Exercice 2 3438

Soit $x \in] 0; 1 [$ . Justifier

\frac{1}{2} \leq x^{x} {(1 - x)}^{1 - x}

Exercice 3 2098

Soit $a \in [1; + \infty [$ . Simplifier

\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1}} .

Exercice 4 1832

(a)

Établir que $| \sqrt{y} - \sqrt{x} | \leq \sqrt{| y - x |}$ pour tous $x$ et $y$ de $ℝ_{+}$ .
(b)

Pour quels $α > 0$ a-t-on $| y^{α} - x^{α} | \leq {| y - x |}^{α}$ pour tous $x$ et $y$ de $ℝ_{+}$ ?

Exercice 5 5020

Résoudre l’équation d’inconnue $x$ réelle

{(1 + x)}^{1 / 3} + {(1 - x)}^{1 / 3} = 5^{1 / 3} .

[<] Radicaux[>] Puissances et exponentielles

Exercice 6 1827 Correction

Établir, pour tout $x \geq 0$ , l’encadrement

x - \frac{1}{2} x^{2} \leq \ln (1 + x) \leq x .

Solution

L’étude des variations des fonctions $x \mapsto x - \ln (1 + x)$ et $x \mapsto \ln (1 + x) - x + \frac{1}{2} x^{2}$ montre que celles-ci sont croissantes sur $ℝ_{+}$ , puisqu’elles s’annulent en 0, on peut conclure.

Exercice 7 1828 Correction

(a)

Montrer que, pour tout $x > - 1$

$\ln (1 + x) \leq x .$
(b)

En déduire que pour tout $n \in ℕ ∖ {0,1}$

${(1 + \frac{1}{n})}^{n} \leq e \leq {(1 - \frac{1}{n})}^{- n} .$

Solution

(a)

Posons $f :] - 1; + \infty [\to ℝ$ définie par $f (x) = x - \ln (1 + x)$ . La fonction $f$ est dérivable avec $f^{'} (x) = \frac{x}{1 + x}$ . La fonction $f$ est donc décroissante sur $] - 1; 0]$ puis croissante sur $[0; + \infty [$ : elle présente un minimum en $0$ de valeur $f (0) = 0$ . On en déduit que la fonction $f$ est positive.
(b)

Soit $n \in ℕ$ avec $n \geq 2$ .

D’une part,

${(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \leq e^{n \times \frac{1}{n}} \leq e .$

D’autre part,

${(1 - \frac{1}{n})}^{- n} = e^{- n \ln (1 - \frac{1}{n})} \geq e$

car

$\ln (1 - \frac{1}{n}) \leq - \frac{1}{n} .$

Exercice 8 1829 Correction

Montrer que, pour tous $a, b > 0$ ,

\frac{1}{2} (\ln (a) + \ln (b)) \leq \ln (\frac{a + b}{2}) .

Solution

Pour $a, b > 0$ ,

\ln (\frac{a + b}{2}) - \frac{1}{2} (\ln (a) + \ln (b)) = \ln (\frac{a + b}{2 \sqrt{a b}}) .

a + b = {\sqrt{a}}^{2} + {\sqrt{b}}^{2} \geq 2 \sqrt{a b}

et donc

\ln (\frac{a + b}{2 \sqrt{a b}}) \geq 0 .

Exercice 9 1830 Correction

Soient $0 < a \leq b$ . On pose

f : x \mapsto \frac{\ln (1 + a x)}{\ln (1 + b x)}

définie sur $ℝ_{+}^{*}$ .

Étudier la monotonie de $f$ et en déduire que

\ln (1 + \frac{a}{b}) \ln (1 + \frac{b}{a}) \leq {(\ln (2))}^{2} .

Solution

$f$ est dérivale sur $ℝ_{+}^{*}$ et

f^{'} (x) = \frac{g (x)}{(1 + a x) (1 + b x) \ln {(1 + b x)}^{2}}

avec

g (x) = a (1 + b x) \ln (1 + b x) - b (1 + a x) \ln (1 + a x) .

On a $g (0) = 0$ et

g^{'} (x) = a b \ln (\frac{1 + b x}{1 + a x}) \geq 0 .

La fonction $g$ est donc positive et par suite $f$ croissante.

Puisque $\frac{1}{b} \leq \frac{1}{a}$ , on a $f (\frac{1}{b}) \leq f (\frac{1}{a})$ ce qui donne l’inégalité voulue.

Exercice 10 1831 Correction

Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entier $n > 0$ est $⌊ \log_{10} n ⌋ + 1$ .

Solution

Notons $m$ le nombre de décimale dans l’écriture de $n$ .
On a $10^{m - 1} \leq n < 10^{m}$ donc $m - 1 \leq \log_{10} n < m$ puis $m = ⌊ \log_{10} n ⌋ + 1$ .

Exercice 11 5010

Montrer que $\log_{10} (2)$ est un nombre irrationnel.

Exercice 12 3626 Correction

(Lemme de Gibbs)

(a)

Justifier que pour tout $x > 0$

$\ln (x) \leq x - 1 .$
(b)

Soient $(p_{1}, \dots, p_{n})$ et $(q_{1}, \dots, q_{n})$ des $n$ -uplets formés de réels strictement positifs vérifiant

$\sum_{k = 1}^{n} p_{k} = \sum_{k = 1}^{n} q_{k} = 1 .$

Établir

$\sum_{i = 1}^{n} p_{i} \ln (q_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \ln (p_{i}) .$

Dans quel(s) cas y a-t-il égalité?

Solution

(a)

Une étude de la fonction $x \mapsto \ln (x) - x + 1$ assure l’inégalité écrite.
De plus, on observe qu’il y a égalité si, et seulement si, $x = 1$ .
(b)

On étudie la différence

$\sum_{i = 1}^{n} p_{i} \ln (q_{i}) - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \ln (p_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \ln (\frac{q_{i}}{p_{i}}) .$

Par l’inégalité précédente

$\sum_{i = 1}^{n} p_{i} \ln (q_{i}) - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \ln (p_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{n} p_{i} (\frac{q_{i}}{p_{i}} - 1) = \sum_{i = 1}^{n} (q_{i} - p_{i}) = 0 .$

De plus, il y a égalité si, et seulement si,

$\forall 1 \leq i \leq n, p_{i} = q_{i} .$

Cette inégalité est fameuse lorsque l’on s’intéresse à l’entropie d’une source d’information…

[<] Logarithmes[>] Fonctions trigonométriques

Exercice 13 1834 Correction

Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes:

(a)

${(a^{b})}^{c} = a^{b c}$
(b)

$a^{b} a^{c} = a^{b c}$
(c)

$a^{2 b} = {(a^{b})}^{2}$
(d)

${(a b)}^{c} = a^{c / 2} b^{c / 2}$
(e)

${(a^{b})}^{c} = a^{(b^{c})}$
(f)

${(a^{b})}^{c} = {(a^{c})}^{b}$ ?

Solution

(a)

(c) (f)

Exercice 14 1833 Correction

Simplifier $a^{b}$ pour $a = \exp (x^{2})$ et $b = \frac{1}{x} \ln (x^{1 / x})$ .

Solution

${(\exp (x^{2}))}^{\frac{\ln (x^{1 / x})}{x}} = x$ .

Exercice 15 1835 Correction

Comparer

lim_{x \to 0^{+}} x^{(x^{x})} et lim_{x \to 0^{+}} {(x^{x})}^{x} .

Solution

Commençons par souligner que l’opération puissance n’est pas associative et donc $a^{(b^{c})}$ et ${(a^{b})}^{c}$ peuvent ne pas se correspondre. En l’absence de parenthèses, écrire $a^{b^{c}}$ est compris $a^{(b^{c})}$ tandis que ${(a^{b})}^{c}$ se simplifie en $a^{b c}$ .

Pour $x > 0$ ,

x^{(x^{x})} = \exp (x^{x} \ln (x)) = \exp (\exp (x \ln (x)) \ln (x)) .

Par opérations sur les limites,

x^{(x^{x})} \to_{x \to 0^{+}}^{} 0 .

Aussi,

{(x^{x})}^{x} = \exp (x \ln (x^{x})) = \exp (x^{2} \ln (x))

et cette fois-ci

{(x^{x})}^{x} \to_{x \to 0^{+}}^{} 1 .

Exercice 16 1836 Correction

Déterminer les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to + \infty} x^{1 / x}$
(b)

${lim}_{x \to 0} x^{\sqrt{x}}$
(c)

${lim}_{x \to 0^{+}} x^{1 / x}$

Solution

(a)

${lim}_{x \to + \infty} x^{1 / x} = 1$
(b)

${lim}_{x \to 0} x^{\sqrt{x}} = 1$
(c)

${lim}_{x \to 0^{+}} x^{1 / x} = 0$ .

Exercice 17 4834

Résoudre les équations suivantes d’inconnue $x$ réelle:

(a)

$x = \sqrt{2 x - 1} + 2$
(b)

$x^{\sqrt{x}} = {\sqrt{x}}^{x}$
(c)

$2^{2 x + 3} + 5^{2 x} = 5^{2 x + 1} - 2^{2 x + 1}$
(d)

$e^{x} - 4 e^{- x} = 3$ .

Exercice 18 1837 Correction

Résoudre les équations suivantes:

(a)

$e^{x} + e^{1 - x} = e + 1$
(b)

$x^{\sqrt{x}} = {(\sqrt{x})}^{x}$
(c)

$2^{2 x} - 3^{x - 1 / 2} = 3^{x + 1 / 2} - 2^{2 x - 1}$

Solution

(a)

$𝒮 = {0,1}$
(b)

$𝒮 = {0,1,4}$
(c)

Obtenir $2^{2 x - 3} = 3^{x - 3 / 2}$ puis $𝒮 = {3 / 2}$ .

Exercice 19 1838 Correction

Résoudre les systèmes suivants:

(a)

${\begin{matrix} 8^{x} & = 10 y \\ 2^{x} & = 5 y \end{matrix}$
(b)

${\begin{matrix} e^{x} e^{2 y} & = a \\ 2 x y & = 1 \end{matrix}$

Solution

(a)

$x = 1 / 2, y = \sqrt{2} / 5$
(b)

Obtenir un système somme/produit en $x$ et $2 y$ puis le résoudre.

Exercice 20 5878 Correction

Déterminer tous les triplets $(x, y, z) \in {(ℝ_{+})}^{3}$ vérifiant

{\begin{matrix} x + y + z & = 3 \\ x y z & = 1 . \end{matrix}

Solution

Le triplet $(1,1,1)$ est évidemment solution. Vérifions qu’il n’y en pas d’autres.

Soit $(x, y, z) \in {(ℝ_{+})}^{3}$ un triplet solution. On a évidemment $x$ et $y$ non nuls et $z = 1 / x y$ . La première équation du système devient alors

x + y + \frac{1}{x y} = 3 .

Pour $y > 0$ fixé, étudions la fonction $f : x \mapsto x + y + 1 / x y$ définie sur $] 0; + \infty [$ .

Cette fonction est dérivable et admet un minimum strict en $x = 1 / \sqrt{y}$ valant

g (y) = y + 2 / \sqrt{y} .

La fonction $g$ ainsi définie est dérivable et admet un minimum strict en $y = 1$ valant $g (1) = 3$ .

On en déduit que si $(x, y) \neq (1,1)$ alors $f (x, y) > 3$ et donc

f (x, y) = 3 ⟹ x = y = 1 .

On conclut alors $(x, y, z) = (1,1,1)$ .

Exercice 21 3652 Correction

Résoudre le système

{\begin{matrix} a + b + c & = 0 \\ e^{a} + e^{b} + e^{c} & = 3 \end{matrix}

d’inconnue $(a, b, c) \in ℝ^{3}$

Solution

Il est clair que le triplet nul est solution de ce système.

Inversement, soit $(a, b, c)$ solution. Posons $x = e^{a}$ , $y = e^{b}$ de sorte que $e^{c} = e^{- (a + b)} = 1 / x y$ .
On a donc $x, y > 0$ et

x + y + \frac{1}{x y} = 3 .

Pour $y > 0$ fixé, étudions la fonction $f : x \mapsto x + y + 1 / x y$ .
Cette fonction est dérivable et admet un minimum strict en $x = 1 / \sqrt{y}$ valant

g (y) = y + 2 / \sqrt{y} .

La fonction $g$ ainsi définie est dérivable et admet un minimum strict en $y = 1$ valant $g (1) = 3$ .

On en déduit que si $(x, y) \neq (1,1)$ alors $f (x, y) > 3$ et donc

f (x, y) = 3 ⟹ x = y = 1 .

On peut alors conclure $a = b = c = 0$ .

[<] Puissances et exponentielles[>] Formules de trigonométrie

Exercice 22 1839 Correction

Établir que pour tout $x \in ℝ_{+}$ ,

\sin (x) \leq x

et pour tout $x \in ℝ$ ,

\cos (x) \geq 1 - \frac{x^{2}}{2} .

Solution

Posons $f (x) = x - \sin (x)$ définie sur $ℝ_{+}$ . La fonction $f$ est dérivable avec $f^{'} \geq 0$ et $f (0) = 0$ . On en déduit que $f$ est positive.

Posons $g (x) = \cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}$ définie sur $ℝ$ . La fonction $g$ est deux fois dérivable avec $g^{''} \geq 0$ et $g^{'} (0) = g (0) = 0$ . En dressant le tableau de variation et de signe de $g^{'}$ puis de $g$ , on conclut $g$ positive.

Exercice 23 1841 Correction

Calculer

\cos (\frac{π}{8}) .

Solution

On sait $\cos (2 a) = 2 \cos^{2} (a) - 1$ donc

2 \cos^{2} (\frac{π}{8}) - 1 = \cos (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

puis

\cos^{2} (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2} + 2}{4}

et enfin

\cos (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}

car $\cos (π / 8) \geq 0$ .

Exercice 24 1842 Correction

Simplifier

\frac{\cos (p) - \cos (q)}{\sin (p) + \sin (q)} .

En déduire la valeur de

\tan (\frac{π}{24}) .

Solution

Par factorisation

\frac{\cos (p) - \cos (q)}{\sin (p) + \sin (q)} = - \frac{\sin (\frac{p - q}{2})}{\cos (\frac{p - q}{2})} = - \tan (\frac{p - q}{2}) .

Pour $p = \frac{π}{4}$ et $q = \frac{π}{6}$ on obtient

\tan (\frac{π}{24}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} .

Exercice 25 1844

Écrire les expressions suivantes sous la forme $A \cos (x - φ)$ :

(a)

$\cos (x) + \sin (x)$
(b)

$\cos (x) - \sqrt{3} \sin (x)$ .

Exercice 26 1845 Correction

Soient $a, b \in ℝ$ tels que $b \neq 0 [2 π]$ . Calculer simultanément

\sum_{k = 0}^{n} \cos (a + k b) et \sum_{k = 0}^{n} \sin (a + k b) .

Solution

En passant aux nombres complexes

\sum_{k = 0}^{n} \cos (a + k b) + i \sum_{k = 0}^{n} \sin (a + k b) = \sum_{k = 0}^{n} e^{i (a + k b)} .

Par sommation géométrique puis factorisation de l’exponentielle équilibrée

\sum_{k = 0}^{n} e^{i (a + k b)} = e^{i a} \frac{e^{i (n + 1) b} - 1}{e^{i b} - 1} = e^{i (a + n b / 2)} \frac{\sin (\frac{(n + 1) b}{2})}{\sin (\frac{b}{2})} .

Par suite,

\sum_{k = 0}^{n} \cos (a + k b) = \frac{\sin (\frac{(n + 1) b}{2})}{\sin (\frac{b}{2})} \cos (a + \frac{n b}{2})

\sum_{k = 0}^{n} \sin (a + k b) = \frac{\sin (\frac{(n + 1) b}{2})}{\sin (\frac{b}{2})} \sin (a + \frac{n b}{2}) .

Exercice 27 4837

Soient $n \in ℕ$ et $x$ un réel qui n’est pas de la forme $2 k π$ avec $k \in ℤ$ .

(a)

Exprimer $\sin (\frac{x}{2}) \cos (n x)$ en fonction de $\sin (\frac{2 n + 1}{2} x)$ et de $\sin (\frac{2 n - 1}{2} x)$ .
(b)

En déduire la valeur de

$C_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \cos (k x) .$
(c)

Exprimer de même

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \sin (k x) .$

Exercice 28 1846 Correction

Soit $x \neq 0 [2 π]$ .

(a)

Montrer

$\sin (x) + \sin (2 x) + \dots + \sin (n x) = \frac{\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{n x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

en procédant par récurrence sur $n \in ℕ$ .
(b)

En exploitant les nombres complexes.

Solution

(a)

L’hérédité de la récurrence s’obtient via

$\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{n x}{2})$ $+ \sin (n + 1) x \sin (\frac{x}{2})$

$= \sin (\frac{(n + 1) x}{2}) (\sin (\frac{n x}{2}) + 2 \cos (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))$

$\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{(n + 2) x}{2})$

en exploitant

$\sin (p) - \sin (q) = 2 \sin (\frac{p - q}{2}) \cos (\frac{p + q}{2})$

avec

$p = \frac{(n + 2) x}{2} et q = \frac{n x}{2} .$
(b)

Par les nombres complexes

$\sin (x) + \sin (2 x) + \dots + \sin (n x) = Im (\sum_{k = 1}^{n} e^{i k x}) = Im (\frac{e^{i x} - e^{i (n + 1) x}}{1 - e^{i x}})$

donc

$\sin (x) + \sin (2 x) + \dots + \sin (n x) = Im (e^{i \frac{(n + 1) x}{2}} \frac{\sin (\frac{n x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}) = \sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \frac{\sin (\frac{n x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})} .$

Exercice 29 4838

Soient $θ \in] 0; π [$ et $n \in ℕ$ . Exprimer à l’aide de la fonction sinus le produit

\prod_{k = 1}^{n} \cos (\frac{θ}{2^{k}}) .

Exercice 30 2645 MINES (MP)Correction

Calculer

\sum_{k = 1}^{4} \cos^{2} (\frac{k π}{9}) .

Solution

En linéarisant et en faisant quelques transformations angulaires de simplification

\sum_{k = 1}^{4} \cos^{2} (\frac{k π}{9}) = \frac{7}{4} .

[<] Fonctions trigonométriques[>] Équations trigonométriques

Exercice 31 1840 Correction

Exprimer $\cos (3 a)$ en fonction de $\cos (a)$ et $\sin (3 a)$ en fonction de $\sin (a)$ .

Solution

On développe $\cos (3 a) = \cos (2 a + a)$ puis on emploie

\cos (2 a) = 2 \cos^{2} (a) - 1, \sin (2 a) = 2 \sin (a) \cos (a) et \sin^{2} (a) = 1 - \cos^{2} (a) .

On parvient à

\cos (3 a) = 4 \cos^{3} (a) - 3 \cos (a) .

De même, on acquiert

\sin (3 a) = 3 \sin (a) - 4 \sin^{3} (a) .

On peut aussi obtenir ces formules par

e^{3 i a} = {(\cos (a) + i \sin (a))}^{3} .

Exercice 32 1843

Linéariser¹¹ 1 Linéariser une expression trigonométrique consiste à transformer celle-ci en une combinaison de $\cos$ et de $\sin$ où il ne figure plus de produits.:

(a)

$\cos (x) \sin^{2} (x)$
(b)

$\cos^{2} (x)$
(c)

$\cos (a) \cos (b)$ .

Exercice 33 4825

Lorsque cela a un sens, exprimer $\tan (a + b + c)$ à l’aide de $\tan (a)$ , $\tan (b)$ et $\tan (c)$ .

Exercice 34 4835

(Formules de l’angle moitié)

Soit $x$ un réel qui n’est pas de la forme $(2 k + 1) π$ avec $k \in ℤ$ . On pose $t = \tan (\frac{x}{2})$ . Montrer

\cos (x) = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} et \sin (x) = \frac{2 t}{1 + t^{2}} .

Exercice 35 4846

(Cosinus rationnel d’un multiple rationnel de $π$ )

Soit $n$ un naturel non nul.

(a)

Montrer qu’il existe des entiers $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}$ tels que, pour tout $t$ réel,

$2 \cos (n t) = 2^{0} a_{0} + 2^{1} a_{1} \cos (t) + \dots + 2^{n - 1} a_{n - 1} \cos^{n - 1} (t) + 2^{n} \cos^{n} (t) .$
(b)

En déduire les rationnels $r$ tels que $\cos (r π) \in ℚ$ .

[<] Formules de trigonométrie[>] Fonctions trigonométriques réciproques

Exercice 36 4826

Résoudre les équations d’inconnue $x$ réelle qui suivent:

(a)

$\sin (x) = \sin (2 x)$
(b)

$\cos (x) = \sin (3 x)$
(c)

$\cos (x) - \sin (x) = 1$ .

Exercice 37 1847 Correction

Résoudre les équations suivantes d’inconnues $x \in ℝ$ .

(a)

$\cos (2 x - π / 3) = \sin (x + 3 π / 4)$
(b)

$\sin (x) + \sin (3 x) = 0$
(c)

$3 \cos (x) - \sqrt{3} \sin (x) = \sqrt{6}$
(d)

$2 \sin (x) \cos (x) + \sqrt{3} \cos (2 x) = 0$

Solution

(a)

L’équation étudiée équivaut à

$\cos (2 x - π / 3) = \cos (x + π / 4) .$

On obtient pour solutions

$x = \frac{7 π}{12} [2 π] et x = \frac{π}{36} [\frac{2 π}{3}] .$
(b)

L’équation étudiée équivaut à

$2 \sin (2 x) \cos (x) = 0 .$

On obtient pour solutions

$x = 0 [π / 2] .$
(c)

L’équation étudiée équivaut à

$2 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (x) - \frac{1}{2} \sin (x)) = \sqrt{6}$

soit encore

$\cos (x + \frac{π}{6}) = \cos (\frac{π}{4}) .$

On obtient pour solutions

$x = \frac{π}{12} [2 π] et x = - \frac{5 π}{12} [2 π] .$
(d)

L’équation étudiée équivaut à

$2 (\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (2 x)) = 0$

soit encore

$\sin (2 x + \frac{π}{3}) = 0 .$

On obtient pour solutions

$x = \frac{π}{3} [π] et x = - \frac{π}{6} [π] .$

Exercice 38 4836

Décrire l’ensemble des solutions $x$ réelles des équations suivantes:

(a)

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) = 1$
(b)

$\cos^{4} (x) + \sin^{4} (x) = 1$
(c)

$\sin (x) + \sin (2 x) + \sin (3 x) = 0$
(d)

$2 \sqrt{3} \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 1 + \sqrt{3}$ .

