Exercice 1 4922

Étudier la monotonie de la suite $(u_{n})$ dans chacun des cas suivants:

(a)

$u_{n} = 2^{n} \sin (\frac{θ}{2^{n}})$ avec $θ \in [0; 2 π]$
(b)

$u_{n + 1} = e^{u_{n}} - 1$ et $u_{0} \in ℝ$
(c)

$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}$ avec $n \geq 1$
(d)

$u_{n} = \prod_{k = 1}^{n} (1 - \frac{1}{2 k^{2}})$ avec $n \geq 1$ .

Exercice 2 2066 Correction

Montrer que la suite de terme général $u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}$ est strictement croissante.

Solution

En étant attentif à l’expression de la somme associée à $u_{n + 1}$ , on a

	$u_{n + 1} - u_{n}$	$= \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{n + 1 + k} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}$
		$= \frac{1}{2 n + 2} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2} > 0 .$

Exercice 3 4926

Donner dans chaque cas un exemple de suite $(u_{n})$ :

(a)

ni minorée, ni majorée;
(b)

minorée, non majorée et qui ne tend pas vers $+ \infty$ ;
(c)

positive qui tend vers $0$ sans être décroissante.

[<] Étude de suites numériques[>] Limite par opérations

Exercice 4 5270

(a)

Soit $(u_{n})$ une suite réelle convergeant vers $ℓ > 0$ . Montrer que les termes de la suite $(u_{n})$ sont strictement positifs à partir d’un certain rang.
(b)

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles convergeant vers $ℓ$ et $ℓ^{'}$ avec $ℓ < ℓ^{'}$ . Montrer que $u_{n}$ est strictement inférieur à $v_{n}$ à partir d’un certain rang.

Exercice 5 2248

Soit $(u_{n})$ une suite dont les termes sont tous entiers.

Montrer que $(u_{n})$ converge si, et seulement si, $(u_{n})$ est stationnaire.

Exercice 6 4939

Soit $(u_{n})$ une suite dont les termes sont deux à deux distincts et appartiennent à $ℕ$ . Étudier son éventuelle limite.

Exercice 7 4932

(Lemme de Cesàro)

Soient ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ une suite réelle et ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ la suite des moyennes

v_{n} = \frac{u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}}{n} pour tout n \geq 1 .

On suppose que ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ converge vers un réel $ℓ$ , montrer que ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ converge aussi vers $ℓ$ .

Exercice 8 3184 CENTRALE (PC)Correction

Soient $K$ un réel strictement supérieur à 1 et $(ε_{n})$ une suite de réels positifs convergeant vers 0. Soit $(u_{n})$ une suite de réels de $[0; 1]$ vérifiant

\forall n \in ℕ, 0 \leq u_{n + 1} \leq \frac{u_{n} + ε_{n}}{K} .

La suite $(u_{n})$ converge-t-elle vers 0?

Solution

Montrons que la suite $(u_{n})$ converge vers 0 par l’epsilontique…
Soit $ε > 0$ . Puisque la suite $(ε_{n})$ converge vers 0, il existe un rang $N \in ℕ$ pour lequel

\forall n \geq N, 0 \leq ε_{n} \leq ε

et alors pour tout $n \geq N$

0 \leq u_{n + 1} \leq \frac{u_{n} + ε}{K} .

On en déduit

0 \leq u_{n + 2} \leq \frac{u_{n}}{K^{2}} + \frac{ε}{K^{2}} + \frac{ε}{K}

et par récurrence

\forall p \in ℕ, 0 \leq u_{n + p} \leq \frac{u_{n}}{K^{p}} + \sum_{i = 1}^{p} \frac{ε}{K^{i}} .

La suite $(u_{n})$ est majorée par 1 et l’on peut encore écrire

\forall p \in ℕ, 0 \leq u_{n + p} \leq \frac{1}{K^{p}} + \frac{ε}{K} \frac{1 - {(1 / K)}^{p}}{1 - 1 / K} \leq \frac{1}{K^{p}} + \frac{ε}{K - 1} .

Pour $p$ assez grand, on a $1 / K^{p} \leq ε$ et alors

0 \leq u_{n + p} \leq ε + \frac{ε}{K - 1} = λ ε

avec $λ$ une constante strictement positive ce qui permet de conclure.

[<] Définition quantifiée des limites[>] Limite par encadrement

Exercice 9 4925

Soient $u$ et $v$ deux suites réelles.

(a)

On suppose que les suites $u$ et $u + v$ convergent. Montrer que la suite $v$ converge.
(b)

On suppose que les suites $u$ et $u v$ convergent. Peut-on affirmer la convergence de la suite $v$ ?

Exercice 10 2250 Correction

Soit $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles telles que $(u_{n} + v_{n}) et (u_{n} - v_{n})$ convergent.
Montrer que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent.

Solution

Supposons $u_{n} + v_{n} \to ℓ$ et $u_{n} - v_{n} \to ℓ^{'}$ .
$u_{n} = \frac{1}{2} (u_{n} + v_{n}) + \frac{1}{2} (u_{n} - v_{n}) \to \frac{ℓ + ℓ^{'}}{2}$ et de même $v_{n} \to \frac{ℓ - ℓ^{'}}{2}$ .

Exercice 11 5022

Soit $(u_{n})$ une suite de réels strictement positifs. On suppose

u_{n} + \frac{1}{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 2 .

Étudier la limite de $(u_{n})$ .

Exercice 12 3196 ENTPE (MP)Correction

Étudier la convergence de deux suites réelles $(u_{n})$ et $(v_{n})$ vérifiant

lim_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n}) = 0 et lim_{n \to + \infty} (e^{u_{n}} + e^{v_{n}}) = 2 .

Solution

Exploitons

S_{n} = e^{u_{n}} + e^{v_{n}} \to 2 et P_{n} = e^{u_{n}} . e^{v_{n}} = e^{u_{n} + v_{n}} \to 1 .

Les nombres $e^{u_{n}}$ et $e^{v_{n}}$ sont solutions de l’équation

(X - e^{u_{n}}) (X - e^{v_{n}}) = 0 c’est-à-dire X^{2} - S_{n} X + P_{n} = 0 .

À l’ordre près, on peut exprimer $e^{u_{n}}$ et $e^{v_{n}}$ à partir du discriminant de cette équation. Or $S_{n} \to 2$ et $P_{n} \to 1$ , le discriminant tend alors vers 0 et les deux suites tendent vers 1. On en déduit $u_{n} \to 0$ puis $v_{n} \to 0$ .

[<] Limite par opérations[>] Calcul de limites

Exercice 13 4924

Étudier la convergence du produit d’une suite bornée par une suite de limite nulle.

Exercice 14 2253 Correction

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites telles que

0 \leq u_{n} \leq 1, 0 \leq v_{n} \leq 1 et u_{n} v_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 1 .

Que dire de ces suites?

Solution

On a

u_{n} v_{n} \leq u_{n}, v_{n} \leq 1 .

Par le théorème d’encadrement on obtient

lim u_{n} = lim v_{n} = 1 .

Exercice 15 2249 Correction

Soient $(a, b) \in ℝ^{2}$ , $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites telles que

{\begin{matrix} n \in ℕ, u_{n} \leq a et v_{n} \leq b \\ u_{n} + v_{n} \to_{n \to + \infty}^{} a + b . \end{matrix}

Montrer que $(u_{n})$ tend vers $a$ et $(v_{n})$ vers $b$ .

Solution

On a l’encadrement

0 \leq a - u_{n} \leq (a - u_{n}) + (b - v_{n}) = (a + b) - (u_{n} + v_{n}) \to_{n \to + \infty}^{} 0

donc $(u_{n})$ tend vers $a$ puis

v_{n} = (u_{n} + v_{n}) - u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} (a + b) - a = b .

Exercice 16 2251 Correction

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites convergentes. Étudier

lim_{n \to + \infty} \max (u_{n}, v_{n}) .

Solution

On a

\max (a, b) = \frac{1}{2} ((a + b) + | a - b |)

donc

\max (u_{n}, v_{n}) = \frac{1}{2} ((u_{n} + v_{n}) + | u_{n} - v_{n} |) \to_{n \to + \infty}^{} \max (lim u_{n}, lim v_{n}) .

Exercice 17 2252 Correction

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles telles que

u_{n}^{2} + u_{n} v_{n} + v_{n}^{2} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Démontrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent vers $0$ .

Solution

On a

0 \leq {(u_{n} + v_{n})}^{2} = u_{n}^{2} + 2 u_{n} v_{n} + v_{n}^{2} \leq 2 (u_{n}^{2} + u_{n} v_{n} + v_{n}^{2}) \to 0 .

Ainsi $u_{n} + v_{n} \to 0$ puis

u_{n} v_{n} = {(u_{n} + v_{n})}^{2} - (u_{n}^{2} + u_{n} v_{n} + v_{n}^{2}) \to 0

et donc

u_{n}^{2} + v_{n}^{2} = 2 (u_{n}^{2} + u_{n} v_{n} + v_{n}^{2}) - {(u_{n} + v_{n})}^{2} \to 0

qui permet de conclure $u_{n} \to 0$ et $v_{n} \to 0$ .

Exercice 18 3497 Correction

Soit $(u_{n})$ une suite de réels non nuls vérifiant

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Déterminer la limite de $(u_{n})$ .

Solution

Puisque $| u_{n + 1} / u_{n} | \to 0 < 1 / 2$ , il existe un rang $N \in ℕ$ vérifiant

\forall n \geq N, | u_{n + 1} / u_{n} | \leq 1 / 2

c’est-à-dire

\forall n \geq N, | u_{n + 1} | \leq \frac{1}{2} | u_{n} | .

On a alors par récurrence

\forall n \geq N, | u_{n} | \leq \frac{1}{2^{n - N}} | u_{N} |

et donc, par comparaison,

u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Exercice 19 2260 Correction

Soit ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite de réels strictement positifs. On suppose

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} ℓ .

(a)

Montrer que si $ℓ < 1$ alors $u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0$ .
(b)

Montrer que si $ℓ > 1$ alors $u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty$ .
(c)

Observer que dans le cas $ℓ = 1$ on ne peut rien conclure.

Solution

(a)

Soit $ρ = \frac{ℓ + 1}{2}$ de sorte que $ℓ < ρ < 1$ .

Comme

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} ℓ < ρ,$

il existe un rang $N$ au delà duquel

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \leq ρ .$

On a alors

$0 \leq u_{n} = \frac{u_{n}}{u_{n - 1}} \frac{u_{n - 1}}{u_{n - 2}} \dots \frac{u_{N + 1}}{u_{N}} u_{N} \leq ρ^{n - N} u_{N} \to_{n \to + \infty}^{} 0$

Par encadrement, la suite $(u_{n})$ est de limite nulle.

On peut aussi raisonner en observant que la suite $(u_{n})$ est décroissante à partir d’un certain rang, donc convergente et que sa seule limite possible est nulle.
(b)

Même démarche mais par minoration ou par croissance.
(c)

$u_{n} = n$ , $u_{n} = 1$ et $u_{n} = 1 / n$ sont des exemples prouvant que l’on ne peut rien dire.

Exercice 20 2259

Soit $(u_{n})$ une suite de réels strictement positifs. On suppose

\sqrt[n]{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} ℓ .

(a)

Montrer que $(u_{n})$ tend vers $0$ lorsque $ℓ < 1$ .
(b)

Montrer que $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ lorsque $ℓ > 1$ .
(c)

Observer que, dans le cas $ℓ = 1$ , on ne peut rien conclure.

Exercice 21 2781 MINES (MP)Correction

Étudier la convergence de la suite $({⌊ a^{n} ⌋}^{1 / n})$ , où $a > 0$ .

Solution

Si $a \in] 0; 1 [$ , la suite est constante égale à 0.
Si $a = 1$ , la suite est constante égale à 1.
Si $a > 1$ alors $a^{n} - 1 < ⌊ a^{n} ⌋ \leq a^{n}$ donne ${(a^{n} - 1)}^{1 / n} < {⌊ a^{n} ⌋}^{1 / n} \leq a$ et donc, par encadrement, la suite converge vers $a$ .

[<] Limite par encadrement[>] Limites des suites monotones

Exercice 22 4928

Étudier¹¹ 1 Étudier une limite consiste à savoir si celle-ci existe (ce qui n’est pas automatique) et déterminer sa valeur si tel est le cas. les limites suivantes:

(a)

${lim}_{n \to + \infty} e^{n} - n$
(b)

${lim}_{n \to + \infty} \frac{n^{3} + n + 1}{2 n^{2} + 1}$
(c)

${lim}_{n \to + \infty} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$
(d)

${lim}_{n \to + \infty} n^{1 / n}$
(e)

${lim}_{n \to + \infty} {(2 + \cos (n))}^{1 / n}$
(f)

${lim}_{n \to + \infty} \frac{(2 n)!}{{(n!)}^{2}}$
(g)

$lim_{n \to + \infty} \frac{e^{i n θ}}{n}$ avec $θ \in ℝ$ .

