Calculer les intégrales suivantes:
(avec )
.
Calculer les intégrales suivantes:
Solution
Dans chaque cas la détermination d’une primitive est (assez) immédiate
Calculer les intégrales suivantes:
Solution
En linéarisant
On connaît une primitive du logarithme ou l’on intègre par parties
On reconnaît une forme
Pour , calculer
Démontrer que pour toute fonction polynomiale réelle ,
Soit un réel tel que .
Étudier la fonction définie sur par la relation
Calculer
Calculer
Solution
La fonction est définie et continue sur donc existe.
et .
Ainsi,
or
donc
Soit . Calculer
On pose
Calculer et et en déduire les valeurs de et .
Solution
Sachant , on observe
Sachant , on obtient
On réécrit
Par le changement de variable ,
Par décomposition en éléments simples,
et donc
En multipliant par la quantité conjuguée, on peut simplifier
Des valeurs de et , on obtient
[<] Calcul d'intégrales[>] Intégration par parties
Déterminer les primitives suivantes:
Solution
On reconnaît une forme
On reconnaît une forme
On reconnaît une forme
Déterminer les primitives suivantes:
Solution
C’est une forme donc
C’est une forme donc
On se ramène à une forme via
Déterminer sur les intervalles de définition que l’on précisera, une primitive de chacune des fonctions définies par les expressions ci-dessous:
.
Déterminer les primitives suivantes:
Solution
Dans chaque cas on reconnaît une forme
sur ou .
sur .
sur .
Déterminer les primitives suivantes:
Solution
En isolant partie réelle et imaginaire
puis
On observe
et
donc
On observe
et par intégration par parties
donc
Déterminer une primitive sur de chacune des fonctions ci-dessous:
.
En intégrant par parties, déterminer une primitive des fonctions suivantes sur leur intervalle de définitions:
.
Soit un réel strictement positif. Déterminer les primitives suivantes:
.
[<] Calcul de primitives[>] Changement de variable
Déterminer les primitives suivantes:
Solution
Par intégration par parties
Par intégration par parties
puis en écrivant
on obtient
En écrivant
D’une part
D’autre part, par intégration par parties
avec
Finalement,
Déterminer les primitives suivantes:
Solution
Par intégration par parties
.
.
.
Calculer par intégration par parties:
.
Calculer les intégrales suivantes:
Solution
Par intégration par parties,
Calculer
Calculer
Soient , et telles que
Montrer
Solution
Écrivons
Par intégration par parties
Quitte à considérer , supposons
et donc
Selon le signe (constant) de , le terme en ou le terme en se simplifie et l’on obtient
[<] Intégration par parties[>] Calcul de primitives ou d'intégrales de fonctions rationnelles
Déterminer les primitives suivantes en procédant par changement de variable:
.
Solution
Par le changement de variable ,
Par le changement de variable ,
Par le changement de variable ,
Par le changement de variable ,
Calculer les intégrales suivantes par changement de variable:
.
Solution
Par le changement de variable ,
Par le changement de variable ,
Par le changement de variable ,
Par le changement de variable ,
Par le changement de variable ,
Par le changement de variable ,
Calculer par changement de variable:
.
Calculer
Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
Calculer
Calculer
Pour , calculer
en réalisant le changement de variable .
Solution
Pour le changement de variable proposé
Aussi, on sait
et l’on a donc
Calculer
Solution
Pour avec , on a
Pour , on a la simplification
et pour , on a plutôt
Par le changement de variable , on écrit
On découpe l’intégrale en pour employer les simplifications qui précèdent
Par intégration par parties, on poursuit
Un calcul analogue donne aussi
Finalement, en sommant ces deux calculs
Observer
En déduire la valeur de
Montrer que
En déduire
Solution
Par le changement de variable on a
Or
donc
Via le changement de variable (avec )
Soient et une fonction continue.
Vérifier que, si la fonction est paire, alors
Que peut-on dire lorsque la fonction est impaire?
Soit une fonction continue.
On suppose pour tout . Montrer
Application : Calculer
En exploitant un argument de symétrie, calculer
Soit . Établir
En déduire la valeur de
Solution
Par le changement de variable , on obtient
et donc
puis l’identité proposée.
En observant , on peut appliquer la relation précédente
En coupant l’intégrale en
En procédant au changement de variable dans la seconde intégrale
Enfin, en procédant au changement de variable , on observe
et l’on en déduit
Finalement,
Soient une fonction continue et l’application .