Exercice 39 1848 Correction

Résoudre l’équation

\tan (x) \tan (2 x) = 1

d’inconnue $x$ réel convenable.

Solution

Pour $x \neq \frac{π}{2} [π]$ et $x \neq \frac{π}{4} [\frac{π}{2}]$ ,

	$\tan (x) \tan (2 x) = 1$	$\Leftrightarrow \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x) = 0$
		$\Leftrightarrow \cos (3 x) = 0$
		$\Leftrightarrow x = \frac{π}{6} [\frac{π}{3}] .$

[<] Équations trigonométriques[>] Fonctions hyperboliques

Exercice 40 4827

Simplifier:

(a)

$\arcsin (\sin (\frac{2 π}{3}))$
(b)

$\arccos (\cos (\frac{6 π}{5}))$
(c)

$\arccos (\sin (\frac{π}{7}))$ .

Exercice 41 4828

Simplifier les expressions suivantes lorsque celles-ci ont un sens:

(a)

$\sin (2 \arccos (x))$
(b)

$\cos (2 \arcsin (x))$
(c)

$\cos (\arctan (x))$ .

Exercice 42 1849 Correction

Simplifier les expressions suivantes:

(a)

$\cos (2 \arccos (x))$
(b)

$\cos (2 \arcsin (x))$
(c)

$\sin (2 \arccos (x))$
(d)

$\cos (2 \arctan (x))$
(e)

$\sin (2 \arctan (x))$
(f)

$\tan (2 \arcsin (x))$

Solution

(a)

$\cos (2 \arccos (x)) = 2 \cos^{2} (\arccos (x)) - 1 = 2 x^{2} - 1$ .
(b)

$\cos (2 \arcsin (x)) = 1 - 2 \sin^{2} (\arcsin) x = 1 - 2 x^{2}$ .
(c)

$\sin (2 \arccos (x)) = 2 x \sqrt{1 - x^{2}}$
(d)

$\cos (2 \arctan (x)) = 2 \cos^{2} (\arctan) x - 1 = \frac{2}{1 + x^{2}} - 1 = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ .
(e)

$\sin (2 \arctan (x)) = 2 \sin (\arctan (x)) \cos (\arctan (x)) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .
(f)

$\tan (2 \arcsin (x)) = \frac{2 \tan (\arcsin (x))}{1 - \tan^{2} (\arcsin (x))} = \frac{2 x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - 2 x^{2}}$ .

Exercice 43 4841

Simplifier les expressions qui suivent lorsque celles-ci ont un sens:

(a)

$\arccos (2 x^{2} - 1)$
(b)

$\arccos (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$ .

Exercice 44 1851 Correction

Simplifier

\arcsin (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})

pour $x$ réel convenable.

Solution

La fonction $x \mapsto \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ est dérivable et à valeurs dans $] - 1; 1 [$ donc $x \mapsto \arcsin (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$ est dérivable et

{(\arcsin (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}))}^{'} = \frac{1}{{(\sqrt{1 + x^{2}})}^{3}} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}} = \frac{1}{1 + x^{2}} .

On en déduit

\arcsin (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}) = \arctan (x) + C .

En évaluant en $x = 0$ , on obtient $C = 0$ .

Exercice 45 1850 Correction

Simplifier

\arccos (4 x^{3} - 3 x)

pour $x$ réel convenable.

Solution

$f : x \mapsto \arccos (4 x^{3} - 3 x)$ est définie sur $[- 1; 1]$ .
Pour $x \in [- 1; 1]$ , posons $θ = \arccos (x)$ , on a alors $f (x) = \arccos (4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ)) = \arccos (\cos (3 θ))$ .
Si $θ \in [0; π / 3]$ c’est-à-dire $x \in [1 / 2; 1]$ alors $f (x) = 3 θ = 3 \arccos (x)$ .
Si $θ \in [π / 3; 2 π / 3]$ c’est-à-dire $x \in [- 1 / 2; 1 / 2]$ alors $f (x) = 2 π - 3 θ = 2 π - 3 \arccos (x)$ .
Si $θ \in [2 π / 3; π]$ c’est-à-dire $x \in [- 1; - 1 / 2]$ alors $f (x) = 3 θ - 2 π = 3 \arccos (x) - 2 π$ .

Exercice 46 4842

Étudier les fonctions suivantes afin de les figurer:

(a)

$f : t \mapsto \arcsin (\sin (t)) + \arccos (\cos (t))$
(b)

$g : t \mapsto \arccos (\sqrt{\frac{1 + \cos (t)}{2}})$ .

Exercice 47 1854 Correction

Étudier les fonctions suivantes afin de les représenter:

(a)

$f : x \mapsto \arcsin (\sin (x)) + \frac{1}{2} \arccos (\cos (2 x))$
(b)

$f : x \mapsto \arctan (\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}})$

Solution

(a)

$f$ est $2 π$ périodique.
Sur $[0; π / 2]$ , $f (x) = x + x = 2 x$ . Sur $[π / 2; π]$ , $f (x) = π - x + π - x = 2 π - 2 x$ .
Sur $[- π / 2; 0]$ , $f (x) = x - x = 0$ . Sur $[- π; - π / 2]$ , $f (x) = - x - π + π + x = 0$ .
(b)

$f (x) = \arctan (\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}}) = \arctan (| \tan (x / 2) |)$ . $f$ est $2 π$ périodique, paire. Sur $[0; π [, f (x) = x / 2$ .

