Exercice 1 4787

Étudier la dérivabilité de la fonction $f : ℝ \to ℝ$ définie par $f (x) = \frac{x}{1 + | x |}$ .

Exercice 2 736 Correction

Sur quelles parties de $ℝ$ , les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables?

(a)

$x \mapsto x | x |$
(b)

$x \mapsto \frac{x}{| x | + 1}$

Solution

(a)

$f (x) = x | x |$ est définie et continue sur $ℝ$ .
Par opérations, $f$ est dérivable sur $ℝ^{*}$ .
Quand $h \to 0^{+}$ ,

$\frac{f (h) - f (0)}{h} = h \to 0$

et quand $h \to 0^{-}$ ,

$\frac{f (h) - f (0)}{h} = - h \to 0$

$f$ est dérivable en 0 et $f^{'} (0) = 0$ .
(b)

$f (x) = \frac{x}{| x | + 1}$ est définie et continue sur $ℝ$ .
Par opérations $f$ est dérivable sur $ℝ^{*}$ .
Quand $h \to 0$ ,

$\frac{f (h) - f (0)}{h} = \frac{1}{| h | + 1} \to 1$

donc $f$ est dérivable en 0 et $f^{'} (0) = 1$ .

Exercice 3 1354 Correction

Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes:

(a)

$x \mapsto \sqrt{x^{2} - x^{3}}$
(b)

$x \mapsto (x^{2} - 1) \arccos (x^{2})$

Solution

(a)

$f (x) = \sqrt{x^{2} - x^{3}}$ est définie et continue sur $] - \infty; 1]$ .
Par opérations, $f$ est dérivable sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; 1 [$ .
Quand $h \to 0^{+}$ ,

$\frac{f (h) - f (0)}{h} = \sqrt{1 - h} \to 1$

et quand $h \to 0^{-}$ ,

$\frac{f (h) - f (0)}{h} \to - 1$

$f$ n’est pas dérivable en 0 mais y admet un nombre dérivée à droite et à gauche.
Quand $h \to 0^{-}$ ,

$\frac{f (1 + h) - f (1)}{h} = \frac{\sqrt{- h - 2 h^{2} - h^{3}}}{h} \to - \infty$

$f$ n’est pas dérivable en 1, il y a une tangente verticale à son graphe en cet abscisse.
(b)

$f (x) = (x^{2} - 1) \arccos (x^{2})$ est définie et continue sur $[- 1; 1]$ .
Par opération $f$ est dérivable sur $] - 1; 1 [$ .
Quand $h \to 0^{-}$ ,

$\frac{f (1 + h) - f (1)}{h} = (2 + h) \arccos ({(1 + h)}^{2}) \to 0$

$f$ est dérivable en 1 et $f^{'} (1) = 0$ .
Par parité, $f$ est aussi dérivable en $- 1$ et $f^{'} (- 1) = 0$ .

Exercice 4 1360

Soit $f$ une fonction complexe dérivable définie sur un intervalle $I$ . On suppose que la fonction $f$ ne s’annule pas, montrer que la fonction $| f | : I \to ℝ$ est dérivable et exprimer sa dérivée.

Exercice 5 247 Correction

Sur quelles parties de $ℝ$ , les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables?

(a)

$f : x \mapsto {\begin{matrix} x \sin (1 / x) & si x \neq 0 \\ 0 & sinon \end{matrix}$
(b)

$g : x \mapsto {\begin{matrix} x^{2} \sin (1 / x) & si x \neq 0 \\ 0 & sinon \end{matrix}$

Solution

(a)

$f$ est définie et continue sur $ℝ$ .
Par opérations, $f$ est dérivable sur $ℝ^{*}$ .
Quand $h \to 0$ ,

$\frac{f (h) - f (0)}{h} = \sin (\frac{1}{h})$

n’a pas de limite. La fonction $f$ n’est pas dérivable en $0$ .
(b)

$g$ est définie et continue sur $ℝ$ .
Par opérations, $g$ est dérivable sur $ℝ^{*}$ .
Quand $h \to 0$ ,

$\frac{g (h) - g (0)}{h} = h \sin (\frac{1}{h}) \to 0 .$

La fonction $g$ est dérivable en $0$ et $g^{'} (0) = 0$ .

Exercice 6 4789

Déterminer un exemple:

(a)

de fonction dérivable sur $ℝ$ mais de dérivée discontinue en $0$ ;
(b)

de fonction dérivable sur $] 0; + \infty [$ de limite $0$ en $+ \infty$ mais dont la dérivée n’est pas de limite $0$ en $+ \infty$ ;
(c)

de fonction dérivable sur $] 0; + \infty [$ de limite $+ \infty$ en $0$ mais dont la dérivée n’est pas de limite $+ \infty$ en $0$ ;
(d)

de fonction dérivable sur $ℝ$ , de nombre dérivé strictement positif en $0$ mais croissante sur aucun voisinage de $0$ .

Exercice 7 1359

Soient $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction dérivable et $φ : [0; 1] \to ℝ$ définie par:

φ (x) = {\begin{matrix} f (2 x) & si x \in [0; 1 / 2] \\ f (2 x - 1) & sinon. \end{matrix}

À quelle(s) condition(s) la fonction $φ$ est-elle dérivable?

Exercice 8 1357 Correction

(Dérivée symétrique)

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un point de $I$ qui n’en soit pas une extrémité. Si le rapport

\frac{1}{2 h} (f (a + h) - f (a - h))

admet une limite finie quand $h$ tend vers 0, celle-ci est appelée dérivée symétrique de $f$ en $a$ .

(a)

Montrer que, si $f$ est dérivable à droite et à gauche en $a$ , elle admet une dérivée symétrique en $a$ .
(b)

Que dire de la réciproque?

Solution

(a)

Si $f_{d}^{'} (a)$ et $f_{g}^{'} (a)$ existent alors

$\frac{1}{2 h} (f (a + h) - f (a - h)) = \frac{1}{2 h} (f (a + h) - f (a)) + \frac{1}{- 2 h} (f (a - h) - f (a))$

et donc

$\frac{1}{2 h} (f (a + h) - f (a - h)) \to_{h \to 0}^{} \frac{1}{2} (f_{d}^{'} (a) + f_{g}^{'} (a)) .$
(b)

Pour $f (x) = \sqrt{| x |}$ , la dérivée symétrique en 0 existe alors que la fonction n’y est pas dérivable ni à droite, ni à gauche.

Exercice 9 1358

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable en $a \in ℝ$ . Étudier

lim_{\begin{matrix} x \to a \\ x \neq a \end{matrix}} \frac{x f (a) - a f (x)}{x - a} .

Exercice 10 4796

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction continue. Montrer que $f$ est dérivable en $0$ si, et seulement si, le quotient

\frac{f (2 x) - f (x)}{x}

admet une limite finie quand $x$ tend vers $0^{+}$ .

Exercice 11 4803

Soit $f : [a; b [\to ℝ$ une fonction continue et dérivable à droite en tout point.

(a)

Montrer que, si $f_{d}^{'} (x) > 0$ pour tout $x \in [a; b [$ , alors $f$ est strictement croissante.
(b)

Montrer que, si $f_{d}^{'} (x) \geq 0$ pour tout $x \in [a; b [$ , alors $f$ est croissante.

[<] Dérivabilité[>] Application de la dérivation

Exercice 12 4900

Calculer les dérivées des fonctions de la variable réelle $x$ dont les expressions suivent:

(a)

${(\sin (x))}^{3}$
(b)

$\cos (x^{2})$
(c)

$\frac{1}{\ln (x)}$
(d)

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$
(e)

$\frac{x e^{- x^{2}}}{x^{2} + 1}$
(f)

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$ .

Exercice 13 1355 Correction

Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes:

(a)

$x \mapsto \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$
(b)

$x \mapsto \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$
(c)

$x \mapsto \frac{\sin (x)}{{(\cos (x) + 2)}^{4}}$

Solution

(a)

$x \mapsto \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$ est définie et dérivable sur $ℝ$ ,

${(\frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1})}^{'} = \frac{1 - 2 x \arctan (x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} .$
(b)

$x \mapsto \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ est définie et dérivable sur $ℝ ∖ {- 1}$ ,

${(\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})}^{'} = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}} .$
(c)

$x \mapsto \frac{\sin (x)}{{(\cos (x) + 2)}^{4}}$ est définie et dérivable sur $ℝ$ ,

${(\frac{\sin (x)}{{(\cos (x) + 2)}^{4}})}^{'} = \frac{\cos (x)}{{(\cos (x) + 2)}^{4}} + \frac{4 \sin^{2} (x)}{{(\cos (x) + 2)}^{5}} = \frac{4 + 2 \cos (x) - 3 \cos^{2} (x)}{{(\cos (x) + 2)}^{5}} .$

Exercice 14 737 Correction

Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes:

(a)

$x \mapsto x^{x}$
(b)

$x \mapsto {(ch (x))}^{x}$
(c)

$x \mapsto \ln (| x |)$

Solution

(a)

$x \mapsto x^{x}$ est définie et dérivable sur $ℝ_{+}^{*}$ ,

${(x^{x})}^{'} = {(e^{x \ln (x)})}^{'} = (1 + \ln (x)) x^{x} .$
(b)

$x \mapsto {(ch (x))}^{x}$ est définie et dérivable sur $ℝ$ ,

${(ch {(x)}^{x})}^{'} = {(e^{x \ln (ch (x))})}^{'} = (\ln (ch (x)) + x th (x)) {(ch (x))}^{x} .$
(c)

$x \mapsto \ln (| x |)$ est définie et dérivable sur $ℝ^{*}$ ,

${(\ln (| x |))}^{'} = \frac{1}{x} .$

Exercice 15 249 Correction

Calculer les dérivées des fonctions suivantes

f_{1} (x) = \arctan (e^{x}), f_{2} (x) = \arctan (sh (x)) et f_{3} (x) = \arctan (th (\frac{x}{2})) .

