[>] Calcul de dérivées

 
Exercice 1  4787  

Étudier la dérivabilité de la fonction f: définie par f(x)=x1+|x|.

 
Exercice 2  736  Correction  

Sur quelles parties de , les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables?

  • (a)

    xx|x|

  • (b)

    xx|x|+1

Solution

  • (a)

    f(x)=x|x| est définie et continue sur .
    Par opérations, f est dérivable sur *.
    Quand h0+,

    f(h)-f(0)h=h0

    et quand h0-,

    f(h)-f(0)h=-h0

    f est dérivable en 0 et f(0)=0.

  • (b)

    f(x)=x|x|+1 est définie et continue sur .
    Par opérations f est dérivable sur *.
    Quand h0,

    f(h)-f(0)h=1|h|+11

    donc f est dérivable en 0 et f(0)=1.

 
Exercice 3  1354  Correction  

Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes:

  • (a)

    xx2-x3

  • (b)

    x(x2-1)arccos(x2)

Solution

  • (a)

    f(x)=x2-x3 est définie et continue sur ]-;1].
    Par opérations, f est dérivable sur ]-;0[]0;1[.
    Quand h0+,

    f(h)-f(0)h=1-h1

    et quand h0-,

    f(h)-f(0)h-1

    f n’est pas dérivable en 0 mais y admet un nombre dérivée à droite et à gauche.
    Quand h0-,

    f(1+h)-f(1)h=-h-2h2-h3h-

    f n’est pas dérivable en 1, il y a une tangente verticale à son graphe en cet abscisse.

  • (b)

    f(x)=(x2-1)arccos(x2) est définie et continue sur [-1;1].
    Par opération f est dérivable sur ]-1;1[.
    Quand h0-,

    f(1+h)-f(1)h=(2+h)arccos((1+h)2)0

    f est dérivable en 1 et f(1)=0.
    Par parité, f est aussi dérivable en -1 et f(-1)=0.

 
Exercice 4  1360  

Soit f une fonction complexe dérivable définie sur un intervalle I. On suppose que la fonction f ne s’annule pas, montrer que la fonction |f|:I est dérivable et exprimer sa dérivée.

 
Exercice 5  247  Correction  

Sur quelles parties de , les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables?

  • (a)

    f:x{xsin(1/x) si x00 sinon

  • (b)

    g:x{x2sin(1/x) si x00 sinon

Solution

  • (a)

    f est définie et continue sur .
    Par opérations, f est dérivable sur *.
    Quand h0,

    f(h)-f(0)h=sin(1h)

    n’a pas de limite. La fonction f n’est pas dérivable en 0.

  • (b)

    g est définie et continue sur .
    Par opérations, g est dérivable sur *.
    Quand h0,

    g(h)-g(0)h=hsin(1h)0.

    La fonction g est dérivable en 0 et g(0)=0.

 
Exercice 6  4789   

Déterminer un exemple:

  • (a)

    de fonction dérivable sur mais de dérivée discontinue en 0;

  • (b)

    de fonction dérivable sur ]0;+[ de limite 0 en + mais dont la dérivée n’est pas de limite 0 en +;

  • (c)

    de fonction dérivable sur ]0;+[ de limite + en 0 mais dont la dérivée n’est pas de limite + en 0;

  • (d)

    de fonction dérivable sur , de nombre dérivé strictement positif en 0 mais croissante sur aucun voisinage de 0.

 
Exercice 7  1359   

Soient f:[0;1] une fonction dérivable et φ:[0;1] définie par:

φ(x)={f(2x) si x[0;1/2]f(2x-1) sinon.

À quelle(s) condition(s) la fonction φ est-elle dérivable?

 
Exercice 8  1357  Correction  

(Dérivée symétrique)

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I qui n’en soit pas une extrémité. Si le rapport

12h(f(a+h)-f(a-h))

admet une limite finie quand h tend vers 0, celle-ci est appelée dérivée symétrique de f en a.

  • (a)

    Montrer que, si f est dérivable à droite et à gauche en a, elle admet une dérivée symétrique en a.

  • (b)

    Que dire de la réciproque?

Solution

  • (a)

    Si fd(a) et fg(a) existent alors

    12h(f(a+h)-f(a-h))=12h(f(a+h)-f(a))+1-2h(f(a-h)-f(a))

    et donc

    12h(f(a+h)-f(a-h))h012(fd(a)+fg(a)).
  • (b)

    Pour f(x)=|x|, la dérivée symétrique en 0 existe alors que la fonction n’y est pas dérivable ni à droite, ni à gauche.

 
Exercice 9  1358  

Soit f: une fonction dérivable en a. Étudier

limxaxaxf(a)-af(x)x-a.
 
Exercice 10  4796    

Soit f:[0;+[ une fonction continue. Montrer que f est dérivable en 0 si, et seulement si, le quotient

f(2x)-f(x)x

admet une limite finie quand x tend vers 0+.

 
Exercice 11  4803    

Soit f:[a;b[ une fonction continue et dérivable à droite en tout point.

  • (a)

    Montrer que f est strictement croissante si fd(x)>0 pour tout x[a;b[.

  • (b)

    Montrer que f est croissante si fd(x)0 pour tout x[a;b[.

[<] Dérivabilité[>] Application de la dérivation

 
Exercice 12  4900  

Calculer les dérivées des fonctions de la variable réelle x dont les expressions suivent:

  • (a)

    (sin(x))3

  • (b)

    cos(x2)

  • (c)

    1ln(x)

  • (d)

    1(x2+1)2

  • (e)

    xe-x2x2+1

  • (f)

    xx2+x+1.