Exercice 23 2254 Correction

Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites $(u_{n})$ suivantes:

(a)

$u_{n} = \frac{3^{n} - {(- 2)}^{n}}{3^{n} + {(- 2)}^{n}}$
(b)

$u_{n} = \sqrt{n^{2} + n + 1} - \sqrt{n^{2} - n + 1}$
(c)

$u_{n} = \frac{n - \sqrt{n^{2} + 1}}{n + \sqrt{n^{2} - 1}}$
(d)

$u_{n} = \frac{1}{n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} k$

Solution

(a)

$u_{n} = \frac{1 - {(- 2 / 3)}^{n}}{1 + {(- 2 / 3)}^{n}} \to 1 .$
(b)

$u_{n} = \frac{2 n}{\sqrt{n^{2} + n + 1} + \sqrt{n^{2} - n + 1}} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}} \to 1 .$
(c)

$u_{n} = \frac{1 - \sqrt{1 + 1 / n^{2}}}{1 + \sqrt{1 - 1 / n^{2}}} \to 0 .$
(d)

$u_{n} = \frac{(n + 1)}{2 n} \to \frac{1}{2} .$

Exercice 24 2255 Correction

Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants:

(a)

$u_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$
(b)

$u_{n} = \sqrt[n]{n^{2}}$
(c)

$u_{n} = {(\sin (\frac{1}{n}))}^{1 / n}$
(d)

$u_{n} = {(\frac{n - 1}{n + 1})}^{n}$

Solution

(a)

$u_{n} = e^{n (\ln (1 + 1 / n))}$ or

$n \ln (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{1 / n} \ln (1 + \frac{1}{n}) \to_{n \to + \infty}^{} 1$

car $\frac{\ln (1 + x)}{x} \to_{x \to 0}^{} 1$ . Par suite, $u_{n} \to e$ .
(b)

$u_{n} = e^{\frac{2}{n} \ln (n)} \to_{n \to + \infty}^{} 1$

car

$\frac{\ln (n)}{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$
(c)

${(\sin (\frac{1}{n}))}^{1 / n} = e^{\frac{1}{n} \ln (\sin (\frac{1}{n}))}$

or

$\frac{1}{n} \ln (\sin (\frac{1}{n})) \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n} \ln (\frac{1}{n}) \to_{n \to + \infty}^{} 0$

donc ${(\sin (\frac{1}{n}))}^{1 / n} \to_{n \to + \infty}^{} 1$ .
(d)

${(\frac{n - 1}{n + 1})}^{n} = e^{n \ln (1 - \frac{2}{n + 1})}$

or

$n \ln (1 - \frac{2}{n + 1}) \underset{n \to + \infty}{\sim} - 2 \to_{n \to + \infty}^{} - 2$

donc

${(\frac{n - 1}{n + 1})}^{n} \to_{n \to + \infty}^{} e^{- 2} .$

Exercice 25 2256 Correction

Déterminer par comparaison, la limite des suites $(u_{n})$ suivantes:

(a)

$u_{n} = \frac{\sin (n)}{n + {(- 1)}^{n + 1}}$
(b)

$u_{n} = \frac{n!}{n^{n}}$
(c)

$u_{n} = \frac{n - {(- 1)}^{n}}{n + {(- 1)}^{n}}$
(d)

$u_{n} = \frac{e^{n}}{n^{n}}$
(e)

$u_{n} = \sqrt[n]{2 + {(- 1)}^{n}}$

Solution

(a)

$| u_{n} | \leq \frac{1}{n - 1} \to 0$ donc $u_{n} \to 0$ .
(b)

$0 \leq u_{n} \leq \frac{1.2 \dots n}{n . n \dots n} \leq \frac{1}{n} \to 0$ donc $u_{n} \to 0$ .
(c)

$\frac{n - 1}{n + 1} \leq u_{n} \leq \frac{n + 1}{n - 1}$ avec $\frac{n - 1}{n + 1}, \frac{n + 1}{n - 1} \to 1$ donc $u_{n} \to 1$ .
(d)

Pour $n \geq 3$ , $0 \leq u_{n} \leq {(\frac{e}{3})}^{n} \to 0$ donc $u_{n} \to 0$ .
(e)

$1 \leq u_{n} \leq \sqrt[n]{3} = e^{\frac{1}{n} \ln (3)} \to 1$ donc $u_{n} \to 1$ .

Exercice 26 298 Correction

Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants:

(a)

$u_{n} = \sqrt[n]{n}$
(b)

$u_{n} = {(1 + \frac{x}{n})}^{n}$
(c)

$u_{n} = {(\frac{n - 1}{n + 1})}^{n + 2}$
(d)

$u_{n} = n^{2} (\cos (\frac{1}{n}) - \cos (\frac{1}{n + 1}))$
(e)

$u_{n} = {(\tan (\frac{π}{4} + \frac{α}{n}))}^{n}$
(f)

$u_{n} = {(\frac{\ln (n + 1)}{\ln (n)})}^{n \ln (n)}$
(g)

$u_{n} = {(\frac{\sqrt[n]{2} + \sqrt[n]{3} + \sqrt[n]{4}}{3})}^{n}$
(h)

$u_{n} = {(\frac{\arctan (n + 1)}{\arctan (n)})}^{n^{2}}$

Solution

(a)

$u_{n} = \exp (\ln (n) / n) \to 1$ .
(b)

$u_{n} = \exp (n \ln (1 + \frac{x}{n})) = \exp (x + o (1)) \to e^{x} .$
(c)

$u_{n} = \exp ((n + 2) \ln (1 - \frac{2}{n + 1})) = \exp (- 2 + o (1)) \to e^{- 2} .$
(d)

$u_{n} = - 2 n^{2} \sin ((\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}) / 2) \sin ((\frac{1}{n} - \frac{1}{n - 1}) / 2) = O (\frac{1}{n}) \to 0 .$
(e)

$\tan (\frac{π}{4} + \frac{α}{n}) = 1 + \frac{2 α}{n} + o (\frac{1}{n})$

donc

$u_{n} = \exp (n \ln (1 + \frac{2 α}{n} + o (\frac{1}{n}))) = \exp (2 α + o (1)) \to e^{2 α} .$
(f)

$u_{n} = {(1 + \frac{1}{n \ln (n)} + o (\frac{1}{n \ln (n)}))}^{n \ln (n)} \to e .$
(g)

$\sqrt[n]{2} = \exp (\frac{1}{n} \ln (2)) = 1 + \frac{1}{n} \ln (2) + o (1) .$

$u_{n} = {(1 + \frac{\ln (24)}{3 n} + o (\frac{1}{n}))}^{n} \to \sqrt[3]{24} .$
(h)

Par le théorème des accroissements finis

$\ln (\arctan (n + 1)) - \ln (\arctan (n)) = \frac{1}{1 + c^{2}} \frac{1}{\arctan (c)}$

avec $n \leq c \leq n + 1$ donc

$u_{n} = \exp (n^{2} \frac{1}{1 + c^{2}} \frac{1}{\arctan (c)}) \to e^{2 / π} .$

Exercice 27 4927

Soit $θ \in] 0; 2 π [$ . Montrer la divergence des suites de termes généraux $u_{n}$ avec:

(a)

$u_{n} = {(- 1)}^{n}$
(b)

$u_{n} = \cos (n θ)$
(c)

$u_{n} = e^{i n θ}$ .

Exercice 28 2258 Correction

Comparer

lim_{m \to + \infty} lim_{n \to + \infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{m}, lim_{n \to + \infty} lim_{m \to + \infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{m} et lim_{n \to + \infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{n} .

Solution

${lim}_{n \to + \infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{m} = 1^{m}$ et ${lim}_{m \to + \infty} {lim}_{n \to + \infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{m} = 1$ .
${lim}_{m \to + \infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{m} = 0$ et ${lim}_{n \to + \infty} {lim}_{m \to + \infty} {(1 - \frac{1}{n})}^{m} = 0$ .
${(1 - \frac{1}{n})}^{n} = e^{n \ln (1 - \frac{1}{n})} \to e^{- 1}$ .

Exercice 29 4929

Étudier les limites quand $n$ croît vers l’infini des termes suivants:

(a)

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + \sqrt{k}}$
(b)

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n + k}}$
(c)

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{\sin (k)}{{(n + k)}^{2}}$ .

Exercice 30 2257 Correction

Déterminer les limites des sommes suivantes:

(a)

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k}$
(b)

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}$
(c)

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n^{2} + k^{2}}$
(d)

$S_{n} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k^{2}}$
(e)

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n^{2} + k}$
(f)

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}$
(g)

$S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{n - k} k!$

Solution

(a)

$S_{n} \geq \sum_{k = 1}^{n} 1 = n \to + \infty$
(b)

$S_{n} \geq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} \to + \infty$ .
(c)

$0 \leq S_{n} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n^{2} + 1} = \frac{n}{n^{2} + 1} \to 0$ donc $u_{n} \to 0$ .
(d)

$0 \leq S_{n} \leq \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \leq \frac{n}{{(n + 1)}^{2}} \to 0$ .
(e)

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n^{2} + n} \leq S_{n} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n^{2} + 1}$ donc $\frac{n}{n + 1} \leq S_{n} \leq \frac{n^{2}}{n^{2} + 1}$ puis $u_{n} \to 1$ .
(f)

$\frac{n}{\sqrt{n^{2} + n}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}} \leq S_{n} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} = \frac{n}{\sqrt{n^{2} + 1}}$ par le théorème des gendarmes: $S_{n} \to 1$ .
(g)

$S_{n} = n! - (n - 1)! + (n - 2)! + \dots + {(- 1)}^{n}$ . Par regroupement de termes.
Si $n$ est pair alors $S_{n} \geq n! - (n - 1)!$ et si $n$ est impair $S_{n} \geq n! - (n - 1)! - 1$ .
Puisque

$n! - (n - 1)! = (n - 1) \cdot (n - 1)! \to_{n \to + \infty}^{} + \infty,$

on a $S_{n} \to + \infty$ .

Exercice 31 320 Correction

Soient $α > 0$ et

u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n^{α} + k^{α}} .

(a)

Montrer que si $α > 1$ alors $u_{n} \to 0$ tandis que si $α < 1$ , $u_{n} \to + \infty$ .
(b)

Montrer que si $α = 1$ , la suite est monotone et convergente.
(c)

Toujours dans le cas $α = 1$ et en exploitant l’encadrement $\ln (1 + x) \leq x \leq - \ln (1 - x)$ valable pour tout $x \in [0; 1 [$ , établir $u_{n} \to \ln (2)$ .

Solution

(a)

Si $α > 1$ alors $0 \leq u_{n} \leq \frac{n}{n^{α} + 1} \to 0$ donc $u_{n} \to 0$ .
Si $α < 1$ alors $u_{n} \geq \frac{n}{n^{α} + n^{α}} = \frac{1}{2} n^{1 - α} \to + \infty$ donc $u_{n} \to + \infty$ .
(b)

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2 n + 1} + \frac{1}{2 n + 2} - \frac{1}{n + 1} > 0$ donc $(u_{n})$ est croissante. De plus, $u_{n} \leq \frac{n}{n + 1} \leq 1$ donc $(u_{n})$ est majorée et par conséquent convergente.
(c)

$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k} \leq - \ln (\prod_{k = 1}^{n} (1 - \frac{1}{n + k})) = - \ln (\frac{n}{2 n}) = \ln (2)$

et

$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k} \geq \ln (\prod_{k = 1}^{n} (1 + \frac{1}{n + k})) = \ln (\frac{2 n + 1}{n + 1}) \to_{n \to + \infty}^{} \ln (2)$

donc

$u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} \ln (2) .$

Exercice 32 319 CENTRALE (MP)Correction

(a)

Soit

$u_{n} = \sum_{k = 1}^{n p} \frac{1}{n + k}$

où $p \in ℕ^{*}$ est fixé. Montrer que la suite $(u_{n})$ converge. Sa limite sera notée $ℓ$ (on ne demande pas ici de la calculer)
(b)

Soit $f : ℝ_{+} \to ℂ$ de classe $𝒞^{1}$ et telle que $f (0) = 0$ . Soit

$v_{n} = \sum_{k = 1}^{n p} f (\frac{1}{n + k}) .$

Montrer que $(v_{n})$ converge. Exprimer sa limite en fonction de $ℓ$ .
(c)

Calculer $ℓ$ en utilisant $f (x) = \ln (1 + x)$ .
(d)

Si $f$ de $ℝ_{+}$ dans $ℂ$ est continue et vérifie $f (0) = 0$ , montrer qu’il peut y avoir divergence de la suite $(v_{n})$ .

Solution

(a)

La suite $(u_{n})$ est croissante car

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n (p + 1) + 1} + \dots + \frac{1}{(n + 1) (p + 1)} - \frac{1}{n + 1} \geq 0$

et $u_{n} \leq \frac{n p}{n + 1} \leq p$ donc $(u_{n})$ converge vers une limite $ℓ$ .
(b)

Commençons par le cas où $f^{'} (0) = 0$ .
Soit $ε > 0$ , il existe $α > 0$ tel que pour tout $x \in [0; α]$ on ait $| f^{'} (x) | \leq ε$ et par l’inégalité des accroissements finis, on obtient

$\forall x \in [0; α], | f (x) | \leq ε | x | .$

On a alors

$| v_{n} | = \sum_{k = 1}^{n p} \frac{ε}{n + k} \leq p ε$

et donc $v_{n} \to 0$ .
Pour le cas général, il suffit d’introduire $g (x) = f (x) - x f^{'} (0)$ . Puisque $g^{'} (0) = 0$ , on a

$\sum_{k = 1}^{n p} g (\frac{1}{n + k}) \to_{n \to + \infty}^{} 0$

et donc

$v_{n} - u_{n} f^{'} (0) \to_{n \to + \infty}^{} 0$

et finalement $v_{n} \to ℓ f^{'} (0)$ .
(c)

Pour $f (x) = \ln (1 + x)$ ,

$v_{n} = \sum_{k = 1}^{n p} \ln (n + k + 1) - \ln (n + k) = \ln (n (p + 1) + 1) - \ln (n + 1) \to \ln (p + 1) .$

On conclut $ℓ = \ln (p + 1)$ .
(d)

Pour $f (x) = \sqrt{x}$ ,

$v_{n} = \sum_{k = 1}^{n p} \frac{1}{\sqrt{n + k}} \geq \frac{n p}{\sqrt{(n + 1) p}} \to + \infty .$

Exercice 33 2261 Correction

Pour tout $n \in ℕ$ , on pose

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k} et S_{n}^{'} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k} .

(a)

Établir que pour tout $p > 1$ ,

$\int_{p}^{p + 1} \frac{d x}{x} \leq \frac{1}{p} \leq \int_{p - 1}^{p} \frac{d x}{x} .$

En déduire la limite de $(S_{n})$ .
(b)

Établir que $S_{2 n}^{'} = S_{n}$ . En déduire la limite de $(S_{n}^{'})$ .

