Exercice 1 5530 Correction

Soit $a$ un élément d’un anneau $(A, +, \times)$ .

Montrer que si $a$ est nilpotent alors $1_{A} - a$ est inversible.

Solution

Soit $n \in ℕ^{*}$ tel que $a^{n} = 0_{A}$ .

Puisque $a$ et $1_{A}$ commutent, on peut écrire les factorisations

	$1_{A} = 1_{A} - a^{n}$	$= (1_{A} - a) (1_{A} + a + \dots + a^{n - 1}) et$
	$1_{A} = 1_{A} - a^{n}$	$= (1_{A} + a + \dots + a^{n - 1}) (1_{A} - a) .$

On en déduit que $1_{A} - a$ est inversible et $1_{A} + a + \dots + a^{n - 1}$ est son inverse.

Exercice 2 2233 Correction

Montrer qu’un anneau $(A, +, \times)$ n’a pas de diviseurs de zéro si, et seulement si, tous ses éléments non nuls sont réguliers

Solution

Supposons que $A$ n’ait pas de diviseurs de zéro.
Soit $x \in A$ avec $x \neq 0$ .

\forall a, b \in A, x a = x b ⟹ x (a - b) = 0 ⟹ a - b = 0

car $x \neq 0$ .
Ainsi $x$ est régulier à gauche. Il en est de même à droite.
Supposons que tout élément non nul de $A$ soit régulier.

\forall x, y \in A, x y = 0 ⟹ x y = x .0 ⟹ x = 0 ou y = 0

(par régularité de $x$ dans le cas où $x \neq 0$ ).
Par suite, l’anneau $A$ ne possède pas de diviseurs de zéro.

Exercice 3 2236 Correction

Soient $a, b$ deux éléments d’un anneau $(A, +, \times)$ tels que $a b$ soit inversible et $b$ non diviseur de 0.
Montrer que $a$ et $b$ sont inversibles.

Solution

Soit $x = b {(a b)}^{- 1}$ . Montrons que $x$ est l’inverse de $a$ .
On a $a x = a b {(a b)}^{- 1} = 1$ et $x a b = b {(a b)}^{- 1} a b = b$ donc $(x a - 1) b = 0$ puis $x a = 1$ car $b$ n’est pas diviseur de 0. Ainsi $a$ est inversible et $x$ est son inverse.
De plus, $b = a^{- 1} (a b)$ l’est aussi par produit d’éléments inversibles.

Exercice 4 5422 MINES (MP)Correction

Soient $(A, +, \times)$ un anneau commutatif intègre et $G$ une partie finie non vide de $A ∖ {0}$ stable par multiplication.

Montrer que $G$ est un sous-groupe du groupe $(A^{\times}, \times)$ constitué des éléments inversibles de l’anneau $A$ .

Solution

Soit $a \in G$ . Pour tout $k \in ℕ^{*}$ , $a^{k}$ est un élément de $G$ car $G$ est stable par produit. Puisque $G$ est un ensemble fini, il existe $k, ℓ \in ℕ^{*}$ tels que $a^{k} = a^{ℓ}$ avec $k \neq ℓ$ . Quitte à échanger, on peut supposer $k < ℓ$ et écrire

a^{k} (a^{ℓ - k} - 1_{A}) = a^{ℓ} - a^{k} = 0_{A} .

Par intégrité de l’anneau $(A, +, \times)$ , $a^{k} \neq 0_{A}$ puis $a^{ℓ - k} - 1_{A} = 0_{A}$ . Ainsi, $a^{ℓ - k} = 1_{A}$ . En particulier, $1_{A} \in G$ et, de plus, $a$ est inversible avec $a^{- 1} = a^{ℓ - k - 1} \in G$ .

Ainsi, $G$ est une partie de $A^{\times}$ , contenant $1_{A}$ , stable par produit et par passage à l’inverse de ses éléments, c’est un sous-groupe du groupe $(A^{\times}, \times)$ .

Exercice 5 4233

Dans un anneau $(A, +, \times)$ , on étudie l’équation $x^{2} = 1_{A}$ d’inconnue $x \in A$ .

(a)

On suppose l’anneau $A$ intègre. Résoudre l’équation introduite.
(b)

Observer que l’équation peut posséder d’autres solutions que les précédentes lorsque l’anneau $A$ est l’un des anneaux non intègres suivants: $ℤ^{2}$ , $ℤ / 8 ℤ$ et $ℳ_{2} (ℝ)$ .

Exercice 6 6002 Correction

Montrer que les diviseurs de zéro de l’anneau $(ℳ_{n} (ℝ), +, \times)$ sont les matrices $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $0 < rg (A) < n$ .

Solution

Si $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ est un diviseur de zéro alors $A \neq O_{n}$ et $A \notin {GL}_{n} (ℝ)$ . On en déduit $0 < rg (A) < n$ .

Inversement, soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ avec $0 < rg (A) < n$ . Posons $r = rg (A)$ . On peut écrire

A = Q J_{r} P^{- 1}

avec $P, Q \in {GL}_{n} (ℝ)$ et

J_{r} = (\begin{matrix} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

Considérons alors

J_{r}^{'} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & I_{n - r} \end{matrix}) et B = P J_{r}^{'} .

On vérifie $A B = Q J_{r} J_{r}^{'} = Q \times O_{n} = O_{n}$ avec $A, B \neq O_{n}$ . La matrice $A$ est un diviseur de zéro.

Exercice 7 4242

Montrer que l’ensemble $𝒮$ des fonctions de $ℝ$ vers $ℂ$ développables en série entière sur $ℝ$ est un anneau intègre pour les opérations usuelles.

Exercice 8 4245

Soit $(A, +, \times)$ un anneau.

(a)

On suppose que $0_{A}$ est la seule solution à l’équation $x^{2} = 0_{A}$ d’inconnue $x \in A$ . Soit $e \in A$ vérifiant¹¹ 1 On dit que l’élément $e$ est idempotent. $0_{A}$ et $1_{A}$ sont des exemples d’éléments idempotents. $e^{2} = e$ . Montrer que $e$ commute avec tout élément de $A$ .
(b)

On suppose $x^{2} = x$ pour tout $x \in A$ . Montrer que l’anneau $A$ est commutatif.
(c)

On suppose $x^{3} = x$ pour tout $x \in A$ . Montrer que $3 . x + 3 . x^{2}$ est nul puis que l’anneau $A$ est commutatif.
(d)

On suppose $x^{4} = x$ pour tout $x \in A$ . Montrer que $2 . x$ est nul puis que $x + x^{2}$ commute avec tout $y$ de $A$ . En déduire que $x^{2}$ commute avec $y$ et conclure que l’anneau $A$ est commutatif.

[<] Calculs dans un anneau[>] Corps

Exercice 9 4235

Soit $A$ un anneau commutatif.

(a)

Que dire d’un idéal de $A$ lorsque celui-ci contient le neutre $1_{A}$ ?
(b)

Quels sont les idéaux d’un corps $K$ ?

Exercice 10 3854

Un idéal d’un anneau commutatif $(A, +, \times)$ est dit principal lorsqu’il est de la forme $x A$ pour un certain $x \in A$ .

Montrer que les idéaux de tous les sous-anneaux de $ℚ$ sont principaux.

Exercice 11 135 Correction

On note

𝔻 = {\frac{p}{10^{n}} | p \in ℤ, n \in ℕ}

l’ensemble des nombres décimaux.

(a)

Montrer que $𝔻$ est un sous-anneau de $(ℚ, +, \times)$ .
(b)

Montrer que les idéaux de $𝔻$ sont principaux (c’est-à-dire de la forme $a 𝔻$ avec $a \in 𝔻$ ).

Solution

(a)

$𝔻$ est une partie de $ℚ$ contenant $1$ car $1 = 1 / 10^{0}$ .

Pour $x, y \in 𝔻$ , on peut écrire

$x = \frac{p}{10^{n}} et y = \frac{q}{10^{m}}$

avec $p, q \in ℤ$ et $n, m \in ℕ$ . On vérifie

$- x$ $= \frac{- p}{10^{n}} \in 𝔻$

$x + y$ $= \frac{p 10^{m} + q 10^{n}}{10^{n + m}} \in 𝔻$

$x y$ $= \frac{p q}{10^{n + m}} \in 𝔻$
(b)

Soit $I$ un idéal de $𝔻$ .

L’intersection $I \cap ℤ$ est un sous-groupe de $(ℤ, +)$ , il existe donc $a \in ℤ$ vérifiant $I \cap ℤ = a ℤ$ .

Puisque $a \in I$ , on a $a 𝔻 \subset I$ .

Inversement, soit $x \in I$ . On peut écrire

$x = \frac{p}{10^{n}} avec p \in ℤ et n \in ℕ .$

On a alors $10^{n} x \in I$ par absorption donc $p \in I \cap ℤ$ . On en déduit $a ∣ p$ puis $x \in a 𝔻$ .

Finalement, $I = a 𝔻$

Exercice 12 136 Correction

(Nilradical d’un anneau)

On appelle nilradical d’un anneau commutatif $(A, +, \times)$ l’ensemble $N$ formé des éléments nilpotents de $A$ , c’est-à-dire des $x \in A$ tels qu’il existe $p \in ℕ^{*}$ vérifiant $x^{p} = 0_{A}$ .

(a)

Montrer que $N$ est un idéal de $(A, +, \times)$ .
(b)

Déterminer $N$ lorsque $A = ℤ / n ℤ$ avec $n \in ℕ^{*}$ .

Solution

(a)

$N$ est une partie de $A$ contenant $0_{A}$ .

Pour $x, y \in N$ , il existe $p, q \in ℕ^{*}$ tel que $x^{p} = y^{q} = 0_{A}$ .

Par la formule du binôme de Newton¹¹ 1 Celle-ci est possible car l’anneau est commutatif.,

${(x + y)}^{p + q - 1} = \sum_{k = 0}^{p + q - 1} (\binom{p + q - 1}{k}) x^{k} y^{p + q - 1 - k} .$

Pour $k \geq p$ , $x^{k} = 0_{A}$ et pour $k \leq p - 1$ , $y^{p + q - 1 - k} = 0_{A}$ .

Dans les deux cas $x^{k} y^{p + q - 1 - k} = 0_{A}$ et donc ${(x + y)}^{p + q - 1} = 0_{A}$ . Par suite, $x + y \in N$ .

Enfin, pour $a \in A$ et $x \in N$ , $a x \in N$ car ${(a x)}^{p} = a^{p} x^{p}$ .
(b)

Un élément nilpotent de $ℤ / n ℤ$ est la classe de congruence d’un entier dont une puissance est divisible par $n$ . Ces entiers sont ceux possédant tous les facteurs premiers que l’on retrouve dans $n$ . Autrement dit, si l’on écrit

$n = p_{1}^{α_{1}} \times \dots p_{N}^{α_{N}}$

avec $p_{1}, \dots, p_{N}$ nombres premiers deux à deux distincts et $α_{1}, \dots, α_{N} \in ℕ^{*}$ , les éléments nilpotents de $ℤ / n ℤ$ sont les multiples de $n^{'} = p_{1} \times \dots \times p_{N}$ .

Exercice 13 4240

(Radical d’un idéal)

Soit $I$ un idéal d’un anneau commutatif $A$ . On appelle radical¹¹ 1 Lorsque $I = {0}$ , le radical de $I$ regroupe les éléments nilpotents de l’anneau $A$ . de l’idéal $I$ l’ensemble $R (I)$ des éléments $x$ de $A$ pour lesquels il existe $q \in ℕ^{*}$ tel que $x^{q} \in I$ .

(a)

Montrer que $R (I)$ est un idéal de $A$ contenant $I$ .
(b)

Soient $I$ et $J$ deux idéaux. Vérifier

$R (I \cap J) = R (I) \cap R (J) .$
(c)

On suppose que $A = ℤ$ . Déterminer le radical de $n ℤ$ pour $n \in ℕ$ .

