Soient et deux normes sur un même -espace vectoriel .
On suppose que les boules unités fermées des normes et sont identiques. Montrer que ces deux normes sont égales.
Même question avec les boules unités ouvertes.
Soit un espace vectoriel normé sur ( ou ).
Montrer que pour tous
Montrer que l’on peut avoir l’égalité avec et .
Désormais la norme est euclidienne.
Montrer que pour tous
Peut-on améliorer la constante ?
Solution
donc
Aussi donc
Sur avec , il y a égalité pour et .
On a déjà
Or donne
aussi
donc
puis
qui permet de conclure.
Non, sur , il y a égalité pour et .
Soient un espace vectoriel réel et une norme sur .
Montrer que la norme est euclidienne11 1 Cela signifie que la norme est la norme euclidienne associée à un produit scalaire sur . si, et seulement si,
[<] Normes[>] Études pratiques de normes
Pour . On pose
Montrer que , et définissent des normes sur .
Solution
Ce sont les normes usuelles associées à la base canonique sur : caractériser celles-ci est similaire à caractériser les normes usuelles sur l’espace .
Soit un intervalle d’intérieur non vide de . On note l’ensemble des fonctions continues et intégrables c’est-à-dire
Montrer que est un -espace vectoriel et que
y définit une norme.
Solution
et est un -espace vectoriel.
.
Soit et .
Pour tout ,
donc par comparaison de fonctions positives .
Finalement, est un sous-espace vectoriel de et c’est donc un -espace vectoriel.
L’application est bien définie.
Soit . Si alors or est continue et positive sur d’intérieur non vide donc .
Soit et .
Soient
définit bien une norme sur
On note l’ensemble des suites sommable, c’est-à-dire
Montrer que est un -espace vectoriel et que l’on y définit une norme par l’application
Solution
et est un -espace vectoriel.
.
Pour et ,
Par comparaison de séries à termes positifs
est un sous-espace vectoriel de , c’est donc un -espace vectoriel.
L’application est bien définie.
Soit . Si alors donc pour tout , et par suite .
Soit et
Soit
Soit un intervalle d’intérieur non vide de . On note l’ensemble des fonctions continue et de carré intégrable c’est-à-dire
Montrer que est un -espace vectoriel et que
y définit une norme.
Solution
et est un -espace vectoriel.
.
Soit et . Pour tout .
donc par comparaison .
Soient . Pour tout
car
Par comparaison de fonctions positives .
Finalement, est un sous-espace vectoriel de et c’est donc un -espace vectoriel.
L’application est bien définie.
Soit . Si alors or est continue et positive sur d’intérieur non vide donc
puis .
Soient et .
Soient .
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, pour continue par morceaux,
Ici
Or pour continue par morceaux intégrable
donc ici
et enfin
ce qui permet de conclure.
On note l’ensemble des suites de carré sommable:
Montrer que est un -espace vectoriel normé par l’application
(Norme triple)
On définit la norme triple d’un endomorphisme d’un espace normé de dimension finie non nulle par
Soit . Vérifier que la borne supérieure définissant existe et que
Montrer que définit une norme sur et que
[<] Espaces normés usuels[>] Études dans un espace normé
Soient et des réels deux à deux distincts.
Sur l’espace des polynômes réels de degrés inférieurs à , on pose
Vérifier que définit une norme sur .
Sur l’espace des polynômes réels, on pose
Vérifier que définit une norme sur .
Pour , on pose
Montrer que est une norme matricielle, c’est-à-dire une norme sur vérifiant
Solution
est une norme sur car c’est la norme associée à la base canonique de .
On a
On réorganise le calcul des sommes
Pour tout ,
et donc
Pour , on pose
Montrer que est une norme matricielle, c’est-à-dire une norme sur vérifiant
Solution
est une norme sur car c’est la norme 2 associée à la base canonique de .
On a
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
donc
puis
Pour , on pose
Montrer que définit une norme sur .
Vérifier
Solution
L’application est bien définie de dans .
Si alors
et donc
ainsi la matrice est nulle.
De plus,
et
On a
Or
donc
Pour , on pose
Montrer que est une norme d’algèbre sur .
Montrer que si est valeur propre de alors .
Solution
L’application est bien définie de dans .
Si alors
et donc
ainsi la matrice est nulle.
De plus,
et
donc
Enfin
Or
donc
Soit , il existe , .
En notant les éléments de la colonne (non tous nuls) on a
Considérons tel que .
La relation précédente donne:
donc
Pour , on pose
Montrer que définit une norme sur .
Montrer que cette norme est sous-multiplicative ce qui signifie:
Pour colonne de , on pose
Vérifier
En déduire
On introduit une norme sur l’espace des colonnes en posant
et l’on note l’ensemble formé des colonnes de de norme égale à 1.