Solution

(a)

On a

$\int_{p}^{p + 1} \frac{d x}{x} \leq \int_{p}^{p + 1} \frac{d x}{p} = \frac{1}{p}$

car la fonction décroissante $x \mapsto \frac{1}{x}$ est majorée par $\frac{1}{p}$ sur $[p; p + 1]$ .
Par un argument semblable

$\int_{p - 1}^{p} \frac{d x}{x} \geq \int_{p - 1}^{p} \frac{d x}{p} = \frac{1}{p} .$

Pour $n \geq 1$ ,

$\int_{n + k}^{n + k + 1} \frac{d x}{x} \leq \frac{1}{n + k} \leq \int_{n + k - 1}^{n + k} \frac{d x}{x}$

donne en sommant

$\int_{n + 1}^{2 n + 1} \frac{d x}{x} \leq S_{n} \leq \int_{n}^{2 n} \frac{d x}{x} .$

Or

$\int_{n + 1}^{2 n + 1} \frac{d x}{x} = \ln (\frac{2 n + 1}{n + 1}) \to_{n \to + \infty}^{} \ln (2)$

et

$\int_{n}^{2 n} \frac{d x}{x} = \ln (2)$

donc $S_{n} \to \ln (2)$ .
(b)

On a

$S_{2 n}^{'} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n} = (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 n}) - 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 n})$

donc

$S_{2 n}^{'} = \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{1}{k} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k} = S_{n} .$

Par suite, $S_{2 n}^{'} \to \ln (2)$ . De plus,

$S_{2 n + 1}^{'} = S_{2 n} + \frac{1}{2 n + 1} \to_{n \to + \infty}^{} \ln (2)$

donc

$S_{n}^{'} \to_{n \to + \infty}^{} \ln (2) .$

Exercice 34 2263 Correction

Déterminer la limite de

u_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{- 1} .

Solution

On a

u_{n} = 1 + \frac{1}{n} + \sum_{k = 2}^{n - 2} {(\binom{n}{k})}^{- 1} + \frac{1}{n} + 1 .

Or pour $k \in {2, \dots, n - 2}$ ,

(\binom{n}{k}) \geq (\binom{n}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2}

donc

0 \leq \sum_{k = 2}^{n - 2} {(\binom{n}{k})}^{- 1} \leq \frac{2 (n - 3)}{n (n - 1)} \to_{n \to + \infty}^{} 0

puis $u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 2$ .

Exercice 35 2264 Correction

Soit $p \in ℕ ∖ {0,1}$ . Pour $n \in ℕ^{*}$ on pose

u_{n} = {(\binom{n + p}{n})}^{- 1} et S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} .

(a)

Montrer que

$\forall n \in ℕ, (n + p + 2) u_{n + 2} = (n + 2) u_{n + 1} .$
(b)

Montrer par récurrence

$S_{n} = \frac{1}{p - 1} (1 - (n + p + 1) u_{n + 1}) .$
(c)

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on pose $v_{n} = (n + p) u_{n}$ . Montrer que $(v_{n})$ converge vers $0$ .
(d)

En déduire la limite de $(S_{n})$ en fonction de $p$ .

Solution

(a)

$(\binom{n + p + 2}{n + 2}) = \frac{n + p + 2}{n + 2} (\binom{n + p + 1}{n + 1})$

d’où la relation.
(b)

Par récurrence sur $n \in ℕ$ :
Pour $n = 1$ :

$S_{1} = \frac{1}{(\binom{p + 1}{1})} et \frac{1}{p - 1} (1 - (p + 2) \frac{2}{(p + 2) (p + 1)}) = \frac{1}{p + 1}$

ok
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 1$ .

$S_{n + 1} = S_{n} + u_{n + 1} \underset{H R}{=} \frac{1}{p - 1} (1 - (n + p + 1) u_{n + 1}) + u_{n + 1} = \frac{1}{p - 1} (1 - (n + 2) u_{n + 1}) = \frac{1}{p - 1} (1 - (n + p + 2) u_{n + 2}) .$

Récurrence établie.
(c)

$0 \leq v_{n} = \frac{n + p}{(\binom{n + p}{n})} = \frac{n! p!}{(n + p - 1)!} \leq \frac{p!}{n + 1} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$
(d)

Par opérations

$S_{n} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{p - 1} .$

Exercice 36 3039 X (MP)Correction

Soit $z \in ℂ$ avec $| z | < 1$ . Existence et calcul de

lim_{n \to + \infty} \prod_{k = 0}^{n} (1 + z^{2^{k}}) .

Solution

On a

(1 - z) \prod_{k = 0}^{n} (1 + z^{2^{k}}) = (1 - z) (1 + z) (1 + z^{2}) \dots (1 + z^{2^{n}}) .

Or $(1 - z) (1 + z) = 1 - z^{2}$ donc

(1 - z) \prod_{k = 0}^{n} (1 + z^{2^{k}}) = (1 - z^{2}) (1 + z^{2}) \dots (1 + z^{2^{n}}) .

En répétant la manipulation

(1 - z) \prod_{k = 0}^{n} (1 + z^{2^{k}}) = (1 - z^{2^{n + 1}}) .

Or $z^{2^{n + 1}} \to 0$ donc

lim_{n \to + \infty} \prod_{k = 0}^{n} (1 + z^{2^{k}}) = \frac{1}{1 - z} .

Exercice 37 2262 Correction

Soient $a \in ℝ$ et pour $n \in ℕ$ ,

P_{n} = \prod_{k = 1}^{n} \cos (\frac{a}{2^{k}}) .

Montrer que

\sin (\frac{a}{2^{n}}) P_{n} = \frac{1}{2^{n}} \sin (a)

et déterminer ${lim}_{n \to + \infty} P_{n}$ .

Solution

En exploitant la formule $\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x)$

\sin (\frac{a}{2^{n}}) P_{n} = \frac{1}{2} \sin (\frac{a}{2^{n - 1}}) \cos (\frac{a}{2^{n - 1}}) \dots \cos (\frac{a}{2}) = \dots = \frac{1}{2^{n}} \sin (a) .

Si $a = 0$ alors $P_{n} = 1 \to 1$ .
Si $a \neq 0$ alors, pour $n$ assez grand, $\sin (a / 2^{n}) \neq 0$ et

P_{n} = \frac{\sin (a)}{2^{n} \sin (\frac{a}{2^{n}})} .

Puisque

\frac{\sin (x)}{x} = \frac{\sin (x) - \sin (0)}{x - 0} \to_{x \to 0}^{} \cos (0) = 1

on a

\frac{\sin (a) / 2^{n}}{a / 2^{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 1

puis

P_{n} = \frac{\sin (a)}{2^{n} \sin (\frac{a}{2^{n}})} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{\sin (a)}{a}

car

2^{n} \sin (\frac{a}{2^{n}}) \underset{n \to + \infty}{\sim} 2^{n} \frac{a}{2^{n}} = a .

Exercice 38 321 Correction

(a)

Établir que pour tout $x \geq 0$ on a

$x - \frac{1}{2} x^{2} \leq \ln (1 + x) \leq x .$
(b)

En déduire la limite de

$u_{n} = \prod_{k = 1}^{n} (1 + \frac{k}{n^{2}}) .$

Solution

(a)

Il suffit de dresser le tableau de variation des fonctions $x \mapsto \ln (1 + x) - x + \frac{1}{2} x^{2}$ et $x \mapsto x - \ln (1 + x)$ .
(b)

$\ln (u_{n}) \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} = \frac{(n + 1)}{2 n} \to \frac{1}{2}$

et

$\ln (u_{n}) \geq \sum_{k = 1}^{n} (\frac{k}{n^{2}} - \frac{k^{2}}{n^{4}}) = \frac{n + 1}{2 n} - \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{3}} \to \frac{1}{2}$

donc

$u_{n} \to \sqrt{e} .$

Exercice 39 5757 Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on pose

u_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} et v_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} .

(a)

Étudier la limite $ℓ$ de la suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ .
(b)

Établir que pour tout entier $n \geq 2$

$u_{n} = 2 + \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \times \dots \times (1 - \frac{k - 1}{n})$

et en déduire $u_{n} \leq v_{n}$ pour tout $n \in ℕ^{*}$ .
(c)

Soit $N \in ℕ$ avec $N \geq 2$ . Observer que pour tout entier $n \geq N$

$u_{n} \geq 2 + \sum_{k = 2}^{N} \frac{1}{k!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \times \dots \times (1 - \frac{k - 1}{n})$

et en déduire $ℓ \geq v_{N}$ .
(d)

Établir que ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ tend vers $ℓ$ .

Solution

(a)

Pour $n \in ℕ^{*}$ ,

$u_{n} = \exp (n \ln (1 + \frac{1}{n})) \to_{n \to + \infty}^{} e car n \ln (1 + \frac{1}{n}) \underset{n \to + \infty}{\sim} n \times \frac{1}{n} \to_{n \to + \infty}^{} 1 .$

La suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ tend vers $ℓ = e$ .
(b)

Par la formule du binôme de Newton,

$u_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \frac{1}{n^{k}} .$

Les deux premiers termes de la somme sont égaux à $1$ . Les suivants se réexpriment

$(\binom{n}{k}) \frac{1}{n^{k}} = \frac{n (n - 1) \times \dots \times (n - k + 1)}{k! n^{k}} = \frac{1}{n^{k}} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \times \dots \times \frac{n - k + 1}{n}$

ce qui donne

$(\binom{n}{k}) \frac{1}{n^{k}} = \frac{1}{k!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \times \dots \times (1 - \frac{k - 1}{n}) .$

Pour $k$ compris entre $2$ et $n$ ,

$\frac{1}{k!} (\underset{\begin{matrix} \leq 1 \end{matrix}}{\underset{⏟}{1 - \frac{1}{n}}}) (\underset{\begin{matrix} \leq 1 \end{matrix}}{\underset{⏟}{1 - \frac{2}{n}}}) \times \dots \times (\underset{\begin{matrix} \leq 1 \end{matrix}}{\underset{⏟}{1 - \frac{k - 1}{n}}}) \leq \frac{1}{k!} .$

En sommant,

$u_{n} \leq 2 + \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k!} = v_{n} .$

L’inégalité est aussi vraie pour $n = 1$ (et c’est une égalité).
(c)

Soient $n \geq N \geq 2$ . Par troncature d’une somme de termes positifs,

$u_{n} \geq 2 + \sum_{k = 2}^{N} \frac{1}{k!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \times \dots \times (1 - \frac{k - 1}{n}) .$

En passant à la limite quand $n$ tend vers l’infini, il vient alors

$ℓ \geq 2 + \sum_{k = 2}^{N} \frac{1}{k!} = v_{N} .$
(d)

Par ce qui précède, on peut affirmer l’encadrement

$u_{N} \leq y_{N} \leq ℓ pour tout N \geq 2 .$

Par théorème d’encadrement,

$y_{N} \to_{N \to + \infty}^{} ℓ = e .$

[<] Calcul de limites[>] Suites adjacentes

Exercice 40 4923

Soit $(u_{n})$ une suite croissante de réels strictement positifs. On suppose que la suite $(u_{n})$ converge. Montrer que sa limite $ℓ$ est strictement positive.

Exercice 41 4933

(Somme harmonique)

Pour tout $n \in ℕ^{*}$ , on pose

H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} .

(a)

Vérifier que

$H_{2 n} - H_{n} \geq \frac{1}{2} pour tout n \in ℕ^{*} .$
(b)

En déduire que la suite $(H_{n})$ tend¹¹ 1 La suite $(H_{n})$ est un exemple fameux de suite divergente dont la différence de deux termes consécutifs $H_{n + 1} - H_{n} = \frac{1}{n + 1}$ tend vers $0$ . vers $+ \infty$ .

Exercice 42 4930

Montrer la convergence de la suite $(u_{n})$ de terme général

u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} .

Exercice 43 2266 Correction

Soit $(u_{n})$ une suite réelle convergente. Étudier la limite de la suite $v_{n} = {sup}_{p \geq n} u_{p}$ .

Solution

$(u_{n})$ converge donc $(u_{n})$ est bornée. La suite $(v_{n})$ est donc bien définie et elle-même bornée.
On a $v_{n + 1} \leq v_{n}$ donc $(v_{n})$ est décroissante et donc converge.
Posons $ℓ = lim u_{n}$ et $ℓ^{'} = lim v_{n}$ .
$v_{n} \geq u_{n}$ donc à la limite $ℓ^{'} \geq ℓ$ .
Si $ℓ^{'} > ℓ$ alors $ℓ^{'} > \frac{ℓ^{'} + ℓ}{2} > ℓ$ .
À partir d’un certain rang $v_{n} > \frac{ℓ + ℓ^{'}}{2}$ et $u_{n} < \frac{ℓ + ℓ^{'}}{2}$ . Impossible. Il reste $ℓ^{'} = ℓ$ .

Exercice 44 2267

Soit $(u_{n})$ une suite réelle bornée. On pose

a_{n} = inf_{p \geq n} u_{p} et b_{n} = sup_{p \geq n} u_{p} .

(a)

Montrer que les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ convergent.
(b)

Montrer que la suite $(u_{n})$ converge si, et seulement si, les limites des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont identiques.

Exercice 45 2265 Correction

Soit ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ une suite réelle croissante de limite $ℓ \in ℝ$ . On pose

v_{n} = \frac{u_{1} + \dots + u_{n}}{n} pour tout n \in ℕ^{*} .

(a)

Montrer que $(v_{n})$ est croissante.
(b)

Établir que $2 v_{2 n} \geq u_{n} + v_{n}$ pour tout $n \in ℕ^{*}$ .
(c)

En déduire que $(v_{n})$ tend vers $ℓ$ .

Solution

(a)

$v_{n + 1} - v_{n} = \frac{n u_{n + 1} - (u_{1} + \dots + u_{n})}{n (n + 1)} \geq 0$

donc $(v_{n})$ est croissante.
(b)

$v_{2 n} = \frac{u_{1} + \dots + u_{n}}{2 n} + \frac{u_{n + 1} + \dots + u_{2 n}}{2 n} \geq \frac{v_{n}}{2} + \frac{u_{n}}{2} .$
(c)

On a $v_{n} \leq ℓ$ pour tout $n \in ℕ^{*}$ et $(v_{n})$ croissante. La suite $(v_{n})$ converge donc vers un réel $ℓ^{'}$ avec $ℓ^{'} \leq ℓ$ .

