[>] Éléments remarquables d'une structure

 
Exercice 1  2190  Correction  

On définit une loi de composition interne sur par

(a,b)2,ab=ln(ea+eb).

Quelles en sont les propriétés? Possède-t-elle un élément neutre? Y a-t-il des éléments réguliers?

Solution

Pour tous a,b,

ba=ln(eb+ea)=ln(ea+eb)=ab.

La loi est commutative.

Pour tous a,b,c,

(ab)c=ln(eab+ec)=ln(ea+eb+ec)=a(bc).

La loi est associative.

aε=aln(ea+eε)=aeε=0.

Il n’y a donc pas de neutre.

ab=acln(ea+eb)=ln(ea+ec)eb=ecb=c.

Tout élément est régulier.

 
Exercice 2  2191  

On note E=[0;1] et, pour x,yE, on pose

xy=x+y-xy.
  • (a)

    Vérifier que définit une loi de composition interne sur E.

  • (b)

    Étudier la commutativité et l’associativité de la loi .

  • (c)

    Existe-t-il un élément neutre?

  • (d)

    Quels sont les éléments symétrisables?

  • (e)

    Soit α[0;1]. Vérifier que A=[α;1] est une partie de E stable pour la loi .

 
Exercice 3  2192   Correction  

Soit une loi de composition interne sur E.

Pour A,B𝒫(E), on pose

AB={ab|aA,bB}.
  • (a)

    Étudier les propriétés de sur E (commutativité, associativité, existence d’un neutre) conservées par sur 𝒫(E).

  • (b)

    La loi est-elle distributive sur l’union, sur l’intersection?

Solution

  • (a)

    est bien une loi de composition interne sur 𝒫(E).

    Si est commutative sur E, elle l’est aussi sur 𝒫(E).

    Si est associative sur E, elle l’est aussi sur 𝒫(E).

    Si possède un neutre e dans E, alors possède un neutre dans 𝒫(E) à savoir {e} car

    A{e}={ae|aA}=A.
  • (b)

    La loi est distributive sur l’union

    A(BC)={ax|aA,xBC}=(AB)(AC).

    En revanche, la distributivité sur l’intersection est fausse. On obtient un contre exemple dans avec =+, A={1,-1}, B={1} et C={-1}

    ABC=A=

    alors que

    (AB)AC={2,0}{-2,0}={0}.
 
Exercice 4  2197   Correction  

Soit une loi de composition interne associative sur E.
On suppose qu’il existe aE tel que l’application f:EE définie par f(x)=axa soit surjective et l’on note b un antécédent de a par f.

  • (a)

    Montrer que e=ab et e=ba sont neutres resp. à gauche et à droite puis que e=e.

  • (b)

    Montrer que a est symétrisable et f bijective.

Solution

Par la surjectivité de f, il existe bE tel que aba=a.

  • (a)

    ab=aaca
    Pour tout xE, il existe αE tel que l’on peut écrire x=aαa.
    Pour e=ab, ex=abaαa=aαa=x.
    Pour e=ba, xe=xba=aαaba=aαa.
    ee=e=e.

  • (b)

    Puisque ab=ba=e, a est symétrisable et sym(a)=b.
    De plus, g:xbxb est clairement application réciproque de f.

 
Exercice 5  4198   Correction  

Soit une loi de composition interne associative sur E. On suppose qu’il existe aE tel que E={axa|xE}. Montrer que la loi possède un neutre et que l’élément a est symétrisable.

Solution

Méthode: On introduit bE tel que aba=a.

Considérons e=ab et e=ba qui semblent candidats pour déterminer des neutres pour la loi . Vérifions que e et e sont respectivement neutre à gauche et neutre à droite pour la loi . Soit xE. On peut écrire x=aya pour un certain yE. On a alors

ex=(ab)(aya)=(aba)ya=aya=x.

Un calcul analogue permet de vérifier xe=x. Comme déjà vu dans le sujet 4594, le calcul de ee assure que les deux éléments e et e sont égaux et l’on peut affirmer que possède un neutre. Au surplus, les identités ab=e et ba=e=e permettent d’affirmer que a est symétrisable de symétrique b.

 
Exercice 6  4595   

Soit E un ensemble muni d’une loi associative possédant un neutre e.

Montrer que, si x et y sont deux éléments de E tels que les composés xy et yx sont symétrisables, alors x et y sont symétrisables.

 
Exercice 7  4599   

Soit E un ensemble muni d’une loi associative. On suppose qu’il existe aE telle que, pour tout xE, il est possible d’écrire x=ay=za avec (y,z)E2.

Montrer que (E,) possède un neutre et que a est symétrisable.

 
Exercice 8  2198    Correction  

Soient une loi de composition interne associative sur un ensemble fini E et x un élément régulier de E. Montrer que E possède un neutre.

Solution

Considérons l’application f:E définie par f(n)=xn.
Puisque N est infini et que l’ensemble E est fini, l’application f n’est pas injective et donc il existe p>q tels que f(p)=f(q) c’est-à-dire

xp=xq.

Pour tout yE.

xpy=xqy.

Puisque x est régulier, on obtient

x(p-q)y=y.

De même, yx(p-q)=y et donc e=x(p-q) est neutre.

[<] Lois de composition interne[>] Groupes

 
Exercice 9  4594  

Soit E un ensemble muni d’une loi . On dit qu’un élément e est neutre à gauche (resp. à droite) lorsque ex=x (resp. xe=x) pour tout x de E.

Montrer que si la loi possède un neutre à gauche et un neutre à droite, elle possède un élément neutre.

 
Exercice 10  2194  

Soit E un ensemble muni d’une loi associative possédant un élément neutre e.

Montrer qu’un élément a de E est symétrisable si, et seulement si, l’application f:EE définie par f(x)=ax est bijective.

 
Exercice 11  2195  Correction  

Soit une loi associative sur un ensemble E. Un élément x de E est dit idempotent si, et seulement si, xx=x.

  • (a)

    Montrer que si x et y sont idempotents et commutent, alors xy est idempotent.

  • (b)

    Montrer que si x est idempotent et inversible, alors x-1 est idempotent.

Solution

  • (a)

    On a

    (xy)(xy)=(xx)(yy)=xy.
  • (b)

    On a

    xx=x(xx)-1=x-1x-1x-1=x-1.
 
Exercice 12  2193   Correction  

Soit E un ensemble et f:EE.
Montrer que f est un élément régulier de (EE,) si, et seulement si, f est bijective.

Solution

Supposons f est bijective.
Soient g,h:EE. Si fg=fh alors f-1fg=f-1fh puis g=h.
De même, gf=hfg=h et donc f est un élément régulier.
Supposons que f est un élément régulier.
Soient x,xE. Si f(x)=f(x) alors fg=fh avec g et h les fonctions constantes égales à x et x.
Par la régularité de f, on obtient g=h et donc x=x.
Si E est un singleton alors f est nécessairement surjective.
Sinon, on peut construire deux fonctions g et h telle que

xE,g(x)=h(x)xIm(f).

On a gf=hf donc, par la régularité de f, g=h d’où Im(f)=E puis f surjective.

 
Exercice 13  2199   Correction  

Soit une loi associative sur un ensemble E fini. On suppose que la loi possède un neutre e.
Montrer que tout élément régulier de E est inversible.

Solution

Soit a un élément régulier.
Considérons l’application f:EE définie par f(x)=ax.
L’application f est injective.
E est fini donc f est bijective et par suite surjective d’où l’existence de bE tel que ab=e.
f(e)=a et f(ba)=aba=ea=a donc par l’injectivité de f: ba=e.

Finalement, a est inversible.
On peut aussi partir de f:E définie par f(n)=an qui n’est pas injective.

 
Exercice 14  3043      X (MP)

Soit E un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne associative .

Montrer qu’il existe un élément e dans E vérifiant ee=e.

[<] Éléments remarquables d'une structure[>] Sous-groupes

 
Exercice 15  2201  

Soit (G,) un groupe de neutre e. On suppose11 1 x2 désigne xx. x2=e pour tout xG. Montrer que le groupe (G,) est commutatif.

 
Exercice 16  4600  

Soient a et b deux éléments d’un groupe G noté multiplicativement11 1 Dans un groupe multiplicatif, la loi est notée × ou () et le neutre noté 1..

Montrer

(ab)n=1(ba)n=1.
 
Exercice 17  2203   Correction  

Soit une loi de composition interne associative sur un ensemble E fini non vide.
On suppose que tous les éléments de E sont réguliers. Montrer que E est un groupe.

Solution

La loi est déjà associative. Montrons qu’elle est possède un neutre. Soit x un élément de E. La suite des xn avec

xn=xx (n termes), n1

ne peut être formé d’éléments deux à deux distincts car E est un ensemble fini. Il existe donc n,k>0 vérifiant

xn+k=xn.

Posons alors e=xk et vérifions que e est neutre pour la loi . Soit yE. On a yxn+k=yxn et donc (yxk)xn=yxn. Par régularité de xn, on obtient ye=y. On montre de même ey.
Il reste maintenant à vérifier que tout élément aE est inversible.
Considérons l’application f:EE définie par f(x)=ax.
a est régulier donc l’application f est injective.
E est fini donc f est bijective et par suite surjective d’où l’existence d’un bE tel que ab=e.
f(e)=a et f(ba)=aba=ea=a donc par l’injectivité de f: ba=e.

Finalement, a est inversible et (E,) est un groupe.

 
Exercice 18  2196  

(Transport de loi)

Soient (G,) un groupe et φ:GE une application bijective au départ de G et à valeurs dans un ensemble E. On définit une loi de composition interne sur E en posant

xy=φ(φ-1(x)φ-1(y)).

Montrer que (E,) est un groupe.

 
Exercice 19  5628   Correction  

Soit a un élément d’un groupe (G,).

  • (a)

    Établir que l’application xax définit une permutation de G.

  • (b)

    Application : Montrer que la somme des éléments d’un sous-groupe fini de (*,×) est nulle ou égale à 1.

Solution

  • (a)

    L’application

    f:{GGxax

    est correctement définie. Pour x,yG,

    y=f(x) y=ax
    x=a-1y.

    Ainsi, pour tout yG, l’équation y=f(x) d’inconnue xG possède une unique solution dans G: l’application f est bijective.

  • (b)

    Soit G un sous-groupe de fini de (*,×).

    Si G={1}, la somme des éléments de G vaut 1. Sinon, il existe aG tel que a1. Considérons à nouveau l’application f de la question précédente. Par permutation des termes d’une somme,

    xGx=xGax.

    Cela donne

    xG=axGx.

    Or a1 et donc nécessairement

    xGx=0.
 
Exercice 20  4197   

On note G=]-1;1[ et, pour x,yG, on pose

xy=x+y1+xy.

Montrer que la loi munit G d’une structure de groupe abélien11 1 C’est-à-dire de groupe commutatif..

 
Exercice 21  2207   Correction  

(Addition des vitesses en théorie de la relativité)

Soit c>0 (c correspond à la vitesse –ou célérité– de la lumière) et I=]-c;c[.

  • (a)

    Montrer

    (x,y)I2,xy=x+y1+xyc2I.
  • (b)

    Montrer que la loi munit I d’une structure de groupe abélien.
    Cette loi correspond à l’addition des vitesses portées par un même axe en théorie de la relativité.

Solution

  • (a)

    Pour x,yI,

    xyI xy+c(x+y)+c2>0 et xy-c(x+y)+c2>0
    (x+c)(y+c)>0 et (x-c)(y-c)>0.

    Par suite,

    (x,y)I2,xyI.
  • (b)

    La loi est clairement commutative. La loi est associative puisque

    x,y,zI,(xy)z=x+y+z+xyzc21+xy+yz+zxc2=x(yz)

    0 est élément neutre pour la structure (I,) car

    xI,x0=0x=x.

    Enfin,

    xI,(-x)x=x(-x)=0

    et tout élément de I est donc symétrisable dans I.

    Finalement, (I,) est un groupe abélien.

 
Exercice 22  2205   

Soient G=*× et la loi de composition interne définie sur G par

(x,y)(x,y)=(xx,xy+y).
  • (a)

    Observer que la loi n’est pas commutative.

  • (b)

    Montrer que (G,) est un groupe dont on précisera l’élément neutre.

  • (c)

    Vérifier que +*× est un sous-groupe de (G,).

 
Exercice 23  3199     CENTRALE (MP)Correction  

Soient A(1,0) et B(0,1). À partir de points M0(x0,y0) et M1(x1,y1) donnés, on construit le point P0 par les conditions:

  • les droites (P0M0) et (Ox) sont parallèles;

  • P0(AB).