Soit . Montrer l’existence de
On pose
Justifier que pour tout , .
Vérifier que définit une norme sur .
Montrer
Solution
Pour , on a
et donc
Ainsi, l’ensemble est une partie de non vide et majorée, elle admet une borne supérieure.
Si , c’est immédiat.
Si , on introduit et l’on exploite .
L’application est bien définie à valeurs dans en vertu de ce qui précède.
Si alors pour tout , on a . En particulier, en prenant des colonnes élémentaires, on obtient que chaque colonne de est nulle.
Enfin
Finalement, définit bien une norme sur .
On a déjà vu
Soit l’indice pour lequel
Prenons ensuite avec de sorte que .
On a et donc
puis l’égalité voulue.
(Inégalités de Hölder et de Minkowski)
On considère deux réels et vérifiant .
Montrer que pour tous réels et
Pour et , on pose:
Soient et dans .
Établir l’inégalité de Hölder:
En écrivant
Obtenir l’inégalité de Minkowski11 1 L’inégalité de Minkowski exprime que satisfait l’inégalité triangulaire: c’est le seul point véritablement délicat lorsque l’on souhaite établir que est une norme.:
Montrer que l’application définie par
est une norme sur .
Représenter la boule unité fermée pour cette norme et comparer celle-ci à .
Solution
Quand varie de à , l’expression varie de à .
Par suite, on peut exprimer plus simplement l’action de :
Soient deux vecteurs de .
Pour ,
Enfin, si alors et donc puis .
Ainsi, définie bien une norme sur .
Cas: . .
Cas: . .
Cas: . .
Cas: . .
Ces considérations permettent de représenter la boule unité fermée pour la norme .
De manière immédiate, .
Aussi, et, puisque , on a aussi . On en déduit .
Soient des réels et l’application définie par
À quelle(s) condition(s) sur les réels , l’application définit-elle une norme sur ?
Soient des fonctions continues de vers .
À quelle condition l’application
définit-elle une norme sur ?
Soient un -espace vectoriel muni d’une norme et un sous-groupe fini de . Pour tout , on pose
Montrer que définit une norme sur .
Montrer que pour tous et ,
Solution
L’application est bien définie sur et est à valeurs dans .
Soient et .
Si alors pour tout . En particulier, pour , on obtient .
De plus,
Enfin, pour tout ,
et donc
Ainsi, est une norme sur .
Méthode: Pour tout , l’application est une permutation du groupe .
Pour et ,
Pour , on pose
Montrer que est une norme que .
Vérifier que
Montrer que correspond en fait à la norme euclidienne sur .
Solution
Soit . L’application est linéaire au départ d’un espace de dimension finie, c’est donc une application continue. Par composition, l’application est continue. Au départ du compact non vide , cette application est bornée et atteint ses bornes. On en déduit que le max définissant est correctement défini. L’application est donc correctement définie.
Soient et .
Si alors, pour tout , . Cela vaut en particulier pour et donc . On en déduit .
Aussi,
Enfin, pour tout ,
En passant au max, on obtient .
Pour et ,
car est une bijection de vers lui-même.
Soit . Si , on a immédiatement . Supposons désormais .
Pour ,
Soit . Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
On en déduit
Puisque cela vaut pour tout , on obtient .
Inversement, considèrons la ligne
On peut compléter cette ligne unitaire en une base orthonormale de l’espace et former, par l’ensemble de ces lignes, une matrice orthogonale . Pour celle-ci,
et donc
Par double inégalité, .
(Norme conjuguée)
Soient le produit scalaire canonique sur et une norme quelconque sur .
Pour tout , on pose
Vérifier que la borne supérieure définissant existe et que celle-ci détermine un réel positif.
Montrer que définit une norme sur .
Déterminer lorsque , puis .
[<] Études pratiques de normes[>] Calcul de distance à une partie
Soit une norme sur un espace réel .
À quelle condition l’intersection de deux boules fermées de est-elle non vide?
Même question avec des boules ouvertes.
Lorsque est une partie bornée non vide d’un espace normé , on introduit le diamètre de défini par
Justifier l’existence de la borne supérieure définissant .
Soient et deux parties bornées et non vides de .
Établir
On suppose de plus . Montrer
Solution
Introduisons tel que
La borne supérieure définissant correspond à la borne supérieure de l’ensemble
L’ensemble est une partie de , contenant (car avec ) et majoré car
Cela assure l’existence de la borne supérieure de et celle-ci est un réel positif.
Si , on a immédiatement donc
Introduisons . Soit .
Cas: et .
Cas: et .
Cas: et .
Cas: et .
