[>] Éléments remarquables d'une structure

 
Exercice 1  2190  Correction  

On définit une loi de composition interne sur par

(a,b)2,ab=ln(ea+eb).

Quelles en sont les propriétés? Possède-t-elle un élément neutre? Y a-t-il des éléments réguliers?

Solution

Pour tous a,b,

ba=ln(eb+ea)=ln(ea+eb)=ab.

La loi est commutative.

Pour tous a,b,c,

(ab)c=ln(eab+ec)=ln(ea+eb+ec)=a(bc).

La loi est associative.

aε=aln(ea+eε)=aeε=0.

Il n’y a donc pas de neutre.

ab=acln(ea+eb)=ln(ea+ec)eb=ecb=c.

Tout élément est régulier.

 
Exercice 2  2191  

On note E=[0;1] et, pour x,yE, on pose

xy=x+y-xy.
  • (a)

    Vérifier que définit une loi de composition interne sur E.

  • (b)

    Étudier la commutativité et l’associativité de la loi .

  • (c)

    Existe-t-il un élément neutre? Quels sont les éléments symétrisables?

  • (d)

    Soit α[0;1]. Vérifier que A=[α;1] est une partie stable.

 
Exercice 3  2192   Correction  

Soit une loi de composition interne sur E.

Pour A,B𝒫(E), on pose

AB={ab|aA,bB}.
  • (a)

    Étudier les propriétés de sur E (commutativité, associativité, existence d’un neutre) conservées par sur 𝒫(E).

  • (b)

    La loi est-elle distributive sur l’union, sur l’intersection?

Solution

  • (a)

    est bien une loi de composition interne sur 𝒫(E).

    Si est commutative sur E, elle l’est aussi sur 𝒫(E).

    Si est associative sur E, elle l’est aussi sur 𝒫(E).

    Si possède un neutre e dans E, alors possède un neutre dans 𝒫(E) à savoir {e} car

    A{e}={ae|aA}=A.
  • (b)

    La loi est distributive sur l’union

    A(BC)={ax|aA,xBC}=(AB)(AC).

    En revanche, la distributivité sur l’intersection est fausse. On obtient un contre exemple dans avec =+, A={1,-1}, B={1} et C={-1}

    ABC=A=

    alors que

    (AB)AC={2,0}{-2,0}={0}.
 
Exercice 4  2197   Correction  

Soit une loi de composition interne associative sur E.
On suppose qu’il existe aE tel que l’application f:EE définie par f(x)=axa soit surjective et l’on note b un antécédent de a par f.

  • (a)

    Montrer que e=ab et e=ba sont neutres resp. à gauche et à droite puis que e=e.

  • (b)

    Montrer que a est symétrisable et f bijective.

Solution

Par la surjectivité de f, il existe bE tel que aba=a.

  • (a)

    ab=aaca
    Pour tout xE, il existe αE tel que l’on peut écrire x=aαa.
    Pour e=ab, ex=abaαa=aαa=x.
    Pour e=ba, xe=xba=aαaba=aαa.
    ee=e=e.

  • (b)

    Puisque ab=ba=e, a est symétrisable et sym(a)=b.
    De plus, g:xbxb est clairement application réciproque de f.

 
Exercice 5  4198   Correction  

Soit une loi de composition interne associative sur E. On suppose qu’il existe aE tel que E={axa|xE}. Montrer que la loi possède un neutre et que l’élément a est symétrisable.

Solution

Méthode: On introduit bE tel que aba=a.

Considérons e=ab et e=ba qui semblent candidats pour déterminer des neutres pour la loi . Vérifions que e et e sont respectivement neutre à gauche et neutre à droite pour la loi . Soit xE. On peut écrire x=aya pour un certain yE. On a alors

ex=(ab)(aya)=(aba)ya=aya=x

Un calcul analogue permet de vérifier xe=x. Comme déjà vu dans le sujet 4594, le calcul de ee assure que les deux éléments e et e sont égaux et l’on peut affirmer que possède un neutre. Au surplus, les identités ab=e et ba=e=e permettent d’affirmer que a est symétrisable de symétrique b.

