[>] Morphismes d'anneaux

 
Exercice 1  2233  Correction  

Montrer qu’un anneau (A,+,×) n’a pas de diviseurs de zéro si, et seulement si, tous ses éléments non nuls sont réguliers

Solution

Supposons que A n’ait pas de diviseurs de zéro.
Soit xA avec x0.

a,bA,xa=xbx(a-b)=0a-b=0

car x0.
Ainsi x est régulier à gauche. Il en est de même à droite.
Supposons que tout élément non nul de A soit régulier.

x,yA,xy=0xy=x.0x=0 ou y=0

(par régularité de x dans le cas où x0).
Par suite, l’anneau A ne possède pas de diviseurs de zéro.

 
Exercice 2  2236  Correction  

Soient a,b deux éléments d’un anneau (A,+,×) tels que ab soit inversible et b non diviseur de 0.
Montrer que a et b sont inversibles.

Solution

Soit x=b(ab)-1. Montrons que x est l’inverse de a.
On a ax=ab(ab)-1=1 et xab=b(ab)-1ab=b donc (xa-1)b=0 puis xa=1 car b n’est pas diviseur de 0. Ainsi a est inversible et x est son inverse.
De plus, b=a-1(ab) l’est aussi par produit d’éléments inversibles.

 
Exercice 3  5422     MINES (MP)Correction  

Soient (A,+,×) un anneau commutatif intègre et G une partie finie non vide de A{0} stable par multiplication.

Montrer que G est un sous-groupe du groupe (A×,×) constitué des éléments inversibles de l’anneau A.

Solution

Soit aG. Pour tout k*, ak est un élément de G car G est stable par produit. Puisque G est un ensemble fini, il existe k,* tels que ak=a avec k. Quitte à échanger, on peut supposer k< et écrire

ak(a-k-1A)=a-ak=0A

Par intégrité de l’anneau (A,+,×), ak0A puis a-k-1A=0A. Ainsi, a-k=1A. En particulier, 1AG et, de plus, a est inversible avec a-1=a-k-1G.

Ainsi, G est une partie de A×, contenant 1A, stable par produit et par passage à l’inverse de ses éléments, c’est un sous-groupe du groupe (A×,×).

 
Exercice 4  4233  

Dans un anneau A, on étudie l’équation x2=1A d’inconnue xA.

  • (a)

    On suppose l’anneau A intègre. Résoudre l’équation introduite.

  • (b)

    Observer que l’équation peut posséder d’autres solutions que les précédentes lorsque l’anneau A est l’un des anneaux non intègres suivants: 2, /8 et 2().

 
Exercice 5  4242   

Montrer que l’ensemble 𝒮 des fonctions de vers développables en série entière sur est un anneau intègre pour les opérations usuelles.

 
Exercice 6  4245    

Soit (A,+,×) un anneau.

  • (a)

    On suppose que 0A est la seule solution à l’équation x2=0A d’inconnue xA. Soit eA vérifiant11 1 On dit que l’élément e est idempotent. 0A et 1A sont des exemples d’éléments idempotents. e2=e. Montrer que e commute avec tout élément de A.

  • (b)

    On suppose x2=x pour tout xA. Montrer que l’anneau A est commutatif.

  • (c)

    On suppose x3=x pour tout xA. Montrer que 3.x+3.x2 est nul puis que l’anneau A est commutatif.

  • (d)

    On suppose x4=x pour tout xA. Montrer que 2.x est nul puis que x+x2 commute avec tout y de A. En déduire que x2 commute avec y et conclure que l’anneau A est commutatif.

[<] Calculs dans un anneau[>] Sous-anneaux

 
Exercice 7  126  Correction  

Soit f: un morphisme d’anneaux tel que

f(x)=xpour tout x.

Montrer que f est l’identité ou la conjugaison complexe.

Solution

Posons j=f(i). On a j2=f(i)2=f(i2)=f(-1)=-f(1)=-1 donc j=±i.

Cas: j=i. Pour tous a,b, f(a+ib)=f(a)+f(i)f(b)=a+ib donc f=Id.

Cas: j=-i. Pour tous a,b, f(a+ib)=f(a)+f(i)f(b)=a-ib donc f:zz¯.

 
Exercice 8  127  Correction  

Soit a un élément d’un ensemble X.
Montrer l’application Ea:(X,) définie par Ea(f)=f(a) est un morphisme d’anneaux.

Solution

Ea(x1)=1.
Pour tout f,g(X,);,

Ea(f+g)=(f+g)(a)=f(a)+g(a)=Ea(f)+Ea(g)

et

Ea(fg)=(fg)(a)=f(a)g(a)=Ea(f)Ea(g)

donc Ea est un morphisme d’anneaux.

 
Exercice 9  4232  

Soit a un élément inversible d’un anneau A. Vérifier que l’application f:xaxa-1 est un isomorphisme de l’anneau A vers lui-même11 1 On peut parler d’automorphisme de l’anneau A..

 
Exercice 10  4234  

Vérifier que le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal.

 
Exercice 11  132   Correction  

Soient K, L deux corps et f un morphisme d’anneaux entre K et L.

  • (a)

    Montrer que f(x) est inversible pour tout xK non nul et déterminer f(x)-1.

  • (b)

    En déduire que tout morphisme de corps est injectif.

Solution

  • (a)

    Pour xK{0},

    f(x).f(x-1)=f(x.x-1)=f(1K)=1L

    L’élément f(x) est donc inversible et f(x)-1=f(x-1).

  • (b)

    Si f(x)=f(y) alors f(x)-f(y)=f(x-y)=0L. Or 0L n’est pas inversible donc x-y=0K c’est-à-dire x=y.

    Ainsi, le morphisme f est injectif.

[<] Morphismes d'anneaux[>] Idéaux

 
Exercice 12  2237  Correction  

Soit d, on note

[d]={a+bd|(a,b)2}.

Montrer que [d] est un sous-anneau de (,+,×).

Solution

[d], 1[d].
Soient x,y[d], on peut écrire x=a+bd et y=a+bd avec a,b,a,b.
x-y=(a-a)+(b-b)d avec a-a,b-b donc x-y[d].
xy=(aa+bbd)+(ab+ab)d avec aa+bbd,ab+ab donc xy[d].
Ainsi [d] est un sous-anneau de (,+,×).

 
Exercice 13  2232  Correction  

On définit sur 2 deux lois de compositions internes notées + et par:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)et(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).
  • (a)

    Montrer que (2,+,) est un anneau commutatif.

  • (b)

    Montrer que A={(a,0)|a} est un sous-anneau de (2,+,).

Solution

  • (a)

    On vérifie aisément que (2,+) est un groupe commutatif.
    Avec des notations entendues

    (a,b)(c,d)=(ac,ad+bc)=(c,d)(a,b).

    La loi est donc commutative. De plus,

    ((a,b)(c,d))(e,f)=(ac,ad+bc)(e,f)=(ace,acf+ade+bce)=(a,b)((c,d)(e,f)).

    La loi est donc associative.
    Le couple (1,0) est neutre pour la loi , car (a,b)(1,0)=(a,b)
    Enfin

    ((a,b)+(c,d))(e,f)=(a+c,b+d)(e,f)=(ae+ce,af+cf+be+de)

    donc

    ((a,b)+(c,d))(e,f)=(ae,af+be)+(ce,cf+de)=(a,b)(e,f)+(c,d)(e,f)

    et la loi est distributive sur +.

    Finalement, (2,+,) est un anneau commutatif.

  • (b)

    A2, (1,0)A.
    Pour tout (a,0),(b,0)A, on a

    (a,0)-(b,0)=(a-b,0)A

    et

    (a,0)(b,0)=(ab,0)A

    A est donc un sous-anneau de (2,+,).

 
Exercice 14  4238   

(L’anneau des entiers de Gauss)

On note

[i]={a+ib|(a,b)2}.
  • (a)

    Montrer que [i] est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication des nombres complexes.

  • (b)

    Déterminer les éléments inversibles de l’anneau [i].

  • (c)

    Soit u et v deux éléments de [i] avec v0. Montrer qu’il existe un couple (q,r) d’éléments de [i] tel que u=qv+r et |r|<|v|.

  • (d)

    Vérifier que les idéaux de [i] sont de la forme v.[i] avec v[i].

 
Exercice 15  2238   

L’ensemble des nombres décimaux est

𝔻={n10k|n,k}.
  • (a)

    Montrer que 𝔻 est un sous-anneau de (,+,×).