 
Exercice 13  1355  Correction  

Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes:

  • (a)

    xarctan(x)x2+1

  • (b)

    x1(x+1)2

  • (c)

    xsin(x)(cos(x)+2)4

Solution

  • (a)

    xarctan(x)x2+1 est définie et dérivable sur ,

    (arctan(x)x2+1)=1-2xarctan(x)(x2+1)2.
  • (b)

    x1(x+1)2 est définie et dérivable sur {-1},

    (1(x+1)2)=-2(x+1)3.
  • (c)

    xsin(x)(cos(x)+2)4 est définie et dérivable sur ,

    (sin(x)(cos(x)+2)4)=cos(x)(cos(x)+2)4+4sin2(x)(cos(x)+2)5=4+2cos(x)-3cos2(x)(cos(x)+2)5.
 
Exercice 14  737   Correction  

Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes:

  • (a)

    xxx

  • (b)

    x(ch(x))x

  • (c)

    xln(|x|)

Solution

  • (a)

    xxx est définie et dérivable sur +*,

    (xx)=(exln(x))=(1+ln(x))xx.
  • (b)

    x(ch(x))x est définie et dérivable sur ,

    (ch(x)x)=(exln(ch(x)))=(ln(ch(x))+xth(x))(ch(x))x.
  • (c)

    xln(|x|) est définie et dérivable sur *,

    (ln(|x|))=1x.
 
Exercice 15  249   Correction  

Calculer les dérivées des fonctions suivantes

f1(x)=arctan(ex),f2(x)=arctan(sh(x))etf3(x)=arctan(th(x2)).

Qu’en déduire?

Solution

Par composition, les fonctions f1, f2 et f3 sont dérivables avec

f1(x)=ex1+e2x,f2(x)=2ex1+e2xetf3(x)=ex1+e2x.

Par les valeurs en 0 de ces fonctions, on en déduit

f1(x)=12f2(x)+π4=f3(x)+π4pour tout x.

[<] Calcul de dérivées[>] Dérivation d'application réciproque

 
Exercice 16  4901  

Étudier les variations de la fonction f définie sur par la relation

f(x)=xex+1.
 
Exercice 17  4905  

On considère la fonction f définie sur par f(x)=xe-x.

  • (a)

    Étudier les variations de la fonction f.

  • (b)

    Calculer la dérivée seconde de f. En quelle valeur x0 s’annule-t-elle?

  • (c)

    Vérifier que la courbe représentative de f traverse11 1 Cela signifie que la courbe représentative de f se situe d’un côté au-dessus de sa tangente et de l’autre en dessous. sa tangente en x0.

  • (d)

    Donner l’allure du graphe de f.

 
Exercice 18  1356  

Pour λ, on considère la fonction fλ: définie par

fλ(x)=x+λx2+1.
  • (a)

    Montrer que les tangentes en 0 aux courbes représentatives des fonctions fλ sont parallèles.

  • (b)

    Observer que les tangentes en 1 sont concourantes11 1 Autrement dit, les tangentes passent toutes par un même point..

 
Exercice 19  1366  

Soit f:[0;+[ une fonction de classe 𝒞1 telle que

f(0)<0etlim+f=+.

Montrer que si f s’annule au moins deux fois, alors f aussi.

 
Exercice 20  1365   Correction  

Déterminer toutes les applications f: dérivables telles que

f(x+y)=f(x)+f(y)pour tout (x,y)2.

Solution

Soit f solution. En dérivant la relation par rapport à x, on obtient

f(x+y)=f(x).

La fonction f est donc de dérivée constante et par suite f est affine.
De plus, la relation f(0+0)=f(0)+f(0) entraîne f(0)=0 et donc f est linéaire.
Inversement: ok.

 
Exercice 21  360     CENTRALE (MP)

Déterminer les fonctions f: dérivables vérifiant ff=f.

 
Exercice 22  2811      MINES (MP)

Soit h: l’application11 1 L’application h est une homothétie de centre ω et de rapport a définie sur la droite réelle. déterminée par h(x)=ω+a(x-ω) avec a,ω et a{0,1}.

On note S l’ensemble des fonctions f: dérivables telles que ff=h.

  • (a)

    Vérifier que ω est point fixe de tout élément f de S.

  • (b)

    Montrer que S est vide lorsque a<0.

On suppose désormais a>0 (et toujours a1).

  • (c)

    Soit fS. Montrer h-1fh=f.

  • (d)

    En déduire une expression de f en commençant par le cas 0<a<1.

[<] Application de la dérivation[>] Calcul de dérivées n-ième

 
Exercice 23  1367   Correction  

Soit f:[0;π/2] définie par

f(x)=sin(x)+x.

Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que f-1 est continue et dérivable sur cet intervalle.

Solution

f est continue et strictement croissante, f(0)=0 et f(π/2)=1+π/2 donc f réalise une bijection de [0;π/2] vers [0;1+π/2] et son application réciproque f-1 est continue.
f est dérivable sur ]0;π/2] avec

f(x)=cos(x)2sin(x)+1>0

donc f-1 est dérivable sur f(]0;π/2])=]0;1+π/2].
Étude de la dérivabilité de f-1 en 0
Quand h0+, en posant x=f-1(h)0

f-1(h)-f-1(0)h=xf(x).

Or

xf(x)=xsin(x)+x=xx+o(x)+xx0

donc f-1 est dérivable en 0 et (f-1)(0)=0.

 
Exercice 24  4833   

On considère la fonction f:x1+x+x1/3 définie sur [0;+[.

  • (a)

    Justifier que f induit une bijection de [0;+[ vers un intervalle I à préciser.

  • (b)

    Étudier la dérivabilité de f-1 sur I.

 
Exercice 25  2815      MINES (MP)

Soient n* et f:[0;1][0;1] une bijection de classe 𝒞1 de dérivée strictement positive. Montrer que l’on peut trouver une famille (xk)1kn vérifiant

k=1n1f(xk)=netk-1n<f(xk)<knpour tout k=1,,n.

[<] Dérivation d'application réciproque[>] Théorème de Rolle

 
Exercice 26  4793  

Soit n. Vérifier que les dérivées n-ièmes des fonctions cos et sin s’expriment

dndxn(cos(x))=cos(x+nπ2)etdndxn(sin(x))=sin(x+nπ2).
 
Exercice 27  1362  Correction  

Calculer la dérivée n-ième de

  • (a)

    xx2(1+x)n

  • (b)

    x(x2+1)ex

Solution

On exploite la formule de Leibniz

  • (a)
    (x2(1+x)n)(n)=(n0)x2((1+x)n)(n)+(n1)(x2)((1+x)n)(n-1)+(n2)(x2)′′((1+x)n)(n-2)

    donc

    (x2(1+x)n)(n)=n!x2+2nn!x(1+x)+n(n-1)n!2(1+x)2.
  • (b)
    ((x2+1)ex)(n)=k=0n(nk)(x2+1)(k)(ex)(n-k)=(x2+2nx+n(n-1)+1)ex.
 
Exercice 28  1364  

En calculant de deux façons la dérivée n-ième de xx2n, établir

k=0n(nk)2.
 
Exercice 29  4794   

Soit n. Calculer les dérivées n-ièmes des fonctions suivantes

  • (a)

    xxp (avec p)

  • (b)

    x1x

  • (c)

    (x2-x+1)e-x

  • (d)

    xcos3(x)

  • (e)

    xcos(x)ex

  • (f)

    x1x2-1.

 
Exercice 30  251   Correction  

Calculer la dérivée n-ième de

x11-x2.

Solution

Par décomposition en éléments simples

11-x2=1211-x+1211+x.

Or

(11-x)(n)=n!(1-x)n+1et(11+x)(n)=(-1)nn!(1+x)n+1

donc

(11-x2)(n)=n!2(1-x)n+1+(-1)nn!2(1+x)n+1.
 
Exercice 31  253  

Déterminer les points d’annulation de la dérivée n-ième de la fonction arc tangente.

 
Exercice 32  743   Correction  

Calculer la dérivée n-ième de xcos3(x)

Solution

  • (a)

    On a

    cos(3x)=4cos3(x)-3cos(x)

    donc on peut linéariser

    cos3(x)=14(3cos(x)+cos(3x)).

    On sait

    (cos(x))(n)=cos(x+nπ/2)et(cos(3x))(n)=3ncos(3x+nπ/2)

    et l’on obtient donc

    (cos3(x))(n)=14(3cos(x+nπ/2)+3ncos(3x+nπ/2)).
 
Exercice 33  3863   Correction  

Calculons la dérivée n-ième de la fonction réelle tcos(t)et.

Solution

On peut écrire

cos(t)et=Re(e(1+i)t)

et donc

(cos(t)et)(n)=(Re(e(1+i)t))(n)=Re((1+i)ne(1+i)t).

Or (1+i)n=2n/2einπ/4 puis

(cos(t)et)(n)=2n/2etcos(t+nπ/4).
 
Exercice 34  1363   Correction  

Soit f: définie par f(x)=ex3sin(x). Montrer que

f(n)(x)=2nex3sin(x+nπ6).

Solution

Par récurrence sur n.
Pour n=0: ok
Supposons la propriété établie au rang n0.

f(n+1)(x)=(2nex3sin(x+nπ6))

donc

f(n+1)(x)=2n(3sin(x+nπ6)+cos(x+nπ6))ex3

puis

f(n+1)(x)=2n+1sin(x+(n+1)π6)ex3.

Récurrence établie.
On peut aussi écrire

f(x)=ex3sin(x)=Im(e(3+i)x)

et exploiter cela pour calculer directement la dérivée d’ordre n.

 
Exercice 35  252   Correction  

Soit f:xarctan(x).

  • (a)

    Montrer que pour tout n1

    f(n)(x)=(n-1)!cosn(f(x))sin(nf(x)+nπ/2).
  • (b)

    En déduire les racines de f(n) pour n1.

Solution

  • (a)

    Par récurrence sur n1.
    Pour n=1

    f(x) =11+x2 et
    cos(f(x))sin(f(x)+π/2) =cos2(arctan(x))=11+x2.

    Supposons la propriété vérifiée au rang n1

    f(n+1)(x)=n!1+x2[-sin(f(x))sin(nf(x)+nπ/2)+cos(nf(x)+nπ/2)cos(f(x))]cosn-1(f(x)).

    Or

    11+x2=cos2(f(x))

    donc

    f(n+1)(x)=n![sin(f(x))cos(nf(x)+(n+1)π/2)+sin(nf(x)+(n+1)π/2)cos(f(x))]cosn+1(f(x))

    puis

    f(n+1)(x)=n!sin((n+1)f(x)+(n+1)π/2)cosn+1(f(x)).

    Récurrence établie.

  • (b)

    Puisque arctan(x)]-π/2;π/2[, cos(f(x))0.
    Par suite,

    f(n)(x)=0sin(nf(x)+nπ/2)=0

    et donc

    f(n)(x)=0f(x)=kπn-π2 avec k{1,,n-1}.

    Au final, les racines de f(n) sont les

    cot(kπn) avec k{1,,n-1}.
 
Exercice 36  254   Correction  

Montrer que la dérivée d’ordre n de xn-1e1/x est

(-1)nx-(n+1)e1/x.