 
Exercice 6  4595   

Soit E un ensemble muni d’une loi associative possédant un neutre e.

Montrer que si x et y sont deux éléments de E tels que les composés xy et yx sont symétrisables alors x et y sont symétrisables.

 
Exercice 7  4599   

Soit E un ensemble muni d’une loi associative. On suppose qu’il existe aE telle que, pour tout xE, il est possible d’écrire x=ay=za avec (y,z)E2.

Montrer que (E,) possède un neutre et que a est symétrisable.

 
Exercice 8  2198    Correction  

Soient une loi de composition interne associative sur un ensemble fini E et x un élément régulier de E. Montrer que E possède un neutre.

Solution

Considérons l’application f:E définie par f(n)=xn.
Puisque N est infini et que l’ensemble E est fini, l’application f n’est pas injective et donc il existe p>q tels que f(p)=f(q) c’est-à-dire

xp=xq.

Pour tout yE.

xpy=xqy.

Puisque x est régulier, on obtient

x(p-q)y=y.

De même, yx(p-q)=y et donc e=x(p-q) est neutre.

[<] Lois de composition interne[>] Groupes

 
Exercice 9  4594  

Soit E un ensemble muni d’une loi . On dit qu’un élément e est neutre à gauche (resp. à droite) lorsque ex=x (resp. xe=x) pour tout x de E.

Montrer que si la loi possède un neutre à gauche et un neutre à droite, elle possède un élément neutre.

 
Exercice 10  2194  

Soit E un ensemble muni d’une loi associative possédant un neutre e.

Montrer qu’un élément a est symétrisable si, et seulement si, l’application f:EE définie par f(x)=ax est bijective.

 
Exercice 11  2195  Correction  

Soit une loi associative sur un ensemble E. Un élément x de E est dit idempotent si, et seulement si, xx=x.

  • (a)

    Montrer que si x et y sont idempotents et commutent, alors xy est idempotent.

  • (b)

    Montrer que si x est idempotent et inversible, alors x-1 est idempotent.

Solution

  • (a)

    On a

    (xy)(xy)=(xx)(yy)=xy.
  • (b)

    On a

    xx=x(xx)-1=x-1x-1x-1=x-1.
 
Exercice 12  2193   Correction  

Soit E un ensemble et f:EE.
Montrer que f est un élément régulier de (EE,) si, et seulement si, f est bijective.

Solution

Supposons f est bijective.
Soient g,h:EE. Si fg=fh alors f-1fg=f-1fh puis g=h.
De même, gf=hfg=h et donc f est un élément régulier.
Supposons que f est un élément régulier.
Soient x,xE. Si f(x)=f(x) alors fg=fh avec g et h les fonctions constantes égales à x et x.
Par la régularité de f, on obtient g=h et donc x=x.
Si E est un singleton alors f est nécessairement surjective.
Sinon, on peut construire deux fonctions g et h telle que

xE,g(x)=h(x)xIm(f).

On a gf=hf donc, par la régularité de f, g=h d’où Im(f)=E puis f surjective.

 
Exercice 13  2199   Correction  

Soit une loi associative sur un ensemble E fini. On suppose que la loi possède un neutre e.
Montrer que tout élément régulier de E est inversible.

Solution

Soit a un élément régulier.
Considérons l’application f:EE définie par f(x)=ax.
L’application f est injective.
E est fini donc f est bijective et par suite surjective d’où l’existence de bE tel que ab=e.
f(e)=a et f(ba)=aba=ea=a donc par l’injectivité de f: ba=e.

Finalement, a est inversible.
On peut aussi partir de f:E définie par f(n)=an qui n’est pas injective.

 
Exercice 14  3043      X (MP)

Soit E un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne associative . Montrer qu’il existe un élément e dans E vérifiant ee=e.

[<] Éléments remarquables d'une structure[>] Sous-groupes

 
Exercice 15  2201  

Soit (G,) un groupe. On suppose x2=e pour tout xG.

Montrer que le groupe G est commutatif.