La relation précédente donne à la limite, donne $2 ℓ^{'} \geq ℓ + ℓ^{'}$ . Cela permet de conclure $ℓ^{'} = ℓ$ .

Exercice 46 2269

Soit $(u_{n})$ une suite réelle vérifiant

n (u_{n} - u_{n - 1}) \to_{n \to + \infty}^{} ℓ avec ℓ \neq 0 .

Montrer que $(u_{n})$ diverge vers un infini.

Exercice 47 2270 Correction

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on pose

u_{n} = \frac{1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (2 n - 1)}{2 \times 4 \times 6 \times \dots \times (2 n)} et v_{n} = (n + 1) u_{n}^{2}

(a)

Exprimer $u_{n}$ à l’aide de nombres factoriels.
(b)

Montrer que la suite $(u_{n})$ converge.
(c)

Montrer que la suite $(v_{n})$ converge. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$
(d)

Simplifier

$\prod_{k = 2}^{2 n} (1 - \frac{1}{k})$

et comparer ce produit à $2 u_{n}^{2}$ .
(e)

En déduire que la limite $C$ de la suite $(v_{n})$ est strictement positive.

Solution

(a)

$u_{n} = \frac{(2 n)!}{2^{2 n} {(n!)}^{2}} .$
(b)

On a

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{(2 n + 2) (2 n + 1)}{4 {(n + 1)}^{2}} = \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \leq 1$

donc $(u_{n})$ est décroissante. Or $(u_{n})$ est minorée par 0 donc $(u_{n})$ converge.
(c)

$\frac{v_{n + 1}}{v_{n}} = \frac{n + 2}{n + 1} \frac{u_{n + 1}^{2}}{u_{n}^{2}} = \frac{n + 2}{n + 1} {(\frac{2 n + 1}{2 n + 2})}^{2}$

or $(n + 2) {(2 n + 1)}^{2} - 4 {(n + 1)}^{3} = - 3 n - 2 < 0$ donc $v_{n + 1} - v_{n} \leq 0$ .
$(v_{n})$ est décroissante et minorée par 0 donc $(v_{n})$ converge.
Nécessairement $lim u_{n} = 0$ car sinon $v_{n} = (n + 1) u_{n}^{2} \to + \infty$ .
(d)

Par télescopage des facteurs

$\prod_{k = 2}^{2 n} (1 - \frac{1}{k}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \dots \times \frac{2 n - 1}{2 n} = \frac{1}{2 n} .$

Parallèlement

$u_{n}^{2} = \prod_{k = 1}^{n} {(1 - \frac{1}{2 k})}^{2} \geq {(\frac{1}{2})}^{2} \prod_{k = 2}^{n} (1 - \frac{1}{2 k}) (1 - \frac{1}{2 k - 1}) = \frac{1}{2} \prod_{k = 2}^{2 n} (1 - \frac{1}{k}) .$

Ainsi, $2 u_{n}^{2}$ est supérieur au produit.
(e)

On en déduit

$(n + 1) u_{n}^{2} \geq \frac{(n + 1)}{4 n}$

et donc $C \geq 1 / 4$ .
On peut montrer que $C = 1 / π$ en exploitant dès la première question la formule de Stirling (si celle-ci est connue…).

Exercice 48 300 Correction

Soient $a > 0$ et

u_{n} = (1 + a) (1 + a^{2}) \dots (1 + a^{n}) pour tout n \in ℕ^{*} .

(a)

Montrer que si $a \geq 1$ alors $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ .
(b)

On suppose $0 < a < 1$ . Montrer que la suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est convergente.

On pourra employer l’inégalité $1 + x \leq e^{x}$ valable pour tout $x \in ℝ$ après avoir préalablement établie celle-ci.

Solution

(a)

Si $a \geq 1$ alors $1 + a^{k} \geq 2$ pour tout $k \in ℕ^{*}$ . On en déduit $u_{n} \geq 2^{n}$ . Or $2^{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty$ donc, par minoration, $u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty$ .
(b)

La fonction $f : x \mapsto e^{x} - x - 1$ est définie et dérivable sur $ℝ$ avec $f^{'} (x) = e^{x} - 1$ . On en déduit les variations suivantes

Sur ce tableau, on lit que $f$ est positive et donc

$\forall x \in ℝ, e^{x} \geq 1 + x .$

Pour $n \in ℕ^{*}$ , $u_{n + 1} = u_{n} (1 + a^{n + 1})$ avec $u_{n} \geq 0$ et $1 + a^{n + 1} \geq 1$ . On a donc $u_{n + 1} \geq u_{n}$ : la suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est croissante.

Pour tout $k \in ℕ^{*}$ , $1 + a^{k} \leq e^{a^{k}}$ et donc

$u_{n} \leq e^{a} e^{a^{2}} \dots e^{a^{n}} = \exp (a \frac{1 - a^{n}}{1 - a}) \leq \exp (\frac{a}{1 - a}) = M .$

La suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est croissante et majorée, elle converge.

Exercice 49 330 Correction

Soit $a > 0$ . On considère la suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ définie par

u_{1} = \sqrt{a}, u_{2} = \sqrt{a + \sqrt{a}}, u_{3} = \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a}}}, \dots

Montrer que $(u_{n})$ est convergente.

Solution

Pour tout $n \geq 1$ , $u_{n + 1} \geq u_{n}$ et $(u_{n})$ est donc croissante.

Par récurrence, on vérifie $u_{n} \leq a + 1$ : la relation est vraie pour $n = 1$ et l’hérédité s’obtient par

u_{n + 1} = \sqrt{a + u_{n}} \leq \sqrt{2 a + 1} \leq a + 1 .

La suite $(u_{n})$ est croissante et majorée donc convergente.

[<] Limites des suites monotones[>] Suites extraites

Exercice 50 2271 Correction

Pour $θ \in] 0; π / 2 [$ , on pose pour tout $n \in ℕ$

u_{n} = 2^{n} \sin (\frac{θ}{2^{n}}) et v_{n} = 2^{n} \tan (\frac{θ}{2^{n}}) .

Montrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes. Quelle est leur limite commune?

Solution

Via $\sin (2 a) = 2 \sin (a) \cos (a)$ , on obtient

u_{n} = 2^{n + 1} \sin (\frac{θ}{2^{n + 1}}) \cos (\frac{θ}{2^{n + 1}}) \leq u_{n + 1} .

Via $\tan (2 a) = \frac{2 \tan (a)}{1 - \tan^{2} (a)}$ , on obtient

v_{n} = 2^{n + 1} \frac{\tan (θ / 2^{n + 1})}{1 - \tan^{2} (θ / 2^{n + 1})} \geq v_{n + 1}

$\sin (x) \underset{x \to 0}{\sim} x$ et $\tan (x) \underset{x \to 0}{\sim} x$ donc $u_{n} \to θ$ et $v_{n} \to θ$ d’où $v_{n} - u_{n} \to 0$ .
Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes de limite commune égale à $θ$ .

Exercice 51 4931

(Approximation décimale d’un réel)

Soit $x$ un réel. On étudie les suites ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ et ${(b_{n})}_{n \in ℕ}$ déterminées par

a_{n} = \frac{⌊ 10^{n} x ⌋}{10^{n}} et b_{n} = \frac{⌊ 10^{n} x ⌋ + 1}{10^{n}} .

Montrer que celles-ci forment un couple de suites adjacentes convergeant vers $x$ .

Exercice 52 2272 Correction

Pour tout $n \in ℕ^{*}$ , on pose

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} et S_{n}^{'} = S_{n} + \frac{1}{n} .

Montrer que les suites $(S_{n})$ et $(S_{n}^{'})$ sont adjacentes.
On peut montrer que leur limite commune est $π^{2} / 6$ , mais c’est une autre histoire…

Solution

On a

S_{n + 1} - S_{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \geq 0 .

S_{n + 1}^{'} - S_{n}^{'} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} - \frac{1}{n (n + 1)} \leq 0

S_{n}^{'} - S_{n} = \frac{1}{n} \to 0 .

Exercice 53 2273

(Critère spécial des séries alternées¹¹ 1 Ce résultat figurera dans le cours de seconde année.)

Soit $(u_{n})$ une suite réelle décroissante et de limite nulle. Pour $n \in ℕ$ , on pose

S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k + 1} u_{k} .

Montrer la convergence de $(S_{n})$ en étudiant les suites extraites $(S_{2 p})$ et $(S_{2 p + 1})$ .

Exercice 54 5918 Correction

Pour $n \geq 1$ , on pose

a_{n} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} et b_{n} = \sum_{k = n}^{2 n - 1} \frac{1}{k} .

(a)

Montrer que que les suites ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ et ${(b_{n})}_{n \geq 1}$ sont adjacentes.
(b)

Établir l’inégalité $\ln (1 + x) \leq x$ pour tout $x \in] - 1; + \infty [$ .

En déduire $x \leq - \ln (1 - x)$ pour tout $x \in] - \infty; 1 [$
(c)

Justifier

$\forall n \in ℕ^{*}, a_{n} \leq \ln (2) \leq b_{n} .$

Que peut-on en déduire?

Solution

(a)

Pour $n \geq 1$ ,

$a_{n + 1} - a_{n} = \sum_{k = n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k} - \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} .$

En simplifiant les termes communs aux deux sommes,

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{2 n + 2} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2} \geq 0 .$

La suite ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ est croissante.

Pour $n \geq 1$ ,

$b_{n + 1} - b_{n} = \sum_{k = n + 1}^{2 n + 1} \frac{1}{k} - \sum_{k = n}^{2 n - 1} \frac{1}{k} .$

En simplifiant les termes communs aux deux sommes,

$b_{n + 1} - b_{n} = \frac{1}{2 n + 1} + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{n} = \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n} \leq 0 .$

La suite ${(b_{n})}_{n \geq 1}$ est décroissante.

Enfin,

$b_{n} - a_{n} = \sum_{k = n}^{2 n - 1} \frac{1}{k} - \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2 n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Les suites ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ et ${(b_{n})}_{n \geq 1}$ sont adjacentes.
(b)

On introduit la fonction $f : x \mapsto x - \ln (1 + x)$ . Celle-ci est définie et dérivable sur $] - 1; + \infty [$ avec

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} .$

On en déduit le tableau de variation

La fonction $f$ est positive et donc $x \geq \ln (1 + x)$ pour tout $x > - 1$ .

En considérant, $- x$ au lieu de $x$ , on obtient $- x \geq \ln (1 - x)$ . En passant à l’opposé, on obtient l’inégalité voulue.
(c)

Pour $n \geq 1$ , l’inégalité $x \leq - \ln (1 - x)$ avec $x = 1 / k$ donne

$a_{n}$ $\leq \sum_{k = n + 1}^{2 n} - \ln (1 - \frac{1}{k}) = \sum_{k = n + 1}^{2 n} - \ln (\frac{k + 1}{k})$

$= \sum_{k = n + 1}^{2 n} (\ln (k) - \ln (k - 1)) = \ln (2 n) - \ln (n) = \ln (2) .$

Pour $n \geq 1$ , l’inégalité $x \geq \ln (1 + x) \leq x$ donne

$b_{n}$ $\geq \sum_{k = n}^{2 n - 1} \ln (1 + \frac{1}{k}) = \sum_{k = n}^{2 n - 1} \ln (\frac{k + 1}{k})$

$= \sum_{k = n}^{2 n - 1} (\ln (k + 1) - \ln (k)) = \ln (2 n) - \ln (n) = \ln (2) .$

On en déduit que la limite commune des suites ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ et ${(b_{n})}_{n \geq 1}$ est $\ln (2)$ .

Exercice 55 325 Correction

On pose

u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \sqrt{n} et v_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \sqrt{n + 1} .

(a)

Montrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes.
(b)

En déduire un équivalent de

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} .$
(c)

Étudier

$lim_{n \to + \infty} \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{\sqrt{k}} .$

Solution

(a)

Pour $n \in ℕ$ ,

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} - 2 (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} - \frac{2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \leq 0 .$

De même, $v_{n + 1} - v_{n} \geq 0$ et l’on vérifie aisément que $(v_{n} - u_{n})$ est de limite nulle. Les suites sont donc adjacentes.
(b)

Notons $ℓ$ leur limite commune, on a

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \underset{n \to + \infty}{=} 2 \sqrt{n} + ℓ + o (1) \underset{n \to + \infty}{=} 2 \sqrt{n} + o (\sqrt{n}) \underset{n \to + \infty}{\sim} 2 \sqrt{n} .$
(c)

Pour $n \in ℕ$ , on écrit par télescopage

$\sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{\sqrt{k}} = \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{1}{\sqrt{k}} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} .$

Par ce qui précède,

$\sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{\sqrt{k}} \underset{n \to + \infty}{=} \sqrt{2 n} - \sqrt{n} + o (\sqrt{n}) \underset{n \to + \infty}{\sim} (\sqrt{2} - 1) \sqrt{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .$

Exercice 56 2274

(Irrationalité du nombre de Neper)

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on pose

a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} et b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{1}{n \cdot n!} = a_{n} + \frac{1}{n \cdot n!} .

(a)

Montrer que les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont strictement¹¹ 1 Les suites sont strictement adjacentes quand elles sont adjacentes et strictement monotones. adjacentes.
(b)

Montrer que leur limite commune²² 2 Dans le sujet 4850, on voit que leur limite commune est le nombre de Neper $e \approx 2,718 à 10^{- 3} près$ . est un nombre irrationnel.

Exercice 57 2275 Correction

(Moyenne arithmético-géométrique)

(a)

Pour $(a, b) \in ℝ^{+ 2}$ , établir:

$2 \sqrt{a b} \leq a + b .$
(b)

On considère les suites de réels positifs $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par

$u_{0} = a, v_{0} = b et \forall n \in ℕ, u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} v_{n}}, v_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2} .$

Montrer que, pour tout $n \geq 1$ , $u_{n} \leq v_{n}$ , $u_{n} \leq u_{n + 1}$ et $v_{n + 1} \leq v_{n}$ .
(c)

Établir que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent vers une même limite.
Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ et est notée $M (a, b)$ .
(d)

Calculer $M (a, a)$ et $M (a,0)$ pour $a \in ℝ_{+}$ .
(e)

Exprimer $M (λ a, λ b)$ en fonction de $M (a, b)$ pour $λ \in ℝ_{+}$ .

Solution

(a)

${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ donne l’inégalité demandée.
(b)

Pour $n \geq 1$ , $u_{n} = \sqrt{u_{n - 1} v_{n - 1}} \leq \frac{u_{n - 1} + v_{n - 1}}{2} = v_{n}$ en vertu de a.
$u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} v_{n}} \geq \sqrt{u_{n}^{2}} = u_{n}$ et $v_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2} \leq \frac{2 v_{n}}{2} = v_{n}$ .
(c)

La suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est croissante et majorée par $v_{1}$ donc elle converge vers une limite notée $ℓ$ .
La suite ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ est décroissante est minorée par $u_{1}$ donc elle converge vers une limite notée $ℓ^{'}$ .
En passant la relation $v_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2}$ à la limite, on obtient $ℓ^{'} = \frac{ℓ + ℓ^{'}}{2}$ d’où $ℓ = ℓ^{'} .$
(d)

Si $b = a$ alors les deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont constantes égales à $a$ et donc $M (a, a) = a$ .
Si $b = 0$ alors la suite ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est constante égale à 0 et donc $M (a,0) = 0$ .
(e)

Notons $(u_{n}^{'})$ et $(v_{n}^{'})$ les suites définies par le procédé précédent à partir de $u_{0}^{'} = λ a$ et $v_{0}^{'} = λ b$ .
Par récurrence, $u_{n}^{'} = λ u_{n}$ et $v_{n}^{'} = λ v_{n}$ donc $M (λ a, λ b) = λ M (a, b)$ .

Exercice 58 4934

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on pose

u_{n} = \frac{1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (2 n - 1)}{2 \times 4 \times 6 \times \dots \times (2 n)}, a_{n} = n u_{n}^{2} et b_{n} = (n + \frac{1}{2}) u_{n}^{2} .

Montrer que les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ convergent vers une même limite strictement positive.

[<] Suites adjacentes[>] Limite de suites de solutions d'une équation

Exercice 59 2276 Correction

On suppose que $(u_{n})$ est une suite réelle croissante telle que $(u_{2 n})$ converge.
Montrer que $(u_{n})$ converge.

Solution

La suite $(u_{n})$ étant croissante, elle admet une limite (finie ou infinie).
La suite $(u_{2 n})$ qui en est extraite a la même limite.
Or $(u_{2 n})$ converge, il en est donc de même de $(u_{n})$ .

Exercice 60 5271

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

(a)

Montrer que $(u_{n})$ converge si, et seulement si, les suites extraites $(u_{2 p})$ et $(u_{2 p + 1})$ convergent vers la même limite¹¹ 1 Ce résultat sera souvent utilisé par la suite..
(b)

Montrer que, si les suites extraites $(u_{2 p})$ , $(u_{2 p + 1})$ et $(u_{q^{2}})$ convergent, alors $(u_{n})$ converge.

Exercice 61 2278 Correction

Justifier que la suite de terme général $\cos (n)$ diverge.

Solution

Par l’absurde, supposons la suite ${(\cos (n))}_{n \in ℕ}$ de limite $ℓ \in ℝ$ . On sait

\cos (p) + \cos (q) = 2 \cos (\frac{p + q}{2}) \cos (\frac{p - q}{2})

et donc

\cos (n + 1) + \cos (n - 1) = 2 \cos (n) \cos (1) .

À la limite, on obtient $2 ℓ = 2 ℓ \cos (1)$ ce qui entraîne $ℓ = 0$ .

Or $\cos (2 n) = 2 \cos^{2} (n) - 1$ donne alors à la limite $0 = - 1$ . C’est absurde.

Exercice 62 327 Correction

Montrer que la suite de terme général $\sin (n)$ diverge.

Solution

Par l’absurde, supposons $\sin (n) \to ℓ \in ℝ$ .

\sin (p) - \sin (q) = 2 \sin (\frac{p - q}{2}) \cos (\frac{p + q}{2})

donne

\sin (n + 1) - \sin (n - 1) = 2 \sin (1) \cos (n) .

À la limite, on obtient $\cos (n) \to 0$ .
Or $\cos (2 n) = 2 \cos^{2} (n) - 1$ donne alors à la limite $0 = - 1$ . Absurde.

Exercice 63 2279 Correction

Soit $(u_{n})$ une suite réelle telle que

\forall n, p \in ℕ^{*}, 0 \leq u_{n + p} \leq \frac{n + p}{n p} .

Montrer que $(u_{n})$ tend vers 0.

Solution

D’une part

0 \leq u_{2 n} \leq \frac{2 n}{n^{2}} = \frac{2}{n} \to 0 .

D’autre part

0 \leq u_{2 n + 1} \leq \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} \to 0 .

On en déduit $u_{n} \to 0$ .

Exercice 64 3234 X (MP)

Soit $(u_{n})$ une suite réelle vérifiant

u_{n + 1} - u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 et u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .

Montrer qu’il existe une application $φ : ℕ \to ℕ$ strictement croissante vérifiant

u_{φ (n)} - n \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Exercice 65 266 Correction

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ de classe $𝒞^{1}$ et s’annulant une infinité de fois. Montrer qu’il existe $α \in [a; b]$ tel que $f (α) = f^{'} (α) = 0$ .

Solution

Soit $(a_{n})$ une suite de valeurs d’annulation deux à deux distinctes de $f$ . Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de la suite bornée $(a_{n})$ une sous-suite convergente $(a_{φ (n)})$ . Posons $α$ sa limite. Par continuité, on a $f (α) = 0$ . En appliquant le théorème de Rolle entre $a_{φ (n)}$ et $a_{φ (n + 1)}$ , il existe $b_{n}$ compris entre ces deux nombres tel que $f^{'} (b_{n}) = 0$ . Quand $n \to + \infty$ , on a $b_{n} \to α$ par encadrement et donc par continuité de $f^{'}$ , on a $f^{'} (α) = 0$ .

Finalement, $f (α) = f^{'} (α) = 0$ .

Exercice 66 2593 NAVALE (MP)Correction

Soit $(r_{n})$ une suite de nombres rationnels strictement positifs que l’on écrt

r_{n} = \frac{p_{n}}{q_{n}} avec p_{n}, q_{n} \in ℕ^{*}

On suppose que la suite $(r_{n})$ converge vers un réel $r$ avec $r \in ℝ ∖ ℚ$ .

Montrer que les deux suites $(p_{n})$ et $(q_{n})$ tendent vers $+ \infty$ .

Solution

Méthode: Une suite d’entiers qui converge est nécessairement¹¹ 1 Si $(u_{n})$ est une suite d’entiers de limite $ℓ$ alors, pour $n$ assez grand $| u_{n + 1} - u_{n} | \leq | u_{n + 1} - ℓ | + | ℓ - u_{n} | < 1$ et alors $u_{n + 1} = u_{n}$ . stationnaire: cela signifie qu’elle est constante à partir d’un certain rang et que sa limite est un entier.

Par l’absurde, supposons que la suite $(q_{n})$ ne tende pas vers $+ \infty$ .

Il existe $A \in ℝ_{+}$ tel que

\forall N \in ℕ, \exists n \geq N, q_{n} < A

La suite $(q_{n})$ comporte donc une infinité de termes strictement inférieurs à $A$ . On peut alors extraire de la suite $(q_{n})$ une suite bornée. De cette dernière, le théorème de Bolzano-Weierstrass permet d’extraire une suite convergente. Or il s’agit d’une suite d’entiers et une suite d’entiers convergente est nécessairement constante au delà d’un certain rang. Finalement, on peut extraire de la suite $(q_{n})$ une suite $(q_{φ (n)})$ constante égale à $q \in ℕ^{*}$ . Puisque

p_{φ (n)} = r_{φ (n)} q \to_{n \to + \infty}^{} r q

La suite extraite $(p_{φ (n)})$ admet une limite finie. Or c’est aussi une suite d’entiers, cette limite est donc un entier $p$ et l’on en déduit $r = p / q \in ℚ$ . C’est absurde.

Ainsi, la suite $(q_{n})$ est de limite $+ \infty$ et, par opérations sur les limites,

p_{n} = r_{n} q_{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty

car $r_{n}$ tend vers $r > 0$ .

Exercice 67 4940

(Critère de Cauchy)

On dit qu’une suite réelle $(u_{n})$ satisfait le critère de Cauchy lorsqu’elle vérifie¹¹ 1 Cette propriété signifie que les termes de la suite sont asymptotiquement proches les uns des autres.

\forall ε > 0, \exists N \in ℕ, \forall (p, q) \in ℕ^{2}, (p \geq N et q \geq N) ⟹ | u_{p} - u_{q} | \leq ε .

(a)

Montrer qu’une suite convergente satisfait le critère de Cauchy.
(b)

Inversement, montrer à l’aide du théorème de Bolzano-Weierstrass qu’une suite vérifiant le critère de Cauchy est convergente.

[<] Suites extraites[>] Expression du terme général d'une suite récurrente

Exercice 68 2290 Correction

Soit $n$ un entier naturel et $(E_{n})$ l’équation $x + \tan (x) = n$ d’inconnue $x \in] - π / 2; π / 2 [$ .

(a)

Montrer que l’équation $(E_{n})$ possède une solution unique notée $x_{n}$ .
(b)

Montrer que la suite $(x_{n})$ converge et déterminer sa limite.

Solution

(a)

Le tableau de variation de $f : x \mapsto x + \tan (x)$ permet d’affirmer que cette fonction réalise une bijection croissante de $] - π / 2; π / 2 [$ vers $ℝ$ . L’équation $E_{n}$ possède alors pour solution unique

$x_{n} = f^{- 1} (n) .$
(b)

On a $x_{n} + \tan (x_{n}) = n$ avec $x_{n} \in] - π / 2; π / 2 [$ donc

$x_{n} = \arctan (n - x_{n}) .$

Or $n - x_{n} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty$ car $(x_{n})$ bornée et donc

$x_{n} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{π}{2} .$

Exercice 69 2288 Correction

Montrer que l’équation $x e^{x} = n$ possède pour tout $n \in ℕ$ , une unique solution $x_{n}$ dans $ℝ_{+}$ .
Étudier la limite de $(x_{n})$ .

Solution

Soit $f : ℝ_{+} \to ℝ$ définie par $f (x) = x e^{x}$ .
$f$ est dérivable et $f^{'} (x) = (x + 1) e^{x} > 0$ donc $f$ est strictement croissante.
$f (0) = 0$ et ${lim}_{+ \infty} f = + \infty$ donc l’équation $x e^{x} = n$ possède une unique solution $x_{n}$ .
$x_{n} = f^{- 1} (n) \to + \infty$ .

Exercice 70 2291 Correction

Soient $n$ un entier naturel non nul et $(E_{n})$ l’équation: $x^{n} \ln (x) = 1$ d’inconnue $x \in ℝ_{+}^{*}$ .

(a)

Montrer que l’équation $(E_{n})$ admet une unique solution $x_{n}$ , et que $x_{n} \geq 1$ .
(b)

Montrer que la suite $(x_{n})$ est décroissante et converge vers 1.

Solution

(a)

Le tableau de variation de $f_{n} : x \mapsto x^{n} \ln (x)$ permet d’affirmer que l’équation $f_{n} (x) = 1$ possède une unique solution $x_{n}$ sur $ℝ_{+}^{*}$ et que de plus $x_{n} \in [1; + \infty [$ .
(b)

$1 = x_{n + 1}^{n + 1} \ln (x_{n + 1}) = x_{n + 1} f_{n} (x_{n + 1})$ donc $f_{n} (x_{n + 1}) = \frac{1}{x_{n + 1}} \leq 1 = f_{n} (x_{n})$ donc $x_{n + 1} \leq x_{n}$ car $f$ est strictement croissante sur $[1; + \infty [$ .

La suite $(x_{n})$ est décroissante et minorée par $1$ donc elle converge. Posons $ℓ$ sa limite, on a $ℓ \geq 1$ .

Par l’absurde, si $ℓ > 1$ alors

$x_{n}^{n} \ln (x_{n}) \geq ℓ^{n} \ln (ℓ) \to_{n \to + \infty}^{} + \infty$

C’est absurde car $x_{n}^{n} \ln (x_{n}) = 1$ . Il reste $ℓ = 1$ .

Exercice 71 314 Correction

Montrer que pour tout $n \geq 1$ , l’équation

\frac{x^{n}}{n!} = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{x^{k}}{k!}

possède une unique racine $x_{n}$ dans $] 0; + \infty [$ . Déterminer $lim x_{n}$ .

Solution

On pose $f_{n} (x) = \frac{x^{n}}{n!} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}$ . On observe que $f_{n} (0) = - 1$ , ${lim}_{x \to + \infty} f_{n} (x) = + \infty$ et $f_{n + 1}^{'} = f_{n}$ . La propriété est vrai pour $n = 1$ et si elle est vrai au rang $n$ , le tableau de signe de $f_{n}$ permet d’assurer que $f_{n + 1}$ est décroissante (et donc strictement négative) sur $[0; x_{n}]$ puis strictement croissante sur $[x_{n}; + \infty]$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut assurer que $f$ s’annule en un $x_{n + 1} > x_{n}$ et celui-ci est unique.
La suite $(x_{n})$ est croissante. Si elle est majorée alors elle converge vers un réel $ℓ$ et $\frac{x_{n}^{n}}{n!} \to 0$ . Or la suite de terme général est $\sum_{k = 0}^{n} \frac{x_{n}^{k}}{k!}$ est croissante et strictement positive. Elle ne peut donc converger vers 0. Par conséquent, la suite $(x_{n})$ n’est pas majorée et, étant croissante, elle diverge vers $+ \infty$ .

Exercice 72 315 Correction

Montrer que la relation $n u_{n}^{n + 1} - (n + 1) u_{n}^{n} = 1$ définit une suite positive $(u_{n})$ unique.
Étudier sa convergence et préciser sa limite.