Vérifier que pour tout réel,
Montrer
Pour et des réels tels que , on considère
Calculer , et en fonction .
Pour , calculer via changement de variables puis .
Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour tout tels que .
Solution
Par parité de la fonction intégrée, on a
Par le changement de variable , on obtient
En particulier
alors que par échange des bornes
On en déduit
En procédant aux changements de variable proposés
et donc
Le changement de variable n’est pas bijectif quand parcourt mais dans les calculs précédents, il était possible de l’exploiter sans exprimer en fonction de . L’hypothèse n’a donc pas été utilisée dans l’étude qui précède et donc le résultat proposé se généralise immédiatement.
[<] Changement de variable[>] Calcul de primitives ou d'intégrales se ramenant à une fonction rationnelle
Déterminer des primitives des expressions réelles proposées en indiquant les intervalles de validité:
.
Calculer les intégrales suivantes:
Solution
Par décomposition en éléments simples,
Par intégration par parties,
On décompose
et l’on a
puis
Soient et deux réels. Déterminer sur ses intervalles de définition une primitive de
en discutant selon le signe de11 1 Le réel correspond au quart du discriminant usuel du trinôme : on l’appelle discriminant réduit. Dans le contexte, il permet de proposer une expression simple des racines du trinôme à savoir lorsque . .
Soit . On souhaite exprimer la primitive sur s’annulant en 0 de la fonction
Justifier l’existence et l’unicité de la fonction cherchée.
Celle-ci est désormais notée .
Former une relation de récurrence entre et .
Exprimer et pour tout réel.
Soit d’écriture algébrique . Déterminer une primitive sur de
[<] Calcul de primitives ou d'intégrales de fonctions rationnelles[>] Calcul de primitives ou d'intégrales par une incursion complexe
Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble de validité:
Solution
Sur ,
Sur ,
Sur ,
Sur ,
Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble de validité:
Solution
Sur ,
Sur ,
Sur ,
Sur
donc
Par le changement de variable , calculer
Solution
L’intégrale est bien définie et détermine la primitive s’annulant en de la fonction continue définie sur
Méthode: Le calcul de l’intégrale par le changement de variable proposé n’est possible que sur l’intervalle .
BOF Pour calculer, l’intégrale on est tenté de procéder au changement de variable mais celui-ci n’est possible que pour et alors
Par continuité
Puisque la fonction intégrée est -périodique, on a
avec
On peut alors calculer en commençant par déterminer tel que
puis en exploitant
avec
À l’aide du changement de variable , calculer
Déterminer une primitive sur de la fonction
Solution
Sur avec ,
La fonction est définie et continue sur , cherchons primitive de celle-ci sur .
Pour tout , est primitive sur , donc il existe tel que sur ,
Par limite à droite et à gauche en ,
Par suite,
On peut résumer:
Cela détermine la fonction à une constante près.
Inversement, étant assuré de l’existence de , on peut affirmer que de telles fonctions sont bien primitives de .
Calculer:
Solution
.
.
Par la relation de Chasles
Via des changements de variable affines adéquates,
Sur ,
Soit une primitive de sur .
Il existe tel que sur et par continuité
Finalement, puis .
Soit . Par le changement de variable , calculer
Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble de validité:
Solution
Sur ,
Sur ,
Sur ,
ou encore
Sur ,
Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble de validité:
Solution
Sur , .
Sur , .
Sur ou ,
donc .
Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble de validité:
Solution
Sur ,
Sur ,
, . Sur ,
Sur ,
Sur ,
Sur (et de même sur ),
Sur , déterminer
Solution
On écrit le trinôme sous forme canonique
ce qui invite au changement de variable
qui donne
et enfin
Calculer les intégrales suivantes:
Solution
.
.
.
Au final .
Calculer
[<] Calcul de primitives ou d'intégrales se ramenant à une fonction rationnelle[>] Suites dont le terme général est défini par une intégrale
Soient et deux réels non tous deux nuls. Déterminer une primitive sur des fonctions
Soit . Calculer
Solution
On introduit l’intégrale complexe
On peut directement proposer une primitive
Enfin, en passant à la partie réelle
Soit . Calculer
Calculer
[<] Calcul de primitives ou d'intégrales par une incursion complexe
Pour , calculer
Soient . Calculer
Pour et entiers naturels, on pose:
Former une relation de récurrence liant et .
Donner une expression de à l’aide de factoriels.
Solution
Par intégration par parties,
On en déduit
or
donc
(Intégrales de Wallis)
Pour , on pose
Montrer que pour tout ,
Donner une expression de à l’aide de nombres factoriels en discutant selon la parité de l’entier naturel .
(Intégrales de Wallis)
Pour , on pose
Montrer que et
Montrer que pour tout , on a
Donner une expression de à l’aide de factoriels en distinguant les cas et .
Établir que pour tout ,
Déterminer un équivalent de .
Solution
En appliquant le changement de variable on obtient
est continue, positive sans être la fonction nulle et donc
Par intégration par parties
donc
puis
sachant .
sachant .
Posons . On
et donc pour tout
Pour tout ,
donc
On a
donc . Ainsi .
Par suite,
et donc
sachant .
Pour , on pose
Établir
Vérifier
Application : En employant l’identité , établir
Solution
On procède à une intégration par parties avec
pour écrire
On en déduit la relation proposée.
On vérifie la relation par récurrence sur ou par un calcul direct si l’on sait correctement exprimer le produit d’entiers pairs/impairs consécutifs.
Pour tout , la formule du binôme de Newton donne
On intègre les deux membres de cette identité entre et .
D’une part,
D’autre part,
Par argument de symétrie,
donc
En identifiant ces deux calculs, on obtient la relation souhaitée.
Calculer
Établir, pour tout
Justifier
En déduire
Solution
Par détermination de primitive,
Par sommation géométrique de raison ,
On remarque
Par intégration en bon ordre,
On a
donc
Or l’encadrement de la question précédente se relit
Par encadrement,
Par opérations sur les limites,
Soit
Montrer que en décroissant.
Simplifier et en déduire une expression de à l’aide d’un symbole sommatoire.
Déterminer
Exploiter
pour déterminer
Solution
donc .
De plus, pour tout ,
donc .
donc
et donc
puis la conclusion.
Comme ci-dessus, . De plus,
donc
puis
d’où
On pose, pour
Montrer que la suite tend vers 0.
Montrer que
En déduire que
Solution
On a
donc par encadrement .
Par intégration par parties,
Pour ,
donc
avec
Ainsi,
Pour , on pose
Calculer et .
Établir une relation liant .
En déduire que
Déterminer la limite puis un équivalent simple de .
Soit une suite réelle définie par
On suppose que , montrer, en étudiant , que .
Solution
Directement et
Par intégration par parties,
Par intégration d’une fonction continue, positive et non nulle, on a .
Puisque , on a aussi .
Par encadrement .
Puisque est de limite nulle,
puis
On a
donc .
Si alors tend vers puis
Pour , on pose
Calculer .
Montrer que est une suite strictement croissante.
Montrer que .
Établir
Montrer que
et en déduire que
Solution
, et .
On a
or la fonction
est continue, positive sans être la fonction nulle et donc .
On a
donc .
Par intégration par parties,
On a
car il est connu que pour .
On a alors
donc
Soit . En calculant de deux façons
établir
Solution
Soit . Pour , la formule du binôme de Newton donne
Par linéarité de l’intégrale, on obtient un premier calcul
Méthode: Un second calcul est possible en formant une relation de récurrence sur les termes de la suite .
Soit . On pose
Les fonctions et sont de classe sur et la formule d’intégration par parties donne
Dans l’intégrale obtenue, on écrit astucieusement et l’on obtient
On en déduit la relation de récurrence
Par celle-ci, on peut exprimer en fonction de , de , etc. puis de :
Un calcul immédiat donne et l’on obtient l’écriture
On sait exprimer un produit d’entiers pairs et d’entiers impairs à l’aide de nombres factoriels ce qui donne
Les deux expressions de produisent la formule annoncée.
Pour , calculer
On pourra admettre .
Solution
Pour et , on sait
et donc
On en déduit
La suite est récurrente linéaire d’ordre d’équation caractéristique
de racines et . Il existe donc tels que
Il reste à calculer et à partir de et .
D’une part, le changement de variable donne
D’autre part,
On peut alors déterminer et :
et conclure
Soient et .
Justifier que l’on peut donner un sens à
Exprimer en fonction de pour .
En déduire la valeur de .
Déterminer un équivalent lorsque de
Solution
On a
où l’on remarque que la fonction croît de sur .
Introduisons
On sait
via et (cf. intégrales de Wallis). Montrons en étudiant la différence
On a
et le changement de variable donne
On peut alors affirmer
puis
et finalement
Édité le 08-12-2023
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