Qu’en déduire?

Solution

Par composition, les fonctions $f_{1}$ , $f_{2}$ et $f_{3}$ sont dérivables avec

f_{1}^{'} (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}, f_{2}^{'} (x) = \frac{2 e^{x}}{1 + e^{2 x}} et f_{3}^{'} (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} .

Par les valeurs en $0$ de ces fonctions, on en déduit

f_{1} (x) = \frac{1}{2} f_{2} (x) + \frac{π}{4} = f_{3} (x) + \frac{π}{4} pour tout x \in ℝ .

[<] Calcul de dérivées[>] Dérivation d'application réciproque

Exercice 16 5752 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable et périodique.

Justifier que la dérivée de $f$ est périodique et s’annule au moins deux fois sur chaque période.

Solution

Notons $T > 0$ une période de $f$ .

Pour tout $x \in ℝ$ , $f (x + T) = f (x)$ . Par dérivation en la variable $x$ de cette identité, on obtient $f^{'} (x + T) = f^{'} (x)$ . La fonction $f^{'}$ est donc périodique.

Soit $a \in ℝ$ . Montrons que $f^{'}$ s’annule au moins deux fois sur la période $[a; a + T]$ .

La fonction $f$ est continue sur $[a; a + T]$ , il existe donc $α, β \in [a; a + T]$ tels que

\forall t \in [a; a + T], f (α) \leq f (t) \leq f (β)

Si $f (α) = f (β)$ alors la fonction $f$ est constante et sa dérivée est identiquement nulle.

Si $f (α) < f (β)$ alors la fonction $f$ présente un minimum et un maximum en $α$ et $β$ , y est dérivable et définie de part et d’autre donc $f^{'}$ s’annule en $α$ et $β$ .

Exercice 17 4901

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par la relation

f (x) = \frac{x}{e^{x} + 1} .

Exercice 18 4905

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f (x) = x e^{- x}$ .

(a)

Étudier les variations de la fonction $f$ .
(b)

Calculer la dérivée seconde de $f$ . En quelle valeur $x_{0}$ s’annule-t-elle?
(c)

Vérifier que la courbe représentative de $f$ traverse¹¹ 1 Cela signifie que la courbe représentative de $f$ se situe d’un côté au-dessus de sa tangente et de l’autre en dessous. sa tangente en $x_{0}$ .
(d)

Donner l’allure du graphe de $f$ .

Exercice 19 1356

Pour $λ \in ℝ$ , on considère la fonction $f_{λ} : ℝ \to ℝ$ définie par

f_{λ} (x) = \frac{x + λ}{x^{2} + 1} .

(a)

Montrer que les tangentes en $0$ aux courbes représentatives des fonctions $f_{λ}$ sont parallèles.
(b)

Observer que les tangentes en $1$ sont concourantes¹¹ 1 Autrement dit, les tangentes passent toutes par un même point..

Exercice 20 1366

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ telle que

f (0) < 0 et lim_{+ \infty} f = + \infty .

Montrer que si $f$ s’annule au moins deux fois, alors $f^{'}$ aussi.

Exercice 21 1365 Correction

Déterminer toutes les applications $f : ℝ \to ℝ$ dérivables telles que

f (x + y) = f (x) + f (y) pour tout (x, y) \in ℝ^{2} .

Solution

Soit $f$ solution. En dérivant la relation par rapport à $x$ , on obtient

f^{'} (x + y) = f^{'} (x) .

La fonction $f$ est donc de dérivée constante et par suite $f$ est affine.
De plus, la relation $f (0 + 0) = f (0) + f (0)$ entraîne $f (0) = 0$ et donc $f$ est linéaire.
Inversement: ok.

Exercice 22 360 CENTRALE (MP)

Déterminer les fonctions $f : ℝ \to ℝ$ dérivables vérifiant $f \circ f = f$ .

Exercice 23 5454 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable vérifiant $f \circ f = h$ avec $h = 2 I d_{ℝ}$ .

(a)

Vérifier $h \circ f \circ h^{- 1} = f$ .
(b)

Montrer que $f (0) = 0$ et calculer $f^{'} (0)$ .
(c)

Déterminer $f$ .

Solution

(a)

Puisque $f$ est solution de l’équation $f \circ f = h$ , on a immédiatement

$h \circ f \circ h^{- 1} = f \circ f \circ f \circ h^{- 1} = f \circ h \circ h^{- 1} = f .$
(b)

L’identité précédente se relit

$\forall x \in ℝ, f (x) = 2 f (\frac{x}{2}) .$

Pour $x = 0$ , il vient $f (0) = 2 f (0)$ et donc $f (0) = 0$ .

Par dérivation de fonctions composées,

$f^{'} (0) \times f^{'} (f (0)) = 2$

et donc ${(f^{'} (0))}^{2} = 2$ . On en déduit $f^{'} (0) = \pm \sqrt{2}$ .
(c)

Par récurrence,

$\forall x \in ℝ, \forall n \in ℕ, f (x) = 2^{n} f (\frac{x}{2^{n}}) .$

Or

$\frac{1}{t} f (t) = \frac{f (t) - f (0)}{t} \to_{t \to 0}^{} f^{'} (0)$

et donc, pour $x \neq 0$ ,

$2^{n} f (\frac{x}{2^{n}}) = x \frac{2^{n}}{n} f (\frac{x}{2^{n}}) \to_{n \to + \infty}^{} x f^{'} (0) .$

On en déduit $f (x) = x f^{'} (0)$ pour tout $x \neq 0$ et aussi pour $x = 0$ .

Finalement, les solutions sont les fonctions

$x \mapsto \sqrt{2} x et x \mapsto - \sqrt{2} x .$

Exercice 24 2811 MINES (MP)

Soit $h : ℝ \to ℝ$ l’application¹¹ 1 L’application $h$ est une homothétie de centre $ω$ et de rapport $a$ définie sur la droite réelle. déterminée par $h (x) = ω + a (x - ω)$ avec $a, ω \in ℝ$ et $a \notin {0,1}$ .

On note $S$ l’ensemble des fonctions $f : ℝ \to ℝ$ dérivables telles que $f \circ f = h$ .

(a)

Vérifier que $ω$ est point fixe de tout élément $f$ de $S$ .
(b)

Montrer que $S$ est vide lorsque $a < 0$ .

On suppose désormais $a > 0$ (et toujours $a \neq 1$ ).

(c)

Soit $f \in S$ . Montrer $h^{- 1} \circ f \circ h = f$ .
(d)

En déduire une expression de $f$ en commençant par le cas $0 < a < 1$ .

[<] Application de la dérivation[>] Calcul de dérivées n-ième

Exercice 25 1367 Correction

Soit $f : [0; π / 2] \to ℝ$ définie par

f (x) = \sqrt{\sin (x)} + x .

Justifier que $f$ réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que $f^{- 1}$ est continue et dérivable sur cet intervalle.

Solution

$f$ est continue et strictement croissante, $f (0) = 0$ et $f (π / 2) = 1 + π / 2$ donc $f$ réalise une bijection de $[0; π / 2]$ vers $[0; 1 + π / 2]$ et son application réciproque $f^{- 1}$ est continue.
$f$ est dérivable sur $] 0; π / 2]$ avec

f^{'} (x) = \frac{\cos (x)}{2 \sqrt{\sin (x)}} + 1 > 0

donc $f^{- 1}$ est dérivable sur $f (] 0; π / 2]) =] 0; 1 + π / 2]$ .
Étude de la dérivabilité de $f^{- 1}$ en 0
Quand $h \to 0^{+}$ , en posant $x = f^{- 1} (h) \to 0$

\frac{f^{- 1} (h) - f^{- 1} (0)}{h} = \frac{x}{f (x)} .

\frac{x}{f (x)} = \frac{x}{\sqrt{\sin (x)} + x} = \frac{x}{\sqrt{x} + o (\sqrt{x}) + x} \sim \sqrt{x} \to 0

donc $f^{- 1}$ est dérivable en 0 et ${(f^{- 1})}^{'} (0) = 0$ .