On construit le point Q0 par les conditions:

  • les droites (P0Q0) et (M1B) sont parallèles;

  • Q0(AM1).

Enfin, on définit le point M2(x2,y2) tel que le quadrilatère (M0P0Q0M2) soit un parallélogramme. On pose alors

M0M1=M2.
  • (a)

    Démontrer

    (x2y2)=(x0+x1y0y0y1).
  • (b)

    Démontrer que la loi est associative, admet un élément neutre et que, si y00, le point M0 admet un inverse.

  • (c)

    On définit une suite de points (Mn)n par la donnée de M0, de M1 et de la relation de récurrence

    Mn=Mn-1Mn-2pour tout n2.

    Déterminer yn en fonction de y0 et de y1.

Solution

  • (a)

    On a

    P0|1-y0y0etQ0|1+y0(x1-1)y0y1

    (en considérant que les cas singuliers sont les prolongements du cas général).

    On en déduit

    {x2=x0+y0x1y2=y0y1.
  • (b)

    Avec des notations immédiates

    (M0M1)M2|(x0+y0x1)+(y0y1)x2(y0y1)y2etM0(M1M2)|x0+y0(x1+y1x2)y0(y1y2)

    et l’on vérifie bien l’associativité de la loi .

    On remarque que

    BM=MB=M

    donc B est élément neutre de la loi .

    Enfin, si y00, pour

    {x1=-x0/y0y1=1/y0

    on observe

    M0M1=M1M0=B

    et l’on peut donc affirmer que M0 est inversible d’inverse M1.

  • (c)

    On a

    yn=yn-1yn-2

    et l’on peut affirmer qu’il est possible d’écrire yn sous la forme

    yn=y0any1bn

    avec

    {a0=1,a1=0,an=an-1+an-2b0=0,b1=1,bn=bn-1+bn-2.

    Les suites (an) et (bn) sont récurrentes linéaires d’ordre 2 d’équation caractéristique r2=r+1 de racines

    r1=1+52 et r2=1-52.

    On obtient après calculs

    an=r2r2-r1r1n+r1r1-r2r2netbn=r2n-r1nr2-r1.
 
Exercice 24  4610    

(Équation de Pell-Fermat)

On s’intéresse à l’équation (E):x2-2y2=1 d’inconnue (x,y)2.

Pour la résoudre, on étudie l’ensemble

G={(x,y)*×|x2-2y2=1}.
  • (a)

    Pour (x,y) et (x,y) dans G, on pose

    (x,y)(x,y)=(xx+2yy,xy+xy).

    Montrer que munit G d’une structure de groupe dont on précisera le neutre e.

Pour (x,y)G, on pose φ(x,y)=ln(x+2y).

  • (b)

    On introduit a=(3,2)G. Montrer

    (x,y)G, 0φ(x,y)<φ(a)(x,y)=e.
  • (c)

    Vérifier que, pour tout (x,y)G et tout (x,y)G,

    φ((x,y)(x,y))=φ(x,y)+φ(x,y). (1)
  • (d)

    En déduire que les éléments de G sont les an avec n.

[<] Groupes[>] Morphismes de groupes

 
Exercice 25  4597  
  • (a)

    Soit n*. On considère 𝕌n={z|zn=1} l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité.

    Montrer que 𝕌n muni de la multiplication des nombres complexes est un groupe.

  • (b)

    Soit a un élément d’un ensemble E. On considère H={f𝒮E|f(a)=a} l’ensemble des permutations de E fixant a.

    Montrer que H muni du produit de composition des applications est un groupe.

 
Exercice 26  4596  

Soient a et b deux réels.

Montrer que a+b={ak+b|k,} est un sous-groupe de (,+).

 
Exercice 27  2208  Correction  

Soient ω et H={a+ωb|a,b}.
Montrer que H est un sous groupe de (,+).

Solution

H, 0=0+ω.0H.
Soient x,yH. On peut écrire x=a+ωb et y=a+ωb avec a,b,a,b et alors

x-y=(a-a)+ω(b-b)

avec a-a et b-b donc x-yH.
Ainsi H est un sous groupe de (,+).

 
Exercice 28  2209  Correction  

Soient a* et H={an|n}.
Montrer que H est un sous groupe de (*,×).

Solution

H*, 1=a0H.
Soient x,yH, on peut écrire x=an et y=am avec n,m. On a alors

xy-1=an-m

avec n-m donc xy-1H.
Ainsi H est un sous groupe de (*,×).

 
Exercice 29  3354  

Montrer que

V={z|n*,zn=1}

est un groupe multiplicatif.

 
Exercice 30  4601   

Montrer que {x+y3|(x,y)2 et x2-3y2=1} est un sous-groupe de (*,×).

 
Exercice 31  5330   Correction  

Montrer que

G={a2+b2|(a,b)2{(0,0)}}

est un sous-groupe de (+*,×).

Solution

G est une partie du groupe (+*,×) et 1=12+02G.

Soient x,yG. On peut écrire

x=a2+b2ety=c2+d2 avec (a,b),(c,d)2{(0,0)}

et l’on a

xy=(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.

On observe ac+bd,ad-bc et (ac+bd,ad-bc)(0,0) car

{ac+bd=0ad-bc=0xy=0.

Enfin,

1x=1a2+b2=a2+b2(a2+b2)2=(aa2+b2)2+(ba2+b2)2

avec

(aa2+b2,ba2+b2)2{(0,0)}.

Ainsi, xyG et x-1G, G est un sous-groupe de (+*,×).

 
Exercice 32  2213   Correction  

Soit fa,b: définie par fa,b(z)=az+b avec a*,b.
Montrer que ({fa,b|a*,b},) est un groupe.

Solution

Notons

H={fa,b|a*,b}

et montrons que H est un sous-groupe du groupe (𝒮,) des permutations de .

La permutation Id est élément de H car Id=f1,0.

Pour tout z et tout Z,

Z=az+bz=1aZ-ba.

On en déduit que fa,b est une bijection de vers et fa,b-1=f1/a,-b/a. Ainsi, H𝒮 et

fH,f-1H.

Enfin,

z,fa,bfc,d(z)=a(cz+d)+b=acz+(ad+b)

donc fa,bfc,d=fac,ad+b. Ainsi,

f,gH,fgH.

On peut conclure que H est un sous-groupe de (𝒮,) et donc (H,) est un groupe.

 
Exercice 33  2212  

On appelle centre d’un groupe (G,) l’ensemble

Z(G)={xG|yG,xy=yx}.

Montrer que Z(G) est un sous-groupe de (G,).

 
Exercice 34  4602   

Soit H une partie finie non vide d’un groupe (G,).

On suppose que H est stable pour la loi . Montrer que H est un sous-groupe de G.

 
Exercice 35  2211   Correction  

Soient (G,×) un groupe, H un sous groupe de (G,×) et aG.

  • (a)

    Montrer que aHa-1={axa-1|xH} est un sous groupe de (G,×).

  • (b)

    À quelle condition simple aH={ax|xH} est un sous groupe de (G,×)?

Solution

  • (a)

    aHa-1G, e=aea-1aHa-1.
    Soient axa-1,aya-1aHa-1 avec x,yH on a

    (axa-1)(ay-1a-1)=a(xy-1)a-1aHa-1.
  • (b)

    eaHa-1HaH. Inversement

    aHa-1HaH=H.

    La condition simple cherchée est aH.

 
Exercice 36  2215   Correction  

Soit H et K deux sous-groupes d’un groupe (G,*) tels que HK en soit aussi un sous-groupe. Montrer que HK ou KH.

Solution

Par l’absurde supposons

HK et KH.

Il existe hH tel que hK et kK tel que kH.
On a h,kHK donc h*kHK car HK sous-groupe.
Si h*kH alors k=h-1*(h*k)H car H sous-groupe. Or cela est exclu.
Si h*kK alors h=(h*k)*k-1K car K sous-groupe. Or cela est exclu.
Ainsi h*kHK. Absurde.

 
Exercice 37  4603   

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G noté multiplicativement. On forme

HK={xy|xH et yK}etKH={yx|yK et xH}.

Établir que HK est un sous-groupe de G si, et seulement si, KHHK et qu’alors HK=KH.

 
Exercice 38  2217   Correction  

(Description des sous-groupes de (Z,+) )

Pour a, on note a={ak|k}.

  • (a)

    Montrer que a est un sous-groupe de (,+).
    On se propose de montrer que, réciproquement, tout sous groupe de est de cette forme.

  • (b)

    Vérifier que le groupe {0} est de la forme voulue.
    Soit H un sous-groupe de (,+) non réduit à {0}.

  • (c)

    Montrer que H+={hH|h>0} possède un plus petit élément. On note a=minH+.

  • (d)

    Établir que aH.

  • (e)

    En étudiant le reste de la division euclidienne d’un élément de H par a montrer que Ha.

  • (f)

    Conclure que pour tout sous-groupe H de , il existe un unique a tel que H=a.

Solution

  • (a)

    a, 0=a.0a.
    Soient x,ya, on peut écrire x=ak et y=a avec k,.
    x-y=a(k-) avec k- donc x-ya.
    Ainsi a est un sous-groupe de .

  • (b)

    Pour a=0, {0}=a.

  • (c)

    Puisque H est non vide et non réduit à {0}, il existe hH tel que h0.
    Si h>0 alors hH+, si h<0 alors -hH (car H sous-groupe) et -h>0 donc -hH+.
    Dans les deux cas H+.
    H+ est une partie non vide de donc H+ possède un plus petit élément.

  • (d)

    0H et aH.
    Par récurrence, la stabilité de H donne

    n,a.n=a++aH.

    Par passage à l’opposé, la stabilité de H par passage au symétrique donne

    n,a.nH.

    Ainsi aH.

  • (e)

    Soit xH. La division euclidienne de x par a0 donne x=aq+r avec q et 0r<a.
    On a r=x-aq avec xH et aqaH donc rH.
    Si r>0 alors rH+ or r<a=minH+ donc cela est impossible.
    Il reste r=0 ce qui donne x=aqa. Ainsi Ha et finalement H=a.

  • (f)

    L’existence est établie ci-dessus. Il reste à montrer l’unicité.
    Soit a,b tel que a=b. On a aa=b donc ba et de même ab, or a,b0 donc a=b.

[<] Sous-groupes[>] Groupe de cardinal fini

 
Exercice 39  2219  Correction  

Justifier que exp:* est un morphisme du groupe (,+) vers (*,×).

En déterminer image et noyau.

Solution

On sait

z,z,exp(z+z)=exp(z)exp(z)

donc exp:* est un morphisme de groupes.

On sait

exp(z)=1k,z=2ikπ

donc

Ker(exp)={2ikπ|k}.

La fonction exponentielle complexe prend toutes les valeurs de * donc

Im(exp)=*.
 
Exercice 40  2218  Correction  

Soient n* et f:** définie par f(x)=xn.

  • (a)

    Montrer que f est un morphisme du groupe (*,×) vers lui-même.

  • (b)

    Déterminer l’image et le noyau de ce morphisme.

Solution

  • (a)

    Pour x*, on a bien f(x)*. Pour x,y*

    f(xy)=(xy)n=xnyn=f(x)f(y)

    donc f est un morphisme de (*,×) vers lui-même.

  • (b)

    Par définition,

    Ker(f)=f-1({1})etIm(f)={xn|x*}.

    Si n est pair alors

    Ker(f)={1,-1}etIm(f)=+*.

    Si n est impair alors

    Ker(f)={1}etIm(f)=*.
 
Exercice 41  2220  

(Morphisme de conjugaison)

Soit G un groupe noté multiplicativement. Pour aG, on note τa l’application de G vers G définie par τa(x)=axa1.

  • (a)

    Montrer que τa est un morphisme du groupe G vers lui-même.

  • (b)

    Vérifier τaτb=τab pour tous a et b dans G.

  • (c)

    Montrer que τa est bijective et exprimer son application réciproque.

  • (d)

    En déduire que 𝒜={τa|aG} muni du produit de composition est un groupe.

 
Exercice 42  5627  Correction  

On appelle automorphisme d’un groupe (G,), tout morphisme bijectif du groupe (G,) vers lui-même.

Montrer que l’ensemble Aut(G) des automorphismes d’un groupe (G,) est un groupe pour le produit de composition des applications.

Solution

On vérifie que Aut(G) est un sous-groupe du groupe (𝒮G,) des permutations de G.

Aut(G) est une partie de 𝒮G.

La permutation identité IdG est élément de Aut(G).

Soient φ,ψAut(G). Par composition, l’application φψ est bijective. C’est aussi un morphisme du groupe (G,) car

(x,y)G2,φψ(xy)=φ(ψ(x)ψ(y))=(φψ)(x)(φψ)(y).

Ainsi, φψAut(G).

Soit φAut(G). On peut introduire la bijection réciproque φ-1 et l’on sait que celle-ci est bijective. C’est aussi un morphisme du groupe (G,) car

(x,y)G2,φ(φ-1(x)φ-1(y))=φ(φ-1(xy))=xy

et donc

(x,y)G2,φ-1(x)φ-1(y)=φ-1(xy).

Ainsi, φ-1Aut(G).

Finalement, Aut(G) est un sous-groupe du groupe (𝒮G,), c’est donc un groupe pour la loi .

 
Exercice 43  5810  Correction  

Déterminer tous les morphismes de groupes de (,+) vers (,+).

Solution

L’application identiquement nulle est un morphisme de groupes de (,+) vers (,+). Montrons qu’il n’en existe pas d’autres.

Par l’absurde, considérons φ: un morphisme de groupes additifs non identiquement nul. Il existe x tel que a=φ(x){0}. Considérons alors x=x/2a. Puisque l’image d’un itéré additif par un morphisme de groupes est l’itéré de l’image, il vient

a=φ(x)=φ(2a.x)=2a.φ(x).

On en déduit φ(x)=1/2. C’est absurde car φ est à valeurs dans .

 
Exercice 44  2221   Correction  

Soient (G,), (G,) deux groupes et f:GG un morphisme de groupes.

  • (a)

    Montrer que pour tout sous-groupe H de G, f(H) est un sous-groupe de (G,).

  • (b)

    Montrer que pour tout sous-groupe H de G, f-1(H) est un sous-groupe de (G,).

Solution

  • (a)

    f(H)G, e=f(e)f(H) car eH.

    Soient y,yf(H), on peut écrire y=f(x) et y=f(x) avec x,xH.

    yy-1=f(x)f(x)-1=f(x)f(x-1)=f(xx-1)

    avec xx-1H donc yy-1f(H). Ainsi, f(H) est un sous-groupe de (G,).

  • (b)

    f-1(H)G et ef-1(H) car f(e)=eH.

    Soient x,xf-1(H). On a f(x),f(x)H.

    f(xx-1)=f(x)f(x-1)=f(x)f(x)-1H

    donc xx-1f-1(H). Ainsi, f-1(H) est un sous-groupe de (G,).

 
Exercice 45  2222   Correction  

On note Aut(G) l’ensemble des isomorphismes d’un groupe (G,*) dans lui-même.
Montrer que Aut(G) est un sous-groupe du groupe des permutations (𝒮G,).

Solution

Aut(G)𝒮G et IdGAut(G).
Pour tout f,gAut(G), on a fgAut(G) et f-1Aut(G) par les propriétés sur les automorphismes.
Ainsi Aut(G) est un sous-groupe de (𝒮G,).

 
Exercice 46  2223   Correction  

Soient (G,*) un groupe et aG.

On définit une loi de composition interne sur G par xy=x*a*y.

  • (a)

    Montrer que (G,) est un groupe.

  • (b)

    Soient H un sous groupe de (G,*) et K=sym(a)*H={sym(a)*x|xH}.
    Montrer que K est un sous groupe de (G,).

  • (c)

    Montrer que f:xx*sym(a) est un isomorphisme de (G,*) vers (G,).

Solution

  • (a)

    Pour x,y,zG,

    (xy)z=(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z)=x(yz).

    L’élément sym(a) est neutre pour la loi . En effet, pour xG, on a

    xsym(a)=x=sym(a)x.

    Soit xG. Posons y=sym(a)*sym(x)*sym(a)G. On a

    xy=yx=sym(a).
  • (b)

    KG, sym(a)=sym(a)*e donc sym(a)K.

    Soient sym(a)*x,sym(a)*yK. On a

    (sym(a)*x)(sym(a)*y)(-1)=sym(a)*x*a*sym(a)*sym(y)*a*sym(a)=sym(a)*(x*sym(y))K.
  • (c)

    Pour x,yG,

    f(x*y)=x*y*sym(a)=(x*sym(a))(y*sym(a))=f(x)f(y)

    f est un morphisme de groupe et il est bijectif d’application réciproque g:xx*a.

 
Exercice 47  3368    

Soit φ un morphisme non constant d’un groupe fini (G,) vers (*,×).

Calculer

xGφ(x).

[<] Morphismes de groupes[>] Anneaux

 
Exercice 48  2204  Correction  

Soit (G,) un groupe à n éléments.
Justifier que sa table de composition est un carré latin c’est à dire que tout élément de G figure une fois et une seule dans chaque ligne et dans chaque colonne.

Solution

Si un élément figure deux fois dans une même ligne correspondant aux valeurs de composition avec x, c’est qu’il existe ab tel que xa=xb.
Or tout élément d’un groupe est régulier, ce cas de figure ci-dessus est donc impossible.
Comme le groupe G à n élément, qu’il y a n cases sur chaque ligne et que chaque ligne ne peut contenir deux fois le même élément, chaque ligne contient chaque élément de G une fois et une seule.
On raisonne de même avec les colonnes.

 
Exercice 49  2214   Correction  

On considère les applications de E={0,1} dans lui-même définies par:

i(x)=x,f(x)=1-x,g(x)=1x,h(x)=xx-1,k(x)=x-1x,(x)=11-x.
  • (a)

    Démontrer que ce sont des permutations de E.

  • (b)

    Construire la table donnant la composée de deux éléments quelconques de l’ensemble G={i,f,g,h,k,l}.

  • (c)

    Montrer que G muni de la composition des applications est un groupe non commutatif.

Solution

  • (a)

    Il est clair que i, f et g sont des permutations de E.

    h(x)=xx-1=1+1x-1=1-11-x=f(g(f(x)))

    donc h=fgf et donc h𝒮E.
    De même, k=fg𝒮E et =gf𝒮E

  • (b)
    ifghkiifghkffikghggikhfhhkifgkkhfgighfik.
  • (c)

    G est un sous groupe de (𝒮E,) car G contient i, est stable par composition et par passage à l’inverse.
    De plus, ce groupe n’est pas commutatif car gffg.

 
Exercice 50  4607   

On dit qu’un élément a d’un ensemble E muni d’une loi est régulier lorsque, pour tout (x,y)E2,

ax=ay x=y(régularité à gauche)
xa=ya x=y(régularité à droite).
  • (a)

    Montrer que tous les éléments d’un groupe sont réguliers.

  • (b)

    Soit E un ensemble fini muni d’une loi associative pour laquelle il existe un élément régulier. Montrer que la loi possède un élément neutre.

  • (c)

    Soit G un ensemble fini non vide muni d’une loi associative pour laquelle tous les éléments sont réguliers. Montrer que G est un groupe.

 
Exercice 51  5748   Correction  

Soit a un élément d’un groupe (G,).

  • (a)

    Établir que l’application xax est une permutation de G.

  • (b)

    Application : Montrer que la somme des éléments d’un sous-groupe fini de (*,×) est nulle ou égale à 1.

Solution

  • (a)

    Méthode: Une permutation de G est une application bijective de G vers G. On vérifie que l’équation y=ax possède une unique solution x dans G et ce pour tout yG.

    Soit yG. On a

    y=axx=a-1y.

    L’équation y=ax possède donc une unique solution x dans G: l’application xax est une permutation de G.

  • (b)

    Soit G un sous-groupe fini de *. En notant N=CardG, on peut énumérer les éléments de G et écrire

    G={x1,,xN}

    avec x1,,xN deux à deux distincts.

    Cas: G={1}. La somme des éléments de G vaut 1.

    Cas: G{1}. On peut introduire aG avec a1. Par le résultat précédent, on peut écrire

    G={ax1,,axN}

    ce qui propose une nouvelle énumération des éléments de G. On peut alors calculer la somme des éléments de G en suivant l’une ou l’autre des énumérations, le résultat du calcul ne dépendra pas de l’ordre des éléments car l’addition est commutative

    i=1Nxi=i=1Naxi.

    En factorisant a,

    i=1Nxi=ai=1Nxi

    et, sachant a1,

    i=1Nxi=0.
 
Exercice 52  4604   

Soit G un groupe possédant 4 éléments. Montrer que G est commutatif.

 
Exercice 53  4605   

Soit G un groupe noté multiplicativement possédant un nombre pair d’éléments.

Montrer qu’il existe xG tel que x2=1 et x1.

 
Exercice 54  4608   

Soit (G,) un groupe possédant 2n éléments avec n2.

On suppose qu’il existe deux sous-groupes H et K possédant chacun n éléments et vérifiant HK={e}. Montrer n=2.

 
Exercice 55  4609    

Soit (G,) un groupe fini dans lequel x2=e pour tout xE.

  • (a)

    Soient H un sous-groupe strict11 1 Un sous-groupe strict est un sous-groupe différent du groupe. de (G,) et a un élément de GH.

    Montrer que K=HH avec H={ax|xH} est un sous-groupe de G.

  • (b)

    Avec les notations qui précèdent, donner le cardinal de K en fonction de celui de H.

  • (c)

    En déduire que le cardinal de G est une puissance de 2.

 
Exercice 56  4611    

(Conjugaison dans un groupe)

Soit G un groupe fini noté multiplicativement.

  • (a)

    On appelle normalisateur de xG, l’ensemble N(x)={gG|gxg-1=x}. Montrer que N(x) est un sous-groupe de G.

  • (b)

    Montrer que l’on définit une relation d’équivalence sur G en posant

    xygG,y=gxg-1.
  • (c)

    On note Cl(x) la classe d’équivalence d’un élément x pour la relation . Montrer

    Card(G)=Card(Cl(x))×Card(N(x)).
  • (d)

    Application : On suppose que G est de cardinal pα avec p premier et α*. Montrer que son centre11 1 Voir le sujet 2212. Z(G) n’est pas réduit à {1}.

[<] Groupe de cardinal fini[>] Sous-anneaux

 
Exercice 57  4598  

Soit E un ensemble. On définit la différence symétrique11 1 Voir le sujet 4479. AΔB de deux parties A et B de E par la relation AΔB=(AB)(AB¯).

Montrer que ((E),Δ,) est un anneau commutatif.

 
Exercice 58  2235   

(Anneau de Boole)

Soit (A,+,×) un anneau de Boole11 1 L’anneau ((E),Δ,) étudié dans le sujet 4598 est un exemple non trivial d’anneau de Boole., c’est-à-dire une anneau dans lequel x2=x pour tout xA.

  • (a)

    Montrer que 2.x=0A pour tout xA. En déduire que A est un anneau commutatif.

  • (b)

    Montrer que l’on définit une relation d’ordre sur A en posant

    xyxy=x.
 
Exercice 59  2234   

(Nilpotence)

On dit qu’un élément x d’un anneau (A,+,×) est nilpotent lorsqu’il existe n* vérifiant xn=0A. Soient x et y deux éléments de l’anneau (A,+,×).

  • (a)

    Montrer que si x est nilpotent et que x et y commutent, alors xy est nilpotent.

  • (b)

    Montrer que si xy est nilpotent, alors yx l’est aussi.

  • (c)

    Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors x+y est nilpotent.

  • (d)

    Montrer que si x est nilpotent alors 1A-x est inversible et préciser son inverse.

 
Exercice 60  1221    

Soient a et b deux éléments d’un anneau (A,+,×). Montrer que si 1A-ab est inversible alors 1A-ba l’est aussi.

 
Exercice 61  4606    

Soit (A,+,×) un anneau vérifiant xyx=x2y pour tous x et y dans A. Montrer que l’anneau est commutatif.

[<] Anneaux[>] Morphismes d'anneaux

 
Exercice 62  2237  Correction  

Soit d, on note

[d]={a+bd|(a,b)2}.

Montrer que [d] est un sous-anneau de (,+,×).

Solution

[d], 1[d].
Soient x,y[d], on peut écrire x=a+bd et y=a+bd avec a,b,a,b.
x-y=(a-a)+(b-b)d avec a-a,b-b donc x-y[d].
xy=(aa+bbd)+(ab+ab)d avec aa+bbd,ab+ab donc xy[d].
Ainsi [d] est un sous-anneau de (,+,×).

 
Exercice 63  2232  Correction  

On définit sur 2 deux lois de compositions internes notées + et par:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)et(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).
  • (a)

    Montrer que (2,+,) est un anneau commutatif.

  • (b)

    Montrer que A={(a,0)|a} est un sous-anneau de (2,+,).

Solution

  • (a)

    On vérifie aisément que (2,+) est un groupe commutatif.
    Avec des notations entendues

    (a,b)(c,d)=(ac,ad+bc)=(c,d)(a,b).

    La loi est donc commutative. De plus,

    ((a,b)(c,d))(e,f)=(ac,ad+bc)(e,f)=(ace,acf+ade+bce)=(a,b)((c,d)(e,f)).

    La loi est donc associative.
    Le couple (1,0) est neutre pour la loi , car (a,b)(1,0)=(a,b)
    Enfin

    ((a,b)+(c,d))(e,f)=(a+c,b+d)(e,f)=(ae+ce,af+cf+be+de)

    donc

    ((a,b)+(c,d))(e,f)=(ae,af+be)+(ce,cf+de)=(a,b)(e,f)+(c,d)(e,f)

    et la loi est distributive sur +.

    Finalement, (2,+,) est un anneau commutatif.

  • (b)

    A2, (1,0)A.
    Pour tout (a,0),(b,0)A, on a

    (a,0)-(b,0)=(a-b,0)A

    et

    (a,0)(b,0)=(ab,0)A

    A est donc un sous-anneau de (2,+,).

 
Exercice 64  4238   

(L’anneau des entiers de Gauss)

On note

[i]={a+ib|(a,b)2}.
  • (a)

    Montrer que [i] est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication des nombres complexes.

  • (b)

    Déterminer les éléments inversibles de l’anneau [i].

  • (c)

    Soient u et v deux éléments de [i] avec v0. Montrer qu’il existe un couple (q,r) d’éléments de [i] tel que u=qv+r et |r|<|v|.

  • (d)

    Vérifier que les idéaux de [i] sont les v[i]={vw|w[i]} avec v[i].

 
Exercice 65  2238   

L’ensemble des nombres décimaux est

𝔻={n10k|n,k}.
  • (a)

    Montrer que 𝔻 est un sous-anneau de (,+,×).

  • (b)

    Déterminer ses éléments inversibles.

 
Exercice 66  2240   Correction  

Soit

A={mn|m et n*, impair}.
  • (a)

    Montrer que A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    Quels en sont les éléments inversibles?

Solution

  • (a)

    A, 1A, x,yA,x-yA et xyA: clair.
    Par suite, A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    xA est inversible si, et seulement si, il existe yA tel que xy=1.
    x=mn,y=mn avec n,n impairs. xy=1mm=nn donc m est impair et la réciproque est immédiate.
    Ainsi,

    U(A)={mn|m,n* impairs}.
 
Exercice 67  2241   Correction  

Soit

A={m2n|m et n}.
  • (a)

    Montrer que A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    Quels en sont les éléments inversibles?

Solution

  • (a)

    A, 1A, x,yA,x-yA et xyA: facile.
    Ainsi A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    xA est inversible si, et seulement si, il existe yA tel que xy=1.
    Puisque l’on peut écrire x=m2n,y=m2n avec m,m et n,n,

    xy=1mm=2n+n.

    Par suite, m est, au signe près, une puissance de 2.
    La réciproque est immédiate.

    Finalement,

    U(A)={±2k|k}.
 
Exercice 68  128   

(Description des sous-anneaux de 2 )

Pour d, on note

Ad={(x,y)2|d divise y-x}.
  • (a)

    Montrer que Ad est un sous-anneau (2,+,×).

Inversement, soit A un sous-anneau de (2,+,×).

  • (b)

    Montrer qu’il existe d tel que {x|(x,0)A}=d.

  • (c)

    En déduire que A=Ad.

 
Exercice 69  5807   Correction  

On considère

[2]={a+b2|a,b}.
  • (a)

    Vérifier que [2] est un sous-anneau de (,+,×).

Pour x=a+b2 avec a,b, on pose N(x)=a2-2b2.

  • (b)

    Montrer que N(xy)=N(x)N(y) pour tous x,y[2].

    En déduire que si x est un élément inversible de l’anneau [2] alors N(x)=±1.

  • (c)

    Vérifier que les éléments ±(1±2)n avec n sont inversibles dans [2].

On souhaite établir qu’il n’y a pas d’autres éléments inversibles dans [2] que ceux qui viennent d’être proposés.

  • (d)

    Soit x=a+b2 avec a* et b.

    On suppose que x est inversible. Montrer qu’il existe n tel que x=(1+2)n.

  • (e)

    Conclure

Solution

  • (a)

    [2] est une partie de contenant 1=1+02.

    Soient x=a+b2 et y=c+d2 avec a,b,c,d. On vérifie

    x-y =(a-c)+(b-d)2[2]
    xy =(ac+2bd)+(ad+bc)2[2]

    [2] est donc un sous-anneau de l’anneau (,+,×).

  • (b)

    En reprenant les notations qui précèdent,

    N(xy)=(ac+2bd)2-2(ad+bc)2=a2c2+4b2d2-2(a2d2+b2c2)
    N(x)N(y)=(a2-2b2)(c2-2d2)=a2c2-2(a2d2+b2c2)+4b2d2.

    On vérifie donc N(xy)=N(x)N(y).

    Au surplus, on observe N(x) pour tout x[2].

    Si x est un élément inversible de [2] et si y est son inverse, alors xy=1 donc N(xy)=N(x)N(y)=1. On en déduit N(x)=±1 car N(x),N(y).

  • (c)

    Soit x=ε(1+ε2)n avec ε,ε{1,-1} et n. Par produit dans [2], on observe x[2]. Posons y=ε(-1+ε2)n[2]. On a

    xy=ε2((1+ε2)(-1+ε2))n=1×(-1+2)n=1.

    Ainsi, x est inversible (et y est son inverse).

  • (d)

    On remarque x1. On peut alors introduire n le plus grand entier naturel tel que (1+2)nx. On a donc

    (1+2)nx<(1+2)n+1.

    En opérant dans [2], on a encore

    1ξ=x(1+2)-n<1+2

    avec ξ=α+β2[2]. Aussi, ξ est inversible et donc N(ξ)=α2-2β2=±1.

    Cas: α2-2β2=-1. On a 2β2=α2+1 donc β2=±α2+1.

    Si β2=α2+1 alors ξ=α+α2+1 et nécessairement α=0 pour que la contrainte 1ξ<1+2 soit vérifiée.

    Si β2=-α2+1 alors ξ=α-α2+1<0 ce qui est exclu.

    Cas: α2-2β2=1. On a α2=2β2+1 donc α=±2β2+1.

    Si α=2β2+1 alors ξ=2β2+1+2β et nécessairement β=0 pour que la contrainte 1ξ<1+2 soit vérifiée

    Si α=-2β2+1 alors ξ=-2β2+1+2β<0 ce qui est exclu.

    Finalement, ξ=1 et donc x=(1+2)n.

  • (e)

    Soit x=a+b2[2] un élément inversible. Son inverse est

    y=1a+b2=a-b2a2-2b2 avec a2-2b2=±1.

    Quitte à remplacer x par son inverse, on peut supposer a et b de même signe tout en conservant l’hypothèse x inversible. Aussi, quitte à considérer -x au lieu de x, on peut supposer a et b positifs en maintenant encore l’hypothèse x inversible. Cela ramène à la situation précédente (avec nécessairement a0 car la condition -2b2=±1 est impossible). On peut alors décrire x sous la forme (1+2)n avec n puis par un éventuel passage à l’opposé et à l’inverse, retrouver la généralité des solutions précédemment proposées.

 
Exercice 70  3376   Correction  

Un anneau A est dit régulier si

xA,yA,xyx=x.

On considère un tel anneau A et l’on introduit

Z={xA|aA,ax=xa}.
  • (a)

    Montrer que Z est un sous-anneau de A.

  • (b)

    Vérifier que Z est régulier.

Solution

  • (a)

    Immédiatement ZA et 1AZ.
    Soient x,yZ. Pour tout aA

    a(xy)=axay=xaya=(xy)a

    et

    a(xy)=xay=xya

    donc xyA et xyA.
    Ainsi, Z est un sous-anneau de A.

  • (b)

    Soit xZ. Il existe yA tel que xyx=x. La difficulté est de voir que l’on peut se ramener au cas où yZ …Pour cela considérons l’élément z=xy2. On observe

    xzx=x3y2=xyxyx=xyx=x.

    Il reste à montrer zZ. Posons aA. L’élément x3 commute avec y2ay2 et donc

    x3y2ay2=y2ay2x3

    ce qui donne

    xay2=y2ax

    puis az=za. On peut alors que conclure que l’anneau Z est régulier au sens défini.

 
Exercice 71  3856    

On se propose d’établir une correspondance bijective entre l’ensemble des sous-anneaux de l’anneau (,+,×) et l’ensemble (𝒫) des parties de l’ensemble 𝒫 des nombres premiers. Pour A un sous-anneau de (,+,×), on note

𝒫A={p𝒫|1pA}.
  • (a)

    Soient A et B deux sous-anneaux de (,+,×). Établir

    𝒫A=𝒫BA=B.
  • (b)

    Soit P𝒫. Déterminer un sous-anneau A de (,+,×) vérifiant 𝒫A=P.

[<] Sous-anneaux[>] Corps

 
Exercice 72  127  Correction  

Soit a un élément d’un ensemble X.
Montrer l’application Ea:(X,) définie par Ea(f)=f(a) est un morphisme d’anneaux.

Solution

Ea(x1)=1.
Pour tout f,g(X,);,

Ea(f+g)=(f+g)(a)=f(a)+g(a)=Ea(f)+Ea(g)

et

Ea(fg)=(fg)(a)=f(a)g(a)=Ea(f)Ea(g)

donc Ea est un morphisme d’anneaux.

 
Exercice 73  126  Correction  

Soit f: un morphisme d’anneaux tel que

f(x)=xpour tout x.

Montrer que f est l’identité ou la conjugaison complexe.

Solution

Posons j=f(i). On a j2=f(i)2=f(i2)=f(-1)=-f(1)=-1 donc j=±i.

Cas: j=i. Pour tous a,b, f(a+ib)=f(a)+f(i)f(b)=a+ib donc f=Id.

Cas: j=-i. Pour tous a,b, f(a+ib)=f(a)+f(i)f(b)=a-ib donc f:zz¯.

 
Exercice 74  4232  

Soit a un élément inversible d’un anneau (A,+,×).

Vérifier que l’application f:xaxa-1 est un isomorphisme de l’anneau A vers lui-même11 1 On peut parler d’automorphisme de l’anneau A..

 
Exercice 75  132   Correction  

Soient K, L deux corps et f un morphisme d’anneaux entre K et L.

  • (a)

    Montrer que f(x) est inversible pour tout xK non nul et déterminer f(x)-1.

  • (b)

    En déduire que tout morphisme de corps est injectif.

Solution

  • (a)

    Pour xK{0},

    f(x).f(x-1)=f(x.x-1)=f(1K)=1L.

    L’élément f(x) est donc inversible et f(x)-1=f(x-1).

  • (b)

    Si f(x)=f(y) alors f(x)-f(y)=f(x-y)=0L. Or 0L n’est pas inversible donc x-y=0K c’est-à-dire x=y.

    Ainsi, le morphisme f est injectif.

[<] Morphismes d'anneaux

 
Exercice 76  2244  

Soit α tel que α, on note

[α]={a+bα|a,b}.

Montrer que [α] est un corps pour les opérations usuelles.

 
Exercice 77  2243   Correction  

Pour a,b, on pose

ab=a+b-1etab=ab-a-b+2.

Montrer que (,,) est un corps.

Solution

Soit φ: définie par φ:xx-1. φ est une bijection et l’on vérifie

φ(ab)=φ(a)+φ(b)etφ(ab)=φ(a)×φ(b).

Par la bijection φ-1, la structure de corps sur (,+,×) est transportée sur (,,).

Notamment, les neutres de (,,) sont 1 et 2.

 
Exercice 78  2246    Correction  

Quels sont les sous-corps de (,+,×)?

Solution

Analyse: Soit F un sous-corps de (,+,×).

0 et 1 sont éléments de F.

Par récurrence et par stabilité par addition, on obtient

n,nF.

Par stabilité par passage à l’opposée, on a encore

p,pF.

Par stabilité passage à l’inverse,

q*, 1/qF.

Enfin, par stabilité par produit,

r=p/q,rF.

Ainsi, F=.

Synthèse: Évidemment, est un sous-corps de (,+,×).

Le corps (,+,×) ne possède donc qu’un seul sous-corps, à savoir .



Édité le 24-01-2025

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax