[>] Logarithmes

 
Exercice 1  1832   
  • (a)

    Établir que |y-x||y-x| pour tous x et y de +.

  • (b)

    Pour quels α>0 a-t-on |yα-xα||y-x|α pour tous x et y de +?

 
Exercice 2  5020    

Résoudre l’équation d’inconnue x réelle

(1+x)1/3+(1-x)1/3=51/3.

[<] Radicaux[>] Puissances et exponentielles

 
Exercice 3  1827  Correction  

Établir, pour tout x0, l’encadrement

x-12x2ln(1+x)x.

Solution

L’étude des variations des fonctions xx-ln(1+x) et xln(1+x)-x+12x2 montre que celles-ci sont croissantes sur +, puisqu’elles s’annulent en 0, on peut conclure.

 
Exercice 4  1828  Correction  
  • (a)

    Montrer que, pour tout x>-1

    ln(1+x)x.
  • (b)

    En déduire que pour tout n{0,1}

    (1+1n)ne(1-1n)-n.

Solution

  • (a)

    Posons f:]-1;+[ définie par f(x)=x-ln(1+x). f est dérivable, f(0)=0 et f(x)=x1+x.
    Le tableau de variation de f donne f positive.

  • (b)

    D’une part

    (1+1n)n=enln(1+1n)en×1ne

    et d’autre part

    (1-1n)-n=e-nln(1-1n)e

    car

    ln(1-1n)-1n.
 
Exercice 5  1829   Correction  

Montrer que, pour tous a,b>0,

12(ln(a)+ln(b))ln(a+b2).

Solution

Pour a,b>0,

ln(a+b2)-12(ln(a)+ln(b))=ln(a+b2ab).

Or

a+b=a2+b22ab

et donc

ln(a+b2ab)0.
 
Exercice 6  1830   Correction  

Soient 0<ab. On pose

f:xln(1+ax)ln(1+bx)

définie sur +*.

Étudier la monotonie de f et en déduire que

ln(1+ab)ln(1+ba)(ln(2))2.

Solution

f est dérivale sur +* et

f(x)=g(x)(1+ax)(1+bx)ln(1+bx)2

avec

g(x)=a(1+bx)ln(1+bx)-b(1+ax)ln(1+ax).

On a g(0)=0 et

g(x)=abln(1+bx1+ax)0

La fonction g est donc positive et par suite f croissante.

Puisque 1b1a, on a f(1b)f(1a) ce qui donne l’inégalité voulue.

 
Exercice 7  1831  Correction  

Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entier n>0 est log10n+1.

Solution

Notons m le nombre de décimale dans l’écriture de n.
On a 10m-1n<10m donc m-1log10n<m puis m=log10n+1.

 
Exercice 8  5010   

Montrer que log10(2) est un nombre irrationnel.

 
Exercice 9  3626   Correction  

(Lemme de Gibbs)

  • (a)

    Justifier que pour tout x>0

    ln(x)x-1.
  • (b)

    Soient (p1,,pn) et (q1,,qn) des n-uplets formés de réels strictement positifs vérifiant

    k=1npk=k=1nqk=1.

    Établir

    i=1npiln(qi)i=1npiln(pi).

    Dans quel(s) cas y a-t-il égalité?

Solution

  • (a)

    Une étude de la fonction xln(x)-x+1 assure l’inégalité écrite.
    De plus, on observe qu’il y a égalité si, et seulement si, x=1.

  • (b)

    On étudie la différence

    i=1npiln(qi)-i=1npiln(pi)=i=1npiln(qipi).

    Par l’inégalité précédente

    i=1npiln(qi)-i=1npiln(pi)i=1npi(qipi-1)=i=1n(qi-pi)=0.

    De plus, il y a égalité si, et seulement si,

    1in,pi=qi.

    Cette inégalité est fameuse lorsque l’on s’intéresse à l’entropie d’une source d’information…

[<] Logarithmes[>] Fonctions trigonométriques

 
Exercice 10  1834  Correction  

Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes:

  • (a)

    (ab)c=abc

  • (b)

    abac=abc

  • (c)

    a2b=(ab)2

  • (d)

    (ab)c=ac/2bc/2

  • (e)

    (ab)c=a(bc)

  • (f)

    (ab)c=(ac)b?

Solution

  • (a)

    c) f)

 
Exercice 11  1833  Correction  

Simplifier ab pour a=exp(x2) et b=1xln(x1/x).

Solution

(exp(x2))ln(x1/x)x=x.

 
Exercice 12  1835  Correction  

Comparer

limx0+x(xx)etlimx0+(xx)x.

Solution

Quand x0+

x(xx)=exp(xxln(x))=exp(exp(xln(x))ln(x))0

et

(xx)x=exp(xln(xx))=exp(x2ln(x))1.
 
Exercice 13  1836  Correction  

Déterminer les limites suivantes:

  • (a)

    limx+x1/x

  • (b)

    limx0xx

  • (c)

    limx0+x1/x

Solution

  • (a)

    limx+x1/x=1

  • (b)

    limx0xx=1

  • (c)

    limx0+x1/x=0.

 
Exercice 14  4834  

Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle:

  • (a)

    x=2x-1+2

  • (b)

    xx=xx

  • (c)

    22x+3+52x=52x+1-22x+1

  • (d)

    ex-4e-x=3.

 
Exercice 15  1837  Correction  

Résoudre les équations suivantes:

  • (a)

    ex+e1-x=e+1

  • (b)

    xx=(x)x

  • (c)

    22x-3x-1/2=3x+1/2-22x-1

Solution

  • (a)

    𝒮={0,1}

  • (b)

    𝒮={0,1,4}

  • (c)

    Obtenir 22x-3=3x-3/2 puis 𝒮={3/2}.

 
Exercice 16  3438  

Soit x]0;1[. Justifier

12xx(1-x)1-x
 
Exercice 17  1838   Correction  

Résoudre les systèmes suivants:

  • (a)

    {8x=10y2x=5y

  • (b)

    {exe2y=a2xy=1

Solution

  • (a)

    x=1/2,y=2/5

  • (b)

    Obtenir un système somme/produit en x et 2y puis le résoudre.

 
Exercice 18  3652   Correction  

Résoudre le système

{a+b+c=0ea+eb+ec=3

d’inconnue (a,b,c)3

Solution

Il est clair que le triplet nul est solution de ce système.

Inversement, soit (a,b,c) solution. Posons x=ea, y=eb de sorte que ec=e-(a+b)=1/xy.
On a donc x,y>0 et

x+y+1xy=3.

Pour y>0 fixé, étudions la fonction f:xx+y+1/xy.
Cette fonction est dérivable et admet un minimum strict en x=1/y valant

g(y)=y+2/y.

La fonction g ainsi définie est dérivable et admet un minimum strict en y=1 valant g(1)=3.

On en déduit que si (x,y)(1,1) alors f(x,y)>3 et donc

f(x,y)=3x=y=1.

On peut alors conclure a=b=c=0.

[<] Puissances et exponentielles[>] Formules de trigonométrie

 
Exercice 19  1839  Correction  

Établir que pour tout x+,

sin(x)x

et pour tout x,

cos(x)1-x22.

Solution

Posons f(x)=x-sin(x) définie sur +. La fonction f est dérivable avec f0 et f(0)=0. On en déduit que f est positive.

Posons g(x)=cos(x)-1+x22 définie sur . La fonction g est deux fois dérivable avec g′′0 et g(0)=g(0)=0. En dressant le tableau de variation et de signe de g puis de g, on conclut g positive.

 
Exercice 20  1841  Correction  

Calculer

cos(π8).

Solution

On sait cos(2a)=2cos2(a)-1 donc

2cos2(π8)-1=cos(π4)=22

puis

cos2(π8)=2+24

et enfin

cos(π8)=2+22

car cos(π/8)0.

