[>] Calcul de primitives

 
Exercice 1  4767  

Calculer les intégrales suivantes:

  • (a)

    01tndt (avec n)

  • (b)

    12dtt2

  • (c)

    14dtt

  • (d)

    0π/2cos2(t)dt

  • (e)

    01dt1+t2

  • (f)

    01t21+t2dt.

 
Exercice 2  1964  Correction  

Calculer les intégrales suivantes:

  • (a)

    12dtt2

  • (b)

    01dt1+t2

  • (c)

    01/2dt1-t2

Solution

Dans chaque cas la détermination d’une primitive est (assez) immédiate

  • (a)
    12dtt2=[-1t]12=12.
  • (b)
    01dt1+t2=[arctan(t)]01=π4.
  • (c)
    01/2dt1-t2=[arcsin(t)]01/2=π6.
 
Exercice 3  284  Correction  

Calculer les intégrales suivantes:

  • (a)

    02πcos2(t)dt

  • (b)

    12ln(t)dt

  • (c)

    01t1+t2dt

Solution

  • (a)

    En linéarisant

    02πcos2(t)dt=02π1+cos(2t)2dt=[t2+sin(2t)4]02π=π.
  • (b)

    On connaît une primitive du logarithme ou l’on intègre par parties

    12ln(t)dt=[tln(t)-t]12=2ln(2)-1.
  • (c)

    On reconnaît une forme u/u

    01t1+t2dt=[1+t2]01=2-1.
 
Exercice 4  1963  

Pour m,n, calculer

Im,n=02πcos(mt)cos(nt)dt.
 
Exercice 5  1547    CENTRALE (PC)

Démontrer que pour toute fonction polynomiale réelle P,

-11P(t)dt=-i0πP(eiθ)eiθdθ.
 
Exercice 6  2508     CCP (MP)

Soit λ un réel tel que |λ|1.

  • (a)

    Étudier la fonction fλ définie sur par la relation

    fλ(x)=sin(x)1-2λcos(x)+λ2.
  • (b)

    Calculer

    0πfλ(x)dx.
 
Exercice 7  285   Correction  

Calculer

I=0π/4ln(1+tan(x))dx.

Solution

La fonction xln(1+tan(x)) est définie et continue sur [0;π/4] donc I existe.
ln(1+tan(x))=ln(cos(x)+sin(x))-ln(cos(x)) et cos(x)+sin(x)=2cos(π4-x).
Ainsi,

I=πln(2)8+0π/4ln(cos(π4-x))dx-0π/4ln(cos(x))dx

or

0π/4ln(cos(x-π4))dx=t=π4-x0π/4ln(cos(t))dt

donc

I=πln(2)8.
 
Exercice 8  4779   

Soit n. Calculer

In=0nπt|sin(t)|dt.

[<] Calcul d'intégrales[>] Intégration par parties

 
Exercice 9  1960  Correction  

Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    tet2dt

  • (b)

    ln(t)tdt

  • (c)

    dttln(t)

Solution

  • (a)

    On reconnaît une forme ueu

    tet2dt=12et2+Cte.
  • (b)

    On reconnaît une forme uu

    ln(t)tdt=12(ln(t))2+Cte.
  • (c)

    On reconnaît une forme u/u

    dttln(t)=ln(|ln(t)|)+Cte.
 
Exercice 10  279  Correction  

Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    cos(t)sin(t)dt

  • (b)

    tan(t)dt

  • (c)

    cos3(t)dt

Solution

  • (a)

    C’est une forme uu donc

    cos(t)sin(t)dt=12sin2(t)+Cte.
  • (b)

    C’est une forme u/u donc

    tan(t)dt=-ln(|cos(t)|)+Cte.
  • (c)

    On se ramène à une forme uu2 via cos2(t)=1-sin2(t)

    cos3(t)dt=cos(t)-cos(t)sin2(t)=sin(t)-13sin3(t)+Cte.
 
Exercice 11  4770  

Déterminer sur les intervalles de définition que l’on précisera, une primitive de chacune des fonctions définies par les expressions ci-dessous:

  • (a)

    t1+t2

  • (b)

    1(1+t)2

  • (c)

    tt2-1

  • (d)

    t21+t3

  • (e)

    ln(t)t

  • (f)

    1tln(t)

  • (g)

    te-t2

  • (h)

    cos(t)sin(t)

  • (i)

    tan(t).

 
Exercice 12  280  Correction  

Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    t21+t3dt

  • (b)

    t1+t2dt

  • (c)

    t1+t4dt

Solution

Dans chaque cas on reconnaît une forme uf(u)

  • (a)

    t21+t3dt=13ln|1+t3|+Cte sur ]-;-1[ ou ]-1;+[.

  • (b)

    t1+t2dt=1+t2+Cte sur .

  • (c)

    t1+t4dt=12arctan(t2)+Cte sur .

 
Exercice 13  1962   Correction  

Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    dtit+1

  • (b)

    etcos(t)dt

  • (c)

    tsin(t)etdt

Solution

  • (a)

    En isolant partie réelle et imaginaire

    dtit+1=1idtt-i=-it+it2+1dt

    puis

    dtit+1=arctan(t)-i2ln(t2+1)+Cte.
  • (b)

    On observe

    etcos(t)dt=Re(e(1+i)tdt)

    et

    e(1+i)tdt=11+ie(1+i)t+Cte

    donc

    etcos(t)dt=et2(cos(t)+sin(t))+Cte.
  • (c)

    On observe

    tsin(t)etdt=Im(te(1+i)tdt)

    et par intégration par parties

    te(1+i)tdt=t+i(1-t)2e(1+i)t+Cte

    donc

    tsin(t)etdt=et2(tsin(t)+(1-t)cos(t))+Cte.
 