 
Exercice 16  2203   Correction  

Soit une loi de composition interne associative sur un ensemble E fini non vide.
On suppose que tous les éléments de E sont réguliers. Montrer que E est un groupe.

Solution

La loi est déjà associative. Montrons qu’elle est possède un neutre. Soit x un élément de E. La suite des xn avec

xn=xx (n termes), n1

ne peut être formé d’éléments deux à deux distincts car E est un ensemble fini. Il existe donc n,k>0 vérifiant

xn+k=xn.

Posons alors e=xk et vérifions que e est neutre pour la loi . Soit yE. On a yxn+k=yxn et donc (yxk)xn=yxn. Par régularité de xn, on obtient ye=y. On montre de même ey.
Il reste maintenant à vérifier que tout élément aE est inversible.
Considérons l’application f:EE définie par f(x)=ax.
a est régulier donc l’application f est injective.
E est fini donc f est bijective et par suite surjective d’où l’existence d’un bE tel que ab=e.
f(e)=a et f(ba)=aba=ea=a donc par l’injectivité de f: ba=e.

Finalement, a est inversible et (E,) est un groupe.

 
Exercice 17  2196  

(Transport de loi)

Soit (G,) un groupe et φ:GE une application bijective au départ de G et à valeurs dans un ensemble E. On définit une loi de composition interne sur E en posant

xy=φ(φ-1(x)φ-1(y)).

Montrer que (E,) est un groupe.

 
Exercice 18  4197   

On note G=]-1;1[ et, pour x,yG, on pose

xy=x+y1+xy.

Montrer que la loi munit G d’une structure de groupe abélien.

 
Exercice 19  2207   Correction  

(Addition des vitesses en théorie de la relativité)

Soit c>0 (c correspond à la vitesse –ou célérité– de la lumière) et I=]-c;c[.

  • (a)

    Montrer

    (x,y)I2,xy=x+y1+xyc2I.
  • (b)

    Montrer que la loi munit I d’une structure de groupe abélien.
    Cette loi correspond à l’addition des vitesses portées par un même axe en théorie de la relativité.

Solution

  • (a)

    Pour x,yI,

    xyI xy+c(x+y)+c2>0 et xy-c(x+y)+c2>0
    (x+c)(y+c)>0 et (x-c)(y-c)>0

    Par suite,

    (x,y)I2,xyI.
  • (b)

    La loi est clairement commutative. La loi est associative puisque

    x,y,zI,(xy)z=x+y+z+xyzc21+xy+yz+zxc2=x(yz)

    0 est élément neutre pour la structure (I,) car

    xI,x0=0x=x.

    Enfin,

    xI,(-x)x=x(-x)=0

    et tout élément de I est donc symétrisable dans I.

    Finalement, (I,) est un groupe abélien.

 
Exercice 20  2205   

Soit G=*× et la loi de composition interne définie sur G par

(x,y)(x,y)=(xx,xy+y).
  • (a)

    Observer que la loi n’est pas commutative.

  • (b)

    Montrer que (G,) est un groupe dont on précisera le neutre.

  • (c)

    Vérifier que +*× est un sous-groupe de (G,).

 
Exercice 21  3199     CENTRALE (MP)Correction  

Soient A(1,0) et B(0,1). À partir de points M0(x0,y0) et M1(x1,y1) donnés, on construit le point P0 par les conditions:

  • les droites (P0M0) et (Ox) sont parallèles;

  • P0(AB).

On construit le point Q0 par les conditions:

  • les droites (P0Q0) et (M1B) sont parallèles;

  • Q0(AM1).

Enfin, on définit le point M2(x2,y2) tel que le quadrilatère (M0P0Q0M2) soit un parallélogramme. On pose alors

M0M1=M2.
  • (a)

    Démontrer

    (x2y2)=(x0+x1y0y0y1).
  • (b)

    Démontrer que la loi est associative, admet un élément neutre et que, si y00, le point M0 admet un inverse.

  • (c)

    On définit une suite de points (Mn)n par la donnée de M0, de M1 et de la relation de récurrence

    Mn=Mn-1Mn-2pour tout n2.