Exercice 14 5378 ENSTIM (MP)Correction

Soit $(A, +, \times)$ un anneau. On considère

R = {x \in A | \forall a \in A {, 1}_{A} + a x est inversible} .

Montrer que $R$ est un idéal de l’anneau $(A, +, \times)$ .

Solution

$R$ est évidemment une partie de $A$ et celle-ci contient $0_{A}$ .

Soient $x, y \in R$ . Pour tout $a \in A$ ,

1_{A} + a (x + y) = 1_{A} + a x + a y = (1_{A} + a x) (1_{A} + b y) avec b = {(1_{A} + a x)}^{- 1} a \in A .

Par produit d’éléments inversibles, $1_{A} + a (x + y)$ est inversible. Ainsi, $x + y \in R$ .

Soient $x \in R$ et $α \in A$ . Pour tout $a \in A$ ,

1_{A} + a (α x) = 1_{A} + b x avec b = a α \in A .

Ainsi, $α x \in R$ .

Finalement, $R$ est un idéal de $(A, +, \times)$ .

Exercice 15 4239

(Idéaux premiers)

Un idéal $I$ d’un anneau commutatif $(A, +, \times)$ est dit premier lorsque, pour tout $(x, y) \in A^{2}$ ,

x y \in I ⟹ (x \in I ou y \in I) .

(a)

Déterminer les idéaux premiers de $(ℤ, +, \times)$ .
(b)

On suppose que $A$ un anneau commutatif non réduit à ${0_{A}}$ dont tout idéal est premier. Établir que $A$ est intègre puis que $A$ est en fait un corps.

Exercice 16 4234

Vérifier que le noyau d’un morphisme d’anneaux commutatifs est un idéal.

Exercice 17 3843 Correction

Soit $A$ un anneau intègre. On suppose que l’anneau $A$ ne possède qu’un nombre fini d’idéaux.
Montrer que $A$ est un corps.

Solution

Soit $x \in A$ avec $x \neq 0_{A}$ . Il suffit d’établir que $x$ est inversible pour conclure.
Pour chaque $n \in ℕ$ , $x^{n} A$ est un idéal. Puisque l’anneau $A$ ne possède qu’un nombre fini d’idéaux, il existe $p < q \in ℕ$ tels que $x^{p} A = x^{q} A$ . En particulier, puisque $x^{p} \in x^{p} A$ , il existe $a \in A$ tel que

x^{p} = x^{q} a .

On a alors

x^{p} (1_{A} - x^{q - p} a) = 0_{A} .

L’anneau $A$ étant intègre et sachant $x \neq 0_{A}$ , on a nécessairement

x^{q - p} a = 1_{A} .

On en déduit que $x$ est inversible avec

x^{- 1} = x^{q - p - 1} a .

Exercice 18 5625 Correction

(Caractéristique d’un anneau)

Soit $(A, +, \times)$ un anneau.

(a)

Montrer que l’application $φ : ℤ \to A$ définie par $φ (k) = k {.1}_{A}$ est un morphisme d’anneaux.
(b)

Justifier qu’il existe $n \in ℕ$ tel que $Ker (φ) = n ℤ$ .

Cet entier $n$ est appelé caractéristique de l’anneau $A$

Solution

(a)

L’application $φ$ est bien définie de l’anneau $(ℤ, +, \times)$ vers l’anneau $(A, +, \times)$ et l’on vérifie $φ (1) = 1_{A}$ .

Soient $k, ℓ \in ℤ$ . Par opérations sur les itérés additifs,

$φ (k + ℓ) = (k + ℓ) {.1}_{A} = k {.1}_{A} + ℓ {.1}_{A} = φ (k) + φ (ℓ)$

et

$φ (k ℓ) = (k ℓ) {.1}_{A} = k . (ℓ {.1}_{A}) = k . (1_{A} \times (ℓ {.1}_{A})) = (k {.1}_{A}) (ℓ {.1}_{A}) = φ (k) φ (ℓ) .$
(b)

Le noyau du morphisme $φ$ est un idéal de $ℤ$ , il est donc de la forme $n ℤ$ avec $n \in ℕ$ unique.
(c)

Soit $n$ la caractéristique d’un corps $K$ .

Par l’absurde, supposons $n \neq 0$ et $n$ non premier.

Puisque $1_{K} \neq 0_{K}$ , on a nécessairement $n \geq 2$ . L’entier $n$ est donc composé et l’on peut écrire $n = a b$ avec $1 < a, b < n$ . Or $φ (n) = φ (a) φ (b) = 0$ avec $φ (a), φ (b) \neq 0$ . C’est absurde.

Exercice 19 138 Correction

Soient $A$ un anneau commutatif et $e$ un élément idempotent de $A$ (c’est-à-dire $e^{2} = e$ ).

(a)

Montrer que $J = {x \in A | x e = 0}$ est un idéal de $A$ .
(b)

On note $I = A e$ l’idéal principal engendré par $e$ . Déterminer $I + J$ et $I \cap J$ .
(c)

Établir que pour tout idéal $K$ de $A$ :

$(K \cap I) + (K \cap J) = K .$

Solution

(a)

sans difficultés.
(b)

Pour tout $x \in A$ , $x = x e + x (1 - e)$ avec $x e \in I$ et $x - x e \in J$ . Par suite, $I + J = A$ .
Si $x e \in J$ alors $x e = x e^{2} = 0$ donc $I \cap J = {0}$ .
(c)

L’inclusion $(K \cap I) + (K \cap J) \subset K$ est immédiate. L’inclusion réciproque provient de l’écriture $x = x e + x (1 - e)$ .

Exercice 20 2450 Correction

Soit $A$ un sous-anneau d’un corps $K$ vérifiant, pour tout $x \in K$ ,

x \neq 0_{K} ⟹ x \in A ou x^{- 1} \in A .

On forme $I$ l’ensemble des éléments de l’anneau $A$ non inversibles.

(a)

Montrer que $I$ est un idéal de $A$ .
(b)

Montrer que tout idéal de $A$ autre que $A$ est inclus dans $I$ .

Solution

(a)

$I$ est une partie non vide de $A$ puisque $0_{A}$ en est élément. Soient $a \in A$ et $x \in I$
Si $a = 0$ alors $a x = 0 \in I$ .
Pour $a \neq 0$ , supposons ${(a x)}^{- 1} \in A$ .
On a alors $a^{- 1} x^{- 1} \in A$ et donc $x^{- 1} = a (a^{- 1} x^{- 1}) \in A$ ce qui est exclu.
Nécessairement ${(a x)}^{- 1} \notin A$ et donc $a x \in I$ .
Soient $x, y \in I$ . Montrons que $x + y \in I$ .
Si $x = 0$ , $y = 0$ ou $x + y = 0$ , c’est immédiat. Sinon:
On a ${(x + y)}^{- 1} (x + y) = 1$ donc

${(x + y)}^{- 1} (1 + x^{- 1} y) = x^{- 1} et {(x + y)}^{- 1} (1 + x y^{- 1}) = y^{- 1} (*).$

Par l’hypothèse de départ, l’un au moins des deux éléments $x^{- 1} y$ ou $x y^{- 1} = {(x^{- 1} y)}^{- 1}$ appartient à $A$ .
Par opérations dans $A$ à l’aide des relations (*), si ${(x + y)}^{- 1} \in A$ alors $x^{- 1}$ ou $y^{- 1}$ appartient à $A$ ce qui est exclu. Ainsi, ${(x + y)}^{- 1} \notin A$ et donc $x + y \in I$ .

Finalement, $I$ est un idéal de $A$ .
(b)

Soit $J$ un idéal de $A$ distinct de $A$ . Pour tout $x \in J$ , si $x$ est inversible dans l’anneau $A$ , on peut introduire $x^{- 1} \in A$ et alors, par absorption, $1 = x x^{- 1} \in J$ et donc $J = A$ ce qui est exclu.

On en déduit que $x \in I$ . Ainsi, $J \subset I$ .

Exercice 21 141 Correction

( $Z$ est noethérien)

Montrer que tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de $ℤ$ est stationnaire.
Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux de $𝕂 [X]$ ?.

Solution

Une suite croissante $(I_{n})$ d’idéaux de $ℤ$ se détermine par une suite d’entiers naturels $(a_{n})$ vérifiant $I_{n} = a_{n} ℤ$ et $a_{n + 1} ∣ a_{n}$ . Si pour tout $n \in ℕ$ , $I_{n} = {0}$ alors la suite $(I_{n})$ est stationnaire.
Sinon à partir d’un certain rang $I_{n} \neq {0}$ et la relation $a_{n + 1} ∣ a_{n}$ entraîne $a_{n + 1} \leq a_{n}$ . La suite d’entiers naturels $(a_{n})$ est décroissante et donc stationnaire. Il en est de même pour $(I_{n})$ .
Ce résultat se généralise à $𝕂 [X]$ en travaillant avec une suite de polynômes unitaires $(P_{n})$ vérifiant $P_{n + 1} ∣ P_{n}$ ce qui permet d’affirmer en cas de non nullité $\deg (P_{n + 1}) \leq \deg (P_{n})$ puis $(\deg (P_{n}))$ stationnaire, puis encore $(P_{n})$ stationnaire et enfin $(I_{n})$ stationnaire.

Exercice 22 3635

(Description des idéaux de $Z^{2}$ )

Soit $I$ un idéal de l’anneau produit $(ℤ^{2}, +, \times)$ . On introduit

I_{1} = {x \in ℤ | (x,0) \in I} et I_{2} = {y \in ℤ | (0, y) \in I} .

(a)

Montrer que $I_{1}$ et $I_{2}$ sont des idéaux de $(ℤ, +, \times)$ .
(b)

Établir $I = I_{1} \times I_{2}$ .
(c)

Conclure que les idéaux de l’anneau $(ℤ^{2}, +, \times)$ sont de la forme¹¹ 1 Autrement dit, les idéaux de $ℤ^{2}$ sont principaux (voir le sujet 3854). $x ℤ^{2}$ avec $x \in ℤ^{2}$ .

Exercice 23 5813 Correction

On étudie l’ensemble

ℤ [j] = {a + b j | a, b \in ℤ} avec j = e^{2 i π / 3} .

(a)

Montrer que $ℤ [j]$ est un anneau pour les opérations numériques usuelles.
(b)

Prouver qu’un élément $x \in ℤ [j]$ est inversible si, et seulement si, $| x | = 1$ .

Préciser alors quels sont les éléments inversibles de l’anneau $ℤ [j]$ .
(c)

Soient $x, y \in ℤ [j]$ avec $y \neq 0$ .

Prouver l’existence de $(q, r) \in ℤ {[j]}^{2}$ vérifiant $x = q y + r$ et $| r | < | y |$ .
(d)

En déduire que les idéaux de $ℤ [j]$ sont de la forme $x ℤ [j]$ avec $x \in ℤ [j]$ .

Solution

(a)

Vérifions que $ℤ [j]$ est un sous-anneau de l’anneau $(ℂ, +, \times)$ .

On a immédiatement $ℤ [j] \subset ℂ$ et $1 = 1 + 0 j \in ℤ [j]$ .

Soient $x, y \in ℤ [j]$ . On peut écrire $x = a + b j$ et $y = c + d j$ avec $a, b, c, d \in ℤ$ . On a alors

$x - y$ $= (a - c) + (b - d) j \in ℤ [j]$

$x y$ $= a c + (a d + b c) j + b d j^{2} = (a c - b d) + (a d + b c - b d) j \in ℤ [j]$

car $j^{2} = - 1 - j$ .

Ainsi, $ℤ [j]$ est un sous-anneau de $(ℂ, +, \times)$ et c’est donc un anneau pour les opérations numériques usuelles.
(b)

Pour $x = a + b j \in ℤ [j]$ avec $a, b \in ℤ$ , on a

${| x |}^{2} = x \bar{x} = (a + b j) (a + b j^{2}) = a^{2} - a b + b^{2} \in ℕ .$

Si $x$ est inversible dans $ℤ [j]$ alors il existe $y \in ℤ [j]$ vérifiant $x y = 1$ . On a alors ${| x |}^{2} {| y |}^{2} = 1$ avec ${| x |}^{2}, {| y |}^{2} \in ℕ$ . On en déduit ${| x |}^{2} = 1$ soit $| x | = 1$ . Inversement, si $| x | = 1$ alors

$y = \frac{1}{x} = \frac{\bar{x}}{{| x |}^{2}} = \bar{x} \in ℤ [j] .$

On en déduit que $x$ est inversible dans $ℤ [j]$ .

Pour déterminer les $x = a + b j \in ℤ [j]$ inversibles dans $ℤ [j]$ , il suffit alors de résoudre l’équation $a^{2} - a b + b^{2} = 1$ d’inconnue $(a, b) \in ℤ^{2}$ . On remarque

$a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2}) + \frac{1}{2} {(a - b)}^{2} .$

Un couple $(a, b) \in ℤ^{2}$ solution de l’équation $a^{2} - a b + b^{2} = 1$ vérifie nécessairement $a^{2} + b^{2} \leq 2$ et donc $a, b \in {- 1, 0, 1}$ . Cela propose $9$ couples $(a, b)$ possibles qu’il suffit de lister pour identifier les solutions. À terme, les éléments inversibles de $ℤ [j]$ sont

$1, - 1, j, - j, 1 + j = - j^{2} et - 1 - j = j^{2} .$

On reconnaît ici la liste des racines $6$ -ièmes de l’unité.
(c)

Considérons $z = x / y \in ℂ$ . On peut écrire $z = α + β j$ avec $(α, β) \in ℝ^{2}$ car $(1, j)$ est une base du $ℝ$ -espace vectoriel $ℂ$ . Posons alors $a$ l’entier le plus proche¹¹ 1 Celui-ci est déterminé de manière unique lorsque $α \notin 1 / 2 + ℤ$ . Sinon, deux entiers sont équidistants de $α$ et l’on choisit n’importe lequel des deux. de $α$ et $b$ celui le plus proche de $β$ . Posons ensuite $q = a + b j$ et enfin $r = x - q y$ . On vérifie $x = q y + r$ avec $q, r \in ℤ [j]$ . De plus,

${| z - q |}^{2}$ $= {| (α - a) + (β - b) j |}^{2} = {(α - a)}^{2} - (α - a) (β - b) + {(β - b)}^{2}$

$= \frac{1}{2} ({(α - a)}^{2} + {(β - b)}^{2}) + \frac{1}{2} {(α - a + β - b)}^{2}$

$\leq \frac{1}{2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} < 1$

et donc

$| r | = | z - q | | y | < | y | .$
(d)

On sait déjà que pour $x \in ℤ [j]$ , l’ensemble $x ℤ [j]$ est un idéal de l’anneau $ℤ [j]$ . Inversement, soit $I$ un idéal de $ℤ [j]$ .

Si $I = {0}$ alors $I = x ℤ [j]$ avec $x = 0 \in ℤ [j]$ .

Si $I \neq {0}$ , introduisons

$d = \min {| y | | y \in I ∖ {0}}$

et considérons $x \in I$ tel que $d = | x |$ .

On a $x ℤ [j] \subset I$ par absorption de l’idéal $I$ .

Soit $y \in I$ . Par la question précédente (avec des notations inversées), il existe $q, r \in ℤ [j]$ tels que $y = q x + r$ avec $| r | < | x |$ . Or, par opérations dans l’idéal $I$ , $r = y - q x \in I$ avec $| r | < d$ . On en déduit $r = 0$ puis $y = q x \in x ℤ [j]$ . Par double inclusion, $I = x ℤ [j]$ .

Les idéaux de $ℤ [j]$ sont donc les $x ℤ [j]$ avec $x$ parcourant $ℤ [j]$ .

Exercice 24 2661 MINES (MP)

Soit $p$ un nombre premier. On note $Z_{p}$ l’ensemble des nombres rationnels dont le dénominateur n’est pas divisible par $p$ .

(a)

Vérifier que $Z_{p}$ est un sous-anneau de $(ℚ, +, \times)$ . Quels en sont les éléments inversibles?

On introduit $J$ l’ensemble des éléments non inversibles de $Z_{p}$ .

(b)

Montrer que $J$ est un idéal de $Z_{p}$ . Que dire d’un idéal contenant $J$ et distinct de $J$ ?
(c)

Déterminer tous les idéaux de $Z_{p}$ .

Exercice 25 2367 CENTRALE (MP)Correction

Soit $A$ un sous-anneau de $ℚ$ .

(a)

Soient $p$ un entier et $q$ un entier strictement positif premier avec $p$ . Montrer que si $p / q \in A$ alors $1 / q \in A$ .
(b)

Soit $I$ un idéal de $A$ autre que ${0}$ . Montrer qu’il existe $n \in ℕ^{*}$ tel que $I \cap ℤ = n ℤ$ et qu’alors $I = n A$ .
(c)

Soit $p$ un nombre premier. On pose

$Z_{p} = {a / b | a \in ℤ, b \in ℕ^{*}, p \land b = 1} .$

Montrer que si $x \in ℚ^{*}$ alors $x$ ou $1 / x$ appartient à $Z_{p}$ .
(d)

On suppose ici que $x$ ou $1 / x$ appartient à $A$ pour tout $x \in ℚ^{*}$ . On note $I$ l’ensemble des éléments non inversibles de $A$ .
Montrer que $I$ inclut tous les idéaux stricts de $A$ . En déduire que $A = ℚ$ ou $A = Z_{p}$ pour un certain nombre premier $p$ .

Solution

Notons qu’un sous-anneau de $ℚ$ possédant 1 contient nécessairement $ℤ$ .

(a)

Par égalité de Bézout, on peut écrire $p u + q v = 1$ avec $u, v \in ℤ$ . Si $\frac{p}{q} \in A$ alors

$\frac{1}{q} = u \frac{p}{q} + v .1 \in A .$
(b)

$I \cap ℤ$ est un sous-groupe de $(ℤ, +)$ donc il est de la forme $n ℤ$ avec $n \in ℕ$ .
Puisque $I \neq {0}$ , il existe $p / q \in I$ non nul et par absorption, $p = q . p / q \in I \cap ℤ$ avec $p \neq 0$ . Par suite, $I \cap ℤ \neq {0}$ et donc $n \in ℕ^{*}$ .
Puisque $n \in I$ , on peut affirmer par absorption que $n A \subset I$ .
Inversement, pour $p / q \in I$ avec $p \land q = 1$ on a $1 / q \in A$ et $p \in n ℤ$ donc $p / q \in n A$ . Ainsi $I = n A$ .
(c)

On peut vérifier que $Z_{p}$ est un sous-anneau de $ℚ$ .
Pour $x = a / b \in ℚ^{*}$ avec $a \land b = 1$ . Si $p ∣ b$ alors $p \land b = 1$ et $x \in Z_{p}$ . Sinon $p ∣ b$ et donc $p ∣ a$ d’où l’on tire $1 / x \in Z_{p}$ .
(d)

Soit $J$ un idéal strict de $A$ . $J$ ne contient pas d’éléments inversibles de $A$ car sinon il devrait contenir 1 et donc être égal à $A$ .
Ainsi, $J$ est inclus dans $I$ . De plus, on peut montrer que $I$ est un idéal de $A$ .
En effet, $I \subset A$ et $0 \in I$ .
Soient $a \in A$ et $x \in I$ .

Cas: $a = 0$ . $a x = 0 \in I$ .

Cas: $a \neq 0$ . Supposons ${(a x)}^{- 1} \in A$ alors $a^{- 1} x^{- 1} \in A$ et donc $x^{- 1} = a (a^{- 1} x^{- 1}) \in A$ ce qui est exclu. Ainsi, ${(a x)}^{- 1} \notin A$ et donc $a x \in I$ .
Soient $x, y \in I$ . Montrons que $x + y \in I$ .

Cas: $x = 0$ , $y = 0$ ou $x + y = 0$ . C’est immédiat.

Cas: $x \neq 0$ , $y \neq 0$ et $x + y \neq 0$ . On a ${(x + y)}^{- 1} (x + y) = 1$ donc

${(x + y)}^{- 1} (1 + x^{- 1} y) = x^{- 1} et {(x + y)}^{- 1} (1 + x y^{- 1}) = y^{- 1} (*).$

Par l’hypothèse de départ, l’un au moins des deux éléments $x^{- 1} y$ ou $x y^{- 1} = {(x^{- 1} y)}^{- 1}$ appartient à $A$ .
Par opérations dans $A$ à l’aide des relations (*), si ${(x + y)}^{- 1} \in A$ alors $x^{- 1}$ ou $y^{- 1}$ appartient à $A$ ce qui est exclu. Ainsi ${(x + y)}^{- 1} \notin A$ et donc $x + y \in I$ .

Finalement, $I$ est un idéal de $A$ .
Par suite, il existe $n \in ℕ$ , vérifiant $I = n A$ .
Si $n = 0$ alors $I = {0}$ et alors $A = ℚ$ car pour tout $x \in ℚ^{*}$ , $x$ ou $1 / x \in A$ et dans les deux cas $x \in A$ car $I = {0}$ .
Si $n = 1$ alors $I = A$ ce qui est absurde car $1 \in A$ est inversible.
Nécessairement $n \geq 2$ . Si $n = q r$ avec $2 \leq q, r \leq n - 1$ alors puisque $1 / n \notin A$ , au moins l’un des éléments $1 / q$ et $1 / r \notin A$ . Quitte à échanger, on peut supposer $1 / q \notin A$ . $q A$ est alors un idéal strict de $A$ donc $q A \subset I$ . Inversement, $I \subset q A$ puisque $n$ est multiple de $q$ . Ainsi, si $n$ n’est pas premier alors il existe un facteur non trivial $q$ de $n$ tel que $I = n A = q A$ . Quitte à recommencer, on peut se ramener à un nombre premier $p$ .
Finalement, il existe un nombre premier $p$ vérifiant $I = p A$ .
Montrons qu’alors $A = Z_{p}$ .
Soit $x \in A$ . On peut écrire $x = a / b$ avec $a \land b = 1$ . On sait qu’alors $1 / b \in A$ donc si $p ∣ b$ alors $1 / p \in A$ ce qui est absurde car $p \in I$ . Ainsi $p ∣ b$ et puisque $p$ est premier, $p \land b = 1$ . Ainsi $A \subset Z_{p}$ .
Soit $x \in Z_{p}$ , $x = a / b$ avec $b \land p = 1$ . Si $x \notin A$ alors $x \neq 0$ et $1 / x = b / a \in A$ puis $b / a \in I \in p A$ ce qui entraîne, après étude arithmétique, $p ∣ b$ et est absurde.
Ainsi $Z_{p} \subset A$ puis finalement $Z_{p} = A$ .

[<] Idéaux[>] Classes de congruence

Exercice 26 5529 Correction

On considère l’ensemble $ℚ [\sqrt{2}] = {a + b \sqrt{2} | (a, b) \in ℚ^{2}}$ .

Montrer que $(ℚ [\sqrt{2}], +, \times)$ est un corps.

Solution

On établit que $ℚ [\sqrt{2}]$ est un sous-corps de $(ℝ, +, \times)$ .

$ℚ [\sqrt{2}]$ est une partie de $ℝ$ contenant $1$ car on peut écrire $1 = 1 + 0 . \sqrt{2}$ .