Solution

Par récurrence sur n.
Pour n=0: ok.
Supposons la propriété établie au rang n0.

(xne1/x)(n+1)=(x.xn-1e1/x)(n+1)=x(xn-1e1/x)(n+1)+(n+1)(xn-1e1/x)(n)

donc

(xne1/x)(n+1)=x((-1)nx-(n+1)e1/x)+(n+1)(-1)nx-(n+1)e1/x

ce qui donne

(xne1/x)(n+1)=(-1)n+1x-(n+2)e1/x.

Récurrence établie.

 
Exercice 37  568   

Soit f:]0;+[ une fonction indéfiniment dérivable. Pour tout x0 et tout n, établir l’identité

dndxn(xn-1f(1x))=(-1)nxn+1f(n)(1x).
 
Exercice 38  5023    

Soit n*.

  • (a)

    Montrer

    dndxn(xnln(x))=n!(ln(x)+1+12++1n)pour tout x>0.
  • (b)

    En déduire

    k=1n(-1)k-1k(nk)=1+12++1n.

[<] Calcul de dérivées n-ième[>] Théorème de Rolle et fonction auxiliaire

 
Exercice 39  1370  Correction  

Soit f: dérivable. On suppose que f ne s’annule pas.
Montrer que f ne peut être périodique.

Solution

Si f est T-périodique avec T>0 alors en appliquant le théorème de Rolle entre par exemple 0 et T, la dérivée de f s’annule.

 
Exercice 40  1371  Correction  

Soient a,b,c. Montrer qu’il existe x]0;1[ tel que

4ax3+3bx2+2cx=a+b+c.

Solution

Soit φ:[0;1] définie par

φ(x)=ax4+bx3+cx2-(a+b+c)x

φ est dérivable et φ(0)=0=φ(1). Il suffit d’appliquer le théorème de Rolle pour conclure.

 
Exercice 41  5070  

Soit f:[0;1] une fonction dérivable telle que f(0)=f(1) et f(0)f(1)>0.

Montrer que f s’annule au moins deux fois sur ]0;1[.

 
Exercice 42  4790  

Soit f:I une application n fois dérivable.

On suppose que f s’annule en au moins n+1 points distincts de I. Montrer que la dérivée n-ième de f s’annule au moins une fois sur I.

 
Exercice 43  1376  Correction  

Soient n, a<b et f:[a;b] une fonction n fois dérivable.
Montrer que si

f(a)=f(a)==f(n-1)(a)=0etf(b)=0

alors il existe c]a;b[ tel que f(n)(c)=0.

Solution

En appliquant le théorème de Rolle à f entre a et b: il existe c1]a;b[ tel que f(c1)=0.
En appliquant le théorème de Rolle à f entre a et c1: il existe c2]a;c1[ tel que f′′(c2)=0.

En appliquant le théorème de Rolle à f(n-1) entre a et cn-1: il existe cn]a;cn-1[ tel que f(n)(cn)=0.
c=cn résout le problème.

 
Exercice 44  4797   

(Théorème de Rolle généralisé11 1 On peut proposer et établir de la même façon un énoncé général: pour a<b réels ou infinis, si f:]a;b[R est dérivable et présente des limites finies ou infinies égales en a et b alors la dérivée de f s’annule.)

Soit f: une fonction dérivable admettant les mêmes limites finies en + et -. Montrer qu’il existe c tel que f(c)=0.

 
Exercice 45  1374   Correction  

Soit f:[0;+[ une fonction dérivable telle que

lim+f=f(0).

Montrer qu’il existe c>0 tel que f(c)=0.

Solution

Si f est constante, la propriété est immédiate.
Sinon, il existe x0]0;+[ tel que f(x0)f(0).
Posons y=12(f(x0)+f(0)) qui est une valeur intermédiaire à f(0) et f(x0).
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe a]0;x0[ tel que f(a)=y.
Puisque lim+f=f(0), y est une valeur intermédiaire à f(x0) et une valeur f(x1) avec x1 suffisamment grand. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe b]x0;x1] tel que f(b)=y.
En appliquant le théorème de Rolle sur [a;b], on peut alors conclure.

 
Exercice 46  1373   Correction  

Soit f: dérivable telle que

lim-f=lim+f=+.

Montrer qu’il existe c tel que f(c)=0.

Solution

Puisque lim-f=+ et lim+f=+, il existe a<0 et b>0 tels que

f(a)>f(0)+1 et f(b)>f(0)+1.

En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires entre a et 0, d’une part, et 0 et b d’autre part, il existe α]a;0[ et β]0;b[ tels que f(α)=f(0)+1=f(β).
En appliquant le théorème de Rolle entre α et β, il existe c]α;β[ tel que f(c)=0.

 
Exercice 47  1375  Correction  

Soit f:[a;b] dérivable vérifiant

f(a)=f(b)=0 et f(a)>0,f(b)>0.

Montrer qu’il existe c1,c2,c3]a;b[ tels que c1<c2<c3 et

f(c1)=f(c2)=f(c3)=0.

Solution

Puisque f(a)=0 et f(a)>0, il existe x1]a;b[ tel que f(x1)>0.
En effet, si pour tout x1]a;b[, f(x1)0 alors quand h0+, f(a+h)-f(a)h0 et donc f(a)0.
De même, puisque f(b)=0 et f(b)>0, il existe x2]a;b[ tel que f(x2)<0.
Puisque f prend une valeur positive et une valeur négative dans ]a;b[, par le théorème des valeurs intermédiaires, f s’y annule.
Ainsi il existe c2]a;b[ tel que f(c2)=0.
En appliquant le théorème de Rolle sur [a;c2] et [c2;b], on obtient c1 et c3.

