[>] Éléments remarquables d'une structure
On définit une loi de composition interne sur par
Quelles en sont les propriétés? Possède-t-elle un élément neutre? Y a-t-il des éléments réguliers?
Solution
Pour tous ,
La loi est commutative.
Pour tous ,
La loi est associative.
Il n’y a donc pas de neutre.
Tout élément est régulier.
On note et, pour , on pose
Vérifier que définit une loi de composition interne sur .
Étudier la commutativité et l’associativité de la loi .
Existe-t-il un élément neutre?
Quels sont les éléments symétrisables?
Soit . Vérifier que est une partie de stable pour la loi .
Soit une loi de composition interne sur .
Pour , on pose
Étudier les propriétés de sur (commutativité, associativité, existence d’un neutre) conservées par sur .
La loi est-elle distributive sur l’union, sur l’intersection?
Solution
est bien une loi de composition interne sur .
Si est commutative sur , elle l’est aussi sur .
Si est associative sur , elle l’est aussi sur .
Si possède un neutre dans , alors possède un neutre dans à savoir car
La loi est distributive sur l’union
En revanche, la distributivité sur l’intersection est fausse. On obtient un contre exemple dans avec , , et où
alors que
Soit une loi de composition interne associative sur .
On suppose qu’il existe tel que l’application définie par soit surjective et l’on note un antécédent de par .
Montrer que et sont neutres resp. à gauche et à droite puis que .
Montrer que est symétrisable et bijective.
Solution
Par la surjectivité de , il existe tel que .
Pour tout , il existe tel que l’on peut écrire .
Pour , .
Pour , .
.
Puisque , est symétrisable et .
De plus, est clairement application réciproque de .
Soit une loi de composition interne associative sur . On suppose qu’il existe tel que . Montrer que la loi possède un neutre et que l’élément est symétrisable.
Solution
Méthode: On introduit tel que .
Considérons et qui semblent candidats pour déterminer des neutres pour la loi . Vérifions que et sont respectivement neutre à gauche et neutre à droite pour la loi . Soit . On peut écrire pour un certain . On a alors
Un calcul analogue permet de vérifier . Comme déjà vu dans le sujet 4594, le calcul de assure que les deux éléments et sont égaux et l’on peut affirmer que possède un neutre. Au surplus, les identités et permettent d’affirmer que est symétrisable de symétrique .
Soit un ensemble muni d’une loi associative possédant un neutre .
Montrer que, si et sont deux éléments de tels que les composés et sont symétrisables, alors et sont symétrisables.
Soit un ensemble muni d’une loi associative. On suppose qu’il existe telle que, pour tout , il est possible d’écrire avec .
Montrer que possède un neutre et que est symétrisable.
Soient une loi de composition interne associative sur un ensemble fini et un élément régulier de . Montrer que possède un neutre.
Solution
Considérons l’application définie par .
Puisque est infini et que l’ensemble est fini, l’application n’est pas injective et donc il existe tels que c’est-à-dire
Pour tout .
Puisque est régulier, on obtient
De même, et donc est neutre.
[<] Lois de composition interne[>] Groupes
Soit un ensemble muni d’une loi . On dit qu’un élément est neutre à gauche (resp. à droite) lorsque (resp. ) pour tout de .
Montrer que si la loi possède un neutre à gauche et un neutre à droite, elle possède un élément neutre.
Soit un ensemble muni d’une loi associative possédant un élément neutre .
Montrer qu’un élément de est symétrisable si, et seulement si, l’application définie par est bijective.
Soit une loi associative sur un ensemble . Un élément de est dit idempotent si, et seulement si, .
Montrer que si et sont idempotents et commutent, alors est idempotent.
Montrer que si est idempotent et inversible, alors est idempotent.
Solution
On a
On a
Soit un ensemble et .
Montrer que est un élément régulier de si, et seulement si, est bijective.
Solution
Supposons est bijective.
Soient . Si alors puis .
De même, et donc est un élément régulier.
Supposons que est un élément régulier.
Soient . Si alors avec et les fonctions constantes égales à et .
Par la régularité de , on obtient et donc .
Si est un singleton alors est nécessairement surjective.
Sinon, on peut construire deux fonctions et telle que
On a donc, par la régularité de , d’où puis surjective.
Soit une loi associative sur un ensemble fini. On suppose que la loi possède un neutre .
Montrer que tout élément régulier de est inversible.
Solution
Soit un élément régulier.
Considérons l’application définie par .
L’application est injective.
est fini donc est bijective et par suite surjective d’où l’existence de tel que .
et donc par l’injectivité de : .
Finalement, est inversible.
On peut aussi partir de définie par qui n’est pas injective.
Soit un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne associative .
Montrer qu’il existe un élément dans vérifiant .
[<] Éléments remarquables d'une structure[>] Sous-groupes
Soit un groupe de neutre . On suppose11 1 désigne . pour tout . Montrer que le groupe est commutatif.
Soient et deux éléments d’un groupe noté multiplicativement11 1 Dans un groupe multiplicatif, la loi est notée ou et le neutre noté ..
Montrer
Soit une loi de composition interne associative sur un ensemble fini non vide.
On suppose que tous les éléments de sont réguliers. Montrer que est un groupe.
Solution
La loi est déjà associative. Montrons qu’elle est possède un neutre. Soit un élément de . La suite des avec
ne peut être formé d’éléments deux à deux distincts car est un ensemble fini. Il existe donc vérifiant
Posons alors et vérifions que est neutre pour la loi . Soit . On a et donc . Par régularité de , on obtient . On montre de même .
Il reste maintenant à vérifier que tout élément est inversible.
Considérons l’application définie par .
est régulier donc l’application est injective.
est fini donc est bijective et par suite surjective d’où l’existence d’un tel que .
et donc par l’injectivité de : .
Finalement, est inversible et est un groupe.
(Transport de loi)
Soient un groupe et une application bijective au départ de et à valeurs dans un ensemble . On définit une loi de composition interne sur en posant
Montrer que est un groupe.
Soit un élément d’un groupe .
Établir que l’application définit une permutation de .
Application : Montrer que la somme des éléments d’un sous-groupe fini de est nulle ou égale à .
Solution
L’application
est correctement définie. Pour ,
Ainsi, pour tout , l’équation d’inconnue possède une unique solution dans : l’application est bijective.
Soit un sous-groupe de fini de .
Si , la somme des éléments de vaut . Sinon, il existe tel que . Considérons à nouveau l’application de la question précédente. Par permutation des termes d’une somme,
Cela donne
Or et donc nécessairement
On note et, pour , on pose
Montrer que la loi munit d’une structure de groupe abélien11 1 C’est-à-dire de groupe commutatif..
(Addition des vitesses en théorie de la relativité)
Soit ( correspond à la vitesse –ou célérité– de la lumière) et .
Montrer
Montrer que la loi munit d’une structure de groupe abélien.
Cette loi correspond à l’addition des vitesses portées par un même axe en théorie de la relativité.
Solution
Pour ,
Par suite,
La loi est clairement commutative. La loi est associative puisque
est élément neutre pour la structure car
Enfin,
et tout élément de est donc symétrisable dans .
Finalement, est un groupe abélien.
Soient et la loi de composition interne définie sur par
Observer que la loi n’est pas commutative.
Montrer que est un groupe dont on précisera l’élément neutre.
Vérifier que est un sous-groupe de .
Soient et . À partir de points et donnés, on construit le point par les conditions:
les droites et sont parallèles;
.
On construit le point par les conditions:
les droites et sont parallèles;
.
Enfin, on définit le point tel que le quadrilatère soit un parallélogramme. On pose alors
Démontrer
Démontrer que la loi est associative, admet un élément neutre et que, si , le point admet un inverse.
On définit une suite de points par la donnée de , de et de la relation de récurrence
Déterminer en fonction de et de .
Solution
On a
(en considérant que les cas singuliers sont les prolongements du cas général).
On en déduit
Avec des notations immédiates
et l’on vérifie bien l’associativité de la loi .
On remarque que
donc est élément neutre de la loi .
Enfin, si , pour
on observe
et l’on peut donc affirmer que est inversible d’inverse .
On a
et l’on peut affirmer qu’il est possible d’écrire sous la forme
avec
Les suites et sont récurrentes linéaires d’ordre d’équation caractéristique de racines
On obtient après calculs
(Équation de Pell-Fermat)
On s’intéresse à l’équation d’inconnue .
Pour la résoudre, on étudie l’ensemble
Pour et dans , on pose
Montrer que munit d’une structure de groupe dont on précisera le neutre .
Pour , on pose .
On introduit . Montrer
Vérifier que, pour tout et tout ,
(1) |
En déduire que les éléments de sont les avec .
[<] Groupes[>] Morphismes de groupes
Soit . On considère l’ensemble des racines -ièmes de l’unité.
Montrer que muni de la multiplication des nombres complexes est un groupe.
Soit un élément d’un ensemble . On considère l’ensemble des permutations de fixant .
Montrer que muni du produit de composition des applications est un groupe.
Soient et deux réels.
Montrer que est un sous-groupe de .
Soient et .
Montrer que est un sous groupe de .
Solution
, .
Soient . On peut écrire et avec et alors
avec et donc .
Ainsi est un sous groupe de .
Soient et .
Montrer que est un sous groupe de .
Solution
, .
Soient , on peut écrire et avec . On a alors
avec donc .
Ainsi est un sous groupe de .
Montrer que
est un groupe multiplicatif.
Montrer que est un sous-groupe de .
Montrer que
est un sous-groupe de .
Solution
est une partie du groupe et .
Soient . On peut écrire
et l’on a
On observe et car
Enfin,
avec
Ainsi, et , est un sous-groupe de .
Soit définie par avec .
Montrer que est un groupe.
Solution
Notons
et montrons que est un sous-groupe du groupe des permutations de .
La permutation est élément de car .
Pour tout et tout ,
On en déduit que est une bijection de vers et . Ainsi, et
Enfin,
donc . Ainsi,
On peut conclure que est un sous-groupe de et donc est un groupe.
On appelle centre d’un groupe l’ensemble
Montrer que est un sous-groupe de .
Soit une partie finie non vide d’un groupe .
On suppose que est stable pour la loi . Montrer que est un sous-groupe de .
Soient un groupe, un sous groupe de et .
Montrer que est un sous groupe de .
À quelle condition simple est un sous groupe de ?
Solution
, .
Soient avec on a
. Inversement
La condition simple cherchée est .
Soit et deux sous-groupes d’un groupe tels que en soit aussi un sous-groupe. Montrer que ou .
Solution
Par l’absurde supposons
Il existe tel que et tel que .
On a donc car sous-groupe.
Si alors car sous-groupe. Or cela est exclu.
Si alors car sous-groupe. Or cela est exclu.
Ainsi . Absurde.
Soient et deux sous-groupes d’un groupe noté multiplicativement. On forme
Établir que est un sous-groupe de si, et seulement si, et qu’alors .
(Description des sous-groupes de )
Pour , on note .
Montrer que est un sous-groupe de .
On se propose de montrer que, réciproquement, tout sous groupe de est de cette forme.
Vérifier que le groupe est de la forme voulue.
Soit un sous-groupe de non réduit à .
Montrer que possède un plus petit élément. On note .
Établir que .
En étudiant le reste de la division euclidienne d’un élément de par montrer que .
Conclure que pour tout sous-groupe de , il existe un unique tel que .
Solution
, .
Soient , on peut écrire et avec .
avec donc .
Ainsi est un sous-groupe de .
Pour , .
Puisque est non vide et non réduit à , il existe tel que .
Si alors , si alors (car sous-groupe) et donc .
Dans les deux cas .
est une partie non vide de donc possède un plus petit élément.
et .
Par récurrence, la stabilité de donne
Par passage à l’opposé, la stabilité de par passage au symétrique donne
Ainsi .
Soit . La division euclidienne de par donne avec et .
On a avec et donc .
Si alors or donc cela est impossible.
Il reste ce qui donne . Ainsi et finalement .
L’existence est établie ci-dessus. Il reste à montrer l’unicité.
Soit tel que . On a donc et de même , or donc .
[<] Sous-groupes[>] Groupe de cardinal fini
Justifier que est un morphisme du groupe vers .
En déterminer image et noyau.
Solution
On sait
donc est un morphisme de groupes.
On sait
donc
La fonction exponentielle complexe prend toutes les valeurs de donc
Soient et définie par .
Montrer que est un morphisme du groupe vers lui-même.
Déterminer l’image et le noyau de ce morphisme.
Solution
Pour , on a bien . Pour
donc est un morphisme de vers lui-même.
Par définition,
Si est pair alors
Si est impair alors
(Morphisme de conjugaison)
Soit un groupe noté multiplicativement. Pour , on note l’application de vers définie par .
Montrer que est un morphisme du groupe vers lui-même.
Vérifier pour tous et dans .
Montrer que est bijective et exprimer son application réciproque.
En déduire que muni du produit de composition est un groupe.
On appelle automorphisme d’un groupe , tout morphisme bijectif du groupe vers lui-même.
Montrer que l’ensemble des automorphismes d’un groupe est un groupe pour le produit de composition des applications.
Solution
On vérifie que est un sous-groupe du groupe des permutations de .
est une partie de .
La permutation identité est élément de .
Soient . Par composition, l’application est bijective. C’est aussi un morphisme du groupe car
Ainsi, .
Soit . On peut introduire la bijection réciproque et l’on sait que celle-ci est bijective. C’est aussi un morphisme du groupe car
et donc
Ainsi, .
Finalement, est un sous-groupe du groupe , c’est donc un groupe pour la loi .
Déterminer tous les morphismes de groupes de vers .
Solution
L’application identiquement nulle est un morphisme de groupes de vers . Montrons qu’il n’en existe pas d’autres.
Par l’absurde, considérons un morphisme de groupes additifs non identiquement nul. Il existe tel que . Considérons alors . Puisque l’image d’un itéré additif par un morphisme de groupes est l’itéré de l’image, il vient
On en déduit . C’est absurde car est à valeurs dans .
Soient , deux groupes et un morphisme de groupes.
Montrer que pour tout sous-groupe de , est un sous-groupe de .
Montrer que pour tout sous-groupe de , est un sous-groupe de .
Solution
, car .
Soient , on peut écrire et avec .
avec donc . Ainsi, est un sous-groupe de .
et car .
Soient . On a .
donc . Ainsi, est un sous-groupe de .
On note l’ensemble des isomorphismes d’un groupe dans lui-même.
Montrer que est un sous-groupe du groupe des permutations .
Solution
et .
Pour tout , on a et par les propriétés sur les automorphismes.
Ainsi est un sous-groupe de .
Soient un groupe et .
On définit une loi de composition interne sur par .
Montrer que est un groupe.
Soient un sous groupe de et .
Montrer que est un sous groupe de .
Montrer que est un isomorphisme de vers .
Solution
Pour ,
L’élément est neutre pour la loi . En effet, pour , on a
Soit . Posons . On a
, donc .
Soient . On a
Pour ,
est un morphisme de groupe et il est bijectif d’application réciproque .
Soit un morphisme non constant d’un groupe fini vers .
Calculer
[<] Morphismes de groupes[>] Anneaux
Soit un groupe à éléments.
Justifier que sa table de composition est un carré latin c’est à dire que tout élément de figure une fois et une seule dans chaque ligne et dans chaque colonne.
Solution
Si un élément figure deux fois dans une même ligne correspondant aux valeurs de composition avec , c’est qu’il existe tel que .
Or tout élément d’un groupe est régulier, ce cas de figure ci-dessus est donc impossible.
Comme le groupe à élément, qu’il y a cases sur chaque ligne et que chaque ligne ne peut contenir deux fois le même élément, chaque ligne contient chaque élément de une fois et une seule.
On raisonne de même avec les colonnes.
On considère les applications de dans lui-même définies par:
Démontrer que ce sont des permutations de .
Construire la table donnant la composée de deux éléments quelconques de l’ensemble .
Montrer que muni de la composition des applications est un groupe non commutatif.
Solution
Il est clair que , et sont des permutations de .
donc et donc .
De même, et
est un sous groupe de car contient , est stable par composition et par passage à l’inverse.
De plus, ce groupe n’est pas commutatif car .
On dit qu’un élément d’un ensemble muni d’une loi est régulier lorsque, pour tout ,
Montrer que tous les éléments d’un groupe sont réguliers.
Soit un ensemble fini muni d’une loi associative pour laquelle il existe un élément régulier. Montrer que la loi possède un élément neutre.
Soit un ensemble fini non vide muni d’une loi associative pour laquelle tous les éléments sont réguliers. Montrer que est un groupe.
Soit un élément d’un groupe .
Établir que l’application est une permutation de .
Application : Montrer que la somme des éléments d’un sous-groupe fini de est nulle ou égale à .
Solution
Méthode: Une permutation de est une application bijective de vers . On vérifie que l’équation possède une unique solution dans et ce pour tout .
Soit . On a
L’équation possède donc une unique solution dans : l’application est une permutation de .
Soit un sous-groupe fini de . En notant , on peut énumérer les éléments de et écrire
avec deux à deux distincts.
Cas: . La somme des éléments de vaut .
Cas: . On peut introduire avec . Par le résultat précédent, on peut écrire
ce qui propose une nouvelle énumération des éléments de . On peut alors calculer la somme des éléments de en suivant l’une ou l’autre des énumérations, le résultat du calcul ne dépendra pas de l’ordre des éléments car l’addition est commutative
En factorisant ,
et, sachant ,
Soit un groupe possédant éléments. Montrer que est commutatif.
Soit un groupe noté multiplicativement possédant un nombre pair d’éléments.
Montrer qu’il existe tel que et .
Soit un groupe possédant éléments avec .
On suppose qu’il existe deux sous-groupes et possédant chacun éléments et vérifiant . Montrer .
Soit un groupe fini dans lequel pour tout .
Soient un sous-groupe strict11 1 Un sous-groupe strict est un sous-groupe différent du groupe. de et un élément de .
Montrer que avec est un sous-groupe de .
Avec les notations qui précèdent, donner le cardinal de en fonction de celui de .
En déduire que le cardinal de est une puissance de .
(Conjugaison dans un groupe)
Soit un groupe fini noté multiplicativement.
On appelle normalisateur de , l’ensemble . Montrer que est un sous-groupe de .
Montrer que l’on définit une relation d’équivalence sur en posant
On note la classe d’équivalence d’un élément pour la relation . Montrer
Application : On suppose que est de cardinal avec premier et . Montrer que son centre11 1 Voir le sujet 2212. n’est pas réduit à .
[<] Groupe de cardinal fini[>] Sous-anneaux
Soit un ensemble. On définit la différence symétrique11 1 Voir le sujet 4479. de deux parties et de par la relation .
Montrer que est un anneau commutatif.
(Anneau de Boole)
Soit un anneau de Boole11 1 L’anneau étudié dans le sujet 4598 est un exemple non trivial d’anneau de Boole., c’est-à-dire une anneau dans lequel pour tout .
Montrer que pour tout . En déduire que est un anneau commutatif.
Montrer que l’on définit une relation d’ordre sur en posant
(Nilpotence)
On dit qu’un élément d’un anneau est nilpotent lorsqu’il existe vérifiant . Soient et deux éléments de l’anneau .
Montrer que si est nilpotent et que et commutent, alors est nilpotent.
Montrer que si est nilpotent, alors l’est aussi.
Montrer que si et sont nilpotents et commutent, alors est nilpotent.
Montrer que si est nilpotent alors est inversible et préciser son inverse.
Soient et deux éléments d’un anneau . Montrer que si est inversible alors l’est aussi.
Soit un anneau vérifiant pour tous et dans . Montrer que l’anneau est commutatif.
[<] Anneaux[>] Morphismes d'anneaux
Soit , on note
Montrer que est un sous-anneau de .
Solution
, .
Soient , on peut écrire et avec .
avec donc .
avec donc .
Ainsi est un sous-anneau de .
On définit sur deux lois de compositions internes notées + et par:
Montrer que est un anneau commutatif.
Montrer que est un sous-anneau de .
Solution
On vérifie aisément que est un groupe commutatif.
Avec des notations entendues
La loi est donc commutative. De plus,
La loi est donc associative.
Le couple est neutre pour la loi , car
Enfin
donc
et la loi est distributive sur .
Finalement, est un anneau commutatif.
, .
Pour tout , on a
et
est donc un sous-anneau de .
(L’anneau des entiers de Gauss)
On note
Montrer que est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication des nombres complexes.
Déterminer les éléments inversibles de l’anneau .
Soient et deux éléments de avec . Montrer qu’il existe un couple d’éléments de tel que et .
Vérifier que les idéaux de sont les avec .
L’ensemble des nombres décimaux est
Montrer que est un sous-anneau de .
Déterminer ses éléments inversibles.
Soit
Montrer que est un sous anneau de .
Quels en sont les éléments inversibles?
Solution
, , et : clair.
Par suite, est un sous anneau de .
est inversible si, et seulement si, il existe tel que .
avec impairs. donc est impair et la réciproque est immédiate.
Ainsi,
Soit
Montrer que est un sous anneau de .
Quels en sont les éléments inversibles?
Solution
, , et : facile.
Ainsi est un sous anneau de .
est inversible si, et seulement si, il existe tel que .
Puisque l’on peut écrire avec et ,
Par suite, est, au signe près, une puissance de .
La réciproque est immédiate.
Finalement,
(Description des sous-anneaux de )
Pour , on note
Montrer que est un sous-anneau .
Inversement, soit un sous-anneau de .
Montrer qu’il existe tel que .
En déduire que .
On considère
Vérifier que est un sous-anneau de .
Pour avec , on pose .
Montrer que pour tous .
En déduire que si est un élément inversible de l’anneau alors .
Vérifier que les éléments avec sont inversibles dans .
On souhaite établir qu’il n’y a pas d’autres éléments inversibles dans que ceux qui viennent d’être proposés.
Soit avec et .
On suppose que est inversible. Montrer qu’il existe tel que .
Conclure
Solution
est une partie de contenant .
Soient et avec . On vérifie
est donc un sous-anneau de l’anneau .
En reprenant les notations qui précèdent,
On vérifie donc .
Au surplus, on observe pour tout .
Si est un élément inversible de et si est son inverse, alors donc . On en déduit car .
Soit avec et . Par produit dans , on observe . Posons . On a
Ainsi, est inversible (et est son inverse).
On remarque . On peut alors introduire le plus grand entier naturel tel que . On a donc
En opérant dans , on a encore
avec . Aussi, est inversible et donc .
Cas: . On a donc .
Si alors et nécessairement pour que la contrainte soit vérifiée.
Si alors ce qui est exclu.
Cas: . On a donc .
Si alors et nécessairement pour que la contrainte soit vérifiée
Si alors ce qui est exclu.
Finalement, et donc .
Soit un élément inversible. Son inverse est
Quitte à remplacer par son inverse, on peut supposer et de même signe tout en conservant l’hypothèse inversible. Aussi, quitte à considérer au lieu de , on peut supposer et positifs en maintenant encore l’hypothèse inversible. Cela ramène à la situation précédente (avec nécessairement car la condition est impossible). On peut alors décrire sous la forme avec puis par un éventuel passage à l’opposé et à l’inverse, retrouver la généralité des solutions précédemment proposées.
Un anneau est dit régulier si
On considère un tel anneau et l’on introduit
Montrer que est un sous-anneau de .
Vérifier que est régulier.
Solution
Immédiatement et .
Soient . Pour tout
et
donc et .
Ainsi, est un sous-anneau de .
Soit . Il existe tel que . La difficulté est de voir que l’on peut se ramener au cas où …Pour cela considérons l’élément . On observe
Il reste à montrer . Posons . L’élément commute avec et donc
ce qui donne
puis . On peut alors que conclure que l’anneau est régulier au sens défini.
On se propose d’établir une correspondance bijective entre l’ensemble des sous-anneaux de l’anneau et l’ensemble des parties de l’ensemble des nombres premiers. Pour un sous-anneau de , on note
Soient et deux sous-anneaux de . Établir
Soit . Déterminer un sous-anneau de vérifiant .
Soit un élément d’un ensemble .
Montrer l’application définie par est un morphisme d’anneaux.
Solution
.
Pour tout ,
et
donc est un morphisme d’anneaux.
Soit un morphisme d’anneaux tel que
Montrer que est l’identité ou la conjugaison complexe.
Solution
Posons . On a donc .
Cas: . Pour tous , donc .
Cas: . Pour tous , donc .
Soit un élément inversible d’un anneau .
Vérifier que l’application est un isomorphisme de l’anneau vers lui-même11 1 On peut parler d’automorphisme de l’anneau ..
Soient , deux corps et un morphisme d’anneaux entre et .
Montrer que est inversible pour tout non nul et déterminer .
En déduire que tout morphisme de corps est injectif.
Solution
Pour ,
L’élément est donc inversible et .
Si alors . Or n’est pas inversible donc c’est-à-dire .
Ainsi, le morphisme est injectif.
Soit tel que , on note
Montrer que est un corps pour les opérations usuelles.
Pour , on pose
Montrer que est un corps.
Solution
Soit définie par . est une bijection et l’on vérifie
Par la bijection , la structure de corps sur est transportée sur .
Notamment, les neutres de sont et .
Quels sont les sous-corps de ?
Solution
Analyse: Soit un sous-corps de .
et sont éléments de .
Par récurrence et par stabilité par addition, on obtient
Par stabilité par passage à l’opposée, on a encore
Par stabilité passage à l’inverse,
Enfin, par stabilité par produit,
Ainsi, .
Synthèse: Évidemment, est un sous-corps de .
Le corps ne possède donc qu’un seul sous-corps, à savoir .
Édité le 24-01-2025
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