Soient $x$ et $y$ deux éléments arbitraires de $ℚ [\sqrt{2}]$ . On écrit $x = a + b \sqrt{2}$ et $y = a^{'} + b^{'} \sqrt{2}$ avec $a, b, a^{'}, b^{'} \in ℚ$ et alors

	$- x$	$= \underset{\begin{matrix} \in ℚ \end{matrix}}{\underset{⏟}{- a}} + (\underset{\begin{matrix} \in ℚ \end{matrix}}{\underset{⏟}{- b}}) \sqrt{2} \in ℚ [\sqrt{2}]$
	$x + y$	$= (\underset{\begin{matrix} \in ℚ \end{matrix}}{\underset{⏟}{a + a^{'}}}) + (\underset{\begin{matrix} \in ℚ \end{matrix}}{\underset{⏟}{b + b^{'}}}) \sqrt{2} \in ℚ [\sqrt{2}]$
	$x y$	$= (\underset{\begin{matrix} \in ℚ \end{matrix}}{\underset{⏟}{a a^{'} + b b^{'} 2}}) + (\underset{\begin{matrix} \in ℚ \end{matrix}}{\underset{⏟}{a b^{'} + a^{'} b}}) \sqrt{2} \in ℚ [\sqrt{2}] .$

Ainsi, $ℚ [\sqrt{2}]$ est un sous-anneau de $(ℝ, +, \times)$ .

De plus, si $x \neq 0$ , on peut multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée¹¹ 1 Celle-ci est non nulle car $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel. $a - b \sqrt{2}$ et l’on obtient

\frac{1}{x} = \frac{1}{a + b \sqrt{2}} = \frac{a - b \sqrt{2}}{a^{2} - 2 b^{2}} = \underset{\begin{matrix} \in ℚ \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{a}{a^{2} - 2 b^{2}}}} - \underset{\begin{matrix} \in ℚ \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{b}{a^{2} - 2 b^{2}}}} \sqrt{2} \in ℚ [\sqrt{2}] .

Finalement, $ℚ [\sqrt{2}]$ est un sous-corps de $(ℝ, +, \times)$ et c’est donc un corps pour les mêmes opérations.

Exercice 27 4243

Déterminer les tables d’opérations sur $𝔽_{4}$ corps fini¹¹ 1 Un théorème hors-programme assure que, à isomorphisme près, il existe un unique corps de cardinal $p^{n}$ pour tout nombre premier $p$ et tout $n \in ℕ^{*}$ . Au surplus, un corps fini a nécessairement un cardinal de cette forme. à $4$ éléments.

Exercice 28 129

On considère $(A, +, \times)$ un anneau intègre de cardinal fini.

(a)

Soit $a \in A$ non nul. Montrer que $x \mapsto a x$ définit une permutation¹¹ 1 C’est-à-dire une bijection de $A$ vers $A$ de $A$ .
(b)

En déduire que tout élément non nul de $(A, +, \times)$ est inversible.

Exercice 29 2245 Correction

Soit $A$ un anneau commutatif fini non nul.
Montrer que $A$ ne possède pas de diviseurs de zéro si, et seulement si, $A$ est un corps.

Solution

$(⟹)$ Tout élément non nul d’un corps est symétrisable donc régulier et n’est donc pas diviseurs de zéro.

$(⟸)$ Supposons que $A$ n’ait pas de diviseurs de zéros. Soit $a \in A$ tel que $a \neq 0$ . Montrons que $a$ est inversible Considérons l’application $φ : A \to A$ définie par $φ (x) = a . x$ .
$a$ n’étant pas diviseur de zéro, on démontre aisément que $φ$ est injective, or $A$ est fini donc $φ$ est bijective. Par conséquent, il existe $b \in A$ tel que $φ (b) = 1$ c’est-à-dire $a b = 1$ . Ainsi $a$ est inversible.

Finalement, $A$ est un corps.

Exercice 30 2677 MINES (MP)Correction

Soit $𝕂$ un corps, $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur $𝕂$ et $𝕃$ un sous-corps de $𝕂$ tel que $𝕂$ est un espace vectoriel de dimension finie $p$ sur $𝕃$ . Montrer que $E$ est un espace vectoriel de dimension finie $q$ sur $𝕃$ . Relier $n, p, q$ .

Solution

Il est facile de justifier que $E$ est un $𝕃$ -espace vectoriel sous réserve de bien connaître la définition des espaces vectoriels et de souligner que qui peut le plus, peut le moins…
Soit $({\vec{e}}_{1}, \dots, {\vec{e}}_{n})$ une base de $𝕂$ -espace vectoriel $E$ et $(λ_{1}, \dots, λ_{p})$ une base du $𝕃$ -espace vectoriel $𝕂$ .
Considérons la famille des ${(λ_{j} {\vec{e}}_{i})}_{1 \leq i \leq n,1 \leq j \leq p}$ . Il est facile de justifier que celle-ci est une famille libre et génératrice du $𝕃$ -espace vectoriel $E$ . Par suite, $E$ est de dimension finie $q = n p$ .

Exercice 31 5421 MINES (MP)Correction

On considère le polynôme $P = X^{3} - X + 1$ .

(a)

Justifier que $P$ est irréductible dans $ℚ [X]$ .
(b)

Montrer que le polynôme $P$ admet une unique racine réelle $x$ et vérifier que celle-ci n’est pas rationnelle.
(c)

Déterminer la dimension de $F = {Vect}_{ℚ} {x^{k} | k \in ℕ}$ .
(d)

L’espace $F$ est-il un corps pour les opérations usuelles?

Solution

(a)

Par l’absurde, si le polynôme $P$ n’est pas irréductible dans $ℚ [X]$ , il existe un polynôme de degré $1$ à coefficients dans $ℚ$ qui le divise et donc $P$ possède une racine rationnelle $x$ . Soit $p / q$ le représentant irréductible de $x$ . L’égalité $P (x) = 0$ donne $p^{3} - p q^{2} + q^{3} = 0$ . On en déduit que $p$ divise $q^{3} = p q^{2} - p^{3}$ et donc $p$ divise $1$ car $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Aussi, $q$ divise $p^{3} = p q^{2} - q^{3}$ et donc $q$ divise $1$ . Ainsi, $x = 1$ ou $x = - 1$ . Cependant, ni $1$ , ni $- 1$ ne sont racines de $P$ . C’est absurde.
(b)

Le polynôme réel $P$ est de degré impair, il possède au moins une racine réelle. L’étude des variations de $P$ assure que celle-ci est unique. De plus, cette racine n’est pas rationnelle comme on l’a vu au-dessus.
(c)

Soit $y \in F$ . Il existe $n \in ℕ$ et $a_{0}, \dots, a_{n} \in ℚ$ tels que

$y = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} .$

Considérons alors le polynôme $A = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n} X^{n} \in ℚ [X]$ de sorte que $y = A (x)$ . Par division euclidienne, on peut écrire

$A = P Q + R avec \deg (R) < \deg (P)$

et alors

$y = P (x) Q (x) + R (x) avec R = α + β X + γ X^{2} \in ℚ [X] .$

Ainsi, on peut écrire $y = α + β x + γ x^{2}$ avec $α, β, γ \in ℚ$ .

De plus, supposons $α + β x + γ x^{2} = 0$ avec $α, β, γ \in ℚ$ .

Introduisons le polynôme $B = α + β X + γ X^{2}$ . Par l’absurde, supposons $B \neq 0$ . Par division euclidienne, on écrit

$P = B Q + R avec \deg (R) \leq 1$

et alors

$R (x) = P (x) - B (x) Q (x) = 0 .$

Or le polynôme $R$ est à coefficients rationnels. Il ne peut être de degré $1$ car alors $x$ serait un nombre rationnel. Le polynôme $R$ est donc constant et c’est alors nécessairement le polynôme nul car il possède une racine. Ainsi, $B$ divise $P$ et cela contredit l’irréductibilité de $P$ . On conclut que $B = 0$ et donc $α = β = γ = 0$ .

Finalement, $(1, x, x^{2})$ est une famille libre et génératrice de $F$ . On peut alors conclure $dim F = 3$ .
(d)

L’ensemble $F$ est clairement un sous-anneau du corps $(ℝ, +, \times)$ . Vérifions que c’est un sous-corps.

Soit $y \in F ∖ {0}$ . Il existe $a_{0}, a_{1}, a_{2} \in ℚ$ non tous nuls tels que $y = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$ . Introduisons alors le polynôme $R = a_{0} + a_{1} X + a_{2} X^{2}$ . Puisque $P$ est irréductible et qu’il ne divise pas $R$ , ces deux polynômes sont premiers entre eux. Il existe donc $U, V \in ℚ [X]$ tels que $P U + R V = 1$ et alors $R (x) V (x) = 1$ . Ainsi, l’inverse de $y$ est $V (x)$ et c’est un élément de $F$ .

Finalement, $F$ est un corps pour les opérations usuelles.

Exercice 32 2662 MINES (MP)Correction

Soit $K = ℚ + \sqrt{2} ℚ + \sqrt{3} ℚ + \sqrt{6} ℚ$ .

(a)

Montrer que $(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6})$ est une $ℚ$ -base du $ℚ$ -espace vectoriel $K$ .
(b)

Montrer que $K$ est un sous-corps de $ℝ$ .

Solution

(a)

Il est clair que $K$ est un sous-espace vectoriel de $ℝ$ et que la famille $(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6})$ est $ℚ$ -génératrice.
Montrons qu’elle est libre en raisonnant par l’absurde.
Supposons $a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} = 0$ avec $a, b, c, d \in ℚ$ non tous nuls.
Quitte à réduire au même dénominateur, on peut supposer $a, b, c, d \in ℤ$ non tous nuls.
Quitte à factoriser, on peut aussi supposer $pgcd (a, b, c, d) = 1$ .
On a ${(a + b \sqrt{2})}^{2} = {(c \sqrt{3} + d \sqrt{6})}^{2}$ donc

$a^{2} + 2 a b \sqrt{2} + 2 b^{2} = 3 c^{2} + 6 c d \sqrt{2} + 6 d^{2} .$

Par l’irrationalité de $\sqrt{2}$ on parvient au système

${\begin{matrix} a^{2} + 2 b^{2} & = 3 c^{2} + 6 d^{2} \\ a b & = 3 c d . \end{matrix}$

Par suite, $3 ∣ a b$ et $3 ∣ a^{2} + 2 b^{2}$ donc $3 ∣ a$ et $3 ∣ b$ .
Ceci entraîne $3 ∣ c d$ et $3 ∣ c^{2} + 2 d^{2}$ donc $3 ∣ c$ et $3 ∣ d$ .
Ceci contredit $pgcd (a, b, c, d) = 1$ .
Ainsi la famille $(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6})$ est $ℚ$ -libre et c’est donc une $ℚ$ -base de $K$ .
(b)

Sans peine, on vérifie que $𝕂$ est un sous-anneau de $ℝ$ .
Soit $x = a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} \in 𝕂$ avec $a, b, c, d \in ℚ$ non tous nuls.

$\frac{1}{x}$ $= \frac{1}{(a + b \sqrt{2}) + (c \sqrt{3} + d \sqrt{6})}$

$= \frac{a + b \sqrt{2} - (c \sqrt{3} + d \sqrt{6})}{(a^{2} + 2 b^{2} - 3 c^{2} - 6 d^{2}) + 2 (a b - 3 c d) \sqrt{2}}$

$= \frac{a + b \sqrt{2} - (c \sqrt{3} + d \sqrt{6})}{α + β \sqrt{2}} .$

puis

$\frac{1}{x} = \frac{(a + b \sqrt{2} - (c \sqrt{3} + d \sqrt{6})) (α - β \sqrt{2})}{α^{2} - 2 β^{2}} \in K$

et donc $K$ est un sous-corps de $ℝ$ .
Notons que les quantités conjuguées par lesquelles on a ci-dessus multiplié ne sont pas nuls car $x$ est non nul et la famille $(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6})$ est $ℚ$ -libre.

Exercice 33 4244

(Groupe des inversibles d’un corps fini)

On étudie le groupe $(𝔽^{\times}, \times)$ des inversibles d’un corps fini $𝔽$ .

