Exercice 35 2211 Correction

Soient $(G, \times)$ un groupe, $H$ un sous groupe de $(G, \times)$ et $a \in G$ .

(a)

Montrer que $a H a^{- 1} = {a x a^{- 1} | x \in H}$ est un sous groupe de $(G, \times)$ .
(b)

À quelle condition simple $a H = {a x | x \in H}$ est un sous groupe de $(G, \times)$ ?

Solution

(a)

$a H a^{- 1} \subset G$ , $e = a e a^{- 1} \in a H a^{- 1}$ .
Soient $a x a^{- 1}, a y a^{- 1} \in a H a^{- 1}$ avec $x, y \in H$ on a

$(a x a^{- 1}) (a y^{- 1} a^{- 1}) = a (x y^{- 1}) a^{- 1} \in a H a^{- 1} .$
(b)

$e \in a H ⟹ a^{- 1} \in H ⟹ a \in H$ . Inversement

$a \in H ⟹ a^{- 1} \in H ⟹ a H = H .$

La condition simple cherchée est $a \in H$ .

Exercice 36 2215 Correction

Soit $H$ et $K$ deux sous-groupes d’un groupe $(G, *)$ tels que $H \cup K$ en soit aussi un sous-groupe. Montrer que $H \subset K$ ou $K \subset H$ .

Solution

Par l’absurde supposons

H ⊄ K et K ⊄ H .

Il existe $h \in H$ tel que $h \notin K$ et $k \in K$ tel que $k \notin H$ .
On a $h, k \in H \cup K$ donc $h * k \in H \cup K$ car $H \cup K$ sous-groupe.
Si $h * k \in H$ alors $k = h^{- 1} * (h * k) \in H$ car $H$ sous-groupe. Or cela est exclu.
Si $h * k \in K$ alors $h = (h * k) * k^{- 1} \in K$ car $K$ sous-groupe. Or cela est exclu.
Ainsi $h * k \notin H \cup K$ . Absurde.

Exercice 37 4603

Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes d’un groupe $G$ noté multiplicativement. On forme

H K = {x y | x \in H et y \in K} et K H = {y x | y \in K et x \in H} .

Établir que $H K$ est un sous-groupe de $G$ si, et seulement si, $K H \subset H K$ et qu’alors $H K = K H$ .

Exercice 38 2217 Correction

(Description des sous-groupes de $(Z, +)$ )

Pour $a \in ℕ$ , on note $a ℤ = {a k | k \in ℤ}$ .

(a)

Montrer que $a ℤ$ est un sous-groupe de $(ℤ, +)$ .
On se propose de montrer que, réciproquement, tout sous groupe de $ℤ$ est de cette forme.
(b)

Vérifier que le groupe ${0}$ est de la forme voulue.
Soit $H$ un sous-groupe de $(ℤ, +)$ non réduit à ${0}$ .
(c)

Montrer que $H^{+} = {h \in H | h > 0}$ possède un plus petit élément. On note $a = \min H^{+}$ .
(d)

Établir que $a ℤ \subset H$ .
(e)

En étudiant le reste de la division euclidienne d’un élément de $H$ par $a$ montrer que $H \subset a ℤ$ .
(f)

Conclure que pour tout sous-groupe $H$ de $ℤ$ , il existe un unique $a \in ℕ$ tel que $H = a ℤ$ .

Solution

(a)

$a ℤ \subset ℤ$ , $0 = a .0 \in a ℤ$ .
Soient $x, y \in a ℤ$ , on peut écrire $x = a k$ et $y = a ℓ$ avec $k, ℓ \in ℤ$ .
$x - y = a (k - ℓ)$ avec $k - ℓ \in ℤ$ donc $x - y \in a ℤ$ .
Ainsi $a ℤ$ est un sous-groupe de $ℤ$ .
(b)

Pour $a = 0 \in ℕ$ , ${0} = a ℤ$ .
(c)

Puisque $H$ est non vide et non réduit à ${0}$ , il existe $h \in H$ tel que $h \neq 0$ .
Si $h > 0$ alors $h \in H^{+}$ , si $h < 0$ alors $- h \in H$ (car $H$ sous-groupe) et $- h > 0$ donc $- h \in H^{+}$ .
Dans les deux cas $H^{+} \neq \emptyset$ .
$H^{+}$ est une partie non vide de $ℕ$ donc $H^{+}$ possède un plus petit élément.
(d)

$0 \in H$ et $a \in H$ .
Par récurrence, la stabilité de $H$ donne

$\forall n \in ℕ, a . n = a + \dots + a \in H .$

Par passage à l’opposé, la stabilité de $H$ par passage au symétrique donne

$\forall n \in ℤ, a . n \in H .$

Ainsi $a ℤ \subset H$ .
(e)

Soit $x \in H$ . La division euclidienne de $x$ par $a \neq 0$ donne $x = a q + r$ avec $q \in ℤ$ et $0 \leq r < a$ .
On a $r = x - a q$ avec $x \in H$ et $a q \in a ℤ \subset H$ donc $r \in H$ .
Si $r > 0$ alors $r \in H^{+}$ or $r < a = \min H^{+}$ donc cela est impossible.
Il reste $r = 0$ ce qui donne $x = a q \in a ℤ$ . Ainsi $H \subset a ℤ$ et finalement $H = a ℤ$ .
(f)

L’existence est établie ci-dessus. Il reste à montrer l’unicité.
Soit $a, b \in ℕ$ tel que $a ℤ = b ℤ$ . On a $a \in a ℤ = b ℤ$ donc $b ∣ a$ et de même $a ∣ b$ , or $a, b \geq 0$ donc $a = b$ .

[<] Sous-groupes[>] Groupe de cardinal fini

Exercice 39 2219 Correction

Justifier que $\exp : ℂ \to ℂ^{*}$ est un morphisme du groupe $(ℂ, +)$ vers $(ℂ^{*}, \times)$ .

En déterminer image et noyau.