 
Exercice 21  1842  Correction  

Simplifier

cos(p)-cos(q)sin(p)+sin(q).

En déduire la valeur de

tan(π24).

Solution

Par factorisation

cos(p)-cos(q)sin(p)+sin(q)=-sin(p-q2)cos(p-q2)=-tan(p-q2).

Pour p=π4 et q=π6 on obtient

tan(π24)=32-2222+12=3-22+1.
 
Exercice 22  1844  

Écrire les expressions suivantes sous la forme Acos(x-φ):

  • (a)

    cos(x)+sin(x)

  • (b)

    cos(x)-3sin(x).

 
Exercice 23  1845   Correction  

Soient a,b tels que b0[2π]. Calculer simultanément

k=0ncos(a+kb)etk=0nsin(a+kb).

Solution

En passant aux nombres complexes

k=0ncos(a+kb)+ik=0nsin(a+kb)=k=0nei(a+kb).

Par sommation géométrique puis factorisation de l’exponentielle équilibrée

k=0nei(a+kb)=eiaei(n+1)b-1eib-1=ei(a+nb/2)sin((n+1)b2)sin(b2).

Par suite,

k=0ncos(a+kb)=sin((n+1)b2)sin(b2)cos(a+nb2)

et

k=0nsin(a+kb)=sin((n+1)b2)sin(b2)sin(a+nb2).
 
Exercice 24  4837   

Soient n et x un réel qui n’est pas de la forme 2kπ avec k.

  • (a)

    Exprimer sin(x2)cos(nx) en fonction de sin(2n+12x) et de sin(2n-12x).

  • (b)

    En déduire la valeur de

    Cn=k=0ncos(kx).
  • (c)

    Exprimer de même

    Sn=k=1nsin(kx).
 
Exercice 25  1846   Correction  

Soit x0[2π].

  • (a)

    Montrer

    sin(x)+sin(2x)++sin(nx)=sin((n+1)x2)sin(nx2)sin(x2)

    en procédant par récurrence sur n.

  • (b)

    En exploitant les nombres complexes.

Solution

  • (a)

    L’hérédité de la récurrence s’obtient via

    sin((n+1)x2)sin(nx2) +sin(n+1)xsin(x2)
    =sin((n+1)x2)(sin(nx2)+2cos((n+1)x2)sin(x2))
    sin((n+1)x2)sin((n+2)x2)

    en exploitant

    sin(p)-sin(q)=2sin(p-q2)cos(p+q2)

    avec

    p=(n+2)x2 et q=nx2.
  • (b)

    Par les nombres complexes

    sin(x)+sin(2x)++sin(nx)=Im(k=1neikx)=Im(eix-ei(n+1)x1-eix)

    donc

    sin(x)+sin(2x)++sin(nx)=Im(ei(n+1)x2sin(nx2)sin(x2))=sin((n+1)x2)sin(nx2)sin(x2).
 
Exercice 26  4838   

Soient θ]0;π[ et n. Exprimer à l’aide de la fonction sinus le produit

k=1ncos(θ2k).
 
Exercice 27  2645     MINES (MP)Correction  

Calculer

k=14cos2kπ9.

Solution

En linéarisant et en faisant quelques transformations angulaires de simplification

k=14cos2kπ9=74.

[<] Fonctions trigonométriques[>] Équations trigonométriques

 
Exercice 28  1840  Correction  

Exprimer cos(3a) en fonction de cos(a) et sin(3a) en fonction de sin(a).

Solution

On développe cos(3a)=cos(2a+a) puis on emploie

cos(2a)=2cos2(a)-1,sin(2a)=2sin(a)cos(a)etsin2(a)=1-cos2(a).

On parvient à

cos(3a)=4cos3(a)-3cos(a).

De même, on acquiert

sin(3a)=3sin(a)-4sin3(a).

On peut aussi obtenir ces formules par

e3ia=(cos(a)+isin(a))3.
 
Exercice 29  1843  

Linéariser11 1 Linéariser une expression trigonométrique consiste à transformer celle-ci en une combinaison de cos et de sin où il ne figure plus de produits.:

  • (a)

    cos(x)sin2(x)

  • (b)

    cos2(x)

  • (c)

    cos(a)cos(b).

 
Exercice 30  4825  

Lorsque cela a un sens, exprimer tan(a+b+c) à l’aide de tan(a), tan(b) et tan(c).

 
Exercice 31  4835   

(Formules de l’angle moitié)

Soit x un réel qui n’est pas de la forme (2k+1)π avec k. On pose t=tan(x2). Montrer

cos(x)=1-t21+t2etsin(x)=2t1+t2.
 
Exercice 32  4846    

(Cosinus rationnel d’un multiple rationnel de π)

Soit n un naturel non nul.

  • (a)

    Montrer qu’il existe des entiers a0,a1,,an-1 tels que, pour tout t réel,

    2cos(nt)=20a0+21a1cos(t)++2n-1an-1cosn-1(t)+2ncosn(t).
  • (b)

    En déduire les rationnels r tels que cos(rπ).

[<] Formules de trigonométrie[>] Fonctions trigonométriques réciproques

 
Exercice 33  4826  

Résoudre les équations d’inconnue x réelle qui suivent:

  • (a)

    sin(x)=sin(2x)

  • (b)

    cos(x)=sin(3x)

  • (c)

    cos(x)-sin(x)=1.

 
Exercice 34  1847  Correction  

Résoudre les équations suivantes d’inconnues x.

  • (a)

    cos(2x-π/3)=sin(x+3π/4)

  • (b)

    sin(x)+sin(3x)=0

  • (c)

    3cos(x)-3sin(x)=6

  • (d)

    2sin(x)cos(x)+3cos(2x)=0

Solution

  • (a)

    L’équation étudiée équivaut à

    cos(2x-π/3)=cos(x+π/4).

    On obtient pour solutions

    x=7π12[2π] et x=π36[2π3].
  • (b)

    L’équation étudiée équivaut à

    2sin(2x)cos(x)=0.

    On obtient pour solutions

    x=0[π/2].
  • (c)

    L’équation étudiée équivaut à

    23(32cos(x)-12sin(x))=6

    soit encore

    cos(x+π6)=cos(π4).

    On obtient pour solutions

    x=π12[2π] et x=-5π12[2π].
  • (d)

    L’équation étudiée équivaut à

    2(12sin(2x)+32cos(2x))=0

    soit encore

    sin(2x+π3)=0.

    On obtient pour solutions

    x=π3[π] et x=-π6[π].
 
Exercice 35  4836  

Décrire l’ensemble des solutions x réelles des équations suivantes:

  • (a)

    2cos2(x)-sin(x)=1

  • (b)

    cos4(x)+sin4(x)=1

  • (c)

    sin(x)+sin(2x)+sin(3x)=0

  • (d)

    23cos2(x)-2sin(x)cos(x)=1+3.

 
Exercice 36  1848  Correction  

Résoudre l’équation

tan(x)tan(2x)=1.

d’inconnue x réel convenable.

Solution

Pour xπ2[π] et xπ4[π2],

tan(x)tan(2x)=1 sin(x)sin(2x)-cos(x)cos(2x)=0
cos(3x)=0
x=π6[π3].

[<] Équations trigonométriques[>] Fonctions hyperboliques

 
Exercice 37  4827  

Simplifier:

  • (a)

    arcsin(sin(2π3))

  • (b)

    arccos(cos(6π5))

  • (c)

    arccos(sin(π7)).

 
Exercice 38  4828  

Simplifier les expressions suivantes lorsque celles-ci ont un sens:

  • (a)

    sin(2arccos(x))

  • (b)

    cos(2arcsin(x))

  • (c)

    cos(arctan(x)).