(a)

Soient $x$ un élément de $𝔽^{\times}$ d’ordre $d \in ℕ^{*}$ et $y$ un élément de $𝔽^{\times}$ vérifiant $y^{d} = 1_{𝔽}$ . Montrer que $y$ appartient au groupe engendré par $x$ .

On admettra que l’on peut étendre¹¹ 1 En particulier, un polynôme à coefficients dans $F$ ne peut avoir plus de racines dans $F$ que son degré. la théorie des polynômes à ceux dont les coefficients appartiennent au corps $F$ .
(b)

Pour $d \in ℕ^{*}$ , on note $N (d)$ le nombre d’éléments d’ordre $d$ dans $𝔽^{\times}$ . Justifier $N (d) \leq φ (d)$ où $φ$ désigne la fonction indicatrice d’Euler.
(c)

En déduire que $(𝔽^{\times}, \times)$ est un groupe cyclique.

Exercice 34 130 Correction

Soit $𝕂$ un corps fini¹¹ 1 $ℤ / p ℤ$ avec $p$ premier est un exemple de tel corps.. Calculer

\prod_{x \in 𝕂 ∖ {0}} x .

Solution

Méthode: Dans le produit, on regroupe chaque facteur avec son inverse.

Lorsque $x$ est différent de son inverse, les deux facteurs correspondant dans le produit se simplifient. Une fois ces simplifications faites, il ne reste dans le produit que les facteurs égaux à leur inverse:

\prod_{x \in 𝕂 ∖ {0}} x = \prod_{\begin{matrix} x \in 𝕂 ∖ {0} \\ x = x^{- 1} \end{matrix}} x .

Cependant, la condition $x = x^{- 1}$ équivaut à $x^{2} = 1_{𝕂}$ c’est-à-dire $(x - 1_{𝕂}) (x + 1_{𝕂}) = 0$ . Un corps étant intègre, cette équation a pour seules solutions $1_{𝕂}$ et $- 1_{𝕂}$ . Que celles-ci soient ou non distinctes²² 2 Dans le corps $ℤ / 2 ℤ$ , les éléments $\bar{1}$ et $- \bar{1}$ sont confondus., on obtient

\prod_{x \in 𝕂^{*}} x = - 1_{𝕂} .

[<] Corps[>] Équations modulaires, théorème chinois

Exercice 35 142 Correction

Résoudre les équations suivantes:

(a)

$3 x + 5 = 0$ dans $ℤ / 10 ℤ$
(b)

$x^{2} = 1$ dans $ℤ / 8 ℤ$
(c)

$x^{2} + 2 x + 2 = 0$ dans $ℤ / 5 ℤ$ .

Solution

(a)

$3 x + 5 = 0 \Leftrightarrow x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$ car l’inverse de $3$ dans $ℤ / 10 ℤ$ est $7$ .
(b)

Il suffit de tester les entiers $0,1,2,3,4$ . $1$ et $3$ conviennent. Les solutions sont $1,3,5,7$ .
(c)

$x^{2} + 2 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x + 3) = 0$ donc les solutions sont $1$ et $- 3$ .

Exercice 36 3915 Correction

Résoudre le système suivant:

{\begin{matrix} x + y \equiv 4 & [11] \\ x y \equiv 10 & [11] . \end{matrix}

Solution

Les solutions du système sont solutions de l’équation

z^{2} - 4 z + 10 = 0 [11] .

z^{2} - 4 z + 10 = z^{2} + 7 z + 10 = (z + 2) (z + 5)

donc les solutions sont $- 2 = 9$ et $- 5 = 6$ . On obtient comme solutions, les couples $(9,6)$ et $(6,9)$ .

Exercice 37 144 Correction

(Petit théorème de Fermat)

Soit $p$ un nombre premier. Montrer

\forall a \in {(ℤ / p ℤ)}^{*}, a^{p - 1} = 1 .

Solution

Pour $a \in {(ℤ / p ℤ)}^{*}$ , l’application $x \mapsto a x$ est une permutation de ${(ℤ / p ℤ)}^{*}$ .
Le calcul

\prod_{x \in {(ℤ / p ℤ)}^{*}} x = \prod_{x \in {(ℤ / p ℤ)}^{*}} a x = a^{p - 1} \prod_{x \in {(ℤ / p ℤ)}^{*}} x

donne alors $a^{p - 1} = 1$ car $\prod_{x \in {(ℤ / p ℤ)}^{*}} x \neq 0$ .

Exercice 38 5808 Correction

Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $3$ .

(a)

Montrer que

$\forall k \in {1, \dots, p - 1}, p divise (\binom{p}{k}) .$
(b)

En déduire que $f : \bar{x} \mapsto {\bar{x}}^{p}$ est un morphisme d’anneaux sur $ℤ / p ℤ$ .
(c)

En déduire le petit théorème de Fermat.

Solution

(a)

Pour $k = 1, \dots, p - 1$ , on peut écrire

$(\binom{p}{k}) = \frac{p}{k} (\binom{p - 1}{k - 1})$

et donc

$p (\binom{p - 1}{k - 1}) = k (\binom{p}{k}) .$

Cette relation n’engageant que des nombres entiers, on peut affirmer que $p$ divise $k (\binom{p}{k})$ . Or $p \land k = 1$ car $p$ est premier et $k \in {1, \dots, p - 1}$ donc $p$ divise $(\binom{p}{k})$ .
(b)

L’application $f$ est correctement définie de $ℤ / p ℤ$ vers $ℤ / p ℤ$ .

On vérifie immédiatement $f (\bar{1}) = \bar{1}$ .

Soient $\bar{a}$ et $\bar{b}$ deux éléments de $ℤ / p ℤ$ . Étudions

$f (\bar{a} + \bar{b}) = {\bar{a + b}}^{p} = \bar{{(a + b)}^{p}} .$

Par la formule du binôme de Newton,

${(a + b)}^{p} = \sum_{k = 0}^{p} (\binom{p}{k}) a^{k} b^{p - k} .$

Or, pour $k \in {1, \dots, p - 1}$ , $(\binom{p}{k}) \equiv 0 [p]$ donc

${(a + b)}^{p} \equiv a^{p} + b^{p} [p]$

ce qui se relit

$f (\bar{a} + \bar{b}) = f (\bar{a}) + f (\bar{b}) .$

Enfin, plus directement,

$f (\bar{a} \times \bar{b}) = {\bar{a b}}^{p} = \bar{{(a b)}^{p}} = \bar{a^{p}} \bar{b^{p}} = f (\bar{a}) f (\bar{b}) .$

L’application $f$ est un morphisme d’anneaux.
(c)

Observons qu’il n’y a qu’un seul morphisme de l’anneau $ℤ / n ℤ$ vers lui-même à savoir l’identité. Soit $φ : ℤ / n ℤ \to ℤ / n ℤ$ un morphisme d’anneaux. Puisque $φ$ est un morphisme de groupes additifs, on a

$\forall k \in ℤ, \forall \bar{x} \in ℤ / n ℤ, φ (k . \bar{x}) = k . φ (\bar{x}) .$

Or $φ (\bar{1}) = \bar{1}$ donc

$\forall k \in ℤ, φ (\bar{k}) = φ (k . \bar{1}) = k . \bar{1} = \bar{k} .$

Ainsi, $φ = {Id}_{ℤ / n ℤ}$ .

Ici, $f$ est un morphisme de l’anneau $ℤ / p ℤ$ dans lui-même, c’est donc l’identité. On en déduit le petit théorème de Fermat

$\forall k \in ℤ, {\bar{k}}^{p} = \bar{k} .$

Exercice 39 148

(Théorème de Wilson)

Soit $p$ un nombre premier.

(a)

Quels sont les éléments de $ℤ / p ℤ$ égaux à leur inverse?
(b)

En déduire que $p$ divise $(p - 1)! + 1$ .
(c)

Inversement, montrer que si un entier $n$ supérieur à $2$ divise $(n - 1)! + 1$ alors celui-ci est premier.

Exercice 40 145

Soient $p$ un nombre premier et $k$ un entier naturel premier avec $p - 1$ .

Montrer que l’application $φ : ℤ / p ℤ \to ℤ / p ℤ$ définie par $φ (x) = x^{k}$ est bijective.

Exercice 41 2660 MINES (MP)Correction

Si $p$ est un nombre premier, quel est le nombre de carrés dans $ℤ / p ℤ$ ?

Solution

Si $p = 2$ : il y a deux carrés dans $ℤ / 2 ℤ$ .
Si $p \geq 3$ , considérons l’application $φ : x \mapsto x^{2}$ dans $ℤ / p ℤ$ .
Dans le corps $ℤ / p ℤ$ : $φ (x) = φ (y) \Leftrightarrow x = \pm y$ .
Dans $Im (φ)$ , seul 0 possède un seul antécédent, les autres éléments possèdent deux antécédents distincts. Par suite, $Card ℤ / p ℤ = 1 + 2 (Card Im (φ) - 1)$ donc il y $\frac{p + 1}{2}$ carrés dans $ℤ / p ℤ$ .

Exercice 42 149

Soit $p$ un nombre premier supérieur à $3$ .

(a)

Quel est le nombre de carrés dans $ℤ / p ℤ$ ?
(b)

On suppose $p \equiv 1 [4]$ . Justifier que $\bar{- 1}$ est un carré dans $ℤ / p ℤ$ en calculant de deux façons la classe de congruence de $(p - 1)!$ .
(c)

On suppose $p \equiv 3 [4]$ . Montrer que $\bar{- 1}$ n’est pas un carré dans $ℤ / p ℤ$ .

Exercice 43 5623 Correction

Soit $n$ un entier naturel impair. Calculer

\sum_{\bar{x} \in ℤ / n ℤ} \bar{x} .

Solution

Les éléments de $ℤ / n ℤ$ sont $\bar{0}, \bar{1}, \dots, \bar{(n - 1)}$ et donc

\sum_{\bar{x} \in ℤ / n ℤ} \bar{x} = \sum_{k = 0}^{n - 1} \bar{k} = \bar{\sum_{k = 0}^{n - 1} k} = \bar{(\frac{n (n - 1)}{2})} .

Puisque $n$ est impair, on peut écrire $n = 2 p + 1$ avec $p \in ℕ$ et poursuivre

\sum_{\bar{x} \in ℤ / n ℤ} \bar{x} = \bar{n} \bar{p} = \bar{0} .

Exercice 44 3218 Correction

Soit $p$ un nombre premier. Calculer dans $ℤ / p ℤ$

\sum_{k = 1}^{p} \bar{k} et \sum_{k = 1}^{p} {\bar{k}}^{2} .

Solution

On a

\sum_{k = 1}^{p} \bar{k} = \bar{\sum_{k = 1}^{p} k} = \bar{\frac{p (p + 1)}{2}} .

Si $p = 2$ alors

\sum_{k = 1}^{p} \bar{k} = \bar{1} .

Si $p \geq 3$ alors $(p + 1) / 2$ est un entier et donc

\sum_{k = 1}^{p} \bar{k} = \bar{p} \times \bar{\frac{(p + 1)}{2}} = \bar{0} .

On a

\sum_{k = 1}^{p} {\bar{k}}^{2} = \bar{\sum_{k = 1}^{p} k^{2}} = \bar{\frac{p (p + 1) (2 p + 1)}{6}} .

Si $p = 2$ alors

\sum_{k = 1}^{p} {\bar{k}}^{2} = \bar{1} .

Si $p = 3$ alors

\sum_{k = 1}^{p} {\bar{k}}^{2} = {\bar{1}}^{2} + {\bar{2}}^{2} = \bar{2} .

Si $p \geq 5$ alors $(p + 1) (2 p + 1)$ est divisible par 6.
En effet, $p + 1$ est pair donc $(p + 1) (2 p + 1)$ aussi.
De plus, sur les trois nombres consécutifs

2 p, (2 p + 1), (2 p + 2)

l’un est divisible par 3. Ce ne peut être $2 p$ et si $2 p + 2$ est divisible par 3 alors $p + 1$ l’est aussi. Par suite, $(p + 1) (2 p + 1)$ est divisible par 3.
Ainsi,

\sum_{k = 1}^{p} {\bar{k}}^{2} = \bar{p} \times \bar{\frac{(p + 1) (2 p + 1)}{6}} = \bar{0} .