Solution

On sait

\forall z, z^{'} \in ℂ, \exp (z + z^{'}) = \exp (z) \exp (z^{'})

donc $\exp : ℂ \to ℂ^{*}$ est un morphisme de groupes.

On sait

\exp (z) = 1 \Leftrightarrow \exists k \in ℤ, z = 2 i k π

donc

Ker (\exp) = {2 i k π | k \in ℤ} .

La fonction exponentielle complexe prend toutes les valeurs de $ℂ^{*}$ donc

Im (\exp) = ℂ^{*} .

Exercice 40 2218 Correction

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $f : ℝ^{*} \to ℝ^{*}$ définie par $f (x) = x^{n}$ .

(a)

Montrer que $f$ est un morphisme du groupe $(ℝ^{*}, \times)$ vers lui-même.
(b)

Déterminer l’image et le noyau de ce morphisme.

Solution

(a)

Pour $x \in ℝ^{*}$ , on a bien $f (x) \in ℝ^{*}$ . Pour $x, y \in ℝ^{*}$

$f (x y) = {(x y)}^{n} = x^{n} y^{n} = f (x) f (y)$

donc $f$ est un morphisme de $(ℝ^{*}, \times)$ vers lui-même.
(b)

Par définition,

$Ker (f) = f^{- 1} ({1}) et Im (f) = {x^{n} | x \in ℝ^{*}} .$

Si $n$ est pair alors

$Ker (f) = {1, - 1} et Im (f) = ℝ_{+}^{*} .$

Si $n$ est impair alors

$Ker (f) = {1} et Im (f) = ℝ^{*} .$

Exercice 41 2220

(Morphisme de conjugaison)

Soit $G$ un groupe noté multiplicativement. Pour $a \in G$ , on note $τ_{a}$ l’application de $G$ vers $G$ définie par $τ_{a} (x) = a x a^{- 1}$ .

(a)

Montrer que $τ_{a}$ est un morphisme du groupe $G$ vers lui-même.
(b)

Vérifier $τ_{a} \circ τ_{b} = τ_{a b}$ pour tous $a$ et $b$ dans $G$ .
(c)

Montrer que $τ_{a}$ est bijective et exprimer son application réciproque.
(d)

En déduire que $𝒜 = {τ_{a} | a \in G}$ muni du produit de composition est un groupe.

Exercice 42 5627 Correction

On appelle automorphisme d’un groupe $(G, ⋆)$ , tout morphisme bijectif du groupe $(G, ⋆)$ vers lui-même.

Montrer que l’ensemble $Aut (G)$ des automorphismes d’un groupe $(G, ⋆)$ est un groupe pour le produit de composition des applications.

Solution

On vérifie que $Aut (G)$ est un sous-groupe du groupe $(𝒮_{G}, \circ)$ des permutations de $G$ .

$Aut (G)$ est une partie de $𝒮_{G}$ .

La permutation identité ${Id}_{G}$ est élément de $Aut (G)$ .

Soient $φ, ψ \in Aut (G)$ . Par composition, l’application $φ \circ ψ$ est bijective. C’est aussi un morphisme du groupe $(G, ⋆)$ car

\forall (x, y) \in G^{2}, φ \circ ψ (x ⋆ y) = φ (ψ (x) ⋆ ψ (y)) = (φ \circ ψ) (x) ⋆ (φ \circ ψ) (y) .

Ainsi, $φ \circ ψ \in Aut (G)$ .

Soit $φ \in Aut (G)$ . On peut introduire la bijection réciproque $φ^{- 1}$ et l’on sait que celle-ci est bijective. C’est aussi un morphisme du groupe $(G, ⋆)$ car

\forall (x, y) \in G^{2}, φ (φ^{- 1} (x) ⋆ φ^{- 1} (y)) = φ (φ^{- 1} (x ⋆ y)) = x ⋆ y

et donc

\forall (x, y) \in G^{2}, φ^{- 1} (x) ⋆ φ^{- 1} (y) = φ^{- 1} (x ⋆ y) .

Ainsi, $φ^{- 1} \in Aut (G)$ .

Finalement, $Aut (G)$ est un sous-groupe du groupe $(𝒮_{G}, \circ)$ , c’est donc un groupe pour la loi $\circ$ .

Exercice 43 5810 Correction

Déterminer tous les morphismes de groupes de $(ℚ, +)$ vers $(ℤ, +)$ .

Solution

L’application identiquement nulle est un morphisme de groupes de $(ℚ, +)$ vers $(ℤ, +)$ . Montrons qu’il n’en existe pas d’autres.

Par l’absurde, considérons $φ : ℚ \to ℤ$ un morphisme de groupes additifs non identiquement nul. Il existe $x \in ℚ$ tel que $a = φ (x) \in ℤ ∖ {0}$ . Considérons alors $x^{'} = x / 2 a \in ℚ$ . Puisque l’image d’un itéré additif par un morphisme de groupes est l’itéré de l’image, il vient

a = φ (x) = φ (2 a . x^{'}) = 2 a . φ (x^{'}) .

On en déduit $φ (x^{'}) = 1 / 2$ . C’est absurde car $φ$ est à valeurs dans $ℤ$ .

Exercice 44 2221 Correction

Soient $(G, ⋆)$ , $(G^{'}, ⊤)$ deux groupes et $f : G \to G^{'}$ un morphisme de groupes.

(a)

Montrer que pour tout sous-groupe $H$ de $G$ , $f (H)$ est un sous-groupe de $(G^{'}, ⊤)$ .
(b)

Montrer que pour tout sous-groupe $H^{'}$ de $G^{'}$ , $f^{- 1} (H^{'})$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ .

Solution

(a)

$f (H) \subset G^{'}$ , $e^{'} = f (e) \in f (H)$ car $e \in H$ .

Soient $y, y^{'} \in f (H)$ , on peut écrire $y = f (x)$ et $y^{'} = f (x^{'})$ avec $x, x^{'} \in H$ .