Exercice 14  4771  

Déterminer une primitive sur de chacune des fonctions ci-dessous:

  • (a)

    xsin4(x)

  • (b)

    xsin(x)cos3(x)

  • (c)

    xcos5(x).

 
Exercice 15  4773  

En intégrant par parties, déterminer une primitive des fonctions suivantes sur leur intervalle de définitions:

  • (a)

    tln(t)

  • (b)

    t(t2-t+1)e-t

  • (c)

    tt2sin(t).

 
Exercice 16  4774  

Soit a un réel strictement positif. Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    dua2+u2

  • (b)

    dua2-u2.

[<] Calcul de primitives[>] Changement de variable

 
Exercice 17  1979  Correction  

Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    tln(t)dt

  • (b)

    tarctan(t)dt

  • (c)

    tsin3(t)dt

Solution

  • (a)

    Par intégration par parties

    tln(t)dt=12t2ln(t)-12tdt=12t2ln(t)-14t2+Cte.
  • (b)

    Par intégration par parties

    tarctan(t)dt=12t2arctan(t)-12t2dt1+t2

    puis en écrivant

    t2t2+1=1-11+t2

    on obtient

    tarctan(t)dt=12((t2+1)arctan(t)-t)+Cte.
  • (c)

    En écrivant sin2(t)=1-cos2(t)

    tsin3(t)dt=tsin(t)dt-tsin(t)cos2(t)dt.

    D’une part

    tsin(t)dt=sin(t)-tcos(t)+Cte.

    D’autre part, par intégration par parties

    tsin(t)cos2(t)dt=-13tcos3(t)+13cos3(t)dt

    avec

    cos3(t)dt=cos(t)dt-cos(t)sin2(t)dt=sin(t)-13sin3(t).

    Finalement,

    tsin3(t)dt=23sin(t)-tcos(t)+13tcos3(t)+19sin3(t)+Cte.
 
Exercice 18  263  Correction  

Déterminer les primitives suivantes:

  • (a)

    (t2-t+1)e-tdt

  • (b)

    (t-1)sin(t)dt

  • (c)

    (t+1)ch(t)dt

Solution

Par intégration par parties

  • (a)

    (t2-t+1)e-tdt=-(t2+t+2)e-t+Cte.

  • (b)

    (t-1)sin(t)dt=sin(t)+(1-t)cos(t)+Cte.

  • (c)

    (t+1)ch(t)dt=(t+1)sh(t)-ch(t)+Cte.

 
Exercice 19  4769  

Calculer par intégration par parties:

  • (a)

    01(t-1)e2tdt

  • (b)

    01ln(t2+1)dt

  • (c)

    01/2arcsin(t)dt

  • (d)

    0πtsin(t)dt

  • (e)

    0π/4tcos2(t)dt.

 
Exercice 20  287  Correction  

Calculer les intégrales suivantes:

  • (a)

    01arctan(t)dt

  • (b)

    01/2arcsin(t)dt

  • (c)

    01tarctan(t)dt

Solution

Par intégration par parties

  • (a)
    01arctan(t)dt =[tarctan(t)]01-01t1+t2dt
    =π4-12[ln(1+t2)]01=π4-ln(2)2.
  • (b)
    01/2arcsin(t)dt =[tarcsin(t)]01/2-01/2t1-t2dt
    =π12+[1-t2]01/2=π12+32-1.
  • (c)
    01tarctan(t)dt =12[t2arctan(t)]01-1201t21+t2dt
    =π8-12[t-arctan(t)]01=π4-12.
 
Exercice 21  283  Correction  

Calculer

01ln(1+t2)dt.

Solution

Par intégration par parties,

01ln(1+t2)dt=[tln(1+t2)]01-012t21+t2dt.

En écrivant

2t21+t2=2-21+t2

on obtient

01ln(1+t2)dt=ln(2)-2[t-arctan(t)]01=ln(2)-2+π2.
 
Exercice 22  1980   Correction  

Calculer

1eπsin(ln(t))dt.

Solution

Par deux intégrations par parties,

1eπsin(ln(t))dt =[tsin(ln(t))]1eπ-1eπcos(ln(t))dt
=-[tcos(ln(t))]1eπ-1eπsin(ln(t))dt

donc

1eπsin(ln(t))dt=-12[tcos(ln(t))]1eπ=eπ+12.
 
Exercice 23  4781   

Calculer

01/2earcsin(t)dt.
 
Exercice 24  5257   

Calculer

01t(arctan(t))2dt.
 
Exercice 25  3089      X (MP)Correction  

Soient (a,b)2, μ+* et f𝒞2([a;b],) telles que

x[a;b],|f(x)|μetf monotone.

Montrer

|abe2iπf(t)dt|1μπ.

Solution

Écrivons

abe2iπf(t)dt=abf(t)f(t)e2iπf(t)dt.

Par intégration par parties

abf(t)f(t)e2iπf(t)dt=[e2iπf(t)2iπf(t)]ab+12iπabf′′(t)f(t)2e2iπf(t)dt.

Quitte à considérer -f, supposons f′′0

|abf′′(t)f(t)2e2iπf(t)dt|abf′′(t)f2(t)dt=1f(a)-1f(b)

et donc

|abf(t)f(t)e2iπf(t)dt|12π(1|f(b)|+1|f(a)|+1f(a)-1f(b)).

Selon le signe (constant) de f, le terme en f(b) ou le terme en f(a) se simplifie et l’on obtient

|abf(t)f(t)e2iπf(t)dt|1μπ.

[<] Intégration par parties[>] Calcul de primitives ou d'intégrales de fonctions rationnelles

 
Exercice 26  1982  Correction  

Déterminer les primitives suivantes en procédant par changement de variable:

  • (a)

    dtt+t3

  • (b)

    ln(t)dtt+t(ln(t))2

  • (c)

    e2tdtet+1

  • (d)

    dttt2-1.

Solution

  • (a)

    Par le changement de variable u=t,

    dtt+t3 =2uduu+u3=2du1+u2
    =2arctan(u)+Cte=2arctan(t)+Cte.
  • (b)

    Par le changement de variable u=ln(t),

    ln(t)dtt+t(ln(t))2 =ueudueu+euu2=udu1+u2
    =12ln(1+u2)+Cte=12ln(1+ln2(t))+Cte.
  • (c)

    Par le changement de variable u=et,

    e2tdtet+1 =uduu+1=1-1u+1du
    =u-ln(1+u)+Cte=et-ln(1+et)+Cte.
  • (d)

    Par le changement de variable u=t2-1,

    dttt2-1=duu2+1=arctan(t2-1)+Cte.
 
Exercice 27  282  Correction  

Calculer les intégrales suivantes par changement de variable:

  • (a)

    0πsin(t)3+cos2(t)dt

  • (b)

    12dtt+2t

  • (c)

    12ln(1+t)-ln(t)t2dt

  • (d)

    1edtt+t(ln(t))2

  • (e)

    1edttln(t)+1

  • (f)

    01t21-t2dt

  • (g)

    12ln(t)tdt.

Solution

  • (a)

    Par le changement de variable x=cos(t),

    0πsin(t)3+cos2(t)dt=-11dx3+x2=13[arctan(x3)]-11=π33.
  • (b)

    Par le changement de variable x=t,

    12dtt+2t=122dx1+2x=[ln(1+2x)]12=ln(1+22)-ln(3).
  • (c)

    Par le changement de variable x=1/t,

    12ln(1+t)-ln(t)t2dt=-11/2ln(x+1)dx=3/22ln(x)dx=72ln(2)-32ln(3)-12.
  • (d)

    Par le changement de variable u=ln(t),

    1edtt+t(ln(t))2=01du1+u2=π4.
  • (e)
    1edttln(t)+1=u=ln(t)01duu+1=[2u+1]01=2(2-1).
  • (f)

    Par le changement de variable t=sin(u),

    01t21-t2dt=0π/2sin2(u)cos2(u)du=140π/2sin2(2u)du=π16.
  • (g)

    Par le changement de variable u=t,

    12ln(t)tdt =122ln(u2)du=4[uln(u)-u]12
    =22ln(2)-42+4.
 
Exercice 28  4768  

Calculer par changement de variable:

  • (a)

    01dtet+1

  • (b)

    0π/2cos(t)2-cos2(t)dt

  • (c)

    12dtt+t3.

 
Exercice 29  4785  

Calculer

011-t2dt.

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

 
Exercice 30  4784  

Calculer

01dtch(t).
 
Exercice 31  4783   

Calculer

1eπsin(ln(t))dt.
 
Exercice 32  2436      CENTRALE (MP)Correction  

Calculer

03arcsin(2t1+t2)dt.

Solution

Pour t=tan(x/2) avec x[0;π[, on a

2t1+t2=sin(x).

Pour x[0;π/2], on a la simplification

arcsin(2t1+t2)=x

et pour x[π/2;π[, on a plutôt

arcsin(2t1+t2)=π-x.

Par le changement de variable t=tan(x/2), on écrit

03arcsin(2t1+t2)dt=02π/3arcsin(sin(x))2(1+tan2(x2))dx.

On découpe l’intégrale en π/2 pour employer les simplifications qui précèdent

0π/2arcsin(sin(x))2(1+tan2(x2))dx=0π/2x2(1+tan2(x2))dx.

Par intégration par parties, on poursuit

0π/2x2(1+tan2(x2))dx =[xtan(x2)]0π/2-0π/2tan(x2)dx
=π2+[2ln(cos(x2))]0π/2
=π2-ln(2).

Un calcul analogue donne aussi

π/2π/3arcsin(sin(x))2(1+tan2(x2))dx =π/22π/3π-x2(1+tan2(x2))dx
=π3-π2+ln(2).

Finalement, en sommant ces deux calculs

03arcsin(2t1+t2)dt=π3.
 
Exercice 33  1984   
  • (a)

    Observer

    0π/4ln(cos(t))dt=0π/4ln(cos(t-π4))dt.
  • (b)

    En déduire la valeur de

    0π/4ln(1+tan(t))dt.
 
Exercice 34  1985   Correction  
  • (a)

    Montrer que

    0π/2cos(t)cos(t)+sin(t)dt=0π/2sin(t)cos(t)+sin(t)dt=π4.
  • (b)

    En déduire

    01dt1-t2+t.

Solution

  • (a)

    Par le changement de variable x=π2-t on a

    0π/2cos(t)cos(t)+sin(t)dt=0π/2sin(t)cos(t)+sin(t)dt.

    Or

    0π/2cos(t)cos(t)+sin(t)dt+0π/2sin(t)cos(t)+sin(t)dt=0π/2dt=π2

    donc

    0π/2cos(t)cos(t)+sin(t)dt=0π/2sin(t)cos(t)+sin(t)dt=π4.
  • (b)

    Via le changement de variable t=sin(x) (avec x[0;π/2])

    01dt1-t2+t=0π/2cos(x)cos(x)+sin(x)dx=π4.
 
Exercice 35  4848  

Soient a>0 et f:[-a;a] une fonction continue.

Vérifier que, si la fonction f est paire, alors

-aaf(t)dt=20af(t)dtpour tout a.

Que peut-on dire lorsque la fonction f est impaire?

 
Exercice 36  1986   
  • (a)

    Soit f:[a;b] une fonction continue.

    On suppose f(a+b-x)=f(x) pour tout x[a;b]. Montrer

    abxf(x)dx=a+b2abf(x)dx.
  • (b)

    Application: Calculer

    0πxsin(x)1+cos2(x)dx.
 