    Déterminer yn en fonction de y0 et de y1.

Solution

  • (a)

    On a

    P0|1-y0y0etQ0|1+y0(x1-1)y0y1

    (en considérant que les cas singuliers sont les prolongements du cas général).

    On en déduit

    {x2=x0+y0x1y2=y0y1.
  • (b)

    Avec des notations immédiates

    (M0M1)M2|(x0+y0x1)+(y0y1)x2(y0y1)y2etM0(M1M2)|x0+y0(x1+y1x2)y0(y1y2)

    et l’on vérifie bien l’associativité de la loi .

    On remarque que

    BM=MB=M

    donc B est élément neutre de la loi .

    Enfin, si y00, pour

    {x1=-x0/y0y1=1/y0

    on observe

    M0M1=M1M0=B

    et l’on peut donc affirmer que M0 est inversible d’inverse M1.

  • (c)

    On a

    yn=yn-1yn-2

    et l’on peut affirmer qu’il est possible d’écrire yn sous la forme

    yn=y0any1bn

    avec

    {a0=1,a1=0,an=an-1+an-2b0=0,b1=1,bn=bn-1+bn-2.

    Les suites (an) et (bn) sont récurrentes linéaires d’ordre 2 d’équation caractéristique r2=r+1 de racines

    r1=1+52 et r2=1-52.

    On obtient après calculs

    an=r2r2-r1r1n+r1r1-r2r2netbn=r2n-r1nr2-r1.
 
Exercice 22  4600  

Soient a et b deux éléments d’un groupe G noté multiplicativement. Montrer

(ab)n=1(ba)n=1.
 
Exercice 23  4610    

(Équation de Pell-Fermat)

On s’intéresse à l’équation (E):x2-2y2=1 d’inconnue (x,y)2.

Pour la résoudre, on étudie l’ensemble

G={(x,y)*×|x2-2y2=1}.
  • (a)

    Pour (x,y) et (x,y) dans G, on pose

    (x,y)(x,y)=(xx+2yy,xy+xy).

    Montrer que munit G d’une structure de groupe dont on précisera le neutre e.

Pour (x,y)G, on pose φ(x,y)=ln(x+2y).

  • (b)

    On introduit a=(3,2)G. Montrer

    (x,y)G, 0φ(x,y)<φ(a)(x,y)=e.
  • (c)

    Vérifier que, pour tout (x,y)G et tout (x,y)G,

    φ((x,y)(x,y))=φ(x,y)+φ(x,y). (1)
  • (d)

    En déduire que les éléments de G sont les an avec n.

[<] Groupes[>] Groupe de cardinal fini

 
Exercice 24  4597  
  • (a)

    Soit n*. On considère 𝕌n={z|zn=1} l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité. Montrer que 𝕌n muni de la multiplication des nombres complexes est un groupe.

  • (b)

    Soit a un élément d’un ensemble E. On considère H={f𝒮E|f(a)=a} l’ensemble des permutations de E fixant a. Montrer que H muni du produit de composition des applications est un groupe.

 
Exercice 25  4596  

Soient a et b deux réels. Montrer que a+b={ak+b|k,} est un sous-groupe de (,+).

 
Exercice 26  2208  Correction  

Soient ω et H={a+ωb|a,b}.
Montrer que H est un sous groupe de (,+).

Solution

H, 0=0+ω.0H.
Soient x,yH. On peut écrire x=a+ωb et y=a+ωb avec a,b,a,b et alors

x-y=(a-a)+ω(b-b)

avec a-a et b-b donc x-yH.
Ainsi H est un sous groupe de (,+).

 
Exercice 27  2209  Correction  

Soient a* et H={an|n}.
Montrer que H est un sous groupe de (*,×).

Solution

H*, 1=a0H.
Soient x,yH, on peut écrire x=an et y=am avec n,m. On a alors

xy-1=an-m

avec n-m donc xy-1H.
Ainsi H est un sous groupe de (*,×).

 
Exercice 28  3354  

Montrer que

V={z|n*,zn=1}

est un groupe multiplicatif.