 
Exercice 48  1377   Correction  

Soient a>0 et f une fonction réelle continue sur [0;a] et dérivable sur ]0;a].
On suppose

f(0)=0etf(a)f(a)<0.

Montrer qu’il existe c]0;a[ tel que f(c)=0.

Solution

Quitte à considérer -f, on peut supposer f(a)>0 et f(a)<0.
Puisque f(a)<0, il existe b]0;a[ tel que f(b)>f(a).
En appliquant le théorème de valeurs intermédiaires entre 0 et b, il existe α]0;b[ tel que f(α)=f(a).
En appliquant le théorème de Rolle entre α et a, on obtient c]α;a[]0;a[ tel que f(c)=0.

 
Exercice 49  4799   

(Théorème de Darboux)

Soit f:[a;b] une fonction dérivable

  • (a)

    On suppose f(a)<0 et f(b)>0. Montrer que la dérivée de f s’annule.

  • (b)

    Plus généralement, on considère y un réel strictement compris entre f(a) et f(b). Montrer que la dérivée de f prend la valeur y.

 
Exercice 50  262   Correction  

On pose f:x((x2-1)n)(n).

  • (a)

    Montrer que f est une fonction polynomiale de degré n.

  • (b)

    Calculer f(1) et f(-1).

  • (c)

    Montrer que f possède exactement n racines distinctes toutes dans ]-1;1[.

Solution

  • (a)

    (X2-1)n est de degré 2n donc ((X2-1)n)(n) est de degré n.

  • (b)

    Introduisons g:x(x2-1)n de sorte que f=g(n)
    Quand x1 On a

    g(x)=(x+1)n(x-1)n=2n(x-1)n+o((x-1)n).

    Par la formule de Taylor-Young, on a parallèlement

    g(x)=g(n)(1)n!(x-1)n+o((x-1)n)

    donc

    f(1)=g(n)(1)=2nn!

    et de manière similaire

    f(-1)=(-1)n2nn!
  • (c)

    1 et -1 sont racines de multiplicité n de g:x(x2-1)n, 1 et -1 sont donc racines de g,g,,g(n-1).
    En appliquant le théorème de Rolle, on montre que g,g′′,,g(n)=f admettent resp. 1,2,,n racines dans ]-1;1[. Puisque f est de degré n, celles-ci sont simples et il ne peut y en avoir d’autres.

 
Exercice 51  4802   

Soit f: définie par f(x)=e-x2.

Montrer que pour tout n, il existe un polynôme réel Pn tel que

f(n)(x)=Pn(x)e-x2pour tout x.

Établir que Pn possède exactement n racines réelles.

[<] Théorème de Rolle[>] Théorème des accroissements finis

 
Exercice 52  1380  Correction  

Soit a>0 et f:[0;a] une fonction dérivable telle que

f(0)=f(a)=0 et f(0)=0.
  • (a)

    Montrer que la dérivée de xf(x)/x s’annule sur ]0;a[.

  • (b)

    En déduire qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à f passe par l’origine.

Solution

  • (a)

    La fonction g:xf(x)/x est définie, continue et dérivable sur ]0;a].
    Quand x0,

    g(x)f(0)=0.

    Prolongeons g par continuité en 0 en posant g(0)=0.
    Puisque g est continue sur [0;a], dérivable sur ]0;a[ et puisque g(0)=g(a), le théorème de Rolle assure l’annulation de la dérivée de g en un point c]0;a[.

  • (b)
    g(x)=xf(x)-f(x)x2

    donc g(c)=0 donne cf(c)=f(c).
    La tangente à f en c a pour équation:

    y=f(c)(x-c)+f(c)=f(c)x.

    Elle passe par l’origine.

 
Exercice 53  4798   

Soit f:[0;+[ une fonction dérivable telle que

f(0)=f(0)=0etlimx+f(x)=.

Montrer qu’il existe un point autre que l’origine en lequel la tangente à la courbe représentative de f passe par l’origine.

 
Exercice 54  3436   Correction  

Soit f:[a;b] de classe 𝒞2 vérifiant

f(a)=f(a)etf(b)=f(b).

Montrer qu’il existe c]a;b[ tel que

f(c)=f′′(c).

On pourra introduire une fonction auxiliaire dépendant de f(x), f(x) et ex.

Solution

Introduisons φ:x(f(x)-f(x))ex.
La fonction φ est définie et continue sur [a;b], φ est dérivable sur ]a;b[ et φ(a)=0=φ(b).
Par le théorème de Rolle, on peut affirmer qu’il existe c]a;b[ tel que

φ(c)=0.

Or

φ(x)=(f(x)-f′′(x))ex

donc φ(c)=0 donne

f(c)=f′′(c).
 
Exercice 55  5027   

Soit f:[a;b] une fonction dérivable s’annulant en a et b.

  • (a)

    Soit α. Montrer qu’il existe c]a;b[ tel que f(c)+αf(c)=0.

  • (b)

    Montrer qu’il existe c]a;b[ tel que f(c)+cf(c)=0.

 
Exercice 56  1372   Correction  

Soit n et f:I une application de classe 𝒞n s’annulant en n+1 points distincts de I.

  • (a)

    Montrer que la dérivée n-ième de f s’annule au moins une fois sur I.

  • (b)

    Soit α un réel. Montrer que la dérivée (n-1) -ième de f+αf s’annule au moins une fois sur I.

    On pourra introduire une fonction auxiliaire.

Solution

  • (a)

    Notons a0<a1<<an les n+1 points où nous savons que f s’annule.
    Pour tout i{1,,n}, on peut appliquer le théorème de Rolle à f sur [ai-1;ai].
    En effet, f est continue sur [ai-1;ai], dérivable sur ]ai-1;ai[ et f(ai-1)=0=f(ai).
    Par le théorème de Rolle, il existe bi]ai-1;ai[ tel que f(bi)=0.
    Puisque b1<a1<b2<<an-1<bn, les b1,,bn sont deux à deux distincts.
    Ainsi f s’annule au moins n fois.
    De même, f′′ s’annule au moins n-1 fois et ainsi de suite jusqu’à f(n) s’annule au moins une fois.

  • (b)

    Considérons g(x)=f(x)eαx. g s’annule n+1 fois donc g s’annule au moins n fois.
    Or g(x)=(f(x)+αf(x))eαx donc les annulations de g sont les annulations de f+αf.
    Puisque f+αf s’annule n fois, la dérivée (n-1)-ième de f+αf s’annule au moins une fois.

 
Exercice 57  264   Correction  

Soient f:[a;b] de classe 𝒞n s’annulant en a1<a2<<an.
Montrer que pour chaque x0[a;b], il existe c]a;b[ vérifiant

f(x0)=(x0-a1)(x0-a2)(x0-an)n!f(n)(c).

On pourra, lorsque cela est possible, introduire un réel K tel que

f(x0)=(x0-a1)(x0-an)n!K

et établir que la dérivée n-ième de xf(x)-(x-a1)(x-an)n!K s’annule.

Solution

Si x0{a1,,an} n’importe quel c convient.
Si x0{a1,,an}, il existe une constante K telle que

f(x0)=(x0-a1)(x0-an)n!K.

La fonction xf(x)-(x-a1)(x-an)n!K est de classe 𝒞n et s’annule en a1,,an et x0 ce qui fournit au moins n+1 valeurs d’annulation et permet, par le théorème de Rolle, de conclure que sa dérivée n-ième s’annule en un c]a;b[. Or

dndxn(f(x)-(x-a1)(x-an)n!K)=f(n)(x)-K

donc K=f(n)(c).

 
Exercice 58  4800    

(Écart à la corde)

Soient f:[a;b] une fonction de classe 𝒞2 et φ:[a;b] la fonction affine prenant les mêmes valeurs que f en a et b.

  • (a)

    Montrer que pour tout x0[a;b], il existe c]a;b[ tel que

    f(x0)-φ(x0)=(x0-a)(x0-b)2f′′(c).
  • (b)

    En déduire que pour tout x[a;b],

    |f(x)-φ(x)|(b-a)28sup[a;b]|f′′|.
 
Exercice 59  2820      MINES (MP)Correction  

Soient f:I une fonction deux fois dérivable sur I et a,b,c trois points distincts de I.

Montrer qu’il existe dI tel que

f(a)(a-b)(a-c)+f(b)(b-c)(b-a)+f(c)(c-a)(c-b)=12f′′(d).

Solution

Considérons

g:x(x-b)f(a)+(a-x)f(b)+(b-a)f(x)-12(a-b)(b-x)(x-a)K

où la constante K est choisie de sorte que g(c)=0 (ce qui est possible).
La fonction g s’annule en a, en b et en c donc par le théorème de Rolle, il existe dI tel que g′′(d)=0 ce qui résout le problème posé.

 
Exercice 60  1378    

(Règle de L’Hospital)

Soient f,g:[a;b] deux fonctions dérivables. On suppose que la dérivée de g ne s’annule pas.

  • (a)

    Montrer que g(a)g(b).

  • (b)

    Montrer qu’il existe c]a;b[ tel que

    f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f(c)g(c).
  • (c)

    En déduire que, si le quotient f/g admet une limite en a par valeurs supérieures, alors

    limta+f(t)-f(a)g(t)-g(a)=limta+f(t)g(t).
  • (d)

    Application: Soit h: une fonction de classe 𝒞2 telle que h(0)=1, h(0)=0 et h′′(0)=a. Montrer

    limt0+(h(xt))1/t2=eax2/2pour tout x.

[<] Théorème de Rolle et fonction auxiliaire[>] Obtention d'inégalités

 
Exercice 61  1386  Correction  

Soit f:I dérivable.
Montrer que f est lipschitzienne si, et seulement si, sa dérivée est bornée.

Solution

() En vertu de l’inégalité des accroissements finis.

() Si f est k lipschitzienne alors pour tous x,yI tels que xy, on a

|f(x)-f(y)x-y|k.

À la limite quand yx, on obtient |f(x)|k. Par suite, f est bornée.

 
Exercice 62  1384  Correction  

À l’aide du théorème des accroissements finis déterminer

limx+((x+1)e1x+1-xe1x).

Solution

Par le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction xxe1/x entre x et x+1:
il existe cx]x;x+1[ tel que

(x+1)e1/(x+1)-xe1/x=(cx-1cx)e1cx(x+1-x)=(cx-1cx)e1cx.

Quand x+, cx+ car cxx.
Par suite,

(cx-1cx)e1cx1

et donc

limx+((x+1)e1x+1-xe1x)=1.
 
Exercice 63  267  Correction  

Montrer à l’aide du théorème des accroissements finis que

n+1n+1-nn-ln(n)n2.

Solution

En appliquant le théorème des accroissements finis à xx1/x entre n et n+1, on obtient

n+1n+1-nn=1-ln(c)c2c1/c

avec c]n;n+1[.
Puisque cn+, ln(c)ln(n) et puisque c1/c1

n+1n+1-nn-ln(n)n2.
 
Exercice 64  1381   

Soit f: une fonction dérivable. Montrer que pour tout réel x, il existe c>0 vérifiant

f(x)-f(-x)=x(f(c)+f(-c)).
 
Exercice 65  1382   Correction  

Soit f une fonction de classe 𝒞2 sur [a;a+2h] (avec a et h>0).
Montrer

c]a;a+2h[,f(a+2h)-2f(a+h)+f(a)=h2f′′(c).

On pourra introduire φ(x)=f(x+h)-f(x).

Solution

La fonctionφ proposée est définie et de classe 𝒞2 sur [a;a+h].

f(a+2h)-2f(a+h)+f(a)=φ(a+h)-φ(a).

Par le théorème des accroissements finis appliqué à φ entre a et a+h, il existeb]a;a+h[ tel que

φ(a+h)-φ(a)=hφ(b)=h(f(b+h)-f(b)).

Par le théorème des accroissements finis appliqué à f entre b et b+h, il existe c]b;b+h[]a;a+2h[ tel que

f(b+h)-f(b)=hf′′(c) puis f(a+2h)-2f(a+h)+f(a)=h2f′′(c).
 
Exercice 66  3886   

(Fonctions hölderiennes)

Une fonction f:I est dite hölderienne d’exposant α>0 s’il existe M+ vérifiant11 1 Pour α[0;1], on montre que la fonction ttα est hölderienne d’exposant α sur + (voir le sujet 1832).

|f(y)-f(x)|M|y-x|αpour tout (x,y)I2.
  • (a)

    Montrer qu’une fonction f:[a;b] de classe 𝒞1 est hölderienne d’exposant 1.

  • (b)

    Démontrer que les fonctions hölderiennes d’exposant >1 sont constantes.

On considère la fonction f:xxln(x) définie sur ]0;1].

  • (c)

    Montrer que la fonction f n’est pas hölderienne d’exposant 1.

  • (d)

    Vérifier cependant que f est hölderienne d’exposant α pour tout α]0;1[.

 
Exercice 67  4801  

Soit f:[0;+[ une fonction bornée et dérivable. On suppose que la dérivée f admet une limite en +. Déterminer la valeur de celle-ci.

 
Exercice 68  1341     X (MP)

Soit f:]0;1] une fonction dérivable. On suppose

f(x)x0+etxf(x)x0+

Calculer .

 
Exercice 69  727     X (PC)Correction  

Soit f𝒞2(+,) telle que limx+f(x)=a.

  • (a)

    Si f′′ est bornée, que dire de f(x) quand x+?

  • (b)

    Le résultat subsiste-t-il sans l’hypothèse du (a)?

Solution

  • (a)

    Posons M+* tel que |f′′(x)|M pour tout x+.
    Soit ε>0. La suite (xn) de terme général

    xn=nεM

    diverge vers + et donc

    f(xn+1)-f(xn)0.

    Par suite, il existe N tel que pour tout nN

    |f(xn+1)-f(xn)|ε2M.

    Par le théorème des accroissements finis, il existe cn]xn;xn+1[ tel que

    |f(cn)|(xn+1-xn)ε2M

    ce qui donne

    |f(cn)|ε.

    Puisque f′′ est bornée par M, la fonction f est M-lipschitzienne et donc

    u[xn;xn+1],|f(u)-f(cn)|M|u-cn|ε

    puis

    u[xn;xn+1],|f(u))|ε+|f(cn)|2ε

    et, puisque cela vaut pour tout n, on a en posant A=xN,

    uA,|f(u)|2ε.

    On peut conclure que f converge vers 0 en +.

  • (b)

    Posons

    f(t)=cos(t2)t+1.

    On vérifie aisément que f est de classe 𝒞2 et admet une limite finie en + sans que f tend vers 0 en +.

[<] Théorème des accroissements finis[>] Classe d'une fonction

 
Exercice 70  4898  

Pour tout réel x]-1;+[, montrer11 1 Cette inégalité aussi sera souvent utilisée.

ln(1+x)x.
 
Exercice 71  5268   
  • (a)

    Montrer

    x-16x3sin(x)xpour tout x0.
  • (b)

    Que devient cet encadrement pour x négatif?

  • (c)

    Montrer

    sin(x)2πxpour tout x[0;π/2].
 
Exercice 72  4792  

Montrer

|sin(y)-sin(x)||y-x|pour tous x et y réels.
 
Exercice 73  1383  Correction  

Établir les inégalités suivantes:

  • (a)

    x]-1;+[,x1+xln(1+x)x

  • (b)

    x+,ex1+x+x22.

Solution

  • (a)

    Soit f:xx-ln(1+x) définie et de classe 𝒞 sur ]-1;+[.

    f(x)=x1+x.

    Le tableau des variations de f est alors

    x-10+f(x)+0+.

    On en déduit que f est positive.
    Soit g:xln(1+x)-x/(1+x) définie et de classe 𝒞 sur ]-1;+[.

    g(x)=x(1+x)2.

    Le tableau des variations de g est alors

    x-10+g(x)+0+.

    On en déduit que g est positive.

  • (b)

    Soit f:xex-1-x-12x2 définie et de classe 𝒞 sur +.

    f′′′(x)=ex0.

    On obtient les variations suivantes

    x0+f′′(x)0+f(x)0+f(x)0+.

    On en déduit que f est positive.

 
Exercice 74  1402  Correction  

Soit p]0;1].

  • (a)

    Établir que pour tout t0, on a

    (1+t)p1+tp.
  • (b)

    En déduire que pour tout x,y0,

    (x+y)pxp+yp.

Solution

  • (a)

    Étudions la fonction δ:t1+tp-(1+t)p définie continue sur + et dérivable sur +*.
    On a δ(0)=0 et pour t>0,

    δ(t)=p(tp-1-(1+t)p-1).

    Puisque p-10, tp-1(1+t)p-1 et donc δ(t)0. On en déduit que pour tout t0, δ(t)0 puis l’inégalité demandée.

  • (b)

    Pour x=0, l’inégalité est immédiate et pour x>0,

    (x+y)p=xp(1+yx)pxp(1+(yx)p)=xp+yp.
 
Exercice 75  4791  

Montrer l’encadrement

xx+1<ln(1+x)<xpour tout x>0.
 
Exercice 76  1385   Correction  

Montrer que

x>0,11+x<ln(1+x)-ln(x)<1x.

En déduire, pour k{0,1},

limn+p=n+1kn1p.

Solution

On applique le théorème des accroissements finis à xln(x) entre x et x+1.
Il existe c]x;x+1[ tel que

ln(1+x)-ln(x)=1c.

Or x<c<x+1 donne

1x+1<1c<1x

puis l’encadrement voulu.

p=n+1knln(p+1)-ln(p)p=n+1kn1pp=n+1knln(p)-ln(p-1)

donne

ln(kn+1n+1)p=n+1kn1pln(k).

Par le théorème des gendarmes

limn+p=n+1kn1p=ln(k).

[<] Obtention d'inégalités

 
Exercice 77  4788  

Pour quels n{0,1,2,3}, la fonction fn définie sur suivante est-elle continue, dérivable, de classe 𝒞1?

fn:x{xnsin(1x) si x00 sinon.
 
Exercice 78  1387  Correction  

Soit f:[a;b] de classe 𝒞1.

Montrer que f est lipschitzienne.

Solution

f est continue sur le segment [a;b] elle y est donc bornée par un certain M.

Par l’inégalité des accroissements finis, f est M-lipschitzienne.

 
Exercice 79  1388  Correction  

Soit f: de classe 𝒞1 et périodique.
Montrer que f est lipschitzienne.

Solution

La dérivée de f est continue et périodique donc bornée par son max sur une période (qui existe par continuité sur un segment). Par l’inégalité des accroissements finis, il en découle que f est lipschitzienne.

 
Exercice 80  1389  Correction  

Montrer que la fonction f:+ définie par:

f(x)={x2ln(x) si x00 si x=0

est de classe 𝒞1 sur +.

Solution

f est continue sur + et de classe 𝒞1 sur ]0;+[.
Pour x>0, f(x)=2xln(x)+x.
Quand x0+, f(x)0 donc f est dérivable en 0 et f(0)=0.
De plus, f est continue en 0 et finalement f est de classe 𝒞1 sur +.

 
Exercice 81  1390  Correction  

Soit n, montrer que la fonction

fn:x{xn+1 si x00 sinon

est de classe 𝒞n sur .

Solution

Procédons par récurrence sur n.
Pour n=0, la fonction considérée est continue.
Supposons la propriété établie au rang n0.
fn+1 est continue sur et dérivable sur *.
Pour x0, fn+1(x)=(n+2)fn(x).
Quand x0, fn+1(x)0=(n+2)fn(0) donc fn+1 est dérivable en 0 et fn+1(0)=0.
Ainsi fn+1 est dérivable sur et fn+1=(n+2)fn.
Par hypothèse de récurrence, fn est de classe 𝒞n et donc fn+1 est de classe 𝒞n+1.
Récurrence établie.

 
Exercice 82  1368   Correction  

Soit f:+ de classe 𝒞2 telle que f(0)=0.
Montrer qu’il existe g:+ de classe 𝒞1 telle que

x+,f(x)=g(x2).

Solution

Posons g:+ définie par

g(t)=f(t).

Par composition g est de classe 𝒞1 sur +* et

x>0,g(t)=f(t)2t

g est continue et

g(t)=f(t)-f(0)2tt0f′′(0)2

donc g est dérivable et g est continue en 0.
Ainsi g est de classe 𝒞1.

 
Exercice 83  2819     MINES (MP)Correction  

On pose f(x)=e-1/x2 pour x réel non nul et f(0)=0.

  • (a)

    Montrer l’existence pour tout n d’un polynôme Pn tel que:

    x*,f(n)(x)=x-3nPn(x)f(x).

    Quel est le degré de Pn?

  • (b)

    Montrer que f est de classe 𝒞, toutes ses dérivées étant nulles en 0.

  • (c)

    Montrer que toute racine de Pn est réelle.

Solution

  • (a)

    Il suffit de raisonner par récurrence. On obtient P0(x)=1 et pour tout n,

    Pn+1=(2-3nX2)Pn+X3Pn.

    Par récurrence, pour n>0, deg(Pn)=2(n-1).

  • (b)

    f est continue en 0 et pour tout n*, f(n)(x)x00 dont par le théorème «  limite de la dérivée   », on peut conclure.

  • (c)

    P1=2 a toutes ses racines réelles.
    f(0)=limx+f(x)=limx-f(x)=0 donc par une généralisation du théorème de Rolle, on peut affirmer que f′′ s’annule sur ]0;+[ et ]-;0[. Ses annulations sont aussi des zéros de P2 qui est de degré 2, donc P2 a toutes ses racines réelles.
    f′′ s’annule aussi en 0 et en ±. Par la généralisation du théorème de Rolle, on obtient 2 annulations sur ]0;+[ et 2 annulations sur ]-;0[ qui seront toutes quatre zéros de P3 qui est un polynôme de degré 4,…on peut itérer la démarche.

 
Exercice 84  4795    

Soient φ et ψ les fonctions réelles définies sur par

φ(x)={e-1x si x>00 sinonetψ(x)={e2x2-1 si x]-1;1[0 sinon.
  • (a)

    Montrer que la fonction φ est de classe 𝒞 sur .

  • (b)

    En déduire que la fonction ψ est elle aussi de classe 𝒞 sur .



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax