[>] Sous-groupes

 
Exercice 1  2219  Correction  

Justifier que exp:* est un morphisme du groupe (,+) vers (*,×).
En déterminer image et noyau.

Solution

On sait

x,y,exp(x+y)=exp(x)exp(y)

donc exp:* est un morphisme de groupes.

exp(x)=1k,x=2ikπ

donc

Kerexp={2ikπ|k}.

La fonction exponentielle complexe prend toutes les valeurs de * donc

Imexp=*.
 
Exercice 2  2218  Correction  

Soient n* et f:* définie par f(x)=xn.
Montrer que f est un morphisme du groupe (*,×) dans lui-même.
En déterminer image et noyau.

Solution

Pour x*, on a bien f(x)*. Pour x,y*

f(xy)=(xy)n=xnyn=f(x)f(y)

donc f est un morphisme de (*,×) vers lui-même.
Ker(f)=f-1({1}) et Im(f)={xn|x*}.
Si n est pair alors

Ker(f)={1,-1}etIm(f)=+*.

Si n est impair alors

Ker(f)={1}etIm(f)=*.
 
Exercice 3  4279  

Soit a un élément d’un groupe (G,).

  • (a)

    Montrer que l’application φ:kak définit un morphisme du groupe (,+) vers (G,).

  • (b)

    Déterminer l’image et le noyau de φ.

 
Exercice 4  2220  

(Morphisme de conjugaison)

Soit G un groupe noté multiplicativement. Pour aG, on note τa l’application de G vers G définie par τa(x)=axa-1.

  • (a)

    Montrer que τa est un morphisme du groupe G vers lui-même.

  • (b)

    Vérifier τaτb=τab pour tous a et b dans G.

  • (c)

    Montrer que τa est bijective et exprimer son application réciproque.

  • (d)

    En déduire que 𝒯={τa|aG} muni du produit de composition est un groupe.

 
Exercice 5  147  Correction  

Déterminer les morphismes de groupes entre (/n,+) et (/m,+).

Solution

Notons x¯ les éléments de /n et x^ ceux de /m.
Posons d=pgcd(n,m). On peut écrire

n=dn et m=dm avec nm=1.

Soit φ un morphisme de (/n,+) vers (/m,+).
On a

n.φ(1¯)=φ(n.1¯)=φ(n¯)=φ(0¯)=0^.

Si l’on note φ(1¯)=k^, on a donc mnk d’où mnk puis mk car m et n sont premiers entre eux.
Ainsi φ(1¯)=ma^ pour un certain a puis alors

x,φ(x¯)=max^.

Inversement, si l’on considère pour a, l’application φ:/n/m donnée par

x,φ(x¯)=max^

on vérifie que φ est définie sans ambiguïté car

x¯=y¯m=mdm(x-y)max^=may^.

On observe aussi que φ est bien un morphisme de groupe.

 
Exercice 6  2221   Correction  

Soient (G,), (G,) deux groupes et f:GG un morphisme de groupes.

  • (a)

    Montrer que pour tout sous-groupe H de G, f(H) est un sous-groupe de (G,).

  • (b)

    Montrer que pour tout sous-groupe H de G, f-1(H) est un sous-groupe de (G,).

Solution

  • (a)

    f(H)G, e=f(e)f(H) car eH.

    Soient y,yf(H), on peut écrire y=f(x) et y=f(x) avec x,xH.

    yy-1=f(x)f(x)-1=f(x)f(x-1)=f(xx-1)

    avec xx-1H donc yy-1f(H). Ainsi, f(H) est un sous-groupe de (G,).

  • (b)

    f-1(H)G et ef-1(H) car f(e)=eH.

    Soient x,xf-1(H). On a f(x),f(x)H.

    f(xx-1)=f(x)f(x-1)=f(x)f(x)-1H

    donc xx-1f-1(H). Ainsi, f-1(H) est un sous-groupe de (G,).

 
Exercice 7  2222   Correction  

On note Aut(G) l’ensemble des isomorphismes d’un groupe (G,*) dans lui-même.
Montrer que Aut(G) est un sous-groupe du groupe des permutations (𝒮G,).

Solution

Aut(G)𝒮G et IdGAut(G).
Pour tout f,gAut(G), on a fgAut(G) et f-1Aut(G) par les propriétés sur les automorphismes.
Ainsi Aut(G) est un sous-groupe de (𝒮G,).

 
Exercice 8  2223   Correction  

Soient (G,*) un groupe et aG.

On définit une loi de composition interne sur G par xy=x*a*y.

  • (a)

    Montrer que (G,) est un groupe.

  • (b)

    Soit H un sous groupe de (G,*) et K=sym(a)*H={sym(a)*x|xH}.
    Montrer que K est un sous groupe de (G,).

  • (c)

    Montrer que f:xx*sym(a) est un isomorphisme de (G,*) vers (G,).

Solution

  • (a)

    Pour x,y,zG,

    (xy)z=(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z)=x(yz).

    L’élément sym(a) est neutre pour la loi . En effet, pour xG, on a

    xsym(a)=x=sym(a)x.

    Soit xG. Posons y=sym(a)*sym(x)*sym(a)G. On a

    xy=yx=sym(a).
  • (b)

    KG, sym(a)=sym(a)*e donc sym(a)K.

    Soient sym(a)*x,sym(a)*yK. On a

    (sym(a)*x)(sym(a)*y)(-1)=sym(a)*x*a*sym(a)*sym(y)*a*sym(a)=sym(a)*(x*sym(y))K.
  • (c)

    Pour x,yG,

    f(x*y)=x*y*sym(a)=(x*sym(a))(y*sym(a))=f(x)f(y)

    f est un morphisme de groupe et il est bijectif d’application réciproque g:xx*a.

 
Exercice 9  760     CENTRALE (MP)Correction  

Soit E=E1E2 un 𝕂-espace vectoriel. On considère

Γ={u(E)|Ker(u)=E1 et Im(u)=E2}.
  • (a)

    Pour tout u de Γ, on note u~ la restriction de u au départ de E2 et à valeurs dans E2. Montrer que u~ est un automorphisme de E2.

On note ϕ:ΓGL(E2) l’application définie par ϕ(u)=u~.

  • (b)

    Montrer que est une loi interne dans Γ.

  • (c)

    Montrer que ϕ est un morphisme injectif de (Γ,) dans (GL(E2),).

  • (d)

    Montrer que ϕ est surjectif.

  • (e)

    En déduire que (Γ,) est un groupe. Quel est son élément neutre?

Solution

  • (a)

    Im(u) est stable pour u donc uE2 est bien défini. Par le théorème du rang la restriction de u à tout supplémentaire de Ker(u) définit un isomorphisme avec Im(u). Ici cela donne uE2 automorphisme.

  • (b)

    Soient u,vΓ. Si xKer(vu) alors u(x)Im(u)Ker(v) donc u(x)E1E2 et u(x)=0 puis xE1. Ainsi Ker(vu)E1 et l’inclusion réciproque est immédiate.
    Im(vu)=v(u(E))=v(E2)=E2 car vE2 est un automorphisme de E2. Ainsi vuΓ.

  • (c)

    Si ϕ(u)=ϕ(v) alors uE2=vE2. Or uE1=0=vE1 donc les applications linéaires u et v coïncident sur des sous-espaces vectoriels supplémentaires et donc u=v.

  • (d)

    Une application linéaire peut être définie de manière unique par ses restrictions linéaires sur deux sous-espaces vectoriels supplémentaires. Pour wGL(E2) considérons u(E) déterminé par uE1=0 et uE2=w. On vérifie aisément E1Ker(u) et E2Im(u). Pour xKer(u), x=a+b avec aE1 et bE2. La relation u(x)=0 donne alors u(a)+u(b)=0 c’est-à-dire w(b)=0. Or wGL(E2) donc b=0 puis xE1. Ainsi Ker(u)E1 et finalement Ker(u)=E1. Pour yIm(u), il existe xE tel que y=u(x). Or on peut écrire x=a+b avec aE1 et bE2. La relation y=u(x) donne alors y=u(a)+u(b)=w(b)E2. Ainsi Im(u)E1 et finalement Im(u)=E1. On peut conclure que uΓ et u~=w: ϕ est surjectif.

  • (e)

    φ est un morphisme bijectif: il transporte la structure de groupe existant sur GL(E2) en une structure de groupe sur (Γ,). Le neutre est l’antécédent de IdE2 c’est-à-dire la projection sur E2 parallèlement à E1.

 
Exercice 10  119   Correction  

Soit n tel que n2. Déterminer les morphismes du groupe (𝒮n,) vers (*,×).

Solution

Soient φ un tel morphisme et τ la transposition qui échange 1 et 2. On a τ2=Id donc φ(τ)2=1 d’où φ(τ)=1 ou -1. Soit τ=(ij) une transposition quelconque de 𝒮n. Il existe une permutation σ𝒮n telle que τ=στσ-1 et alors φ(τ)=φ(τ). Sachant enfin que tout élément de 𝒮n est produit de transpositions on peut conclure:
Si φ(τ)=1 alors φ:σ1. Si φ(τ)=-1 alors φ=ε (morphisme signature).

 
Exercice 11  3368    

Soit φ un morphisme non constant d’un groupe fini (G,) vers (*,×). Calculer

xGφ(x).

[<] Morphismes de groupes[>] Groupe engendré par une partie

 
Exercice 12  2366    CENTRALE (MP)Correction  

Montrer que

{x+y3|x,y,x2-3y2=1}

est un sous-groupe de (+*,×).

Solution

Notons

H={x+y3|x,y,x2-3y2=1}.

Pour aH, a=x+y3 avec x, y et x2-3y2=1. On a donc x=1+3y2>3|y| puis a>0. Ainsi H+*.
1H car on peut écrire 1=1+03 avec 12-3.02=1.
Pour aH, on a avec des notations immédiates,

1a=x-y3

avec x, -y et x2-3(-y)2=1. Ainsi 1/aH.
Pour a,bH et avec des notations immédiates,

ab=xx+3yy+(xy+xy)3

avec xx+3yy, xy+xy et (xx+3yy)2-3(xy+xy)2=1.
Enfin puisque x>3|y| et x>3|y|, on a xx+3yy0 et finalement abH.

 
Exercice 13  113  Correction  

Un sous-groupe d’un groupe produit est-il nécessairement produit de deux sous-groupes?

Solution

Non, {(x,x)|x} est un sous-groupe de (2,+) mais n’est pas produit de deux sous-groupes de (,+)!

 
Exercice 14  2648    MINES (MP)Correction  

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G, A une partie non vide de G. On pose AH={ah|aA,hH}. Montrer que AH=H si, et seulement si, AH.

Solution

Supposons AH=H.

aA,a=aeAH=H

donc AH.

Supposons AH. Pour xAH, x=ah avec aA, hH. Or a,hH donc x=ahH. Ainsi, AHH.

Inversement, pour aA (il en existe car A) et pour tout hH, h=a(a-1h) avec a-1hH donc hAH. Ainsi, HAH puis AH=H.

 
Exercice 15  4277   

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe (G,). Montrer que HK est un sous-groupe de (G,) si, et seulement si, HK ou KH.

 
Exercice 16  3432   Correction  

(Sous-groupe distingué)

Un sous-groupe H de (G,.) est dit distingué si

xH,aG,axa-1H.
  • (a)

    Montrer que le noyau d’un morphisme de groupes au départ de (G,.) est distingué.

  • (b)

    Soient H,K deux sous-groupes de (G,.).
    On suppose le sous-groupe H distingué, montrer que l’ensemble

    HK={xy|xH,yK}

    est un sous-groupe de (G,.).

Solution

  • (a)

    Soient φ:GG un tel morphisme et H={xG|φ(x)=eG} son noyau.
    On sait déjà que H est un sous-groupe de (G,.).
    Soient xH et aG. On a

    φ(axa-1)=φ(a)φ(x)φ(a)-1=φ(a)eGφ(a)-1=eG

    donc axa-1H.

  • (b)

    HKG et e=e.eHK.
    Soient a,bHK. On peut écrire

    a=xy et b=xy avec x,xH et y,yK.

    On a alors

    ab=xyxy.