Exercice 26 4833

On considère la fonction $f : x \mapsto 1 + x + x^{1 / 3}$ définie sur $[0; + \infty [$ .

(a)

Justifier que $f$ induit une bijection de $[0; + \infty [$ vers un intervalle $I$ à préciser.
(b)

Étudier la dérivabilité de $f^{- 1}$ sur $I$ .

Exercice 27 2815 MINES (MP)

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $f : [0; 1] \to [0; 1]$ une bijection de classe $𝒞^{1}$ de dérivée strictement positive. Montrer que l’on peut trouver une famille ${(x_{k})}_{1 \leq k \leq n}$ vérifiant

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{f^{'} (x_{k})} = n et \frac{k - 1}{n} < f (x_{k}) < \frac{k}{n} pour tout k = 1, \dots, n .

[<] Dérivation d'application réciproque[>] Théorème de Rolle

Exercice 28 4793

Soit $n \in ℕ$ . Vérifier que les dérivées $n$ -ièmes des fonctions $\cos$ et $\sin$ s’expriment

\frac{d^{n}}{d x^{n}} (\cos (x)) = \cos (x + n \frac{π}{2}) et \frac{d^{n}}{d x^{n}} (\sin (x)) = \sin (x + n \frac{π}{2}) .

Exercice 29 1362 Correction

Calculer la dérivée $n$ -ième de

(a)

$x \mapsto x^{2} {(1 + x)}^{n}$
(b)

$x \mapsto (x^{2} + 1) e^{x}$

Solution

On exploite la formule de Leibniz

(a)

${(x^{2} {(1 + x)}^{n})}^{(n)} = (\binom{n}{0}) x^{2} {({(1 + x)}^{n})}^{(n)} + (\binom{n}{1}) {(x^{2})}^{'} {({(1 + x)}^{n})}^{(n - 1)} + (\binom{n}{2}) {(x^{2})}^{''} {({(1 + x)}^{n})}^{(n - 2)}$

donc

${(x^{2} {(1 + x)}^{n})}^{(n)} = n! x^{2} + 2 n \cdot n! x (1 + x) + n (n - 1) \frac{n!}{2} {(1 + x)}^{2} .$
(b)

${((x^{2} + 1) e^{x})}^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) {(x^{2} + 1)}^{(k)} {(e^{x})}^{(n - k)} = (x^{2} + 2 n x + n (n - 1) + 1) e^{x} .$

Exercice 30 1364

En calculant de deux façons la dérivée $n$ -ième de $x \mapsto x^{2 n}$ , établir

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} .

Exercice 31 4794

Soit $n \in ℕ$ . Calculer les dérivées $n$ -ièmes des fonctions suivantes:

(a)

$x \mapsto x^{p}$ (avec $p \in ℕ$ )
(b)

$x \mapsto \frac{1}{x}$
(c)

$x \mapsto (x^{2} - x + 1) e^{- x}$
(d)

$x \mapsto \cos^{3} (x)$
(e)

$x \mapsto \cos (x) e^{x}$
(f)

$x \mapsto \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

Exercice 32 251 Correction

Calculer la dérivée $n$ -ième de

x \mapsto \frac{1}{1 - x^{2}} .

Solution

Par décomposition en éléments simples

\frac{1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} .

{(\frac{1}{1 - x})}^{(n)} = \frac{n!}{{(1 - x)}^{n + 1}} et {(\frac{1}{1 + x})}^{(n)} = {(- 1)}^{n} \frac{n!}{{(1 + x)}^{n + 1}}

donc

{(\frac{1}{1 - x^{2}})}^{(n)} = \frac{n!}{2 {(1 - x)}^{n + 1}} + \frac{{(- 1)}^{n} n!}{2 {(1 + x)}^{n + 1}} .

Exercice 33 253

Déterminer les points d’annulation de la dérivée $n$ -ième de la fonction arc tangente.

Exercice 34 743 Correction

Calculer la dérivée $n$ -ième de $x \mapsto \cos^{3} (x)$

Solution

On a

\cos (3 x) = 4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)

donc on peut linéariser

\cos^{3} (x) = \frac{1}{4} (3 \cos (x) + \cos (3 x)) .

On sait

{(\cos (x))}^{(n)} = \cos (x + n π / 2) et {(\cos (3 x))}^{(n)} = 3^{n} \cos (3 x + n π / 2)

et l’on obtient donc

{(\cos^{3} (x))}^{(n)} = \frac{1}{4} (3 \cos (x + n π / 2) + 3^{n} \cos (3 x + n π / 2)) .

Exercice 35 3863 Correction

Calculer la dérivée $n$ -ième de la fonction réelle $t \mapsto \cos (t) e^{t}$ .

Solution

On peut écrire

\cos (t) e^{t} = Re (e^{(1 + i) t})

et donc

{(\cos (t) e^{t})}^{(n)} = {(Re (e^{(1 + i) t}))}^{(n)} = Re ({(1 + i)}^{n} e^{(1 + i) t}) .

Or ${(1 + i)}^{n} = 2^{n / 2} e^{i n π / 4}$ puis

{(\cos (t) e^{t})}^{(n)} = 2^{n / 2} e^{t} \cos (t + n π / 4) .

Exercice 36 1363 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ définie par $f (x) = e^{x \sqrt{3}} \sin (x)$ . Montrer que

f^{(n)} (x) = 2^{n} e^{x \sqrt{3}} \sin (x + \frac{n π}{6}) .

Solution

Par récurrence sur $n \in ℕ$ .
Pour $n = 0$ : ok
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 0$ .

f^{(n + 1)} (x) = {(2^{n} e^{x \sqrt{3}} \sin (x + \frac{n π}{6}))}^{'}

donc

f^{(n + 1)} (x) = 2^{n} (\sqrt{3} \sin (x + \frac{n π}{6}) + \cos (x + \frac{n π}{6})) e^{x \sqrt{3}}

puis

f^{(n + 1)} (x) = 2^{n + 1} \sin (x + \frac{(n + 1) π}{6}) e^{x \sqrt{3}} .

Récurrence établie.
On peut aussi écrire

f (x) = e^{x \sqrt{3}} \sin (x) = Im (e^{(\sqrt{3} + i) x})

et exploiter cela pour calculer directement la dérivée d’ordre $n$ .

Exercice 37 252 Correction

Soit $f : x \mapsto \arctan (x)$ .

(a)

Montrer que pour tout $n \geq 1$

$f^{(n)} (x) = (n - 1)! \cos^{n} (f (x)) \sin (n f (x) + n π / 2) .$
(b)

En déduire les racines de $f^{(n)}$ pour $n \geq 1$ .

Solution

(a)

Par récurrence sur $n \geq 1$ .
Pour $n = 1$

$f^{'} (x)$ $= \frac{1}{1 + x^{2}} et$

$\cos (f (x)) \sin (f (x) + π / 2)$ $= \cos^{2} (\arctan (x)) = \frac{1}{1 + x^{2}} .$

Supposons la propriété vérifiée au rang $n \geq 1$

$f^{(n + 1)} (x) = \frac{n!}{1 + x^{2}} [\begin{matrix} - \sin (f (x)) \sin (n f (x) + n π / 2) \\ + \cos (n f (x) + n π / 2) \cos (f (x)) \end{matrix}] \cos^{n - 1} (f (x)) .$

Or

$\frac{1}{1 + x^{2}} = \cos^{2} (f (x))$

donc

$f^{(n + 1)} (x) = n! [\begin{matrix} \sin (f (x)) \cos (n f (x) + (n + 1) π / 2) \\ + \sin (n f (x) + (n + 1) π / 2) \cos (f (x)) \end{matrix}] \cos^{n + 1} (f (x))$

puis

$f^{(n + 1)} (x) = n! \sin ((n + 1) f (x) + (n + 1) π / 2) \cos^{n + 1} (f (x)) .$

Récurrence établie.
(b)

Puisque $\arctan (x) \in] - π / 2; π / 2 [$ , $\cos (f (x)) \neq 0$ .
Par suite,

$f^{(n)} (x) = 0 \Leftrightarrow \sin (n f (x) + n π / 2) = 0$

et donc

$f^{(n)} (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) = \frac{k π}{n} - \frac{π}{2} avec k \in {1, \dots, n - 1} .$

Au final, les racines de $f^{(n)}$ sont les

$\cot (\frac{k π}{n}) avec k \in {1, \dots, n - 1} .$

Exercice 38 254 Correction

Montrer que la dérivée d’ordre $n$ de $x^{n - 1} e^{1 / x}$ est

{(- 1)}^{n} x^{- (n + 1)} e^{1 / x} .

Solution

Par récurrence sur $n \in ℕ$ .
Pour $n = 0$ : ok.
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 0$ .

{(x^{n} e^{1 / x})}^{(n + 1)} = {(x . x^{n - 1} e^{1 / x})}^{(n + 1)} = x {(x^{n - 1} e^{1 / x})}^{(n + 1)} + (n + 1) {(x^{n - 1} e^{1 / x})}^{(n)}

donc

{(x^{n} e^{1 / x})}^{(n + 1)} = x {({(- 1)}^{n} x^{- (n + 1)} e^{1 / x})}^{'} + (n + 1) {(- 1)}^{n} x^{- (n + 1)} e^{1 / x}

ce qui donne

{(x^{n} e^{1 / x})}^{(n + 1)} = {(- 1)}^{n + 1} x^{- (n + 2)} e^{1 / x} .

Récurrence établie.

Exercice 39 568

Soit $f :] 0; + \infty [\to ℝ$ une fonction indéfiniment dérivable. Pour tout $x \neq 0$ et tout $n \in ℕ$ , établir l’identité

\frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n - 1} f (\frac{1}{x})) = \frac{{(- 1)}^{n}}{x^{n + 1}} f^{(n)} (\frac{1}{x}) .

Exercice 40 5023

Soit $n \in ℕ^{*}$ .

(a)

Montrer

$\frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n} \ln (x)) = n! (\ln (x) + 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) pour tout x > 0 .$
(b)

En déduire

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k} (\binom{n}{k}) = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} .$

[<] Calcul de dérivées n-ième[>] Théorème de Rolle et fonction auxiliaire

Exercice 41 1370 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ dérivable. On suppose que $f^{'}$ ne s’annule pas.
Montrer que $f$ ne peut être périodique.

Solution

Si $f$ est $T$ -périodique avec $T > 0$ alors en appliquant le théorème de Rolle entre par exemple $0$ et $T$ , la dérivée de $f$ s’annule.

Exercice 42 1371 Correction

Soient $a, b, c \in ℝ$ . Montrer qu’il existe $x \in] 0; 1 [$ tel que

4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x = a + b + c .

Solution

Soit $φ : [0; 1] \to ℝ$ définie par

φ (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} - (a + b + c) x

$φ$ est dérivable et $φ (0) = 0 = φ (1)$ . Il suffit d’appliquer le théorème de Rolle pour conclure.

Exercice 43 5070

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction dérivable telle que $f (0) = f (1)$ et $f^{'} (0) f^{'} (1) > 0$ .

Montrer que $f^{'}$ s’annule au moins deux fois sur $] 0; 1 [$ .

Exercice 44 4790

Soit $f : I \to ℝ$ une application $n$ fois dérivable.

On suppose que $f$ s’annule en au moins $n + 1$ points distincts de $I$ . Montrer que la dérivée $n$ -ième de $f$ s’annule au moins une fois sur $I$ .

Exercice 45 1376 Correction

Soient $n \in ℕ$ , $a < b \in ℝ$ et $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction $n$ fois dérivable.
Montrer que si

f (a) = f^{'} (a) = \dots = f^{(n - 1)} (a) = 0 et f (b) = 0

alors il existe $c \in] a; b [$ tel que $f^{(n)} (c) = 0$ .

Solution

En appliquant le théorème de Rolle à $f$ entre $a$ et $b$ : il existe $c_{1} \in] a; b [$ tel que $f^{'} (c_{1}) = 0$ .
En appliquant le théorème de Rolle à $f^{'}$ entre $a$ et $c_{1}$ : il existe $c_{2} \in] a; c_{1} [$ tel que $f^{''} (c_{2}) = 0$ .
…
En appliquant le théorème de Rolle à $f^{(n - 1)}$ entre $a$ et $c_{n - 1}$ : il existe $c_{n} \in] a; c_{n - 1} [$ tel que $f^{(n)} (c_{n}) = 0$ .
$c = c_{n}$ résout le problème.

Exercice 46 4797

(Théorème de Rolle généralisé¹¹ 1 On peut proposer et établir de la même façon un énoncé général: pour $a < b$ réels ou infinis, si $f :] a; b [\to R$ est dérivable et présente des limites finies ou infinies égales en $a$ et $b$ alors la dérivée de $f$ s’annule.)

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable admettant les mêmes limites finies en $+ \infty$ et $- \infty$ . Montrer qu’il existe $c \in ℝ$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Exercice 47 1374 Correction

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction dérivable telle que

lim_{+ \infty} f = f (0) .

Montrer qu’il existe $c > 0$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Solution

Si $f$ est constante, la propriété est immédiate.
Sinon, il existe $x_{0} \in] 0; + \infty [$ tel que $f (x_{0}) \neq f (0)$ .
Posons $y = \frac{1}{2} (f (x_{0}) + f (0))$ qui est une valeur intermédiaire à $f (0)$ et $f (x_{0})$ .
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $a \in] 0; x_{0} [$ tel que $f (a) = y$ .
Puisque ${lim}_{+ \infty} f = f (0)$ , $y$ est une valeur intermédiaire à $f (x_{0})$ et une valeur $f (x_{1})$ avec $x_{1}$ suffisamment grand. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $b \in] x_{0}; x_{1}]$ tel que $f (b) = y$ .
En appliquant le théorème de Rolle sur $[a; b]$ , on peut alors conclure.

Exercice 48 1373 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ dérivable telle que

lim_{- \infty} f = lim_{+ \infty} f = + \infty .

Montrer qu’il existe $c \in ℝ$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Solution

Puisque ${lim}_{- \infty} f = + \infty$ et ${lim}_{+ \infty} f = + \infty$ , il existe $a < 0$ et $b > 0$ tels que

f (a) > f (0) + 1 et f (b) > f (0) + 1 .

En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires entre $a$ et 0, d’une part, et $0$ et $b$ d’autre part, il existe $α \in] a; 0 [$ et $β \in] 0; b [$ tels que $f (α) = f (0) + 1 = f (β)$ .
En appliquant le théorème de Rolle entre $α$ et $β$ , il existe $c \in] α; β [\subset ℝ$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Exercice 49 1375 Correction

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ dérivable vérifiant

f (a) = f (b) = 0 et f^{'} (a) > 0, f^{'} (b) > 0 .

Montrer qu’il existe $c_{1}, c_{2}, c_{3} \in] a; b [$ tels que $c_{1} < c_{2} < c_{3}$ et

f^{'} (c_{1}) = f (c_{2}) = f^{'} (c_{3}) = 0 .

Solution

Puisque $f (a) = 0$ et $f^{'} (a) > 0$ , il existe $x_{1} \in] a; b [$ tel que $f (x_{1}) > 0$ .
En effet, si pour tout $x_{1} \in] a; b [$ , $f (x_{1}) \leq 0$ alors quand $h \to 0^{+}$ , $\frac{f (a + h) - f (a)}{h} \leq 0$ et donc $f^{'} (a) \leq 0$ .
De même, puisque $f (b) = 0$ et $f^{'} (b) > 0$ , il existe $x_{2} \in] a; b [$ tel que $f (x_{2}) < 0$ .
Puisque $f$ prend une valeur positive et une valeur négative dans $] a; b [$ , par le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ s’y annule.
Ainsi il existe $c_{2} \in] a; b [$ tel que $f (c_{2}) = 0$ .
En appliquant le théorème de Rolle sur $[a; c_{2}]$ et $[c_{2}; b]$ , on obtient $c_{1}$ et $c_{3}$ .

Exercice 50 1377 Correction

Soient $a > 0$ et $f$ une fonction réelle continue sur $[0; a]$ et dérivable sur $] 0; a]$ .
On suppose

f (0) = 0 et f (a) f^{'} (a) < 0 .

Montrer qu’il existe $c \in] 0; a [$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Solution

Quitte à considérer $- f$ , on peut supposer $f (a) > 0$ et $f^{'} (a) < 0$ .
Puisque $f^{'} (a) < 0$ , il existe $b \in] 0; a [$ tel que $f (b) > f (a)$ .
En appliquant le théorème de valeurs intermédiaires entre 0 et $b$ , il existe $α \in] 0; b [$ tel que $f (α) = f (a)$ .
En appliquant le théorème de Rolle entre $α$ et $a$ , on obtient $c \in] α; a [\subset] 0; a [$ tel que $f^{'} (c) = 0$ .

Exercice 51 4799

(Théorème de Darboux)

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction dérivable

(a)

On suppose $f^{'} (a) < 0$ et $f^{'} (b) > 0$ . Montrer que la dérivée de $f$ s’annule.
(b)

Plus généralement, on considère $y$ un réel strictement compris entre $f^{'} (a)$ et $f^{'} (b)$ . Montrer que la dérivée de $f$ prend la valeur $y$ .

Exercice 52 262 Correction

Pour $n \in ℕ$ , on pose $f_{n}$ la dérivée $n$ -ième de la fonction $x \mapsto {(x^{2} - 1)}^{n}$ .

(a)

Montrer que $f_{n}$ est une fonction polynomiale de degré $n$ .
(b)

Calculer $f_{n} (1)$ et $f_{n} (- 1)$ .
(c)

Montrer que $f_{n}$ possède exactement $n$ racines distinctes toutes dans $] - 1; 1 [$ .

Solution

(a)

${(X^{2} - 1)}^{n}$ est de degré $2 n$ donc ${({(X^{2} - 1)}^{n})}^{(n)}$ est de degré $n$ .
(b)

Introduisons $g_{n} : x \mapsto {(x^{2} - 1)}^{n}$ de sorte que $f_{n} = g_{n}^{(n)}$ .