Exercice 37  4786   

En exploitant un argument de symétrie, calculer

I=0πtsin(t)1+cos2(t)dt.
 
Exercice 38  188     CENTRALE (MP)Correction  
  • (a)

    Soit f𝒞([0;1],). Établir

    0πtf(sin(t))dt=π20πf(sin(t))dt.
  • (b)

    En déduire la valeur de

    In=0πxsin2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx.

Solution

  • (a)

    Par le changement de variable u=π-t, on obtient

    I=0πtf(sin(t))dt=0π(π-u)f(sin(u))du

    et donc

    2I=0πtf(sin(t))dt+0π(π-u)f(sin(u))du=π0πf(sin(u))du

    puis l’identité proposée.

  • (b)

    En observant cos2n(x)=(1-sin2(x))n, on peut appliquer la relation précédente

    In=π20πsin2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx.

    En coupant l’intégrale en π/2

    In=π2(0π/2sin2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx+π/2πsin2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx).

    En procédant au changement de variable y=π-x dans la seconde intégrale

    In=π0π/2sin2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx.

    Enfin, en procédant au changement de variable y=π/2-x, on observe

    In=π0π/2cos2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx

    et l’on en déduit

    2In=π(0π/2sin2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx+0π/2cos2n(x)sin2n(x)+cos2n(x)dx)=π22.

    Finalement,

    In=π24.
 
Exercice 39  3337      CENTRALE (PSI)

Soient f:[0;1] une fonction continue et l’application φ:x3x2-2x3.

  • (a)

    Vérifier que pour tout t réel,

    φ(12+sin(t))=12+12sin(3t).
  • (b)

    Montrer

    -1/23/2f(3x2-2x3)dx=201f(3x2-2x3)dx.
 
Exercice 40  3193     CCP (MP)Correction  

Pour a et b des réels tels que ab>0, on considère

I(a,b)=ab1-x2(1+x2)1+x4dx.
  • (a)

    Calculer I(-b,-a), I(1/a,1/b) et I(1/a,a) en fonction I(a,b).

  • (b)

    Pour a,b>1, calculer I(a,b) via changement de variables v=x+1/x puis v=1/t.

  • (c)

    Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour tout a,b tels que ab>0.

Solution

  • (a)

    Par parité de la fonction intégrée, on a

    I(-b,-a)=I(a,b).

    Par le changement de variable u=1/t, on obtient

    I(1/a,1/b)=ab1-1t2(1+1t2)1+1t4-dtt2=I(a,b).

    En particulier

    I(1/a,a)=I(a,1/a)

    alors que par échange des bornes

    I(1/a,a)=-I(a,1/a).

    On en déduit

    I(1/a,a)=0.
  • (b)

    En procédant aux changements de variable proposés

    I(a,b)=a+1/ab+1/b-dvvv2-2=a/(a2+1)b/(b2+1)dt1-2t2

    et donc

    I(a,b)=12[arcsin(2t)]a/(a2+1)b/(b2+1).
  • (c)

    Le changement de variable v=x+1/x n’est pas bijectif quand x parcourt ]0;+[ mais dans les calculs précédents, il était possible de l’exploiter sans exprimer x en fonction de v. L’hypothèse a,b>1 n’a donc pas été utilisée dans l’étude qui précède et donc le résultat proposé se généralise immédiatement.

[<] Changement de variable[>] Calcul de primitives ou d'intégrales se ramenant à une fonction rationnelle

 
Exercice 41  1232   

Déterminer des primitives des expressions réelles proposées en indiquant les intervalles de validité:

  • (a)

    1x3-x

  • (b)

    x-2x(x+1)2

  • (c)

    x+1x3+x

  • (d)

    x-1x2+2x+2

  • (e)

    xx3-1

  • (f)

    xx4+1.

 
Exercice 42  1233   Correction  

Calculer les intégrales suivantes:

  • (a)

    01dxx2+x+1

  • (b)

    01xx3+1dx

  • (c)

    01arctan(x)(x+1)2dx

Solution

  • (a)
    01dxx2+x+1=[23arctan(2x+13)]01=π33.
  • (b)

    Par décomposition en éléments simples,

    01xx3+1dx =[16ln(x2-x+1(x+1)2)+13arctan(2x-13)]01
    =-13ln(2)+π33.
  • (c)

    Par intégration par parties,

    01arctan(x)(x+1)2dx=[-arctan(x)x+1]01+01dx(x+1)(x2+1)

    On décompose

    1(x+1)(x2+1)=121x+1+12-x+1x2+1

    et l’on a

    dx(x+1)(x2+1)=12ln(|x+1|)-14ln(x2+1)+12arctan(x)+Cte

    puis

    01arctan(x)(x+1)2dx=-π8+12ln(2)-14ln(2)+π8=ln(2)4.
 
Exercice 43  4775   

Soient p et q deux réels. Déterminer sur ses intervalles de définition une primitive de

x1x2+2px+q

en discutant selon le signe de11 1 Le réel Δ correspond au quart du discriminant usuel du trinôme x2+2px+q: on l’appelle discriminant réduit. Dans le contexte, il permet de proposer une expression simple des racines du trinôme à savoir -p±Δ lorsque Δ0. Δ=p2-q.

 
Exercice 44  1234   

Soit n*. On souhaite exprimer la primitive sur s’annulant en 0 de la fonction

fn:x1(1+x2)n.
  • (a)

    Justifier l’existence et l’unicité de la fonction cherchée.

Celle-ci est désormais notée Fn.

  • (b)

    Former une relation de récurrence entre Fn+1 et Fn.

  • (c)

    Exprimer F2(x) et F3(x) pour tout x réel.

 
Exercice 45  1961   

Soit λ d’écriture algébrique a+ib. Déterminer une primitive sur de

t1t-λ.