 
Exercice 29  4601   

Montrer que {x+y3|(x,y)2 et x2-3y2=1} est un sous-groupe de (*,×).

 
Exercice 30  5330   Correction  

Montrer que

G={a2+b2|(a,b)2{(0,0)}}

est un sous-groupe de (+*,×).

Solution

G est une partie du groupe (+*,×) et 1=12+02G.

Soient x,yG. On peut écrire

x=a2+b2ety=c2+d2 avec (a,b),(c,d)2{(0,0)}

et l’on a

xy=(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.

On observe ac+bd,ad-bc et (ac+bd,ad-bc)(0,0) car

{ac+bd=0ad-bc=0xy=0.

Enfin,

1x=1a2+b2=a2+b2(a2+b2)2=(aa2+b2)2+(ba2+b2)2

avec

(aa2+b2,ba2+b2)2{(0,0)}.

Ainsi, xyG et x-1G, G est un sous-groupe de (+*,×).

 
Exercice 31  2213   Correction  

Soit fa,b: définie par fa,b(z)=az+b avec a*,b.
Montrer que ({fa,b|a*,b},) est un groupe.

Solution

Posons H={fa,b|a*,b} et montrons que H est un sous-groupe du groupe de permutations (𝒮,).
Id=f1,0H.

Z=az+bz=1aZ-ba

donc fa,b𝒮 et fa,b-1=f1/a,-b/a. Ainsi H𝒮 et

fH,f-1H.

Enfin fa,bfc,d(z)=a(cz+d)+b=acz+(ad+b) donc fa,bfc,d=fac,ad+b. Ainsi,

f,gH,fgH.

On peut conclure.

 
Exercice 32  2212  

On appelle centre d’un groupe (G,) l’ensemble

Z(G)={xG|yG,xy=yx}.

Montrer que Z(G) est un sous-groupe de (G,).

 
Exercice 33  4602   

Soit H une partie finie non vide d’un groupe (G,).

On suppose que H est stable pour la loi . Montrer que H est un sous-groupe de G.

 
Exercice 34  2211   Correction  

Soient (G,×) un groupe, H un sous groupe de (G,×) et aG.

  • (a)

    Montrer que aHa-1={axa-1|xH} est un sous groupe de (G,×).

  • (b)

    À quelle condition simple aH={ax|xH} est un sous groupe de (G,×)?

Solution

  • (a)

    aHa-1G, e=aea-1aHa-1.
    Soient axa-1,aya-1aHa-1 avec x,yH on a

    (axa-1)(ay-1a-1)=a(xy-1)a-1aHa-1.
  • (b)

    eaHa-1HaH. Inversement

    aHa-1HaH=H.

    La condition simple cherchée est aH.

 
Exercice 35  2215   Correction  

Soit H et K deux sous-groupes d’un groupe (G,*) tels que HK en soit aussi un sous-groupe. Montrer que HK ou KH.

Solution

Par l’absurde supposons

HK et KH.

Il existe hH tel que hK et kK tel que kH.
On a h,kHK donc h*kHK car HK sous-groupe.
Si h*kH alors k=h-1*(h*k)H car H sous-groupe. Or cela est exclu.
Si h*kK alors h=(h*k)*k-1K car K sous-groupe. Or cela est exclu.
Ainsi h*kHK. Absurde.

 
Exercice 36  4603   

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G noté multiplicativement. On forme

HK={xy|xH et yK}etKH={yx|yK et xH}.

Établir que HK est un sous-groupe de G si, et seulement si, KHHK et qu’alors HK=KH.

 
Exercice 37  2217    Correction  

(Description des sous-groupes de (Z,+))

Pour a, on note a={ak|k}.

  • (a)

    Montrer que a est un sous-groupe de (,+).
    On se propose de montrer que, réciproquement, tout sous groupe de est de cette forme.

  • (b)

    Vérifier que le groupe {0} est de la forme voulue.
    Soit H un sous-groupe de (,+) non réduit à {0}.

  • (c)

    Montrer que H+={hH|h>0} possède un plus petit élément. On note a=minH+.

  • (d)

    Établir que aH.