$y ⊤ y^{', - 1} = f (x) ⊤ f {(x^{'})}^{- 1} = f (x) ⊤ f (x^{', - 1}) = f (x ⋆ x^{', - 1})$

avec $x ⋆ x^{', - 1} \in H$ donc $y ⊤ y^{', - 1} \in f (H)$ . Ainsi, $f (H)$ est un sous-groupe de $(G^{'}, ⊤)$ .
(b)

$f^{- 1} (H^{'}) \subset G$ et $e \in f^{- 1} (H^{'})$ car $f (e) = e^{'} \in H^{'}$ .

Soient $x, x^{'} \in f^{- 1} (H^{'})$ . On a $f (x), f (x^{'}) \in H^{'}$ .

$f (x ⋆ x^{', - 1}) = f (x) ⊤ f (x^{', - 1}) = f (x) ⊤ f {(x^{'})}^{- 1} \in H^{'}$

donc $x ⋆ x^{', - 1} \in f^{- 1} (H^{'})$ . Ainsi, $f^{- 1} (H^{'})$ est un sous-groupe de $(G, ⋆)$ .

Exercice 45 2222 Correction

On note $Aut (G)$ l’ensemble des isomorphismes d’un groupe $(G, *)$ dans lui-même.
Montrer que $Aut (G)$ est un sous-groupe du groupe des permutations $(𝒮_{G}, \circ)$ .

Solution

$Aut (G) \subset 𝒮_{G}$ et ${Id}_{G} \in Aut (G)$ .
Pour tout $f, g \in Aut (G)$ , on a $f \circ g \in Aut (G)$ et $f^{- 1} \in Aut (G)$ par les propriétés sur les automorphismes.
Ainsi $Aut (G)$ est un sous-groupe de $(𝒮_{G}, \circ)$ .

Exercice 46 2223 Correction

Soient $(G, *)$ un groupe et $a \in G$ .

On définit une loi de composition interne $⊤$ sur $G$ par $x ⊤ y = x * a * y$ .

(a)

Montrer que $(G, ⊤)$ est un groupe.
(b)

Soient $H$ un sous groupe de $(G, *)$ et $K = sym (a) * H = {sym (a) * x | x \in H}$ .
Montrer que $K$ est un sous groupe de $(G, ⊤)$ .
(c)

Montrer que $f : x \mapsto x * sym (a)$ est un isomorphisme de $(G, *)$ vers $(G, ⊤)$ .

Solution

(a)

Pour $x, y, z \in G$ ,

$(x ⊤ y) ⊤ z = (x * a * y) * a * z = x * a * (y * a * z) = x ⊤ (y ⊤ z) .$

L’élément $sym (a)$ est neutre pour la loi $⊤$ . En effet, pour $x \in G$ , on a

$x ⊤ sym (a) = x = sym (a) ⊤ x .$

Soit $x \in G$ . Posons $y = sym (a) * sym (x) * sym (a) \in G$ . On a

$x ⊤ y = y ⊤ x = sym (a) .$
(b)

$K \subset G$ , $sym (a) = sym (a) * e$ donc $sym (a) \in K$ .

Soient $sym (a) * x, sym (a) * y \in K$ . On a

$(sym (a) * x) ⊤ {(sym (a) * y)}^{⊤ (- 1)} = sym (a) * x * a * sym (a) * sym (y) * a * sym (a) = sym (a) * (x * sym (y)) \in K .$
(c)

Pour $x, y \in G$ ,

$f (x * y) = x * y * sym (a) = (x * sym (a)) ⊤ (y * sym (a)) = f (x) ⊤ f (y)$

$f$ est un morphisme de groupe et il est bijectif d’application réciproque $g : x \mapsto x * a$ .

Exercice 47 3368

Soit $φ$ un morphisme non constant d’un groupe fini $(G, ⋆)$ vers $(ℂ^{*}, \times)$ .

Calculer

\sum_{x \in G} φ (x) .

[<] Morphismes de groupes[>] Anneaux

Exercice 48 2204 Correction

Soit $(G, ⋆)$ un groupe à $n$ éléments.
Justifier que sa table de composition est un carré latin c’est à dire que tout élément de $G$ figure une fois et une seule dans chaque ligne et dans chaque colonne.

Solution

Si un élément figure deux fois dans une même ligne correspondant aux valeurs de composition avec $x$ , c’est qu’il existe $a \neq b$ tel que $x ⋆ a = x ⋆ b$ .
Or tout élément d’un groupe est régulier, ce cas de figure ci-dessus est donc impossible.
Comme le groupe $G$ à $n$ élément, qu’il y a $n$ cases sur chaque ligne et que chaque ligne ne peut contenir deux fois le même élément, chaque ligne contient chaque élément de $G$ une fois et une seule.
On raisonne de même avec les colonnes.

Exercice 49 2214 Correction

On considère les applications de $E = ℝ ∖ {0,1}$ dans lui-même définies par:

i (x) = x, f (x) = 1 - x, g (x) = \frac{1}{x}, h (x) = \frac{x}{x - 1}, k (x) = \frac{x - 1}{x}, ℓ (x) = \frac{1}{1 - x} .

(a)

Démontrer que ce sont des permutations de $E$ .
(b)

Construire la table donnant la composée de deux éléments quelconques de l’ensemble $G = {i, f, g, h, k, l}$ .
(c)

Montrer que $G$ muni de la composition des applications est un groupe non commutatif.

Solution

(a)

Il est clair que $i$ , $f$ et $g$ sont des permutations de $E$ .

$h (x) = \frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1} = 1 - \frac{1}{1 - x} = f (g (f (x)))$

donc $h = f \circ g \circ f$ et donc $h \in 𝒮_{E}$ .
De même, $k = f \circ g \in 𝒮_{E}$ et $ℓ = g \circ f \in 𝒮_{E}$
(b)

$\begin{matrix} \circ & i & f & g & h & k & ℓ \\ i & i & f & g & h & k & ℓ \\ f & f & i & k & ℓ & g & h \\ g & g & ℓ & i & k & h & f \\ h & h & k & ℓ & i & f & g \\ k & k & h & f & g & ℓ & i \\ ℓ & ℓ & g & h & f & i & k \end{matrix} .$
(c)

$G$ est un sous groupe de $(𝒮_{E}, \circ)$ car $G$ contient $i$ , est stable par composition et par passage à l’inverse.
De plus, ce groupe n’est pas commutatif car $g \circ f \neq f \circ g$ .

Exercice 50 4607

On dit qu’un élément $a$ d’un ensemble $E$ muni d’une loi $⋆$ est régulier lorsque, pour tout $(x, y) \in E^{2}$ ,

	$a ⋆ x = a ⋆ y$	$⟹ x = y (régularité à gauche)$
	$x ⋆ a = y ⋆ a$	$⟹ x = y (régularité à droite).$

(a)

Montrer que tous les éléments d’un groupe sont réguliers.
(b)

Soit $E$ un ensemble fini muni d’une loi associative pour laquelle il existe un élément régulier. Montrer que la loi $⋆$ possède un élément neutre.
(c)

Soit $G$ un ensemble fini non vide muni d’une loi associative pour laquelle tous les éléments sont réguliers. Montrer que $G$ est un groupe.

Exercice 51 5748 Correction

Soit $a$ un élément d’un groupe $(G, ⋆)$ .

(a)

Établir que l’application $x \mapsto a ⋆ x$ est une permutation de $G$ .
(b)

Application : Montrer que la somme des éléments d’un sous-groupe fini de $(ℂ^{*}, \times)$ est nulle ou égale à $1$ .

Solution

(a)

Méthode: Une permutation de $G$ est une application bijective de $G$ vers $G$ . On vérifie que l’équation $y = a ⋆ x$ possède une unique solution $x$ dans $G$ et ce pour tout $y \in G$ .

Soit $y \in G$ . On a

$y = a ⋆ x \Leftrightarrow x = a^{- 1} ⋆ y .$

L’équation $y = a ⋆ x$ possède donc une unique solution $x$ dans $G$ : l’application $x \mapsto a ⋆ x$ est une permutation de $G$ .
(b)

Soit $G$ un sous-groupe fini de $ℂ^{*}$ . En notant $N = Card G$ , on peut énumérer les éléments de $G$ et écrire

$G = {x_{1}, \dots, x_{N}}$

avec $x_{1}, \dots, x_{N}$ deux à deux distincts.

Cas: $G = {1}$ . La somme des éléments de $G$ vaut $1$ .

Cas: $G \neq {1}$ . On peut introduire $a \in G$ avec $a \neq 1$ . Par le résultat précédent, on peut écrire

$G = {a x_{1}, \dots, a x_{N}}$

ce qui propose une nouvelle énumération des éléments de $G$ . On peut alors calculer la somme des éléments de $G$ en suivant l’une ou l’autre des énumérations, le résultat du calcul ne dépendra pas de l’ordre des éléments car l’addition est commutative

$\sum_{i = 1}^{N} x_{i} = \sum_{i = 1}^{N} a x_{i} .$

En factorisant $a$ ,

$\sum_{i = 1}^{N} x_{i} = a \sum_{i = 1}^{N} x_{i}$

et, sachant $a \neq 1$ ,

$\sum_{i = 1}^{N} x_{i} = 0 .$

Exercice 52 4604

Soit $G$ un groupe possédant $4$ éléments. Montrer que $G$ est commutatif.

Exercice 53 4605

Soit $G$ un groupe noté multiplicativement possédant un nombre pair d’éléments.

Montrer qu’il existe $x \in G$ tel que $x^{2} = 1$ et $x \neq 1$ .

Exercice 54 4608

Soit $(G, ⋆)$ un groupe possédant $2 n$ éléments avec $n \geq 2$ .

On suppose qu’il existe deux sous-groupes $H$ et $K$ possédant chacun $n$ éléments et vérifiant $H \cap K = {e}$ . Montrer $n = 2$ .

Exercice 55 4609

Soit $(G, ⋆)$ un groupe fini dans lequel $x^{2} = e$ pour tout $x \in E$ .

(a)

Soient $H$ un sous-groupe strict¹¹ 1 Un sous-groupe strict est un sous-groupe différent du groupe. de $(G, ⋆)$ et $a$ un élément de $G ∖ H$ .

Montrer que $K = H \cup H^{'}$ avec $H^{'} = {a ⋆ x | x \in H}$ est un sous-groupe de $G$ .
(b)

Avec les notations qui précèdent, donner le cardinal de $K$ en fonction de celui de $H$ .
(c)

En déduire que le cardinal de $G$ est une puissance de $2$ .

Exercice 56 4611

(Conjugaison dans un groupe)

Soit $G$ un groupe fini noté multiplicativement.

(a)

On appelle normalisateur de $x \in G$ , l’ensemble $N (x) = {g \in G | g x g^{- 1} = x}$ . Montrer que $N (x)$ est un sous-groupe de $G$ .
(b)

Montrer que l’on définit une relation d’équivalence $ℛ$ sur $G$ en posant

$x ℛ y \Leftrightarrow \exists g \in G, y = g x g^{- 1} .$
(c)

On note $Cl (x)$ la classe d’équivalence d’un élément $x$ pour la relation $ℛ$ . Montrer

$Card (G) = Card (Cl (x)) \times Card (N (x)) .$
(d)

Application : On suppose que $G$ est de cardinal $p^{α}$ avec $p$ premier et $α \in ℕ^{*}$ . Montrer que son centre¹¹ 1 Voir le sujet 2212. $Z (G)$ n’est pas réduit à ${1}$ .

[<] Groupe de cardinal fini[>] Sous-anneaux

Exercice 57 4598

Soit $E$ un ensemble. On définit la différence symétrique¹¹ 1 Voir le sujet 4479. $A Δ B$ de deux parties $A$ et $B$ de $E$ par la relation $A Δ B = (A \cup B) \cap (\bar{A \cap B})$ .

Montrer que $(℘ (E), Δ, \cap)$ est un anneau commutatif.