On a

$g_{n} (x) = {(x + 1)}^{n} {(x - 1)}^{n} \underset{x \to 1}{=} 2^{n} {(x - 1)}^{n} + o ({(x - 1)}^{n}) .$

Par la formule de Taylor-Young, on a parallèlement

$g_{n} (x) \underset{x \to 1}{=} \frac{g_{n}^{(n)} (1)}{n!} {(x - 1)}^{n} + o ({(x - 1)}^{n})$

donc

$f_{n} (1) = g_{n}^{(n)} (1) = 2^{n} n! .$

De manière similaire,

$f_{n} (- 1) = {(- 1)}^{n} 2^{n} n! .$
(c)

1 et $- 1$ sont racines de multiplicité $n$ de $g_{n} : x \mapsto {(x^{2} - 1)}^{n}$ , 1 et $- 1$ sont donc racines des fonctions $g_{n}, g_{n}^{'}, \dots, g_{n}^{(n - 1)}$ .

En appliquant successivement le théorème de Rolle, on montre que $g_{n}^{'}, g_{n}^{''}, \dots, g_{n}^{(n)} = f_{n}$ admettent resp. $1,2, \dots, n$ racines dans $] - 1; 1 [$ .

Puisque $f_{n}$ est une fonction polynomiale de degré $n$ , ces racines sont simples et il ne peut y en avoir d’autres.

Exercice 53 4802

Soit $f : ℝ \to ℝ$ définie par $f (x) = e^{- x^{2}}$ .

Montrer que pour tout $n \in ℕ$ , il existe un polynôme réel $P_{n}$ tel que

f^{(n)} (x) = P_{n} (x) e^{- x^{2}} pour tout x \in ℝ .

Établir que $P_{n}$ possède exactement $n$ racines réelles.

[<] Théorème de Rolle[>] Théorème des accroissements finis

Exercice 54 1380 Correction

Soit $a > 0$ et $f : [0; a] \to ℝ$ une fonction dérivable telle que

f (0) = f (a) = 0 et f^{'} (0) = 0 .

(a)

Montrer que la dérivée de $x \mapsto f (x) / x$ s’annule sur $] 0; a [$ .
(b)

En déduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à $f$ passe par l’origine.

Solution

(a)

La fonction $g : x \mapsto f (x) / x$ est définie, continue et dérivable sur $] 0; a]$ .
Quand $x \to 0$ ,

$g (x) \to f^{'} (0) = 0 .$

Prolongeons $g$ par continuité en 0 en posant $g (0) = 0$ .
Puisque $g$ est continue sur $[0; a]$ , dérivable sur $] 0; a [$ et puisque $g (0) = g (a)$ , le théorème de Rolle assure l’annulation de la dérivée de $g$ en un point $c \in] 0; a [$ .
(b)

$g^{'} (x) = \frac{x f^{'} (x) - f (x)}{x^{2}}$

donc $g^{'} (c) = 0$ donne $c f^{'} (c) = f (c)$ .
La tangente à $f$ en $c$ a pour équation:

$y = f^{'} (c) (x - c) + f (c) = f^{'} (c) x .$

Elle passe par l’origine.

Exercice 55 4798

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction dérivable telle que

f (0) = f^{'} (0) = 0 et lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ \in ℝ .

Montrer qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à la courbe représentative de $f$ passe par l’origine.

Exercice 56 3436 Correction

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ de classe $𝒞^{2}$ vérifiant

f (a) = f^{'} (a) et f (b) = f^{'} (b) .

Montrer qu’il existe $c \in] a; b [$ tel que

f (c) = f^{''} (c) .

On pourra introduire une fonction auxiliaire dépendant de $f (x)$ , $f^{'} (x)$ et $e^{x}$ .

Solution

Introduisons $φ : x \mapsto (f (x) - f^{'} (x)) e^{x}$ .
La fonction $φ$ est définie et continue sur $[a; b]$ , $φ$ est dérivable sur $] a; b [$ et $φ (a) = 0 = φ (b)$ .
Par le théorème de Rolle, on peut affirmer qu’il existe $c \in] a; b [$ tel que

φ^{'} (c) = 0 .

φ^{'} (x) = (f (x) - f^{''} (x)) e^{x}

donc $φ^{'} (c) = 0$ donne

f (c) = f^{''} (c) .

Exercice 57 5027

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction dérivable s’annulant en $a$ et $b$ .

(a)

Soit $α \in ℝ$ . Montrer qu’il existe $c \in] a; b [$ tel que $f^{'} (c) + α f (c) = 0$ .
(b)

Montrer qu’il existe $c \in] a; b [$ tel que $f^{'} (c) + c f (c) = 0$ .

Exercice 58 1372 Correction

Soit $n \in ℕ$ et $f : I \to ℝ$ une application de classe $𝒞^{n}$ s’annulant en $n + 1$ points distincts de $I$ .

(a)

Montrer que la dérivée $n$ -ième de $f$ s’annule au moins une fois sur $I$ .
(b)

Soit $α$ un réel. Montrer que la dérivée $(n - 1)$ -ième de $f^{'} + α f$ s’annule au moins une fois sur $I$ .

On pourra introduire une fonction auxiliaire.

Solution

(a)

Notons $a_{0} < a_{1} < \dots < a_{n}$ les $n + 1$ points où nous savons que $f$ s’annule.
Pour tout $i \in {1, \dots, n}$ , on peut appliquer le théorème de Rolle à $f$ sur $[a_{i - 1}; a_{i}]$ .
En effet, $f$ est continue sur $[a_{i - 1}; a_{i}]$ , dérivable sur $] a_{i - 1}; a_{i} [$ et $f (a_{i - 1}) = 0 = f (a_{i})$ .
Par le théorème de Rolle, il existe $b_{i} \in] a_{i - 1}; a_{i} [$ tel que $f^{'} (b_{i}) = 0$ .
Puisque $b_{1} < a_{1} < b_{2} < \dots < a_{n - 1} < b_{n}$ , les $b_{1}, \dots, b_{n}$ sont deux à deux distincts.
Ainsi $f^{'}$ s’annule au moins $n$ fois.
De même, $f^{''}$ s’annule au moins $n - 1$ fois et ainsi de suite jusqu’à $f^{(n)}$ s’annule au moins une fois.
(b)

Considérons $g (x) = f (x) e^{α x}$ . La fonction $g$ s’annule $n + 1$ fois et donc $g^{'}$ s’annule au moins $n$ fois. Or

$g^{'} (x) = (f^{'} (x) + α f (x)) e^{α x}$

et les annulations de $g^{'}$ sont donc les annulations de $f^{'} + α f$ .

Puisque $f^{'} + α f$ s’annule $n$ fois, la dérivée $(n - 1)$ -ième de $f^{'} + α f$ s’annule au moins une fois.

Exercice 59 264 Correction

Soient $f : [a; b] \to ℝ$ de classe $𝒞^{n}$ s’annulant en $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ .
Montrer que pour chaque $x_{0} \in [a; b]$ , il existe $c \in] a; b [$ vérifiant

f (x_{0}) = \frac{(x_{0} - a_{1}) (x_{0} - a_{2}) \dots (x_{0} - a_{n})}{n!} f^{(n)} (c) .

On pourra, lorsque cela est possible, introduire un réel $K$ tel que

f (x_{0}) = \frac{(x_{0} - a_{1}) \dots (x_{0} - a_{n})}{n!} K

et établir que la dérivée $n$ -ième de $x \mapsto f (x) - \frac{(x - a_{1}) \dots (x - a_{n})}{n!} K$ s’annule.

Solution

Si $x_{0} \in {a_{1}, \dots, a_{n}}$ n’importe quel $c$ convient.
Si $x_{0} \notin {a_{1}, \dots, a_{n}}$ , il existe une constante $K$ telle que

f (x_{0}) = \frac{(x_{0} - a_{1}) \dots (x_{0} - a_{n})}{n!} K .

La fonction $x \mapsto f (x) - \frac{(x - a_{1}) \dots (x - a_{n})}{n!} K$ est de classe $𝒞^{n}$ et s’annule en $a_{1}, \dots, a_{n}$ et $x_{0}$ ce qui fournit au moins $n + 1$ valeurs d’annulation et permet, par le théorème de Rolle, de conclure que sa dérivée $n$ -ième s’annule en un $c \in] a; b [$ . Or

\frac{d^{n}}{d x^{n}} (f (x) - \frac{(x - a_{1}) \dots (x - a_{n})}{n!} K) = f^{(n)} (x) - K

donc $K = f^{(n)} (c)$ .

Exercice 60 4800

(Écart à la corde)

Soient $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{2}$ et $φ : [a; b] \to ℝ$ la fonction affine prenant les mêmes valeurs que $f$ en $a$ et $b$ .