[<] Calcul de primitives ou d'intégrales de fonctions rationnelles[>] Calcul de primitives ou d'intégrales par une incursion complexe

 
Exercice 46  1235  Correction  

Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble de validité:

  • (a)

    1ex+1

  • (b)

    1e2x+ex

  • (c)

    ex-1

  • (d)

    11+e2x

Solution

  • (a)

    Sur ,

    dxex+1=1-exex+1dx=x-ln(ex+1)+Cte.
  • (b)

    Sur ,

    dxe2x+ex =u=exduu2(u+1)
    =-ln(|u|)+ln(|u+1|)-1u+Cte=-x+ln(ex+1)-e-x+Cte.
  • (c)

    Sur [0;+[,

    ex-1dx=t=ex-12t2t2+1dt=2ex-1-2arctan(ex-1)+Cte.
  • (d)

    Sur ,

    dx1+e2x =u=1+e2xduu2-1
    =12ln(1+e2x-11+e2x+1)+Cte=ln(1+e2x-1)-x+Cte.
 
Exercice 47  1237  Correction  

Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble de validité:

  • (a)

    cos(x)1+cos2(x)

  • (b)

    sin(x)1+sin2(x)

  • (c)

    1cos4(x)

  • (d)

    1cos3(x)

Solution

  • (a)

    Sur ,

    cos(x)1+cos2(x)dx=u=sin(x)du2-u2=1221u+2-1u-2du=122ln|sin(x)+2sin(x)-2|+Cte.
  • (b)

    Sur ,

    sin(x)1+sin2(x)dx=u=cos(x)-du2-u2=122ln|cos(x)-2cos(x)+2|+Cte.
  • (c)

    Sur Ik=]π2+kπ;π2+(k+1)π[,k,

    dxcos4(x)=u=tan(x)1+u2du=tan(x)+13tan3(x)+Cte.
  • (d)

    Sur Ik=]π2+kπ;π2+(k+1)π[,k

    dxcos3(x)=cos(x)dx(1-sin2(x))2=t=sin(x)dt(1-t2)2=1411-t+1(1-t)2+11+t+1(1+t)2dt

    donc

    dxcos3(x)=14ln(1+sin(x)1-sin(x))+12sin(x)cos2(x)+Cte.
 
Exercice 48  3774     ENSTIM (MP)Correction  

Par le changement de variable u=tan(t), calculer

0xdt3+cos2(t)pour tout x réel.

Solution

L’intégrale est bien définie et détermine la primitive F s’annulant en 0 de la fonction continue définie sur

x13+cos2(x).

Méthode: Le calcul de l’intégrale par le changement de variable proposé n’est possible que sur l’intervalle I=]-π/2;π/2[.

BOF Pour calculer, l’intégrale on est tenté de procéder au changement de variable u=tan(t) mais celui-ci n’est possible que pour x]-π/2;π/2[ et alors

F(x)=0tan(x)du(4+3u2)=123arctan(32tan(x)).

Par continuité

F(π/2)=π43etF(-π/2)=-π43.

Puisque la fonction intégrée est π-périodique, on a

F(x+π)-F(x)=Cte

avec

Cte=F(π/2)-F(-π/2)=π23.

On peut alors calculer F(x) en commençant par déterminer k tel que

x+kπ]-π/2;π/2]

puis en exploitant

F(x)=F(x+kπ)-kπ23

avec

F(x+kπ)=123arctan(32tan(x)).
 
Exercice 49  5258    

À l’aide du changement de variable u=tan(t), calculer

0xdt1+3cos2(t)pour tout x réel.
 
Exercice 50  1238    Correction  

Déterminer une primitive sur de la fonction

x13+cos(x).

Solution

Sur Ik=]-π+2kπ;π+2kπ[ avec k,

dx3+cos(x)=t=tan(x)/2dtt2+2=12arctan(tan(x/2)2)+Cte.

La fonction x13+cos(x) est définie et continue sur , cherchons F primitive de celle-ci sur .
Pour tout k, F est primitive sur Ik, donc il existe Ck tel que sur Ik,

F(x)=12arctan(tan(x/2)2)+Ck.

Par limite à droite et à gauche en π+2kπ,

F(π+2kπ)=π22+Ck=-π22+Ck+1.

Par suite,

k,Ck=kπ2+C0.

On peut résumer:

C0,x,F(x)={12arctan(tan(x/2)2)+kπ2+C0 si xIk2k+122π+C0 si x=π+2kπ.

Cela détermine la fonction F à une constante près.

Inversement, étant assuré de l’existence de F, on peut affirmer que de telles fonctions sont bien primitives de x13+cos(x).

 
Exercice 51  1239   Correction  

Calculer:

  • (a)

    0π/2dx2+cos(x)

  • (b)

    0π/4dx1+sin(x)cos(x)

  • (c)

    02πdx1+cos2(x)

Solution

  • (a)

    0π/2dx2+cos(x)=t=tan(x2)012dt3+t2=π33.

  • (b)

    0π/4dx1+sin(x)cos(x)=t=tan(x)01dtt2+t+1=π33.

  • (c)

    Par la relation de Chasles

    I =02πdx1+cos2(x)
    =0π/2dx1+cos2(x)+π/2πdx1+cos2(x)+π3π/2dx1+cos2(x)+3π/22πdx1+cos2(x).

    Via des changements de variable affines adéquates,

    I=40π/2dx1+cos2(x).

    Sur ]-π/2;π/2[,

    dx1+cos2(x)=t=tan(x)dtt2+2=12arctan(tan(x)2)+C.

    Soit F une primitive de 11+cos2(x) sur [0;π/2].
    Il existe C tel que F(x)=12arctan(tan(x)2)+C sur [0;π/2[ et par continuité

    F(π/2)=π22+C.

    Finalement, 0π/2dx1+cos2(x)=[F(x)]0π/2=π22 puis I=2π.