  • (e)

    En étudiant le reste de la division euclidienne d’un élément de H par a montrer que Ha.

  • (f)

    Conclure que pour tout sous-groupe H de , il existe un unique a tel que H=a.

Solution

  • (a)

    a, 0=a.0a.
    Soient x,ya, on peut écrire x=ak et y=a avec k,.
    x-y=a(k-) avec k- donc x-ya.
    Ainsi a est un sous-groupe de .

  • (b)

    Pour a=0, {0}=a.

  • (c)

    Puisque H est non vide et non réduit à {0}, il existe hH tel que h0.
    Si h>0 alors hH+, si h<0 alors -hH (car H sous-groupe) et -h>0 donc -hH+.
    Dans les deux cas H+.
    H+ est une partie non vide de donc H+ possède un plus petit élément.

  • (d)

    0H et aH.
    Par récurrence, la stabilité de H donne

    n,a.n=a++aH.

    Par passage à l’opposé, la stabilité de H par passage au symétrique donne

    n,a.nH.

    Ainsi aH.

  • (e)

    Soit xH. La division euclidienne de x par a0 donne x=aq+r avec q et 0r<a.
    On a r=x-aq avec xH et aqaH donc rH.
    Si r>0 alors rH+ or r<a=minH+ donc cela est impossible.
    Il reste r=0 ce qui donne x=aqa. Ainsi Ha et finalement H=a.

  • (f)

    L’existence est établie ci-dessus. Il reste à montrer l’unicité.
    Soit a,b tel que a=b. On a aa=b donc ba et de même ab, or a,b0 donc a=b.

[<] Sous-groupes[>] Anneaux et corps

 
Exercice 38  2204  Correction  

Soit (G,) un groupe à n éléments.
Justifier que sa table de composition est un carré latin c’est à dire que tout élément de G figure une fois et une seule dans chaque ligne et dans chaque colonne.

Solution

Si un élément figure deux fois dans une même ligne correspondant aux valeurs de composition avec x, c’est qu’il existe ab tel que xa=xb.
Or tout élément d’un groupe est régulier, ce cas de figure ci-dessus est donc impossible.
Comme le groupe G à n élément, qu’il y a n cases sur chaque ligne et que chaque ligne ne peut contenir deux fois le même élément, chaque ligne contient chaque élément de G une fois et une seule.
On raisonne de même avec les colonnes.

 
Exercice 39  2214   Correction  

On considère les applications de E={0,1} dans lui-même définies par:

i(x)=x,f(x)=1-x,g(x)=1x,h(x)=xx-1,k(x)=x-1x,(x)=11-x.
  • (a)

    Démontrer que ce sont des permutations de E.

  • (b)

    Construire la table donnant la composée de deux éléments quelconques de l’ensemble G={i,f,g,h,k,l}.

  • (c)

    Montrer que G muni de la composition des applications est un groupe non commutatif.

Solution

  • (a)

    Il est clair que i, f et g sont des permutations de E.

    h(x)=xx-1=1+1x-1=1-11-x=f(g(f(x)))

    donc h=fgf et donc h𝒮E.
    De même, k=fg𝒮E et =gf𝒮E

  • (b)
    ifghkiifghkffikghggikhfhhkifgkkhfgighfik.
  • (c)

    G est un sous groupe de (𝒮E,) car G contient i, est stable par composition et par passage à l’inverse.
    De plus, ce groupe n’est pas commutatif car gffg.

 
Exercice 40  4607   

On dit qu’un élément a d’un ensemble E muni d’une loi est régulier lorsque, pour tout (x,y)E2,

ax=ay x=y(régularité à gauche)
xa=ya x=y(régularité à droite).
  • (a)

    Montrer que tous les éléments d’un groupe sont réguliers.

  • (b)

    Soit E un ensemble fini muni d’une loi associative pour laquelle il existe un élément régulier. Montrer que la loi possède un élément neutre.

  • (c)

    Soit G un ensemble fini non vide muni d’une loi associative pour laquelle tous les éléments sont réguliers. Montrer que G est un groupe.