Exercice 58 2235

(Anneau de Boole)

Soit $(A, +, \times)$ un anneau de Boole¹¹ 1 L’anneau $(℘ (E), Δ, \cap)$ étudié dans le sujet 4598 est un exemple non trivial d’anneau de Boole., c’est-à-dire une anneau dans lequel $x^{2} = x$ pour tout $x \in A$ .

(a)

Montrer que $2 . x = 0_{A}$ pour tout $x \in A$ . En déduire que $A$ est un anneau commutatif.
(b)

Montrer que l’on définit une relation d’ordre $≼$ sur $A$ en posant

$x ≼ y \Leftrightarrow x y = x .$

Exercice 59 2234

(Nilpotence)

On dit qu’un élément $x$ d’un anneau $(A, +, \times)$ est nilpotent lorsqu’il existe $n \in ℕ^{*}$ vérifiant $x^{n} = 0_{A}$ . Soient $x$ et $y$ deux éléments de l’anneau $(A, +, \times)$ .

(a)

Montrer que si $x$ est nilpotent et que $x$ et $y$ commutent, alors $x y$ est nilpotent.
(b)

Montrer que si $x y$ est nilpotent, alors $y x$ l’est aussi.
(c)

Montrer que si $x$ et $y$ sont nilpotents et commutent, alors $x + y$ est nilpotent.
(d)

Montrer que si $x$ est nilpotent alors $1_{A} - x$ est inversible et préciser son inverse.

Exercice 60 1221

Soient $a$ et $b$ deux éléments d’un anneau $(A, +, \times)$ . Montrer que si $1_{A} - a b$ est inversible alors $1_{A} - b a$ l’est aussi.

Exercice 61 4606

Soit $(A, +, \times)$ un anneau vérifiant $x y x = x^{2} y$ pour tous $x$ et $y$ dans $A$ . Montrer que l’anneau est commutatif.

[<] Anneaux[>] Morphismes d'anneaux

Exercice 62 2237 Correction

Soit $d \in ℕ$ , on note

ℤ [\sqrt{d}] = {a + b \sqrt{d} | (a, b) \in ℤ^{2}} .

Montrer que $ℤ [\sqrt{d}]$ est un sous-anneau de $(ℝ, +, \times)$ .

Solution

$ℤ [\sqrt{d}] \subset ℝ$ , $1 \in ℤ [\sqrt{d}]$ .
Soient $x, y \in ℤ [\sqrt{d}]$ , on peut écrire $x = a + b \sqrt{d}$ et $y = a^{'} + b^{'} \sqrt{d}$ avec $a, b, a^{'}, b^{'} \in ℤ$ .
$x - y = (a - a^{'}) + (b - b^{'}) \sqrt{d}$ avec $a - a^{'}, b - b^{'} \in ℤ$ donc $x - y \in ℤ [\sqrt{d}]$ .
$x y = (a a^{'} + b b^{'} d) + (a b^{'} + a^{'} b) \sqrt{d}$ avec $a a^{'} + b b^{'} d, a b^{'} + a^{'} b \in ℤ$ donc $x y \in ℤ [\sqrt{d}]$ .
Ainsi $ℤ [\sqrt{d}]$ est un sous-anneau de $(ℝ, +, \times)$ .

Exercice 63 2232 Correction

On définit sur $ℤ^{2}$ deux lois de compositions internes notées + et $⋆$ par:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) et (a, b) ⋆ (c, d) = (a c, a d + b c) .

(a)

Montrer que $(ℤ^{2}, +, ⋆)$ est un anneau commutatif.
(b)

Montrer que $A = {(a,0) | a \in ℤ}$ est un sous-anneau de $(ℤ^{2}, +, ⋆)$ .

Solution

(a)

On vérifie aisément que $(ℤ^{2}, +)$ est un groupe commutatif.
Avec des notations entendues

$(a, b) ⋆ (c, d) = (a c, a d + b c) = (c, d) ⋆ (a, b) .$

La loi $⋆$ est donc commutative. De plus,

$((a, b) ⋆ (c, d)) ⋆ (e, f) = (a c, a d + b c) ⋆ (e, f) = (a c e, a c f + a d e + b c e) = (a, b) ⋆ ((c, d) ⋆ (e, f)) .$

La loi $⋆$ est donc associative.
Le couple $(1,0)$ est neutre pour la loi $⋆$ , car $(a, b) ⋆ (1,0) = (a, b)$
Enfin

$((a, b) + (c, d)) ⋆ (e, f) = (a + c, b + d) ⋆ (e, f) = (a e + c e, a f + c f + b e + d e)$

donc

$((a, b) + (c, d)) ⋆ (e, f) = (a e, a f + b e) + (c e, c f + d e) = (a, b) ⋆ (e, f) + (c, d) ⋆ (e, f)$

et la loi $⋆$ est distributive sur $+$ .

Finalement, $(ℤ^{2}, +, ⋆)$ est un anneau commutatif.
(b)

$A \subset ℤ^{2}$ , $(1,0) \in A$ .
Pour tout $(a,0), (b,0) \in A$ , on a

$(a,0) - (b,0) = (a - b,0) \in A$

et

$(a,0) ⋆ (b,0) = (a b,0) \in A$

$A$ est donc un sous-anneau de $(ℤ^{2}, +, ⋆)$ .

Exercice 64 4238

(L’anneau des entiers de Gauss)

On note

ℤ [i] = {a + i b | (a, b) \in ℤ^{2}} .

(a)

Montrer que $ℤ [i]$ est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication des nombres complexes.
(b)

Déterminer les éléments inversibles de l’anneau $ℤ [i]$ .
(c)

Soient $u$ et $v$ deux éléments de $ℤ [i]$ avec $v \neq 0$ . Montrer qu’il existe un couple $(q, r)$ d’éléments de $ℤ [i]$ tel que $u = q v + r$ et $| r | < | v |$ .
(d)

Vérifier que les idéaux de $ℤ [i]$ sont les $v ℤ [i] = {v w | w \in ℤ [i]}$ avec $v \in ℤ [i]$ .

Exercice 65 2238

L’ensemble des nombres décimaux est

𝔻 = {\frac{n}{10^{k}} | n \in ℤ, k \in ℕ} .