 
Exercice 52  1236   Correction  

Calculer

01dxex+1.

Solution

Par le changement de variable u=ex+1,

01dxex+1 =2e+12duu2-1=[ln(u-1u+1)]2e+1
=ln((e+1-1)(2+1)(e+1+1)(2-1)).
 
Exercice 53  1240    

Soit α]0;π[. Par le changement de variable t=tan(x/2), calculer

0π/2sin(α)1+cos(x)cos(α)dx.
 
Exercice 54  1241  Correction  

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble de validité:

  • (a)

    th(x)1+ch(x)

  • (b)

    ch(x)1+ch2(x)

  • (c)

    ch(x)sh(x)+ch(x)

  • (d)

    1ch3(x)

Solution

  • (a)

    Sur ,

    th(x)1+ch(x)dx =u=ch(x)duu(1+u)
    =ln(ch(x))-ln(ch(x)+1)+Cte.
  • (b)

    Sur ,

    ch(x)1+ch2(x)dx =u=sh(x)du2+u2
    =12arctan(sh(x)2)+Cte.
  • (c)

    Sur ,

    ch(x)dxsh(x)+ch(x) =u=th(x)-du(u-1)(u+1)2
    =14ln(|th(x)+1th(x)-1|)-1211+th(x)+Cte

    ou encore

    ch(x)dxsh(x)+ch(x) =ex+e-x2exdx
    =12+12e2xdx
    =x2+14e2x+Cte.
  • (d)

    Sur ,

    dxch3(x) =ch(x)(1+sh2(x))2dt
    =t=sh(x)dt(1+t2)2
    =12arctan(sh(x))+12sh(x)ch2(x)+Cte
 
Exercice 55  1242  Correction  

Calculer

01dxch(x).

Solution

Par changement de variable

01dxch(x)=t=ex1e2dtt2+1=2arctan(e)-π2.
 
Exercice 56  1243  Correction  

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble de validité:

  • (a)

    x1+x+1

  • (b)

    1-x1+x

  • (c)

    x-1x-2

Solution

  • (a)

    Sur [-1;+[, xdx1+x+1=u=x+12u(u2-1)1+udu=2u(u-1)du=23x+13-x+Cte.

  • (b)

    Sur [0;+[, 1-x1+xdx=u=x2u1-u1+udu=2-u+2-21+udu=-x+4x-4ln(1+x)+Cte.

  • (c)

    Sur ]-;1] ou ]2;+[, x-1x-2dx=-2y2dy(y-1)2(y+1)2=121y-1+121y+1-12ln|y-1y+1|+Cte
    donc x-1x-2dx=(x-1)(x-2)-12ln(|x-1|-|x-2||x-1|+|x-2|)+Cte.

 
Exercice 57  1244   Correction  

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble de validité:

  • (a)

    x+12-x2

  • (b)

    x(x-1)(3-x) x-x2+6

  • (c)

    x+1x2+1

  • (d)

    1x+1+x2

  • (e)

    x2-1x

Solution

  • (a)

    Sur ]-2;2[,

    x+12-x2dx =x=2sin(t)2sin(t)+1dt
    =-2cos(t)+t+Cte
    =-2-x2+arcsin(x2)+Cte.
  • (b)

    Sur ]1;3[,

    xdx(x-1)(3-x) =x=2+sin(t)2+sin(t)dt
    =2arcsin(x-2)-(x-1)(3-x)+Cte.
  • (c)

    x-x2+6=-(x-3)(x+2), x=12+52sin(t). Sur [-2;3],

    x-x2+6dx =254cos2(t)dt=258cos(2t)+1dt
    =2x-14x-x2+6+258arcsin(2x-15)+Cte
  • (d)

    Sur ,

    x+1x2+1dx =x=sh(t)sh(t)+1dt
    =1+x2+ln(x+x2+1)+Cte.
  • (e)

    Sur ,

    dxx+1+x2 =x=sh(t)ch(t)dtsh(t)+ch(t)
    =12+12e-2tdt
    =12ln(x+x2+1)-141(x+x2+1)2+Cte.
  • (f)

    Sur [1;+[ (et de même sur ]-;-1]),

    x2-1xdx =x=ch(t)sh2(t)ch(t)dt
    =u=sh(t)u21+u2du
    =x2-1-arctan(x2-1)+Cte.
 
Exercice 58  1245   Correction  

Sur ]-1/2;+[, déterminer

dx(2x+1)x2+x+1.

Solution

On écrit le trinôme sous forme canonique

x2+x+1=(x+12)2+34

ce qui invite au changement de variable

x+12=32sh(t)dx=32ch(t)dt

qui donne

dx(2x+1)x2+x+1=dt3sh(t)=13sh(t)dtch2(t)-1=u=ch(t)13duu2-1

et enfin

dx(2x+1)x2+x+1=123ln(2x2+x+1-32x2+x+1+3)+Cte.
 
Exercice 59  1246  Correction  

Calculer les intégrales suivantes:

  • (a)

    13dxx(x+3)

  • (b)

    02dxx+1(x+4)

  • (c)

    -11dx1+x+1-x

Solution

  • (a)

    13dxx(x+3)=t=x132dtt2+3=23[arctan(t3)]13=π63.

  • (b)

    02dxx+1(x+4)=t=x+1132dtt2+3=23[arctan(t3)]13=π63.

  • (c)

    -11dx1+x+1-x=u=1+x022uduu+2-u2=u=2sin(θ)220π/2sin(θ)cos(θ)sin(θ)+cos(θ)dθ.
    -11dx1+x+1-x=22014t(1-t2)dt(-t2+2t+1)(1+t2)2=2201-11+t2+21+t(1+t2)2+1t2-2t-1dt
    Au final -11dx1+x+1-x=22-2ln(2+1).

 
Exercice 60  4777   

Calculer

01xx2+x+1dx.

[<] Calcul de primitives ou d'intégrales se ramenant à une fonction rationnelle[>] Suites dont le terme général est défini par une intégrale

 
Exercice 61  4772  

Soient a et ω deux réels non tous deux nuls. Déterminer une primitive sur des fonctions

tcos(ωt)eatettsin(ωt)eat.
 
Exercice 62  4778   

Soit n. Calculer

0π/2cos(nx)cosn(x)dx.
 
Exercice 63  4776   

Calculer

0πtsin(t)e-tdt.

[<] Calcul de primitives ou d'intégrales par une incursion complexe

 
Exercice 64  4780  

Pour n, calculer

In=1etnln(t)dt.
 
Exercice 65  288  

Soient p,q. Calculer

Ip,q=01tp(1-t)qdt.
 
Exercice 66  1994   Correction  

Pour p et q entiers naturels, on pose:

Ip,q=ab(t-a)p(b-t)qdt.
  • (a)

    Former une relation de récurrence liant Ip,q et Ip+1,q-1.

  • (b)

    Donner une expression de Ip,q à l’aide de factoriels.

Solution

  • (a)

    Par intégration par parties,

    Ip,q=qp+1Ip+1,q-1.
  • (b)

    On en déduit

    Ip,q=q(q-1)1(p+1)(p+2)(p+q)Ip+q,0

    or

    Ip+q,0=(b-a)p+q+1p+q+1

    donc

    Ip,q=p!q!(p+q+1)!(b-a)p+q+1.
 
Exercice 67  4782   

(Intégrales de Wallis)

Pour n, on pose

In=0π/2sinn(t)dt.
  • (a)

    Montrer que pour tout n,

    In+2=n+1n+2In.
  • (b)

    Donner une expression de In à l’aide de nombres factoriels en discutant selon la parité de l’entier naturel n.

 
Exercice 68  1997   Correction  

(Intégrales de Wallis)

Pour n, on pose

In=0π/2sinn(t)dt.
  • (a)

    Montrer que In=0π/2cosn(t)dt et In>0

  • (b)

    Montrer que pour tout n, on a

    In+2=n+1n+2In.
  • (c)

    Donner une expression de In à l’aide de factoriels en distinguant les cas n=2p et n=2p+1.

  • (d)

    Établir que pour tout n,

    (n+1)In+1In=π2etIn+2In+1In.
  • (e)

    Déterminer un équivalent de In.

Solution

  • (a)

    En appliquant le changement de variable u=π/2-t on obtient

    In=0π/2cosn(u)du

    tsinn(t) est continue, positive sans être la fonction nulle et 0<π/2 donc In>0

  • (b)

    Par intégration par parties

    In+2=0π/2sin(t)sinn+1(t)dt=[-cos(t)sinn+1(t)]0π/2+(n+1)0π/2cos2(t)sinn(t)dt

    donc

    In+2=(n+1)0π/2(1-sin2(t))sinn(t)dt=(n+1)In-(n+1)In+2

    puis

    (n+2)In+2=(n+1)In.
  • (c)
    I2p=2p-12pI2p-2=2p-12p2p-32p-212I0=(2p)!22p(p!)2π2

    sachant I0=π/2.

    I2p+1=2p2p+12p-22p-123I1=22p(p!)2(2p+1)!

    sachant I1=1.

  • (d)

    Posons un=(n+1)In+1In. On

    un+1=(n+2)In+2In+1=(n+1)InIn+1=un

    et u0=I1I0=π/2 donc pour tout n

    (n+1)In+1In=π/2.

    Pour tout t[0;π/2],

    sinn+2(t)sinn+1(t)sinn(t)

    donc

    In+2In+1In.
  • (e)

    On a

    n+1n+2InIn+1In

    donc In+1/In1. Ainsi In+1In.
    Par suite,

    π2=(n+1)In+1InnIn2

    et donc

    Inπ2n

    sachant In>0.

 
Exercice 69  1860   Correction  
  • (a)

    Calculer

    01dt1+t2.
  • (b)

    Établir, pour tout n

    01k=0n(-1)kt2kdt=π4+01(-1)nt2n+21+t2dt.
  • (c)

    Justifier

    001t2n+21+t2dt01t2n+2dt=12n+3.
  • (d)

    En déduire

    k=0n(-1)k2k+1n+π4.

Solution

  • (a)

    01dt1+t2=[arctan(t)]01=π4.

  • (b)

    Par sommation géométrique

    01k=0n(-1)kt2kdt=011+(-1)nt2n+21+t2dt=π4+01(-1)nt2n+21+t2dt.
  • (c)

    Par intégration d’une fonction positive sur [0;1],

    01t2n+21+t2dt0

    De plus,

    01t2n+21+t2dt01t2n+2dt=12n+3 car 11+t21.
  • (d)

    On a

    k=0n(-1)k2k+1=k=0n01(-1)kt2kdt=01k=0n(-1)kt2kdt

    donc

    k=0n(-1)k2k+1=π4+(-1)n01t2n+21+t2dtn+π4

    car

    01t2n+21+t2dtn+0.
 
Exercice 70  322   Correction  

Soit

In=01xnx+1dx.
  • (a)

    Montrer que In0 en décroissant.

  • (b)

    Simplifier In+In+1 et en déduire une expression de In à l’aide d’un symbole sommatoire.

  • (c)

    Déterminer

    limN+n=1N(-1)n-1n.
  • (d)

    Exploiter

    Jn=01xnx2+1dx

    pour déterminer

    limN+n=0N(-1)n2n+1.

Solution

  • (a)
    0In01xndx=1n+10

    donc In0.
    De plus, pour tout x[0;1],

    xnx+1xn+1x+1

    donc InIn+1.