    Puisque z=yxy-1H, on a encore

    ab=(xz)(yy)HK.

    Aussi

    a-1=y-1x-1=zy-1HK

    avec z=y-1x-1yH.
    Ainsi, HK est bien un sous-groupe de (G,.).

 
Exercice 17  117   

(Théorème de Lagrange)

Soient (G,) un groupe fini et H un sous-groupe de G.

Pour tout aG, on note aH={ah|hH}.

  • (a)

    Montrer que les ensembles aH sont disjoints ou confondus.

  • (b)

    En déduire que le cardinal de H divise celui de G.

  • (c)

    Application: Décrire HK lorsque H et K sont deux sous-groupes de G de cardinaux premiers entre eux.

 
Exercice 18  4294    

(Sous-groupes additifs de R)

Soit H un sous-groupe de (,+) non réduit à {0}. On pose a=inf{hH|h>0}

  • (a)

    On suppose a>0. Montrer que a appartient à H puis que H=a.

  • (b)

    On suppose a=0. Montrer que H est une partie dense de .

  • (c)

    En déduire11 1 Ici, la notation A¯ désigne l’adhérence topologique d’une partie. {cos(n)|n}¯=[-1;1].

 
Exercice 19  2948      X (MP)Correction  
  • (a)

    Montrer que tout sous-groupe additif de qui n’est pas monogène est dense dans .

  • (b)

    Soit x. Montrer qu’il existe une infinité de (p,q)×* tels que

    |x-pq|<1q2.
  • (c)

    Montrer la divergence de la suite de terme général

    un=1nsin(n).

Solution

  • (a)

    Soit H un tel groupe. Nécessairement H{0} ce qui permet d’introduire

    a=inf{h>0|hH}.

    Si a0, on montre que aH puis par division euclidienne que tout xH est multiple de a. Ainsi, H=a ce qui est exclu. Il reste a=0 et alors pour tout ε>0, il existe αH]0;ε]. On a alors αH et donc pour tout x, il existe hαH vérifiant |x-h|αε. Ainsi, H est dense dans .

  • (b)

    Soit x. Pour N*, considérons l’application

    f:{0,,N}[0;1[

    définie par f(k)=kx-kx. Puisque les N+1 valeurs prises par f sont dans les N intervalles [i/N;(i+1)/N[ (avec i{0,,N-1}), il existe au moins deux valeurs prises dans le même intervalle. Ainsi, il existe k<k{0,,N} tel que

    |f(k)-f(k)|<1N

    . En posant p=kx-kx et q=k-k{1,,N}, on a |qx-p|<1/N et donc

    |x-pq|<1Nq<1q2.

    En faisant varier N, on peut construire des couples (p,q) distincts et donc affirmer qu’il existe une infinité de couple (p,q)×* vérifiant

    |x-pq|<1q2.
  • (c)

    Puisque π est irrationnel, il existe une suite de rationnels pn/qn vérifiant

    |π-pnqn|<1qn2

    avec qn+.
    On a alors

    |upn|=|1pnsin(pn)|=|1pnsin(pn-qnπ)|1|pn|1|pn-qnπ|qnpn1π.

    Ainsi, la suite (un) ne tend pas vers 0.

    {|sin(n)||n}={|sin(n+2kπ)||n,k}=|sin(+2π)|.

    Puisque le sous-groupe H=+2π, n’est pas monogène (car π irrationnel), H est dense dans et par l’application |sin(.)| qui est une surjection continue de sur [0;1], on peut affirmer que {|sin(n)||n} est dense dans [0;1].
    En particulier, il existe une infinité de n tel que |sin(n)|1/2 et pour ceux-ci |un|2/n.
    Ainsi, il existe une suite extraite de (un) convergeant vers 0.
    Au final, la suite (un) diverge.

 
Exercice 20  4297    

(Description des sous-groupes Z2)

Dans ce sujet, on étudie les sous-groupes de (2,+).

  • (a)

    Soient e1=(x1,y1) et e2=(x2,y2) deux éléments de 2. Montrer

    e1,e2=2|x1x2y1y2|=±1.

Soit H un sous-groupe de 2 non réduit au neutre. On note d le plus petit pgcd de x et y pour (x,y) parcourant H{(0,0)} et l’on introduit (u0,v0)2 et (x0,y0)H tels que d=u0x0+v0y0.

  • (b)

    Soit (u,v)2. Montrer qu’il existe au,v tel que

    Hu,v={ux+vy|(x,y)H}=au,v.
  • (c)

    Déterminer au0,v0.

On introduit e1=(x1,y1) et e2=(x2,y2) avec

x1=x0d,y1=y0d,x2=-v0ety2=u0.
  • (d)

    Montrer que e1,e2=2 et qu’il existe n tel que de1,ne2=H.

  • (e)

    Vérifier que d divise n.

[<] Sous-groupes[>] Groupes cycliques

 
Exercice 21  5401  Correction  

Dans (*,×), déterminer le sous-groupe P engendré par l’ensemble 𝒫 des nombres premiers.

Solution

Tout entier naturel n2 est un produit d’un nombre fini de nombres premiers et est donc élément 𝒫. Aussi, le neutre 1 est élément de 𝒫 et donc

*𝒫.

Par stabilité d’un groupe par produit et passage à l’inverse, on peut affirmer que

(p,q)(*)2,pq=p×1q𝒫.

Ainsi,

+*𝒫.

Or +*=*+* est un sous-groupe de (*,×) contenant 𝒫 et donc

𝒫+*.

Par double inclusion,

𝒫=+*.
 
Exercice 22  3256  

Soit H un sous-groupe d’un groupe (G,) distinct de G. Déterminer le groupe engendré par le complémentaire H¯ de H dans G.

 
Exercice 23  4286  

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe abélien (G,+). Montrer que le groupe engendré par HK est

H+K={h+k|hH et kK}.
 
Exercice 24  4199   

Montrer qu’un groupe fini G de cardinal n2 possède une partie génératrice constituée d’au plus log2n éléments.

 
Exercice 25  4285   

Dans le groupe (𝒮E,) des permutations de E={0,1}, déterminer le sous-groupe engendré par les fonctions f et g définies par

f(x)=1-xetg(x)=1/x.
 
Exercice 26  4278   

(Groupe engendré par deux éléments)

Soient a,b deux éléments d’un groupe G noté multiplicativement et

H={ak1b1ak2b2aknbn|n,k1,1,k2,2,,kn,n}

l’ensemble des produits finis d’itérés de a et de b.

  • (a)

    Montrer que H est le sous-groupe engendré par {a,b}.

  • (b)

    Simplifier la description de H lorsque a et b commutent.

 
Exercice 27  2229   Correction  

Dans (𝒮n,) on considère les permutations

τ=(12)etσ=(12n).
  • (a)

    Calculer σkτσ-k pour 0kn-2.

  • (b)

    En déduire que tout élément de 𝒮n peut s’écrire comme un produit de σ et de τ.

Solution

  • (a)

    στσ-1=(23), σ2τσ-2=(34),… σkτσ-k=(k+1k+2).

  • (b)

    Il est «  connu   » que toute permutation de 𝒮n peut s’écrire comme produit de transpositions de la forme (kk+1). Ces dernières peuvent s’écrire comme produit de σ, de τ, et de σ-1. Or σn=Id et donc σ-1=σn-1 et par conséquent, σ-1 peut s’écrire comme produit de σ.

 
Exercice 28  120   

Soit n tel que n3. Dans le groupe (𝒮n,) des permutations de 1;n, on considère la transposition t=(12) et le cycle c=(12n) de longueur n.

  • (a)

    Justifier que l’ensemble {c,t} constitue une partie génératrice de (𝒮n,).

  • (b)

    Existe-t-il une partie génératrice de (𝒮n,) formée d’un seul élément?

 
Exercice 29  2368     CENTRALE (MP)Correction  

Soit n un entier naturel non nul, (e1,,en) la base canonique de E=n.
Soit 𝒮n l’ensemble des permutations de {1,2,,n}. Soit ti=(1,i).
Pour s𝒮n, on définit us(ei)=es(i).

  • (a)

    Montrer que (t2,t3,,tn) engendre 𝒮n.

  • (b)

    Interpréter géométriquement us lorsque s est une transposition.

  • (c)

    Soit s=(1 2n-1n). On suppose que s est la composée de p transpositions. Montrer que pn-1.

  • (d)

    Quel est le cardinal minimal d’une famille de transpositions génératrice de 𝒮n?

Solution

  • (a)

    Pour ij{2,,n},

    (i,j)=(1,i)(1,j)(1,i).

    Toute transposition appartient à t2,t3,,tn et puisque celles-ci engendrent Sn,

    Sn=t2,t3,,tn.
  • (b)

    Si s=(i,j), us est la réflexion par rapport à l’hyperplan de vecteur normal ei-ej.

  • (c)

    Si s est le produit de p transpositions alors Ker(us-IdE) contient l’intersection de p hyperplans (ceux correspondant aux transpositions comme décrit ci-dessus). Or, ici Ker(us-IdE)=Vect(e1++en) et donc pn-1.

  • (d)

    n-1 en conséquence de ce qui précède.

 
Exercice 30  4231    

On note SLn() l’ensemble des matrices carrées de taille n2 à coefficients entiers et de déterminants 1.

  • (a)

    Montrer que SLn() est un groupe multiplicatif.

On note H le sous-groupe de SLn() engendré par les matrices In+Ei,j avec i,j éléments distincts de 1;n.

  • (b)

    Vérifier l’appartenance à H des matrices In+kEi,j pour tous indices i,j distincts dans 1;n et tout k.

  • (c)

    Soit MSLn(). Montrer qu’il existe une matrice AH telle que la première colonne de AM est constituée d’un 1 suivi de 0.

  • (d)

    Montrer H=SLn().

[<] Groupe engendré par une partie[>] Éléments d'ordre fini

 
Exercice 31  3364  Correction  

Soit x est un élément d’un groupe cyclique de cardinal n. Calculer xn.

Solution

Soit a un générateur du groupe cyclique (G,*) introduit dans l’énoncé.
On sait

G={e,a,a2,,an-1} avec an=e.

Puisque x est élément de G, il existe k0;n-1 tel que x=ak et alors

xn=akn=e.
 
Exercice 32  123   

On désire établir que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique. Soient (G,) un groupe cyclique de générateur a et H un sous-groupe de (G,).

  • (a)

    Justifier l’existence d’un plus petit entier naturel non nul n tel que anH.

  • (b)

    Établir que H est alors le groupe engendré par an.

 
Exercice 33  124   

Soit G un groupe cyclique de cardinal n. Montrer que, pour tout diviseur11 1 On a vu que le cardinal d’un sous-groupe divise le cardinal du groupe (voir sujet 117): l’hypothèse que d divise n est nécessaire à l’existence d’un sous-groupe de cardinal d. d* de n, il existe un unique sous-groupe de cardinal d dans G.

 
Exercice 34  2364     CENTRALE (MP)Correction  

Soit un entier n2. Combien le groupe (/n,+) admet-il de sous-groupes?

Solution

On note x¯ la classe d’un entier x dans /n.
Soit H un sous-groupe de /n.
On peut introduire

a=min{k>0,k¯H}

car toute partie non vide de possède un plus petit élément.
Considérons alors a¯ le groupe engendré par la classe de a. On peut décrire ce groupe

a¯={q.a¯|q}.

C’est le plus petit sous-groupe contenant l’élément a¯ car il est inclus dans tout sous-groupe contenant cet élément. Par conséquent, a¯ est inclus dans H. Montrons qu’il y a en fait égalité.
Soit k¯H. Par division euclidienne de k par a, on écrit

k=aq+r avec r{0,,a-1}.

On a alors k¯=q.a¯+r¯ et donc, par opérations dans le groupe H, on obtient r¯=k¯-q.a¯H. On ne peut alors avoir r>0 car cela contredirait la définition de a. Il reste donc r=0 et par conséquent k¯=q.a¯a¯.

Finalement,

H=<a¯>.

De plus, en appliquant le raisonnement précédent avec k=n (ce qui est possible car n¯=0¯H), on obtient que a est un diviseur de n.
Inversement, considérons un diviseur a de n. On peut écrire

n=aq avec q*

et on peut alors décrire les éléments du groupe engendré par a¯, ce sont

0¯,a¯,2.a¯,,(q-1)a¯.