(a)

Montrer que $𝔻$ est un sous-anneau de $(ℚ, +, \times)$ .
(b)

Déterminer ses éléments inversibles.

Exercice 66 2240 Correction

Soit

A = {\frac{m}{n} | m \in ℤ et n \in ℕ^{*}, impair} .

(a)

Montrer que $A$ est un sous anneau de $(ℚ, +, \times)$ .
(b)

Quels en sont les éléments inversibles?

Solution

(a)

$A \subset ℚ$ , $1 \in A$ , $\forall x, y \in A, x - y \in A$ et $x y \in A$ : clair.
Par suite, $A$ est un sous anneau de $(ℚ, +, \times)$ .
(b)

$x \in A$ est inversible si, et seulement si, il existe $y \in A$ tel que $x y = 1$ .
$x = \frac{m}{n}, y = \frac{m^{'}}{n^{'}}$ avec $n, n^{'}$ impairs. $x y = 1 ⟹ m m^{'} = n n^{'}$ donc $m$ est impair et la réciproque est immédiate.
Ainsi,

$U (A) = {\frac{m}{n} | m \in ℤ, n \in ℕ^{*} impairs} .$

Exercice 67 2241 Correction

Soit

A = {\frac{m}{2^{n}} | m \in ℤ et n \in ℕ} .

(a)

Montrer que $A$ est un sous anneau de $(ℚ, +, \times)$ .
(b)

Quels en sont les éléments inversibles?

Solution

(a)

$A \subset ℚ$ , $1 \in A$ , $\forall x, y \in A, x - y \in A$ et $x y \in A$ : facile.
Ainsi $A$ est un sous anneau de $(ℚ, +, \times)$ .
(b)

$x \in A$ est inversible si, et seulement si, il existe $y \in A$ tel que $x y = 1$ .
Puisque l’on peut écrire $x = \frac{m}{2^{n}}, y = \frac{m^{'}}{2^{n^{'}}}$ avec $m, m^{'} \in ℤ$ et $n, n^{'} \in ℕ$ ,

$x y = 1 ⟹ m m^{'} = 2^{n + n^{'}} .$

Par suite, $m$ est, au signe près, une puissance de $2$ .
La réciproque est immédiate.

Finalement,

$U (A) = {\pm 2^{k} | k \in ℤ} .$

Exercice 68 128

(Description des sous-anneaux de $ℤ^{2}$ )

Pour $d \in ℕ$ , on note

A_{d} = {(x, y) \in ℤ^{2} | d divise y - x} .

(a)

Montrer que $A_{d}$ est un sous-anneau $(ℤ^{2}, +, \times)$ .

Inversement, soit $A$ un sous-anneau de $(ℤ^{2}, +, \times)$ .

(b)

Montrer qu’il existe $d \in ℕ$ tel que ${x \in ℤ | (x, 0) \in A} = d ℤ$ .
(c)

En déduire que $A = A_{d}$ .

Exercice 69 5807 Correction

On considère

ℤ [\sqrt{2}] = {a + b \sqrt{2} | a \in ℤ, b \in ℤ} .

(a)

Vérifier que $ℤ [\sqrt{2}]$ est un sous-anneau de $(ℝ, +, \times)$ .

Pour $x = a + b \sqrt{2}$ avec $a, b \in ℤ$ , on pose $N (x) = a^{2} - 2 b^{2}$ .

(b)

Montrer que $N (x y) = N (x) N (y)$ pour tous $x, y \in ℤ [\sqrt{2}]$ .

En déduire que si $x$ est un élément inversible de l’anneau $ℤ [\sqrt{2}]$ alors $N (x) = \pm 1$ .
(c)

Vérifier que les éléments $\pm {(1 \pm \sqrt{2})}^{n}$ avec $n \in ℕ$ sont inversibles dans $ℤ [\sqrt{2}]$ .

On souhaite établir qu’il n’y a pas d’autres éléments inversibles dans $ℤ [\sqrt{2}]$ que ceux qui viennent d’être proposés.

(d)

Soit $x = a + b \sqrt{2}$ avec $a \in ℕ^{*}$ et $b \in ℕ$ .

On suppose que $x$ est inversible. Montrer qu’il existe $n \in ℕ$ tel que $x = {(1 + \sqrt{2})}^{n}$ .
(e)

Conclure

Solution

(a)

$ℤ [\sqrt{2}]$ est une partie de $ℝ$ contenant $1 = 1 + 0 \cdot \sqrt{2}$ .

Soient $x = a + b \sqrt{2}$ et $y = c + d \sqrt{2}$ avec $a, b, c, d \in ℤ$ . On vérifie

$x - y$ $= (a - c) + (b - d) \sqrt{2} \in ℤ [\sqrt{2}]$

$x y$ $= (a c + 2 b d) + (a d + b c) \sqrt{2} \in ℤ [\sqrt{2}]$

$ℤ [\sqrt{2}]$ est donc un sous-anneau de l’anneau $(ℝ, +, \times)$ .
(b)

En reprenant les notations qui précèdent,

$N (x y) = {(a c + 2 b d)}^{2} - 2 {(a d + b c)}^{2} = a^{2} c^{2} + 4 b^{2} d^{2} - 2 (a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2})$

$N (x) N (y) = (a^{2} - 2 b^{2}) (c^{2} - 2 d^{2}) = a^{2} c^{2} - 2 (a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2}) + 4 b^{2} d^{2} .$

On vérifie donc $N (x y) = N (x) N (y)$ .

Au surplus, on observe $N (x) \in ℤ$ pour tout $x \in ℤ [\sqrt{2}]$ .

Si $x$ est un élément inversible de $ℤ [\sqrt{2}]$ et si $y$ est son inverse, alors $x y = 1$ donc $N (x y) = N (x) N (y) = 1$ . On en déduit $N (x) = \pm 1$ car $N (x), N (y) \in ℤ$ .
(c)

Soit $x = ε {(1 + ε^{'} \sqrt{2})}^{n}$ avec $ε, ε^{'} \in {1, - 1}$ et $n \in ℕ$ . Par produit dans $ℤ [\sqrt{2}]$ , on observe $x \in ℤ [\sqrt{2}]$ . Posons $y = ε {(- 1 + ε^{'} \sqrt{2})}^{n} \in ℤ [\sqrt{2}]$ . On a

$x y = ε^{2} {((1 + ε^{'} \sqrt{2}) (- 1 + ε^{'} \sqrt{2}))}^{n} = 1 \times {(- 1 + 2)}^{n} = 1 .$

Ainsi, $x$ est inversible (et $y$ est son inverse).
(d)

On remarque $x \geq 1$ . On peut alors introduire $n \in ℕ$ le plus grand entier naturel tel que ${(1 + \sqrt{2})}^{n} \leq x$ . On a donc

${(1 + \sqrt{2})}^{n} \leq x < {(1 + \sqrt{2})}^{n + 1} .$

En opérant dans $ℤ [\sqrt{2}]$ , on a encore

$1 \leq ξ = x {(1 + \sqrt{2})}^{- n} < 1 + \sqrt{2}$

avec $ξ = α + β \sqrt{2} \in ℤ [\sqrt{2}]$ . Aussi, $ξ$ est inversible et donc $N (ξ) = α^{2} - 2 β^{2} = \pm 1$ .

Cas: $α^{2} - 2 β^{2} = - 1$ . On a $2 β^{2} = α^{2} + 1$ donc $β \sqrt{2} = \pm \sqrt{α^{2} + 1}$ .

Si $β \sqrt{2} = \sqrt{α^{2} + 1}$ alors $ξ = α + \sqrt{α^{2} + 1}$ et nécessairement $α = 0$ pour que la contrainte $1 \leq ξ < 1 + \sqrt{2}$ soit vérifiée.

Si $β \sqrt{2} = - \sqrt{α^{2} + 1}$ alors $ξ = α - \sqrt{α^{2} + 1} < 0$ ce qui est exclu.

Cas: $α^{2} - 2 β^{2} = 1$ . On a $α^{2} = 2 β^{2} + 1$ donc $α = \pm \sqrt{2 β^{2} + 1}$ .

Si $α = \sqrt{2 β^{2} + 1}$ alors $ξ = \sqrt{2 β^{2} + 1} + \sqrt{2} β$ et nécessairement $β = 0$ pour que la contrainte $1 \leq ξ < 1 + \sqrt{2}$ soit vérifiée

Si $α = - \sqrt{2 β^{2} + 1}$ alors $ξ = - \sqrt{2 β^{2} + 1} + \sqrt{2} β < 0$ ce qui est exclu.

Finalement, $ξ = 1$ et donc $x = {(1 + \sqrt{2})}^{n}$ .
(e)

Soit $x = a + b \sqrt{2} \in ℤ [\sqrt{2}]$ un élément inversible. Son inverse est

$y = \frac{1}{a + b \sqrt{2}} = \frac{a - b \sqrt{2}}{a^{2} - 2 b^{2}} avec a^{2} - 2 b^{2} = \pm 1 .$

Quitte à remplacer $x$ par son inverse, on peut supposer $a$ et $b$ de même signe tout en conservant l’hypothèse $x$ inversible. Aussi, quitte à considérer $- x$ au lieu de $x$ , on peut supposer $a$ et $b$ positifs en maintenant encore l’hypothèse $x$ inversible. Cela ramène à la situation précédente (avec nécessairement $a \neq 0$ car la condition $- 2 b^{2} = \pm 1$ est impossible). On peut alors décrire $x$ sous la forme ${(1 + \sqrt{2})}^{n}$ avec $n \in ℕ$ puis par un éventuel passage à l’opposé et à l’inverse, retrouver la généralité des solutions précédemment proposées.

Exercice 70 3376 Correction

Un anneau $A$ est dit régulier si

\forall x \in A, \exists y \in A, x y x = x .

On considère un tel anneau $A$ et l’on introduit

Z = {x \in A | \forall a \in A, a x = x a} .

(a)

Montrer que $Z$ est un sous-anneau de $A$ .
(b)

Vérifier que $Z$ est régulier.

Solution

(a)

Immédiatement $Z \subset A$ et $1_{A} \in Z$ .
Soient $x, y \in Z$ . Pour tout $a \in A$

$a (x - y) = a x - a y = x a - y a = (x - y) a$

et

$a (x y) = x a y = x y a$

donc $x - y \in A$ et $x y \in A$ .
Ainsi, $Z$ est un sous-anneau de $A$ .
(b)

Soit $x \in Z$ . Il existe $y \in A$ tel que $x y x = x$ . La difficulté est de voir que l’on peut se ramener au cas où $y \in Z$ …Pour cela considérons l’élément $z = x y^{2}$ . On observe

$x z x = x^{3} y^{2} = x y x y x = x y x = x .$

Il reste à montrer $z \in Z$ . Posons $a \in A$ . L’élément $x^{3}$ commute avec $y^{2} a y^{2}$ et donc

$x^{3} y^{2} a y^{2} = y^{2} a y^{2} x^{3}$

ce qui donne

$x a y^{2} = y^{2} a x$

puis $a z = z a$ . On peut alors que conclure que l’anneau $Z$ est régulier au sens défini.

Exercice 71 3856

On se propose d’établir une correspondance bijective entre l’ensemble des sous-anneaux de l’anneau $(ℚ, +, \times)$ et l’ensemble $℘ (𝒫)$ des parties de l’ensemble $𝒫$ des nombres premiers. Pour $A$ un sous-anneau de $(ℚ, +, \times)$ , on note

𝒫_{A} = {p \in 𝒫 | \frac{1}{p} \in A} .

(a)

Soient $A$ et $B$ deux sous-anneaux de $(ℚ, +, \times)$ . Établir

$𝒫_{A} = 𝒫_{B} ⟹ A = B .$
(b)

Soit $P \subset 𝒫$ . Déterminer un sous-anneau $A$ de $(ℚ, +, \times)$ vérifiant $𝒫_{A} = P$ .

[<] Sous-anneaux[>] Corps

Exercice 72 127 Correction

Soit $a$ un élément d’un ensemble $X$ .
Montrer l’application $E_{a} : ℱ (X, ℝ) \to ℝ$ définie par $E_{a} (f) = f (a)$ est un morphisme d’anneaux.

Solution

$E_{a} (x \mapsto 1) = 1$ .
Pour tout $f, g \in ℱ (X, ℝ);$ ,

E_{a} (f + g) = (f + g) (a) = f (a) + g (a) = E_{a} (f) + E_{a} (g)

E_{a} (f g) = (f g) (a) = f (a) g (a) = E_{a} (f) E_{a} (g)

donc $E_{a}$ est un morphisme d’anneaux.

Exercice 73 126 Correction

Soit $f : ℂ \to ℂ$ un morphisme d’anneaux tel que

f (x) = x pour tout x \in ℝ .

Montrer que $f$ est l’identité ou la conjugaison complexe.

Solution

Posons $j = f (i)$ . On a $j^{2} = f {(i)}^{2} = f (i^{2}) = f (- 1) = - f (1) = - 1$ donc $j = \pm i$ .

Cas: $j = i$ . Pour tous $a, b \in ℝ$ , $f (a + i b) = f (a) + f (i) f (b) = a + i b$ donc $f = {Id}_{ℂ}$ .

Cas: $j = - i$ . Pour tous $a, b \in ℝ$ , $f (a + i b) = f (a) + f (i) f (b) = a - i b$ donc $f : z \mapsto \bar{z}$ .

Exercice 74 4232

Soit $a$ un élément inversible d’un anneau $(A, +, \times)$ .

Vérifier que l’application $f : x \mapsto a x a^{- 1}$ est un isomorphisme de l’anneau $A$ vers lui-même¹¹ 1 On peut parler d’automorphisme de l’anneau $A$ ..

Exercice 75 132 Correction

Soient $K$ , $L$ deux corps et $f$ un morphisme d’anneaux entre $K$ et $L$ .

(a)

Montrer que $f (x)$ est inversible pour tout $x \in K$ non nul et déterminer $f {(x)}^{- 1}$ .
(b)

En déduire que tout morphisme de corps est injectif.

Solution

(a)

Pour $x \in K ∖ {0}$ ,

$f (x) . f (x^{- 1}) = f (x . x^{- 1}) = f (1_{K}) = 1_{L} .$

L’élément $f (x)$ est donc inversible et $f {(x)}^{- 1} = f (x^{- 1})$ .
(b)

Si $f (x) = f (y)$ alors $f (x) - f (y) = f (x - y) = 0_{L}$ . Or $0_{L}$ n’est pas inversible donc $x - y = 0_{K}$ c’est-à-dire $x = y$ .

Ainsi, le morphisme $f$ est injectif.

[<] Morphismes d'anneaux

Exercice 76 2244

Soit $α \in ℕ$ tel que $\sqrt{α} \notin ℚ$ , on note

ℚ [\sqrt{α}] = {a + b \sqrt{α} | a, b \in ℚ} .

Montrer que $ℚ [\sqrt{α}]$ est un corps pour les opérations usuelles.

Exercice 77 2243 Correction

Pour $a, b \in ℝ$ , on pose

a ⊤ b = a + b - 1 et a ⋆ b = a b - a - b + 2 .

Montrer que $(ℝ, ⊤, ⋆)$ est un corps.

Solution

Soit $φ : ℝ \to ℝ$ définie par $φ : x \mapsto x - 1$ . $φ$ est une bijection et l’on vérifie

φ (a ⊤ b) = φ (a) + φ (b) et φ (a ⋆ b) = φ (a) \times φ (b) .

Par la bijection $φ^{- 1}$ , la structure de corps sur $(ℝ, +, \times)$ est transportée sur $(ℝ, ⊤, ⋆)$ .

Notamment, les neutres de $(ℝ, ⊤, ⋆)$ sont $1$ et $2$ .

Exercice 78 2246 Correction

Quels sont les sous-corps de $(ℚ, +, \times)$ ?

Solution

Analyse: Soit $F$ un sous-corps de $(ℚ, +, \times)$ .

$0$ et $1$ sont éléments de $F$ .

Par récurrence et par stabilité par addition, on obtient

\forall n \in ℕ, n \in F .

Par stabilité par passage à l’opposée, on a encore

\forall p \in ℤ, p \in F .

Par stabilité passage à l’inverse,

\forall q \in ℕ^{*}, 1 / q \in F .

Enfin, par stabilité par produit,

\forall r = p / q \in ℚ, r \in F .

Ainsi, $F = ℚ$ .

Synthèse: Évidemment, $ℚ$ est un sous-corps de $(ℚ, +, \times)$ .

Le corps $(ℚ, +, \times)$ ne possède donc qu’un seul sous-corps, à savoir $ℚ$ .

Édité le 24-01-2025

	$y = f (x)$	$\Leftrightarrow y = a ⋆ x$
		$\Leftrightarrow x = a^{- 1} ⋆ y .$

	$x ⋆ y \in I$	$\Leftrightarrow x y + c (x + y) + c^{2} > 0 et x y - c (x + y) + c^{2} > 0$
		$\Leftrightarrow (x + c) (y + c) > 0 et (x - c) (y - c) > 0 .$

	$x - y$	$= (a - c) + (b - d) \sqrt{2} \in ℤ [\sqrt{2}]$
	$x y$	$= (a c + 2 b d) + (a d + b c) \sqrt{2} \in ℤ [\sqrt{2}]$

	$N (x y) = {(a c + 2 b d)}^{2} - 2 {(a d + b c)}^{2} = a^{2} c^{2} + 4 b^{2} d^{2} - 2 (a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2})$
	$N (x) N (y) = (a^{2} - 2 b^{2}) (c^{2} - 2 d^{2}) = a^{2} c^{2} - 2 (a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2}) + 4 b^{2} d^{2} .$