  • (b)
    In+In+1=1n+1

    donc

    In=k=1n(-1)n-kk+(-1)nI0.
  • (c)

    I0=ln(2) et (-1)nIn0 donc

    k=1n(-1)-kk+ln(2)0

    puis la conclusion.

  • (d)

    Comme ci-dessus, Jn0. De plus,

    Jn+Jn+2=1n+1

    donc

    J2n=k=0n-1(-1)n-1-k2k+1+(-1)nJ0

    puis

    k=0n-1(-1)k+12k+1+π40

    d’où

    k=0n(-1)k2k+1π4.
 
Exercice 71  1992   Correction  

On pose, pour n

In=01(1-x)nn!exdx.
  • (a)

    Montrer que la suite (In) tend vers 0.

  • (b)

    Montrer que

    In=1(n+1)!+In+1.
  • (c)

    En déduire que

    e=limn+k=0n1k!.

Solution

  • (a)

    On a

    0In01en!dx=en!0

    donc par encadrement In0.

  • (b)

    Par intégration par parties,

    In=01(1-x)nn!exdx=[-(1-x)n+1(n+1)!ex]01+01(1-x)n+1(n+1)!exdx=1(n+1)!+In+1.
  • (c)

    Pour k1,

    1k!=Ik-1-Ik

    donc

    k=0n1k!=1+k=1nIk-1-Ik=1+I0-In

    avec

    I0=01exdx=e-1.

    Ainsi,

    k=0n1k!=e-Inn+e.
 
Exercice 72  1993   Correction  

Pour n, on pose

In=1e(ln(x))ndx.
  • (a)

    Calculer I0 et I1.

  • (b)

    Établir une relation liant In et In+1.

  • (c)

    En déduire que

    n, 0<In<en+1.
  • (d)

    Déterminer la limite puis un équivalent simple de (In).

  • (e)

    Soit (un) une suite réelle définie par

    u0=aetn,un+1=e-(n+1)un.

    On suppose que aI0, montrer, en étudiant Dn=|un-In|, que |un|+.

Solution

  • (a)

    Directement I0=e-1 et

    I1=1eln(x)dx=[xln(x)-x]1e=1.
  • (b)

    Par intégration par parties,

    In+1 =1e(ln(x))n+1dx=[x(ln(x))n+1]1e-(n+1)1e(ln(x))ndx
    =e-(n+1)In.
  • (c)

    Par intégration d’une fonction continue, positive et non nulle, on a In>0.

    Puisque In+1>0, on a aussi In<en+1.

  • (d)

    Par encadrement In0.
    Puisque In+1=e-(n+1)In est de limite nulle,

    (n+1)Inn+e

    puis

    Inn+en+1n+en.
  • (e)

    On a

    Dn+1=(n+1)Dn

    donc Dn=n!D0.

    Si aI0 alors (Dn) tend vers + puis

    |un|Dn-Inn++.
 
Exercice 73  1996   Correction  

Pour n, on pose

un=01dx1+xn.
  • (a)

    Calculer u0,u1,u2.

  • (b)

    Montrer que (un) est une suite strictement croissante.

  • (c)

    Montrer que un1.

  • (d)

    Établir

    n*,01xndx1+xn=ln(2)n-1n01ln(1+xn)dx.
  • (e)

    Montrer que

    limn+01ln(1+xn)dx=0

    et en déduire que

    un=n+1-ln(2)n+o(1n).

Solution

  • (a)

    u0=1/2, u1=ln(2) et u2=π/4.

  • (b)

    On a

    un+1-un=01xn(1-x)(1+xn)(1+xn+1)dx

    or la fonction

    xxn(1-x)(1+xn)(1+xn+1)

    est continue, positive sans être la fonction nulle et 0<1 donc un+1-un>0.

  • (c)

    On a

    |un-1|=01xndx1+xn01xndx=1n+10

    donc un1.

  • (d)

    Par intégration par parties,

    In =01xxn-11+xndx
    =[1nxln(1+xn)]01-1n01ln(1+xn)dx
    =ln(2)n-1n01ln(1+xn)dx.
  • (e)

    On a

    001ln(1+xn)dx01xndx=1n+1n+0

    car il est connu que ln(1+t)t pour t>-1.
    On a alors

    01ln(1+xn)dxn+0

    donc

    un=1-01xn1+xndx=n+1-ln(2)n+o(1n).
 
Exercice 74  1995    

Soient n et θ]0;π[.

  • (a)

    Justifier que l’on peut donner un sens à

    In=0πcos(nt)-cos(nθ)cos(t)-cos(θ)dt.
  • (b)

    Exprimer In+1+In-1 en fonction de In pour n1.

  • (c)

    En déduire la valeur de In.

 
Exercice 75  2981      X (MP)Correction  

Déterminer un équivalent lorsque n+ de

In=01(t1+t2)ndt.

Solution

On a

2nIn=01(2t1+t2)ndt

où l’on remarque que la fonction t2t/(1+t2) croît de [0;1] sur [0;1].
Introduisons

Jn=0121+t2(2t1+t2)ndt=t=tan(x/2)0π/2(sin(x))ndx.

On sait

Jnn+π2n

via nJnJn+1=π/2 et JnJn+1 (cf. intégrales de Wallis). Montrons 2nInJn en étudiant la différence

Jn-2nIn=011-t21+t2(2t1+t2)ndt.

On a

0011-t21+t2(2t1+t2)ndt0121+t21-t21+t2(2t1+t2)ndt

et le changement de variable t=tan(x/2) donne

0011-t21+t2(2t1+t2)ndt0π/2cos(x)(sin(x))ndx=1n+1.

On peut alors affirmer

2nIn-Jn=n+o(1n)

puis

2nInn+π2n

et finalement

Inn+π2n2n.


Édité le 08-11-2019

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