Solution

L’étude des variations de la fonction $x \mapsto n x^{n + 1} - (n + 1) x^{n}$ assure l’existence et l’unicité de $u_{n} > 0$ vérifiant la relation

n u_{n}^{n + 1} - (n + 1) u_{n}^{n} = 1 .

De plus, on peut affirmer $u_{n} \geq 1$ .
Puisque

u_{n}^{n} (n (u_{n} - 1) - 1) = 1 et u_{n}^{n} \geq 1

on a

n (u_{n} - 1) - 1 \leq 1

puis

0 \leq u_{n} - 1 \leq 2 / n

permet de conclure $u_{n} \to 1$ .

Exercice 73 2292

Pour $n \in ℕ^{*}$ , on étudie l’équation

(E_{n}) : x^{n} + x^{n - 1} + \dots + x = 1 .

(a)

Montrer que l’équation $(E_{n})$ possède une unique solution $x_{n}$ dans $ℝ_{+}$ et que $x_{n}$ est élément de l’intervalle $[1 / 2; 1]$ .
(b)

Montrer la convergence de la suite $(x_{n})$ et déterminer sa limite.

[<] Limite de suites de solutions d'une équation[>] Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Exercice 74 4413

Exprimer simplement le terme général de la suite réelle $(u_{n})$ déterminée par:

(a)

$u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 2 n + 1$ pour tout $n \in ℕ$ .
(b)

$u_{0} = 1, u_{1} = 1$ et $u_{n + 2} = (n + 1) (u_{n + 1} + u_{n})$ pour tout $n \in ℕ$ .
(c)

$u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .

Exercice 75 4921

Exprimer le terme général de la suite réelle $(u_{n})$ définie par:

(a)

$u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 1$ pour tout $n \in ℕ$ .
(b)

$u_{0} = 1$ , $u_{1} = - 3$ et $u_{n + 2} + 2 u_{n + 1} + u_{n} = 0$ pour tout $n \in ℕ$ .
(c)

$u_{0} = 1$ , $u_{1} = 2$ et $u_{n + 2} - 2 u_{n + 1} + 2 u_{n} = 0$ pour tout $n \in ℕ$ .

Exercice 76 2293 Correction

Donner l’expression du terme général et la limite de la suite récurrente réelle ${(u_{n})}_{n \geq 0}$ définie par:

(a)

$u_{0} = 0$ et $\forall n \in ℕ, u_{n + 1} = 2 u_{n} + 1$
(b)

$u_{0} = 0$ et $\forall n \in ℕ, u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 1}{2}$ .

Solution

(a)

Posons $v_{n} = u_{n} + 1$ . $(v_{n})$ est géométrique de raison 2 et $v_{0} = 1$ donc $u_{n} = 2^{n} - 1 \to + \infty$ .
(b)

Posons $v_{n} = u_{n} - 1$ . $(v_{n})$ est géométrique de raison $1 / 2$ et $v_{0} = - 1$ donc $u_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n}} \to 1$ .

Exercice 77 2056 Correction

Soit $(u_{n})$ une suite réelle telle que

u_{0} = 1 et \forall n \in ℕ, u_{n + 1} = (1 + \frac{1}{n + 1}) u_{n} .

Donner l’expression du terme général $u_{n}$ de cette suite.

Solution

$u_{0} = 1$ , $u_{1} = 2$ , $u_{2} = 3$ ,…
Par récurrence, on montre aisément

\forall n \in ℕ, u_{n} = n + 1 .

Exercice 78 2296 Correction

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ les suites déterminées par $u_{0} = 1$ , $v_{0} = 2$ et pour tout $n \in ℕ$ :

u_{n + 1} = 3 u_{n} + 2 v_{n} et v_{n + 1} = 2 u_{n} + 3 v_{n} .

(a)

Montrer que la suite $(u_{n} - v_{n})$ est constante.
(b)

Prouver que $(u_{n})$ est une suite arithmético-géométrique.
(c)

Exprimer les termes généraux des suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ .

Solution

(a)

$u_{n + 1} - v_{n + 1} = u_{n} - v_{n}$ et $u_{0} - v_{0} = - 1$ donc $(u_{n} - v_{n})$ est constante égale à $- 1$ .
(b)

$v_{n} = u_{n} + 1$ donc $u_{n + 1} = 5 u_{n} + 2$ . La suite $(u_{n})$ est arithmético-géométrique.
(c)

$u_{n + 1} - a = 5 (u_{n} - a) + 4 a + 2$ . Pour $a = - 1 / 2$ , $(u_{n} - a)$ est géométrique de raison 5 et de premier terme $3 / 2$ . Ainsi,

$u_{n} = \frac{{3.5}^{n} - 1}{2} et v_{n} = \frac{{3.5}^{n} + 1}{2} .$

Exercice 79 2297

Soient $r > 0$ et $θ \in] 0; π [$ . Déterminer la limite de la suite complexe $(z_{n})$ définie par

z_{0} = r e^{i θ} et z_{n + 1} = \frac{z_{n} + | z_{n} |}{2} pour tout n \in ℕ .

[<] Expression du terme général d'une suite récurrente[>] Suites récurrentes

Exercice 80 2298 Correction

Donner l’expression du terme général de la suite récurrente complexe ${(u_{n})}_{n \geq 0}$ définie par: $u_{0} = 0, u_{1} = 1 + 4 i$ et

\forall n \in ℕ, u_{n + 2} = (3 - 2 i) u_{n + 1} - (5 - 5 i) u_{n} .

Solution

$(u_{n})$ est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique $r^{2} - (3 - 2 i) r + (5 - 5 i) = 0$ .
On obtient

u_{n} = {(2 + i)}^{n} - {(1 - 3 i)}^{n} .

Exercice 81 2299 Correction

Donner l’expression du terme général des suites récurrentes réelles suivantes:

(a)

${(u_{n})}_{n \geq 0}$ définie par $u_{0} = 1, u_{1} = 0$ et $\forall n \in ℕ, u_{n + 2} = 4 u_{n + 1} - 4 u_{n}$
(b)

${(u_{n})}_{n \geq 0}$ définie par $u_{0} = 1, u_{1} = - 1$ et $\forall n \in ℕ, 2 u_{n + 2} = 3 u_{n + 1} - u_{n}$
(c)

${(u_{n})}_{n \geq 0}$ définie par $u_{0} = 1, u_{1} = 2$ et $\forall n \in ℕ, u_{n + 2} = u_{n + 1} - u_{n}$ .

Solution

Ce sont des suites récurrentes linéaire d’ordre $2$ dont le terme général s’obtient à partir de la résolution de l’équation caractéristique associée.

(a)

$u_{n} = 2^{n} (1 - n)$ .
(b)

. $u_{n} = - 3 + 2^{2 - n}$
(c)

$u_{n} = 2 \cos (\frac{(n - 1) π}{3})$ .

Exercice 82 2300 Correction

Soit $θ \in] 0; π [$ . Déterminer le terme général de la suite réelle $(u_{n})$ définie par:

u_{0} = u_{1} = 1 et \forall n \in ℕ, u_{n + 2} - 2 \cos (θ) u_{n + 1} + u_{n} = 0 .

Solution

$(u_{n})$ est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique

r^{2} - 2 \cos (θ) r + 1 = 0

de solutions $r = e^{i θ}$ et $r = e^{- i θ}$ .
Par suite, il existe $α, β \in ℝ$ tels que

\forall n \in ℕ, u_{n} = α \cos (n θ) + β \sin (n θ)

$n = 0$ donne $α = 1$ et $n = 1$ donne $α \cos (θ) + β \sin (θ) = 1$ donc

β = \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{2 \sin^{2} (θ) / 2}{\sin (θ)} = \tan (\frac{θ}{2}) .

Finalement,

\forall n \in ℕ, u_{n} = \cos (n θ) + \tan (\frac{θ}{2}) \sin (n θ) = \frac{\cos ((2 n - 1) θ / 2)}{\cos (θ / 2)} .

Exercice 83 2683 ENS (MP)Correction

Déterminer les fonctions $f : ℝ_{+}^{*} \to ℝ_{+}^{*}$ vérifiant

\forall x > 0, f (f (x)) = 6 x - f (x) .

Solution

Soit $f$ une fonction solution.
Pour $x > 0$ , on considère la suite $(u_{n})$ déterminée par

u_{0} = x et \forall n \in ℕ, u_{n + 1} = f (u_{n}) .

La suite $(u_{n})$ est formée de réels strictement positifs et satisfait la relation de récurrence linéaire

\forall n \in ℕ, u_{n + 2} + u_{n + 1} - 6 u_{n} = 0 .

Les racines de l’équation caractéristique associée sont $2$ et $- 3$ de sorte qu’il existe $λ, μ \in ℝ$ vérifiant

\forall n \in ℕ, u_{n} = λ 2^{n} + μ {(- 3)}^{n} .

Puisque la suite $(u_{n})$ n’est formée que de réels strictement positifs, il est nécessaire que $μ$ soit nul.
Après résolution cela donne $f (x) = 2 x$ .
Inversement, cette fonction est bien solution.

Exercice 84 5016

Déterminer les fonctions $f : ℝ_{+}^{*} \to ℝ_{+}^{*}$ vérifiant

f (f (x)) + f (x) = 2 x pour tout x > 0 .

[<] Suites récurrentes linéaires d'ordre 2[>] Couple de suites récurrentes

Exercice 85 2304 Correction

Étudier la suite $(u_{n})$ définie par

u_{0} = a \in ℝ et u_{n + 1} = u_{n}^{2} pour tout n \in ℕ .

Solution

On a $u_{0} = a, u_{1} = a^{2}, u_{2} = a^{4}$ . Par récurrence, on vérifie $u_{n} = a^{2^{n}}$ .

Cas: $| a | < 1$ . $u_{n} \to 0$

Cas: $| a | = 1$ . $u_{n} \to 1$ et

Cas: $| a | > 1$ . $u_{n} \to + \infty$ .

Exercice 86 4935

Étudier la suite $(u_{n})$ définie par

u_{0} \in ℝ et u_{n + 1} = \sqrt{u_{n}^{2} + 1} pour tout n \in ℕ .

Exercice 87 2305 Correction

Étudier la suite $(u_{n})$ définie par

u_{0} \in ℝ et u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 1 pour tout n \in ℕ .

Solution

La suite $(u_{n})$ est bien définie et supérieure à 1 à partir du rang 1 car la fonction itératrice $f : x \mapsto x^{2} + 1$ est définie sur $ℝ$ et à valeurs dans $[1; + \infty [$ .
$u_{n + 1} - u_{n} = u_{n}^{2} - u_{n} + 1 \geq 0$ car le discriminant de $x^{2} - x + 1$ est $Δ = - 3 < 0$ .
La suite $(u_{n})$ est croissante.
Si celle-ci converge vers un réel $ℓ$ alors en passant à la limite la relation d’itération: $ℓ = ℓ^{2} + 1$ .
Or cette équation ne possède pas de racines réelles. Par suite, $(u_{n})$ diverge, or elle est croissante, donc $(u_{n})$ diverge vers $+ \infty$ .

Exercice 88 331 Correction

Soit

f : x \mapsto \frac{x^{3} + 1}{3}

et $(u_{n})$ la suite définie par

u_{0} \in ℝ et u_{n + 1} = f (u_{n}) pour tout n \in ℕ .

(a)

Justifier que l’équation $f (x) = x$ possède trois racines réelles (que l’on n’exprimera pas).
(b)

Étudier le signe de $f (x) - x$ ainsi que la monotonie de $f$ .
(c)

Préciser le comportement de $(u_{n})$ en discutant selon la valeur de $u_{0}$ .

Solution

(a)

Il suffit de dresser le tableau de variation de $f$ . On note $α < β < γ$ ces trois racines.
(b)

$f$ est croissante et
(c)

$u_{n} \leq u_{n + 1} ⟹ f (u_{n}) \leq f (u_{n + 1})$ donc $u_{0} \leq f (u_{0}) ⟹ (u_{n})$ croissante.
De même, $u_{n} \geq u_{n + 1} ⟹ f (u_{n}) \geq f (u_{n + 1})$ donc $u_{0} \geq f (u_{0}) ⟹ (u_{n})$ décroissante.
Les seules limites finies possibles pour $(u_{n})$ sont $α, β, γ$ .
Enfin si $u_{0} \leq α$ (resp. $β$ , $γ$ ) alors pour tout $n$ , $u_{n} \leq α$ (resp. $β$ , $γ$ ) et de même pour $\geq$ .
Au final on peut conclure:
$u_{0} \in] - \infty; α [$ donne $(u_{n})$ décroissant vers $- \infty$ .
$u_{0} = α$ donne $(u_{n})$ constante égale à $α$ .
$u_{0} \in] α; γ [$ donne $(u_{n})$ convergeant vers $β$ .
$u_{0} = γ$ donne $(u_{n})$ constante égale à $γ$ .
$u_{0} \in] γ; + \infty [$ donne $(u_{n})$ croissant vers $+ \infty$ .

Exercice 89 328 Correction

Étudier la suite définie par

u_{0} \in ℝ_{+} et \forall n \in ℕ, u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{4} u_{n}^{2} .

Solution

Si $(u_{n})$ converge sa limite $ℓ$ vérifie $ℓ = 1 + ℓ^{2} / 4$ d’où $ℓ = 2$ .

u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{4} {(u_{n} - 2)}^{2} \geq 0

$(u_{n})$ est croissante.
Si $u_{0} > 2$ alors $(u_{n})$ diverge vers $+ \infty$ .
Si $u_{0} \in [0; 2]$ alors on vérifie aisément que $(u_{n})$ est majorée par 2 et l’on conclut $u_{n} \to 2$ .

Exercice 90 2303 Correction

On considère la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ donnée par

u_{0} = 1 et u_{n + 1} = \sqrt{1 + u_{n}} pour tout n \in ℕ .

(a)

Montrer que cette suite est correctement définie à termes tous positifs.
(b)

Étudier la monotonie de ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ .
(c)

Déterminer la limite de ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ .

Solution

(a)

La fonction itératrice $x \mapsto \sqrt{1 + x}$ est définie sur $ℝ_{+}$ et à valeurs dans $ℝ_{+}$ . Puisque $u_{0} \in ℝ_{+}$ , la suite est correctement définie à termes dans $ℝ_{+}$ .
(b)

Pour tout $n \geq 1$

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u_{n} - u_{n - 1}}{\sqrt{1 + u_{n}} + \sqrt{1 + u_{n - 1}}} .$

Puisque $u_{1} - u_{0} = \sqrt{2} - \sqrt{1} \geq 0$ , on montre par récurrence $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ pour tout $n \in ℕ$ : la suite $(u_{n}) ç$ est croissante.
(c)

Si ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ converge vers $ℓ$ alors la relation $u_{n + 1} = \sqrt{1 + u_{n}}$ donne à la limite $ℓ = \sqrt{1 + ℓ}$ donc $ℓ^{2} - ℓ - 1 = 0$ . Au surplus, $ℓ \geq 0$ car ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est à termes positifs. Après résolution,

$ℓ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = α .$

Par récurrence, on montre $\forall n \in ℕ, u_{n} \leq α$ par la croissance de $f$ et la propriété $f (α) = α$ . On en déduit que la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est croissante et majorée donc convergente. Comme vu ci-dessus, sa limite est alors $α$ .

Exercice 91 2306

Étudier la suite $(u_{n})$ définie par

u_{0} \geq 1 et u_{n + 1} = 1 + \ln (u_{n}) pour tout n \in ℕ .

Exercice 92 2307 Correction

Étudier la suite $(u_{n})$ définie par

u_{0} \in ℝ et u_{n + 1} = e^{u_{n}} - 1 pour tout n \in ℕ .

Solution

La suite $(u_{n})$ est bien définie car sa fonction itératrice $f : x \mapsto e^{x} - 1$ est définie sur $ℝ$ .
Pour $n \geq 1$ , $u_{n + 1} - u_{n} = e^{u_{n}} - e^{u_{n - 1}}$ est du signe de $u_{n} - u_{n - 1}$ .
La suite $(u_{n})$ est monotone et de monotonie déterminée par le signe de $u_{1} - u_{0} = e^{u_{0}} - u_{0} - 1$ .
Étudions la fonction $g (x) = e^{x} - x - 1$ définie sur $ℝ$ .
$g$ est dérivable et $g^{'} (x) = e^{x} - 1$ du signe de $x$ . $g (0) = 0$ donc $g$ est positive.
Si $u_{0} = 0$ alors $(u_{n})$ est constante égale à 0.
Si $u_{0} > 0$ alors $(u_{n})$ est croissante. Si $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ alors $ℓ = e^{ℓ} - 1$ donc $ℓ = 0$ .
Or $(u_{n})$ est minorée par $u_{0} > 0$ donc ne peut converger vers 0. Par suite, $(u_{n})$ diverge vers $+ \infty$ .
Si $u_{0} < 0$ alors $(u_{n})$ est croissante et majorée par 0 donc $(u_{n})$ converge vers la seule limite finie possible 0.

Exercice 93 2309 Correction

Soit $(u_{n})$ la suite réelle définie par

u_{0} = a \in [- 2; 2] et u_{n + 1} = \sqrt{2 - u_{n}} pour tout n \in ℕ .

(a)

Justifier que la suite $(u_{n})$ est bien définie et

$\forall n \in ℕ, u_{n} \in [- 2; 2] .$
(b)

Quelles sont les limites finies possibles pour $(u_{n})$ ?
(c)

Montrer que $(| u_{n} - 1 |)$ converge puis que $lim | u_{n} - 1 | = 0$ . En déduire $lim u_{n}$ .

Solution

(a)

L’application $x \mapsto \sqrt{2 - x}$ est définie de $[- 2; 2]$ vers $[0; 2] \subset [- 2; 2]$ .
(b)

Supposons $u_{n} \to ℓ$ . Puisque $\forall n \geq 1, u_{n} \in [0; 2]$ , à la limite $ℓ \in [0; 2]$ .
La relation $u_{n + 1} = \sqrt{2 - u_{n}}$ donne à la limite $ℓ = \sqrt{2 - ℓ}$ donc $ℓ^{2} + ℓ - 2 = 0$ d’où $ℓ = 1$ ou $ℓ = - 2$ .
Or $ℓ \geq 0$ donc $ℓ = 1$ .
(c)

$| u_{n + 1} - 1 | = \frac{| u_{n} - 1 |}{1 + \sqrt{2 - u_{n}}} \leq | u_{n} - 1 |$

donc $(| u_{n} - 1 |)$ est décroissante et par suite converge vers $α \geq 0$ .
Si $α > 0$ alors

$1 + \sqrt{2 - u_{n}} = \frac{| u_{n} - 1 |}{| u_{n + 1} - 1 |} \to 1$

donc $\sqrt{2 - u_{n}} \to 0$ puis $u_{n} \to 2$ . C’est impossible.
Nécessairement $| u_{n} - 1 | \to 0$ et donc $u_{n} \to 1$ .

Exercice 94 4936

Étudier la suite $(u_{n})$ déterminée par

u_{0} = 2 et u_{n + 1} = \sqrt{3 - u_{n}} pour tout n \in ℕ .

Exercice 95 332 Correction

Soient $a > 0$ ,

f : x \mapsto \frac{x^{3} + 3 a x}{3 x^{2} + a}

et $(u_{n})$ la suite définie par

u_{0} > 0 et u_{n + 1} = f (u_{n}) pour tout n \in ℕ .

Étudier les variations de $f$ , le signe de $f (x) - x$ et en déduire le comportement de $(u_{n})$ .

Solution

$f^{'} (x)$ est du signe de $3 {(x^{2} - a)}^{2}$ donc $f$ est croissante et par suite $(u_{n})$ est monotone.
Les racines de l’équation $f (x) = x$ sont $0, \sqrt{a}$ et $- \sqrt{a}$ . Ce sont les seules limites possibles pour $(u_{n})$ .
$f (x) - x$ est du signe de $a x - x^{3} = - x (x - \sqrt{a}) (x + \sqrt{a})$ .
Si $u_{0} \in] 0; \sqrt{a}]$ la suite est croissante est majorée par $\sqrt{a}$ donc converge vers $\sqrt{a}$
Si $u_{0} \in [\sqrt{a}; + \infty [$ la suite est décroissante et minorée par $\sqrt{a}$ donc converge vers $\sqrt{a}$ .

Exercice 96 2308 Correction

Étudier la suite $(u_{n})$ définie par

u_{0} > 0 et u_{n + 1} = \frac{1}{2 + u_{n}} pour tout n \in ℕ .

Solution

La suite $(u_{n})$ est bien définie et strictement positive car de fonction itératrice $f : x \mapsto \frac{1}{2 + x}$ définie sur $ℝ_{+}^{*}$ et à valeurs dans $ℝ_{+}^{*}$ . Si la suite $(u_{n})$ converge, sa limite $ℓ$ vérifie $ℓ = \frac{1}{2 + ℓ}$ et $ℓ \geq 0$ donc $ℓ = - 1 + \sqrt{2}$ .

| u_{n + 1} - ℓ | = | \frac{1}{2 + u_{n}} - \frac{1}{2 + ℓ} | = \frac{| u_{n} - ℓ |}{(2 + u_{n}) (2 + ℓ)} \leq \frac{1}{4} | u_{n} - ℓ | .

Par récurrence, on montre $| u_{n} - ℓ | = \frac{1}{4^{n}} | u_{0} - ℓ |$ et l’on conclut $u_{n} \to ℓ$ .

Exercice 97 2310 Correction

Soit $a \in ℂ$ tel que $0 < | a | < 1$ et $(u_{n})$ la suite définie par

u_{0} = a et u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2 - u_{n}} pour tout n \in ℕ .

Montrer que $(u_{n})$ est bien définie et $| u_{n} | < 1$ . Étudier la limite de $(u_{n})$ .

Solution

Par récurrence montrons $u_{n}$ existe et $| u_{n} | < 1$ .
Pour $n = 0$ : ok
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 0$ .
Par HR, $u_{n}$ existe et $| u_{n} | < 1$ donc $2 - u_{n} \neq 0$ d’où $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2 - u_{n}}$ existe et

| u_{n + 1} | \leq \frac{| u_{n} |}{| 2 - u_{n} |} \leq \frac{| u_{n} |}{2 - | u_{n} |} < 1 .

Récurrence établie.

| u_{n + 1} | \leq \frac{| u_{n} |}{2 - | u_{n} |} \leq | u_{n} |

donc $(| u_{n} |)$ est décroissante d’où $| u_{n} | \leq | a |$ puis

| u_{n + 1} | \leq \frac{| u_{n} |}{2 - | a |}

puis

| u_{n} | \leq {(\frac{1}{2 - | a |})}^{n} | a | \to 0 .

Par suite, $u_{n} \to 0$ .

Exercice 98 4937

(Algorithme de Babylone)

Soient $a > 0$ et $(u_{n})$ la suite définie par

u_{0} > 0 et u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u_{n}}) pour tout n \in ℕ .

(a)

Étudier la convergence de la suite $(u_{n})$ .
(b)

Déterminer, si elle existe,

$lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n + 1} - \sqrt{a}}{{(u_{n} - \sqrt{a})}^{2}} .$

Exercice 99 333 Correction

Soient $u_{0} \in] 0; 1 [$ et pour tout $n \in ℕ$ ,

u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2} .

Montrer que $(u_{n})$ est monotone de limite nulle. Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants

\sum_{k = 0}^{n} u_{k}^{2} et \prod_{k = 0}^{n} (1 - u_{k}) .

Solution

$u_{n + 1} - u_{n} = - u_{n}^{2} \leq 0$ donc $(u_{n})$ est décroissante. Aisément, on montre que $u_{n} \in] 0; 1 [$ pour tout $n \in ℕ$ et donc on peut conclure que $(u_{n})$ converge. Sa limite $ℓ$ vérifie

ℓ = ℓ - ℓ^{2}

d’où $ℓ = 0$ .

Par télescopage,

\sum_{k = 0}^{n} u_{k}^{2} = \sum_{k = 0}^{n} (u_{k} - u_{k + 1}) = u_{0} - u_{n + 1} \to_{n \to + \infty}^{} u_{0}

\prod_{k = 0}^{n} (1 - u_{k}) = \prod_{k = 0}^{n} \frac{u_{k + 1}}{u_{k}} = \frac{u_{n + 1}}{u_{0}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Exercice 100 329 Correction

Soit $(u_{n})$ la suite définie par

u_{0} \in] 0; 4 [et u_{n + 1} = 4 u_{n} - u_{n}^{2} pour tout n \in ℕ .

(a)

Montrer que $(u_{n})$ est bornée. Quelles sont les limites possibles de $(u_{n})$ ?
(b)

Montrer que si $(u_{n})$ converge alors $(u_{n})$ est soit stationnaire égale à 0, soit stationnaire égale à $3$ .
(c)

En posant $u_{0} = 4 \sin^{2} (α)$ , déterminer les valeurs de $u_{0}$ pour lesquelles la suite $(u_{n})$ est stationnaire.

Solution

(a)

On observe que $x \mapsto 4 x - x^{2}$ est une application de $[0; 4]$ dans lui-même. Par suite, $u_{n} \in [0; 4]$ pour tout $n \in ℕ$ . Si $(u_{n})$ converge alors, en posant $ℓ$ sa limite, on a $ℓ = 4 ℓ - ℓ^{2}$ d’où $ℓ = 0$ ou $ℓ = 3$ .
(b)

Supposons que $u_{n} \to 0$ . S’il existe un rang $n$ tel que $u_{n} = 0$ alors la suite $(u_{n})$ est stationnaire égale à 0. Sinon on a $u_{n} > 0$ pour tout $n \in ℕ$ et donc $u_{n + 1} - u_{n} \sim 3 u_{n} > 0$ . Ainsi, à partir d’un certain rang, la suite est strictement croissante. De même, si $u_{n} \to 3$ sans être stationnaire égale à 3, on observe que la suite $| u_{n} - 3 |$ est strictement croissante à partir d’un certain rang.
(c)

On obtient aisément $u_{n} = 4 \sin^{2} (2^{n} α)$ . La suite est stationnaire si, et seulement si, il existe $n \in ℕ$ tel que $u_{n} = 0$ ou $3$ c’est-à-dire $\sin^{2} (2^{n} α) = 0, \sqrt{3} / 2, - \sqrt{3 / 2}$ soit encore $2^{n} α = k π / 3$ avec $k \in ℤ$ . Ainsi les $u_{0}$ pour lesquels la suite est stationnaire sont les $\sin (k π / {3.2}^{n})$ avec $k \in ℤ$ et $n \in ℕ$ .

Exercice 101 94

Établir

\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}} .

Exercice 102 2313 Correction

On considère l’équation $\ln (x) + x = 0$ d’inconnue $x > 0$ .

(a)

Montrer que l’équation possède une unique solution $α$ .
(b)

Former, par l’algorithme de Newton, une suite récurrente réelle $(u_{n})$ convergeant vers $α$ .

Solution

(a)

$f : x \mapsto \ln (x) + x$ réalise une bijection strictement croissante de $ℝ_{+}^{*}$ vers $ℝ$ .
L’équation proposée possède une unique solution $α = f^{- 1} (0)$ .
(b)

L’algorithme de Newton, propose de définir la suite $(u_{n})$ par la relation:

$u_{n + 1} = u_{n} - \frac{f (u_{n})}{f^{'} (u_{n})} = u_{n} - \frac{\ln (u_{n}) + u_{n}}{1 / u_{n} + 1} = \frac{u_{n} (1 - \ln (u_{n}))}{u_{n} + 1} .$

La fonction $f$ est de classe $𝒞^{2}$ , $f^{'} (x) = \frac{1}{x} + 1$ et $f^{''} (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ ne s’annulent pas.
Pour $u_{0} > 0$ tel que $f (u_{0}) f^{''} (u_{0}) \geq 0$ , la suite converge vers $α$ .

Exercice 103 334

Soit $f : [a; b] \to [a; b]$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ vérifiant $| f^{'} (x) | < 1$ pour tout $x$ élément de $[a; b]$ .