Dans tous les cas, est majoré par donc .
Soit un endomorphisme d’un espace normé de dimension finie. On suppose que pour tout vecteur de
Montrer que les espaces et sont supplémentaires.
désigne un espace vectoriel normé par .
Soient et deux projecteurs d’un -espace vectoriel .
On suppose
Montrer que et sont de même rang.
Solution
Par l’absurde, supposons et, quitte à échanger, ramenons-nous au cas où .
Par la formule du rang,
et donc
On en déduit que les espaces et ne sont pas supplémentaires et il existe donc un vecteur vérifiant
On a alors
donc
Or
C’est absurde.
Soit avec . Existe-t-il une norme sur invariante par conjugaison, c’est-à-dire telle que:
Solution
Cas: . Par l’absurde supposons qu’une telle norme existe. Posons
Les matrices et sont semblables (via ) donc . Or donc . On en déduit . C’est absurde car .
Cas général: Semblable.
On définit sur une norme par
Soient et . Établir que
Soient telles que . Montrer
En déduire que
Solution
Par réduction au même dénominateur
que l’on peut réécrire
et si alors
qui donne l’inégalité voulue avec
qui sont tels que .
Par l’inégalité triangulaire,
et en vertu de ce qui précède
qui donne
avec
Soient et la norme uniforme sur .
Montrer qu’il existe un unique polynôme de degré tel que:
Soit unitaire de degré . Montrer
On pourra s’intéresser aux valeurs de et en les , pour .
Cas d’égalité. Montrer
Solution
Unicité: Si deux polynômes sont solutions, leur différence s’annule sur et correspond donc au polynôme nul.
Existence: On peut raisonner par récurrence double en introduisant
ou employer la formule de Moivre pour écrire:
On vérifie et l’on observe
Aussi, le polynôme est de degré et de coefficient dominant .
Par l’absurde, supposons et considérons
Le polynôme est de degré strictement inférieur à et prend exactement le signe de en les . Par l’application du théorème des valeurs intermédiaires, le polynôme s’annule sur ,…, : c’est le polynôme nul ce qui est absurde.
L’implication indirecte est entendue. Supposons, . Considérons de nouveau le polynôme . Au sens large, il prend le signe de en les et l’on peut assurer l’existence d’au moins une racine dans chaque intervalle ,…, . Lorsque cela est possible, on choisit cette racine dans l’intervalle ouvert et l’on note les racines ainsi obtenues.
Si celles-ci sont distinctes, le polynôme est nul et l’on conclut.
Sinon, lorsqu’il y en a deux qui ne sont pas distinctes, elles correspondent à un même avec pour lequel est de signe strict11 1 Car on a choisi les dans l’intervalle ouvert lorsque cela est possible. sur et . Ces signes sont nécessairement identiques et présente un extremum en qui est donc racine double de . Le polynôme admet alors au moins racines comptées avec multiplicité et l’on conclut.
Soit l’application qui à une matrice de associe la somme des carrés de ses coefficients.
Déterminer un produit scalaire tel que soit la norme euclidienne associée.
Montrer que deux matrices semblables n’ont pas nécessairement la même norme.
Montrer que deux matrices semblables par l’intermédiaire d’une matrice orthogonale ont la même norme.
Soit . Calculer et avec la matrice élémentaire d’indice de .
Trouver les matrices telles que pour tout .
Solution
est la norme euclidienne associée au produit scalaire canonique sur :
Les matrices
sont semblables mais n’ont pas la même norme.
Pour ,
est une matrice dont toutes les colonnes sont nulles sauf celle d’indice qui vaut la -ème colonne de .
est une matrice dont toutes les lignes sont nulles sauf celle d’indice qui vaut la -ème ligne de .
Soit solution.
Soit . Pour , l’égalité donne et donc
En notant les colonnes de et ses lignes, on a obtenu
Les colonnes et les lignes de ont toutes la même norme (nécessairement strictement positive).
Soit distinct de . Pour , l’égalité donne
En développant,
et donc
Ainsi, les colonnes de sont deux à deux orthogonales. On en déduit que la matrice est orthogonale. La réciproque est immédiate compte tenu de ce qui précède et les matrices recherchées sont donc les matrices
[<] Études dans un espace normé[>] Comparaison de normes
On norme l’espace des suites bornées par la norme infinie notée .
Déterminer la distance de la suite constante égale à 1 au sous-espace vectoriel des suites réelles convergeant vers 0.
Solution
Puisque , on a déjà
Soit . On a
et donc quand
On en déduit
et donc .
On norme l’espace des suites bornées par la norme infini notée .
Déterminer la distance de la suite au sous-espace vectoriel des suites réelles convergentes.