  • (b)

    Déterminer ses éléments inversibles.

 
Exercice 16  2240   Correction  

Soit

A={mn|m et n*, impair}.
  • (a)

    Montrer que A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    Quels en sont les éléments inversibles?

Solution

  • (a)

    A, 1A, x,yA,x-yA et xyA: clair.
    Par suite, A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    xA est inversible si, et seulement si, il existe yA tel que xy=1.
    x=mn,y=mn avec n,n impairs. xy=1mm=nn donc m est impair et la réciproque est immédiate.
    Ainsi,

    U(A)={mn|m,n* impairs}.
 
Exercice 17  2241   Correction  

Soit

A={m2n|m et n}.
  • (a)

    Montrer que A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    Quels en sont les éléments inversibles?

Solution

  • (a)

    A, 1A, x,yA,x-yA et xyA: facile.
    Ainsi A est un sous anneau de (,+,×).

  • (b)

    xA est inversible si, et seulement si, il existe yA tel que xy=1.
    Puisque l’on peut écrire x=m2n,y=m2n avec m,m et n,n,

    xy=1mm=2n+n.

    Par suite, m est, au signe près, une puissance de 2.
    La réciproque est immédiate.

    Finalement,

    U(A)={±2k|k}.
 
Exercice 18  128   

(Description des sous-anneaux de Z2)

Pour d, on note

Ad={(x,y)2|d divise y-x}.
  • (a)

    Montrer que Ad est un sous-anneau (2,+,×).

Inversement, soit A un sous-anneau de (2,+,×).

  • (b)

    Montrer qu’il existe d tel que {x|(x,0)A}=d.

  • (c)

    En déduire que A=Ad.

 
Exercice 19  3376   Correction  

Un anneau A est dit régulier si

xA,yA,xyx=x.

On considère un tel anneau A et l’on introduit

Z={xA|aA,ax=xa}.
  • (a)

    Montrer que Z est un sous-anneau de A.

  • (b)

    Vérifier que Z est régulier.

Solution

  • (a)

    Immédiatement ZA et 1AZ.
    Soient x,yZ. Pour tout aA

    a(x-y)=ax-ay=xa-ya=(x-y)a

    et

    a(xy)=xay=xya

    donc x-yA et xyA.
    Ainsi, Z est un sous-anneau de A.

  • (b)

    Soit xZ. Il existe yA tel que xyx=x. La difficulté est de voir que l’on peut se ramener au cas où yZ …Pour cela considérons l’élément z=xy2. On observe

    xzx=x3y2=xyxyx=xyx=x.

    Il reste à montrer zZ. Posons aA. L’élément x3 commute avec y2ay2 et donc

    x3y2ay2=y2ay2x3

    ce qui donne

    xay2=y2ax

    puis az=za. On peut alors que conclure que l’anneau Z est régulier au sens défini.

 
Exercice 20  3856    

On se propose d’établir une correspondance bijective entre l’ensemble des sous-anneaux de l’anneau (,+,×) et l’ensemble (𝒫) des parties de l’ensemble 𝒫 des nombres premiers. Pour A un sous-anneau de (,+,×), on note

𝒫A={p𝒫|1pA}.
  • (a)

    Soit A et B deux sous-anneaux de (,+,×). Établir

    𝒫A=𝒫BA=B.
  • (b)

    Soit P𝒫. Déterminer un sous-anneau A de (,+,×) vérifiant 𝒫A=P.

[<] Sous-anneaux[>] Corps

 
Exercice 21  4235  

Soit A un anneau commutatif.

  • (a)

    Que dire d’un idéal de A qui contient le neutre 1A?

  • (b)

    Quels sont les idéaux d’un corps K?

 
Exercice 22  3854   

Un idéal d’un anneau (A,+,×) est dit principal lorsqu’il est de la forme xA pour un certain xA.

Montrer que les idéaux de tous les sous-anneaux de sont principaux.

 
Exercice 23  135   Correction  

On note

𝔻={p10n|p,n}

l’ensemble des nombres décimaux.

  • (a)

    Montrer que 𝔻 est un sous-anneau de (,+,×).

  • (b)

    Montrer que les idéaux de 𝔻 sont principaux (c’est-à-dire de la forme a𝔻 avec a𝔻).

Solution

  • (a)

    Il suffit de vérifier les axiomes définissant un sous-anneau…

  • (b)

    Soit I un idéal de 𝔻. L’intersection I est un sous-groupe de (,+) donc il existe a vérifiant

    I=a.

    Puisque aI, on a a𝔻I.
    Inversement, soit xI. On peut écrire

    x=p10n avec p et n.

    On a alors 10nxI par absorption donc pI. On en déduit ap puis xa𝔻.
    Finalement, I=a𝔻

 
Exercice 24  136   Correction  

(Nilradical d’un anneau)

On appelle nilradical d’un anneau commutatif (A,+,×) l’ensemble N formé des éléments nilpotents de A c’est-à-dire des xA tels qu’il existe n* vérifiant xn=0A.
Montrer que N est un idéal de A.

Solution

NA, 0AN donc N. Pour x,yN, il existe n,m* tel que xn=ym=0A.
Par la formule du binôme,

(x+y)n+m-1=k=0n+m-1(n+m-1k)xkyn+m-1-k.

Pour kn, xk=0A et pour kn-1, yn+m-1-k=0A. Dans les deux cas xkyn+m-1-k=0A et donc (x+y)n+m-1=0A. Par suite, x+yN.
Enfin pour aA et xN, axN car (ax)n=anxn.

 
Exercice 25  4240   

(Radical d’un idéal)

Soit I un idéal d’un anneau commutatif A. On appelle radical11 1 Lorsque I={0}, le radical de I regroupe les éléments nilpotents de l’anneau A. de l’idéal I l’ensemble R(I) des éléments x de A pour lesquels il existe q* tel que xqI.

  • (a)

    Montrer que R(I) est un idéal de A contenant I.

  • (b)

    Soit I et J deux idéaux. Vérifier

    R(IJ)=R(I)R(J)
  • (c)

    On suppose que A=. Déterminer le radical de n pour n.

 
Exercice 26  5378     ENSTIM (MP)Correction  

Soit (A,+,×) un anneau. On considère

R={xA|aA, 1A+ax est inversible}.

Montrer que R est un idéal de l’anneau (A,+,×).

Solution

R est évidemment une partie de A et celle-ci contient 0A.

Soient x,yR. Pour tout aA,

1A+a(x+y)=1A+ax+ay=(1A+ax)(1A+by) avec b=(1A+ax)-1aA.

Par produit d’éléments inversibles, 1A+a(x+y) est inversible. Ainsi, x+yR.

Soient xR et αA. Pour tout aA,

1A+a(αx)=1A+bx avec b=aαA.

Ainsi, αxR.

Finalement, R est un idéal de (A,+,×).

 
Exercice 27  4239   

(Idéaux premiers)

Un idéal I d’un anneau commutatif (A,+,×) est dit premier lorsque

(x,y)A2,xyIxI ou yI.
  • (a)

    Déterminer les idéaux premiers de .

  • (b)

    On suppose que A un anneau commutatif non réduit à {0A} dont tout idéal est premier. Établir que A est intègre puis que A est un corps.

 
Exercice 28  3843   Correction  

Soit A un anneau intègre. On suppose que l’anneau A ne possède qu’un nombre fini d’idéaux.
Montrer que A est un corps.

Solution

Soit xA avec x0A. Il suffit d’établir que x est inversible pour conclure.
Pour chaque n, xnA est un idéal. Puisque l’anneau A ne possède qu’un nombre fini d’idéaux, il existe p<q tels que xpA=xqA. En particulier, puisque xpxpA, il existe aA tel que

xp=xqa.

On a alors

xp(1A-xq-pa)=0A.

L’anneau A étant intègre et sachant x0A, on a nécessairement

xq-pa=1A.

On en déduit que x est inversible avec

x-1=xq-p-1a.
 
Exercice 29  138  Correction  

Soient A un anneau commutatif et e un élément idempotent de A (c’est-à-dire e2=e).

  • (a)

    Montrer que J={xA|xe=0} est un idéal de A.

  • (b)

    On note I=Ae l’idéal principal engendré par e. Déterminer I+J et IJ.

  • (c)

    Établir que pour tout idéal K de A:

    (KI)+(KJ)=K.