(a)

Montrer que $f$ admet un unique point fixe $α$ dans $[a; b]$ .
(b)

Soit $c \in [a; b]$ . Montrer la convergence vers $α$ de la suite $(u_{n})$ déterminée par

$u_{0} = c et u_{n + 1} = f (u_{n}) pour tout n \in ℕ .$

Exercice 104 335

Soit $f : [a; b] \to [a; b]$ une fonction vérifiant¹¹ 1 On dit que $f$ est $1$ -lipschitzienne. De telles fonctions sont évidemment continues.

\forall (x, y) \in {[a; b]}^{2}, | f (y) - f (x) | \leq | y - x | .

On considère la suite récurrente définie par

u_{0} \in [a; b] et u_{n + 1} = \frac{u_{n} + f (u_{n})}{2} pour tout n \in ℕ .

Montrer que $(u_{n})$ converge vers un point fixe de $f$ .

Exercice 105 2783 MINES (MP)Correction

Soit ${(x_{n})}_{n \in ℕ^{*}}$ une suite de réels positifs. On pose, pour tout $n > 0$ ,

y_{n} = \sqrt{x_{1} + \sqrt{x_{2} + \dots + \sqrt{x_{n}}}} .

(a)

Ici $x_{n} = a$ pour tout $n$ , où $a > 0$ . Étudier la convergence de $(y_{n})$ .
(b)

Même question dans le cas où $x_{n} = a b^{2^{n}}$ pour tout $n$ , avec $b > 0$ .
(c)

Montrer que $(y_{n})$ converge si, et seulement si, la suite $(x_{n}^{2^{- n}})$ est bornée.

Solution

Notons que la suite $(y_{n})$ est croissante, elle est donc convergente si, et seulement si, elle est majorée.

(a)

Ici $y_{n + 1} = \sqrt{a + y_{n}}$ . Soit $ℓ$ la racine positive de l’équation $ℓ^{2} - ℓ - a = 0$ c’est-à-dire

$ℓ = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2} .$

On remarque que $y_{1} = \sqrt{a} \leq ℓ$ et l’on montre par récurrence $y_{n} \leq ℓ$ . La suite $(y_{n})$ est croissante et majorée donc convergente.
(b)

On observe que la nouvelle suite $(y_{n})$ est désormais égale à $b$ fois la précédente, elle est donc convergente.
(c)

Si $(y_{n})$ converge vers $ℓ$ alors $x_{n}^{2^{- n}} \leq y_{n} \leq ℓ$ donc $(x_{n}^{2^{- n}})$ est bornée.
Si $(x_{n}^{2^{- n}})$ est bornée par une certain $M$ alors $x_{n} \leq M^{2^{n}}$ , la suite $(y_{n})$ définie par $(x_{n})$ est alors inférieure à celle obtenue par $(M^{2^{n}})$ , cette dernière étant convergente, la suite $(y_{n})$ converge.

Exercice 106 3229 Correction

Soit $(u_{n})$ une suite réelle vérifiant

\forall n \in ℕ, u_{n} \in [1 / 2; 1] .

Soit $(v_{n})$ la suite déterminée par

v_{0} = u_{0} et v_{n + 1} = \frac{v_{n} + u_{n + 1}}{1 + u_{n + 1} v_{n}} pour tout n \in ℕ .

Montrer que la suite $(v_{n})$ converge et déterminer sa limite.

Solution

On vérifie sans difficultés que la suite $(v_{n})$ est définie et que ses termes sont positifs.
De plus, on vérifie par récurrence que

\forall n \in ℕ, v_{n} \leq 1

car

(1 - u_{n + 1}) (1 - v_{n}) \geq 0 ⟹ \frac{v_{n} + u_{n + 1}}{1 + u_{n + 1} v_{n}} \leq 1 .

On a alors

v_{n + 1} - v_{n} = \frac{u_{n + 1} (1 - v_{n}^{2})}{1 + u_{n + 1} v_{n}} \geq 0

et la suite $(v_{n})$ est donc croissante et majorée. Par conséquent, celle-ci converge vers une certaine limite $ℓ \in ℝ$ .
Dans le cas où la suite $(u_{n})$ est constante égale à 1, on observe que $ℓ = 1$ . Peut-être est-ce encore vrai dans le cas général? Pour le voir, étudions la suite $(1 - v_{n})$ . On a

0 \leq 1 - v_{n + 1} = \frac{(1 - u_{n + 1}) (1 - v_{n})}{1 + u_{n + 1} v_{n}} \leq \frac{1}{2} (1 - v_{n})

donc par récurrence

0 \leq 1 - v_{n} \leq \frac{1}{2^{n}} (1 - v_{0})

et on en déduit

v_{n} \to 1 .

Exercice 107 3165 X (MP)Correction

Soient $(a_{n})$ une suite réelle positive, bornée et $(u_{n})$ la suite récurrente définie par

u_{0} > 0 et u_{n + 1} = \frac{1}{u_{n} + a_{n} + 1} pour tout n \in ℕ .

Montrer que la suite $(u_{n})$ converge si, et seulement si, la suite $(a_{n})$ converge.

Solution

Posons

M = sup_{n \in ℕ} a_{n} .

On vérifie aisément que la suite $(u_{n})$ est bien définie et que pour tout $n \geq 2$

\frac{1}{M + 2} \leq u_{n} \leq 1 .

Supposons la convergence de la suite $(u_{n})$ . Sa limite est strictement positive. En résolvant l’équation définissant $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ , on obtient

a_{n} = \frac{1}{u_{n + 1}} - u_{n} - 1 .

On en déduit que la suite $(a_{n})$ converge.
Inversement, supposons que la suite $(a_{n})$ converge vers une limite $ℓ$ , $ℓ \geq 0$ .
Considérons la suite $(v_{n})$ définie par

v_{0} = 1 et v_{n + 1} = \frac{1}{v_{n} + ℓ + 1} pour tout n \in ℕ .

On vérifie que la suite $(v_{n})$ est bien définie et à termes strictement positifs.
L’équation

x = \frac{1}{x + ℓ + 1}

possède une racine $L > 0$ et l’on a

| v_{n + 1} - L | \leq \frac{| v_{n} - L |}{1 + L}

ce qui permet d’établir que la suite $(v_{n})$ converge vers $L$ . Considérons ensuite la suite $(α_{n})$ définie par

α_{n} = u_{n} - v_{n} .

On a

α_{n + 1} = \frac{α_{n} + (ℓ - a_{n})}{(u_{n} + a_{n} + 1) (v_{n} + ℓ + 1)}

et donc

| α_{n + 1} | \leq k (| α_{n} | + | a_{n} - ℓ |)

avec

k = \frac{1}{m + 1} \in [0; 1 [

où $m > 0$ est un minorant de la suite convergente $(v_{n})$ .
Par récurrence, on obtient

| α_{n} | \leq k^{n} | α_{0} | + \sum_{p = 0}^{n - 1} k^{n - p} | a_{p} - ℓ | .

Soit $ε > 0$ .
Puisque la suite $(a_{n})$ converge vers $ℓ$ , il existe $p_{0}$ tel que

\forall p \geq p_{0}, | a_{p} - ℓ | \leq ε

et alors

\sum_{p = p_{0}}^{n - 1} k^{n - p} | a_{p} - ℓ | \leq ε \sum_{k = 1}^{+ \infty} k^{p} = \frac{k ε}{1 - k} .

Pour $n$ assez grand

\sum_{p = 0}^{p_{0} - 1} k^{n - p} | a_{p} - ℓ | = C^{t e} k^{n} \leq ε et k^{n} | α_{0} | \leq ε

et on en déduit

| α_{n} | \leq 2 ε + \frac{k ε}{1 - k} .

Ainsi, $α_{n} \to 0$ et par conséquent

u_{n} \to L .

[<] Suites récurrentes[>] Suites récurrentes multiples

Exercice 108 2294 Correction

Soient $(x_{n})$ et $(y_{n})$ deux suites réelles telles que

x_{n + 1} = \frac{x_{n} - y_{n}}{2} et y_{n + 1} = \frac{x_{n} + y_{n}}{2} .

En introduisant la suite complexe de terme général $z_{n} = x_{n} + i y_{n}$ , montrer que les suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ convergent et déterminer leurs limites.

Solution

On a

z_{n + 1} = \frac{1 + i}{2} z_{n}

donc

z_{n} = {(\frac{1 + i}{2})}^{n} z_{0} .

Or $| \frac{1 + i}{2} | < 1$ donc $z_{n} \to 0$ puis $x_{n}, y_{n} \to 0$ .

Exercice 109 2295 Correction

Soit $(z_{n})$ une suite complexe telle que

\forall n \in ℕ, z_{n + 1} = \frac{1}{3} (z_{n} + 2 {\bar{z}}_{n}) .

Montrer que $(z_{n})$ converge et exprimer sa limite en fonction de $z_{0}$ .

Solution

Introduisons $x_{n} = Re (z_{n})$ et $y_{n} = Im (z_{n})$ . On a

x_{n + 1} = x_{n} et y_{n + 1} = - \frac{y_{n}}{3}

$x_{n} \to x_{0}$ et $y_{n} \to 0$ donc $z_{n} \to Re (z_{0})$ .

Exercice 110 4938

(Moyenne arithmético-géométrique)

Soit $(a, b) \in ℝ_{+}^{2}$ . On considère les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par

u_{0} = a, v_{0} = b et u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} v_{n}}, v_{n + 1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2} pour tout n \in ℕ .

Montrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont bien définies et convergent vers une même limite. Celle-ci est appelée moyenne arithmético-géométrique des réels $a$ et $b$ .

Exercice 111 326 Correction

Pour $α \in] 0; π / 2]$ , on étudie les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par

{\begin{matrix} u_{0} = \cos (α) \\ v_{0} = 1 \end{matrix} et {\begin{matrix} u_{n + 1} = (u_{n} + v_{n}) / 2 \\ v_{n + 1} = \sqrt{u_{n + 1} v_{n}} \end{matrix} pour tout n \in ℕ .

(a)

Établir que pour tout $n \in ℕ$ ,

$u_{n} = v_{n} \cos (\frac{α}{2^{n}}) et v_{n} = \prod_{k = 1}^{n} \cos (\frac{α}{2^{k}}) .$
(b)

Étudier $\sin (\frac{α}{2^{n}}) v_{n}$ et en déduire les limites de $(u_{n})$ et $(v_{n})$ .

Solution

(a)

Exploiter $1 + \cos (x) = 2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ et raisonner par récurrence.
(b)

$\sin (\frac{α}{2^{n}}) v_{n} = \frac{1}{2^{n}} \sin (α)$

via $\sin (a) \cos (a) = \frac{1}{2} \sin (2 a)$ . Par suite,

$v_{n} \sim \frac{\sin (α)}{2^{n} \sin (α / 2^{n})} \to \frac{\sin (α)}{α}$

et aussi

$u_{n} \to \frac{\sin (α)}{α} .$

[<] Couple de suites récurrentes

Exercice 112 2301 Correction

Soit $a \in ℝ_{+}^{*}$ . On définit une suite $(u_{n})$ par

u_{0} = a et u_{n + 1} = \sqrt{\sum_{k = 0}^{n} u_{k}} pour tout n \in ℕ .

(a)

Déterminer la limite de $(u_{n})$ .
(b)

Déterminer la limite de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

Solution

(a)

Pour $n \geq 1$ ,

$u_{n + 1} - u_{n} = \sqrt{\sum_{k = 0}^{n} u_{k}} - \sqrt{\sum_{k = 0}^{n - 1} u_{k}} = \frac{u_{n}}{\sqrt{\sum_{k = 0}^{n} u_{k}} + \sqrt{\sum_{k = 0}^{n - 1} u_{k}}} \geq 0$

donc ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ est croissante.
Supposons $u_{n} \to ℓ \in ℝ$ . On a $ℓ \geq u_{1} = \sqrt{a} > 0$
En passant la relation précédente à la limite: $0 = \frac{ℓ}{ℓ + ℓ} = \frac{1}{2}$ . C’est absurde.

Par suite, $u_{n} \to + \infty$ .
(b)

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u_{n}}{u_{n + 1} + u_{n}}$

donc

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} - 1 = \frac{1}{u_{n + 1} + u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Par suite,

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{u_{n + 1} / u_{n} + 1} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{2} .$

Exercice 113 2311 Correction

Déterminer le terme général de la suite $(u_{n})$ définie par:

u_{0} = a > 0, u_{1} = b > 0 et u_{n + 2} u_{n} = u_{n + 1}^{2} pour tout n \in ℕ .

À quelle condition $(u_{n})$ converge?

Solution

Par récurrence, on montre que $u_{n}$ existe et $u_{n} > 0$ . La relation de récurrence donne alors

\frac{u_{n + 2}}{u_{n + 1}} = \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} .

La suite $(u_{n + 1} / u_{n})$ est constante égale à $u_{1} / u_{0} = b / a$ . La suite $(u_{n})$ est donc géométrique de raison $b / a$ et finalement

u_{n} = a {(\frac{b}{a})}^{n} .

La suite $(u_{n})$ converge si, et seulement si, $b \leq a$ .

Exercice 114 338

Soit $(u_{n})$ une suite de réels positifs telle que

u_{n + 2} \leq \frac{1}{2} (u_{n} + u_{n + 1}) pour tout n \in ℕ .

Montrer que la suite $(u_{n})$ converge.

On pourra étudier la monotonie de la suite $(v_{n})$ avec $v_{n} = \max (u_{n + 1}, u_{n})$ .

Édité le 08-12-2023

	$a_{n}$	$\leq \sum_{k = n + 1}^{2 n} - \ln (1 - \frac{1}{k}) = \sum_{k = n + 1}^{2 n} - \ln (\frac{k + 1}{k})$
		$= \sum_{k = n + 1}^{2 n} (\ln (k) - \ln (k - 1)) = \ln (2 n) - \ln (n) = \ln (2) .$

	$b_{n}$	$\geq \sum_{k = n}^{2 n - 1} \ln (1 + \frac{1}{k}) = \sum_{k = n}^{2 n - 1} \ln (\frac{k + 1}{k})$
		$= \sum_{k = n}^{2 n - 1} (\ln (k + 1) - \ln (k)) = \ln (2 n) - \ln (n) = \ln (2) .$