Solution
Puisque , on a déjà
Soit et sa limite. Pour pair
donne puis à la limite
De même, avec impair, on obtient
On en duite
On en déduit
et donc .
On norme l’espace des suites bornées par la norme infini notée .
Pour , on note la suite de terme général
puis on forme .
Déterminer la distance de la suite constante égale à au sous-espace vectoriel .
Solution
Puisque , on a déjà
En raisonnant par l’absurde, montrons en supposant .
Il existe alors une suite vérifiant avec .
Pour tout , donc . En sommant ces inégalités pour allant de à , on obtient et donc
Cela contredit et permet de conclure.
Soit l’espace des fonctions bornées de vers normé par
Déterminer la distance de la fonction
au sous-espace vectoriel de formé des fonctions continues de vers .
Solution
Par définition,
Puisque la fonction nulle est continue
Inversement, soit .
Pour tout .
ce qui donne à la limite quand
De même, pour ,
et donc à la limite quand
On en déduit
et donc
Finalement, puis .
[<] Calcul de distance à une partie[>] Équivalence de normes en dimension finie
On considère les normes usuelles , et sur .
Montrer
et déterminer, pour chaque inégalité, un vecteur non nul réalisant l’égalité.
Comparer de même et d’une part, et d’autre part.
On note l’espace des suites réelles bornées telles que .
Montrer que
définissent des normes sur l’espace .
Montrer que
Déterminer une suite non nulle telle qu’il y ait égalité.
Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.
Solution
est bien connue pour être une norme sur l’ensemble des fonctions bornées, il en est de même sur l’ensemble des suites bornées dont le premier terme est nul.
L’application est bien définie. On vérifie aisément et . Si alors pour tout , et puisque , on obtient . Ainsi est une norme sur .
Pour , on a, pour tout ,
On en déduit
La suite définie par et pour est une suite non nulle pour laquelle il y a égalité.
Considérons la suite définie par
On a
On en déduit que les normes et ne sont pas équivalentes car
On note l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang.
On définit des normes , et sur en posant
Comparer et .
Comparer et .
Solution
Aisément, .
Soit définie par si et sinon.
On a et : il n’existe donc pas de tel que .
Les normes et ne sont pas équivalentes.
En introduisant tel que on a
Ainsi, .
Soit définie par si et sinon.
On a et : il n’existe donc pas de tel que .
Les normes et ne sont pas équivalentes.
On note l’espace des suites réelles sommables. Cet espace est normé par
Soit . Montrer que est bornée.
Cela permet d’introduire la norme définie par
Comparer et .
Soit . Montrer que est de carré sommable
Cela permet d’introduire la norme définie par
Comparer et .
Solution
La suite étant sommable, elle converge vers 0 et est par conséquent bornée.
Pour tout ,
donc
Soit définie par si et sinon. .
On a et donc il n’existe pas de tel que .
et ne sont pas équivalentes.
On a donc quand :
Ainsi .
Soit définie par si et sinon. .
On a et donc il n’existe pas de tel que .
et ne sont pas équivalentes.
On note l’espace des suites réelles bornées normé par .
Soit une suite réelle. Former une condition nécessaire et suffisante sur la suite pour que l’application
définit une norme sur .
Comparer et .
Solution
Supposons que est une norme sur .
Pour , la suite élémentaire est non nulle donc
De plus, pour la suite constante , la quantité existe et donc la série converge.
Inversement, si est une série convergente à termes strictement positifs alors on montre que l’application est bien définie et que celle-ci est une norme sur l’espace .
On a aisément avec .
Inversement, supposons . Pour la suite élémentaire , on obtient et donc pour tout . Cette propriété est incompatible avec la convergence de la série .
Ainsi, est dominée par mais ces deux normes ne sont pas équivalentes.
On note l’espace des suites réelles bornées.
Pour et , on pose
Montrer que définit une norme sur .
Soient distincts. Comparer les normes et .
Solution
L’application est correctement définie de vers . En effet, pour , la suite est sommable car
Soient et .
Si alors, par sommation de termes tous positifs,
Puisque pour tout , la suite est la suite nulle.
Par simples calculs, on vérifie et .
Quitte à échanger, on peut supposer .
D’une part, pour tout et donc
La norme est dominée par .
Inversement, pour considérons . On remarque
La norme n’est pas dominée par .
Pour , on pose
avec la suite des coefficients définissant .
Justifier que définit une norme sur .
On établit de façon analogue que définit aussi une norme sur .
Comparer les normes et .
Solution
L’application est correctement définie de vers . En effet, pour , la suite des coefficients de est nulle à partir d’un certain rang. La série définissant est donc convergente et sa somme est évidemment positive.
Soient et .
Si alors tous les coefficients de sont nuls par nullité de la somme d’une série à termes positifs. On en déduit que est le polynôme nul.
Avec des notations entendues,
et
L’application est une norme sur
On a immédiatement car une somme de termes positifs est assurément supérieure à chacun de ses termes, notamment le plus grand. Ainsi, la norme est dominée par la norme . La réciproque n’est pas vraie puisque, pour
on vérifie
de sorte que
Pour , on pose
Montrer que et sont deux normes sur .
Étudier la convergence pour l’une et l’autre norme de la suite de terme général
Les normes et sont-elles équivalentes?
Solution
.
or
et donc .
Finalement, est une norme.
et par infinité de racines .
La suite converge vers 0 pour mais n’est pas bornée et donc diverge pour .
Les normes ne peuvent être équivalentes car sinon les suites convergeant pour l’une des normes convergerait pour l’autre.
Soit . Pour tout , on pose
Établir que définit une norme sur .
Justifier que, pour tous , les normes et sont équivalentes.
On considère la suite avec . Pour quelle(s) norme(s) peut-on affirmer que la suite converge?
Montrer que pour et , les normes et ne sont pas équivalentes.
Solution
L’application est correctement définie.
Soit .
Si alors, par nullité d’une somme de termes positifs,
Par nullité de l’intégrale d’une fonction positive et positive,
Le polynôme admet une infinité de racines, c’est donc le polynôme nul. On en déduit que est constant. Or donc est le polynôme nul.
Sans difficultés, on vérifie aussi et (avec des notations entendues).
Soient . Quitte à échanger, on peut supposer .
Pour tout ,
et donc
puis
Ainsi, la norme est dominée par .
De manière semblable11 1 On sera attentif à l’ordre des bornes d’intégration., on obtient que est dominée par .
Les normes et sont équivalentes.
Pour ,
Cas: .
et donc
Cas: .
et donc diverge pour (car la suite n’est pas bornée).
Cas: .
et donc
Cas: .
et
donc
La suite diverge pour car les suites extraites et convergent vers des limites distinctes.
Considérons pour .
De manière semblable à ce qui précède, on observe
Les normes et ne sont pas équivalentes.
Soit . On définit les normes , et par:
Montrer que est plus fine que et mais qu’elle n’équivaut ni à l’une, ni à l’autre.
Comparer et .
Solution
et
Posons , alors que et . Les normes ne sont donc pas équivalentes.
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz:
donc
Pour , et , les normes ne sont donc pas équivalentes.
On considère l’espace des fonctions de classe de vers .
Pour , on pose . Montrer que définit une norme sur .
Pour , on pose . On vérifie aisément que est aussi une norme sur . Montrer que la norme est équivalente à .
Les normes et sont-elles équivalentes à ?
Soit . On définit et par
Montrer que et sont des normes sur .
Comparer et d’une part, et d’autre part.
Solution
Sans difficultés.
On a car
et sans difficultés on a aussi .
Posons
On a , et .
On en déduit que les normes et d’une part, et d’autre part, ne sont pas équivalentes.
Soient et définie par
Montrer que définit une norme sur .
Comparer et .
Solution
Posons .
est une forme bilinéaire symétrique, et si alors et pour tout , donc .
est donc un produit scalaire et apparaît comme étant la norme associée.
Pour tout ,
donc .
Pour ,
Les deux normes ne sont donc pas équivalentes.
Soient l’espace et les applications définies sur par
Vérifier que et définissent des normes sur .
Montrer que est dominée par .
En exploitant l’identité
montrer que est dominée par .
Solution
Les applications sont bien définies car toute fonction continue sur un segment y est bornée.
Les propriétés et sont faciles.
Si alors et sachant , on obtient .
Si alors la résolution de l’équation différentielle avec la condition initiale donne .
Ainsi, les applications et sont bien des normes sur .
Pour , on a
ce qui permet d’établir .
Puisque
la norme est dominée par la norme .
Sachant , on a
donc
Puisque
on obtient
et finalement
Sur l’espace , on considère l’application définie par
Montrer que définit une norme sur .
Déterminer un réel tel que pour toute fonction de .
Les normes et sont-elles équivalentes?
On note le -espace vectoriel des fonctions de classe vérifiant . Pour , on pose
Montrer que et sont deux normes sur et qu’elles sont équivalentes.
Solution
Pour tout et tout , il est clair que et que .
Supposons , on a alors donc .
Supposons maintenant que , on a alors donc . Après résolution de l’équation différentielle sous-jacente, avec et finalement .
Finalement, et sont bien deux normes sur .
Il est clair que
Posons maintenant . Pour tout , on a
donc
d’où
puis pour tout . Ainsi,
De plus,
donc
et finalement
On peut conclure que les deux normes sont effectivement équivalentes.
Soient et l’ensemble des fonctions de qui sont positives et ne s’annulent qu’un nombre fini de fois. Pour toute fonction et pour toute fonction on pose
Montrer que est une norme sur
Montrer que si et sont deux applications strictement positives de alors les normes associées sont équivalentes.
Les normes et sont elles équivalentes?
Solution
est bien définie.
Si alors la fonction est nulle. En dehors des valeurs où est nulle, la fonction s’annule. Or ne s’annule qu’un nombre fini de fois, donc par un argument de continuité, s’annule aussi en ces points et finalement .
Les propriétés et sont immédiates.
Considérons la fonction . Cette fonction est définie et continue sur le segment , elle y est donc bornée et il existe vérifiant . On en déduit . Ainsi, est dominée par et par un argument symétrique est dominée par .
On a facilement .
Pour , on a après étude des variations des fonction et
et
donc il n’existe pas de constante telle que . Les deux normes et ne sont pas équivalentes.
Soient et le sous-ensemble de constitué des fonctions positives qui ne s’annulent qu’au plus un nombre fini de fois. Pour toute fonction et pour toute fonction , on pose
Montrer que définit une norme sur .
Montrer que si et sont deux applications strictement positives de , les normes associées sont équivalentes.
On considère les fonctions et de déterminées par
Les normes et sont-elles équivalentes?
Soit
Montrer que
est une norme sur .
Pour , on pose
On vérifie aisément que est une norme sur . Montrer que la norme est équivalente à .
Solution
L’application est bien définie et l’on vérifie aisément et .
Supposons maintenant , la fonction est alors solution de l’équation différentielle vérifiant les conditions initiales ce qui entraîne .
Finalement, est une norme sur .
On a évidemment .
Inversement, soit et . La fonction est solution de l’équation différentielle
vérifiant les conditions initiales . Après résolution via la méthode de variation des constantes, on obtient
On en déduit
et donc . De plus,
donc
Quelles sont les valeurs de pour lesquelles l’application
définit une norme sur .
Si et sont des normes, calculer
Solution
et doivent exister et être strictement positifs. Cela fournit les conditions nécessaires et d’où . Montrons que cette condition est suffisante.
Supposons et considérons définie par .
L’application est une forme bilinéaire symétrique sur et pour , en vertu de . Ainsi est un produit scalaire sur et est la norme euclidienne associée.
Le cas est immédiat. Quitte à échanger, on peut désormais supposer .
Par homogénéité, on peut limiter l’étude de au couple avec .
Posons
On a
Les variations de sont faciles et les extremums de sont en et . Ils valent et .
On en déduit
et
(dans le cas ).
[<] Comparaison de normes[>] Suites de vecteurs
Soit une norme sur . Montrer qu’il existe tel que
Solution
On sait et avec donc
Soient et l’espace des polynômes réels de degré au plus .
Montrer qu’il existe vérifiant
Pour , on pose l’espace des polynômes réels en l’indéterminée de degrés inférieurs ou égaux à .
Pour famille de nombres réels distincts et , on pose
Montrer que définit une norme sur .
Soit une suite de polynômes éléments de . Pour tout , on écrit
Établir que les assertions suivantes sont équivalentes:
la suite de fonctions converge simplement sur ;
la suite de fonctions converge uniformément sur tout segment de ;
pour tout , la suite converge.
Solution
facile.
(i)(ii) Supposons que la suite converge simplement sur vers une certaine fonction . On ne sait pas a priori si cette fonction est, ou non, polynomiale.
Soit une famille de réels distincts et déterminé par . On peut affirmer que la suite converge vers pour la norme . Soit un segment de avec . définit une norme sur qui est équivalent à car est de dimension finie. Puisque converge vers pour la norme , on peut affirmer que la convergence a aussi lieu pour la norme et donc converge uniformément vers sur le segment . Au passage, on en déduit que .
(ii)(iii) Si la suite converge uniformément sur tout segment vers une fonction , elle converge aussi simplement vers et l’étude ci-dessus montre que est un polynôme. En introduisant la norme infinie relative aux coefficients polynomiaux:
l’équivalence de norme permet d’établir que les coefficients de convergent vers les coefficients respectifs de .
(iii)(i) Immédiat.
Soient et une suite de fonctions polynomiales toutes de degré au plus . Montrer que si converge simplement vers une fonction sur alors est une fonction polynomiale et la convergence est uniforme sur tout segment de .
Solution
Soient des réels deux à deux distincts. Considérons la fonction polynôme de degré inférieur à vérifiant
Sur l’espace , on peut introduire la norme donnée par
Pour cette norme, on peut affirmer que la suite converge vers . Or l’espace est de dimension finie, toutes les normes y sont donc équivalentes. La convergence de vers a donc aussi lieu pour les normes données par
La suite converge vers sur tout segment de et donc converge simplement vers . Par unicité de la limite simple, la fonction est égale à .
Soit un sous-espace vectoriel de dimension finie de l’espace des fonctions réelles définies et continues sur .
Établir l’existence d’un multiplet tel que l’application
soit une norme sur .
Soit une suite de fonctions de convergeant simplement vers une fonction . Montrer que est élément de puis que la convergence est uniforme.
[<] Équivalence de normes en dimension finie[>] Séries de vecteurs
Soient telles que
On suppose que les matrices et commutent. Montrer que les matrices et commutent.
Solution
Puisque les matrices et commutent, il en est de même des matrices et . En passant à la limite la relation
on obtient
Soit une suite de matrices inversibles de .
On suppose
Montrer que est inversible et déterminer son inverse.
Solution
On a
En passant cette relation à la limite on obtient
Par le théorème d’inversibilité, on peut affirmer que est inversible et
Soit . On suppose que la suite converge vers une matrice .
Montrer que .
Solution
Par extraction,
Par produit,
Par unicité de la limite, (et est donc la matrice d’une projection).
Soit une matrice antisymétrique telle que la suite converge vers dans . Que dire de ?
Solution
D’une part,
D’autre part,
On a donc
et
Par unicité de la limite,
On en déduit que la matrice est nulle.
Soit une norme sous-multiplicative sur .
Soient et vérifiant .
On pose
Montrer que est inversible et
Solution
Posons . On remarque
Par une récurrence facile,
Or et, par sous-multiplicativité,
On en déduit
Soit . Si alors, pour tout , . En passant à la limite, on obtient . Ainsi, . Cela assure que la matrice est inversible.
On peut alors introduire son inverse et, par produit de limites,
Soit . Déterminer la limite de la suite avec
Soit une base d’un espace réel normé .
Pour , on pose
Vérifier que définit une norme sur .
Soit une suite d’éléments de . Prouver que cette suite converge si, et seulement si, la suite converge pour tout .
Solution
L’application est correctement définie.
Soit . Si alors, par nullité d’une somme de termes positifs, pour et donc pour . L’application linéaire est nulle sur les vecteurs d’une base, c’est donc l’application nulle.
Pour et ,
Enfin, pour ,
L’application définit donc une norme sur .
Supposons que la suite converge vers dans pour la norme (ou pour toutes autres normes: celles-ci sont équivalentes car est de dimension finie). On a
et donc
Soit . On peut écrire comme combinaison linéaire des vecteurs et, par opérations sur les limites, on peut affirmer
Supposons que les suites convergent quelles que soient les vecteurs dans . En particulier, pour , on peut introduire la limite de la suite . On peut11 1 Une application linéaire est entièrement déterminée par l’image d’une base. aussi introduire déterminé par pour . On a
donc
Ainsi, la suite converge (vers ) dans .
Soit . Pour , on pose
Montrer que définit une norme sur .
On dit qu’une suite d’éléments de est de Cauchy pour lorsque
Montrer que si est convergente pour la norme alors c’est une suite de Cauchy pour la norme .
On pose
Montrer que la suite est de Cauchy pour la norme . Est-elle convergente pour cette même norme?
Solution
L’application est correctement définie de vers . Soient et . On vérifie immédiatement et . Si alors la fonction est positive continue et d’intégrale nulle sur , c’est donc la fonction identiquement nulle et la fonction aussi.
Soient une suite convergente pour la norme et sa limite. Pour tout , il existe tel que
Pour et , on a conjointement
et donc
La suite est donc de Cauchy pour la norme .
Pour et ,
Pour assez grand, cette quantité est inférieure à n’importe quel préalablement choisi. La suite est une suite de Cauchy pour .
Par l’absurde supposons que la suite converge pour la norme et posons sa limite. On a donc
Parallèlement, par le théorème de convergence dominée, on montre
En effet, par les séries entières de référence,
et
avec continue par morceaux et intégrable sur .
Par unicité de la limite,
Par nullité de l’intégrale d’une fonction continue positive, on obtient
Or est continue en tandis que tend vers quand tend vers . C’est absurde.
La suite ne converge pas pour la norme .
Soient et .
On suppose diagonalisable et . Montrer que la suite géométrique converge vers la matrice nulle.
Même question avec trigonalisable au lieu de diagonalisable.
Déterminer les triplets tels que
Solution
Soit un triplet solution. Introduisons
Par hypothèse,
Cas: , et sont deux à deux distincts. La matrice est inversible et donc
On en déduit que , et sont de modules strictement inférieurs à
Cas: et . On adapte ce qui précède en écrivant
Les autres cas sont similaires.
Finalement,
La réciproque est immédiate.
Soit l’espace des fonctions continues de vers . En introduisant une suite de fonctions affines par morceaux nulles en dehors de (pour ), établir qu’il n’existe pas de norme sur pour laquelle
Solution
Considérons une norme sur . Pour , introduisons la fonction affine par morceaux donnée par le graphe ci-dessous:
Enfin, posons
On observe que
En effet, pour , c’est immédiat et, pour , on remarque que pour assez grand, .
Cependant,
Soit une suite convergente d’éléments de et de limite .
Montrer que pour assez grand
Solution
Posons .
La matrice possède est déterminant extrait non nul de taille .
Le déterminant extrait correspondant des matrices est alors non nul à partir d’un certain rang et donc
Soit une suite de matrices de convergeant vers . On suppose que les matrices sont toutes de même rang . Montrer .
Que dire de la nature topologique de l’ensemble des matrices de de rangs inférieurs à ?
Soient et une matrice à coefficients strictement positifs vérifiant11 1 est une matrice stochastique (voir le sujet 5120).
On note le plus petit coefficient de la matrice et, pour , on note et le plus petit et le plus grand coefficient de la colonne .
On suppose que les coefficients d’une colonne sont tous positifs. Établir .
Soient et avec la colonne de hauteur dont tous les coefficients sont égaux à .
Montrer
puis
En déduire que les suites et sont adjacentes.
Conclure que la suite converge et déterminer le rang de sa limite.
Soit . On note l’ensemble des telles que
Que dire de telle que 1 est seule valeur propre de ?
Montrer que est un point isolé de , c’est-à-dire que toute suite d’éléments de de limite est constante égale à à partir d’un certain rang.
Solution
Une matrice annule le polynôme scindé simple , elle est donc diagonalisable. Si est sa seule valeur propre alors car semblable à .
Par l’absurde, supposons qu’il existe une suite d’éléments de vérifiant
Par continuité de la trace,
Or la trace de est la somme de ses valeurs propres, celles-ci ne sont pas toutes égales à 1 et sont racines -ième de l’unité donc
Cette majoration est incompatible avec la propriété .
Soit muni d’une norme sous-multiplicative:
Soit vérifiant .
Étudier la convergence de la série matricielle .
Justifier que la matrice est inversible et exprimer la somme de la série précédente.
Soit une norme sous-multiplicative sur .
Pour tel que , calculer
Solution
Par une récurrence facile, on établit pour tout . Or la série converge car il s’agit d’une série géométrique de raison . La série converge donc absolument. Or l’espace est de dimension finie et donc la série converge. On peut alors introduire
En isolant le terme d’indice puis en procédant à un glissement d’indice, on observe
On en déduit
La matrice est donc inversible et
Aussi,
On en déduit la convergence absolue, donc la convergence, de la série . On peut alors introduire
Après un glissement d’indice, on observe
On en déduit
Pour toute matrice de , on pose
Vérifier que définit une norme sur .
Montrer que cette norme est sous-multiplicative ce qui signifie:
Soit . Pour , on pose
Justifier la convergence de la série numérique
Montrer que la suite converge.
(Théorème du point fixe)
Soient un espace de dimension finie de norme et une application de vers . On suppose qu’il existe11 1 On dit que l’application est contractante. tel que
Montrer que possède au plus un point fixe22 2 Un point fixe de est une valeur de vérifiant ..
On choisit arbitrairement et l’on considère la suite définie par
Montrer la convergence de la suite .
On pourra étudier la nature d’une série télescopique.
En déduire que la fonction admet un point fixe.
Soit . Montrer l’équivalence de:
toute valeur propre de est de module strictement inférieur à 1;
la suite tend vers 0;
la série de terme général converge.
Solution
(i)(ii) Le plus simple est sans doute d’utiliser la décomposition de Dunford: avec diagonalisable et nilpotente commutant entre elles. Par la formule du binôme de Newton, on peut calculer et tronquer la somme par la nilpotence de , on parvient alors à une somme finie de termes qui tendent vers 0 par croissance comparée. Une autre méthode, techniquement plus lourde, consiste à introduire qui majorent les coefficients de situés sur la diagonale (pour ), sur la sur-diagonale (pour ) etc. En notant que , on montre par récurrence sur que ce qui permet de conclure.
(ii)(iii) Supposons que . On peut alors affirmer que 1 n’est pas valeur propre de car et donc à la limite . Par suite, la matrice est inversible et puisque , d’où la convergence de la série des .
(iii)(i) Soit et tel que . Puisque converge quand , on a converge, puis converge et donc (car ).
Édité le 08-12-2023
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