Solution

  • (a)

    sans difficultés.

  • (b)

    Pour tout xA, x=xe+x(1-e) avec xeI et x-xeJ. Par suite, I+J=A.
    Si xeJ alors xe=xe2=0 donc IJ={0}.

  • (c)

    L’inclusion (KI)+(KJ)K est immédiate. L’inclusion réciproque provient de l’écriture x=xe+x(1-e).

 
Exercice 30  2450   Correction  

Soit A un sous-anneau d’un corps K vérifiant, pour tout xK,

x0KxA ou x-1A.

On forme I l’ensemble des éléments de l’anneau A non inversibles.

  • (a)

    Montrer que I est un idéal de A.

  • (b)

    Montrer que tout idéal de A autre que A est inclus dans I.

Solution

  • (a)

    I est une partie non vide de A puisque 0A en est élément. Soient aA et xI
    Si a=0 alors ax=0I.
    Pour a0, supposons (ax)-1A.
    On a alors a-1x-1A et donc x-1=a(a-1x-1)A ce qui est exclu.
    Nécessairement (ax)-1A et donc axI.
    Soient x,yI. Montrons que x+yI.
    Si x=0, y=0 ou x+y=0, c’est immédiat. Sinon:
    On a (x+y)-1(x+y)=1 donc

    (x+y)-1(1+x-1y)=x-1 et (x+y)-1(1+xy-1)=y-1 (*).

    Par l’hypothèse de départ, l’un au moins des deux éléments x-1y ou xy-1=(x-1y)-1 appartient à A.
    Par opérations dans A à l’aide des relations (*), si (x+y)-1A alors x-1 ou y-1 appartient à A ce qui est exclu. Ainsi, (x+y)-1A et donc x+yI.
    Finalement, I est un idéal de A.

  • (b)

    Soit J un idéal de A distinct de A.
    Pour tout xJ, si x-1A alors par absorption 1=xx-1J et donc J=A ce qui est exclu.
    On en déduit que x-1A et donc xI. Ainsi, JI.

 
Exercice 31  141   Correction  

(Z est noethérien)

Montrer que tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de est stationnaire.
Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux de 𝕂[X]?.

Solution

Une suite croissante (In) d’idéaux de se détermine par une suite d’entiers naturels (an) vérifiant In=an et an+1an. Si pour tout n, In={0} alors la suite (In) est stationnaire.
Sinon à partir d’un certain rang In{0} et la relation an+1an entraîne an+1an. La suite d’entiers naturels (an) est décroissante et donc stationnaire. Il en est de même pour (In).
Ce résultat se généralise à 𝕂[X] en travaillant avec une suite de polynômes unitaires (Pn) vérifiant Pn+1Pn ce qui permet d’affirmer en cas de non nullité deg(Pn+1)deg(Pn) puis (deg(Pn)) stationnaire, puis encore (Pn) stationnaire et enfin (In) stationnaire.

 
Exercice 32  3635   

(Description des idéaux de Z2)

Soit I un idéal de l’anneau produit (2,+,×). On introduit

I1={x|(x,0)I}etI2={y|(0,y)I}.
  • (a)

    Montrer que I1 et I2 sont des idéaux de (,+,×).

  • (b)

    Établir I=I1×I2.

  • (c)

    Conclure que les idéaux de l’anneau (2,+,×) sont de la forme x2 avec x2.

 
Exercice 33  2661     MINES (MP)

Soit p un nombre premier. On note Zp l’ensemble des nombres rationnels dont le dénominateur n’est pas divisible par p.

  • (a)

    Vérifier que Zp est un sous-anneau de (,+,×). Quels en sont les éléments inversibles?

On introduit J l’ensemble des éléments non inversibles de Zp.

  • (b)

    Montrer que J est un idéal de Zp. Que dire d’un idéal contenant J et distinct de J?

  • (c)

    Déterminer tous les idéaux de Zp.

 
Exercice 34  2367      CENTRALE (MP)Correction  

Soit A un sous-anneau de .

  • (a)

    Soit p un entier et q un entier strictement positif premier avec p. Montrer que si p/qA alors 1/qA.

  • (b)

    Soit I un idéal de A autre que {0}. Montrer qu’il existe n* tel que I=n et qu’alors I=nA.

  • (c)

    Soit p un nombre premier. On pose

    Zp={a/b|a,b*,pb=1}.

    Montrer que si x* alors x ou 1/x appartient à Zp.

  • (d)

    On suppose ici que x ou 1/x appartient à A pour tout x*. On note I l’ensemble des éléments non inversibles de A.
    Montrer que I inclut tous les idéaux stricts de A. En déduire que A= ou A=Zp pour un certain nombre premier p.

Solution

Notons qu’un sous-anneau de possédant 1 contient nécessairement .

  • (a)

    Par égalité de Bézout, on peut écrire pu+qv=1 avec u,v. Si pqA alors

    1q=upq+v.1A.
  • (b)

    I est un sous-groupe de (,+) donc il est de la forme n avec n.
    Puisque I{0}, il existe p/qI non nul et par absorption, p=q.p/qI avec p0. Par suite, I{0} et donc n*.
    Puisque nI, on peut affirmer par absorption que nAI.
    Inversement, pour p/qI avec pq=1 on a 1/qA et pn donc p/qnA. Ainsi I=nA.

  • (c)

    On peut vérifier que Zp est un sous-anneau de .
    Pour x=a/b* avec ab=1. Si pb alors pb=1 et xZp. Sinon pb et donc pa d’où l’on tire 1/xZp.

  • (d)

    Soit J un idéal strict de A. J ne contient pas d’éléments inversibles de A car sinon il devrait contenir 1 et donc être égal à A.
    Ainsi, J est inclus dans I. De plus, on peut montrer que I est un idéal de A.
    En effet, IA et 0I.
    Soient aA et xI.

    Cas: a=0. ax=0I.

    Cas: a0. Supposons (ax)-1A alors a-1x-1A et donc x-1=a(a-1x-1)A ce qui est exclu. Ainsi, (ax)-1A et donc axI.
    Soient x,yI. Montrons que x+yI.

    Cas: x=0, y=0 ou x+y=0. C’est immédiat.

    Cas: x0, y0 et x+y0. On a (x+y)-1(x+y)=1 donc

    (x+y)-1(1+x-1y)=x-1 et (x+y)-1(1+xy-1)=y-1 (*).

    Par l’hypothèse de départ, l’un au moins des deux éléments x-1y ou xy-1=(x-1y)-1 appartient à A.
    Par opérations dans A à l’aide des relations (*), si (x+y)-1A alors x-1 ou y-1 appartient à A ce qui est exclu. Ainsi (x+y)-1A et donc x+yI.

    Finalement, I est un idéal de A.
    Par suite, il existe n, vérifiant I=nA.
    Si n=0 alors I={0} et alors A= car pour tout x*, x ou 1/xA et dans les deux cas xA car I={0}.
    Si n=1 alors I=A ce qui est absurde car 1A est inversible.
    Nécessairement n2. Si n=qr avec 2q,rn-1 alors puisque 1/nA, au moins l’un des éléments 1/q et 1/rA. Quitte à échanger, on peut supposer 1/qA. qA est alors un idéal strict de A donc qAI. Inversement, IqA puisque n est multiple de q. Ainsi, si n n’est pas premier alors il existe un facteur non trivial q de n tel que I=nA=qA. Quitte à recommencer, on peut se ramener à un nombre premier p.
    Finalement, il existe un nombre premier p vérifiant I=pA.
    Montrons qu’alors A=Zp.
    Soit xA. On peut écrire x=a/b avec ab=1. On sait qu’alors 1/bA donc si pb alors 1/pA ce qui est absurde car pI. Ainsi pb et puisque p est premier, pb=1. Ainsi AZp.
    Soit xZp, x=a/b avec bp=1. Si xA alors x0 et 1/x=b/aA puis b/aIpA ce qui entraîne, après étude arithmétique, pb et est absurde.
    Ainsi ZpA puis finalement Zp=A.

[<] Idéaux[>] Classes de congruence

 
Exercice 35  2244  

Soit α tel que α, on note

[α]={a+bα|a,b}.

Montrer que [α] est un corps pour les opérations usuelles.

 
Exercice 36  2246   Correction  

Soit F un sous corps de (,+,×). Montrer que F=.

Solution

0 et 1 sont éléments de F.

Par récurrence,

n,nF.

Par passage à l’opposée,

p,pF.

Par passage à l’inverse,

q*, 1/qF.

Par produit,

r=p/q,rF.
 
Exercice 37  4243   

Déterminer les tables d’opérations sur 𝔽4 corps fini11 1 Un théorème hors-programme assure que, à isomorphisme près, il existe un unique corps de cardinal pn pour tout nombre premier p et tout n*. Au surplus, un corps fini a nécessairement un cardinal de cette forme. à 4 éléments.

 
Exercice 38  129   

Soit (A,+,×) un anneau intègre de cardinal fini.

  • (a)

    Soit aA non nul. Montrer que xax définit une permutation de A.

  • (b)

    En déduire que tout élément non nul de (A,+,×) est inversible.

 
Exercice 39  2245   Correction  

Soit A un anneau commutatif fini non nul.
Montrer que A ne possède pas de diviseurs de zéro si, et seulement si, A est un corps.

Solution

() Tout élément non nul d’un corps est symétrisable donc régulier et n’est donc pas diviseurs de zéro.

() Supposons que A n’ait pas de diviseurs de zéros. Soit aA tel que a0. Montrons que a est inversible Considérons l’application φ:AA définie par φ(x)=a.x.
a n’étant pas diviseur de zéro, on démontre aisément que φ est injective, or A est fini donc φ est bijective. Par conséquent, il existe bA tel que φ(b)=1 c’est-à-dire ab=1. Ainsi a est inversible.

Finalement, A est un corps.

 
Exercice 40  2677     MINES (MP)Correction  

Soit 𝕂 un corps, E un espace vectoriel de dimension finie n sur 𝕂 et 𝕃 un sous-corps de 𝕂 tel que 𝕂 est un espace vectoriel de dimension finie p sur 𝕃. Montrer que E est un espace vectoriel de dimension finie q sur 𝕃. Relier n,p,q.

Solution

Il est facile de justifier que E est un 𝕃-espace vectoriel sous réserve de bien connaître la définition des espaces vectoriels et de souligner que qui peut le plus, peut le moins…
Soit (e1,,en) une base de 𝕂-espace vectoriel E et (λ1,,λp) une base du 𝕃-espace vectoriel 𝕂.
Considérons la famille des (λjei)1in,1jp. Il est facile de justifier que celle-ci est une famille libre et génératrice du 𝕃-espace vectoriel E. Par suite, E est de dimension finie q=np.

 
Exercice 41  5421     MINES (MP)Correction  

On considère le polynôme P=X3-X+1.

  • (a)

    Justifier que P est irréductible dans [X].

  • (b)

    Montrer que le polynôme P admet une unique racine réelle x et vérifier que celle-ci n’est pas rationnelle.

  • (c)

    Déterminer la dimension de F=Vect{xk|k}.

  • (d)

    L’espace F est-il un corps pour les opérations usuelles?

Solution

  • (a)

    Par l’absurde, si le polynôme P n’est pas irréductible dans [X], il existe un polynôme de degré 1 à coefficients dans qui le divise et donc P possède une racine rationnelle x. Soit p/q le représentant irréductible de x. L’égalité P(x)=0 donne p3-pq2+q3=0. On en déduit que p divise q3=pq2-p3 et donc p divise 1 car p et q sont premiers entre eux. Aussi, q divise p3=pq2-q3 et donc q divise 1. Ainsi, x=1 ou x=-1. Cependant, ni 1, ni -1 ne sont racines de P. C’est absurde.

  • (b)

    Le polynôme réel P est de degré impair, il possède au moins une racine réelle. L’étude des variations de P assure que celle-ci est unique. De plus, cette racine n’est pas rationnelle comme on l’a vu au-dessus.

  • (c)

    Soit yF. Il existe n et a0,,an tels que

    y=a0+a1x++anxn.

    Considérons alors le polynôme A=a0+a1X++anXn[X] de sorte que y=A(x). Par division euclidienne, on peut écrire

    A=PQ+R avec deg(R)<deg(P)

    et alors

    y=P(x)Q(x)+R(x) avec R=α+βX+γX2[X].

    Ainsi, on peut écrire y=α+βx+γx2 avec α,β,γ.

    De plus, supposons α+βx+γx2=0 avec α,β,γ.

    Introduisons le polynôme B=α+βX+γX2. Par l’absurde, supposons B0. Par division euclidienne, on écrit

    P=BQ+R avec deg(R)1

    et alors

    R(x)=P(x)-B(x)Q(x)=0.

    Or le polynôme R est à coefficients rationnels. Il ne peut être de degré 1 car alors x serait un nombre rationnel. Le polynôme R est donc constant et c’est alors nécessairement le polynôme nul car il possède une racine. Ainsi, B divise P et cela contredit l’irréductibilité de P. On conclut que B=0 et donc α=β=γ=0.

    Finalement, (1,x,x2) est une famille libre et génératrice de F. On peut alors conclure dimF=3.

  • (d)

    L’ensemble F est clairement un sous-anneau du corps (,+,×). Vérifions que c’est un sous-corps.

    Soit yF{0}. Il existe a0,a1,a2 non tous nuls tels que y=a0+a1x+a2x2. Introduisons alors le polynôme R=a0+a1X+a2X2. Puisque P est irréductible et qu’il ne divise pas R, ces deux polynômes sont premiers entre eux. Il existe donc U,V[X] tels que PU+RV=1 et alors R(x)V(x)=1. Ainsi, l’inverse de y est V(x) et c’est un élément de F.

    Finalement, F est un corps pour les opérations usuelles.

 
Exercice 42  2662      MINES (MP)Correction  

Soit K=+2+3+6.

  • (a)

    Montrer que (1,2,3,6) est une -base du -espace vectoriel K.

  • (b)

    Montrer que K est un sous-corps de .

Solution

  • (a)

    Il est clair que K est un sous-espace vectoriel de et que la famille (1,2,3,6) est -génératrice.
    Montrons qu’elle est libre en raisonnant par l’absurde.
    Supposons a+b2+c3+d6=0 avec a,b,c,d non tous nuls.
    Quitte à réduire au même dénominateur, on peut supposer a,b,c,d non tous nuls.
    Quitte à factoriser, on peut aussi supposer pgcd(a,b,c,d)=1.
    On a (a+b2)2=(c3+d6)2 donc

    a2+2ab2+2b2=3c2+6cd2+6d2.

    Par l’irrationalité de 2 on parvient au système

    {a2+2b2=3c2+6d2ab=3cd.

    Par suite, 3ab et 3a2+2b2 donc 3a et 3b.
    Ceci entraîne 3cd et 3c2+2d2 donc 3c et 3d.
    Ceci contredit pgcd(a,b,c,d)=1.
    Ainsi la famille (1,2,3,6) est -libre et c’est donc une -base de K.

  • (b)

    Sans peine, on vérifie que 𝕂 est un sous-anneau de .
    Soit x=a+b2+c3+d6𝕂 avec a,b,c,d non tous nuls.

    1x =1(a+b2)+(c3+d6)
    =a+b2-(c3+d6)(a2+2b2-3c2-6d2)+2(ab-3cd)2
    =a+b2-(c3+d6)α+β2.

    puis

    1x=(a+b2-(c3+d6))(α-β2)α2-2β2K

    et donc K est un sous-corps de .
    Notons que les quantités conjuguées par lesquelles on a ci-dessus multiplié ne sont pas nuls car x est non nul et la famille (1,2,3,6) est -libre.

 
Exercice 43  4244    

(Groupe des inversibles d’un corps fini)

On étudie le groupe (𝔽×,×) des inversibles d’un corps fini 𝔽.

  • (a)

    Soit x un élément de 𝔽× d’ordre d* et y un élément de 𝔽× vérifiant yd=1𝔽. Montrer que y appartient au groupe engendré par x.

    On admettra que l’on peut étendre11 1 En particulier, un polynôme à coefficients dans F ne peut avoir plus de racines dans F que son degré. la théorie des polynômes à ceux dont les coefficients appartiennent au corps F.

  • (b)

    Pour d*, on note N(d) le nombre d’éléments d’ordre d dans 𝔽×. Justifier N(d)φ(d)φ désigne la fonction indicatrice d’Euler.

  • (c)

    En déduire que (𝔽×,×) est un groupe cyclique.

 
Exercice 44  130    Correction  

Soit 𝕂 un corps fini11 1 /p avec p premier est un exemple de tel corps.. Calculer

x𝕂{0}x.

Solution

Méthode: Dans le produit, on regroupe chaque facteur avec son inverse.

Lorsque x est différent de son inverse, les deux facteurs correspondant dans le produit se simplifient. Une fois ces simplifications faites, il ne reste dans le produit que les facteurs égaux à leur inverse:

x𝕂{0}x=x𝕂{0}x=x-1x.

Cependant, la condition x=x-1 équivaut à x2=1𝕂 c’est-à-dire (x-1𝕂)(x+1𝕂)=0. Un corps étant intègre, cette équation a pour seules solutions 1𝕂 et -1𝕂. Que celles-ci soient ou non distinctes22 2 Dans le corps /2, les éléments 1¯ et -1¯ sont confondus., on obtient

x𝕂*x=-1𝕂.

[<] Corps[>] Équations modulaires, théorème chinois

 
Exercice 45  142  Correction  

Résoudre les équations suivantes:

  • (a)

    3x+5=0 dans /10

  • (b)

    x2=1 dans /8

  • (c)

    x2+2x+2=0 dans /5.

Solution

  • (a)

    3x+5=0x+5=0x=5 car l’inverse de 3 dans /10 est 7.

  • (b)

    Il suffit de tester les entiers 0,1,2,3,4. 1 et 3 conviennent. Les solutions sont 1,3,5,7.

  • (c)

    x2+2x+2=0x2+2x-3=0(x-1)(x+3)=0 donc les solutions sont 1 et -3.

 
Exercice 46  3915   Correction  

Résoudre le système suivant:

{x+y4[11]xy10[11].

Solution

Les solutions du système sont solutions de l’équation

z2-4z+10=0[11].

Or

z2-4z+10=z2+7z+10=(z+2)(z+5)

donc les solutions sont -2=9 et -5=6. On obtient comme solutions, les couples (9,6) et (6,9).

 
Exercice 47  144  Correction  

(Petit théorème de Fermat)

Soit p un nombre premier. Montrer

a(/p)*,ap-1=1.

Solution

Pour a(/p)*, l’application xax est une permutation de (/p)*.
Le calcul

x(/p)*x=x(/p)*ax=ap-1x(/p)*x

donne alors ap-1=1 car x(/p)*x0.

 
Exercice 48  148   

(Théorème de Wilson)

Soit p un nombre premier.

  • (a)

    Quels sont les éléments de /p qui sont égaux à leurs inverses?

  • (b)

    En déduire que p divise (p-1)!+1.

  • (c)

    Inversement, montrer que si un entier n supérieur à 2 divise (n-1)!+1 alors celui-ci est premier.

 
Exercice 49  145   

Soient p un nombre premier et k un entier naturel premier avec p-1.

Montrer que l’application φ:/p/p définie par φ(x)=xk est bijective.

 
Exercice 50  2660     MINES (MP)Correction  

Si p est un nombre premier, quel est le nombre de carrés dans /p?

Solution

Si p=2: il y a deux carrés dans /2.
Si p3, considérons l’application φ:xx2 dans /p.
Dans le corps /p: φ(x)=φ(y)x=±y.
Dans Im(φ), seul 0 possède un seul antécédent, les autres éléments possèdent deux antécédents distincts. Par suite, Card/p=1+2(CardIm(φ)-1) donc il y p+12 carrés dans /p.

 
Exercice 51  149    

Soit p un nombre premier supérieur à 3.

  • (a)

    Quel est le nombre de carrés dans /p?

  • (b)

    On suppose p1[4]. Justifier que -1¯ est un carré dans /p en calculant de deux façons la classe de congruence de (p-1)!.

  • (c)

    On suppose p3[4]. Montrer que -1¯ n’est pas un carré dans /p.

 
Exercice 52  3218   Correction  

Soit p un nombre premier. Calculer dans /p

k=1pk¯ et k=1pk¯2.

Solution

On a

k=1pk¯=k=1pk¯=p(p+1)2¯.

Si p=2 alors

k=1pk¯=1¯.

Si p3 alors (p+1)/2 est un entier et donc

k=1pk¯=p¯×(p+1)2¯=0¯.

On a

k=1pk¯2=k=1pk2¯=p(p+1)(2p+1)6¯.

Si p=2 alors

k=1pk¯2=1¯.

Si p=3 alors

k=1pk¯2=1¯2+2¯2=2¯.

Si p5 alors (p+1)(2p+1) est divisible par 6.
En effet, p+1 est pair donc (p+1)(2p+1) aussi.
De plus, sur les trois nombres consécutifs

2p,(2p+1),(2p+2)

l’un est divisible par 3. Ce ne peut être 2p et si 2p+2 est divisible par 3 alors p+1 l’est aussi. Par suite, (p+1)(2p+1) est divisible par 3.
Ainsi,

k=1pk¯2=p¯×(p+1)(2p+1)6¯=0¯.
 
Exercice 53  146   

(Sommes de Newton dans Z/pZ)

Soit p un entier premier. On admet que le groupe des inversibles du corps /p est cyclique11 1 Plus généralement, le groupe des inversibles d’un corps fini est cyclique: voir sujet 4244.. En discutant selon la valeur de k, calculer

Sk=x/pxk.
 
Exercice 54  3929    MINES (MP)Correction  
  • (a)

    Déterminer l’ensemble des inversibles de l’anneau /8. De quelle structure peut-on munir cet ensemble?

  • (b)

    Y a-t-il, à isomorphisme près, d’autres groupes de cardinal 4?

Solution

  • (a)

    Les inversibles de /8 sont les k¯ avec k8=1. Ce sont donc les éléments 1¯,3¯,5¯ et 7¯.
    L’ensemble des inversibles d’un anneau est un groupe multiplicatif.

  • (b)

    Le groupe ({1¯,3¯,5¯,7¯},×) vérifie la propriété x2=1 pour tout x élément de celui-ci. Ce groupe n’est donc pas isomorphe au groupe cyclique (/4,+) qui constitue donc un autre exemple de groupe de cardinal 4. En fait le groupe ({1¯,3¯,5¯,7¯},×) est isomorphe à (/2×/2,+).

 
Exercice 55  3780     ENTPECorrection  

Donner l’ensemble G des inversibles de l’anneau /20.
Montrer que (G,×) est isomorphe à (/2×/4,+)

Solution

Les inversibles sont obtenus à partir des nombres premiers avec 20

G={1,3,7,9,11,13,17,19}

3 est un élément d’ordre 4 dans (G,×) avec

3={1,3,9,7}

et 11 est un élément d’ordre 2 n’appartenant pas à 3.
Le morphisme φ:/2×/4G donné par

φ(k,)=11k×3

est bien défini et injectif par les arguments qui précèdent.
Par cardinalité, c’est un isomorphisme.

 
Exercice 56  4202   Correction  

On se propose d’établir qu’il n’existe pas d’entiers n2 tels que n divise 2n-1. On raisonne par l’absurde et l’on suppose qu’un tel entier n existe. On introduit p un facteur premier de n.

  • (a)

    Montrer que la classe de 2 est élément du groupe des inversibles de /p et que son ordre divise n et p-1.

  • (b)

    Conclure

Solution

  • (a)

    L’entier p divise n et donc divise 2n-1. On en déduit 2¯n=1¯ dans /p. L’élément 2¯ est donc inversible dans /p et son ordre divise n. Aussi, le groupe des inversibles du corps /p est de cardinal p-1 et donc 2¯ est d’ordre divisant p-1.

  • (b)

    Considérons p le plus petit facteur premier de n. Les facteurs premiers de l’ordre de 2 divisant n, ils sont tous au moins égaux à p. Or ils divisent aussi p-1 et ils sont donc aussi strictement inférieurs à p. On en déduit que 2¯ est d’ordre 1 dans /p ce qui est absurde.

 
Exercice 57  4246    

Soit n un entier supérieur à 3 et U le groupe des inversibles de l’anneau /2n.

  • (a)

    Montrer que a2n-21[2n] pour tout entier impair a.

  • (b)

    Le groupe (U,×) est-il cyclique?

  • (c)

    Trouver le plus petit entier k>0 tel que 3k1[2n].

  • (d)

    Montrer que U est isomorphe au groupe produit (/2×/2n-2,+).

[<] Classes de congruence[>] Indicatrice d'Euler

 
Exercice 58  4236  

(Équations modulaires)

Résoudre les équations suivantes d’inconnue x

  • (a)

    6x+20[11]

  • (b)

    6x+20[10]

  • (c)

    6x+20[9].

 
Exercice 59  4237  

(Systèmes chinois)

Résoudre les systèmes suivants d’inconnue x.

  • (a)

    {x2[5]x3[9]

  • (b)

    {9x3[21]5x2[8]

  • (c)

    {x7[9]x6[7]x=3[5].

 
Exercice 60  1216  Correction  

Résoudre le système:

{x2[10]x5[13].

Solution

1013=1 avec la relation de Bézout

-9×10+7×13=1.

Les nombres x1=7×13=91 et x2=-9×10=-90 sont solutions des systèmes

{x1[10]x0[13] et {x0[10]x1[13].

On en déduit que

x=2×91-5×90=-268

est solution du système dont la solution générale est alors

x=-268+130k=122+130 avec .
 
Exercice 61  143  Correction  

Résoudre les systèmes suivants:

  • (a)

    {x1[6]x2[7]

  • (b)

    {3x2[5]5x1[6]

Solution

  • (a)

    6 et 7 sont premiers entre eux avec la relation de Bézout (-1)×6+7=1.
    x1=7 et x2=-6 sont solutions des systèmes

    {x1[6]x0[7] et {x0[6]x1[7]

    donc x=1×7+2×(-6)=-5 est solution du système étudié dont la solution générale est alors

    x=37+42k avec k.
  • (b)
    {3x2[5]5x1[6]{x4[5]x5[6]

    on poursuit comme ci-dessus. Les solutions sont 29+30k avec k.

 
Exercice 62  1217   Correction  

Soient a,b,a,b avec b et b premiers entre eux.
Montrer que le système

{xa[b]xa[b]

possède des solutions et que celles-ci sont congrues entre elles modulo bb.

Solution

Il existe u,v tels que bu+bv=1.
Soit x=abu+abv.
On a

x=abu+a-abu=a[b]

et

x=a-abv+abv=a[b]

donc x est solution.
Soit x une autre solution. On a

x=x[b]

et

x=x[b]

donc b(x-x) et b(x-x).
Or bb=1 donc bb(x-x).
Inversement, soit x tel que bbx-x, on a bien

x=x=a[b]

et

x=x=a[b].
 
Exercice 63  1218   Correction  

Une bande de 17 pirates dispose d’un butin composé de N pièces d’or d’égale valeur. Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci reçoit 3 pièces. Mais une rixe éclate et 6 pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants comme précédemment; le cuisinier reçoit alors 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seul le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauvés. Le butin est à nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit 5 pièces. Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu’il décide d’empoisonner le reste des pirates?

Solution

Notons x le montant du trésor. De part les hypothèses

{x3[17]x4[11]x5[6].

On commence par résoudre le système

{x3[17]x4[11]

1711=1 avec la relation de Bézout 2×17-3×11=1. On a alors la solution particulière

x=3×(-33)+4×34=37

et donc

{x3[17]x4[11]x5[6]{x37[187]x5[6]

1876=1 avec la relation de Bézout 187-31×6=1. On a alors la solution particulière

x=37×(-186)+5×(187)=-5947.

La solution générale du système est alors

x=-5947+1122k=785+1122 avec .

Le cuisinier peut espérer empocher au moins 785 pièces d’or.

[<] Équations modulaires, théorème chinois[>] Algèbres

 
Exercice 64  2655  Correction  

Combien y a-t-il d’éléments inversibles dans /78?

Solution

Les inversibles dans /78 sont les classes associés aux entiers de {1,,78} qui sont premiers avec 78=2×3×13. Il suffit ensuite de dénombrer les multiples de 2,3,13 compris entre 1 et 78. On conclut qu’il y a 24 éléments inversible dans /78. On peut aussi calculer φ(78)=1×2×12=24.

 
Exercice 65  151   Correction  

Pour n*, on note φ(n) le nombre d’éléments inversibles dans (/n,×).

  • (a)

    Calculer φ(p) et φ(pα) pour p premier et α*.

  • (b)

    Soient m et n premiers entre eux.
    On considère l’application f:/mn/n×/m définie par f(x¯)=(x^,x~).
    Montrer que f est bien définie et réalise un isomorphisme d’anneaux.

  • (c)

    En déduire que φ(mn)=φ(m)φ(n).

  • (d)

    Exprimer φ(n) selon la décomposition primaire de n.

Solution

Les éléments inversibles de (/n,×) sont les éléments représentés par un nombre premier avec n.

  • (a)

    φ(p)=p-1. Être premier avec pα équivaut à être premier avec p c’est-à-dire à ne pas être divisible par p puisque p𝒫. Il y a pα-1 multiples de p compris entre 1 et pα donc φ(pα)=pα-pα-1.

  • (b)

    Si x=y[mn] alors x=y[n] et x=y[m] donc f est bien définie.
    φ(1¯)=(1^,1~) et si a=x+y/xy[mn] alors a=x+y/xy[n] donc φ est un morphisme d’anneaux.
    Si f(x¯)=f(y¯) alors x=y[m] et x=y[n] alors m,ny-x et puisque mn=1 alors mny-x donc x¯=y¯[mn].
    f est injective puis bijective par l’égalité des cardinaux.

  • (c)

    Les inversibles de /mn correspondent aux couples formés par un inversible de /n et un inversible de /m. Par suite, φ(mn)=φ(m)φ(n).

  • (d)

    Si n=i=1Npiαi alors φ(n)=i=1Npiαi-1(pi-1).

 
Exercice 66  152  Correction  

Pour n*, on note φ(n) le nombre d’éléments inversibles dans (/n,×).

Établir

a(/n)*,aφ(n)=1.

(où (/n)* désigne l’ensemble des inversibles de l’anneau /n

Solution

Soit f:xax de (/n)* vers lui-même.

Cette application est bien définie, injective et finalement bijective par cardinalité.

Ainsi,

x(/n)*x=x(/n)*ax=aφ(n)x(/n)*x

puis aφ(n)=1 car l’élément x(/n)*x est inversible.

Plus directement, on peut aussi dire que (/n)* est un groupe multiplicatif à φ(n) éléments et conclure.

 
Exercice 67  4241   

Soit a et n avec n2.

  • (a)

    On suppose a et n premiers entre eux, montrer aφ(n)1[n].

  • (b)

    On suppose an-11[n] et ad1[n] pour tout entier naturel d diviseur strict de n-1. Montrer que n est un nombre premier.

 
Exercice 68  4061   

Soient a,n au moins égaux à 2 et N=an-1. Montrer que n divise φ(N).

 
Exercice 69  2374  

Montrer que, pour tout entier n3, φ(n) est un nombre pair.

 
Exercice 70  257   Correction  

Établir

n3,φ(n)nln(2)ln(n)+ln(2).

Solution

Notons p1,,pr les facteurs premiers de n. On sait

φ(n)=n(1-1p1)(1-1p2)(1-1pr).

En ordonnant les p1,p2,,pr, on peut affirmer

1ir,pi1+i

et donc

(1-1p1)(1-1p2)(1-1pr)(1-12)(1-13)(1-11+r).

Par produit télescopique

(1-1p1)(1-1p2)(1-1pr)>1223rr+1=1r+1.

Or on a aussi

np1pr2r

et donc

rnln(2).

On en déduit

φ(n)nnln(2)+1=nln(2)n+ln(2).
 
Exercice 71  153   Correction  

Pour n*, on note φ(n) le nombre de générateurs de (/n,+).

  • (a)

    Montrer que si H est un sous-groupe de (/n,+), il existe a divisant n vérifiant H=<a¯>.

  • (b)

    Observer que si dn il existe un unique sous-groupe de (/n,+) d’ordre d.

  • (c)

    Justifier que si dn le groupe (/n,+) possède exactement φ(d) éléments d’ordre d.

  • (d)

    Montrer

    dnφ(d)=n.

Solution

  • (a)

    Soit H un sous-groupe de /n.
    Si H={0} alors H=<n>.
    Sinon, on peut introduire a=min{k*|k¯H}.
    La division euclidienne de n par a donne n=qa+r d’où r¯H puis r=0. Ainsi an.
    On a <a¯>H et par division euclidienne on montre H<a¯> d’où a=H.

  • (b)

    Si a divise n, on observe que <a¯> est de cardinal ’ordre n/a. Ainsi <n/d> est l’unique sous-groupe d’ordre d de (/n,+).

  • (c)

    Un élément d’ordre d de /n est générateur d’un sous-groupe à d éléments donc générateur de <n/d¯>. Inversement, tout générateur de <n/d¯> est élément d’ordre d de /n. Or <n/d¯> est cyclique d’ordre d donc isomorphe à /d et possède ainsi φ(d) générateurs. On peut donc affirmer que /n possède exactement φ(d) élément d’ordre d.

  • (d)

    L’ordre d’un élément de /n est cardinal d’un sous-groupe de /n et donc diviseur de n. En dénombrant /n selon l’ordre de ses éléments, on obtient

    dnφ(d)=n.
 
Exercice 72  3634   

Soit n un entier naturel non nul.

  • (a)

    Pour d diviseur positif de n, combien y a-t-il de k1;n vérifiant kn=d?

  • (b)

    En déduire

    n=dnφ(d)

    où la somme s’étend sur les diviseurs positifs de n.

 
Exercice 73  5281     Navale (MP)Correction  

On note φ la fonction indicatrice d’Euler. Soit n avec n2.

  • (a)

    Pour d un diviseur de n, montrer qu’il y a exactement φ(d) éléments d’ordre d dans le groupe (/n,+).

  • (b)

    En déduire

    n=dnφ(d)

    où la somme s’étend sur les entiers d diviseurs positifs de n.

  • (c)

    Écrire un programme employant cette formule pour calculer les valeurs de la fonction indicatrice d’Euler.

Solution

  • (a)

    Soit k1;n. L’ordre de k¯ dans /n est le plus petit entier tel que k¯=0¯, c’est-à-dire tel que k soit un multiple de n. L’ordre de k¯ apparaît donc comme le facteur qui mutliplie k pour atteindre le ppcm de k et n,

    =knk=nkn.

    L’élément k est donc d’ordre d si, et seulement si,

    kn=d avec d=nd.

    Les entiers k correspondant s’écrivent

    k=dk avec k1;d et kd=1.

    Il y en a exactement φ(d).

  • (b)

    Les ordres des éléments de (/n,+) sont tous des diviseurs de n et, en dénombrant /n par regroupement de ses éléments selon leur ordre, il vient

    n=Card(/n)=dnCard{k1;n|k¯ est d’ordre d}=dnφ(d).
  • (c)

    Une programmation récursive emploie la formule qui précède sans être (a priori ?) plus efficace qu’un simple dénombrement des entiers compris entre 1 et n premier avec n

    def phi(n):
        if n == 1:
            return 1
        S = 0
        for d in range(1,n):
            if n % d == 0:
                S = S + phi(d)
        return n - S
    
 
Exercice 74  2381    

(Déterminant de Smith)

Soit T=(ti,j)n() la matrice de coefficients

ti,j={1 si i divise j0 sinon.

Soit aussi Dn() la matrice diagonale de coefficients diagonaux φ(1),,φ(n)φ désigne la fonction indicatrice d’Euler.

  • (a)

    Exprimer le coefficient d’indice (i,j) de la matrice TtDT en fonction de ij.

  • (b)

    En déduire la valeur du déterminant de la matrice de Smith

    S=(11121n21222nn1n2nn).
 
Exercice 75  4151      CENTRALE (MP)Correction  

Dans tout ce sujet n désigne un naturel non nul.

On note φ(n) l’indicatrice d’Euler de n, Un l’ensemble des racines n-ième de l’unité et Un* l’ensemble des racines de l’unité d’ordre exactement n. Enfin, pour d*, on pose

Φd=zUd*(X-z).
  • (a)

    Écrire en Python la fonction liste(n) qui renvoie

    {k1;n|kn=1}.

    Écrire la fonction phi(n) qui renvoie φ(n) puis sumphi(n) qui renvoie

    dnφ(d).
  • (b)

    Montrer

    Xn-1=dnΦd.
  • (c)

    Justifier

    dnφ(d)=n.
  • (d)

    Montrer que Φn est un polynôme à coefficients entiers.

On pose Qn=Xn-1 et l’on choisit p,q,r des nombres premiers vérifiant

p<q<r<p+q.

On pose

n=pqr et R=QpQqQrX-1.
  • (e)

    Montrer

    Φn=QnRQpqQqrQrp.
  • (f)

    Montrer qu’il existe un polynôme S tel que

    Φn-R=XpqS.
  • (g)

    En déduire que le coefficient de Xr dans Φn est égal à -2.

Solution

  • (a)

    On commence par définir une fonction calculant le pgcd de deux entiers

    def gcd(a,b):
        if a % b == 0:  return b
        else: return gcd(b, a % b)
    def liste(n):
        L = []
        for k in range(1,n):
            if gcd(n,k) == 1: L.append(k)
        return L
    def phi(n):
        return len(liste(n))
    def sumphi(n):
        return sum(liste(n))
    
  • (b)

    Un est un groupe à n. Les éléments de ce groupe ont un ordre divisant n et pour tout d divisant n, les éléments du groupe Un d’ordre d sont exactement ceux de Ud*. On en déduit que Un est la réunion disjointe des Ud* pour d parcourant les diviseurs de n. On en déduit

    Xn-1=zUd(X-z)=dnΦd.
  • (c)

    Le polynôme Φn est de degré φ(n) car les racines de l’unité d’ordre n sont les

    e2ikπ/n avec k1;n,kn=1.

    L’identité précédente donne la relation voulue en passant celle-ci au degré.

  • (d)

    Par récurrence forte sur l’entier n1.

    La propriété est immédiate quand n=1. Supposons la propriété vérifiée jusqu’au rang n-1.

    On a

    Xn-1=dn,dnΦd×Φn.

    Le polynôme Xn-1 est à coefficients entiers et dn,dn l’est aussi. De plus, le coefficient dominant de ce dernier vaut 1. On réalisant une division euclidienne, le calcul de Φn détermine un polynôme à coefficients entiers.

  • (e)

    Les diviseurs de n sont 1,p,q,r,pq,qr,rp et n donc

    Qn=(X-1)ΦpΦqΦrΦpqΦqrΦrpΦn.

    De même

    Qpq=(X-1)ΦpΦqΦpq, etc.

    La relation demandée s’en déduit.

  • (f)

    Par ce qui précède, on peut écrire

    (Φn-R)QpqQqrQrp=R(Qn-QpqQqrQrp)

    0 n’est pas racine de QpqQqrQrp, ni de R, mais

    Qn-QpqQqrQrp=Xpq+

    On en déduit que 0 est racine de multiplicité pq de Φn-R.

  • (g)

    Puisque r<pq, le coefficient de Xr dans Φn est celui de Xr dans P. Or

    P =(Xp-1)(Xq-1)(1+X++Xr-1)
    =(1-Xp-Xq+Xp+q)(1+X++Xr-1).

    Le coefficient de Xr dans ce polynôme est -2 car p+q>r.

[<] Indicatrice d'Euler

 
Exercice 76  4383  

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E. On introduit le commutant de u

𝒞u={v(E)|uv=vu}.

Montrer que 𝒞u est une sous-algèbre de l’algèbre (E) des endomorphismes de E.

 
Exercice 77  1265  Correction  

Soit

E={M(a,b,c)=(abccabbca)|(a,b,c)3}.

Montrer que E est une sous-algèbre commutative de 3() dont on déterminera la dimension.

Solution

On peut écrire

M(a,b,c)=aI+bJ+cK

avec

I=M(1,0,0),J=M(0,1,0) et K=M(0,0,1)=J2.

Ainsi, E=Vect(I,J,K) est un sous-espace vectoriel de dimension 3 de 3() (car (I,J,K) est clairement une famille libre).
Aussi

M(a,b,c)M(a,b,c)=(aa+bc+cb)I+(ab+ab+cc)J+(ac+ac+bb)K.

Donc E est une sous algèbre (visiblement commutative) de 3().

 
Exercice 78  4207   

Soit

E={M(a,b)=(a-bba)|(a,b)2}.
  • (a)

    Montrer que E est une algèbre réelle commutative pour les lois usuelles.

  • (b)

    Vérifier que l’algèbre E est isomorphe à .

 
Exercice 79  4218   

(Le «  corps  » des quaternions)

On note l’ensemble des matrices

M(a,b)=(ab-b¯a¯) avec a,b.
  • (a)

    Montrer que est une algèbre réelle de dimension 4 pour les opérations usuelles.

  • (b)

    Vérifier que tout élément non nul de est inversible dans .

 
Exercice 80  5420     MINES (MP)Correction  

Soit A une -algèbre commutative intègre de dimension finie n2.

  • (a)

    Montrer que A est un corps.

  • (b)

    Montrer que pour tout aA, l’ensemble {P[X]|P(a)=0A} est un idéal de [X] et que celui-ci est engendré par un polynôme irréductible.

  • (c)

    Montrer que A est isomorphe à .

Solution

  • (a)

    A est un anneau commutatif non réduit à {0A}.

    Soit a un élément non nul de A. L’application γ:xax est un endomorphisme de l’espace A et celui-ci est injectif car l’anneau A est intègre. L’espace A étant de dimension finie, l’application γ est un automorphisme de A. En particulier, il existe bA tel que γ(b)=1A c’est-à-dire ab=1A. Ainsi, tout élément non nul de l’anneau A est inversible. Finalement, A est un corps.

  • (b)

    L’ensemble I={P[X]|P(a)=0A} contient le polynôme nul, est stable par addition et l’on vérifie aisément que, si PI, alors PQI pour tout Q[X]. Ainsi, I est un idéal de [X]. Il existe donc un polynôme Π[X] tel que I=Π[X].

    Par l’absurde, supposons que le polynôme Π ne soit par irréductible. On peut écrire Π=Π1Π2 avec Π1 et Π2 non constants. Puisque Π(a)=0A, on a Π1(a)Π2(a)=0A. Par intégrité, Π1(a)=0A ou Π2(a)=0A. Quitte à échanger, supposons Π1(a)=0A. Cela signifie Π1I mais alors ΠΠ1 et cela est absurde.

  • (c)

    Soit aA tel que aVect(1A). Un tel élément existe car dimA2. Introduisons alors le polynôme Π comme au-dessus (que l’on choisit unitaire). Celui-ci ne peut être de degré 1 car aVect(1A). Le polynôme Π est donc de degré 2 sans racines réelles. Soit ω=α+iβ (avec (α,β)×*) une racine de Π. On a

    Π=(X-ω)(X-ω¯)=X2-2αX+(α2+β2)

    et donc

    Π(a)=a2-2α.a+(α2+β2).1A=0A.

    Considérons ensuite

    i=1β(a-α.1A)AVect(1A).

    On remarque

    i2=1β2(a2-2α.a+α2.1A)=-1A.

    Montrons ensuite que dimA=2. Par l’absurde, si AVect(1A,i), on peut introduire bEVect(1A,i) et définir comme au-dessus un élément jA tel que j2=-1 avec jVect(1A,i). Or j2=i2 donne (j-i)(j+i)=0A et donc j=i ou j=-i par intégrité. C’est absurde.

    Pour conclure, on introduit l’application -linéaire φ:A déterminée par

    φ(1)=1Aetφ(i)=i.

    Par l’égalité i2=-1A, on vérifie que l’application φ est un morphisme d’anneaux et donc un morphisme d’algèbres. De plus, celle-ci transforme une base en une base, c’est un isomorphisme.

 
Exercice 81  3408     ENS CachanCorrection  

Soit 𝕂 une algèbre intègre sur de dimension finie n2. On assimile à .11 est l’élément de 𝕂 neutre pour le produit.

  • (a)

    Montrer que tout élément non nul de 𝕂 est inversible.

  • (b)

    Soit a un élément de 𝕂 non situé dans . Montrer que la famille (1,a) est libre tandis que le famille (1,a,a2) est liée.

  • (c)

    Montrer l’existence de i𝕂 tel que i2=-1.

  • (d)

    Montrer que si 𝕂 est commutative alors 𝕂 est isomorphe à .

Solution

  • (a)

    Soit a un élément non nul de 𝕂. L’application φ:xax est -linéaire de 𝕂 vers 𝕂 et son noyau est réduit à {0} car l’algèbre 𝕂 est intègre. Puisque 𝕂 est un -espace vectoriel de dimension finie, l’endomorphisme φ est bijectif et il existe donc b𝕂 vérifiant ab=1. Puisque

    φ(ba)=a(ba)=(ab)a=a=φ(1)

    on a aussi ba=1 et donc a est inversible d’inverse b.

  • (b)

    Puisque 10, si la famille (1,a) était liée alors a.1= ce qui est exclu; on peut donc affirmer que la famille (1,a) est libre.
    Puisque la -algèbre a est de dimension n, on peut affirmer que la famille (1,a,a2,,an) est liée car formée de n+1 vecteurs. Il existe donc un polynôme non nul Pn[X] tel que P(a)=0. Or ce polynôme se décompose en un produit de facteurs de degrés 1 ou 2. Puisque les facteurs de degré 1 n’annule pas a et puisque l’algèbre est intègre, il existe un polynôme de degré 2 annulant a. On en déduit que la famille (1,a,a2) est liée.

  • (c)

    Plus exactement avec ce qui précède, on peut affirmer qu’il existe α,β tel que

    a2+αa+β=0 avec Δ=α2-4β<0.

    On a alors

    (a+α2)2=α2-4β4

    et l’on obtient donc i2=-1 en prenant

    i=2a+α4β-α2.
  • (d)

    Par l’absurde, supposons n=dim𝕂>2.
    Il existe a,b𝕂 tels que (1,a,b) soit libre.
    Comme ci-dessus, on peut alors introduire iVect(1,a) et jVect(1,b) tels que

    i2=-1=j2.

    On a alors par commutativité

    (i-j)(i+j)=0

    et l’intégrité de 𝕂 entraîne i=j ou i=-j. Dans un cas comme dans l’autre, on obtient

    1,a,bVect(1,i)

    ce qui contredit la liberté de la famille (1,a,b).
    On en déduit n=2. Il est alors facile d’observer que 𝕂 est isomorphe à .

 
Exercice 82  4230   

Soit (A,+,×) une -algèbre intègre de dimension finie n2 et a un élément de A.

On assimile à .1A1A est l’élément de A neutre pour le produit.

  • (a)

    En observant que l’application xax est un endomorphisme de A, montrer que a est inversible si, et seulement si, a est non nul.

  • (b)

    Montrer qu’il existe des réels λ0,λ1,,λn non tous nuls tels que

    λ0+λ1.a++λn.an=0A.
  • (c)

    Montrer que, à isomorphisme près, est la seule -algèbre commutative intègre de dimension finie n2.

 
Exercice 83  2390     CENTRALE (MP)Correction  

Soit n un entier 2 et 𝒜 un hyperplan de n() stable pour le produit matriciel.

  • (a)

    On suppose que In𝒜. Montrer, si M2𝒜, que M𝒜. En déduire que pour tout i{1,,n} que la matrice Ei,i est dans 𝒜. En déduire une absurdité.

  • (b)

    On prend n=2. Montrer que 𝒜 est isomorphe à l’algèbre des matrices triangulaires supérieures.

Solution

  • (a)

    Supposons M2𝒜. 𝒜 et Vect(In) étant supplémentaires dans n(), on peut écrire M=A+λIn avec A𝒜. On a alors M2=A2+2λAIn+λ2In d’où l’on tire λ2In𝒜 puis λ=0 ce qui donne M𝒜.
    Pour ij, Ei,j2=0𝒜 donc Ei,j𝒜 puis Ei,i=Ei,j×Ej,i𝒜. Par suite, In=E1,1++En,n𝒜. Absurde.

  • (b)

    Formons une équation de l’hyperplan 𝒜 de la forme ax+by+cz+dt=0 en la matrice inconnue M=(xyzt) avec (a,b,c,d)(0,0,0,0). Cette équation peut se réécrire tr(AM)=0 avec A=(acbd).
    Puisque I2𝒜, on a tr(A)=0. Soit λ une valeur propre de A.
    Si λ0 alors -λ est aussi valeur propre de A et donc A est diagonalisable via une matrice P.
    On observe alors que les matrices M de 𝒜 sont celles telles que P-1MP a ses coefficients diagonaux égaux.
    Mais alors pour M=P(1101)P-1 et N=P(1011)P-1 on a M,N𝒜 alors que MN𝒜.
    Si λ=0 alors A est trigonalisable en (0α00) avec α0 via une matrice P.
    On observe alors que les matrices M de 𝒜 sont celles telles que P-1MP est triangulaire supérieure. L’application MP-1MP est un isomorphisme comme voulu.



Édité le 08-11-2019

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