Exercice 48 4840

Simplifier:

(a)

$\arctan (1 / 2) + \arctan (1 / 3)$
(b)

$\arctan (2) + \arctan (3) + \arctan (2 + \sqrt{3})$ .

Exercice 49 5487 Correction

(Formule de Dodgson¹¹ 1 Plus connu sous le nom de Lewis Carroll.)

Soient $p$ , $q$ et $r$ trois réels strictement positifs vérifiant $1 + p^{2} = q r$ . Vérifier

\arctan (\frac{1}{p}) = \arctan (\frac{1}{p + r}) + \arctan (\frac{1}{p + q}) .

Solution

Posons

α = \arctan (\frac{1}{p + r}) et β = \arctan (\frac{1}{p + q}) .

Les réels $α$ et $β$ appartiennent à $] 0; π / 2 [$ car ce sont des arc-tangentes de réels strictement positifs. La somme $α + β$ est différente de $π / 2$ car

	$α + β = \frac{π}{2}$	$⟹ \arctan (\frac{1}{p + r}) = \frac{π}{2} - \arctan (\frac{1}{p + q})$
		$⟹ \arctan (\frac{1}{p + r}) = \arctan (p + q)$
		$⟹ \frac{1}{p + r} = p + q$
		$⟹ (p + q) (p + r) = 1$
		$⟹ \underset{\begin{matrix} \neq 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{p (2 p + q + r)}} = 0 car q r = 1 + p^{2} .$

On peut alors calculer et développer $\tan (α + β)$ ce qui donne

	$\tan (α + β)$	$= \frac{\tan (α) + \tan (β)}{1 - \tan (α) \tan (β)}$
		$= \frac{\frac{1}{p + q} + \frac{1}{p + r}}{1 - \frac{1}{p + q} \cdot \frac{1}{p + r}}$
		$= \frac{2 p + q + r}{(p + q) (p + r) - 1}$
		$= \frac{2 p + q + r}{p (2 p + q + r)} = \frac{1}{p} .$

On en déduit

α + β \equiv \arctan (\frac{1}{p}) [π] .

Or $α + β$ et $\arctan (1 / p)$ sont tous deux éléments de $] 0; π [$ et donc

α + β = \arctan (\frac{1}{p}) .

Exercice 50 1855 Correction

Simplifier $\arcsin (\frac{4}{5}) + \arcsin (\frac{5}{13}) + \arcsin (\frac{16}{65})$ .

Solution

\cos (\arcsin (\frac{4}{5}) + \arcsin (\frac{5}{13})) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{16}{65}

\cos (\frac{π}{2} - \arcsin (\frac{16}{65})) = \sin (\arcsin (\frac{16}{65})) = \frac{16}{65} .

\arcsin (\frac{4}{5}) + \arcsin (\frac{5}{13}) \in [0; \frac{π}{2}]

\frac{π}{2} - \arcsin (\frac{16}{65}) \in [0; \frac{π}{2}]

d’où l’égalité

\arcsin (\frac{4}{5}) + \arcsin (\frac{5}{13}) + \arcsin (\frac{16}{65}) = \frac{π}{2} .

Exercice 51 1856

Résoudre les équations suivantes d’inconnue $x$ réelle:

(a)

$\arctan (x) + \arctan (3 x) = \frac{π}{2}$
(b)

$\arcsin (x) + \arcsin (3 x) = \frac{π}{2}$
(c)

$\arccos (2 x) - \arccos (x) = \frac{π}{4}$ .

Exercice 52 1857

(Argument principal d’un nombre complexe non nul)

Soit $z \in ℂ ∖ ℝ_{-}$ un nombre complexe de partie réelle $x$ et de partie imaginaire $y$ .

Vérifier qu’un argument possible de $z$ est

2 \arctan (\frac{y}{x + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}) .

Exercice 53 1852

Montrer que la courbe représentative de la fonction $\arccos$ est symétrique par rapport au point de coordonnées $(0, π / 2)$ .

Exercice 54 4839

Quelle relation¹¹ 1 Soulignons que la fonction $\arctan$ ne se déduit pas des fonctions $\arcsin$ et $\arccos$ : $\arctan (x)$ n’est pas $\frac{\arcsin (x)}{\arccos (x)}$ ! simple relie les fonctions $\arcsin$ et $\arccos$ ?

Exercice 55 4829

On souhaite établir

\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x}) = \frac{π}{2} pour tout x > 0 .

(a)

Montrer l’identité en étudiant la fonction définie par le premier membre.
(b)

Montrer l’identité en calculant la tangente d’un angle bien choisi.

Exercice 56 1858 Correction

Simplifier $\arctan (a) + \arctan (b)$ pour $a, b \geq 0$ .

Solution

On a $\tan (\arctan (a) + \arctan (b)) = \frac{a + b}{1 - a b}$ donc $\arctan (a) + \arctan (b) = \arctan (\frac{a + b}{1 - a b}) [π]$ .
Si $a b = 1$ alors $\arctan (a) + \arctan (b) = π / 2$ .
Si $a b < 1$ alors $\arctan (a) + \arctan (b) = \arctan (\frac{a + b}{1 - a b})$ .
Si $a b > 1$ alors $\arctan (a) + \arctan (b) = \arctan (\frac{a + b}{1 - a b}) + π$ .

Exercice 57 1859 Correction

Soit $p \in ℕ$ . Calculer

\arctan (p + 1) - \arctan (p) .

Étudier la limite de la suite $(S_{n})$ de terme général

S_{n} = \sum_{p = 0}^{n} \arctan (\frac{1}{p^{2} + p + 1}) .

Solution

Posons $θ = \arctan (p + 1) - \arctan (p)$ . Comme $0 \leq \arctan (p) \leq \arctan (p + 1) < π / 2$ on a $θ \in [0; π / 2 [$ .
De plus, $\tan (θ) = \frac{1}{p^{2} + p + 1}$ donc

θ = \arctan (\frac{1}{p^{2} + p + 1}) .

Par télescopage $S_{n} = \sum_{p = 0}^{n} \arctan (\frac{1}{p^{2} + p + 1}) = \arctan (n + 1) \to π / 2$ .

Exercice 58 2814 MINES (MP)

Soient $x_{1}, \dots, x_{13}$ des réels. Montrer qu’il existe des indices $i$ et $j$ distincts compris entre $1$ et $13$ tels que

0 \leq \frac{x_{i} - x_{j}}{1 + x_{i} x_{j}} \leq 2 - \sqrt{3} .

Exercice 59 1853 Correction

Déterminer ${lim}_{x \to 0 +} \frac{\arccos (1 - x)}{\sqrt{x}}$ à l’aide d’un changement de variable judicieux.

Solution

Quand $x \to 0^{+}$ : $\frac{\arccos (1 - x)}{\sqrt{x}} = \frac{y}{\sqrt{1 - \cos (y)}}$ avec $y = \arccos (1 - x) \to 0^{+}$ .
Or $1 - \cos (y) \sim \frac{y^{2}}{2}$ donc $\frac{\arccos (1 - x)}{\sqrt{x}} = \frac{y}{\sqrt{1 - \cos (y)}} \to \sqrt{2}$ .

Exercice 60 4845

Soit $θ \in] 0; π [$ . On étudie la fonction $f$ de la variable réelle $x$ déterminée par

f (x) = \arcsin (\frac{2 \sin (θ) (x - \cos (θ))}{x^{2} - 2 x \cos (θ) + 1}) .

(a)

Justifier que $f$ est définie et continue sur $ℝ$ .
(b)

Vérifier que $f$ est dérivable en tout point de $ℝ$ excepté en deux points $x_{1}$ et $x_{2}$ que l’on précisera. Simplifier l’expression de $f^{'} (x)$ pour $x \neq x_{1}$ et $x_{2}$ .
(c)

Justifier que la représentation de $f$ présente un centre de symétrie.
(d)

En admettant¹¹ 1 Ce résultat correspond au théorème de la limite de la dérivée. que les pentes des demi-tangentes à la courbe représentative de $f$ en $x_{1}$ et $x_{2}$ sont déterminées par les limites de $f^{'}$ à droite et à gauche en ces points, donner l’allure de la courbe représentative de $f$ .

[<] Fonctions trigonométriques réciproques

Exercice 61 4830

Montrer les inégalités suivantes:

(a)

$sh (x) \geq x$ pour tout $x \geq 0$
(b)

$ch (x) \geq 1 + \frac{1}{2} x^{2}$ pour tout $x \in ℝ$ .

Exercice 62 1869 Correction

Établir

\forall x \in ℝ, | \arctan (sh (x)) | = \arccos (\frac{1}{ch (x)}) .

Solution

Soit $f : ℝ_{+} \to ℝ$ définie par

f (x) = \arctan (sh (x)) - \arccos (\frac{1}{ch (x)}) .

La fonction $f$ est continue sur $ℝ_{+}$ et dérivable sur $] 0; + \infty [$ avec, pour $x > 0$ ,

f^{'} (x) = \frac{ch (x)}{1 + {sh}^{2} (x)} - \frac{sh (x)}{{ch}^{2} (x)} \cdot \frac{ch (x)}{\sqrt{{ch}^{2} (x) - 1}} = \frac{1}{ch (x)} - \frac{sh (x)}{ch (x)} \cdot \frac{1}{sh (x)} = 0 .

La fonction $f$ est donc constante sur $] 0; + \infty [$ puis sur $ℝ_{+}$ par continuité.

Puisque $f (0) = 0$ , on conclut

\forall x \in ℝ_{+}, | \arctan (sh (x)) | = \arccos (\frac{1}{ch (x)}) .

Par parité, le résultat se prolonge aussi à $x \in ℝ_{-}$ .

Exercice 63 1863

Soient $n \in ℕ$ et $t \in ℝ$ . Exprimer

C_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) ch (k t) et S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) sh (k t)

en fonction de $ch (\frac{t}{2})$ , $ch (\frac{n t}{2})$ et $sh (\frac{n t}{2})$ .

Exercice 64 4843

(a)

Vérifier que $sh (2 a) = 2 sh (a) ch (a)$ pour tout $a$ réel.
(b)

Soient $x \in ℝ$ et $n \in ℕ$ . Exprimer à l’aide de la fonction sinus hyperbolique le produit

$\prod_{k = 1}^{n} ch (\frac{x}{2^{k}}) .$

Exercice 65 1865 Correction

Pour $n \in ℕ$ et $x \in ℝ_{+}^{*}$ , observer

th ((n + 1) x) - th (n x) = \frac{sh (x)}{ch (n x) ch ((n + 1) x)} .

Calculer

S_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{ch (k x) ch ((k + 1) x)} .

Solution

Après quelques calculs

th ((n + 1) x) - th (n x) = \frac{sh (x)}{ch (n x) ch ((n + 1) x)} .

Par télescopage

S_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{ch (k x) ch ((k + 1) x)} = \frac{th ((n + 1) x)}{sh (x)} .

Exercice 66 5883 Correction

Soit $(a, b) \in ℝ^{2}$ . Résoudre l’équation $a ch (x) + b sh (x) = 1$ d’inconnue $x \in ℝ$ .

Solution

Par les écritures exponentielles,

	$a ch (x) + b sh (x) = 1$	$\Leftrightarrow (a + b) e^{x} + (a - b) e^{- x} = 2$
		$\Leftrightarrow (a + b) e^{2 x} - 2 e^{x} + (a - b) = 0 .$

En considérant $X = e^{x}$ , on résout alors l’équation

(a + b) X^{2} - 2 X + (a - b) = 0 .

Cas: $a + b$ = 0. L’équation possède une solution

X = \frac{a - b}{2} .

Si $a > b$ alors l’équation initiale possède une unique solution

x = \ln (\frac{a - b}{2}) .

Sinon, il n’y a pas de solutions.

Cas: $a + b \neq 0$ . On a $Δ = 4 - 4 a^{2} + 4 b^{2}$ .

Sous-cas: $1 - a^{2} + b^{2} < 0$ . Il n’y a pas de solutions.

Sous-cas: $1 - a^{2} + b^{2} = 0$ . Il y a une solution double

X = \frac{1}{2 (a + b)} .

Dans le cas où $a + b > 0$ , cela détermine une solution

x = - \ln (2 (a + b)) .

Dans le cas où $a + b < 0$ , il n’y a pas de solutions.

Sous-cas: $1 - a^{2} + b^{2} > 0$ . L’équation précédente possède deux solutions

X_{1} = \frac{1 - \sqrt{1 - a^{2} + b^{2}}}{a + b} et X_{2} = \frac{1 + \sqrt{1 - a^{2} + b^{2}}}{a + b} .

La solution $X_{1}$ est strictement positive si, et seulement si,

{\begin{matrix} | a | > | b | \\ a + b > 0 \end{matrix} ou {\begin{matrix} | a | < | b | \\ a + b < 0 . \end{matrix}

Dans ce cas, cela détermine une solution

x_{1} = \ln (\frac{1 - \sqrt{1 - a^{2} + b^{2}}}{a + b}) .

La solution $X_{2}$ est strictement positive si, et seulement si, $a + b > 0$ et cela détermine alors la solution

x_{2} = \ln (\frac{1 + \sqrt{1 - a^{2} + b^{2}}}{a + b}) .

Exercice 67 1866 Correction

Soient $a$ et $α$ deux réels.
Résoudre le système d’inconnues $x$ et $y$

{\begin{matrix} ch (x) + ch (y) & = 2 a ch (α) \\ sh (x) + sh (y) & = 2 a sh (α) . \end{matrix}

Solution

Si $a < 1$ alors $𝒮 = \emptyset$ .
Si $a = 1$ alors $𝒮 = {(α, α)}$ .
Si $a > 1$ alors en faisant apparaître un système somme produit:

𝒮 = {(\ln (a - \sqrt{a^{2} - 1}) + α, \ln (a + \sqrt{a^{2} - 1}) + α), (\ln (a + \sqrt{a^{2} - 1}) + α, \ln (a - \sqrt{a^{2} - 1}) + α)} .

Exercice 68 4832

(Fonction argument tangente hyperbolique)

(a)

Montrer que la fonction $x \mapsto th (x)$ réalise une bijection de $ℝ$ vers un intervalle $I$ à préciser.

On note $argth$ sa bijection réciproque appelée argument tangente hyperbolique.

(b)

Montrer que la fonction $argth$ est dérivable sur $I$ et exprimer sa dérivée.
(c)

En étudiant l’équation $y = th (x)$ d’inconnue $x$ réelle, exprimer $argth (t)$ à l’aide des fonctions usuelles. Retrouver l’expression de sa dérivée.

Exercice 69 1862 Correction

Pour $y \in] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ , on pose $x = \ln (\tan (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}))$ .

Montrer

th (\frac{x}{2}) = \tan (\frac{y}{2}), th (x) = \sin (y) et ch (x) = \frac{1}{\cos (y)} .

Solution

	$th (\frac{x}{2})$	$= \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} = \frac{\tan (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) - 1}{\tan (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) + 1} = \frac{\sin (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) - \cos (\frac{y}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) + \cos (\frac{y}{2} + \frac{π}{4})}$
		$= \frac{\sin (\frac{π}{4} + \frac{y}{2}) - \sin (\frac{π}{4} - \frac{y}{2})}{\sin (\frac{π}{4} + \frac{y}{2}) + \sin (\frac{π}{4} - \frac{y}{2})} = \frac{\sin (\frac{y}{2}) \cos (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{y}{2}) \sin (\frac{π}{4})} = \tan (\frac{y}{2}) .$

	$th (x)$	$= \frac{\tan^{2} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) - 1}{\tan^{2} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) + 1} = \sin^{2} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) - \cos^{2} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4})$
		$= - \cos (y + \frac{π}{2}) = \sin (y) .$

	$ch (x)$	$= \frac{\tan (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) + \tan^{- 1} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4})}{2} = \frac{\sin^{2} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) + \cos^{2} (\frac{y}{2} + \frac{π}{4})}{2 \sin (\frac{y}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{y}{2} + \frac{π}{4})}$
		$= \frac{1}{\sin (y + \frac{π}{2})} = \frac{1}{\cos (y)} .$

Exercice 70 4844

Pour $x$ réel, on pose $t = \arctan (sh (x))$ .

(a)

Exprimer $\cos (t)$ et $\sin (t)$ en fonction de $ch (x)$ et $sh (x)$ .
(b)

Vérifier

$x = \ln (\tan (\frac{t}{2} + \frac{π}{4})) .$

Édité le 14-10-2023

	$\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{n x}{2})$	$+ \sin (n + 1) x \sin (\frac{x}{2})$
		$= \sin (\frac{(n + 1) x}{2}) (\sin (\frac{n x}{2}) + 2 \cos (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))$
		$\sin (\frac{(n + 1) x}{2}) \sin (\frac{(n + 2) x}{2})$

Étude de fonctions

Radicaux

Logarithmes

Puissances et exponentielles

Fonctions trigonométriques

Formules de trigonométrie

Équations trigonométriques

Fonctions trigonométriques réciproques

Fonctions hyperboliques