(a)

Montrer que pour tout $x_{0} \in [a; b]$ , il existe $c \in] a; b [$ tel que

$f (x_{0}) - φ (x_{0}) = \frac{(x_{0} - a) (x_{0} - b)}{2} f^{''} (c) .$
(b)

En déduire que pour tout $x \in [a; b]$ ,

$| f (x) - φ (x) | \leq \frac{{(b - a)}^{2}}{8} sup_{[a; b]} | f^{''} | .$

Exercice 61 2820 MINES (MP)Correction

Soient $f : I \to ℝ$ une fonction deux fois dérivable sur $I$ et $a, b, c$ trois points distincts de $I$ .

Montrer qu’il existe $d \in I$ tel que

\frac{f (a)}{(a - b) (a - c)} + \frac{f (b)}{(b - c) (b - a)} + \frac{f (c)}{(c - a) (c - b)} = \frac{1}{2} f^{''} (d) .

Solution

Considérons

g : x \mapsto (x - b) f (a) + (a - x) f (b) + (b - a) f (x) - \frac{1}{2} (a - b) (b - x) (x - a) K

où la constante $K$ est choisie de sorte que $g (c) = 0$ (ce qui est possible).
La fonction $g$ s’annule en $a$ , en $b$ et en $c$ donc par le théorème de Rolle, il existe $d \in I$ tel que $g^{''} (d) = 0$ ce qui résout le problème posé.

Exercice 62 1378

(Règle de L’Hospital)

Soient $f, g : [a; b] \to ℝ$ deux fonctions continues sur $[a; b]$ et dérivables sur $] a; b [$ . On suppose que la dérivée de $g$ ne s’annule pas sur $] a; b [$ .

(a)

Montrer que $g (a) \neq g (b)$ .
(b)

Montrer qu’il existe $c \in] a; b [$ tel que

$\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)} .$
(c)

En déduire que, si le quotient $f^{'} / g^{'}$ admet une limite en $a$ par valeurs supérieures, alors

$lim_{t \to a^{+}} \frac{f (t) - f (a)}{g (t) - g (a)} = lim_{t \to a^{+}} \frac{f^{'} (t)}{g^{'} (t)} .$
(d)

Application : Soit $h : ℝ \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{2}$ telle que $h (0) = 1$ , $h^{'} (0) = 0$ et $h^{''} (0) = a \in ℝ$ . Montrer

$lim_{t \to 0^{+}} {(h (x t))}^{1 / t^{2}} = e^{a x^{2} / 2} pour tout x \in ℝ .$

[<] Théorème de Rolle et fonction auxiliaire[>] Obtention d'inégalités

Exercice 63 5458 Correction

Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f : x \mapsto \arccos (1 - x^{2})$ définie sur $[0; \sqrt{2}]$ .

Solution

Rappelons que la fonction $\arccos$ est définie et continue sur $[- 1; 1]$ et dérivable sur $] - 1; 1 [$ .

Pour tout $x \in [0; \sqrt{2}]$ , on vérifie $1 - x^{2} \in [- 1; 1]$ . La fonction $f$ est donc définie sur $[- 1; 1]$ . Par composition, $f$ est aussi continue sur $[- 1; 1]$ et dérivable sur $] - 1; 1 [$ . Étudions sa dérivabilité en $\pm 1$ .

Pour tout $x \in] - 1; 1 [$ ,

f^{'} (x) = - \frac{- 2 x}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{2}}} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - x^{4}}} = \frac{2}{\sqrt{2 - x^{2}}} .

On observe

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = \sqrt{2} et lim_{x \to {\sqrt{2}}^{-}} f^{'} (x) = + \infty .

Par le théorème de la limite de la dérivée, on peut affirmer que $f$ est dérivable en $0$ avec $f^{'} (0) = \sqrt{2}$ alors que $f$ n’est pas dérivable en $\sqrt{2}$ où son graphe présente une tangente verticale.

Exercice 64 1386 Correction

Soit $f : I \to ℝ$ dérivable.
Montrer que $f$ est lipschitzienne si, et seulement si, sa dérivée est bornée.

Solution

$(⟸)$ En vertu de l’inégalité des accroissements finis.

$(⟹)$ Si $f$ est $k$ lipschitzienne alors pour tous $x, y \in I$ tels que $x \neq y$ , on a

| \frac{f (x) - f (y)}{x - y} | \leq k .

À la limite quand $y \to x$ , on obtient $| f^{'} (x) | \leq k$ . Par suite, $f^{'}$ est bornée.

Exercice 65 1384 Correction

À l’aide du théorème des accroissements finis déterminer

lim_{x \to + \infty} ((x + 1) e^{\frac{1}{x + 1}} - x e^{\frac{1}{x}}) .

Solution

Par le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction $x \mapsto x e^{1 / x}$ entre $x$ et $x + 1$ :
il existe $c_{x} \in] x; x + 1 [$ tel que

(x + 1) e^{1 / (x + 1)} - x e^{1 / x} = (\frac{c_{x} - 1}{c_{x}}) e^{\frac{1}{c_{x}}} (x + 1 - x) = (\frac{c_{x} - 1}{c_{x}}) e^{\frac{1}{c_{x}}} .

Quand $x \to + \infty$ , $c_{x} \to + \infty$ car $c_{x} \geq x$ .
Par suite,

(\frac{c_{x} - 1}{c_{x}}) e^{\frac{1}{c_{x}}} \to 1

et donc

lim_{x \to + \infty} ((x + 1) e^{\frac{1}{x + 1}} - x e^{\frac{1}{x}}) = 1 .

Exercice 66 267 Correction

Montrer à l’aide du théorème des accroissements finis que

\sqrt[n + 1]{n + 1} - \sqrt[n]{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} - \frac{\ln (n)}{n^{2}} .

Solution

En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $x \mapsto x^{1 / x}$ entre $n$ et $n + 1$ , on obtient

\sqrt[n + 1]{n + 1} - \sqrt[n]{n} = \frac{1 - \ln (c)}{c^{2}} c^{1 / c}

avec $c \in] n; n + 1 [$ .

Par encadrement,

c \underset{n \to + \infty}{\sim} n et \ln (c) \underset{n \to + \infty}{\sim} \ln (n)

Puisque $c^{1 / c} \to_{n \to + \infty}^{} 1$ ,

\sqrt[n + 1]{n + 1} - \sqrt[n]{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} - \frac{\ln (n)}{n^{2}} .

Exercice 67 1381

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction dérivable. Montrer que pour tout réel $x$ , il existe $c > 0$ vérifiant

f (x) - f (- x) = x (f^{'} (c) + f^{'} (- c)) .

Exercice 68 1382 Correction

Soit $f$ une fonction de classe $𝒞^{2}$ sur $[a; a + 2 h]$ (avec $a \in ℝ$ et $h > 0$ ).
Montrer

\exists c \in] a; a + 2 h [, f (a + 2 h) - 2 f (a + h) + f (a) = h^{2} f^{''} (c) .

On pourra introduire $φ (x) = f (x + h) - f (x)$ .

Solution

La fonction $φ$ proposée est définie et de classe $𝒞^{2}$ sur $[a; a + h]$ .

f (a + 2 h) - 2 f (a + h) + f (a) = φ (a + h) - φ (a) .

Par le théorème des accroissements finis appliqué à $φ$ entre $a$ et $a + h$ , il existe $b \in] a; a + h [$ tel que

φ (a + h) - φ (a) = h φ^{'} (b) = h (f^{'} (b + h) - f^{'} (b)) .

Par le théorème des accroissements finis appliqué à $f^{'}$ entre $b$ et $b + h$ , il existe $c \in] b; b + h [\in] a; a + 2 h [$ tel que

f^{'} (b + h) - f^{'} (b) = h f^{''} (c) puis f (a + 2 h) - 2 f (a + h) + f (a) = h^{2} f^{''} (c) .

Exercice 69 3886

(Fonctions hölderiennes)

Une fonction $f : I \to ℝ$ est dite hölderienne d’exposant $α > 0$ s’il existe $M \in ℝ_{+}$ vérifiant¹¹ 1 Pour $α \in [0; 1]$ , on montre que la fonction $t \mapsto t^{α}$ est hölderienne d’exposant $α$ sur $ℝ_{+}$ (voir le sujet 1832).

| f (y) - f (x) | \leq M {| y - x |}^{α} pour tout (x, y) \in I^{2} .

(a)

Montrer qu’une fonction $f : [a; b] \to ℝ$ de classe $𝒞^{1}$ est hölderienne d’exposant $1$ .
(b)

Démontrer que les fonctions hölderiennes d’exposant $> 1$ sont constantes.

On considère la fonction $f : x \mapsto x \ln (x)$ définie sur $] 0; 1]$ .

(c)

Montrer que la fonction $f$ n’est pas hölderienne d’exposant 1.
(d)

Vérifier cependant que $f$ est hölderienne d’exposant $α$ pour tout $α \in] 0; 1 [$ .

Exercice 70 5466 Correction

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction dérivable. On suppose que les fonctions $f$ et $f^{'}$ admettent chacune une limite en $+ \infty$ . Déterminer la limite de $f^{'}$ .

Solution

Notons $ℓ$ et $ℓ^{'}$ les limites de $f$ et $f^{'}$ en $+ \infty$ .

Soit $x \in ℝ_{+}$ . En appliquant le théorème des accroissements finis à $f$ entre $x$ et $x + 1$ , on peut affirmer qu’il existe $c_{x} \in] x; x + 1 [$ tel que

f (x + 1) - f (x) = f^{'} (c_{x}) ((x + 1) - x) = f^{'} (c_{x}) .

Puisque $c_{x} \geq x$ , on a par minoration

c_{x} \to_{x \to + \infty}^{} + \infty .

Par composition de limites dans l’égalité précédente, il vient alors

ℓ - ℓ = ℓ^{'}

et donc $ℓ^{'} = 0$ .

Exercice 71 4801

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction bornée et dérivable. On suppose que la dérivée $f^{'}$ admet une limite $ℓ$ en $+ \infty$ . Déterminer la valeur de celle-ci.

Exercice 72 1341 MINES (MP)

Soit $f :] 0; 1] \to ℝ$ une fonction dérivable. On suppose

f (x) \to_{x \to 0^{+}}^{} ℓ \in ℝ et x f^{'} (x) \to_{x \to 0^{+}}^{} ℓ^{'} \in ℝ .

Calculer $ℓ^{'}$ .

Exercice 73 727 X (PC)Correction

Soit $f \in 𝒞^{2} (ℝ_{+}, ℝ)$ telle que ${lim}_{x \to + \infty} f (x) = a \in ℝ$ .

(a)

Si $f^{''}$ est bornée, que dire de $f^{'} (x)$ quand $x \to + \infty$ ?
(b)

Le résultat subsiste-t-il sans l’hypothèse du (a)?

Solution

(a)

Posons $M \in ℝ_{+}^{*}$ tel que $| f^{''} (x) | \leq M$ pour tout $x \in ℝ_{+}$ .
Soit $ε > 0$ . La suite $(x_{n})$ de terme général

$x_{n} = n \frac{ε}{M}$

diverge vers $+ \infty$ et donc

$f (x_{n + 1}) - f (x_{n}) \to 0 .$

Par suite, il existe $N \in ℕ$ tel que pour tout $n \geq N$

$| f (x_{n + 1}) - f (x_{n}) | \leq \frac{ε^{2}}{M} .$

Par le théorème des accroissements finis, il existe $c_{n} \in] x_{n}; x_{n + 1} [$ tel que

$| f^{'} (c_{n}) | (x_{n + 1} - x_{n}) \leq \frac{ε^{2}}{M}$

ce qui donne

$| f^{'} (c_{n}) | \leq ε .$

Puisque $f^{''}$ est bornée par $M$ , la fonction $f^{'}$ est $M$ -lipschitzienne et donc

$\forall u \in [x_{n}; x_{n + 1}], | f^{'} (u) - f^{'} (c_{n}) | \leq M | u - c_{n} | \leq ε$

puis

$\forall u \in [x_{n}; x_{n + 1}], | f^{'} (u)) | \leq ε + | f^{'} (c_{n}) | \leq 2 ε$

et, puisque cela vaut pour tout $n \in ℕ$ , on a en posant $A = x_{N}$ ,

$\forall u \geq A, | f^{'} (u) | \leq 2 ε .$

On peut conclure que $f^{'}$ converge vers 0 en $+ \infty$ .
(b)

Posons

$f (t) = \frac{\cos (t^{2})}{t + 1} .$

On vérifie aisément que $f$ est de classe $𝒞^{2}$ et admet une limite finie en $+ \infty$ sans que $f^{'}$ tend vers $0$ en $+ \infty$ .

[<] Théorème des accroissements finis[>] Classe d'une fonction

Exercice 74 4898

Pour tout réel $x \in] - 1; + \infty [$ , montrer¹¹ 1 Cette inégalité aussi sera souvent utilisée.

\ln (1 + x) \leq x .

Exercice 75 5268

(a)

Montrer

$x - \frac{1}{6} x^{3} \leq \sin (x) \leq x pour tout x \geq 0 .$
(b)

Que devient cet encadrement pour $x$ négatif?
(c)

Montrer

$\sin (x) \geq \frac{2}{π} x pour tout x \in [0; π / 2] .$

Exercice 76 4792

Montrer

| \sin (y) - \sin (x) | \leq | y - x | pour tous x et y réels.

Exercice 77 1383 Correction

Établir les inégalités suivantes:

(a)

$\forall x \in] - 1; + \infty [, \frac{x}{1 + x} \leq \ln (1 + x) \leq x$
(b)

$\forall x \in ℝ_{+}, e^{x} \geq 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ .

Solution

(a)

Soit $f : x \mapsto x - \ln (1 + x)$ définie et de classe $𝒞^{\infty}$ sur $] - 1; + \infty [$ .

$f^{'} (x) = \frac{x}{1 + x} .$

Le tableau des variations de $f$ est alors

On en déduit que $f$ est positive.

Soit $g : x \mapsto \ln (1 + x) - x / (1 + x)$ définie et de classe $𝒞^{\infty}$ sur $] - 1; + \infty [$ .

$g^{'} (x) = \frac{x}{{(1 + x)}^{2}} .$

Le tableau des variations de $g$ est alors

On en déduit que $g$ est positive.
(b)

Soit $f : x \mapsto e^{x} - 1 - x - \frac{1}{2} x^{2}$ définie et de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ_{+}$ .

$f^{'''} (x) = e^{x} \geq 0 .$

On obtient les variations suivantes

On en déduit que $f$ est positive.

Exercice 78 1402 Correction

Soit $p \in] 0; 1]$ .

(a)

Établir que pour tout $t \geq 0$ , on a

${(1 + t)}^{p} \leq 1 + t^{p} .$
(b)

En déduire que pour tout $x, y \geq 0$ ,

${(x + y)}^{p} \leq x^{p} + y^{p} .$

Solution

(a)

Étudions la fonction $δ : t \mapsto 1 + t^{p} - {(1 + t)}^{p}$ définie continue sur $ℝ_{+}$ et dérivable sur $ℝ_{+}^{*}$ .
On a $δ (0) = 0$ et pour $t > 0$ ,

$δ^{'} (t) = p (t^{p - 1} - {(1 + t)}^{p - 1}) .$

Puisque $p - 1 \leq 0$ , $t^{p - 1} \geq {(1 + t)}^{p - 1}$ et donc $δ^{'} (t) \geq 0$ . On en déduit que pour tout $t \geq 0$ , $δ (t) \geq 0$ puis l’inégalité demandée.
(b)

Pour $x = 0$ , l’inégalité est immédiate et pour $x > 0$ ,

${(x + y)}^{p} = x^{p} {(1 + \frac{y}{x})}^{p} \leq x^{p} (1 + {(\frac{y}{x})}^{p}) = x^{p} + y^{p} .$

Exercice 79 4791

Montrer l’encadrement

\frac{x}{x + 1} < \ln (1 + x) < x pour tout x > 0 .

Exercice 80 1385 Correction

Montrer que

\forall x > 0, \frac{1}{1 + x} < \ln (1 + x) - \ln (x) < \frac{1}{x} .

En déduire, pour $k \in ℕ ∖ {0,1}$ ,

lim_{n \to + \infty} \sum_{p = n + 1}^{k n} \frac{1}{p} .

Solution

On applique le théorème des accroissements finis à $x \mapsto \ln (x)$ entre $x$ et $x + 1$ .
Il existe $c \in] x; x + 1 [$ tel que

\ln (1 + x) - \ln (x) = \frac{1}{c} .

Or $x < c < x + 1$ donne

\frac{1}{x + 1} < \frac{1}{c} < \frac{1}{x}

puis l’encadrement voulu.

\sum_{p = n + 1}^{k n} \ln (p + 1) - \ln (p) \leq \sum_{p = n + 1}^{k n} \frac{1}{p} \leq \sum_{p = n + 1}^{k n} \ln (p) - \ln (p - 1)

donne

\ln (\frac{k n + 1}{n + 1}) \leq \sum_{p = n + 1}^{k n} \frac{1}{p} \leq \ln (k) .

Par le théorème des gendarmes

lim_{n \to + \infty} \sum_{p = n + 1}^{k n} \frac{1}{p} = \ln (k) .

[<] Obtention d'inégalités

Exercice 81 4788

Pour quels $n \in {0,1,2,3}$ , la fonction $f_{n}$ définie sur $ℝ$ suivante est-elle continue, dérivable, de classe $𝒞^{1}$ ?

f_{n} : x \mapsto {\begin{matrix} x^{n} \sin (\frac{1}{x}) & si x \neq 0 \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Exercice 82 5480 Correction

Montrer que la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par

f (t) = \cos (\sqrt{t})

peut être prolongée en une fonction de classe $𝒞^{1}$ sur $[0; + \infty [$ .