On constate alors que les diviseurs de n déterminent des sous-groupes deux à deux distincts de (/n,+).
On peut conclure qu’il y a autant de sous-groupe de (/n,+) que de diviseurs positifs de n.

 
Exercice 35  3715   Correction  

Soit (G,) un groupe cyclique à n élément engendré par a.

Pour r*, on introduit l’application f:GG définie par

f(x)=xrpour tout xG.
  • (a)

    Vérifier que f est un endomorphisme de (G,).

  • (b)

    Déterminer le noyau f.

  • (c)

    Montrer que l’image de f est le sous-groupe engendré par ad avec d=pgcd(n,r).

  • (d)

    Pour yG, combien l’équation xr=y possède-t-elle de solutions?

Solution

  • (a)

    Le groupe (G,) est nécessairement commutatif car cyclique. Pour tout x,yG, on a

    f(xy)=(xy)r=xryr=f(x)f(y).
  • (b)

    Pour xG, on peut écrire x=ak avec k et alors

    f(x)=eakr=e.

    Puisque a est d’ordre n

    f(x)=enkr.

    En introduisant d=pgcd(n,r), on peut écrire n=dn et r=dr avec nr=1 et alors le théorème de Gauss donne

    nkrnk.

    Par conséquent,

    Ker(f)=an.
  • (c)

    Par l’égalité de Bézout, on peut écrire nu+rv=d et alors

    ad=anuarv=arv=f(av)Im(f).

    Puisque Im(f) est un sous-groupe, on a déjà adIm(f).
    Inversement, soit yIm(f). On peut écrire y=xr avec x de la forme akk. On a donc

    y=akr.

    Or dr et donc yad. Ainsi, Im(f)ad puis l’égalité.

  • (d)

    Si yIm(f), l’équation n’a pas de solution. Sinon, il existe x0G tel que x0r=y et alors

    xr=y(xx0-1)r=e.

    Ceci permettre de mettre en correspondance bijective les solutions de l’équation xr=y avec les éléments du noyau de f. Dans ce cas, il y a exactement n/n=d solutions à l’équation.

 
Exercice 36  4291   

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe abélien (G,) de cardinaux p et q nombres premiers distincts. Montrer que HK={hk|hH et kK} est un sous-groupe cyclique de G.

 
Exercice 37  125   Correction  

Soient H et K deux groupes notés multiplicativement.

  • (a)

    Montrer que si h est un élément d’ordre p de H et k un élément d’ordre q de K alors (h,k) est un élément d’ordre ppcm(p,q) de H×K.

  • (b)

    On suppose H et K cycliques. Montrer que le groupe produit H×K est cyclique si, et seulement si, les ordres de H et K sont premiers entre eux.

Solution

  • (a)

    (h,k)n=1H×Kpn et qn donc (h,k) est un élément d’ordre ppcm(p,q).

  • (b)

    Posons p et q les ordres de H et K.
    Supposons p et q premiers entre eux.
    Si h et k sont générateurs de H et K alors (h,k) est un élément d’ordre ppcm(p,q)=pq de H×K.
    Or Card(H×K)=pq donc H×K est cyclique.
    Inversement, supposons H×K cyclique.
    Si (h,k) est générateur de H×K alors h et k sont respectivement générateurs de H et K.
    On en déduit que h est un élément d’ordre p, k d’ordre q et puisque (h,k) est d’ordre ppcm(p,q) et pq, on conclut que p et q sont premiers entre eux.

 
Exercice 38  4293   

(Groupe p-quasi-cyclique de Prüfer)

Soit p un nombre premier. On pose

𝕌p={z|k,zpk=1}.
  • (a)

    Montrer que 𝕌p est un groupe multiplicatif dont tous les éléments sont d’ordre finis.

  • (b)

    Montrer que les sous-groupes propres11 1 Un sous-groupe propre d’un groupe (G,) est un sous-groupe non trivial, c’est-à-dire distinct de {e} et G. de 𝕌p sont cycliques.

 
Exercice 39  3444    Correction  

Soit n un entier supérieur à 3.

  • (a)

    Montrer que pour tout entier impair a, on a

    a2n-21[2n].
  • (b)

    Le groupe ((/2n)*,×) constitué des éléments inversibles de l’anneau /2n est-il cyclique?

Solution

  • (a)

    Par la factorisation a2-b2=(a-b)(a+b)

    a2n-2-1=(a2n-3+1)(a2n-3-1)

    et en répétant l’opération

    a2n-2-1=(a2n-3+1)(a2n-4+1)(a20+1)(a20-1).

    Il y a n-1 facteurs dans ce produit et ceux-ci sont tous pairs car a est impair.
    De plus, les deux derniers facteurs sont a+1 et a-1 et parmi ces deux figure un multiple de 4.
    On en déduit que 2n divise a2n-2-1 et donc a2n-21[2n].

  • (b)

    Par l’absurde supposons (/2n)* cyclique.
    Les éléments de ce groupe sont les k¯ avec 2k=1, ce sont donc les classes des entiers impairs. Il y en a exactement 2n-1. Si a¯ est un générateur de (/2n)* alors a est un entier impair et a¯ est un élément d’ordre 2n-1. Or le résultat précédent donne a¯2n-2=1¯ et donc l’ordre de a est inférieur à 2n-2<2n-1. C’est absurde.

[<] Groupes cycliques[>] Groupes isomorphes

 
Exercice 40  115  Correction  

Montrer que le sous-ensemble formé des éléments d’ordre fini d’un groupe abélien en est un sous-groupe.

Solution

Notons T l’ensemble des éléments d’ordre fini d’un groupe abélien (G,*) de neutre e.
On a évidemment TG et eT.
Si x,yT avec xn=ym=e alors

(x*y-1)mn=xmn*y-mn=e

donc x*y-1T.

 
Exercice 41  116  Correction  

Soient (G,*) un groupe fini commutatif d’ordre n et aG.

  • (a)

    Justifier que l’application xa*x est une permutation de G.

  • (b)

    En considérant le produit des éléments de G, établir que an=e.

Solution

  • (a)

    Puisque a est inversible, a est régulier ce qui fournit l’injectivité de l’application xa*x.
    Un argument de cardinalité finie donne la bijectivité de l’application.

  • (b)

    Par permutation

    xGx=xG(a*x)=an*xGx

    donc an=e.

 
Exercice 42  2363     CENTRALE (MP)Correction  

Quel est le plus petit entier n tel qu’il existe un groupe non commutatif de cardinal n?

Solution

Notons, pour n=6 que (𝒮3,) est un groupe non commutatif à 6 éléments.
Un groupe à n=1 élément est évidemment commutatif.
Pour n=2, 3 ou 5, les éléments d’un groupe à n éléments vérifient xn=e. Puisque n est premier, un élément autre que e de ce groupe est un élément d’ordre n et le groupe est donc cyclique donc commutatif.
Pour n=4, s’il y a un élément d’ordre 4 dans le groupe, celui-ci est cyclique. Sinon, tous les éléments du groupe vérifient x2=e. Il est alors classique de justifier que le groupe est commutatif.

 
Exercice 43  4280  

Soient a et b deux éléments d’un groupe11 1 Le groupe est ici noté multiplicativement. (G,).

  • (a)

    Montrer que a et bab-1 ont le même ordre.

  • (b)

    On suppose ab d’ordre fini égal à n. Que dire de ba?

  • (c)

    On suppose a d’ordre fini égal à n. Pour k, quel est l’ordre de ak?

 
Exercice 44  4290   

Soit a un élément d’un groupe G noté multiplicativement. On suppose a d’ordre pq avec p et q dans * premiers entre eux. Déterminer des éléments b et c d’ordres respectifs p et q tels que a=bc=cb.

 
Exercice 45  3332   

Soient a et b deux éléments d’ordres respectifs m et n d’un groupe abélien (G,).

  • (a)

    On suppose que m et n sont premiers entre eux. Montrer que ab est d’ordre mn.

  • (b)

    On ne suppose plus m et n premiers entre eux, l’élément ab est-il nécessairement d’ordre mn?

  • (c)

    Soit d un diviseur de m. Montrer qu’il existe un élément d’ordre d dans G.

  • (d)

    Existe-t-il dans G un élément d’ordre mn?

 
Exercice 46  4053   Correction  

Soit (G,.) un groupe abélien fini de neutre e.

  • (a)

    Soient x et y deux éléments de G d’ordres finis p et q premiers entre eux.
    Montrer que l’élément z=xy est d’ordre pq.

  • (b)

    On note m le ppcm des ordres des éléments de (G,.) et l’on introduit sa décomposition en facteurs premiers

    m=p1α1pNαN.

    Montrer qu’il existe un élément xi dans G d’ordre piαi pour chaque i1;N.

  • (c)

    Établir l’existence dans G d’un élément d’ordre m exactement.

Solution

  • (a)

    Puisque G est abélien

    zpq=xpqypq=(xp)q(yq)p=e.

    De plus, pour k, si zk=e alors zkp=e donc ykp=e ce qui entraîne que q divise kp. Or p et q sont premiers entre eux donc q divise k. De même, on obtient que p divise k. À nouveau puisque p et q sont premiers entre eux, on conclut que pq divise k. L’ordre de z est donc exactement pq.

  • (b)

    Puisque piαi est facteur du ppcm des ordres des éléments de (G,.), il existe un élément x dans G d’ordre piαid pour un certain d*. L’élément xi=xd est alors d’ordre exactement piαi.

  • (c)

    Une petite récurrence et l’élément y=x1xm fait l’affaire.

 
Exercice 47  4292   

Soient G et G deux groupes notés multiplicativement. On suppose que le groupe G est cyclique engendré par un élément a.

  • (a)

    Soit b un élément de G. Montrer qu’il existe un morphisme φ:GG vérifiant φ(a)=b si, et seulement si, b est d’ordre fini divisant celui de a.

  • (b)

    Combien existe-t-il de morphismes de (/n,+) dans lui-même?

  • (c)

    Combien existe-t-il de morphismes de (/n,+) dans (*,×)?

 
Exercice 48  3453   Correction  

Soit (G,.) un groupe de cardinal 2n.

  • (a)

    Justifier que l’on définit une relation d’équivalence sur G en posant

    xyx=y ou x=y-1.
  • (b)

    En déduire l’existence dans G d’un élément d’ordre 2.

Solution

  • (a)

    La relation est immédiatement réflexive et symétrique.
    En discutant selon les cas d’égalité, on montre aussi qu’elle est transitive.

  • (b)

    S’il n’existe pas dans (G,.) d’élément d’ordre 2, les classes d’équivalence de la relation comportent toutes deux éléments sauf celle de e qui ne comporte qu’un élément. Les classes d’équivalence étant disjointes de réunion G, le cardinal de G est alors impair ce qui est contraire aux hypothèses.

[<] Éléments d'ordre fini[>] Groupe fini

 
Exercice 49  122  Correction  

Les groupes (,+) et (*,×) sont-ils isomorphes?

Solution

Non, l’équation x2=1 admet deux solutions dans (*,×) alors que l’équation analogue dans (,+), à savoir 2x=0, n’admet qu’une solution.

 
Exercice 50  4288   

Parmi les groupes suivants, lesquels sont isomorphes?

  • (a)

    (/4,+)

  • (b)

    (𝕌4,×)

  • (c)

    (/2×/2,+)

  • (d)

    (/6,+)

  • (e)

    (/2×/3,+)

  • (f)

    (𝒮3,)

  • (g)

    (,+)

  • (h)

    (*,×)

  • (i)

    (+*,×).

 
Exercice 51  4281   

Soient n* et ω=e2iπ/n.

  • (a)

    Montrer que l’application φ:/n𝕌n déterminée par φ(k¯)=ωk est un isomorphisme du groupe (/n,+) vers (𝕌n,×).

  • (b)

    Quelles sont les générateurs du groupe 𝕌n?

 
Exercice 52  2650     MINES (MP)Correction  

On note V l’ensemble des matrices à coefficients entiers du type

(abcddabccdabbcda)

et G l’ensemble des MV inversibles dans 4() et dont l’inverse est dans V.

  • (a)

    Quelle est la structure de G?

  • (b)

    Soit MV. Montrer que MG si, et seulement si, det(M)=±1.

  • (c)

    Donner un groupe standard isomorphe à G muni du produit.

Solution

  • (a)

    GGL4(), G est non vide, stable par passage à l’inverse et par produit car V l’est. Ainsi G est un sous-groupe de GL4() donc un groupe.

  • (b)

    Si MG alors det(M),det(M-1) et det(M)×det(M-1)=det(I4)=1 donc det(M)=±1.

    Inversement, si det(M)=±1 alors M-1=±Comt(M) est à coefficients entiers. On peut remarquer que

    E={(abcddabccdabbcda)|a,b,c,d}

    est un sous-espace vectoriel de 4() stable par produit et contenant In. L’application φ:XMX y définit un endomorphisme injectif donc bijectif. On en déduit que M-1=φ-1(In) est élément de E donc de V. Par conséquent, MG.

  • (c)
    det(M)=((a+c)2-(b+d)2)((a-c)2+(b-d)2)

    donc

    det(M)=±1{(a+c)2-(b+d)2=±1(a-c)2+(b-d)2=±1.

    La résolution de ce système à coefficients entiers donne à l’ordre près: a,b,c,d=±1,0,0,0.
    Posons J la matrice obtenue pour a=c=d=0 et b=1. On vérifie J4=I4.
    L’application φ:U2×/4G définie par φ(ε,n)=εJn est bien définie, c’est un morphisme de groupe, injectif et surjectif. Ainsi G est isomorphe à U2×/4 ou plus élégamment à /2×/4.

 
Exercice 53  4295    

À isomorphisme près, déterminer tous les groupes à 6 éléments.

 
Exercice 54  2649      MINES (MP)Correction  

Soit (G,.) un groupe fini tel que

gG,g2=e

e est le neutre de G. On suppose G non réduit à {e}.

Montrer qu’il existe n* tel que G est isomorphe à ((/2)n,+).

Solution

Le groupe (G,.) est abélien. En effet, pour tout xG, on a x-1=x donc, pour x,yG, (xy)-1=xy. Or (xy)-1=y-1x-1=yx donc xy=yx.

Pour 0¯,1¯/2 et xG, posons

0¯.x=eet1¯.x=x.

On vérifie que l’on définit alors un produit extérieur sur G munissant le groupe abélien (G,.) d’une structure de /2-espace vectoriel. En effet, pour (x,y)G2 et (λ,μ)(/2)2 on a

(λ+μ).x=λ.x+μ.x,λ.(x+y)=λ.x+λ.y,λ.(μ.x)=(λμ).x et 1¯.x=x.

De plus, cet espace est de dimension finie car Card(G)<+, il est donc isomorphe à l’espace ((/2)n,+,.) pour un certain n*.
En particulier, le groupe (G,.) est isomorphe à ((/2)n,+).

[<] Groupes isomorphes[>] Groupes en algèbre linéaire

 
Exercice 55  4282  

Montrer que tout groupe fini de cardinal un nombre premier p est isomorphe à (/p,+).

 
Exercice 56  4283  

Décrire les sous-groupes finis de (*,×).

 
Exercice 57  4284   

Soit A une partie d’un groupe fini (G,). On suppose 2Card(A)>Card(G). Montrer que tout élément de G peut s’écrire comme le produit de deux éléments de A.

 
Exercice 58  4287   

Soit f un morphisme de groupes au départ d’un groupe G fini. Montrer la formule

Card(G)=Card(Im(f))×Card(Ker(f)).
 
Exercice 59  4200   Correction  

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe fini G noté multiplicativement. On note HK={hk|hH et kK}. Montrer

Card(HK)Card(HK)=Card(H)Card(K).

Solution

Introduisons l’application f:H×KG définie par f(h,k)=hk. L’ensemble HK est exactement l’ensemble des valeurs prises par f.

Méthode: On étudie l’ensemble des antécédents de chaque valeur prise par f.

Soit y une valeur prise par f sur un certain couple (h,k)H×K. Déterminons les autres couples (h,k)H×K envoyés sur y. Si (h,k) est un tel couple, on a hk=hk et donc h-1h=kk-1. Notons a cette valeur. Par opérations, l’élément a est commun aux sous-groupes H et K et permet d’écrire h=ha et k=a-1k. Inversement, si h=ha et k=a-1k avec aHK, h et k sont des éléments de H et K de produit y. L’ensemble des antécédents de y est donc

f-1({y})={(ha,a-1k)|aHK}.

À chaque valeur de a correspond un couple (ha,a-1k) distinct, l’ensemble f-1({y}) a donc le cardinal de HK.

Résumons, les valeurs de l’application f sont les éléments de H×K et chacun est une valeur prise Card(HK) fois. On a donc

Card(HK)Card(HK)=Card(H×K)=Card(H)×Card(K).
 
Exercice 60  4289   

Soient (G,) un groupe de cardinal n et k un entier premier avec n. Montrer que l’application φ:xxk est une permutation de G.

 
Exercice 61  5332   Correction  

Soit (G,) un groupe fini de cardinal impair. Montrer que pour tout aG, l’équation x2=a d’inconnue xG possède une solution unique.

Solution

Notons 2n+1 avec n le cardinal de G. On sait y2n+1=1 pour tout yG.

Analyse: Si x est solution de l’équation x2=a alors

x=xx2n+1=x2n+2=(x2)n+1=an+1

Cela détermine x de façon unique.

Synthèse:

Pour x=an+1, on vérifie

x2=(an+1)2=a2n+2=a2n+1a=1a=a.

Ainsi, x est solution de l’équation x2=a.

 
Exercice 62  5331   Correction  

Soit (G,) un groupe commutatif de cardinal ab avec a,b* premiers entre eux.

On pose

A={xG|xa=e}etB={xG|xb=e}.
  • (a)

    Montrer que A et B sont des sous-groupes de (G,).

  • (b)

    Vérifier AB={e} et G=AB={xy|xA et yB}.

Solution

  • (a)

    Par commutativité du groupe (G,), l’application xxn est un morphisme de groupes pour toute valeur n. Les ensembles A et B sont les noyaux du morphisme déterminé pour n=a et n=b: ce sont des sous-groupes de (G,).

  • (b)

    Par le théorème de Bézout, il existe u,v tels que au+bv=1.

    Pour xAB, on peut écrire

    x=xau+bv=(xa)u(xb)v=euev=1.

    Ainsi, AB{e} puis AB{e} car l’inclusion réciproque est entendue.

    Pour xG, on sait xab=e et l’on peut écrire

    x=xbvxau=yz avec y=xbv et z=xau.

    On vérifie alors

    ya=xabv=ev=eetzb=xabu=eu=e

    et donc x=yz avec (y,z)A×B.

    Ainsi, GAB puis G=AB car l’inclusion réciproque est entendue.

 
Exercice 63  4296    

(Lemme de Cauchy)

Soit G un groupe fini noté multiplicativement. Soit p un nombre premier divisant le cardinal n du groupe G. On ambitionne de montrer qu’il existe dans G au moins un élément d’ordre p. On introduit pour cela l’ensemble

E={(g1,g2,,gp)Gp|g1g2gp=1}

et la relation d’équivalence sur E déterminée par

(g1,g2,,gp)(h1,h2,,hp)k,i1;p,hi=gi+k

où l’on adopte une notation circulaire: gp+1=g1, gp+2=g2, etc. Plus précisément, on pose gi=gj pour ij[p].

  • (a)

    Déterminer le cardinal de E.

  • (b)

    Montrer qu’une classe d’équivalence pour la relation est de cardinal 1 ou p.

  • (c)

    En déduire l’existence d’un élément g1 vérifiant gp=1.

[<] Groupe fini

 
Exercice 64  2505    ENTPECorrection  

Soit

M=(01(0)(0)11(0)0)n().
  • (a)

    Calculer le polynôme caractéristique de M. La matrice M est-elle diagonalisable? est-elle inversible?

  • (b)

    Soit G={Mk|k}. Montrer que G est une groupe cyclique et préciser son cardinal.

Solution

  • (a)

    On obtient χM(X)=(-1)n(Xn-1).
    Les racines de χM sont les racines de l’unité, il y en a n ce qui est la taille de la matrice et donc M est diagonalisable.
    Puisque 0 n’est pas racine de χM, la matrice M est inversible.

  • (b)

    Par Cayley-Hamilton, nous savons Mn=In et donc M est un élément d’ordre fini du groupe (GLn(),×). Par calcul ou par considération de polynôme minimal, on peut affirmer que n est le plus petit exposant p>0 tel que Mp=In et donc M est un élément d’ordre exactement n. On en déduit que G est un groupe cyclique de cardinal n.

 
Exercice 65  4221  

Soit G une partie de n(𝕂) telle que (G,×) soit un groupe11 1 On ne suppose pas a priori que G soit un sous-groupe de GLn(𝕂). En particulier, le neutre du groupe (G,×) peut être différent de la matrice In..

Que peut-on dire du rang des matrices de G?

 
Exercice 66  2541   Correction  

Soit G une partie de n() non réduite à la matrice nulle.

On suppose que (G,×) est un groupe. Montrer qu’il existe r* tel que le groupe (G,×) soit isomorphe à un sous-groupe de (GLr(),×).

Solution

Notons E la matrice correspondant à l’élément neutre de (G,×). Celle-ci est nécessairement non nulle car sinon la partie G serait réduite à la matrice nulle.
Puisque la matrice E est neutre, on a E2=E et donc E est la matrice d’une projection. En posant r=rg(E)*, il existe PGLn() telle que

E=PJrP-1 avec Jr=(IrOOO)n().

Pour toute matrice Mn(), on peut écrire par blocs

M=P(ABCD)P-1.

L’identité EM=M=ME donne la nullité des blocs B,C et D.
On peut alors introduire l’application φ:Gr() qui associe à MG le bloc A de la description ci-dessus. On vérifie aisément que l’application φ est injective et que

M,NG,φ(MN)=φ(M)×φ(N).

Enfin, on a aussi φ(E)=Ir de sorte que l’on peut affirmer que l’image de φ est un sous-groupe de (GLr(),×). Le groupe (G,×) alors isomorphe à ce sous-groupe.

 
Exercice 67  4228   

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un espace E et

Γ={u(E)|Im(u)=F et Ker(u)=G}.
  • (a)

    Soit u appartenant à Γ. Justifier que la restriction de u au départ de F et à valeurs dans F est un automorphisme.

  • (b)

    Vérifier que Γ est stable pour le produit de composition des applications.

  • (c)

    Établir que (Γ,) est un groupe dont on précisera l’élément neutre.

 
Exercice 68  3845   Correction  

Montrer que les sous-groupes finis du groupe (SO(2),×) des rotations du plan sont cycliques.

Solution

Commençons par rappeler que les éléments de SO(2) sont les matrices

R(θ)=(cos(θ)-sin(θ)sin(θ)cos(θ)).

Soit G un sous-groupe fini de (SO(2),×).
L’ensemble T={θ>0|R(θ)G} est une partie non vide (car 2π en est élément) et minorée de . On peut donc introduire

θ0=infT+.

Commençons par établir que θ0 est élément de T.
On peut construire une suite (θn)n1 d’éléments de T convergeant vers θ0. Puisque l’ensemble G est fini, l’ensemble des R(θn) est lui aussi fini. Il existe donc une infinité d’indicesn pour lesquels les θn sont égaux modulo 2π à une valeur α. Puisque θnθ0, il y a une infinité de θn égaux à θ0 et donc θ0T.
Puisque R(θ0)G, on a R(θ0)G.
Inversement, soit R un élément de G. Il existe θ tel que R=R(θ). On peut écrire θ=qθ0+θ avec q et θ[0;2π[. On a alors

R(θ)=R(θ)R(θ0)-qG.

Si θ>0 alors θT ce qui contredit la définition de θ0=infT car θ<θ0.
Nécessairement θ=0 et donc θ=qθ0 ce qui donne R=R(θ0)qR(θ0).
Finalement,

G=R(θ0).


Édité le 08-11-2019

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