 
Exercice 41  4604   

Soit G un groupe possédant 4 éléments. Montrer que G est commutatif.

 
Exercice 42  4605   

Soit G un groupe noté multiplicativement possédant un nombre pair d’éléments.

Montrer qu’il existe xG tel que x2=1 et x1.

 
Exercice 43  4608   

Soit (G,) un groupe possédant 2n éléments avec n2.

On suppose qu’il existe deux sous-groupes H et K possédant chacun n éléments et vérifiant HK={e}. Montrer n=2.

 
Exercice 44  4609    

Soit (G,) un groupe fini dans lequel x2=e pour tout xE.

  • (a)

    Soient H un sous-groupe strict11 1 Un sous-groupe strict est un sous-groupe différent du groupe. de (G,) et a un élément de GH.

    Montrer que K=HH avec H={ax|xH} est un sous-groupe de G.

  • (b)

    Avec les notations qui précèdent, donner le cardinal de K en fonction de celui de H.

  • (c)

    En déduire que le cardinal de G est une puissance de 2.

 
Exercice 45  4611    

(Conjugaison dans un groupe)

Soit G un groupe fini noté multiplicativement.

  • (a)

    On appelle normalisateur de xG l’ensemble N(x)={gG|gxg-1=x}. Montrer que N(x) est un sous-groupe de G.

  • (b)

    Montrer que l’on définit une relation d’équivalence sur G en posant

    xygG,y=gxg-1.
  • (c)

    On note Cl(x) la classe d’équivalence d’un élément x pour la relation . Montrer

    Card(G)=Card(Cl(x))×Card(N(x)).
  • (d)

    Application: On suppose que G est de cardinal pα avec p premier et α*. Montrer que son centre11 1 Voir sujet 2212. Z(G) n’est pas réduit à {1}.

[<] Groupe de cardinal fini

 
Exercice 46  4598  

Soit E un ensemble. On définit la différence symétrique11 1 Voir sujet 4479. AΔB de deux parties A et B de E par la relation AΔB=(AB)(AB¯).

Montrer que ((E),Δ,) est un anneau commutatif.

 
Exercice 47  2243   Correction  

Pour a,b, on pose

ab=a+b-1etab=ab-a-b+2.

Montrer que (,,) est un corps.

Solution

Soit φ: définie par φ:xx-1. φ est une bijection et l’on vérifie

φ(ab)=φ(a)+φ(b)etφ(ab)=φ(a)×φ(b).

Par la bijection φ-1, la structure de corps sur (,+,×) est transportée sur (,,).

Notamment, les neutres de (,,) sont 1 et 2.

 
Exercice 48  2235   

(Anneau de Boole)

Soit (A,+,×) un anneau de Boole11 1 L’anneau ((E),Δ,) étudié dans le sujet 4598 est un exemple non trivial d’anneau de Boole., c’est-à-dire une anneau dans lequel x2=x pour tout xA.

  • (a)

    Montrer que 2.x=0A pour tout xA. En déduire que A est un anneau commutatif.

  • (b)

    Montrer que l’on définit une relation d’ordre sur A en posant

    xyxy=x.
 
Exercice 49  2234   

(Nilpotence)

On dit qu’un élément x d’un anneau (A,+,×) est nilpotent lorsqu’il existe n* vérifiant xn=0A. Soit x et y deux éléments de l’anneau (A,+,×).

  • (a)

    Montrer que si x est nilpotent et que x et y commutent, alors xy est nilpotent.

  • (b)

    Montrer que si xy est nilpotent, alors yx l’est aussi.

  • (c)

    Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors x+y est nilpotent.

  • (d)

    Montrer que si x est nilpotent alors 1A-x est inversible et préciser (1A-x)-1.

 
Exercice 50  1221    

Soient a et b deux éléments d’un anneau (A,+,×). Montrer que si 1A-ab est inversible alors 1A-ba l’est aussi.

 
Exercice 51  4606    

Soit (A,+,×) un anneau vérifiant xyx=x2y pour tous x et y dans A. Montrer que l’anneau est commutatif.



Édité le 08-11-2019

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