Solution

Par opérations, la fonction $f$ est définie et de classe $𝒞^{1}$ (et même $𝒞^{\infty}$ ) sur $] 0; + \infty [$ . Par un calcul direct,

\cos (\sqrt{t}) \to_{t \to 0^{+}}^{} 1 .

On prolonge $f$ par continuité en $0$ en posant $f (0) = 1$ .

Aussi, pour $t > 0$ ,

f^{'} (t) = - \frac{1}{2 \sqrt{t}} \sin (\sqrt{t}) \underset{t \to 0^{+}}{\sim} - \frac{1}{2 \sqrt{t}} \sqrt{t} \to_{t \to 0^{+}}^{} - \frac{1}{2} .

Par le théorème de la limite de la dérivée, $f$ est dérivable en $0$ et $f^{'} (0) = - 1 / 2$ . Au surplus, la fonction $f^{'}$ est continue en $0$ et $f$ est donc de classe $𝒞^{1}$ sur $[0; + \infty [$ .

Exercice 83 1387 Correction

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ de classe $𝒞^{1}$ .

Montrer que $f$ est lipschitzienne.

Solution

$f^{'}$ est continue sur le segment $[a; b]$ elle y est donc bornée par un certain $M$ .

Par l’inégalité des accroissements finis, $f$ est $M$ -lipschitzienne.

Exercice 84 1388 Correction

Soit $f : ℝ \to ℂ$ de classe $𝒞^{1}$ et périodique.
Montrer que $f$ est lipschitzienne.

Solution

La dérivée de $f$ est continue et périodique donc bornée par son max sur une période (qui existe par continuité sur un segment). Par l’inégalité des accroissements finis, il en découle que $f$ est lipschitzienne.

Exercice 85 1389 Correction

Montrer que la fonction $f : ℝ_{+} \to ℝ$ définie par:

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} \ln (x) & si x \neq 0 \\ 0 & si x = 0 \end{matrix}

est de classe $𝒞^{1}$ sur $ℝ_{+}$ .

Solution

$f$ est continue sur $ℝ_{+}$ et de classe $𝒞^{1}$ sur $] 0; + \infty [$ .
Pour $x > 0$ , $f^{'} (x) = 2 x \ln (x) + x$ .
Quand $x \to 0^{+}$ , $f^{'} (x) \to 0$ donc $f$ est dérivable en 0 et $f^{'} (0) = 0$ .
De plus, $f^{'}$ est continue en 0 et finalement $f$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $ℝ_{+}$ .

Exercice 86 1390 Correction

Soit $n \in ℕ$ , montrer que la fonction

f_{n} : x \mapsto {\begin{matrix} x^{n + 1} & si x \geq 0 \\ 0 & sinon \end{matrix}

est de classe $𝒞^{n}$ sur $ℝ$ .

Solution

Procédons par récurrence sur $n \in ℕ$ .
Pour $n = 0$ , la fonction considérée est continue.
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 0$ .
$f_{n + 1}$ est continue sur $ℝ$ et dérivable sur $ℝ^{*}$ .
Pour $x \neq 0$ , $f_{n + 1}^{'} (x) = (n + 2) f_{n} (x)$ .
Quand $x \to 0$ , $f_{n + 1}^{'} (x) \to 0 = (n + 2) f_{n} (0)$ donc $f_{n + 1}$ est dérivable en 0 et $f_{n + 1}^{'} (0) = 0$ .
Ainsi $f_{n + 1}$ est dérivable sur $ℝ$ et $f_{n + 1}^{'} = (n + 2) f_{n}$ .
Par hypothèse de récurrence, $f_{n}$ est de classe $𝒞^{n}$ et donc $f_{n + 1}$ est de classe $𝒞^{n + 1}$ .
Récurrence établie.

Exercice 87 1368 Correction

Soit $f : ℝ_{+} \to ℝ$ de classe $𝒞^{2}$ telle que $f^{'} (0) = 0$ .
Montrer qu’il existe $g : ℝ_{+} \to ℝ$ de classe $𝒞^{1}$ telle que

\forall x \in ℝ_{+}, f (x) = g (x^{2}) .

Solution

Posons $g : ℝ_{+} \to ℝ$ définie par

g (t) = f (\sqrt{t}) .

Par composition $g$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $ℝ_{+}^{*}$ et

\forall x > 0, g^{'} (t) = \frac{f^{'} (\sqrt{t)}}{2 \sqrt{t}}

$g$ est continue et

g^{'} (t) = \frac{f^{'} (\sqrt{t}) - f^{'} (0)}{2 \sqrt{t}} \to_{t \to 0}^{} \frac{f^{''} (0)}{2}

donc $g$ est dérivable et $g^{'}$ est continue en 0.
Ainsi $g$ est de classe $𝒞^{1}$ .

Exercice 88 2819 MINES (MP)Correction

On pose $f (x) = e^{- 1 / x^{2}}$ pour $x$ réel non nul et $f (0) = 0$ .

(a)

Montrer l’existence pour tout $n \in ℕ$ d’un polynôme $P_{n}$ tel que:

$\forall x \in ℝ^{*}, f^{(n)} (x) = x^{- 3 n} P_{n} (x) f (x) .$

Quel est le degré de $P_{n}$ ?
(b)

Montrer que $f$ est de classe $𝒞^{\infty}$ , toutes ses dérivées étant nulles en 0.
(c)

Montrer que toute racine de $P_{n}$ est réelle.

Solution

(a)

Il suffit de raisonner par récurrence. On obtient $P_{0} (x) = 1$ et pour tout $n \in ℕ$ ,

$P_{n + 1} = (2 - 3 n X^{2}) P_{n} + X^{3} P_{n}^{'} .$

Par récurrence, pour $n > 0$ , $\deg (P_{n}) = 2 (n - 1)$ .
(b)

$f$ est continue en 0 et pour tout $n \in ℕ^{*}$ , $f^{(n)} (x) \to_{x \to 0}^{} 0$ dont par le théorème « limite de la dérivée », on peut conclure.
(c)

$P_{1} = 2$ a toutes ses racines réelles.
$f^{'} (0) = {lim}_{x \to + \infty} f^{'} (x) = {lim}_{x \to - \infty} f^{'} (x) = 0$ donc par une généralisation du théorème de Rolle, on peut affirmer que $f^{''}$ s’annule sur $] 0; + \infty [$ et $] - \infty; 0 [$ . Ses annulations sont aussi des zéros de $P_{2}$ qui est de degré 2, donc $P_{2}$ a toutes ses racines réelles.
$f^{''}$ s’annule aussi en 0 et en $\pm \infty$ . Par la généralisation du théorème de Rolle, on obtient 2 annulations sur $] 0; + \infty [$ et 2 annulations sur $] - \infty; 0 [$ qui seront toutes quatre zéros de $P_{3}$ qui est un polynôme de degré 4,…on peut itérer la démarche.

Exercice 89 4795

Soient $φ$ et $ψ$ les fonctions réelles définies sur $ℝ$ par

φ (x) = {\begin{matrix} e^{- \frac{1}{x}} & si x > 0 \\ 0 & sinon \end{matrix} et ψ (x) = {\begin{matrix} e^{\frac{2}{x^{2} - 1}} & si x \in] - 1; 1 [ \\ 0 & sinon. \end{matrix}

(a)

Montrer que la fonction $φ$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ .
(b)

En déduire que la fonction $ψ$ est elle aussi de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ .

Exercice 90 156 X (MP)Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ de classe $𝒞^{1}$ . On suppose qu’il existe $M \in ℝ_{+}$ tel que

\forall x \in ℝ, | f^{'} (x) | \leq M | f (x) | .

Montrer que si $f$ s’annule alors $f$ est identiquement nulle.

Solution

Par l’absurde, supposons que la fonction $f$ ne s’annule pas en $a \in ℝ$ mais s’annule en $b \in ℝ$ . Pour fixer les idées, supposons¹¹ 1 Le cas $a > b$ se résout de façon symétrique. $a < b$ et considérons

c = sup {x \in [a; b [| \forall t \in [a; x], f (t) \neq 0 \in ℝ} .

Par continuité, on vérifie $f (c) = 0$ et, par construction,

\forall x \in [a; c [, f (x) \neq 0 .

Cela permet d’introduire $φ : [a; c [\to ℝ$ définie par

φ (x) = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} .

Par hypothèse,

\forall x \in [a; c [, | φ (x) | \leq M .

Par intégration, pour tout $x \in [a; c [$

| \ln (| f (x) |) - \ln (| f (a) |) | = | \int_{a}^{x} φ (t) d t | \leq \int_{a}^{x} | φ (t) | d t \leq M (x - a) \leq M (c - a) .

On en déduit que la fonction $x \mapsto \ln (| f (x) |)$ est bornée sur $[a; c [$ . Cela est absurde car cette fonction est de limite $- \infty$ en $c^{-}$ .

Édité le 29-08-2023

	$f^{'} (x)$	$= \frac{1}{1 + x^{2}} et$
	$\cos (f (x)) \sin (f (x) + π / 2)$	$= \cos^{2} (\arctan (x)) = \frac{1}{1 + x^{2}} .$