 
Exercice 39  1849  Correction  

Simplifier les expressions suivantes:

  • (a)

    cos(2arccos(x))

  • (b)

    cos(2arcsin(x))

  • (c)

    sin(2arccos(x))

  • (d)

    cos(2arctan(x))

  • (e)

    sin(2arctan(x))

  • (f)

    tan(2arcsin(x))

Solution

  • (a)

    cos(2arccos(x))=2cos2(arccos(x))-1=2x2-1.

  • (b)

    cos(2arcsin(x))=1-2sin2(arcsin)x=1-2x2.

  • (c)

    sin(2arccos(x))=2x1-x2

  • (d)

    cos(2arctan(x))=2cos2(arctan)x-1=21+x2-1=1-x21+x2.

  • (e)

    sin(2arctan(x))=2sin(arctan(x))cos(arctan(x))=2x1+x2.

  • (f)

    tan(2arcsin(x))=2tan(arcsin(x))1-tan2(arcsin(x))=2x1-x21-2x2.

 
Exercice 40  4841   

Simplifier les expressions qui suivent lorsque celles-ci ont un sens:

  • (a)

    arccos(2x2-1)

  • (b)

    arccos(x1+x2).

 
Exercice 41  1851   Correction  

Simplifier

arcsin(x1+x2).

pour x réel convenable.

Solution

La fonction xx1+x2 est dérivable et à valeurs dans ]-1;1[ donc xarcsin(x1+x2) est dérivable et

(arcsin(x1+x2))=1(1+x2)311-x21+x2=11+x2.

On en déduit

arcsin(x1+x2)=arctan(x)+C.

En évaluant en x=0, on obtient C=0.

 
Exercice 42  1850   Correction  

Simplifier

arccos(4x3-3x)

pour x réel convenable.

Solution

f:xarccos(4x3-3x) est définie sur [-1;1].
Pour x[-1;1], posons θ=arccos(x), on a alors f(x)=arccos(4cos3(θ)-3cos(θ))=arccos(cos(3θ)).
Si θ[0;π/3] c’est-à-dire x[1/2;1] alors f(x)=3θ=3arccos(x).
Si θ[π/3;2π/3] c’est-à-dire x[-1/2;1/2] alors f(x)=2π-3θ=2π-3arccos(x).
Si θ[2π/3;π] c’est-à-dire x[-1;-1/2] alors f(x)=3θ-2π=3arccos(x)-2π.

 
Exercice 43  4842   

Étudier les fonctions suivantes afin de les figurer:

  • (a)

    f:tarcsin(sin(t))+arccos(cos(t))

  • (b)

    g:tarccos(1+cos(t)2).

 
Exercice 44  1854   Correction  

Étudier les fonctions suivantes afin de les représenter:

  • (a)

    f:xarcsin(sin(x))+12arccos(cos(2x))

  • (b)

    f:xarctan(1-cos(x)1+cos(x))

Solution

  • (a)

    f est 2π périodique.
    Sur [0;π/2], f(x)=x+x=2x. Sur [π/2;π], f(x)=π-x+π-x=2π-2x.
    Sur [-π/2;0], f(x)=x-x=0. Sur [-π;-π/2], f(x)=-x-π+π+x=0.

  • (b)

    f(x)=arctan(1-cos(x)1+cos(x))=arctan(|tan(x/2)|). f est 2π périodique, paire. Sur [0;π[,f(x)=x/2.

 
Exercice 45  4840   

Simplifier:

  • (a)

    arctan(1/2)+arctan(1/3)

  • (b)

    arctan(2)+arctan(3)+arctan(2+3).

 
Exercice 46  1855   Correction  

Simplifier arcsin(45)+arcsin(513)+arcsin(1665).

Solution

cos(arcsin(45)+arcsin(513))=351213-45513=1665

et

cos(π2-arcsin(1665))=sin(arcsin(1665))=1665.

Or

arcsin(45)+arcsin(513)[0;π2]

et

π2-arcsin(1665)[0;π2]

d’où l’égalité

arcsin(45)+arcsin(513)+arcsin(1665)=π2.
 
Exercice 47  1856   

Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle:

  • (a)

    arctan(x)+arctan(3x)=π2

  • (b)

    arcsin(x)+arcsin(3x)=π2

  • (c)

    arccos(2x)-arccos(x)=π4.

 
Exercice 48  1857   

(Argument principal d’un nombre complexe non nul)

Soit z- un nombre complexe de partie réelle x et de partie imaginaire y.

Vérifier qu’un argument possible de z est

2arctan(yx+x2+y2).
 
Exercice 49  1852  

Montrer que la courbe représentative de la fonction arccos est symétrique par rapport au point de coordonnées (0,π/2).

 
Exercice 50  4839  

Quelle relation11 1 Soulignons que la fonction arctan ne se déduit pas des fonctions arcsin et arccos: arctan(x) n’est pas arcsin(x)arccos(x)! simple relie les fonctions arcsin et arccos?

 
Exercice 51  4829   

On souhaite établir

arctan(x)+arctan(1x)=π2pour tout x>0.
  • (a)

    Montrer l’identité en étudiant la fonction définie par le premier membre.

  • (b)

    Montrer l’identité en calculant la tangente d’un angle bien choisi.

 
Exercice 52  1858   Correction  

Simplifier arctan(a)+arctan(b) pour a,b0.

Solution

On a tan(arctan(a)+arctan(b))=a+b1-ab donc arctan(a)+arctan(b)=arctan(a+b1-ab)[π].
Si ab=1 alors arctan(a)+arctan(b)=π/2.
Si ab<1 alors arctan(a)+arctan(b)=arctan(a+b1-ab).
Si ab>1 alors arctan(a)+arctan(b)=arctan(a+b1-ab)+π.

 
Exercice 53  1859   Correction  

Soit p. Calculer

arctan(p+1)-arctan(p).

Étudier la limite de la suite (Sn) de terme général

Sn=p=0narctan(1p2+p+1).

Solution

Posons θ=arctan(p+1)-arctan(p). Comme 0arctan(p)arctan(p+1)<π/2 on a θ[0;π/2[.
De plus, tan(θ)=1p2+p+1 donc

θ=arctan(1p2+p+1).

Par télescopage Sn=p=0narctan(1p2+p+1)=arctan(n+1)π/2.

 
Exercice 54  2814     MINES (MP)

Soient x1,,x13 des réels. Montrer qu’il existe des indices i et j distincts compris entre 1 et 13 tels que

0xi-xj1+xixj2-3.
 
Exercice 55  1853   Correction  

Déterminer limx0+arccos(1-x)x à l’aide d’un changement de variable judicieux.

Solution

Quand x0+: arccos(1-x)x=y1-cos(y) avec y=arccos(1-x)0+.
Or 1-cos(y)y22 donc arccos(1-x)x=y1-cos(y)2.

 
Exercice 56  4845    

Soit θ]0;π[. On étudie la fonction f de la variable réelle x déterminée par

f(x)=arcsin(2sin(θ)(x-cos(θ))x2-2xcos(θ)+1).
  • (a)

    Justifier que f est définie et continue sur .

  • (b)

    Vérifier que f est dérivable en tout point de excepté en deux points x1 et x2 que l’on précisera. Simplifier l’expression de f(x) pour xx1 et x2.

  • (c)

    Justifier que la représentation de f présente un centre de symétrie.

  • (d)

    En admettant11 1 Ce résultat correspond au théorème de la limite de la dérivée (). que les pentes des demi-tangentes à la courbe représentative de f en x1 et x2 sont déterminées par les limites de f à droite et à gauche en ces points, donner l’allure de la courbe représentative de f.

[<] Fonctions trigonométriques réciproques

 
Exercice 57  4830  

Montrer les inégalités suivantes:

  • (a)

    sh(x)x pour tout x0

  • (b)

    ch(x)1+12x2 pour tout x.

 
Exercice 58  1869  Correction  

Établir

x,|arctan(sh(x))|=arccos(1ch(x)).

Solution

Soit f:+ définie par

f(x)=arctan(sh(x))-arccos(1ch(x)).

La fonction f est continue sur + et dérivable sur ]0;+[ avec, pour x>0,

f(x)=ch(x)1+sh2(x)-sh(x)ch2(x)ch(x)ch2(x)-1=1ch(x)-sh(x)ch(x)1sh(x)=0.

La fonction f est donc constante sur ]0;+[ puis sur + par continuité.

Puisque f(0)=0, on conclut

x+,|arctan(sh(x))|=arccos(1ch(x)).

Par parité, le résultat se prolonge aussi à x-.

 
Exercice 59  1863   

Soient n et t. Exprimer

Cn=k=0n(nk)ch(kt)etSn=k=0n(nk)sh(kt)

en fonction de ch(t2), ch(nt2) et sh(nt2).

 
Exercice 60  4843  
  • (a)

    Vérifier que sh(2a)=2sh(a)ch(a) pour tout a réel.

  • (b)

    Soient x et n. Exprimer à l’aide de la fonction sinus hyperbolique le produit

    k=1nch(x2k).
 
Exercice 61  1865   Correction  

Pour n et x+*, observer

th((n+1)x)-th(nx)=sh(x)ch(nx)ch((n+1)x).

Calculer

Sn(x)=k=0n1ch(kx)ch((k+1)x).

Solution

Après quelques calculs

th((n+1)x)-th(nx)=sh(x)ch(nx)ch((n+1)x).

Par télescopage

Sn(x)=k=0n1ch(kx)ch((k+1)x)=th((n+1)x)sh(x).
 
Exercice 62  1866   Correction  

Soient a et α deux réels.
Résoudre le système d’inconnues x et y

{ch(x)+ch(y)=2ach(α)sh(x)+sh(y)=2ash(α).

Solution

Si a<1 alors 𝒮=.
Si a=1 alors 𝒮={(α,α)}.
Si a>1 alors en faisant apparaître un système somme produit:

𝒮={(ln(a-a2-1)+α,ln(a+a2-1)+α),(ln(a+a2-1)+α,ln(a-a2-1)+α)}.
 
Exercice 63  4832   

(Fonction argument tangente hyperbolique)

  • (a)

    Montrer que la fonction xth(x) réalise une bijection de vers un intervalle I à préciser.

On note argth sa bijection réciproque appelée argument tangente hyperbolique.

  • (b)

    Montrer que la fonction argth est dérivable sur I et exprimer sa dérivée.

  • (c)

    En étudiant l’équation y=th(x) d’inconnue x réelle, exprimer argth(t) à l’aide des fonctions usuelles. Retrouver l’expression de sa dérivée.

 
Exercice 64  1862   Correction  

Pour y]-π2;π2[, on pose x=ln(tan(y2+π4)).

Montrer

th(x2)=tan(y2),th(x)=sin(y)etch(x)=1cos(y).

Solution

th(x2) =ex-1ex+1=tan(y2+π4)-1tan(y2+π4)+1=sin(y2+π4)-cos(y2+π4)sin(y2+π4)+cos(y2+π4)
=sin(π4+y2)-sin(π4-y2)sin(π4+y2)+sin(π4-y2)=sin(y2)cos(π4)cos(y2)sin(π4)=tan(y2).
th(x) =tan2(y2+π4)-1tan2(y2+π4)+1=sin2(y2+π4)-cos2(y2+π4)
=-cos(y+π2)=sin(y).
ch(x) =tan(y2+π4)+tan-1(y2+π4)2=sin2(y2+π4)+cos2(y2+π4)2sin(y2+π4)cos(y2+π4)
=1sin(y+π2)=1cos(y).
 
Exercice 65  4844    

Pour x réel, on pose t=arctan(sh(x)).

  • (a)

    Exprimer cos(t) et sin(t) en fonction de ch(x) et sh(x).

  • (b)

    Vérifier

    x=ln(tan(t2+π4)).


Édité le 08-11-2019

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