Exercice 45 146

(Sommes de Newton dans $Z / p Z$ )

Soit $p$ un entier premier. On admet que le groupe des inversibles du corps $ℤ / p ℤ$ est cyclique¹¹ 1 Plus généralement, le groupe des inversibles d’un corps fini est cyclique: voir le sujet 4244.. En discutant selon la valeur de $k \in ℕ$ , calculer

S_{k} = \sum_{x \in ℤ / p ℤ} x^{k} .

Exercice 46 3929 MINES (MP)Correction

(a)

Déterminer l’ensemble des inversibles de l’anneau $ℤ / 8 ℤ$ . De quelle structure peut-on munir cet ensemble?
(b)

Y a-t-il, à isomorphisme près, d’autres groupes de cardinal 4?

Solution

(a)

Les inversibles de $ℤ / 8 ℤ$ sont les $\bar{k}$ avec $k \land 8 = 1$ . Ce sont donc les éléments $\bar{1}, \bar{3}, \bar{5}$ et $\bar{7}$ .
L’ensemble des inversibles d’un anneau est un groupe multiplicatif.
(b)

Le groupe $({\bar{1}, \bar{3}, \bar{5}, \bar{7}}, \times)$ vérifie la propriété $x^{2} = 1$ pour tout $x$ élément de celui-ci. Ce groupe n’est donc pas isomorphe au groupe cyclique $(ℤ / 4 ℤ, +)$ qui constitue donc un autre exemple de groupe de cardinal 4. En fait le groupe $({\bar{1}, \bar{3}, \bar{5}, \bar{7}}, \times)$ est isomorphe à $(ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ, +)$ .

Exercice 47 3780 ENTPE (MP)Correction

Donner l’ensemble $G$ des inversibles de l’anneau $ℤ / 20 ℤ$ .
Montrer que $(G, \times)$ est isomorphe à $(ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 4 ℤ, +)$

Solution

Les inversibles sont obtenus à partir des nombres premiers avec 20

G = {1,3,7,9,11,13,17,19}

3 est un élément d’ordre 4 dans $(G, \times)$ avec

⟨ 3 ⟩ = {1,3,9,7}

et 11 est un élément d’ordre 2 n’appartenant pas à $⟨ 3 ⟩$ .
Le morphisme $φ : ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 4 ℤ \to G$ donné par

φ (k, ℓ) = 11^{k} \times 3^{ℓ}

est bien défini et injectif par les arguments qui précèdent.
Par cardinalité, c’est un isomorphisme.

Exercice 48 4202 Correction

On se propose d’établir qu’il n’existe pas d’entiers $n \geq 2$ tels que $n$ divise $2^{n} - 1$ . On raisonne par l’absurde et l’on suppose qu’un tel entier $n$ existe. On introduit $p$ un facteur premier de $n$ .

(a)

Montrer que la classe de $2$ est élément du groupe des inversibles de $ℤ / p ℤ$ et que son ordre divise $n$ et $p - 1$ .
(b)

Conclure

Solution

(a)

L’entier $p$ divise $n$ et donc divise $2^{n} - 1$ . On en déduit ${\bar{2}}^{n} = \bar{1}$ dans $ℤ / p ℤ$ . L’élément $\bar{2}$ est donc inversible dans $ℤ / p ℤ$ et son ordre divise $n$ . Aussi, le groupe des inversibles du corps $ℤ / p ℤ$ est de cardinal $p - 1$ et donc $\bar{2}$ est d’ordre divisant $p - 1$ .
(b)

Considérons $p$ le plus petit facteur premier de $n$ . Les facteurs premiers de l’ordre de $2$ divisant $n$ , ils sont tous au moins égaux à $p$ . Or ils divisent aussi $p - 1$ et ils sont donc aussi strictement inférieurs à $p$ . On en déduit que $\bar{2}$ est d’ordre $1$ dans $ℤ / p ℤ$ ce qui est absurde.

Exercice 49 4246

Soient $n$ un entier supérieur à $3$ et $U$ le groupe des inversibles de l’anneau $ℤ / 2^{n} ℤ$ .

(a)

Montrer que $a^{2^{n - 2}} \equiv 1 [2^{n}]$ pour tout entier impair $a$ .
(b)

Le groupe $(U, \times)$ est-il cyclique?
(c)

Trouver le plus petit entier $k > 0$ tel que $3^{k} \equiv 1 [2^{n}]$ .
(d)

Montrer que $U$ est isomorphe au groupe produit $(ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2^{n - 2} ℤ, +)$ .

[<] Classes de congruence[>] Indicatrice d'Euler

Exercice 50 4236

(Équations modulaires)

Résoudre les équations suivantes d’inconnue $x \in ℤ$ :

(a)

$6 x + 2 \equiv 0 [11]$
(b)

$6 x + 2 \equiv 0 [10]$
(c)

$6 x + 2 \equiv 0 [9]$ .

Exercice 51 4237

(Systèmes chinois)

Résoudre les systèmes suivants d’inconnue $x \in ℤ$ :

(a)

${\begin{matrix} x & \equiv 2 & [5] \\ x & \equiv 3 & [9] \end{matrix}$
(b)

${\begin{matrix} 9 x & \equiv 3 & [21] \\ 5 x & \equiv 2 & [8] \end{matrix}$
(c)

${\begin{matrix} x & \equiv 7 & [9] \\ x & \equiv 6 & [7] \\ x & = 3 & [5] \end{matrix}$ .

Exercice 52 1216 Correction

Résoudre le système:

{\begin{matrix} x \equiv 2 & [10] \\ x \equiv 5 & [13] . \end{matrix}

Solution

$10 \land 13 = 1$ avec la relation de Bézout

- 9 \times 10 + 7 \times 13 = 1 .

Les nombres $x_{1} = 7 \times 13 = 91$ et $x_{2} = - 9 \times 10 = - 90$ sont solutions des systèmes

{\begin{matrix} x \equiv 1 & [10] \\ x \equiv 0 & [13] \end{matrix} et {\begin{matrix} x \equiv 0 & [10] \\ x \equiv 1 & [13] . \end{matrix}

On en déduit que

x = 2 \times 91 - 5 \times 90 = - 268

est solution du système dont la solution générale est alors

x = - 268 + 130 k = 122 + 130 ℓ avec ℓ \in ℤ .

Exercice 53 143 Correction

Résoudre les systèmes suivants:

(a)

${\begin{matrix} x \equiv 1 & [6] \\ x \equiv 2 & [7] \end{matrix}$
(b)

${\begin{matrix} 3 x \equiv 2 & [5] \\ 5 x \equiv 1 & [6] \end{matrix}$

Solution

(a)

6 et 7 sont premiers entre eux avec la relation de Bézout $(- 1) \times 6 + 7 = 1$ .
$x_{1} = 7$ et $x_{2} = - 6$ sont solutions des systèmes

${\begin{matrix} x \equiv 1 & [6] \\ x \equiv 0 & [7] \end{matrix} et {\begin{matrix} x \equiv 0 & [6] \\ x \equiv 1 & [7] \end{matrix}$

donc $x = 1 \times 7 + 2 \times (- 6) = - 5$ est solution du système étudié dont la solution générale est alors

$x = 37 + 42 k avec k \in ℤ .$
(b)

${\begin{matrix} 3 x \equiv 2 & [5] \\ 5 x \equiv 1 & [6] \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \equiv 4 & [5] \\ x \equiv 5 & [6] \end{matrix}$

on poursuit comme ci-dessus. Les solutions sont $29 + 30 k$ avec $k \in ℤ$ .

Exercice 54 1217 Correction

Soient $a, b, a^{'}, b^{'} \in ℤ$ avec $b$ et $b^{'}$ premiers entre eux.
Montrer que le système

{\begin{matrix} x & \equiv a & [b] \\ x & \equiv a^{'} & [b^{'}] \end{matrix}

possède des solutions et que celles-ci sont congrues entre elles modulo $b b^{'}$ .

Solution

Il existe $u, v \in ℤ$ tels que $b u + b^{'} v = 1$ .
Soit $x = a^{'} b u + a b^{'} v$ .
On a

x = a^{'} b u + a - a b u = a [b]

x = a^{'} - a^{'} b^{'} v + a b^{'} v = a^{'} {[b]}^{'}

donc $x$ est solution.
Soit $x^{'}$ une autre solution. On a

x = x^{'} [b]

x = x^{'} {[b]}^{'}

donc $b ∣ (x^{'} - x)$ et $b^{'} ∣ (x^{'} - x)$ .
Or $b \land b^{'} = 1$ donc $b b^{'} ∣ (x^{'} - x)$ .
Inversement, soit $x^{'}$ tel que $b b^{'} ∣ x^{'} - x$ , on a bien

x^{'} = x = a [b]

x^{'} = x = a^{'} {[b]}^{'} .

Exercice 55 1218 Correction

Une bande de 17 pirates dispose d’un butin composé de $N$ pièces d’or d’égale valeur. Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci reçoit 3 pièces. Mais une rixe éclate et 6 pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants comme précédemment; le cuisinier reçoit alors 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seul le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés. Le butin est à nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit 5 pièces. Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu’il décide d’empoisonner le reste des pirates?

Solution

Notons $x \in ℕ$ le montant du trésor. De part les hypothèses

{\begin{matrix} x \equiv 3 & [17] \\ x \equiv 4 & [11] \\ x \equiv 5 & [6] . \end{matrix}

On commence par résoudre le système

{\begin{matrix} x \equiv 3 & [17] \\ x \equiv 4 & [11] \end{matrix}

$17 \land 11 = 1$ avec la relation de Bézout $2 \times 17 - 3 \times 11 = 1$ . On a alors la solution particulière

x = 3 \times (- 33) + 4 \times 34 = 37

et donc

{\begin{matrix} x \equiv 3 & [17] \\ x \equiv 4 & [11] \\ x \equiv 5 & [6] \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \equiv 37 & [187] \\ x \equiv 5 & [6] \end{matrix}

$187 \land 6 = 1$ avec la relation de Bézout $187 - 31 \times 6 = 1$ . On a alors la solution particulière

x = 37 \times (- 186) + 5 \times (187) = - 5947 .

La solution générale du système est alors

x = - 5947 + 1122 k = 785 + 1122 ℓ avec ℓ \in ℤ .

Le cuisinier peut espérer empocher au moins 785 pièces d’or.

[<] Équations modulaires, théorème chinois

Exercice 56 2655 Correction

Combien y a-t-il d’éléments inversibles dans $ℤ / 99 ℤ$ ?

Solution

Les inversibles dans $ℤ / 99 ℤ$ sont les classes associées aux entiers de ${1, \dots, 99}$ qui sont premiers avec $99 = 3^{2} \times 11$ . Il y en a

φ (99) = 99 \times (1 - \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{11}) = 3 \times 2 \times 10 = 60 .

Exercice 57 151 Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on note $φ (n)$ le nombre d’éléments inversibles dans $(ℤ / n ℤ, \times)$ .

(a)

Calculer $φ (p)$ et $φ (p^{α})$ pour $p$ premier et $α \in ℕ^{*}$ .
(b)

Soient $m$ et $n$ premiers entre eux.
On considère l’application $f : ℤ / m n ℤ \to ℤ / n ℤ \times ℤ / m ℤ$ définie par $f (\bar{x}) = (\hat{x}, \tilde{x})$ .
Montrer que $f$ est bien définie et réalise un isomorphisme d’anneaux.
(c)

En déduire que $φ (m n) = φ (m) φ (n)$ .
(d)

Exprimer $φ (n)$ selon la décomposition primaire de $n$ .

Solution

Les éléments inversibles de $(ℤ / n ℤ, \times)$ sont les éléments représentés par un nombre premier avec $n$ .

(a)

$φ (p) = p - 1$ . Être premier avec $p^{α}$ équivaut à être premier avec $p$ c’est-à-dire à ne pas être divisible par $p$ puisque $p \in 𝒫$ . Il y a $p^{α - 1}$ multiples de $p$ compris entre 1 et $p^{α}$ donc $φ (p^{α}) = p^{α} - p^{α - 1}$ .
(b)

Si $x = y [m n]$ alors $x = y [n]$ et $x = y [m]$ donc $f$ est bien définie.
$φ (\bar{1}) = (\hat{1}, \tilde{1})$ et si $a = x + y / x y [m n]$ alors $a = x + y / x y [n]$ donc $φ$ est un morphisme d’anneaux.
Si $f (\bar{x}) = f (\bar{y})$ alors $x = y [m]$ et $x = y [n]$ alors $m, n ∣ y - x$ et puisque $m \land n = 1$ alors $m n ∣ y - x$ donc $\bar{x} = \bar{y} [m n]$ .
$f$ est injective puis bijective par l’égalité des cardinaux.
(c)

Les inversibles de $ℤ / m n ℤ$ correspondent aux couples formés par un inversible de $ℤ / n ℤ$ et un inversible de $ℤ / m ℤ$ . Par suite, $φ (m n) = φ (m) φ (n)$ .
(d)

Si $n = \prod_{i = 1}^{N} p_{i}^{α_{i}}$ alors $φ (n) = \prod_{i = 1}^{N} p_{i}^{α_{i} - 1} (p_{i} - 1)$ .

Exercice 58 152 Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on note $φ (n)$ le nombre d’éléments inversibles dans $(ℤ / n ℤ, \times)$ .

Établir

\forall a \in {(ℤ / n ℤ)}^{*}, a^{φ (n)} = 1

où ${(ℤ / n ℤ)}^{*}$ désigne l’ensemble des inversibles de l’anneau $ℤ / n ℤ$ .

Solution

Soit $f : x \mapsto a x$ de ${(ℤ / n ℤ)}^{*}$ vers lui-même.

Cette application est bien définie, injective et finalement bijective par cardinalité.

Ainsi,

\prod_{x \in {(ℤ / n ℤ)}^{*}} x = \prod_{x \in {(ℤ / n ℤ)}^{*}} a x = a^{φ (n)} \prod_{x \in {(ℤ / n ℤ)}^{*}} x

puis $a^{φ (n)} = 1$ car l’élément $\prod_{x \in {(ℤ / n ℤ)}^{*}} x$ est inversible.

Plus directement, on peut aussi dire que ${(ℤ / n ℤ)}^{*}$ est un groupe multiplicatif à $φ (n)$ éléments et conclure.

Exercice 59 4241

Soient $a \in ℤ$ et $n \in ℕ$ avec $n \geq 2$ .

(a)

On suppose $a$ et $n$ premiers entre eux, montrer $a^{φ (n)} \equiv 1 [n]$ .
(b)

On suppose $a^{n - 1} \equiv 1 [n]$ et $a^{d} ／ \equiv 1 [n]$ pour tout entier naturel $d$ diviseur strict de $n - 1$ . Montrer que $n$ est un nombre premier.

Exercice 60 4061

Soient $a, n \in ℕ$ au moins égaux à $2$ et $N = a^{n} - 1$ . Montrer que $n$ divise $φ (N)$ .

Exercice 61 2374

Montrer que pour tout entier $n \geq 3$ , $φ (n)$ est un nombre pair.

Exercice 62 257 Correction

Établir

\forall n \geq 3, φ (n) \geq \frac{n \ln (2)}{\ln (n) + \ln (2)} .

Solution

Notons $p_{1}, \dots, p_{r}$ les facteurs premiers de $n$ . On sait

φ (n) = n (1 - \frac{1}{p_{1}}) (1 - \frac{1}{p_{2}}) \dots (1 - \frac{1}{p_{r}}) .

En ordonnant les $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{r}$ , on peut affirmer

\forall 1 \leq i \leq r, p_{i} \geq 1 + i

et donc

(1 - \frac{1}{p_{1}}) (1 - \frac{1}{p_{2}}) \dots (1 - \frac{1}{p_{r}}) \geq (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) \dots (1 - \frac{1}{1 + r}) .

Par produit télescopique

(1 - \frac{1}{p_{1}}) (1 - \frac{1}{p_{2}}) \dots (1 - \frac{1}{p_{r}}) > \frac{1}{2} \frac{2}{3} \dots \frac{r}{r + 1} = \frac{1}{r + 1} .

Or on a aussi

n \geq p_{1} \dots p_{r} \geq 2^{r}

et donc

r \leq \frac{n}{\ln (2)} .

On en déduit

φ (n) \geq \frac{n}{\frac{n}{\ln (2)} + 1} = \frac{n \ln (2)}{n + \ln (2)} .

Exercice 63 153 MINES (MP)Correction

Soit $n \in ℕ^{*}$ .

(a)

Soit $H$ est un sous-groupe de $(ℤ / n ℤ, +)$ . Montrer qu’il existe $a$ divisant $n$ vérifiant $H = ⟨ \bar{a} ⟩$ .
(b)

Observer que si $d ∣ n$ , il existe un unique sous-groupe de $(ℤ / n ℤ, +)$ de cardinal $d$ .
(c)

Justifier que si $d ∣ n$ , le groupe $(ℤ / n ℤ, +)$ possède exactement $φ (d)$ éléments d’ordre $d$ (avec $φ$ la fonction indicatrice d’Euler).
(d)

Montrer

$\sum_{d ∣ n} φ (d) = n .$

Solution

(a)

Soit $H$ un sous-groupe de $ℤ / n ℤ$ .

Si $H = {0}$ alors $H = ⟨ n ⟩$ .

Sinon, on peut introduire

$a = \min A avec A = {k \in ℕ^{*} | \bar{k} \in H} .$

On a $\bar{a} \in H$ donc $⟨ \bar{a} ⟩ \subset H$ .

La division euclidienne de $n$ par $a$ donne $n = q a + r$ avec $q \in ℤ$ et $r \in {0, \dots, a - 1}$ . On en déduit $\bar{r} = q . \bar{a} \in ⟨ \bar{a} ⟩ \subset H$ . Par définition de $a$ en tant que plus petit élément de $A$ , il vient $r = 0$ . Ainsi, $a ∣ n$ .

Soit $\bar{x} \in H$ . Par division euclidienne, on écrit $x = a q + r$ avec $q \in ℤ$ et $r \in {0, \dots, a - 1}$ . On en déduit $\bar{r} = \bar{x} - q . \bar{a} \in H$ . Par définition de $a$ en tant que plus petit élément de $A$ , il vient $r = 0$ puis $x = a q$ et donc $\bar{x} \in ⟨ \bar{a} ⟩$ . Par double inclusion, $H = ⟨ \bar{a} ⟩$ .
(b)

Si $a$ divise $n$ , on observe que $⟨ \bar{a} ⟩$ est de cardinal $n / a$ . Ainsi, $⟨ n / d ⟩$ est l’unique sous-groupe d’ordre $d$ de $(ℤ / n ℤ, +)$ .
(c)

Un élément d’ordre $d$ de $ℤ / n ℤ$ est générateur d’un sous-groupe à $d$ éléments donc générateur de $⟨ \bar{n / d} ⟩$ . Inversement, tout générateur de $⟨ \bar{n / d} ⟩$ est élément d’ordre $d$ de $ℤ / n ℤ$ . Or $⟨ \bar{n / d} ⟩$ est cyclique d’ordre $d$ donc isomorphe à $ℤ / d ℤ$ et possède ainsi $φ (d)$ générateurs. On peut alors affirmer que $ℤ / n ℤ$ possède exactement $φ (d)$ élément d’ordre $d$ .
(d)

L’ordre d’un élément de $ℤ / n ℤ$ est cardinal d’un sous-groupe de $ℤ / n ℤ$ et donc diviseur de $n$ . En dénombrant $ℤ / n ℤ$ selon l’ordre de ses éléments, on obtient

$\sum_{d ∣ n} φ (d) = n .$

Exercice 64 3634

Soit $n$ un entier naturel non nul.

(a)

Soit $d$ un diviseur positif de $n$ . Combien y a-t-il de $k \in ⟦ 1; n ⟧$ vérifiant $k \land n = d$ ?
(b)

En déduire

$n = \sum_{d ∣ n} φ (d)$

où la somme s’étend sur les diviseurs positifs $d$ de $n$ .

Exercice 65 5281 NAVALE (MP)Correction

On note $φ$ la fonction indicatrice d’Euler. Soit $n \in ℕ$ avec $n \geq 2$ .

(a)

Pour $d$ un diviseur de $n$ , montrer qu’il y a exactement $φ (d)$ éléments d’ordre $d$ dans le groupe $(ℤ / n ℤ, +)$ .
(b)

En déduire

$n = \sum_{d ∣ n} φ (d)$

où la somme s’étend sur les entiers $d$ diviseurs positifs de $n$ .
(c)

Écrire un programme employant cette formule pour calculer les valeurs de la fonction indicatrice d’Euler.

Solution

(a)

Soit $k \in ⟦ 1; n ⟧$ . L’ordre de $\bar{k}$ dans $ℤ / n ℤ$ est le plus petit entier $ℓ$ tel que $ℓ \bar{k} = \bar{0}$ , c’est-à-dire tel que $ℓ k$ soit un multiple de $n$ . L’ordre $ℓ$ de $\bar{k}$ apparaît donc comme le facteur qui mutliplie $k$ pour atteindre le ppcm de $k$ et $n$ ,

$ℓ = \frac{k \lor n}{k} = \frac{n}{k \land n} .$

L’élément $k$ est donc d’ordre $d$ si, et seulement si,

$k \land n = d^{'} avec d^{'} = \frac{n}{d} .$

Les entiers $k$ correspondant s’écrivent

$k = d^{'} k^{'} avec k^{'} \in ⟦ 1; d ⟧ et k^{'} \land d^{'} = 1 .$

Il y en a exactement $φ (d)$ .
(b)

Les ordres des éléments de $(ℤ / n ℤ, +)$ sont tous des diviseurs de $n$ et, en dénombrant $ℤ / n ℤ$ par regroupement de ses éléments selon leur ordre, il vient

$n = Card (ℤ / n ℤ) = \sum_{d ∣ n} Card {k \in ⟦ 1; n ⟧ | \bar{k} est d’ordre d} = \sum_{d ∣ n} φ (d) .$
(c)
Une programmation récursive emploie la formule qui précède sans être (a priori ?) plus efficace qu’un simple dénombrement des entiers compris entre $1$ et $n$ premier avec $n$
```
def phi(n):
    if n == 1:
        return 1
    S = 0
    for d in range(1,n):
        if n % d == 0:
            S = S + phi(d)
    return n - S
```

Exercice 66 2381

(Déterminant de Smith)

Soit $T = (t_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℝ)$ la matrice de coefficients

t_{i, j} = {\begin{matrix} 1 & si i divise j \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Aussi, soit $D \in ℳ_{n} (ℝ)$ la matrice diagonale de coefficients diagonaux $φ (1), \dots, φ (n)$ où $φ$ désigne la fonction indicatrice d’Euler.

(a)

Exprimer le coefficient d’indice $(i, j)$ de la matrice $T^{⊤} D T$ en fonction de $i \land j$ .
(b)

En déduire la valeur du déterminant de la matrice de Smith

$S = (\begin{matrix} 1 \land 1 & 1 \land 2 & \dots & 1 \land n \\ 2 \land 1 & 2 \land 2 & \dots & 2 \land n \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ n \land 1 & n \land 2 & \dots & n \land n \end{matrix}) .$

Exercice 67 5814 Correction

(Polynômes cyclotomiques)

On appelle racine primitive $n$ -ième de l’unité tout complexe $ξ$ générateur du groupe $(𝕌_{n}, \times)$ des racines $n$ -ième de l’unité. On note $Z_{n}$ l’ensemble des racines $n$ -ièmes de l’unité et l’on pose

Φ_{n} = \prod_{ξ \in Z_{n}} (X - ξ) .

(a)

Calculer $Φ_{n}$ pour $n = 1, 2, 3$ et $4$ .
(b)

Exprimer le degré de $Φ_{n}$ à l’aide de la fonction indicatrice d’Euler.
(c)

Calculer $Φ_{p}$ pour $p$ nombre premier. Donner $Φ_{5}$ .
(d)

Établir que pour tout $n \in ℕ$

$X^{n} - 1 = \prod_{k ∣ n} Φ_{k} .$

En déduire $Φ_{6}$
(e)

Soient $A$ et $B$ deux polynômes à coefficients entiers avec $B$ unitaire.

On suppose qu’il existe un polynôme $C$ tel que $A = B C$ . À l’aide d’un calcul de division euclidienne, établir que $C$ est à coefficients entiers.

En déduire que pour tout $k \in ℕ^{*}$ , le polynôme $Φ_{k}$ est à coefficients entiers.

Solution

(a)

Cas: $n = 1$ . Il n’y a qu’une seule racine primitive $1$ -ième de l’unité à savoir $ξ = 1$ . On a donc

$Φ_{1} = X - 1 .$

Cas: $n = 2$ . Il n’y a qu’une seule racine primitive $2$ -ième de l’unité à savoir $ξ = - 1$ . On a donc

$Φ_{2} = X + 1 .$

Cas: $n = 3$ . Il y a deux racines primitives $3$ -ièmes de l’unité qui sont $j$ et $j^{2}$ . On a donc

$Φ_{1} = (X - j) (X - j^{2}) = X^{2} + X + 1 .$

Cas: $n = 4$ . Il y a deux racines primitives $4$ -ièmes de l’unité qui sont $i$ et $- i$ . On a donc

$Φ_{1} = (X - i) (X + i) = X^{2} + 1 .$
(b)

Le nombre de générateurs du groupe cyclique $(𝕌_{n}, \times)$ est aussi le nombre de générateurs de $(ℤ / n ℤ, +)$ . Il y en a exactement $φ (n)$ avec $φ$ la fonction indicatrice d’Euler. On en déduit

$\deg (Φ_{n}) = φ_{n} .$
(c)

Si $p$ est un nombre premier, $φ (p) = p - 1$ . Sachant que $1$ n’est pas une racine primitive $p$ -ième de l’unité, toutes les autres racines $p$ -ièmes de l’unité sont primitives. On a donc

$Φ_{p} = \prod_{ξ \in 𝕌_{p} ∖ {1}} (X - ξ) = \frac{1}{X - 1} \prod_{ξ \in 𝕌_{p} ∖ {1}} (X - ξ) = \frac{X^{p} - 1}{X - 1} = 1 + X + \dots + X^{p - 1} .$

On en déduit

$Φ_{5} = 1 + X + X^{2} + X^{3} + X^{4} .$
(d)

Si $ξ$ est une racine $n$ -ième de l’unité, son ordre $k$ divise $n$ et celle-ci est une racine primitive $k$ -ième de l’unité. La réciproque est immédiate. En regroupant les racines $n$ -ième de l’unité selon leur ordre $k$ , on obtient

$\prod_{ξ \in 𝕌_{n}} = \prod_{k ∣ n} \prod_{ξ \in Z_{k}}$

autrement dit

$X^{n} - 1 = \prod_{k ∣ n} Φ_{k} .$

En particulier,

$X^{6} - 1 = Φ_{1} Φ_{2} Φ_{3} Φ_{6} = (X - 1) (X + 1) (X^{2} + X + 1) Φ_{6} .$

Or

$X^{6} - 1 = (X^{3} - 1) (X^{3} + 1) = (X - 1) (X^{2} + X + 1) (X + 1) (X^{2} - X + 1) .$

On en déduit

$Φ_{6} = X^{2} - X + 1 .$
(e)

$C$ apparaît comme le quotient de la division euclidienne de $A$ par $B$ . Lorsque l’on pose celle-ci, on n’opère que des multiplications et des soustractions sans aucune division car le polynôme $B$ est unitaire. Par conséquent, si les polynômes $A$ et $B$ sont à coefficients entiers, le polynôme $C$ est aussi à coefficients entiers par opérations sur les entiers.

Par récurrence forte sur $n \in ℕ^{*}$ , montrons que $Φ_{n}$ est à coefficients entiers.

Pour $n = 1$ , $Φ_{1} = X - 1$ est à coefficients entiers.

Supposons la propriété vraie jusqu’au rang $n - 1 \geq 1$ .

Au rang $n$ , on peut écrire

$X^{n} - 1 = \prod_{\binom{k ∣ n}{k \neq n}} Φ_{k} \times Φ_{n} .$

Le polynôme $X^{n} - 1$ est à coefficients entiers et, par hypothèse de récurrence forte, $\prod_{\binom{k ∣ n}{k \neq n}} Φ_{k}$ est à coefficients entiers. C’est aussi un polynôme unitaire par produit de polynômes unitaires. On peut donc affirmer que $Φ_{n}$ est à coefficients entiers.

La récurrence forte est établie.

Exercice 68 4151 CENTRALE (MP)Correction

Dans tout ce sujet $n$ désigne un naturel non nul.

On note $φ (n)$ l’indicatrice d’Euler de $n$ , $U_{n}$ l’ensemble des racines $n$ -ième de l’unité et $U_{n}^{*}$ l’ensemble des racines de l’unité d’ordre exactement $n$ . Enfin, pour $d \in ℕ^{*}$ , on pose

Φ_{d} = \prod_{z \in U_{d}^{*}} (X - z) .

(a)

Écrire en Python la fonction liste(n) qui renvoie

${k \in ⟦ 1; n ⟧ | k \land n = 1} .$

Écrire la fonction phi(n) qui renvoie $φ (n)$ puis sumphi(n) qui renvoie

$\sum_{d ∣ n} φ (d) .$
(b)

Montrer

$X^{n} - 1 = \prod_{d ∣ n} Φ_{d} .$
(c)

Justifier

$\sum_{d ∣ n} φ (d) = n .$
(d)

Montrer que $Φ_{n}$ est un polynôme à coefficients entiers.

On pose $Q_{n} = X^{n} - 1$ et l’on choisit $p, q, r$ des nombres premiers vérifiant

p < q < r < p + q .

On pose

n = p q r et R = \frac{Q_{p} Q_{q} Q_{r}}{X - 1} .

(e)

Montrer

$Φ_{n} = \frac{Q_{n} R}{Q_{p q} Q_{q r} Q_{r p}} .$
(f)

Montrer qu’il existe un polynôme $S$ tel que

$Φ_{n} - R = X^{p q} S .$
(g)

En déduire que le coefficient de $X^{r}$ dans $Φ_{n}$ est égal à $- 2$ .

Solution

(a)

On commence par définir une fonction calculant le pgcd de deux entiers

def gcd(a,b):
    if a % b == 0:  return b
    else: return gcd(b, a % b)
def liste(n):
    L = []
    for k in range(1,n):
        if gcd(n,k) == 1: L.append(k)
    return L
def phi(n):
    return len(liste(n))
def sumphi(n):
    return sum(liste(n))

(b)

$U_{n}$ est un groupe à $n$ . Les éléments de ce groupe ont un ordre divisant $n$ et pour tout $d$ divisant $n$ , les éléments du groupe $U_{n}$ d’ordre $d$ sont exactement ceux de $U_{d}^{*}$ . On en déduit que $U_{n}$ est la réunion disjointe des $U_{d}^{*}$ pour $d$ parcourant les diviseurs de $n$ . On en déduit

$X^{n} - 1 = \prod_{z \in U_{d}} (X - z) = \prod_{d ∣ n} Φ_{d} .$
(c)

Le polynôme $Φ_{n}$ est de degré $φ (n)$ car les racines de l’unité d’ordre $n$ sont les

$e^{2 i k π / n} avec k \in ⟦ 1; n ⟧, k \land n = 1 .$

L’identité précédente donne la relation voulue en passant celle-ci au degré.
(d)

Par récurrence forte sur l’entier $n \geq 1$ .

La propriété est immédiate quand $n = 1$ . Supposons la propriété vérifiée jusqu’au rang $n - 1$ .

On a

$X^{n} - 1 = \prod_{d ∣ n, d \neq n} Φ_{d} \times Φ_{n} .$

Le polynôme $X^{n} - 1$ est à coefficients entiers et $\prod_{d ∣ n, d \neq n}$ l’est aussi. De plus, le coefficient dominant de ce dernier vaut $1$ . On réalisant une division euclidienne, le calcul de $Φ_{n}$ détermine un polynôme à coefficients entiers.
(e)

Les diviseurs de $n$ sont $1, p, q, r, p q, q r, r p$ et $n$ donc

$Q_{n} = (X - 1) Φ_{p} Φ_{q} Φ_{r} Φ_{p q} Φ_{q r} Φ_{r p} Φ_{n} .$

De même

$Q_{p q} = (X - 1) Φ_{p} Φ_{q} Φ_{p q}, etc.$

La relation demandée s’en déduit.
(f)

Par ce qui précède, on peut écrire

$(Φ_{n} - R) Q_{p q} Q_{q r} Q_{r p} = R (Q_{n} - Q_{p q} Q_{q r} Q_{r p})$

$0$ n’est pas racine de $Q_{p q} Q_{q r} Q_{r p}$ , ni de $R$ , mais

$Q_{n} - Q_{p q} Q_{q r} Q_{r p} = X^{p q} + \dots$

On en déduit que $0$ est racine de multiplicité $p q$ de $Φ_{n} - R$ .
(g)

Puisque $r < p q$ , le coefficient de $X^{r}$ dans $Φ_{n}$ est celui de $X^{r}$ dans $P$ . Or

$P$ $= (X^{p} - 1) (X^{q} - 1) (1 + X + \dots + X^{r - 1})$

$= (1 - X^{p} - X^{q} + X^{p + q}) (1 + X + \dots + X^{r - 1}) .$

Le coefficient de $X^{r}$ dans ce polynôme est $- 2$ car $p + q > r$ .

Édité le 24-01-2025

	$- x$	$= \frac{- p}{10^{n}} \in 𝔻$
	$x + y$	$= \frac{p 10^{m} + q 10^{n}}{10^{n + m}} \in 𝔻$
	$x y$	$= \frac{p q}{10^{n + m}} \in 𝔻$

	$x - y$	$= (a - c) + (b - d) j \in ℤ [j]$
	$x y$	$= a c + (a d + b c) j + b d j^{2} = (a c - b d) + (a d + b c - b d) j \in ℤ [j]$

	${\| z - q \|}^{2}$	$= {\| (α - a) + (β - b) j \|}^{2} = {(α - a)}^{2} - (α - a) (β - b) + {(β - b)}^{2}$
		$= \frac{1}{2} ({(α - a)}^{2} + {(β - b)}^{2}) + \frac{1}{2} {(α - a + β - b)}^{2}$
		$\leq \frac{1}{2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} < 1$

	$\frac{1}{x}$	$= \frac{1}{(a + b \sqrt{2}) + (c \sqrt{3} + d \sqrt{6})}$
		$= \frac{a + b \sqrt{2} - (c \sqrt{3} + d \sqrt{6})}{(a^{2} + 2 b^{2} - 3 c^{2} - 6 d^{2}) + 2 (a b - 3 c d) \sqrt{2}}$
		$= \frac{a + b \sqrt{2} - (c \sqrt{3} + d \sqrt{6})}{α + β \sqrt{2}} .$

	$P$	$= (X^{p} - 1) (X^{q} - 1) (1 + X + \dots + X^{r - 1})$
		$= (1 - X^{p} - X^{q} + X^{p + q}) (1 + X + \dots + X^{r - 1}) .$